3.2.2.2 直线与双曲线的位置关系 分层练习（含解析）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.2.2 直线与双曲线的位置关系 分层练习
基础过关练
题组一　直线与双曲线的位置关系
1.(2024四川成都石室中学期中)已知直线l:y=2x-8,双曲线C:-y2=1,则(　　)
A.直线l与双曲线C有且只有一个公共点
B.直线l与双曲线C的左支有两个公共点
C.直线l与双曲线C的右支有两个公共点
D.直线l与双曲线C的左右两支各有一个公共点
2.(2024黑龙江哈尔滨73中期中)双曲线-=1与直线l:y=-x+m(m∈R)的公共点的个数为(　　)
A.0　　B.1　　
C.0或1　　D.0或1或2
3.(2025浙江温州十校期中联考)“k=±”是“直线y=kx+1与双曲线-y2=1只有一个公共点”的(　　)
A.充分不必要条件　　B.必要不充分条件
C.充要条件　　D.既不充分也不必要条件
4.(2025山东临沂十八中月考)若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=1的左、右两支各有一个公共点,则实数k的取值范围是　　　　.
5.(2025重庆南开中学期中)已知直线l过点(1,3),并与双曲线x2-y2=4有且只有一个公共点,写出满足条件的直线l的一个方程:　　　　　　　.
6.(2025河南驻马店期中)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的离心率为,焦点F到渐近线的距离为1.
(1)求双曲线E的标准方程;
(2)若直线l:y=kx-1与双曲线E的左支交于不同的两点,求实数k的取值范围.
7.(2025浙江金华期中)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率e=2,点M(,)在双曲线上,O为坐标原点.
(1)求双曲线C的方程;
(2)如图,若直线l与双曲线C的左、右两支分别交于点Q,P,且·=0,求证:+是定值.
题组二　直线与双曲线的相交弦问题
8.如图,一拱桥的形状恰为某等轴双曲线的一支,此时拱顶离水面5 m,水面宽30 m,即|AB|=30.若水面下降5 m,则水面宽约是(结果精确到0.1 m,参考数据:≈1.41,≈2.24,≈2.65)(　　)
A.43.8 m　　B.44.8 m　　C.52.3 m　　D.53.0 m
9.(2024浙江绍兴上虞中学期中)已知双曲线W:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过原点O的直线l与双曲线W的左、右两支分别交于点A,B,以AB为直径的圆过点F,延长BF交右支于另一点C,若|CF|=2|FB|,则双曲线W的渐近线方程是(　　)
A.y=±2x　　B.y=±x　　
C.y=±x　　D.y=±3x
10.(多选题)(2025福建泉州晋江月考)过双曲线C:-=1的右焦点作直线l与该双曲线交于A,B两点,则(　　)
A.存在四条这样的直线l,使|AB|=6
B.存在直线l,使弦AB的中点为M(4,1)
C.与该双曲线有相同渐近线且过点(8,10)的双曲线的标准方程为-=1
D.若A,B都在该双曲线的右支上,且直线l的斜率存在,则斜率的取值范围是∪
11.(2025山东聊城模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F作C的两条渐近线的平行线,与C分别交于点A,B,若|AB|=2b,则C的离心率为　　　　.
12.(2025河北石家庄期中)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)与双曲线-=1有相同的渐近线,且经过点M(,-).
(1)求双曲线C的方程;
(2)已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆x2+y2=20上,求实数m的值.
13.(2025吉林长春期中)已知双曲线C:x2-y2=m(m>0)的左、右焦点与点(0,)构成等边三角形.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)若直线l过定点(0,1)且与双曲线C交于P,Q两点,当|PQ|=2时,求直线l的方程.
