3.3.2.1抛物线的简单几何性质 分层练习（含解析）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 3.3.2.1抛物线的简单几何性质 分层练习（含解析）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 106.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-31 22:40:58 | ||
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文档简介
3.3.2.1 抛物线的简单几何性质 分层练习
基础过关练
题组一 抛物线的简单几何性质
1.(2025陕西榆林期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)经过点M(x0,3),点M到抛物线C的焦点F的距离为3,则抛物线C的准线方程为( )
A.x=- B.x=-3
C.x=-1 D.x=-2
2.(多选题)(2025四川成都模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M到其准线及对称轴的距离分别为10和6,则p的值可取为( )
A.1 B.2 C.9 D.18
3.等腰直角三角形AOB的三个顶点均在抛物线y2=2px(p>0)上,O为抛物线的顶点,且OA⊥OB,则△AOB的面积是( )
A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2
4.(2025安徽阜阳太和中学月考)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,P为C上一点,A(2,1),当△PAF的周长最小时,△PAF的面积为( )
A. B.1 C. D.2
5.(2024江苏常州联盟学校期中)已知O为坐标原点,P(a,0)(a>0),Q为抛物线y2=x上任意一点,且|PQ|≥|PO|恒成立,则实数a的取值范围是 .
6.(2025黑龙江鹤岗一中月考)已知抛物线M:y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,M的准线为l,且与x轴相交于点B,A为M上的一点,AO所在直线与直线l相交于C点,若∠BOC=∠BCF,|AF|=6,则M的标准方程为 .
7.(2025陕西咸阳期中)已知抛物线y2=8x.
(1)写出该抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线方程、对称轴方程,以及x的取值范围;
(2)设O为坐标原点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,其中|OA|=|OB|,若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长.
题组二 抛物线的焦半径与焦点弦
8.(2025北京师范大学附属中学月考)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3的距离为5,则|MF|=( )
A.7 B.6 C.5 D.4
9.(2025山东威海期中)已知抛物线C:y2=12x的焦点为F,A为C上一点且在第一象限内,以F为圆心,FA为半径的圆交C的准线于B,D两点,且A,F,B三点共线,则|AF|=( )
A.16 B.12 C.10 D.8
10.(2025广东广州天河奥林匹克中学月考)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,斜率为k的直线l经过点F,并且与抛物线C交于A,B两点,与y轴交于点M,与抛物线的准线交于点N,若=2,则k=( )
A. B. C.± D.±
能力提升练
题组一 抛物线中与焦点弦有关的问题
1.(2025河北张家口尚义一中月考)如图,直线l经过抛物线y2=8x的焦点F,且与抛物线交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则|AB|=( )
A. B.6 C. D.
2.(2025河南部分学校期中联考)已知F为抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点,△ABC的三个顶点都在E上,且F为△ABC的重心.若|FA|+|FB|的最大值为10,则p=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.(2024河南湘豫名校联考)过抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F的直线l交C于A,B两点,若直线l过点P(1,0),且|AB|=8,则抛物线C的准线方程是( )
A.y=-3 B.y=-2
C.y=- D.y=-1
4.(多选题)(2025重庆荣昌中学月考)已知斜率为的直线l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限内),与抛物线的准线交于点D,若|AB|=8,则以下结论正确的是( )
A.p= B.|AF|=6
C.|BD|=2|BF| D.F为AD的中点
5.定长为3的线段AB的端点A,B均在抛物线y2=x上移动,则AB的中点M到y轴的距离的最小值为 ,此时M的坐标为 .
6.已知直线l过抛物线C:y2=4x的焦点F,且与抛物线交于A,B两点,线段AB的中点为M,过M作MN垂直于抛物线的准线,垂足为N,则+的最小值是 .
题组二 抛物线的几何性质的综合应用
7.(多选题)(2025江西部分高中期中联考)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:y=k(x-2)(k>0)与y轴交于点D,与x轴交于点E,与C在第一、四象限内的交点分别为A,B,坐标原点为O,则下列结论正确的是( )
A.若BF⊥x轴,则|BF|=2
B.若BF⊥x轴,则=1
C.=
D.=
8.(2024四川广安零诊)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F与椭圆+=1的右焦点重合,斜率为k(k>0)的直线l经过点F,且与C的交点为A,B.若|AF|=2|BF|,则直线l的斜率为( )
A.1 B. C. D.2
9.一束光线从抛物线y2=2px(p>0)的焦点F射出,经抛物线上一点B反射后,反射光线所在直线经过点A(5,4),若|AB|+|FB|=6,则抛物线的标准方程为 .
