3.2.1双曲线及其标准方程 分层练习（含解析）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.1　双曲线及其标准方程 分层练习
基础过关练
题组一　双曲线的定义及其应用
1.(2025四川宜宾期中)与圆x2+y2=4及圆x2+y2-8x-6y+24=0都外切的圆的圆心在(　　)
A.一个椭圆上　　B.双曲线的一支上
C.一条直线上　　D.一个圆上
2.(2025吉林长春实验中学期中)双曲线-=1(a>0)的左、右两个焦点分别是F1与F2,焦距为8,M是双曲线左支上的一点,且|MF1|=5,则|MF2|的值为(　　)
A.1　　B.9　　C.1或9　　D.9或13
3.(多选题)(2025浙江温州十校联合体期中)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0),B(1,0),M是平面内的一个动点,则下列说法中正确的是(　　)
A.若|||-|||=1,则点M的轨迹是双曲线
B.若||+||=2,则点M的轨迹是椭圆
C.若||=||,则点M的轨迹是一条直线
D.若·=2,则点M的轨迹是圆
4.(2024黑龙江牡丹江第一高级中学期中)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F1,右焦点为F2(2,0),O为坐标原点,P为双曲线右支上的一点,且|F1F2|=2|PF2|,△PF1F2的周长为10,M为线段PF2的中点,则|OM|=(　　)
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
5.(2025河北保定六校联盟期中)P是双曲线-=1的右支上一点,M,N分别是圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=4上的点,则|PM|-|PN|的最大值为(　　)
A.6　　B.7　　C.8　　D.9
6.(2025河南南阳段考)已知双曲线方程为-=1(m>0),焦距为8,左、右焦点分别为F1,F2,点A的坐标为(1,2),P为双曲线右支上一动点,则|PF1|+|PA|的最小值为　　　　.
题组二　双曲线的标准方程
7.(2025广东中山一中段考)已知双曲线的下、上焦点分别为F1(0,-3),F2(0,3),P是双曲线上一点且||PF1|-|PF2||=4,则双曲线的标准方程为(　　)
A.-=1　　B.-=1　　
C.-=1　　D.-=1
8.(2025福建莆田期中)与椭圆C:+=1共焦点且过点P(2,)的双曲线的标准方程为(　　)
A.-=1　　B.-=1　　
C.-=1　　D.-=1
9.(2025河北邯郸武安一中期中)“m>2”是“方程+=1表示双曲线”的(　　)
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
10.(多选题)(2025陕西师范大学附属中学期中)已知α∈(0,π),则方程x2+y2cos α=1表示的曲线可以是(　　)
A.圆　　B.椭圆　　
C.双曲线　　D.两条直线
11.(2025河北邢台质检联盟期中)若动圆过定点A(2,0),且和定圆C:(x+2)2+y2=1外切,则动圆圆心P的轨迹方程为(　　)
A.x2-=1　　B.x2-=1　　
C.4x2-=1　　D.4x2-=1
12.(2025福建福州期中)如图,F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,且F1(-,0),过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A,B.若△ABF2为等边三角形,则双曲线的方程为(　　)
A.-=1　　B.-y2=1
C.x2-=1　　D.-=1
13.根据下列条件,求双曲线的标准方程.
(1)a=2,经过点(2,-5),焦点在y轴上;
(2)过点P,Q且焦点在坐标轴上.
题组三　双曲线标准方程的应用
14.(2025江苏徐州期中)双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点坐标为(0,-3),则实数k的值为(　　)
A.1　　B.-1　　C.　　D.-
15.(2025河南开封期中)方程|-|=4的化简结果为(　　)
A.-=1　　B.-=1　　
C.-=1　　D.-=1
16.(2025江苏南通如皋部分学校期中联考)已知O为坐标原点,P为双曲线C:-=1(a>0,b>0)上一点,A1,A2为双曲线C与x轴的两个交点,A1在A2的左侧,且直线PA1与直线PA2的斜率之积为,则·=　　　　.
