3.3.2.2直线与抛物线的位置关系 分层练习（含解析）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 3.3.2.2直线与抛物线的位置关系 分层练习（含解析）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 125.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-31 22:41:30 | ||
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文档简介
3.3.2.2 直线与抛物线的位置关系 分层练习
基础过关练
题组一 直线与抛物线的位置关系
1.(多选题)(2025重庆渝高中学校期中)已知抛物线C过点A(1,-4),则( )
A.拋物线C的标准方程可能为y2=16x
B.抛物线C的标准方程可能为x2=-y
C.过点A且与抛物线只有一个公共点的直线有一条
D.过点A且与抛物线只有一个公共点的直线有两条
2.(多选题)(2024陕西学林高中系列期中联考)过点(1,0)且与抛物线C:x2=4y只有一个交点的直线的方程可能是( )
A.x=1 B.y=0
C.x-y-1=0 D.x+y-1=0
3.(多选题)(2025广西南宁三中月考)已知点A(1,2)在抛物线y2=2px(p>0)上,F为抛物线的焦点,Q(-1,0),则下列说法正确的是( )
A.p=2
B.点F的坐标为(2,0)
C.直线AQ与抛物线相切
D.AF⊥AQ
4.已知直线y=(a+1)x-1与曲线y2=ax恰有一个公共点,则实数a的值为 .
5.(2025浙江杭州淳安汾口中学月考)在平面直角坐标系Oxy中,点P到点(,0)的距离与到直线x=-的距离相等,记动点P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)若直线l与C相切于点M,点M的纵坐标为2,求直线l的方程.
题组二 弦长及中点弦问题
6.(2024广东中山中学月考)已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为-2且经过焦点F的直线l交该抛物线于M,N两点,若|MN|=,则该抛物线的方程是( )
A.y2=x B.y2=2x
C.y2=4x D.y2=6x
7.(2025河南郑州期中)已知抛物线C:y2=4x,直线l与抛物线C相交于A,B两点.若线段AB的中点为(2,1),则直线l的方程为( )
A.y=2x-3 B.y=3x-5
C.y=x-3 D.y=x-1
8.(2025陕西安康中学月考)过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线交C于M,N两点,过点M作该抛物线准线的垂线,垂足为P,若△PMF是正三角形,则|MN|=( )
A. B. C. D.2
9.(2025湖南长沙明德中学月考)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,准线为l,过点F且倾斜角为30°的直线m与抛物线C的一个交点为M(M位于y轴的右侧),过点M作MN⊥l,垂足为N,连接NF,交抛物线C于点Q(Q在线段NF上),则=( )
A. B. C. D.
10.(2024河南漯河高级中学月考)已知直线l与抛物线y2=2x交于两点A,B,与x轴、y轴分别交于点P,Q,且A为线段PQ的中点.若|QA||PB|=,则直线l的方程为 .
11.(2025广东中山一中段考)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=-1.
(1)求抛物线C的方程;
(2)已知直线l:y=x-1交抛物线C于A,B两点,求弦长|AB|.
12.(2024陕西西安期中)已知抛物线C:x2=-2py(p>0)的焦点为F,P(x0,-6)是抛物线C上的点,且|PF|=9.
(1)求抛物线C的方程;
(2)已知直线l交抛物线C于M,N两点,且MN的中点为(3,-6),求直线l的方程.
13.(2024辽宁抚顺六校期中联考)已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,点P在C上,点Q满足=2,点Q的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)过点F的直线l与曲线E交于M,N两点,且|MN|=4,求直线l的方程.
14.(2025陕西延安期中)已知P是抛物线y2=16x上的动点,过点P作x轴的垂线段,垂足为M,记垂线段PM的中点为Q(当点P经过抛物线与x轴的交点时,规定P与Q重合).
(1)求点Q的轨迹方程;
(2)过点F(1,0)作直线l与点Q的轨迹交于A,B两点,若△AOB的面积为(O为坐标原点),求直线l的方程.
能力提升练
题组 直线与抛物线的综合应用
1.(2025广东深圳期中)已知抛物线y2=4x,则抛物线上一点P到直线x-y+5=0的距离的最小值为( )
A.2 B.4 C. D.5
2.(2025山东聊城期中)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,过点F的直线与C相交于M,N两点,则2|MF|+|NF|的最小值为( )
A. B.4 C. D.3
3.(2025浙江杭州期中)已知抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点F在x轴上,过点(2,0)的直线交C于P,Q两点,且OP⊥OQ,线段PQ的中点为M,则直线MF的斜率的最大值为( )
A. B. C. D.1
4.(多选题)(2025浙江台金七校联盟期中)已知抛物线E:y2=8x的焦点为F,点F与点C关于原点对称,过点C的直线l与抛物线E交于A,B两点(点A和点C在点B的两侧),则下列命题正确的是( )
A.|BF|<4
B.若BF为△ACF的中线,则|AF|=|BF|
C.存在直线l,使得|AC|=|AF|
D.对于任意直线l,都有|AF|+|BF|>2|CF|
5.(2024四川成都七中月考)如图,抛物线Γ1的顶点为A,焦点为F,准线为l1,焦准距为4;抛物线Γ2的顶点为B,焦点也为F,准线为l2,焦准距为6.Γ1和Γ2交于P,Q两点,分别过P,Q作直线与两准线垂直,垂足分别为M,N,T,S,过F的动直线与封闭曲线APBQ交于C,D两点,有下列说法:①|AB|=5;②四边形MNST的面积为100;③·=0;④|CD|的取值范围为.其中正确的是( )
A.①②④ B.①③④ C.②③ D.①③
6.(2024湖北武汉硚口月考)已知直线AB是曲线y=-及抛物线y2=2px(p>0)的公切线,切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2)(x2>0),则x1y1= ,若|AB|=,则p= .
7.(2025北京师范大学附属中学月考)已知F是抛物线E:y2=4x的焦点,过点F且斜率为k的直线l与抛物线E交于A,B两点,M是线段AB的中点.
(1)当k=1时,求|AB|与M的坐标;
(2)已知O为坐标原点,记直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,若k1+k2=1,求直线l的方程.
8.(2025河南南阳期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(4,y0)(y0>0)在抛物线C上,且|PF|=5.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点Q(1,-4)的直线与抛物线C交于A,B两点(均不与点P重合),设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,那么k1k2是不是定值 若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
9.(2025黑龙江哈尔滨期中)已知动圆Q经过点F(1,0)且与直线x=-1相切,记圆心Q的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)设过点F且斜率为正的直线l交曲线C于A,B两点(点A在点B的上方),AB的中点为M.