10.(2025黑龙江省实验中学期中)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,P(x0,y0)是抛物线E上异于原点O的一点,过点P且斜率为的直线l与x轴交于M点,与y轴交于N点,则∠MNF= .
答案
基础过关练
1.A 由已知得所以x0=,p=3,
故抛物线C的准线方程为x=-=-.
2.BD 由抛物线y2=2px(p>0)可得准线方程为x=-.设点M(x1,y1),∴=2px1.
∵点M到准线及对称轴的距离分别为10和6,∴x1+=10,y1=±6,结合=2px1,解得x1=1,p=18或x1=9,p=2,即p的值可取为18,2.
3.B 不妨设点A在x轴上方,由抛物线的对称性及题意可知kOA=1,故直线OA的方程为y=x,则A(2p,2p),B(2p,-2p),故S△AOB=×2p×4p=4p2.
4.A 易得F(1,0),准线方程为x=-1.
过P作准线x=-1的垂线,垂足为B,如图所示,
由抛物线的定义知|PF|=|PB|,
所以△PAF的周长为|AF|+|PA|+|PF|=+|PA|+|PB|,要使周长最小,则|PA|+|PB|最小,
易知A,P,B三点共线,即点P在过点A且垂直于直线x=-1的直线上(即图中点P1处)时,|PA|+|PB|最小,
将y=1代入y2=4x,得x=,即点P1,所以|AP1|=2-=,
易知△P1AF在AP1边上的高为1,所以此时△PAF的面积为××1=.
5.答案
解析 设Q(x0,y0),则=x0.
因为|PQ|≥|PO|恒成立,所以=≥a,即-2ax0+x0=x0(x0-2a+1)≥0,
因为x0≥0,所以有x0-2a+1≥0,
故a≤恒成立,故a≤=,
又a>0,所以a的取值范围是.
6.答案 y2=8x
解析 如图,因为∠BOC=∠BCF,∠OBC=∠CBF=90°,所以△OBC∽△CBF,则=,
因为|OB|=,|BF|=p,
所以=,解得|CB|=p(负值舍去),
所以tan∠AOF=tan∠COB==,即直线OA的斜率为,故直线OA的方程为y=x,与抛物线方程联立,得解得或故A(p,p),
所以|AF|=xA+==6,故p=4,则抛物线的标准方程为y2=8x.
7.解析 (1)顶点坐标为(0,0),焦点坐标为(2,0),准线方程为x=-2,对称轴方程为y=0,x的取值范围为[0,+∞).
(2)由|OA|=|OB|可知点A,B关于x轴对称,不妨设A(x1,y1),y1>0,则B(x1,-y1),
若焦点(2,0)是△OAB的重心,则=2,所以x1=3,代入y2=8x,解得y1=2(舍负),
所以|OA|=|OB|=,|AB|=4,所以△OAB的周长为2+4.
8.D 易得抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线方程为x=-2,因为点M在C上,所以M到准线x=-2的距离等于|MF|,
又M到直线x=-3的距离为5,所以M到准线x=-2的距离为5-1=4,所以|MF|=4.
9.B 因为A,F,B三点共线,且A,B,D均在圆F上,所以AB为圆F的一条直径,AD⊥BD.
由抛物线的定义知|AD|=|AF|=|AB|,所以∠ABD=30°.
易知F到准线x=-3的距离为6,所以|AF|=|BF|=2×6=12.
10.D 当A在第一象限内时,设准线x=-与x轴的交点为P,坐标原点为O,过A作准线的垂线,垂足为A',如图,
因为OM∥PN,且O为PF的中点,
所以OM为三角形PFN的中位线,则|FM|=|MN|,
所以=2=,
又根据抛物线的定义知|AF|=|AA'|,
所以|AN|=2|AF|=2|AA'|,
所以在直角三角形AA'N中,∠A'AN=60°,
所以∠AFx=60°,此时k=tan∠AFx=;
根据对称性,可知当A在第四象限内时,k=-.