17.(2025浙江绍兴上虞中学期中)曲线C:-=1(m≠-3且m≠1).
(1)若曲线C为双曲线,求m的取值范围;
(2)若m=0,点P在曲线C上,且点P在第一象限内,F1(-2,0),F2(2,0),PF1⊥PF2,求点P的横坐标.
能力提升练
题组一　双曲线的方程及其应用
1.(多选题)(2025黑龙江哈尔滨师范大学附属中学期中)已知方程+=1表示的曲线为C,则下列四个结论中正确的是(　　)
A.当1B.当t>7或t<1时,曲线C是双曲线
C.若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,则4D.若曲线C是焦点在y轴上的双曲线,则t>7
2.(2025江苏盐城期中)已知双曲线C:-y2=1的右焦点为F,动点M在直线l:x=上,线段FM交C于P点,过P作l的垂线,垂足为R,则的值为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
3.(2025黑龙江省实验中学期中)已知椭圆C1:+=1(m>2)与双曲线C2:-=1(n>0)有公共的焦点F1,F2,P是C1和C2的一个公共点,且O为坐标原点,则|+|=(　　)
A.2　　B.2　　C.2　　D.2
4.(2025福建泉州质检)与三角形的一条边以及另外两条边的延长线都相切的圆被称为三角形的旁切圆,旁切圆的圆心被称为三角形的旁心,每个三角形都有三个旁心,如图1所示.已知F1,F2分别是双曲线-=1的左、右焦点,P是双曲线右支上一点,Q是△PF1F2的一个旁心,直线PQ与x轴交于点M,如图2所示,则=　　　　.
　　
题组二　双曲线的实际应用
5.(2025河南开封五校期中联考)双曲线具有光学性质:从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射后,反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点,如图1所示.设a>0,若双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,从F2发出的光线经过图2中的A,B两点反射后,分别经过点C,D,cos∠BAC=-,AB⊥BD,则a的值为　　　　.
　　
6.(2025上海复旦大学附属中学期中)如图所示,B地在A地的正东方向4千米处,C地在B地的北偏东30°方向2千米处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比其到B的距离远2千米.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向B,C两地转运货物.经测算,从M到B,C两地修建公路的费用都是m万元/千米,则修建这两条公路的最低总费用为　　　　万元.
答案
基础过关练
1.B　圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径r1=2,记O1(0,0),圆x2+y2-8x-6y+24=0可化为(x-4)2+(y-3)2=1,其圆心为(4,3),半径r2=1,记O2(4,3),
设所求圆的圆心为P,半径为r,
由题意可知|PO1|=r+2,|PO2|=r+1,
则|PO1|-|PO2|=1<|O1O2|,
故由双曲线的定义可知,所求圆的圆心的轨迹为双曲线的一支.
2.B　依题意得c=4,所以a2+12=16,即a=2,因为M在双曲线的左支上,所以|MF2|-|MF1|=2a=4,所以|MF2|=|MF1|+4=9.
3.ACD　因为A(-1,0),B(1,0),所以|AB|=2.
对于A,因为|||-|||=1<|AB|,所以点M的轨迹是以A,B为焦点的双曲线,因此A正确;
对于B,因为||+||=2=|AB|,所以点M的轨迹为线段AB,因此B错误;
对于C,因为||=||,所以点M的轨迹是线段AB的垂直平分线,因此C正确;
对于D,设M(x,y),则·=(-1-x)(1-x)+(-y)2=2,即x2+y2=3,所以点M的轨迹是以原点为圆心,为半径的圆,因此D正确.
4.B　因为右焦点为F2(2,0),所以|F1F2|=4,
又因为|F1F2|=2|PF2|,所以|PF2|=2,
又因为|F1F2|+|PF1|+|PF2|=10,所以|PF1|=4,
由O为坐标原点,且M为线段PF2的中点,可知OM为△PF1F2的中位线,所以|OM|=|PF1|=2.