①过M,B作直线x=-1的垂线,垂足分别为M1,B1,试证明:AM1∥FB1;
②设线段AB的垂直平分线交x轴于点P,若△FPM的面积为4,求直线l的方程.
10.(2024四川成都树德中学月考)已知抛物线C:y2=4x,点P(4,4).
(1)设斜率为1的直线l与抛物线C交于A,B两点,若△PAB的面积为2,求直线l的方程;
(2)是否存在定圆M:(x-m)2+y2=4,使得过曲线C上任意一点Q作圆M的两条切线,与曲线C交于另外两点S,T时,总有直线ST也与圆M相切 若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
答案
基础过关练
1.ABD 对于A,当抛物线开口向右时,设抛物线的方程为y2=2px(p>0),将(1,-4)代入,解得p=8,则拋物线C的方程为y2=16x,因此A正确;
对于B,当抛物线开口向下时,设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),将(1,-4)代入,解得p=,则抛物线C的方程为x2=-y,因此B正确;
对于C,D,过点A且与抛物线的对称轴平行的直线,以及抛物线在点A处的切线都与抛物线只有一个公共点,因此C错误,D正确.
2.ABC 抛物线C:x2=4y的对称轴为直线x=0.
当所求直线与抛物线的对称轴平行时,其方程为x=1,此时直线与抛物线只有一个交点,成立;
当所求直线与抛物线的对称轴不平行时,可知直线斜率存在,设直线方程为y=k(x-1),
联立消去y,得x2-4kx+4k=0,
由直线与抛物线只有一个交点,可知Δ=(-4k)2-4×4k=16k2-16k=0,解得k=0或k=1,
所以直线方程为y=0或y=x-1,即y=0或x-y-1=0.
综上所述,所求直线方程为x=1或y=0或x-y-1=0.
3.AC 将(1,2)代入y2=2px可得4=2p,故p=2,则F(1,0),故A正确,B错误;
易得kAQ=1,则直线AQ的方程为y=x+1,联立消去y,得x2-2x+1=0,则Δ=0,因此直线AQ与抛物线相切,C正确;
由于AF⊥x轴,AQ所在直线不与x轴平行或重合,所以AF⊥AQ不成立,因此D错误.
4.答案 0或-1或-
解析 当a=0时,曲线y2=ax为直线y=0,直线y=(a+1)x-1即y=x-1,显然直线y=x-1与y=0有唯一公共点(1,0),因此a=0满足题意.
当a≠0时,由消去y并整理,得(a+1)2x2-(3a+2)x+1=0,
当a=-1时,x=-1,y=-1,此时直线y=-1与曲线y2=-x有唯一公共点(-1,-1),因此a=-1满足题意;
当a≠-1时,Δ=[-(3a+2)]2-4(a+1)2=5a2+4a=0,则a=-,
此时直线y=x-1与曲线y2=-x相切,有唯一公共点,因此a=-满足题意.
所以实数a的值为0或-1或-.
5.解析 (1)因为点P到定点(,0)的距离与到定直线x=-的距离相等,且定点(,0)不在定直线x=-上,所以P点的轨迹为抛物线,且开口向右,
设其方程为y2=2px(p>0),则p=2,
因此P点的轨迹方程为y2=4x,即C的方程为y2=4x.
(2)设M(x0,2),将(x0,2)代入C的方程y2=4x,解得x0=,设直线l的方程为x=m(y-2)+,
联立消去x,得y2-4my+8m-4=0,
由直线l与C相切,可得Δ=48m2-32m+16=0,
即16(m-1)2=0,解得m=(二重根),则直线l的方程为x=(y-2)+,即x-y+1=0.
6.B 由题可得直线MN的方程为y=-2,即y=-2x+p,
与抛物线方程联立,消去y可得4x2-6px+p2=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=p,x1x2=,
故|MN|=·=p=(速解),
解得p=1,则该抛物线的方程是y2=2x.
7.A 解法一:易知直线l的斜率不为0,设其方程为x-2=m(y-1),另设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立
整理可得y2-4my+4m-8=0,
由中点为(2,1)可得y1+y2=4m=2,可得m=,
因此直线l的方程为x-2=(y-1),即y=2x-3.
解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),由点A,B在抛物线上得因此(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2),
又y1+y2=2,所以kAB==2,
因此直线l的方程为y-1=2(x-2),即y=2x-3.
8.B 设M(x1,y1),N(x2,y2),M位于第一象限,直线MN的倾斜角为θ,θ∈[0,π),
根据△PMF是正三角形得θ=∠PMF=60°,因此直线MN的斜率为.
因为F(1,0),所以直线MN:y=(x-1),
由得3x2-10x+3=0,
则x1+x2=,所以|MN|=x1+x2+p=+2=.
9.B 易得抛物线C:x2=4y的焦点为F(0,1),准线方程为y=-1,直线m的方程为y=x+1,
如图所示:
联立整理可得x2-x-4=0,解得x=2或x=-,由题知xM=2,代入y=x+1得yM=3,即M(2,3),所以|MF|=|MN|=3+1=4,
由直线m的倾斜角为30°,可得∠FMN=60°,所以△FMN为正三角形,则|NF|=4,
易得直线FN的方程为y=-x+1,
联立整理可得x2+x-4=0,解得x=-2或x=,由题知xQ=,代入y=-x+1,得yQ=,即Q,
所以|QF|=+1=,|NQ|=|NF|-|FQ|=4-=,
所以==.
10.答案 y=-2x+2或y=2x-2
解析 由题意可知,直线l的斜率存在且不为0,
设直线l的方程为y=kx+b(k≠0,b≠0),则P,Q(0,b),
由A为线段PQ的中点,得A,又A在抛物线y2=2x上,∴=2×,即kb=-4.①
不妨设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y,得k2x2+(2kb-2)x+b2=0,令Δ>0,则kb<,
由根与系数的关系知x1+x2=-,x1x2=,
∴x2=,y2=,即B.
∵|QA||PB|=,且Q,A,P,B四点共线,与同向,∴·=+=,②
由①②可得或
∴直线l的方程为y=-2x+2或y=2x-2.
11.解析 (1)由抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=-1,得=1,∴p=2.∴抛物线C的方程为y2=4x.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去y,得x2-6x+1=0,
则Δ=36-4=32>0,x1+x2=6,x1x2=1.
易得抛物线y2=4x的焦点为(1,0),直线l经过抛物线C的焦点,∴|AB|=x1+x2+2=8.
12.解析 (1)由抛物线的定义可知|PF|=6+=9,
所以p=6,故抛物线C的方程为x2=-12y.