综上,k=±.
能力提升练
1.C 易得抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),准线方程为x=-2,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则=8x1,=8x2,
由|AF|=3|BF|,得则
解得x1=6,x2=,所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+2+x2+2=x1+x2+4=.
2.D 易知抛物线的准线方程为y=-,焦点为F.分别过点A,B作准线的垂线,垂足为A1,B1,图略,
设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则|FA|+|FB|=|AA1|+|BB1|=y1++y2+=y1+y2+p(*),
因为点F为△ABC的重心,则=,即y1+y2=-y3,代入(*),可得|FA|+|FB|=-y3+p=-y3,
由点C(x3,y3)在抛物线E:x2=2py(p>0)上,知y3≥0,故|FA|+|FB|≤,依题意得=10,解得p=4.
3.D 因为直线l过点F,P(1,0),所以其斜率kPF==-,所以直线l的方程为y=-(x-1),
由消去y,整理可得x2+p2x-p2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-p2,x1x2=-p2,则y1+y2=-(x1+x2-2)=-(-p2-2)=+p,由抛物线的定义可得|AB|=y1+y2+p=+p+p=8,即p3+4p-16=0,即(p-2)(p2+2p+8)=0,解得p=2,
所以抛物线C的准线方程为y=-=-1.
4.BCD 过点A,B作抛物线C的准线(记为m)的垂线,垂足分别为点E,M,如图.
设抛物线C的准线m交x轴于点P,则|PF|=p,
∵直线l的斜率为,∴其倾斜角为60°,∵AE∥x轴,∴∠EAF=60°,连接EF,由抛物线的定义可知,|AE|=|AF|,则△AEF为等边三角形,∴∠EFP=∠AEF=∠AFE=60°,则∠PEF=30°,∵∠EAF=60°,∴∠EDA=30°,设|BD|=x,可得|BM|=,∴|BF|=|BM|=,易得Rt△DBM∽Rt△DAE,则=,∴|AE|=4+,∴|AF|=|AE|=4+,则|AB|=|AF|+|BF|=4++=4+x=8,解得x=4,∴|BF|=2,|AF|=6,∴B正确.
由|AF|=|EF|=2|PF|=2p=6,得p=3,∴A错误.
|BD|=x=4,|BF|==2,故|BD|=2|BF|,∴C正确.
|DF|=|BD|+|BF|=4+2=6=|AF|,∴D正确.
5.答案 ;
解析 设F是抛物线y2=x的焦点,l为其准线,过A,B,M分别作准线的垂线,C,D,N为垂足,连接AF,BF,如图,
则|MN|=(|AC|+|BD|),
根据抛物线的定义得|AC|=|AF|,|BD|=|BF|,
∴|MN|=(|AF|+|BF|)≥=,
设M点的横坐标为x,则|MN|=x+,
∴x=|MN|-≥-=,当且仅当弦AB过点F时取等号,
由于|AB|>2p=1,
∴弦AB可能过焦点,即上述取等号的条件可以满足,此时M点到y轴的距离取得最小值,是,即AB的中点M的横坐标为.
当F在弦AB上时,设A,B的纵坐标分别为y1,y2,则y1y2=-p2=-,从而(y1+y2)2=++2y1y2=x1+x2+2y1y2=2×-=2,∴y1+y2=±,
∴此时M点的坐标为.
6.答案 4
解析 由题意可知,直线l的斜率不为0,故可设直线l:x=my+1,另设A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),
将x=my+1与y2=4x联立,消去x可得y2-4my-4=0,
则y1+y2=4m,y1y2=-4,x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,
所以|AB|=x1+x2+p=4m2+2+2=4(1+m2),yM==2m,xM==1+2m2,故M(1+2m2,2m),
易得准线方程为x=-1,F(1,0),N(-1,2m),
所以|NF|2=(1+1)2+(-2m)2=4(1+m2)=|AB|>4,
所以+=+≥2=4,当且仅当=,即|AB|=8时取等号.