5.D　由-=1,知a2=9,b2=16,则a=3,c2=25,
因此双曲线的两个焦点分别为(-5,0),(5,0),记F1(-5,0),F2(5,0),
易知F1(-5,0),F2(5,0)也分别是圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=4的圆心,两圆的半径分别为1,2,
易得|PM|max=|PF1|+1,|PN|min=|PF2|-2,
则|PM|-|PN|的最大值为(|PF1|+1)-(|PF2|-2)=|PF1|-|PF2|+3=2a+3=9.
6.答案　4+
解析　因为焦距为8,所以c=4,故c2=16,即2m=16,故m=8,所以双曲线的方程为-=1,所以a=2,F2(4,0),由P为双曲线右支上一点,及双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a=4,所以|PF1|=4+|PF2|,则|PF1|+|PA|=4+|PF2|+|PA|,如图所示,
当P,A,F2三点共线,且点P在点A与点F2之间时,|PF2|+|PA|取得最小值,为|AF2|==,
故=4+|AF2|=4+.
7.C　由双曲线的焦点坐标及定义可得c=3,2a=4,且焦点在y轴上,则a=2,b2=c2-a2=9-4=5,
所以双曲线的标准方程为-=1.
8.C　因为椭圆C的焦点为(±,0),即(±3,0),所以c=3,记F1(-3,0),F2(3,0),
所以||PF1|-|PF2||=|-|=2=2a,
所以a=,所以b==,
所以双曲线的标准方程为-=1.
9.B　因为方程+=1表示双曲线,
所以(2-m)(m+1)<0,解得m<-1或m>2,即m∈(-∞,-1)∪(2,+∞).
因为(2,+∞) (-∞,-1)∪(2,+∞),
所以“m>2”是“方程+=1表示双曲线”的充分不必要条件.
10.BCD　设m=cos α,则m∈(-1,1),因此方程可写为x2+my2=1(-1对于A,要使方程x2+my2=1表示圆,则m=1,不合题意;
对于B,当01,方程为x2+=1,此时它表示焦点在y轴上的椭圆,符合题意;
对于C,当-11,方程为x2-=1,此时它表示焦点在x轴上的双曲线,符合题意;
对于D,当m=0时,方程为x2=1,即x=±1,此时它表示两条直线,符合题意.
11.D　定圆C的圆心为C(-2,0),与A(2,0)关于原点对称.
设|PA|=r,由两圆外切可得|PC|=1+r,所以|PC|-|PA|=1<|AC|=4,
因此P点的轨迹为双曲线的右支.
设P点的轨迹方程为-=1(a>0,b>0,x≥a),
则a=,c=2,b2=c2-a2=,
所以轨迹方程为4x2-=1.
12.C　根据双曲线的定义,可得|AF2|-|AF1|=2a①,|BF1|-|BF2|=2a②,
由于△ABF2为等边三角形,所以|AF2|=|AB|=|BF2|,由①+②,得|BF1|-|AF1|=4a,则|AB|=|AF2|=|BF2|=4a,|BF1|=6a,
又因为∠F1BF2=60°,所以在△F1BF2中,由余弦定理得(2c)2=(6a)2+(4a)2-2×6a×4a×,即7a2=c2=7,解得a2=1,则b2=c2-a2=6,所以双曲线的方程为x2-=1.
13.解析　(1)由题可设双曲线的标准方程为-=1(b>0).因为a=2,且点(2,-5)在双曲线上,所以-=1,解得b2=16.故所求双曲线的标准方程为-=1.
(2)解法一:当焦点在x轴上时,设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).
∵点P,Q在双曲线上,∴此方程组无实数解.
当焦点在y轴上时,设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).
∵点P,Q在双曲线上,∴解得
∴双曲线的标准方程为-=1.
解法二:设双曲线的方程为+=1,mn<0.
∵点P,Q在双曲线上,∴解得∴双曲线的标准方程为-=1.
14.B　由该双曲线的一个焦点坐标为(0,-3),可知k<0,
由8kx2-ky2=8可得-=1,
即有-+=32,解得k=-1.