(2)易知直线l的斜率存在,设其为k,
另设M(x1,y1),N(x2,y2),
则两式相减得-=-12(y1-y2),
整理得=-,
因为MN的中点为(3,-6),所以x1+x2=6,
所以k==-=-,
所以直线l的方程为y+6=-(x-3),即x+2y+9=0.
13.解析 (1)由题意得F(1,0),设Q(x,y),
则=(1-x,-y),=2=(2-2x,-2y),
所以(x-xP,y-yP)=(2-2x,-2y),即xP=3x-2,yP=3y,所以P(3x-2,3y),
由P在抛物线C上可得(3y)2=4(3x-2),即9y2=12x-8,则曲线E的方程为9y2=12x-8.
(2)显然当直线l的斜率为0时,它与曲线E只有一个交点,不符合题意,故可设直线l的方程为x=my+1,
另设M(x1,y1),N(x2,y2),
联立消去x得9y2-12my-4=0,
则Δ=144m2+144>0,y1+y2=,y1y2=-,
所以|MN|==·=·=(m2+1)=4,所以m=或m=-.
所以直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.
14.解析 (1)设Q的坐标为(x,y),则P的坐标为(x,2y),
又P点在抛物线y2=16x上,故(2y)2=16x,即y2=4x,即点Q的轨迹方程为y2=4x.
(2)设直线l的方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去x得y2-4my-4=0,则Δ=16m2+16>0,y1+y2=4m,y1y2=-4,
则S△AOB=|OF||y1-y2|===,解得m=±,
所以直线l的方程为x=±y+1,即y=±(x-1).
能力提升练
1.A 解法一:易知直线x-y+5=0与抛物线相离,则当平行于直线x-y+5=0的直线与抛物线相切,且P为切点时,P点到直线x-y+5=0的距离最小,
设切线方程为x-y+m=0,m≠5,
由消去x,可得y2-4y+4m=0,
所以Δ=16-16m=0,解得m=1,
因此即P(1,2),所以点P到直线x-y+5=0的距离d==2.
解法二:设P(y∈R)为抛物线上的任一点,
则点P到直线x-y+5=0的距离d==[(y-2)2+16],
因此,当y=2,即P(1,2)时,点P到直线x-y+5=0的距离最小,最小值为2.
2.A 由抛物线C的方程为x2=4y,知焦点为F(0,1),
由题知过点F的直线的斜率存在,设其方程为y=kx+1,另设M(x1,y1),N(x2,y2),
联立消去y,整理得x2-4kx-4=0,则x1+x2=4k,x1x2=-4,
因此y1y2=·=1,
又|MF|=y1+=y1+1,|NF|=y2+=y2+1,
故2|MF|+|NF|=2(y1+1)+(y2+1)=2y1+y2+≥2+=,
当且仅当y1=,y2=2时等号成立,因此2|MF|+|NF|的最小值为.
3.A 依题意知,抛物线C的焦点在x轴的正半轴上,设C的方程为y2=2px,p>0,
显然直线PQ不垂直于y轴,设直线PQ的方程为x=ty+2,P,Q,
由消去x得y2-2pty-4p=0,则有y1y2=-4p,
由OP⊥OQ得·=·+y1y2=4-4p=0,解得p=1,则抛物线C:y2=2x,其焦点为F,
弦PQ的中点M的纵坐标为==t,
将y=t代入x=ty+2得x=t2+2,则点M(t2+2,t),
则直线MF的斜率k==,若要k最大,则必有t>0,则k==≤=,
当且仅当2t=,即t=时取等号,所以直线MF的斜率的最大值为.
4.AD 抛物线E:y2=8x的焦点为F(2,0),准线方程为x=-2,因此C(-2,0).
过A,B作准线x=-2的垂线,垂足分别为A1,B1,
设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意可得x1>x2.
对于A,由抛物线的定义知|BF|=x2+2,|AF|=x1+2,
易知直线l的斜率存在且不为0,结合对称性不妨设其方程为y=k(x+2),k>0,
由消去x可得ky2-8y+16k=0,则y1y2=16,从而x1x2=·=4,则x1=,
因为x1>x2,所以>x2,所以0所以|BF|=x2+2<4,
因此A正确;
对于B,若BF为△ACF的中线,则B为AC的中点,
又BB1∥AA1,所以BB1为△CAA1的中位线,
则|AA1|=2|BB1|,即|AF|=2|BF|,因此B错误;
对于C,若存在直线l,使得|AC|=|AF|,即|AC|=|AA1|,
则cos∠A1AC==,即∠A1AC=45°,
所以直线l的斜率为1,方程为y=x+2,
与抛物线方程联立,消去x,可得y2-8y+16=0,因为Δ=(-8)2-4×1×16=0,所以此时直线l与抛物线E相切,与题干矛盾,因此C错误;
对于D,因为|AF|+|BF|=x1+x2+4>2+4=8,2|CF|=8,所以|AF|+|BF|>2|CF|恒成立,因此D正确.
5.B 不妨以抛物线Γ1的顶点A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
因为抛物线Γ1的顶点为A,焦点为F,准线为l1,焦准距为4,所以|AF|=2,则抛物线Γ1的标准方程为y2=8x.
因为抛物线Γ2的顶点为B,焦点也为F,准线为l2,焦准距为6,所以|BF|=3,则|AB|=2+3=5,故①正确.
结合图象的平移变换可知抛物线Γ2的方程为y2=-12(x-5),因为Γ1和Γ2交于P,Q两点,所以联立解得故P(3,2),Q(3,-2),
从而可得M(-2,2),N(8,2),S(8,-2),T(-2,-2),
则四边形MNST的面积为10×4=40,故②错误.
又F(2,0),故=(-4,-2),=(6,-2),
易知·=0,故③正确.
由抛物线的对称性,不妨设点D位于封闭曲线APBQ在x轴上方的部分,C在直线l1上的射影为C1,D在直线l2上的射影为D1,连接CC1,DD1,
当点D在抛物线Γ2的曲线段BP上,点C在抛物线Γ1的曲线段AQ上时,由抛物线的定义可知,|CD|=|CF|+|DF|=|CC1|+|DD1|,
故当C,D分别与A,B重合时,|CD|最小,最小值为5,
当D与P重合,点C在抛物线Γ1的曲线段AQ上时,
因为P(3,2),F(2,0),所以直线CD的方程为y=(x-2),即y=2(x-2),
联立消去y并整理,得3x2-13x+12=0,不妨设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=,
所以|CD|=x1+x2+4=,所以|CD|∈;
当点D在抛物线Γ1的曲线段PA上,点C在抛物线Γ1的曲线段AQ上时,
不妨设直线CD的方程为x=ty+2,
联立消去x并整理,得y2-8ty-16=0,
不妨设C(x3,y3),D(x4,y4),则y3+y4=8t,
所以|CD|=x3+x4+4=t(y3+y4)+8=8t2+8≥8,
当t=0,即CD⊥AB时,等号成立,
由抛物线的对称性可知|CD|∈;
当点D在抛物线Γ1的曲线段PA上,点C在抛物线Γ2的曲线段QB上时,
由抛物线的对称性可知|CD|∈.