7.ABD 过A,B分别作AM⊥y轴,BN⊥y轴于点M,N,如图所示,
由题意得,F(1,0),E(2,0),
若BF⊥x轴,则xB=1,代入抛物线方程y2=4x,可得yB=-2,则|BF|=2,因此A正确;
若BF⊥x轴,则BF∥y轴,由三角形相似可知,===1,因此B正确;
由BN∥AM可知=,由抛物线的定义知=≠,
所以=≠,因此C错误,D正确.
8.D 因为椭圆的方程为+=1,所以c2=25-16=9,即c=3,所以右焦点为(3,0),
因为抛物线的方程为y2=2px,所以抛物线的焦点为,所以=3,即p=6,所以抛物线的方程为y2=12x,所以直线l的方程为y=k(x-3),抛物线的准线方程为x=-3,易知椭圆的左焦点在准线上,记左焦点为F1,则|F1F|=6.
不妨设A位于第一象限,过点A,B分别作准线x=-3的垂线,垂足为N,M,取AF的中点E,过E作准线的垂线,垂足为H,如图,
由|AF|=2|BF|,得|AB|=3|BF|,又E为AF的中点,所以|AB|=|BE|,所以|FE|=|BF|,即F为BE的中点,设|BF|=m,则|AF|=2m,|BM|=|BF|=m,|AN|=|AF|=2m,所以|EH|==3+m,
所以|F1F|===6,所以m=,所以B点的横坐标为,代入抛物线的方程可知B点的纵坐标为-3,所以B,把B点的坐标代入直线l的方程,得-3=k,即k=2.
9.答案 y2=4x
解析 抛物线具有光学性质,即从焦点出发的光线经抛物线上一点反射后,反射光线平行(或重合)于抛物线的对称轴,∵|AB|+|FB|=6,∴xA-xB+xB+=6,即5+=6,∴p=2,∴抛物线的标准方程为y2=4x.
10.答案 90°
解析 由P(x0,y0)是抛物线E上异于原点O的一点,可得=2px0(x0>0,y0≠0),
由题意知,直线l的方程为y-y0=(x-x0),
即y-y0=,即y=x+,
令y=0,得x=-,令x=0,得y=,
所以M,N,则=,
又F,所以=,
则·=×+×=0,所以⊥,即∠MNF=90°.
基础过关练
题组一 抛物线的简单几何性质
1.(2025陕西榆林期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)经过点M(x0,3),点M到抛物线C的焦点F的距离为3,则抛物线C的准线方程为( )
A.x=- B.x=-3
C.x=-1 D.x=-2
2.(多选题)(2025四川成都模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M到其准线及对称轴的距离分别为10和6,则p的值可取为( )
A.1 B.2 C.9 D.18
3.等腰直角三角形AOB的三个顶点均在抛物线y2=2px(p>0)上,O为抛物线的顶点,且OA⊥OB,则△AOB的面积是( )
A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2
4.(2025安徽阜阳太和中学月考)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,P为C上一点,A(2,1),当△PAF的周长最小时,△PAF的面积为( )
A. B.1 C. D.2
5.(2024江苏常州联盟学校期中)已知O为坐标原点,P(a,0)(a>0),Q为抛物线y2=x上任意一点,且|PQ|≥|PO|恒成立,则实数a的取值范围是 .
6.(2025黑龙江鹤岗一中月考)已知抛物线M:y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,M的准线为l,且与x轴相交于点B,A为M上的一点,AO所在直线与直线l相交于C点,若∠BOC=∠BCF,|AF|=6,则M的标准方程为 .
7.(2025陕西咸阳期中)已知抛物线y2=8x.
(1)写出该抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线方程、对称轴方程,以及x的取值范围;
(2)设O为坐标原点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,其中|OA|=|OB|,若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长.