能力提升练
题组一　“点差法”在双曲线中的应用
1.(2025福建三明六校期中联考)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),过点P(-4,0)的直线与双曲线C交于A,B两点,若线段AB的中点是M(2,6),则双曲线C的离心率为(　　)
A.　　B.　　C.2　　D.3
2.(2025江苏南通期中)设A,B为双曲线x2-=1上两点,则下列四个点中,可成为线段AB的中点的是(　　)
A.(1,1)　　B.(-1,2)　　
C.(2,4)　　D.(-1,-3)
3.(2025江苏扬州高邮期中)已知斜率为的直线l过双曲线C:x2-=1(m>0)的左焦点F,且与C的左、右两支分别交于点A,B,设O为坐标原点,P为AB的中点,若△OFP是以FP为底边的等腰三角形,则双曲线的离心率为　(　　)
A.2　　B.　　C.3　　D.
4.(2024重庆巴蜀中学期中)已知双曲线E:-=1,过P(4,t)(t>0)作直线l交双曲线于A,B两点,若不存在直线l使得P是线段AB的中点,则t的取值范围是　　　　　.
题组二　双曲线中的面积问题
5.(2025上海交大附中月考)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A,B,M是E上一点,△ABM为等腰三角形,且△ABM的外接圆的面积为3πa2,则双曲线E的离心率为(　　)
A.2　　B.　　C.　　D.
6.(2024江苏徐州沛县月考)已知直线2x-y-2=0与双曲线C:x2-y2=1交于点A(x1,y1),B(x2,y2).P(x3,y3)为C上一点,且x17.(2025陕西咸阳期中)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)与双曲线-=1有相同的渐近线,与椭圆+=1有相同的焦点,双曲线C的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),直线l过F2且与双曲线C相交于A,B两点.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线l的斜率为1,求线段AB的长;
(3)若△ABF1的面积是12,求直线AB的方程.
8.(2025吉林省实验中学检测)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)经过点P,且点P到双曲线C的两条渐近线的距离之比为4∶1.
(1)求C的方程;
(2)过点P作不平行于坐标轴的直线l1交双曲线于另一点Q,作直线l2∥l1分别交C的两条渐近线于点A,B(A在第一象限内),使|AB|=|PQ|,记l1和直线QB的斜率分别为k1,k2.
(i)证明:k1·k2是定值;
(ii)若四边形ABQP的面积为5,求k1-k2的值.
题组三　直线与双曲线的位置关系的综合应用
9.(2025浙江温州期中)在平面直角坐标系Oxy中,已知圆M:+=r2(r>0)与双曲线C:-=1(a>0,b>0)有唯一公共点A(8,1),若圆心M在双曲线C的一条渐近线上且直线MA平行于另一条渐近线,则圆M的方程为　　　　　　　　.
10.(2025陕西西安期中)已知双曲线C:-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,坐标原点为O.
(1)若直线l:x-2y+2=0与双曲线C交于P,Q两点,求线段PQ的长;
(2)若双曲线C上存在两点A,B,满足=2,求直线F1A的斜率.
11.(2025山东济南期中)在平面直角坐标系Oxy中,已知双曲线C:-y2=1的左、右顶点分别为A1,A2.
(1)过点(0,2)作斜率为k的直线,若该直线与双曲线C有且只有一个公共点,求k的值;
(2)过点(3,0)的直线l与双曲线的右支交于P,Q两点,记直线A1P,A2Q的斜率分别为k1,k2,那么是不是定值 若是,求出该定值;若不是,说明理由.
答案
基础过关练
1.C　解法一:易知直线l经过定点(4,0),记M(4,0),因为点M在双曲线C的右顶点(2,0)的右侧,双曲线的渐近线方程为y=±x,且kl=2>,所以直线l与双曲线C的右支有两个公共点.
解法二:联立解得或
所以直线l与双曲线C的右支有两个公共点.
2.C　易得双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,
所以当m=0时,直线l:y=-x+m与渐近线y=-x重合,此时直线l与双曲线无公共点;当m≠0时,直线l与渐近线y=-x平行,此时直线l与双曲线有一个公共点.