综上,|CD|∈,故④正确.
故说法正确的有①③④.
6.答案 -1;或8
解析 易知直线AB的斜率存在,不妨设直线AB的方程为y=kx+b,
联立消去y并整理,得kx2+bx+1=0,此时k≠0,由Δ1=b2-4k=0,解得k=,
代入kx2+bx+1=0,得b2x2+4bx+4=0,解得x=-(二重根),则A,则x1y1=-×=-1.
联立消去y并整理,得k2x2+(2kb-2p)x+b2=0,此时k≠0,由Δ2=(2kb-2p)2-4k2b2=0,解得p=2kb,代入k2x2+(2kb-2p)x+b2=0,得k2x2-2kbx+b2=0,解得x=(二重根),所以y=k·+b=2b,则B,
若|AB|=,则+=,
又k=,故b2=2或b2=8,
因为p=2kb,且p>0,k=,所以b>0,
当b2=2,即b=时,p=2kb=2××b=;
当b2=8,即b=2时,p=2kb=2××b=8.
7.解析 (1)抛物线E:y2=4x的焦点为F(1,0),
当k=1时,直线l:y=x-1,
联立消去y得x2-6x+1=0,则Δ=32>0,
设点A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),
所以x1+x2=6,x1x2=1,
由焦点弦的弦长公式得|AB|=x1+x2+2=8.
易得x0===3,y0=x0-1=3-1=2,所以中点M的坐标为(3,2).
(2)易得直线l:y=k(x-1),
联立消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
则Δ=16(k2+1)>0,设点A(x'1,y'1),B(x'2,y'2),
所以x'1+x'2=,x'1x'2=1,
因为x'1y'2+x'2y'1=2kx'1x'2-k(x'1+x'2)=-,
所以k1+k2=+==-=1,
解得k=-4,因此l的方程为y=-4x+4.
8.解析 (1)由抛物线的定义可知|PF|=xP+,
所以4+=5,则p=2,因此抛物线C的方程为y2=4x.
(2)由(1)得C:y2=4x.由P(4,y0)(y0>0)在抛物线上,得=16,故y0=4,即P(4,4),
显然,过点Q(1,-4)且与抛物线相交于A,B两点的直线的斜率不为0,设直线AB的方程为x=m(y+4)+1,A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠4,x2≠4.
由消去x,得y2-4my-16m-4=0,
则Δ=16m2-4(-16m-4)=16(m2+4m+1)>0,解得m>-2或m<--2,
由根与系数的关系可得y1+y2=4m,y1y2=-16m-4,
故x1+x2=m(y1+y2+8)+2=4m2+8m+2,
x1x2=(my1+4m+1)(my2+4m+1)=m2y1y2+m(4m+1)(y1+y2)+(4m+1)2=16m2+8m+1,
又k1=,k2=,
所以k1k2=·=
===,
故k1k2为定值.
9.解析 (1)依题意可得,圆心Q到定点F(1,0)的距离等于到定直线x=-1的距离,且定点F(1,0)不在定直线x=-1上,
所以圆心Q的轨迹是以F(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线,
设其方程为y2=2px(p>0),则p=2,所以曲线C的方程为y2=4x.
(2)①证明:设直线AB的方程为x=my+1(m>0),A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,
则AB的中点为M,由(1)可知抛物线C的准线方程为x=-1,则M1,B1(-1,y2),
所以==-.
联立消去x可得y2-4my-4=0,因此y1+y2=4m,y1y2=-4,
所以=====-,
从而=,所以AM1∥FB1.
②由①可得=2m,将y=2m代入x=my+1(m>0),可得中点M的横坐标为2m2+1,所以M(2m2+1,2m),
又线段AB的垂直平分线的斜率为-m,
所以线段AB的垂直平分线方程为y-2m=-m(x-2m2-1),
令y=0,可得x=2m2+3,所以P(2m2+3,0),所以|PF|=|2m2+3-1|=2m2+2,
所以S△FPM=|PF|·|2m|=(2m2+2)m,
又△FPM的面积为4,所以(2m2+2)m=4,所以(m-1)(m2+m+2)=0,解得m=1,
所以直线l的方程为x=y+1,即x-y-1=0.
10.解析 (1)设直线l的方程为y=x+n,A(x1,y1),B(x2,y2),
把y=x+n代入y2=4x,可得x2+(2n-4)x+n2=0,
∴x1+x2=4-2n,x1·x2=n2,
∴|AB|=|x2-x1|==4,
点P到直线l的距离d=,
∴S△PAB=|AB|d=×4×=2,
解得n=-1,∴直线l的方程为y=x-1.
(2)假设存在.取Q(0,0),设切线方程为y=kx,
由=2,解得k2=,①
将y=kx代入y2=4x,得k2x2=4x,不妨设S在T上方,
故S,T,
则直线ST的方程为x=,
若直线ST和圆相切,则=2,②
由①得m2>4,由①②解得m=3.
下面证m=3时,对任意的动点Q,直线ST和圆M相切.
设Q,当a=0时,上面假设已经说明成立;
当a=±2,过Q作圆的切线时,一条切线与x轴平行,不能与抛物线交于另一点,故a≠±2;
以下就a≠0且a≠±2的情况进行证明.
设过Q的圆M的切线方程为x=t(y-a)+a2,S,T,
由=2,可得(a2-4)t2-at+-4=0,
∴t1+t2=,t1t2=.
把x=t(y-a)+a2代入y2=4x,可得y2-4ty+4ta-a2=0,
又两条切线与抛物线相交于另外两点S,T,
故得=4t1(y1-a)+a2,=4t2(y2-a)+a2,
则a,y1是方程y2=4t1(y-a)+a2的两根,即有ay1=4t1a-a2,即y1=4t1-a,同理可得y2=4t2-a.则有S(4t1-a)2,4t1-a,T(4t2-a)2,4t2-a,
故直线ST:y-(4t1-a)=,
即y-(4t1-a)=,
则圆心(3,0)到直线ST的距离
d=,
由(a2-4)-at1+-4=0,
可得d==2,
则对任意的动点Q,存在实数m=3,使得直线ST与圆M相切.
