4.1数列的概念 分层练习（含解析）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.1　数列的概念
基础过关练
题组一　数列的概念及分类
1.(多选题)下面四个结论中,错误的是(　　)
A.数列可以看作一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数
B.数列的项数一定是无限的
C.数列的通项公式的形式是唯一的
D.每个数列都有通项公式
2.已知数列{an}的通项公式是an=n-1(n∈N*),则下列结论中正确的是(　　)
A.该数列是递减数列
B.该数列的图象只能在第一象限
C.该数列是有穷数列
D.该数列的图象是直线y=x-1上满足x∈N*的点
题组二　数列的通项公式及其应用
3.若一数列的前4项分别为,-,,-,则该数列的通项公式可能为(　　)
A.an=　　　B.an=
C.an=　　　D.an=
4.(多选题)下列有关数列的说法正确的是(　　)
A.数列-2 023,0,4与数列4,0,-2 023是同一个数列
B.数列{an}的通项公式为an=n(n+1),则110是该数列的第10项
C.在数列1,,,2,,…中,第8项是2
D.数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为an=2n+1
5.已知数列{cn}是递增数列,且cn=则实数a的取值范围是(　　)
A.(1,3)　　　B.(1,2]　　　C.(2,3)　　　D.(2,4]
6.写出下列各数列的一个通项公式:
(1),,,,,…;
(2)-1,,-,,…;
(3)2,,,,,…;
(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,….
题组三　数列的递推公式及其应用
7.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时发现有这样一个数列:1,1,2,3,5,…,即从第三项起,每一项都等于它前面两项之和,后来人们把这个数列称为斐波那契数列,记该数列为{an},则下列结论正确的是(　　)
A.a7=8　　　B.a8=21　　　
C.a9=33　　　D.a10=59
8.在数列{an}中,a1=-,an=1-(n≥2),则a2 023的值为(　　)
A.-　　　B.　　　C.5　　　D.
9.已知数列{an}满足an+1=an,a1=1,则a11=(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
10.已知数列{an}满足a2=0,a2n+1=a2n+,a2n+2=a2n+1-(n∈N*),则数列{an}的第2 024项为(　　)
A.　　　B.　　　
C.　　　D.
11.(多选题)已知正项数列{an}满足an+1=则下列结论正确的是(　　)
A.若a1=10,则a2 023=2
B.若a3=16,则a1的值有3种情况
C.若数列{an}满足an+2=an,则a1=3
D.若an为奇数,则an-1=2an(n≥2)
题组四　数列的前n项和及其应用
12.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-n,则a5+a6+a7=(　　)
A.22　　　B.30　　　C.36　　　D.42
13.(多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=9n-n2,则下列说法正确的是(　　)
A.{an}是递减数列
B.a10=-14
C.当n>5时,an<0
D.当n=4或n=5时,Sn取得最大值
14.已知数列{an}的前n项和为Sn,且对一切正整数n,点(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上,若bn=,则数列{bn}的前(n+1)项和Tn+1=(　　)
A.-　　　B.-
C.-　　　D.-
15.设数列{bn}满足++…++=2n-1,则{bn}的通项公式为　　　　.
16.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2.
(1)求{an}的通项公式;
(2)令bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
能力提升练
题组一　数列的通项公式及其应用
1.(多选题)已知数列{an}的前5项依次为2,0,2,0,2,则下列可以作为数列{an}的通项公式的有(　　)
A.an=　　　B.an=(-1)n+1
C.an=2　　　D.an=4
2.已知数列{an}的通项公式为an=n2+kn,若{an}是递增数列,则实数k的取值范围为(　　)
A.(-∞,-2]　　　B.[-2,+∞)
C.(-3,+∞)　　　D.(-∞,-3)
3.已知数列{an}的通项公式为an=n×,则数列{an}中的最大项的项数为(　　)
A.2　　　B.3　　　C.2或3　　　D.4
4.已知数列{an}的通项公式为an=,给出下列四个结论:
①数列{an}为递增数列,且存在常数m≤-2,使得an>m恒成立;
②数列{an}为递减数列,且存在常数m≤-2,使得an>m恒成立;
③数列{an}为递增数列,且存在常数m<0,使得an≤m恒成立;
④数列{an}为递减数列,且存在常数m<0,使得an≤m恒成立.