15.A　根据|-|=4,
可得点(x,y)到点(-,0),(,0)的距离之差的绝对值为4,由4<2,结合双曲线的定义知,点(x,y)的轨迹是以(-,0),(,0)为焦点的双曲线,且2a=4,c=,则a=2,所以a2=4,b2=c2-a2=2,
因此双曲线的方程为-=1.
16.答案　30
解析　由题意知,A1(-a,0),A2(a,0),
又P,
故·=·=,解得a2=9,
所以A1(-3,0),A2(3,0).
=,=(6,0),所以·=30.
17.解析　(1) 若曲线C:-=1为双曲线,则(3+m)·(1-m)>0,解得-3(2)m=0时,曲线C:-y2=1,
设P(s,t),s>0,t>0,则-t2=1,
因为PF1⊥PF2,所以·=(-2-s,-t)·(2-s,-t)=s2-4+t2=s2-4+-1=0,
解得s=(舍负),故点P的横坐标为.
能力提升练
1.BD　对于A,当t=4时,方程为+=1,此时它表示圆,因此A错误;
对于B,当t>7时,7-t<0,t-1>0,此时曲线是焦点在y轴上的双曲线,
当t<1时,7-t>0,t-1<0,此时曲线是焦点在x轴上的双曲线,
故当t>7或t<1时,曲线C是双曲线,因此B正确;
对于C,若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,则满足7-t>t-1>0,解得1对于D,若曲线C是焦点在y轴上的双曲线,则7-t<0,且t-1>0,故t>7,因此D正确.
2.D　依题意知,F(2,0),设P(x0,y0),x0≥,则|PR|=x0-,
由P点在双曲线上,得-=1,即=-1,
所以|PF|====x0-,
因此==.
3.D　由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2,
∴(|PF1|+|PF2|)2=4m,即|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=4m①,
由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2,∴(|PF1|-|PF2|)2=4n,即|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4n②,
由①②解得|PF1|2+|PF2|2=2(m+n),
又由题意知c2=m-2③,c2=n+2④,③+④得2c2=m+n,
∴|PF1|2+|PF2|2=4c2,而|F1F2|2=4c2,
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,则PF1⊥PF2,
又∵O为F1F2的中点,
∴|+|=|2|=2||=2×|F1F2|=2c=2=2.
4.答案　
解析　连接F1Q,F2Q.由三角形旁切圆的定义易知F1Q,F2Q分别平分∠PF1M,∠PF2M,
由角平分线的性质可得==,
结合比例的性质及双曲线的定义,得===.
5.答案　3
解析　由cos∠BAC=-,AB⊥BD,及双曲线的光学性质可知cos∠BAF1=,∠ABF1=,
设|AF1|=5t,t>0,则在Rt△ABF1中,|AB|=3t,|BF1|=4t,
由双曲线的定义得|AF2|=5t-2a,|BF2|=4t-2a,
所以5t-2a+4t-2a=3t,解得t=a,
所以|BF1|=a,|BF2|=a,
在Rt△F1BF2中,+=,
则a2+a2=4c2,即17a2=9c2,又b2=8,a2+b2=c2,
所以17a2=9(a2+8),解得a=3(舍负).
6.答案　(2-2)m
解析　由题意可得|AB|=4,
以AB的中点为坐标原点O,AB所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
可得A(-2,0),B(2,0),C(3,),
由河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比其到B的距离远2千米,可得|MA|-|MB|=2,
因为2<|AB|=4,所以由双曲线的定义可得,M在以A,B为焦点的双曲线的右支上,且a=1,c=2,所以b==,所以点M的轨迹方程为x2-=1(x≥1).
设修建这两条公路的总费用为s万元,
则s=m(|MB|+|MC|)=m(|MA|+|MC|-2)≥m(|AC|-2)=(2-2)m,当且仅当A,M,C三点共线且M在A,C之间时取等号.
故修建这两条公路的最低总费用为(2-2)m万元.