基础过关练
题组一 直线与抛物线的位置关系
1.(多选题)(2025重庆渝高中学校期中)已知抛物线C过点A(1,-4),则( )
A.拋物线C的标准方程可能为y2=16x
B.抛物线C的标准方程可能为x2=-y
C.过点A且与抛物线只有一个公共点的直线有一条
D.过点A且与抛物线只有一个公共点的直线有两条
2.(多选题)(2024陕西学林高中系列期中联考)过点(1,0)且与抛物线C:x2=4y只有一个交点的直线的方程可能是( )
A.x=1 B.y=0
C.x-y-1=0 D.x+y-1=0
3.(多选题)(2025广西南宁三中月考)已知点A(1,2)在抛物线y2=2px(p>0)上,F为抛物线的焦点,Q(-1,0),则下列说法正确的是( )
A.p=2
B.点F的坐标为(2,0)
C.直线AQ与抛物线相切
D.AF⊥AQ
4.已知直线y=(a+1)x-1与曲线y2=ax恰有一个公共点,则实数a的值为 .
5.(2025浙江杭州淳安汾口中学月考)在平面直角坐标系Oxy中,点P到点(,0)的距离与到直线x=-的距离相等,记动点P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)若直线l与C相切于点M,点M的纵坐标为2,求直线l的方程.
题组二 弦长及中点弦问题
6.(2024广东中山中学月考)已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为-2且经过焦点F的直线l交该抛物线于M,N两点,若|MN|=,则该抛物线的方程是( )
A.y2=x B.y2=2x
C.y2=4x D.y2=6x
7.(2025河南郑州期中)已知抛物线C:y2=4x,直线l与抛物线C相交于A,B两点.若线段AB的中点为(2,1),则直线l的方程为( )
A.y=2x-3 B.y=3x-5
C.y=x-3 D.y=x-1
8.(2025陕西安康中学月考)过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线交C于M,N两点,过点M作该抛物线准线的垂线,垂足为P,若△PMF是正三角形,则|MN|=( )
A. B. C. D.2
9.(2025湖南长沙明德中学月考)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,准线为l,过点F且倾斜角为30°的直线m与抛物线C的一个交点为M(M位于y轴的右侧),过点M作MN⊥l,垂足为N,连接NF,交抛物线C于点Q(Q在线段NF上),则=( )
A. B. C. D.
10.(2024河南漯河高级中学月考)已知直线l与抛物线y2=2x交于两点A,B,与x轴、y轴分别交于点P,Q,且A为线段PQ的中点.若|QA||PB|=,则直线l的方程为 .
11.(2025广东中山一中段考)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=-1.
(1)求抛物线C的方程;
(2)已知直线l:y=x-1交抛物线C于A,B两点,求弦长|AB|.
12.(2024陕西西安期中)已知抛物线C:x2=-2py(p>0)的焦点为F,P(x0,-6)是抛物线C上的点,且|PF|=9.
(1)求抛物线C的方程;
(2)已知直线l交抛物线C于M,N两点,且MN的中点为(3,-6),求直线l的方程.
13.(2024辽宁抚顺六校期中联考)已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,点P在C上,点Q满足=2,点Q的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)过点F的直线l与曲线E交于M,N两点,且|MN|=4,求直线l的方程.
14.(2025陕西延安期中)已知P是抛物线y2=16x上的动点,过点P作x轴的垂线段,垂足为M,记垂线段PM的中点为Q(当点P经过抛物线与x轴的交点时,规定P与Q重合).
(1)求点Q的轨迹方程;
(2)过点F(1,0)作直线l与点Q的轨迹交于A,B两点,若△AOB的面积为(O为坐标原点),求直线l的方程.
能力提升练
题组 直线与抛物线的综合应用
1.(2025广东深圳期中)已知抛物线y2=4x,则抛物线上一点P到直线x-y+5=0的距离的最小值为( )
A.2 B.4 C. D.5
2.(2025山东聊城期中)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,过点F的直线与C相交于M,N两点,则2|MF|+|NF|的最小值为( )
A. B.4 C. D.3
3.(2025浙江杭州期中)已知抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点F在x轴上,过点(2,0)的直线交C于P,Q两点,且OP⊥OQ,线段PQ的中点为M,则直线MF的斜率的最大值为( )
A. B. C. D.1
4.(多选题)(2025浙江台金七校联盟期中)已知抛物线E:y2=8x的焦点为F,点F与点C关于原点对称,过点C的直线l与抛物线E交于A,B两点(点A和点C在点B的两侧),则下列命题正确的是( )
A.|BF|<4
B.若BF为△ACF的中线,则|AF|=|BF|
C.存在直线l,使得|AC|=|AF|
D.对于任意直线l,都有|AF|+|BF|>2|CF|
5.(2024四川成都七中月考)如图,抛物线Γ1的顶点为A,焦点为F,准线为l1,焦准距为4;抛物线Γ2的顶点为B,焦点也为F,准线为l2,焦准距为6.Γ1和Γ2交于P,Q两点,分别过P,Q作直线与两准线垂直,垂足分别为M,N,T,S,过F的动直线与封闭曲线APBQ交于C,D两点,有下列说法:①|AB|=5;②四边形MNST的面积为100;③·=0;④|CD|的取值范围为.其中正确的是( )
A.①②④ B.①③④ C.②③ D.①③
6.(2024湖北武汉硚口月考)已知直线AB是曲线y=-及抛物线y2=2px(p>0)的公切线,切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2)(x2>0),则x1y1= ,若|AB|=,则p= .
7.(2025北京师范大学附属中学月考)已知F是抛物线E:y2=4x的焦点,过点F且斜率为k的直线l与抛物线E交于A,B两点,M是线段AB的中点.
(1)当k=1时,求|AB|与M的坐标;
(2)已知O为坐标原点,记直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,若k1+k2=1,求直线l的方程.
8.(2025河南南阳期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(4,y0)(y0>0)在抛物线C上,且|PF|=5.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点Q(1,-4)的直线与抛物线C交于A,B两点(均不与点P重合),设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,那么k1k2是不是定值 若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
9.(2025黑龙江哈尔滨期中)已知动圆Q经过点F(1,0)且与直线x=-1相切,记圆心Q的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)设过点F且斜率为正的直线l交曲线C于A,B两点(点A在点B的上方),AB的中点为M.