其中正确的结论有(　　)
A.1个　　　B.2个　　　C.3个　　　D.4个
5.用max{a,b}表示两数a,b中的较大者,max{na,nb}=nmax{a,b},若数列{cn}满足cn=max{3n-1,λ·2n-1}(λ>0,n∈N*),且c1+c2+c3+c4+c5≥60,则实数λ的取值范围是　　　　.
题组二　数列的递推公式及其应用
6.数列{an}满足a1=2,an+1=,其前n项的积为Tn,则T2 025=(　　)
A.2　　　B.-6　　　C.-3　　　D.1
7.将正奇数按照下图排列,我们将3,7,13,21,31,43,…称为“拐角数”,则下面是“拐角数”的是(　　)
A.55　　　B.75　　　C.91　　　D.109
8.已知斐波那契数列{Fn}满足F1=F2=1,Fn=Fn-1+Fn-2(n≥3,n∈N*),数列{Ln}满足L1=1,且Ln+1=Fn+Fn+2(n∈N*),则F2 025=(　　)
A.L2 022+L2 024　　　B.L2 023+L2 025
C.L2 024+L2 026　　　D.L2 025+L2 027
9.已知数列{an}满足a1=33,an+1-an=2n,则的最小值为(　　)
A.　　　B.2-1　　　C.　　　D.
10.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.已知大衍数列{an}满足a1=0,an+1=则a10=　　　　.
题组三　数列的前n项和及其应用
11.已知数列{an}满足an=,则|a2-a1|+|a3-a2|+…+|a10-a9|的值为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
12.如图所示的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中,后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,……,设从上到下各层的球数构成一个数列{an},则数列的前5项的和为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
13.已知数列{an}的前n项和为Sn,下列说法错误的是(　　)
A.若an=则S50=-1 275
B.若a1=1,=n-1(n≥2),则a4=6
C.若an=(-1)n-1·,则S100=
D.若a1=1,a2=2,且anan+1an+2=an+an+1+an+2,则S36=72
14.(多选题)已知数列{an}的通项公式为an=
,前n项和为Sn,则下列说法正确的是(　　)
A.数列{an}有最小项,没有最大项
B.使an∈Z的项共有6项
C.满足anan+1an+2≤0的n的值共有7个
D.使Sn取得最小值的n为7
15.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n+1-2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
16.已知数列{an}的前n项和为Sn,且6Sn=(3n+2)an+2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=,求数列{bn}的前100项和T100.
答案
基础过关练
1.BCD　显然A中结论正确;有穷数列的项数是有限的,B中结论错误;数列的通项公式的形式不一定唯一,C中结论错误;并不是所有的数列都有通项公式,如根据精确度,π的不同近似值可形成一个数列:3,3.1,3.14,3.142,…,它没有通项公式,D中结论错误.
2.D　由an+1-an=1>0,知数列{an}是递增数列,A错误;因为a1=0,所以该数列的图象上有点在x轴上,B错误;由an=n-1(n∈N*)知{an}是无穷数列,且该数列的图象是直线y=x-1上满足x∈N*的点,C错误,D正确.
3.A　由题意得数列的第n项的符号可用(-1)n+1来表示,且分母是2n+1,所以该数列的一个通项公式为an=.
4.BCD　对于A,两个数列中项的顺序不同,所以不是同一个数列,A错误;
对于B,令n(n+1)=110,解得n=10或n=-11(舍去),即110是该数列的第10项,B正确;
对于C,原数列可改写为,,,,,…,所以数列的一个通项公式为an=,所以第8项是=2,C正确;
对于D,21+1=3,22+1=5,23+1=9,24+1=17,25+1=33,……,故数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为an=2n+1,D正确.