3.A　联立整理可得(1-4k2)x2-8kx-8=0,
当1-4k2=0,即k=±时,方程只有一个实数解,即直线y=kx+1与双曲线-y2=1只有一个公共点;
当1-4k2≠0时,令Δ=64k2+32(1-4k2)=0,解得k=±,
所以当直线y=kx+1与双曲线-y2=1只有一个公共点时,k=±或k=±,
因此“k=±”是“直线y=kx+1与双曲线-y2=1只有一个公共点”的充分不必要条件.
4.答案　(-1,1)
解析　易知直线y=kx+2恒过点(0,2),双曲线x2-y2=1的渐近线方程为y=±x,
当k=±1时,直线与双曲线的其中一支有一个公共点,
结合图形(图略)可知,若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=1的左、右两支各有一个公共点,则k的取值范围为(-1,1).
5.答案　x-y+2=0(答案不唯一)
解析　易知平行于双曲线渐近线的直线与双曲线有且仅有一个公共点,又双曲线的渐近线方程为y=±x,
所以其中一条符合要求的直线l的方程为y-3=x-1,即x-y+2=0.
6.解析　(1)因为双曲线E:-=1(a>0,b>0)的离心率e=,所以=,即c=a.
易得双曲线E的焦点为(±c,0),渐近线方程为bx±ay=0,
则焦点到渐近线的距离d==1,又c2=a2+b2,所以d=b=1,则(a)2=a2+1,解得a2=1.
所以双曲线E的标准方程为x2-y2=1.
(2)将y=kx-1代入x2-y2=1,整理得(1-k2)x2+2kx-2=0.
不妨设直线与双曲线的左支交于(x1,y1),(x2,y2)两点,则故
解得-7.解析　(1)因为双曲线C的离心率e==2,
所以c=2a,又b2=c2-a2=3a2,
故双曲线C的方程为-=1,即3x2-y2=3a2,
因为点M(,)在双曲线上,所以6-3=3a2,
解得a2=1,
则双曲线C的方程为x2-=1.
(2)证明:根据题意,不妨设直线OP的方程为y=kx(k>0),
由(1)知双曲线C的渐近线方程为y=±x,则k≠.
因为·=0,所以直线OQ的方程为y=-x,
联立解得x2=,y2=,
则|OP|2=x2+y2=,
同理可得|OQ|2==,
则+===,
故+为定值,定值为.
8.B　设拱顶的对应点为C,AB的中点为D.建立如图所示的平面直角坐标系,设拱桥所在的等轴双曲线的方程为-=1(a>0),则C(0,-a),
因为|AB|=30,|CD|=5,所以B(15,-a-5),将点B的坐标代入双曲线方程,可得-=1,解得a=20,
所以双曲线的方程为-=1.
当水面下降5 m后,水面到达MN的位置,可得yN=-a-10=-30,
代入双曲线方程可得xN=10,所以|MN|=2xN=20≈44.8,即水面下降5 m后,水面宽约是44.8 m.
9.C　设双曲线的左焦点为F',连接BF',AF',CF',AF,如图,
设|BF|=t,则|CF|=2t,|BF'|=2a+t,|CF'|=2t+2a,
由题意知AF⊥BF,根据双曲线的对称性可知四边形AFBF'为矩形,
在Rt△BCF'中,|CF'|2=|CB|2+|BF'|2,即(2t+2a)2=(3t)2+(2a+t)2,解得t=(t=0舍去),
在Rt△FBF'中,|FF'|2=|BF|2+|BF'|2,即(2c)2=+,得=,∴=-1=,
故双曲线W的渐近线方程为y=±x.
10.ACD　对于A,易知双曲线的通径长为=5<6,实轴长2a=4<6,故存在四条这样的直线l,使|AB|=6,故A正确.
对于B,假设存在直线l,使弦AB的中点为M(4,1),
设直线l的方程为y-1=k(x-4),A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去y,可得(5-4k2)x2+(32k2-8k)x-64k2+32k-24=0,则Δ>0恒成立,
则x1+x2==8,y1+y2=k(x1-4)+1+k(x2-4)+1=k·-8k+2==2,
所以k=5,所以直线l的方程为y-1=5(x-4),但此时右焦点(3,0)不在直线l上,故不存在这样的直线l,故B错误.