题组二 抛物线的焦半径与焦点弦
8.(2025北京师范大学附属中学月考)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3的距离为5,则|MF|=( )
A.7 B.6 C.5 D.4
9.(2025山东威海期中)已知抛物线C:y2=12x的焦点为F,A为C上一点且在第一象限内,以F为圆心,FA为半径的圆交C的准线于B,D两点,且A,F,B三点共线,则|AF|=( )
A.16 B.12 C.10 D.8
10.(2025广东广州天河奥林匹克中学月考)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,斜率为k的直线l经过点F,并且与抛物线C交于A,B两点,与y轴交于点M,与抛物线的准线交于点N,若=2,则k=( )
A. B. C.± D.±
能力提升练
题组一 抛物线中与焦点弦有关的问题
1.(2025河北张家口尚义一中月考)如图,直线l经过抛物线y2=8x的焦点F,且与抛物线交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则|AB|=( )
A. B.6 C. D.
2.(2025河南部分学校期中联考)已知F为抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点,△ABC的三个顶点都在E上,且F为△ABC的重心.若|FA|+|FB|的最大值为10,则p=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.(2024河南湘豫名校联考)过抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F的直线l交C于A,B两点,若直线l过点P(1,0),且|AB|=8,则抛物线C的准线方程是( )
A.y=-3 B.y=-2
C.y=- D.y=-1
4.(多选题)(2025重庆荣昌中学月考)已知斜率为的直线l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限内),与抛物线的准线交于点D,若|AB|=8,则以下结论正确的是( )
A.p= B.|AF|=6
C.|BD|=2|BF| D.F为AD的中点
5.定长为3的线段AB的端点A,B均在抛物线y2=x上移动,则AB的中点M到y轴的距离的最小值为 ,此时M的坐标为 .
6.已知直线l过抛物线C:y2=4x的焦点F,且与抛物线交于A,B两点,线段AB的中点为M,过M作MN垂直于抛物线的准线,垂足为N,则+的最小值是 .
题组二 抛物线的几何性质的综合应用
7.(多选题)(2025江西部分高中期中联考)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:y=k(x-2)(k>0)与y轴交于点D,与x轴交于点E,与C在第一、四象限内的交点分别为A,B,坐标原点为O,则下列结论正确的是( )
A.若BF⊥x轴,则|BF|=2
B.若BF⊥x轴,则=1
C.=
D.=
8.(2024四川广安零诊)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F与椭圆+=1的右焦点重合,斜率为k(k>0)的直线l经过点F,且与C的交点为A,B.若|AF|=2|BF|,则直线l的斜率为( )
A.1 B. C. D.2
9.一束光线从抛物线y2=2px(p>0)的焦点F射出,经抛物线上一点B反射后,反射光线所在直线经过点A(5,4),若|AB|+|FB|=6,则抛物线的标准方程为 .
10.(2025黑龙江省实验中学期中)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,P(x0,y0)是抛物线E上异于原点O的一点,过点P且斜率为的直线l与x轴交于M点,与y轴交于N点,则∠MNF= .
答案
基础过关练
1.A 由已知得所以x0=,p=3,
故抛物线C的准线方程为x=-=-.
2.BD 由抛物线y2=2px(p>0)可得准线方程为x=-.设点M(x1,y1),∴=2px1.
∵点M到准线及对称轴的距离分别为10和6,∴x1+=10,y1=±6,结合=2px1,解得x1=1,p=18或x1=9,p=2,即p的值可取为18,2.
3.B 不妨设点A在x轴上方,由抛物线的对称性及题意可知kOA=1,故直线OA的方程为y=x,则A(2p,2p),B(2p,-2p),故S△AOB=×2p×4p=4p2.
4.A 易得F(1,0),准线方程为x=-1.
过P作准线x=-1的垂线,垂足为B,如图所示,
由抛物线的定义知|PF|=|PB|,
所以△PAF的周长为|AF|+|PA|+|PF|=+|PA|+|PB|,要使周长最小,则|PA|+|PB|最小,
易知A,P,B三点共线,即点P在过点A且垂直于直线x=-1的直线上(即图中点P1处)时,|PA|+|PB|最小,
将y=1代入y2=4x,得x=,即点P1,所以|AP1|=2-=,
易知△P1AF在AP1边上的高为1,所以此时△PAF的面积为××1=.
5.答案
解析 设Q(x0,y0),则=x0.
因为|PQ|≥|PO|恒成立,所以=≥a,即-2ax0+x0=x0(x0-2a+1)≥0,
因为x0≥0,所以有x0-2a+1≥0,
故a≤恒成立,故a≤=,
又a>0,所以a的取值范围是.
