2.5.2 圆与圆的位置关系
一、学习目标
1.能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系.
2.进一步体会用代数方法处理几何问题的思想方法.
二、重难点
重点:圆与圆的位置关系.
难点:圆的方程的应用.
三、自主预习
1.圆与圆的位置关系:
(1)两圆相交,有 个公共点;
(2)两圆相切,包括外切与 ,只有一个公共点;
(3)两圆相离,包括 与 ,没有公共点.
2.两圆方程的公共解的个数判断它们之间的关系:
(1)两圆 有两组公共解;
(2)两圆相切有 组公共解;
(3)两圆 没有公共解.
四、应用举例
例1 已知圆,圆,试判断圆与圆的位置关系.
解法1:将圆与圆的方程联立,
得到方程组,
①-②得
由③得.
把上式代入①,并整理得.④
方程④的根的判别式,
所以方程④有两个不相等的实数根.
把分别代入方程③得到.
因此圆与圆有两个公共点,这两个圆相交.
解法2:把圆的方程化成标准方程,得,圆的圆心是,半径.
把圆的方程化成标准方程,得,圆的圆心是,半径.
圆与圆的连心线的长为.
圆与圆的两半径之和,两半径长之差.
因为,即,所以圆与圆相交(如图),它们有两个公共点A,B.
例2 已知圆O的直径,动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍.试探究点M的轨迹,并判断该轨迹与圆O的位置关系.
解:如图,以线段AB的中点O为原点,AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.由,得,.
设点M的坐标为,
由,得,
化简得,即.
所以点M的轨迹是以为圆心,半径为的一个圆.
因为两圆的圆心距为,两圆的半径分别为,,
又,所以点M的轨迹与圆O相交.
五、课堂练习
(一)课本练习
1.已知圆,圆,判断圆与圆的位置关系.
2.已知圆,圆,证明圆与圆相交,并求圆与圆的公共弦所在直线的方程.
(二)课本习题
1.求经过点以及圆与交点的圆的方程.
2.求圆心在直线上,并且经过圆与圆的交点的圆的方程.
3.求经过点,且与圆相切于点的圆的方程.
4.如图,某台机器的三个齿轮,A与B啮合,C与B也啮合.若A轮的直径为200 cm,B轮的直径为120 cm,C轮的直径为250 cm,且.试建立适当的坐标系,用坐标法求出A,C两齿轮的中心距离(精确到1 cm).
六、课后练习
1.已知圆,圆,则圆,的位置关系为( )
A.内含 B.外切 C.相交 D.外离
2.圆与圆的公切线条数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.已知P是圆上一点,Q是圆上一点,则的最小值为( )
A.1 B. C.2 D.
4.已知圆,点,,在圆M上存在点P,使得,则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.已知点P,Q分别为圆与圆上的任意一点,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.已知圆,直线,点P为直线l上的动点,过点P作圆O的切线PA,PB,切点分别为A,B.当四边形PAOB的面积最小时,直线AB的方程为( )
A. B. C. D.
7.已知圆,A,B为圆O上两个动点,且,M为弦AB的中点,,,当A,B在圆O上运动时,始终有为锐角,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.(多选)与圆的公切线的方程可能为( )
A. B. C. D.
9.(多选)已知圆和圆,下列说法正确的是( )
A.两圆的公共弦所在直线的方程为
B.圆O上有2个点到直线的距离为
C.两圆有两条公切线
D.点E在圆O上,点F在圆M上,的最大值为
10.(多选)若点P在圆上,点Q在圆上,则下列说法正确的有( )
A.的最小值为0
B.的最大值为7
C.两个圆心所在直线的斜率为
D.两个圆的相交弦所在直线的方程为
11.已知圆与圆交于A,B两点,且这两点平分圆N的圆周,则圆M的半径最小时圆M的方程为___________.
12.已知圆,圆.若圆M上存在点P,过点P作圆O的两条切线,切点为A,B,使得,则实数a的取值范围为__________.
13.圆的方程为,圆的圆心为点.
(1)若圆与圆外切,求圆的方程;
(2)若圆与圆交于A,B两点,且,求圆的方程.
14.如图,已知圆和点,由圆O外一点向圆O引切线PQ,Q为切点,且.
(1)求证:.
(2)以P为圆心作圆,使它与圆O有公共点,试求出半径最小的圆的方程.
答案及解析
三、自主预习
1.两 内切 外离 内含
2.相交 一 相离
五、课堂练习
(一)课本练习
1.答案:外切
解析:圆,圆心坐标为,半径;
圆,即圆,圆心坐标为,半径
所以,,
所以两圆相外切.
2.答案:
解析:圆的标准方程为,
所以圆心为,半径;
圆的标准方程为,
所以圆心为,半径.
两圆圆心距,,,
所以,圆和圆相交.
将圆和圆的方程相减,得两圆的公共弦所在直线的方程为.
(二)课本习题
1.答案:
解析:解法一:如答图,联立方程组
解此方程组,得或
两圆交点分别为或.
线段BM的中点坐标是,
直线BM的斜率.
线段BM的垂直平分线的方程是.
线段AB的垂直平分线的方程是(x轴).
因此,把代入,得.
圆心C的坐标是.
半径长.
以C为圆心的圆的方程为,即.