①过M,B作直线x=-1的垂线,垂足分别为M1,B1,试证明:AM1∥FB1;
②设线段AB的垂直平分线交x轴于点P,若△FPM的面积为4,求直线l的方程.
10.(2024四川成都树德中学月考)已知抛物线C:y2=4x,点P(4,4).
(1)设斜率为1的直线l与抛物线C交于A,B两点,若△PAB的面积为2,求直线l的方程;
(2)是否存在定圆M:(x-m)2+y2=4,使得过曲线C上任意一点Q作圆M的两条切线,与曲线C交于另外两点S,T时,总有直线ST也与圆M相切 若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
答案
基础过关练
1.ABD 对于A,当抛物线开口向右时,设抛物线的方程为y2=2px(p>0),将(1,-4)代入,解得p=8,则拋物线C的方程为y2=16x,因此A正确;
对于B,当抛物线开口向下时,设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),将(1,-4)代入,解得p=,则抛物线C的方程为x2=-y,因此B正确;
对于C,D,过点A且与抛物线的对称轴平行的直线,以及抛物线在点A处的切线都与抛物线只有一个公共点,因此C错误,D正确.
2.ABC 抛物线C:x2=4y的对称轴为直线x=0.
当所求直线与抛物线的对称轴平行时,其方程为x=1,此时直线与抛物线只有一个交点,成立;
当所求直线与抛物线的对称轴不平行时,可知直线斜率存在,设直线方程为y=k(x-1),
联立消去y,得x2-4kx+4k=0,
由直线与抛物线只有一个交点,可知Δ=(-4k)2-4×4k=16k2-16k=0,解得k=0或k=1,
所以直线方程为y=0或y=x-1,即y=0或x-y-1=0.
综上所述,所求直线方程为x=1或y=0或x-y-1=0.
3.AC 将(1,2)代入y2=2px可得4=2p,故p=2,则F(1,0),故A正确,B错误;
易得kAQ=1,则直线AQ的方程为y=x+1,联立消去y,得x2-2x+1=0,则Δ=0,因此直线AQ与抛物线相切,C正确;
由于AF⊥x轴,AQ所在直线不与x轴平行或重合,所以AF⊥AQ不成立,因此D错误.
4.答案 0或-1或-
解析 当a=0时,曲线y2=ax为直线y=0,直线y=(a+1)x-1即y=x-1,显然直线y=x-1与y=0有唯一公共点(1,0),因此a=0满足题意.
当a≠0时,由消去y并整理,得(a+1)2x2-(3a+2)x+1=0,
当a=-1时,x=-1,y=-1,此时直线y=-1与曲线y2=-x有唯一公共点(-1,-1),因此a=-1满足题意;
当a≠-1时,Δ=[-(3a+2)]2-4(a+1)2=5a2+4a=0,则a=-,
此时直线y=x-1与曲线y2=-x相切,有唯一公共点,因此a=-满足题意.
所以实数a的值为0或-1或-.
5.解析 (1)因为点P到定点(,0)的距离与到定直线x=-的距离相等,且定点(,0)不在定直线x=-上,所以P点的轨迹为抛物线,且开口向右,
设其方程为y2=2px(p>0),则p=2,
因此P点的轨迹方程为y2=4x,即C的方程为y2=4x.
(2)设M(x0,2),将(x0,2)代入C的方程y2=4x,解得x0=,设直线l的方程为x=m(y-2)+,
联立消去x,得y2-4my+8m-4=0,
由直线l与C相切,可得Δ=48m2-32m+16=0,
即16(m-1)2=0,解得m=(二重根),则直线l的方程为x=(y-2)+,即x-y+1=0.
6.B 由题可得直线MN的方程为y=-2,即y=-2x+p,
与抛物线方程联立,消去y可得4x2-6px+p2=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=p,x1x2=,
故|MN|=·=p=(速解),
解得p=1,则该抛物线的方程是y2=2x.
7.A 解法一:易知直线l的斜率不为0,设其方程为x-2=m(y-1),另设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立
整理可得y2-4my+4m-8=0,
由中点为(2,1)可得y1+y2=4m=2,可得m=,
因此直线l的方程为x-2=(y-1),即y=2x-3.
解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),由点A,B在抛物线上得因此(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2),
又y1+y2=2,所以kAB==2,
因此直线l的方程为y-1=2(x-2),即y=2x-3.
8.B 设M(x1,y1),N(x2,y2),M位于第一象限,直线MN的倾斜角为θ,θ∈[0,π),
根据△PMF是正三角形得θ=∠PMF=60°,因此直线MN的斜率为.
因为F(1,0),所以直线MN:y=(x-1),
由得3x2-10x+3=0,
则x1+x2=,所以|MN|=x1+x2+p=+2=.
9.B 易得抛物线C:x2=4y的焦点为F(0,1),准线方程为y=-1,直线m的方程为y=x+1,
如图所示:
联立整理可得x2-x-4=0,解得x=2或x=-,由题知xM=2,代入y=x+1得yM=3,即M(2,3),所以|MF|=|MN|=3+1=4,
由直线m的倾斜角为30°,可得∠FMN=60°,所以△FMN为正三角形,则|NF|=4,
易得直线FN的方程为y=-x+1,
联立整理可得x2+x-4=0,解得x=-2或x=,由题知xQ=,代入y=-x+1,得yQ=,即Q,
所以|QF|=+1=,|NQ|=|NF|-|FQ|=4-=,
所以==.
10.答案 y=-2x+2或y=2x-2
解析 由题意可知,直线l的斜率存在且不为0,
设直线l的方程为y=kx+b(k≠0,b≠0),则P,Q(0,b),
由A为线段PQ的中点,得A,又A在抛物线y2=2x上,∴=2×,即kb=-4.①
不妨设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y,得k2x2+(2kb-2)x+b2=0,令Δ>0,则kb<,
由根与系数的关系知x1+x2=-,x1x2=,
∴x2=,y2=,即B.
∵|QA||PB|=,且Q,A,P,B四点共线,与同向,∴·=+=,②
由①②可得或
∴直线l的方程为y=-2x+2或y=2x-2.
11.解析 (1)由抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=-1,得=1,∴p=2.∴抛物线C的方程为y2=4x.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去y,得x2-6x+1=0,
则Δ=36-4=32>0,x1+x2=6,x1x2=1.
易得抛物线y2=4x的焦点为(1,0),直线l经过抛物线C的焦点,∴|AB|=x1+x2+2=8.
12.解析 (1)由抛物线的定义可知|PF|=6+=9,
所以p=6,故抛物线C的方程为x2=-12y.