6.答案 y2=8x
解析 如图,因为∠BOC=∠BCF,∠OBC=∠CBF=90°,所以△OBC∽△CBF,则=,
因为|OB|=,|BF|=p,
所以=,解得|CB|=p(负值舍去),
所以tan∠AOF=tan∠COB==,即直线OA的斜率为,故直线OA的方程为y=x,与抛物线方程联立,得解得或故A(p,p),
所以|AF|=xA+==6,故p=4,则抛物线的标准方程为y2=8x.
7.解析 (1)顶点坐标为(0,0),焦点坐标为(2,0),准线方程为x=-2,对称轴方程为y=0,x的取值范围为[0,+∞).
(2)由|OA|=|OB|可知点A,B关于x轴对称,不妨设A(x1,y1),y1>0,则B(x1,-y1),
若焦点(2,0)是△OAB的重心,则=2,所以x1=3,代入y2=8x,解得y1=2(舍负),
所以|OA|=|OB|=,|AB|=4,所以△OAB的周长为2+4.
8.D 易得抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线方程为x=-2,因为点M在C上,所以M到准线x=-2的距离等于|MF|,
又M到直线x=-3的距离为5,所以M到准线x=-2的距离为5-1=4,所以|MF|=4.
9.B 因为A,F,B三点共线,且A,B,D均在圆F上,所以AB为圆F的一条直径,AD⊥BD.
由抛物线的定义知|AD|=|AF|=|AB|,所以∠ABD=30°.
易知F到准线x=-3的距离为6,所以|AF|=|BF|=2×6=12.
10.D 当A在第一象限内时,设准线x=-与x轴的交点为P,坐标原点为O,过A作准线的垂线,垂足为A',如图,
因为OM∥PN,且O为PF的中点,
所以OM为三角形PFN的中位线,则|FM|=|MN|,
所以=2=,
又根据抛物线的定义知|AF|=|AA'|,
所以|AN|=2|AF|=2|AA'|,
所以在直角三角形AA'N中,∠A'AN=60°,
所以∠AFx=60°,此时k=tan∠AFx=;
根据对称性,可知当A在第四象限内时,k=-.
综上,k=±.
能力提升练
1.C 易得抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),准线方程为x=-2,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则=8x1,=8x2,
由|AF|=3|BF|,得则
解得x1=6,x2=,所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+2+x2+2=x1+x2+4=.
2.D 易知抛物线的准线方程为y=-,焦点为F.分别过点A,B作准线的垂线,垂足为A1,B1,图略,
设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则|FA|+|FB|=|AA1|+|BB1|=y1++y2+=y1+y2+p(*),
因为点F为△ABC的重心,则=,即y1+y2=-y3,代入(*),可得|FA|+|FB|=-y3+p=-y3,
由点C(x3,y3)在抛物线E:x2=2py(p>0)上,知y3≥0,故|FA|+|FB|≤,依题意得=10,解得p=4.
3.D 因为直线l过点F,P(1,0),所以其斜率kPF==-,所以直线l的方程为y=-(x-1),
由消去y,整理可得x2+p2x-p2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-p2,x1x2=-p2,则y1+y2=-(x1+x2-2)=-(-p2-2)=+p,由抛物线的定义可得|AB|=y1+y2+p=+p+p=8,即p3+4p-16=0,即(p-2)(p2+2p+8)=0,解得p=2,
所以抛物线C的准线方程为y=-=-1.
4.BCD 过点A,B作抛物线C的准线(记为m)的垂线,垂足分别为点E,M,如图.
设抛物线C的准线m交x轴于点P,则|PF|=p,
∵直线l的斜率为,∴其倾斜角为60°,∵AE∥x轴,∴∠EAF=60°,连接EF,由抛物线的定义可知,|AE|=|AF|,则△AEF为等边三角形,∴∠EFP=∠AEF=∠AFE=60°,则∠PEF=30°,∵∠EAF=60°,∴∠EDA=30°,设|BD|=x,可得|BM|=,∴|BF|=|BM|=,易得Rt△DBM∽Rt△DAE,则=,∴|AE|=4+,∴|AF|=|AE|=4+,则|AB|=|AF|+|BF|=4++=4+x=8,解得x=4,∴|BF|=2,|AF|=6,∴B正确.