对于C,设与该双曲线有相同渐近线的双曲线的标准方程为-=λ(λ≠0且λ≠1),
将(8,10)代入可解得λ=-4,所以所求双曲线的标准方程为-=1,故C正确.
对于D,设直线l的方程为x=my+3(m≠0),A(xA,yA),B(xB,yB),
联立消去x,得(5m2-4)y2+30my+25=0,则Δ>0恒成立,
则yA+yB=,yAyB=,
若A,B都在该双曲线的右支上,则yAyB=<0,
即5m2-4<0,解得-11.答案　+2
解析　不妨设双曲线的左焦点为F1,点A在第一象限内,如图所示,
易知过F且与渐近线y=x平行的直线的方程为y=(x-c),与双曲线方程联立,解得x=,y=-,
因为|AB|=2b,所以2×=2b,即b2=2ac,即c2-2ac-a2=0,即e2-2e-1=0,解得e=+2(e=-2舍去).
12.解析　(1)根据题意,设双曲线C的方程为-=λ(λ≠0且λ≠-1),
将(,-)代入,得-=λ,解得λ=,因此所求双曲线的方程为x2-=1.
(2)由消去y得x2-2mx-m2-2=0,
则Δ=(-2m)2-4(-m2-2)=8m2+8>0恒成立,
设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系可得x1+x2=2m,所以y1+y2=(x1+x2)+2m=4m,
因此线段AB的中点坐标为,即(m,2m),
因为点(m,2m)在圆x2+y2=20上,
所以m2+(2m)2=20,解得m=±2.
因此实数m的值为±2.
13.解析　(1)设双曲线的焦距为2c,c>0,由左、右焦点与点(0,)构成等边三角形可得2c×=,解得c=,
由x2-y2=m,即-=1,知a2=b2=m,∴c2=2m,即2m=,∴m=1,
因此双曲线C的标准方程为x2-y2=1.
(2)显然当直线l的斜率不存在时,直线l与双曲线不相交,∴其斜率必存在,设直线l的方程为y=kx+1,
联立消去y,得(1-k2)x2-2kx-2=0,
则Δ=(-2k)2-4(1-k2)×(-2)=-4k2+8>0,解得-设P(x1,y1),Q(x2,y2),由根与系数的关系可得x1+x2=,x1x2=,
因此|PQ|==·=2,即k2(3k2-5)=0,
解得k=0(二重根),或k=±,均满足k∈(-,).
所以直线l的方程为y=1或y=x+1或y=-x+1.
能力提升练
1.C　设A(x1,y1),B(x2,y2),因为点A,B在双曲线上,
所以两式相减可得-=0,
整理可得=·=,又线段AB的中点是M(2,6),所以x1+x2=4,y1+y2=12,又直线过点P(-4,0),所以其斜率k==1,所以1×==3,则离心率e====2.
2.D　由x2-=1知a=1,b=2,则=2.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则-=1,-=1,两式相减并化简得·=4,易知直线AB不与双曲线的渐近线平行,则≠±2,所以≠±2.
对于A选项,若(1,1)为中点,则==1,所以=4,
则直线AB的方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3,
由消去y并化简,得12x2-24x+13=0,此时Δ=242-4×12×13=-48<0,不满足题意,所以A选项错误;
对于B选项,若(-1,2)为中点,则==-2,与上面分析矛盾,所以B选项错误;
对于C选项,若(2,4)为中点,则==2,与上面分析矛盾,所以C选项错误;
对于D选项,若(-1,-3)为中点,则==3,所以=,
则直线AB的方程为y+3=(x+1),即y=x-,
由消去y并化简,得20x2+40x-61=0,
此时Δ=402+4×20×61=6 480>0,满足题意,所以D选项正确.
3.A　由双曲线C:x2-=1(m>0),可知a2=1,b2=m,c2=1+m.