(2)易知直线l的斜率存在,设其为k,
另设M(x1,y1),N(x2,y2),
则两式相减得-=-12(y1-y2),
整理得=-,
因为MN的中点为(3,-6),所以x1+x2=6,
所以k==-=-,
所以直线l的方程为y+6=-(x-3),即x+2y+9=0.
13.解析 (1)由题意得F(1,0),设Q(x,y),
则=(1-x,-y),=2=(2-2x,-2y),
所以(x-xP,y-yP)=(2-2x,-2y),即xP=3x-2,yP=3y,所以P(3x-2,3y),
由P在抛物线C上可得(3y)2=4(3x-2),即9y2=12x-8,则曲线E的方程为9y2=12x-8.
(2)显然当直线l的斜率为0时,它与曲线E只有一个交点,不符合题意,故可设直线l的方程为x=my+1,
另设M(x1,y1),N(x2,y2),
联立消去x得9y2-12my-4=0,
则Δ=144m2+144>0,y1+y2=,y1y2=-,
所以|MN|==·=·=(m2+1)=4,所以m=或m=-.
所以直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.
14.解析 (1)设Q的坐标为(x,y),则P的坐标为(x,2y),
又P点在抛物线y2=16x上,故(2y)2=16x,即y2=4x,即点Q的轨迹方程为y2=4x.
(2)设直线l的方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去x得y2-4my-4=0,则Δ=16m2+16>0,y1+y2=4m,y1y2=-4,
则S△AOB=|OF||y1-y2|===,解得m=±,
所以直线l的方程为x=±y+1,即y=±(x-1).
能力提升练
1.A 解法一:易知直线x-y+5=0与抛物线相离,则当平行于直线x-y+5=0的直线与抛物线相切,且P为切点时,P点到直线x-y+5=0的距离最小,
设切线方程为x-y+m=0,m≠5,
由消去x,可得y2-4y+4m=0,
所以Δ=16-16m=0,解得m=1,
因此即P(1,2),所以点P到直线x-y+5=0的距离d==2.
解法二:设P(y∈R)为抛物线上的任一点,
则点P到直线x-y+5=0的距离d==[(y-2)2+16],
因此,当y=2,即P(1,2)时,点P到直线x-y+5=0的距离最小,最小值为2.
2.A 由抛物线C的方程为x2=4y,知焦点为F(0,1),
由题知过点F的直线的斜率存在,设其方程为y=kx+1,另设M(x1,y1),N(x2,y2),
联立消去y,整理得x2-4kx-4=0,则x1+x2=4k,x1x2=-4,
因此y1y2=·=1,
又|MF|=y1+=y1+1,|NF|=y2+=y2+1,
故2|MF|+|NF|=2(y1+1)+(y2+1)=2y1+y2+≥2+=,
当且仅当y1=,y2=2时等号成立,因此2|MF|+|NF|的最小值为.
3.A 依题意知,抛物线C的焦点在x轴的正半轴上,设C的方程为y2=2px,p>0,
显然直线PQ不垂直于y轴,设直线PQ的方程为x=ty+2,P,Q,
由消去x得y2-2pty-4p=0,则有y1y2=-4p,
由OP⊥OQ得·=·+y1y2=4-4p=0,解得p=1,则抛物线C:y2=2x,其焦点为F,
弦PQ的中点M的纵坐标为==t,
将y=t代入x=ty+2得x=t2+2,则点M(t2+2,t),
则直线MF的斜率k==,若要k最大,则必有t>0,则k==≤=,
当且仅当2t=,即t=时取等号,所以直线MF的斜率的最大值为.
4.AD 抛物线E:y2=8x的焦点为F(2,0),准线方程为x=-2,因此C(-2,0).
过A,B作准线x=-2的垂线,垂足分别为A1,B1,
设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意可得x1>x2.
对于A,由抛物线的定义知|BF|=x2+2,|AF|=x1+2,
易知直线l的斜率存在且不为0,结合对称性不妨设其方程为y=k(x+2),k>0,
由消去x可得ky2-8y+16k=0,则y1y2=16,从而x1x2=·=4,则x1=,
因为x1>x2,所以>x2,所以0
因此A正确;
对于B,若BF为△ACF的中线,则B为AC的中点,
又BB1∥AA1,所以BB1为△CAA1的中位线,
则|AA1|=2|BB1|,即|AF|=2|BF|,因此B错误;
对于C,若存在直线l,使得|AC|=|AF|,即|AC|=|AA1|,
则cos∠A1AC==,即∠A1AC=45°,
所以直线l的斜率为1,方程为y=x+2,
与抛物线方程联立,消去x,可得y2-8y+16=0,因为Δ=(-8)2-4×1×16=0,所以此时直线l与抛物线E相切,与题干矛盾,因此C错误;
对于D,因为|AF|+|BF|=x1+x2+4>2+4=8,2|CF|=8,所以|AF|+|BF|>2|CF|恒成立,因此D正确.
5.B 不妨以抛物线Γ1的顶点A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
因为抛物线Γ1的顶点为A,焦点为F,准线为l1,焦准距为4,所以|AF|=2,则抛物线Γ1的标准方程为y2=8x.
因为抛物线Γ2的顶点为B,焦点也为F,准线为l2,焦准距为6,所以|BF|=3,则|AB|=2+3=5,故①正确.
结合图象的平移变换可知抛物线Γ2的方程为y2=-12(x-5),因为Γ1和Γ2交于P,Q两点,所以联立解得故P(3,2),Q(3,-2),
从而可得M(-2,2),N(8,2),S(8,-2),T(-2,-2),
则四边形MNST的面积为10×4=40,故②错误.
又F(2,0),故=(-4,-2),=(6,-2),
易知·=0,故③正确.
由抛物线的对称性,不妨设点D位于封闭曲线APBQ在x轴上方的部分,C在直线l1上的射影为C1,D在直线l2上的射影为D1,连接CC1,DD1,
当点D在抛物线Γ2的曲线段BP上,点C在抛物线Γ1的曲线段AQ上时,由抛物线的定义可知,|CD|=|CF|+|DF|=|CC1|+|DD1|,
故当C,D分别与A,B重合时,|CD|最小,最小值为5,
当D与P重合,点C在抛物线Γ1的曲线段AQ上时,
因为P(3,2),F(2,0),所以直线CD的方程为y=(x-2),即y=2(x-2),
联立消去y并整理,得3x2-13x+12=0,不妨设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=,
所以|CD|=x1+x2+4=,所以|CD|∈;
当点D在抛物线Γ1的曲线段PA上,点C在抛物线Γ1的曲线段AQ上时,
不妨设直线CD的方程为x=ty+2,
联立消去x并整理,得y2-8ty-16=0,
不妨设C(x3,y3),D(x4,y4),则y3+y4=8t,
所以|CD|=x3+x4+4=t(y3+y4)+8=8t2+8≥8,
当t=0,即CD⊥AB时,等号成立,
由抛物线的对称性可知|CD|∈;
当点D在抛物线Γ1的曲线段PA上,点C在抛物线Γ2的曲线段QB上时,
由抛物线的对称性可知|CD|∈.