解法二:设经过圆与交点的圆的方程为.①
把点的坐标代入①,得.
解得.
把代入①,并化简得.
所以经过圆与交点的圆的方程为.
2.答案:
解析:解法一:如答图,设圆和圆相交于点A,B.
解方程组
得或
所以.
因此,弦AB的垂直平分线的方程是.
将与联立,解得
所求圆心C的坐标是.
点C与点A的距离.
所求圆的方程为,
即.
解法二:设经过圆和圆交点的圆的方程为,
即.
其圆心坐标是.
因为圆心在直线上,
所以.
解得.
所以所求圆的方程为,
即.
3.答案:
解析:如答图,把圆C的方程化成标准形式,得.
圆心C的坐标是,半径长是.
直线CN的方程为.
MN的中点坐标是,斜率是.
线段MN的垂直平分线的方程是,
即.
联立与,解得.
所以所求圆的圆心F的坐标是.
因为,
所以经过点,且与圆相切于点的圆的方程是.
4.答案:见解析
解析:以A为原点,直线AB为x轴,建立如答图所示的直角坐标系.
由已知,得.
点C在以B为圆心,以圆C与圆B的半径和185为半径的圆上,方程为.
又点C在直线AC上,上式与联立,解得.
所以点C的坐标为(183.5,183.5).
A,C两齿轮中心的距离.
六、课后练习
1.答案:C
解析:圆,化为,圆心为,半径为;圆,化为,圆心为,半径为.两圆心距离为,因为,所以圆与圆相交.故选C.
2.答案:B
解析:两圆的圆心分别为,,半径分别为,,圆心距,
所以,所以两圆相交,有2条公切线.故选B.
3.答案:B
解析:因为,,所以,且两圆的半径分别为,,,即两圆外离,所以的最小值为.故选B.
4.答案:C
解析:如图,构造圆,当圆O与圆M有公共点P时,,即圆O与圆M的关系可以为相切或相交,所以解得.故选C.
5.答案:B
解析:圆的圆心为,半径,圆的圆心为,半径,则圆心距,所以两圆外离,所以.故选B.
6.答案:B
解析:圆的圆心为,半径,当点P与圆心的距离最小时,切线长PA,PB最小,此时四边形PAOB的面积最小,直线l,则直线PO的方程为.联立解得,,以线段OP为直径的圆的方程为,即.将该圆的方程与圆O的方程相减,得直线AB的方程为.故选B.
7.答案:A
解析:如图,连接OM,CD.则,所以点M在以O为圆心,1为半径的圆上.设线段CD的中点为N,则,且.因为当A,B在圆O上运动时,始终有为锐角,所以以O为圆心,1为半径的圆与以N为圆心,2为半径的圆外离,故,解得或,即a的取值范围为.故选A.
8.答案:CD
解析:圆O的圆心为,半径为,圆M的圆心为,半径,
由题意得,圆O与圆M的半径之和为,半径之差为0,因为,所以圆O与圆M相交.
由题意得,因为圆O与圆M的半径相等,所以公切线的斜率为2.
设公切线的方程为,即,由,得,
所以公切线的方程为或.故选CD.
9.答案:BCD
解析:因为圆,所以圆心,半径为,
因为圆,可化为,所以圆心,半径为.对于A,两圆的方程作差得,即,所以两圆公共弦所在的直线方程为,故A错误;
对于B,圆心到直线的距离为,则,
所以圆O上有2个点到直线的距离为,故B正确;
对于C,因为,所以两圆相交,则两圆有两条公切线,故C正确;
对于D,,故D正确.故选BCD.
10.答案:BC
解析:根据题意,圆,其圆心,半径.
圆,即,其圆心,半径.
圆心距,两圆外离,则的最小值为,最大值为,故A错误,B正确.
对于C,已知圆心,圆心,则两个圆心所在直线的斜率,C正确.
对于D,因为两圆外离,所以不存在相交弦,D错误.故选BC.
11.答案:
解析:两圆公共弦AB所在的直线方程为,又A,B两点平分圆N的圆周,直线AB经过圆心,把点N的坐标代入直线方程可得.
又,.
圆M的半径,
当时,圆M半径最小,此时,,故所求圆M的方程为.
12.答案:
解析:由题意,得,,又,,所以四边形OAPB为正方形.所以,所以点P的轨迹是以为圆心,为半径的圆,方程为.若圆M上存在点P,则圆与圆有公共点,所以,所以,所以.
13.答案:(1)
(2)或
解析:(1)因为圆的方程为,
所以圆的圆心坐标为,半径为2.
又因为圆的圆心为点,所以圆心距为.
又圆与圆外切,所以所求圆的半径为,
所以圆的方程为.
(2)设圆的方程为.
因为圆的方程为,
所以两圆的方程相减得两圆公共弦AB所在直线的方程,为.
圆心到直线AB的距离为,解得或.
故圆的方程为或.
14.答案:(1)证明见解析
(2)
解析:(1)证明:连接OP.
为圆O的切线,
.
在中,.又,
,即,
整理,得,.
(2)由(1)知,则点P在直线上移动.
圆心O到直线的距离,
即.
若以点P为圆心作圆,使它与圆O有公共点,
则半径最小的圆与圆O相外切,
此时圆的半径,.
由得即取最小值时,,
所求圆的方程为.