5.C　由题意得(易错点),解得26.解析　(1)数列中每一项的分子比分母小1,且分母可依次写成21,22,23,24,25,…,所以数列的一个通项公式为an=.
(2)数列的奇数项为负,偶数项为正,把-1看成-,则各项的绝对值的分母依次为3,5,7,9,…,可写成2n+1,分子依次为3,8,15,24,…,可化为1×3,2×4,3×5,4×6,…,可写成n(n+2),所以数列的一个通项公式为an=(-1)n·.
(3)数列可写成,,,,,…,所以数列的一个通项公式为an=.
(4)数列中的各项可化为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0,…,所以数列的一个通项公式为an=n+.
7.B　依题意得a6=a5+a4=8,a7=a6+a5=13,a8=a7+a6=21,a9=a8+a7=34,a10=a9+a8=55,故B正确.
8.A　由题意得a2=1-=1+4=5,a3=1-=,a4=1-=-,……,故数列{an}是周期为3的周期数列,则a2 023=a3×674+1=a1=-.
9.B　由题意得a11=a10=×a9=××a8=…=××××…××a1=a1=.
10.C　由已知得a2n+2=a2n+1-=a2n+-(n∈N*),
所以a2 024=a2 022+-,
a2 022=a2 020+-,
a2 020=a2 018+-,
……
a6=a4+-,
a4=a2+1-,
累加得a2 024=a2+1-+-+…+-+-=0+1-=.
11.BD　对于A,由题意得该数列为10,5,8,4,2,1,4,2,1,4,2,1,…,
则a3n+1=4,a3n+2=2,a3n+3=1,又2 023=3×674+1,所以a2 023=4,A错误.
对于B,若a2为偶数,则a2=2a3=32,所以a1=64或a1=29;若a2为奇数,则a2=a3-3=13,所以a1=26,因此a1的值有3种情况,B正确.
对于C,由数列{an}满足an+2=an,得数列{an}是周期为2的周期数列,所以a3=a1,
当a1为偶数时,a2=,则a3=+3=a1或a3==a1,解得a1=6或a1=0(舍去);
当a1为奇数时,a2=a1+3,则a3==a1,解得a1=3,因此a1=3或a1=6,C错误.
对于D,若an-1为奇数,则an=an-1+3为偶数,与an为奇数矛盾,因此an-1为偶数,
所以an=,则an-1=2an(n≥2),D正确.
12.B　∵Sn=n2-n,∴S7=49-7=42,S4=16-4=12,∴a5+a6+a7=S7-S4=42-12=30.
13.ACD　由Sn=9n-n2,可得当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-2n+10,又a1=S1=8=-2×1+10,适合上式,
所以数列{an}的通项公式为an=-2n+10.
对于A,由an+1-an=-2<0,得an+1对于B,a10=-2×10+10=-10,所以B错误;
对于C,令an=-2n+10<0,得n>5,所以C正确;
对于D,因为Sn=9n-n2=-+,n∈N*,所以当n=4或n=5时,Sn取得最大值,所以D正确.
14.C　由题意得Sn=n2+2n,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-(n-1)2-2(n-1)=2n+1,
又a1=S1=3满足上式,
∴an=2n+1,n∈N*,
∴bn==-,
∴Tn+1=b1+b2+…+bn+1=-+-+…+-=-.
15.答案　bn=
解析　设Tn=++…++,
当n=1时,T1==2×1-1=1,即b1=2,
当n≥2时,Tn-Tn-1==2n-1-[2(n-1)-1]=2,故bn=2n+1,
经检验b1=2不符合bn=2n+1(易错点),
所以bn=
16.解析　(1)当n=1时,a1=S1=1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,
又a1=1满足an=2n-1,所以an=2n-1.
(2)由(1)可得bn===-,则Tn=b1+b2+b3+…+bn=1-+-+-+…+-=1-=.