设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),
由A,B两点均在双曲线C:x2-=1上,得
则m(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2),
易知x1-x2≠0,且x1+x2≠0,
又P为AB的中点,∴m=·=·,∴kOP·kAB=m.
设直线AB的倾斜角为α,则kAB=tan α=,
∵△OFP是以FP为底边的等腰三角形,∴∠PFO=∠OPF=α,
∴直线OP的倾斜角为2α,则kOP=tan 2α=.
∴kOP·kAB=tan 2α·tan α==m,
将tan α=代入,得m==3.
∴双曲线的离心率e===2.
4.答案　[6,4]
解析　设A(x1,y1),B(x2,y2),若P为线段AB的中点,则x1+x2=8,y1+y2=2t,且直线l的斜率一定存在.因为A,B为双曲线E上的点,所以两式相减并化简可得=,
又直线l的斜率k=,故k=,
易得直线l的方程为y-t=k(x-4),
联立
消去y,整理可得(3-k2)x2-(24-8k2)x-t2+84-16k2=0,
因为直线与双曲线有两个不同的交点,
所以Δ=[-(24-8k2)]2-4(3-k2)(-t2+84-16k2)>0,又k=,故t4-84t2+123>0,所以t>4或0所以不存在直线l使得P是线段AB的中点时,t的取值范围为[6,4].
5.C　不妨设点M在第一象限内,如下图所示:
由图可知,|AM|>|BM|,且|AM|>|AB|,
因为△ABM为等腰三角形,所以|BM|=|AB|=2a,
设△ABM的外接圆的半径为r,r>0,则πr2=3πa2,可得r=a,
在△ABM中,由正弦定理可得=2r,
则sin∠AMB===,即sin∠BAM=,
易知∠BAM为锐角,
则cos∠BAM===,
所以tan∠BAM==×=,即kAM=,
又tan∠xBM=tan 2∠BAM=
==2,所以kBM=2,
所以直线AM的方程为y=(x+a),直线BM的方程为y=2(x-a),
联立解得即点M,
将点M的坐标代入双曲线E的方程可得-=1,可得=2,
因 此双曲线E的离心率e=====.
6.答案　
解析　联立解得或
因为x1由于x1当P距离直线AB最远时,△PAB的面积取得最大值,
设直线2x-y+t=0(t≠-2)与双曲线C相切于P点,
由消去y并化简,得3x2+4tx+t2+1=0,
由Δ=16t2-12(t2+1)=4t2-12=0,解得t=-或t=,
结合图形(图略)可知切线方程为2x-y-=0,
直线2x-y-2=0与直线2x-y-=0的距离为,
所以△PAB的面积的最大值为××=.
7.解析　(1)易得双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,
因为双曲线C:-=1(a>0,b>0)与双曲线-=1有相同的渐近线,所以=,
又因为双曲线C与椭圆+=1有相同的焦点,
所以c2=6-2=4,所以c=2,又因为c2=a2+b2,
所以a=1,b=,所以双曲线C的方程为x2-=1.
(2)由(1)及题意得F2(2,0),由直线l过F2且斜率为1,可得直线l的方程为y=x-2,设A(xA,yA),B(xB,yB),
联立消去y得2x2+4x-7=0,
由根与系数的关系可得xA+xB=-2,xAxB=-,
所以|AB|==×=6,即线段AB的长为6.
(3)若直线l的斜率为0,则l为x轴,A,B与双曲线的两个顶点重合,此时F1,A,B构不成三角形,矛盾,所以直线l的斜率不为0,
设l:x=ty+2,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去x得(3t2-1)y2+12ty+9=0,则即
由根与系数的关系可得y1+y2=-,y1y2=,
则=|F1F2|×|y1-y2|=2|y1-y2|=2=2=12=12,则=1,则t2(9t2-7)=0,解得t2=或t2=0,则t=±或t=0,
故直线AB的方程为x=±y+2或x=2,
即直线AB的方程为3x-y-6=0或3x+y-6=0或x=2.