由|AF|=|EF|=2|PF|=2p=6,得p=3,∴A错误.
|BD|=x=4,|BF|==2,故|BD|=2|BF|,∴C正确.
|DF|=|BD|+|BF|=4+2=6=|AF|,∴D正确.
5.答案 ;
解析 设F是抛物线y2=x的焦点,l为其准线,过A,B,M分别作准线的垂线,C,D,N为垂足,连接AF,BF,如图,
则|MN|=(|AC|+|BD|),
根据抛物线的定义得|AC|=|AF|,|BD|=|BF|,
∴|MN|=(|AF|+|BF|)≥=,
设M点的横坐标为x,则|MN|=x+,
∴x=|MN|-≥-=,当且仅当弦AB过点F时取等号,
由于|AB|>2p=1,
∴弦AB可能过焦点,即上述取等号的条件可以满足,此时M点到y轴的距离取得最小值,是,即AB的中点M的横坐标为.
当F在弦AB上时,设A,B的纵坐标分别为y1,y2,则y1y2=-p2=-,从而(y1+y2)2=++2y1y2=x1+x2+2y1y2=2×-=2,∴y1+y2=±,
∴此时M点的坐标为.
6.答案 4
解析 由题意可知,直线l的斜率不为0,故可设直线l:x=my+1,另设A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),
将x=my+1与y2=4x联立,消去x可得y2-4my-4=0,
则y1+y2=4m,y1y2=-4,x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,
所以|AB|=x1+x2+p=4m2+2+2=4(1+m2),yM==2m,xM==1+2m2,故M(1+2m2,2m),
易得准线方程为x=-1,F(1,0),N(-1,2m),
所以|NF|2=(1+1)2+(-2m)2=4(1+m2)=|AB|>4,
所以+=+≥2=4,当且仅当=,即|AB|=8时取等号.
7.ABD 过A,B分别作AM⊥y轴,BN⊥y轴于点M,N,如图所示,
由题意得,F(1,0),E(2,0),
若BF⊥x轴,则xB=1,代入抛物线方程y2=4x,可得yB=-2,则|BF|=2,因此A正确;
若BF⊥x轴,则BF∥y轴,由三角形相似可知,===1,因此B正确;
由BN∥AM可知=,由抛物线的定义知=≠,
所以=≠,因此C错误,D正确.
8.D 因为椭圆的方程为+=1,所以c2=25-16=9,即c=3,所以右焦点为(3,0),
因为抛物线的方程为y2=2px,所以抛物线的焦点为,所以=3,即p=6,所以抛物线的方程为y2=12x,所以直线l的方程为y=k(x-3),抛物线的准线方程为x=-3,易知椭圆的左焦点在准线上,记左焦点为F1,则|F1F|=6.
不妨设A位于第一象限,过点A,B分别作准线x=-3的垂线,垂足为N,M,取AF的中点E,过E作准线的垂线,垂足为H,如图,
由|AF|=2|BF|,得|AB|=3|BF|,又E为AF的中点,所以|AB|=|BE|,所以|FE|=|BF|,即F为BE的中点,设|BF|=m,则|AF|=2m,|BM|=|BF|=m,|AN|=|AF|=2m,所以|EH|==3+m,
所以|F1F|===6,所以m=,所以B点的横坐标为,代入抛物线的方程可知B点的纵坐标为-3,所以B,把B点的坐标代入直线l的方程,得-3=k,即k=2.
9.答案 y2=4x
解析 抛物线具有光学性质,即从焦点出发的光线经抛物线上一点反射后,反射光线平行(或重合)于抛物线的对称轴,∵|AB|+|FB|=6,∴xA-xB+xB+=6,即5+=6,∴p=2,∴抛物线的标准方程为y2=4x.
10.答案 90°
解析 由P(x0,y0)是抛物线E上异于原点O的一点,可得=2px0(x0>0,y0≠0),
由题意知,直线l的方程为y-y0=(x-x0),
即y-y0=,即y=x+,
令y=0,得x=-,令x=0,得y=,
所以M,N,则=,
又F,所以=,
则·=×+×=0,所以⊥,即∠MNF=90°.