能力提升练
1.AC　对于A,C,易得a1=2,a2=0,a3=2,a4=0,a5=2,符合题意;对于B,a1=0,不符合题意;对于D,a2=2,不符合题意.
2.C　∵数列{an}是递增数列,
∴对任意n∈N*,都有an+1>an,即(n+1)2+k(n+1)>n2+kn,即k>-(2n+1),
易得数列{-(2n+1)}是递减数列,
∴当n=1时,-(2n+1)取得最大值-3,∴k>-3,
即实数k的取值范围为(-3,+∞).
3.C　由题意得a1=1×=,a2=2×=,a3=3×==a2,a4=4×=当n≥4时,an+1-an=(n+1)·-n·=·<0,所以当n≥4时,an+1所以数列{an}中的最大项的项数为2或3.
4.B　因为an=,所以an+1=,
所以an+1-an=-=-<0,
所以{an}为递减数列,故①③错误.
由an===-2+,
可知当n→+∞且n∈N*时,an→-2,当n=1时,a1=-2+=-,所以an∈,
当m≤-2时,an>m恒成立;当-≤m<0时,an≤m恒成立,故②④正确.
5.答案　
解析　由题意得c1=max{2,λ}=max{16,8λ},c2=max{5,2λ}=max{20,8λ},c3=max{8,4λ}=max{16,8λ},c4=max{11,8λ},c5=max{14,16λ}=2max{7,8λ},
当0<8λ≤7,即0<λ≤时,
c1+c2+c3+c4+c5=2+5+8+11+14=40<60,不满足题意;
当7<8λ≤11,即<λ≤时,
c1+c2+c3+c4+c5=2+5+8+11+16λ=26+16λ≥60,
解得λ≥,与<λ≤矛盾;
当11<8λ≤16,即<λ≤2时,c1+c2+c3+c4+c5=2+5+8+8λ+16λ≥60,解得λ≥,所以≤λ≤2;
当16<8λ≤20,即2<λ≤时,c1+c2+c3+c4+c5=λ+5+4λ+8λ+16λ≥60,解得λ≥,所以2<λ≤;
当8λ>20,即λ>时,c1+c2+c3+c4+c5=λ+2λ+4λ+8λ+16λ=31λ≥60,解得λ≥,所以λ>.
综上,实数λ的取值范围是.
6.A　由题意得a2==-3,a3==-,a4==,a5==2,……,∴an+4=an(n∈N*),且a1a2a3a4=2×(-3)××=1,故T2 025=T4×506+1=1506×a1=2.
7.C　设第n(n∈N*)个“拐角数”为an,
由题图知a2-a1=4=2×2,a3-a2=6=2×3,a4-a3=8=2×4,……,则an-an-1=2n(n≥2),
所以an-a1=4+6+8+…+2n=2(2+3+4+…+n)=2×=(n-1)·(n+2),得an=n2+n+1(n≥2),
又a1=3也符合上式,所以an=n2+n+1(n∈N*),
因此第7个“拐角数”是a7=72+7+1=57,第8个“拐角数”是a8=82+8+1=73,第9个“拐角数”是a9=92+9+1=91,第10个“拐角数”是a10=102+10+1=111,所以C正确.
8.C　由Ln+1=Fn+Fn+2(n∈N*),得L2 024=F2 023+F2 025①,L2 026=F2 025+F2 027,
又F2 027=F2 026+F2 025=F2 025+F2 024+F2 025=2F2 025+F2 025-F2 023=3F2 025-F2 023,
所以L2 026=4F2 025-F2 023②,
①+②可得L2 024+L2 026=5F2 025,
则F2 025=L2 024+L2 026.