8.解析　(1)将代入双曲线C的方程,得-=1,
双曲线的渐近线方程为y=±x,即bx±ay=0,取l3:bx+ay=0,l4:bx-ay=0,
则点P到l3的距离d1=,点P到l4的距离d2=.
∵a>0且b>0,
∴|5b+3a|>|5b-3a|,∴d1>d2,
由题意可得d1=4d2,即|5b+3a|=4|5b-3a|,
又-=1>0,
∴5b>3a,故5b+3a=4(5b-3a),解得b=a,
∴-=-==1,解得a2=8,
则双曲线C:-=1.
(2)(i)证明:由题可设l1的方程为y=k1x+m,l2的方程为y=k1x+n,其中k1≠0,m≠n,另设Q(xQ,yQ),
将点P的坐标代入直线l1的方程,得=+m,即m=3-5k1,
联立直线l1和双曲线的方程,消去y,得(-1)x2+2k1mx+m2+8=0,
则xP+xQ=-,①
易得双曲线的渐近线方程为y=±x,
联立解得x=y=-,
则A,
联立解得x=-,y=,
则B,∴=,
又l1∥l2,|AB|=|PQ|,∴=,
于是xQ-xP=,②
①-②,得--=2xP,又xP=,
故n=-k1m-5(-1)=-k1(3-5k1)-5(-1)=5-3k1,
则k2=====,即k1·k2=1,故k1·k2为定值1.
(ii)直线l1与l2之间的距离d===.
由(i)可知四边形ABQP是平行四边形,
而|AB|=·=·,
故四边形ABQP的面积S=|AB|·d=··=5,解得k1=5或k1=,
又k1k2=1,故k1-k2=或k1-k2=.
9.答案　(x-5)2+=
解析　易得双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,
不妨设圆心M(x0,y0)在双曲线C的渐近线y=x上,如图所示,则y0=x0,
因为直线MA平行于另外一条渐近线,所以kMA=-,
又圆M与双曲线C有唯一公共点A(8,1),
故圆M与双曲线C在A(8,1)处的切线重合,
易得双曲线C在A(8,1)处的切线方程为-=1,即y=-b2,
则-·=-1,即=,
因此解得即M,
则圆M的半径r=|MA|==,
所以圆M的方程为(x-5)2+=.
10.解析　(1)由消去x并化简得y2-4y+1=0,则Δ=42-4=12>0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=4,y1y2=1,
所以|PQ|=×=×2=2,即线段PQ的长为2.
(2)设直线F1A与双曲线的另一个交点为B',根据对称性可知=2,
由双曲线-y2=1知a=,b=1,c==,
则F1(-,0),
依题意可知直线F1A的斜率k存在且不为0,
设直线F1A的方程为x=my-,m≠0.
由消去x并化简,得(m2-2)y2-2my+1=0,
设A(x3,y3),B'(x4,y4),则y3+y4=①,y3y4=②,
由=2得(x3+,y3)=2(--x4,-y4)=(-2-2x4,-2y4),所以y3=-2y4③,
将③式分别代入①②,得-y4=,-2=,
消去y4得=,化简得25m2=2,
因此k2==,解得k=±,即直线F1A的斜率为±.
11.解析　(1)由题得直线方程为y=kx+2,
联立消去y得(1-4k2)x2-16kx-20=0,
当1-4k2=0,即k=±时,方程仅有一个实数解,即直线与双曲线C有且只有一个公共点;
当1-4k2≠0,即k≠±时,令Δ=(-16k)2+80(1-4k2)=0,解得k=±,此时直线与双曲线相切,有且只有一个公共点.
综上所述,k=±或k=±.
(2)由题意可设直线l的方程为x=my+3(-2联立消去x得(m2-4)y2+6my+5=0,
则y1+y2=-,y1y2=,
则y1=--y2,
又A1(-2,0),A2(2,0),
所以====
===-,
所以为定值-.