综上,|CD|∈,故④正确.
故说法正确的有①③④.
6.答案 -1;或8
解析 易知直线AB的斜率存在,不妨设直线AB的方程为y=kx+b,
联立消去y并整理,得kx2+bx+1=0,此时k≠0,由Δ1=b2-4k=0,解得k=,
代入kx2+bx+1=0,得b2x2+4bx+4=0,解得x=-(二重根),则A,则x1y1=-×=-1.
联立消去y并整理,得k2x2+(2kb-2p)x+b2=0,此时k≠0,由Δ2=(2kb-2p)2-4k2b2=0,解得p=2kb,代入k2x2+(2kb-2p)x+b2=0,得k2x2-2kbx+b2=0,解得x=(二重根),所以y=k·+b=2b,则B,
若|AB|=,则+=,
又k=,故b2=2或b2=8,
因为p=2kb,且p>0,k=,所以b>0,
当b2=2,即b=时,p=2kb=2××b=;
当b2=8,即b=2时,p=2kb=2××b=8.
7.解析 (1)抛物线E:y2=4x的焦点为F(1,0),
当k=1时,直线l:y=x-1,
联立消去y得x2-6x+1=0,则Δ=32>0,
设点A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),
所以x1+x2=6,x1x2=1,
由焦点弦的弦长公式得|AB|=x1+x2+2=8.
易得x0===3,y0=x0-1=3-1=2,所以中点M的坐标为(3,2).
(2)易得直线l:y=k(x-1),
联立消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
则Δ=16(k2+1)>0,设点A(x'1,y'1),B(x'2,y'2),
所以x'1+x'2=,x'1x'2=1,
因为x'1y'2+x'2y'1=2kx'1x'2-k(x'1+x'2)=-,
所以k1+k2=+==-=1,
解得k=-4,因此l的方程为y=-4x+4.
8.解析 (1)由抛物线的定义可知|PF|=xP+,
所以4+=5,则p=2,因此抛物线C的方程为y2=4x.
(2)由(1)得C:y2=4x.由P(4,y0)(y0>0)在抛物线上,得=16,故y0=4,即P(4,4),
显然,过点Q(1,-4)且与抛物线相交于A,B两点的直线的斜率不为0,设直线AB的方程为x=m(y+4)+1,A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠4,x2≠4.
由消去x,得y2-4my-16m-4=0,
则Δ=16m2-4(-16m-4)=16(m2+4m+1)>0,解得m>-2或m<--2,
由根与系数的关系可得y1+y2=4m,y1y2=-16m-4,
故x1+x2=m(y1+y2+8)+2=4m2+8m+2,
x1x2=(my1+4m+1)(my2+4m+1)=m2y1y2+m(4m+1)(y1+y2)+(4m+1)2=16m2+8m+1,
又k1=,k2=,
所以k1k2=·=
===,
故k1k2为定值.
9.解析 (1)依题意可得,圆心Q到定点F(1,0)的距离等于到定直线x=-1的距离,且定点F(1,0)不在定直线x=-1上,
所以圆心Q的轨迹是以F(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线,
设其方程为y2=2px(p>0),则p=2,所以曲线C的方程为y2=4x.
(2)①证明:设直线AB的方程为x=my+1(m>0),A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,
则AB的中点为M,由(1)可知抛物线C的准线方程为x=-1,则M1,B1(-1,y2),
所以==-.
联立消去x可得y2-4my-4=0,因此y1+y2=4m,y1y2=-4,
所以=====-,
从而=,所以AM1∥FB1.
②由①可得=2m,将y=2m代入x=my+1(m>0),可得中点M的横坐标为2m2+1,所以M(2m2+1,2m),
又线段AB的垂直平分线的斜率为-m,
所以线段AB的垂直平分线方程为y-2m=-m(x-2m2-1),
令y=0,可得x=2m2+3,所以P(2m2+3,0),所以|PF|=|2m2+3-1|=2m2+2,
所以S△FPM=|PF|·|2m|=(2m2+2)m,
又△FPM的面积为4,所以(2m2+2)m=4,所以(m-1)(m2+m+2)=0,解得m=1,
所以直线l的方程为x=y+1,即x-y-1=0.
10.解析 (1)设直线l的方程为y=x+n,A(x1,y1),B(x2,y2),
把y=x+n代入y2=4x,可得x2+(2n-4)x+n2=0,
∴x1+x2=4-2n,x1·x2=n2,
∴|AB|=|x2-x1|==4,
点P到直线l的距离d=,
∴S△PAB=|AB|d=×4×=2,
解得n=-1,∴直线l的方程为y=x-1.
(2)假设存在.取Q(0,0),设切线方程为y=kx,
由=2,解得k2=,①
将y=kx代入y2=4x,得k2x2=4x,不妨设S在T上方,
故S,T,
则直线ST的方程为x=,
若直线ST和圆相切,则=2,②
由①得m2>4,由①②解得m=3.
下面证m=3时,对任意的动点Q,直线ST和圆M相切.
设Q,当a=0时,上面假设已经说明成立;
当a=±2,过Q作圆的切线时,一条切线与x轴平行,不能与抛物线交于另一点,故a≠±2;
以下就a≠0且a≠±2的情况进行证明.
设过Q的圆M的切线方程为x=t(y-a)+a2,S,T,
由=2,可得(a2-4)t2-at+-4=0,
∴t1+t2=,t1t2=.
把x=t(y-a)+a2代入y2=4x,可得y2-4ty+4ta-a2=0,
又两条切线与抛物线相交于另外两点S,T,
故得=4t1(y1-a)+a2,=4t2(y2-a)+a2,
则a,y1是方程y2=4t1(y-a)+a2的两根,即有ay1=4t1a-a2,即y1=4t1-a,同理可得y2=4t2-a.则有S(4t1-a)2,4t1-a,T(4t2-a)2,4t2-a,
故直线ST:y-(4t1-a)=,
即y-(4t1-a)=,
则圆心(3,0)到直线ST的距离
d=,
由(a2-4)-at1+-4=0,
可得d==2,
则对任意的动点Q,存在实数m=3,使得直线ST与圆M相切.