9.A　因为an+1-an=2n,所以an-an-1=2(n-1),an-1-an-2=2(n-2),……,a3-a2=2×2,a2-a1=2×1,
累加可得an-a1=2×1+2×2+…+2(n-2)+2(n-1)=2(1+2+3+…+n-2+n-1)=n2-n,
因为a1=33,所以an=n2-n+33,
所以==n+-1,n∈N*,
易知函数y=x+-1在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,
又n∈N*,5<<6,所以=n+-1在n=5或n=6时取得最小值,
当n=5时,=5+-1=,
当n=6时,=6+-1=,
因为<,所以的最小值为.
10.答案　50
解析　当n=2k(k∈N*)时,a2k+1=a2k+2k①,
当n=2k-1(k∈N*)时,a2k=a2k-1+2k②,
由①②可得a2k+1-a2k-1=4k,所以a3-a1=4,a5-a3=8,……,a2k+1-a2k-1=4k,
累加可得a2k+1-a1=4+8+…+4k=2k2+2k,所以a2k+1=2k2+2k,k∈N*.
令2k+1=n,则k=,则an=,
又a1=0满足上式,所以当n为奇数时,an=,
则an+1=an+n+1=,
所以当n为偶数时,an=,所以a10==50.
11.A　由已知得an+1-an=-=-,
则当n=1时,a2-a1>0;当n≥2时,an+1-an<0,
所以|a2-a1|+|a3-a2|+…+|a10-a9|
=a2-a1+a2-a3+a3-a4+…+a9-a10=2a2-a1-a10
=2-(-1)-=3-=.
12.A　由题意得a1=1,a2=3,a3=6,……,当n≥2,n∈N*时,a2-a1=2,a3-a2=3,……,an-an-1=n,
所以an=an-an-1+an-1-an-2+…+a3-a2+a2-a1+a1=1+2+3+…+n=(n≥2,n∈N*),
当n=1时,a1=1满足上式,所以an=,
所以==2,
设数列的前n项和为Sn,
则Sn=2=2-,
所以S5=2-=.
13.C　对于A,S50=12-22+32-42+…+492-502=-3-7-11-…-99=-1 275,故A中说法正确;
对于B,a4=×××a1=3×2×1×1=6,故B中说法正确;
对于C,因为an=(-1)n-1·=(-1)n-1,
所以S100=-+-…-=1-=,故C中说法错误;
对于D,当n=1时,可得a3=3,当n=2时,可得a4=1,当n=3时,可得a5=2,依此类推,可知该数列是周期为3的周期数列,故S36=12×(1+2+3)=72,故D中说法正确.
14.BD　对于A,an==1+,
易知{an}在[1,7]和[8,+∞)上均单调递减,当n∈[1,7]时,an<1,当n∈[8,+∞)时,an>1,所以an的最大值为a8=10,最小值为a7=-8,
故数列{an}有最小项,也有最大项,故A错误.
对于B,易知当an∈Z时,2n-15应为9的约数,故2n-15的值为±1,±3,±9,
则n的可能取值为3,6,7,8,9,12,故B正确.
对于C,D,当1≤n≤2或n≥8时,an>0,当4≤n≤7时,an<0,当n=3时,an=0,
故当n=1,2,3,4,5,7时,anan+1an+2≤0,当n=7时,Sn取得最小值,故C错误,D正确.
15.解析　(1)由Sn=2n+1-2,知Sn-1=2n-2(n≥2),
两式相减得an=2n(n≥2),
当n=1时,a1=S1=2,符合上式,故an=2n(n∈N*).
(2)由(1)知bn===-,
所以Tn=-+-+…+-=1-.
16.解析　(1)由6Sn=(3n+2)an+2,得当n=1时,6S1=6a1=5a1+2,所以a1=2,
当n≥2时,6Sn-1=(3n-1)an-1+2,
所以6Sn-6Sn-1=6an=(3n+2)an-(3n-1)an-1,
所以(3n-4)an=(3n-1)an-1,易知an≠0,
所以=,=,……,=,=,
累乘得··…··=××…××,所以an=3n-1(n≥2),
当n=1时,a1=2满足上式,所以an=3n-1.
(2)由(1)得bn===(-1)n+1,
所以T100=+--+…++--=-=.