2025-2026学年第一学期高二年级开学模拟测试题数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知i为虚数单位，复数，则其共轭复数的虚部是（ ）．
A． B．i C． D．1
2．若向量，满足，，，则（ ）．
A． B． C． D．
3．已知两条不同的直线l，m与两个不同的平面，，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
4．已知单位向量，，若对任意的，恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量满足，.则△的形状为（ ）
A．正三角形 B．钝角三角形 C．非等边的等腰三角形 D．直角三角形
6．木楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是边长为1的正方形，且，均为正三角形，，，则该木楔子的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数．用表示第一次抛掷骰子的点数，用表示第二次抛掷骰子的点数，用表示一次试验的结果．记“”为事件，“”为事件，“”为事件，则（ ）
A．与相互独立 B．与对立
C．与相互独立 D．与相互独立
8．棱长为6的正方体中，点E是线段的中点，点F在线段上，，则正方体被平面所截得的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知向量，，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则与的夹角为
10．据医院对某种病情治愈率统计为：老年患者治愈率为，中年患者治愈率为，青年患者治愈率为.现医院共有30名老年患者，40名中年患者，50名青年患者，则（ ）
A．若从该医院所有患者中抽取容量为20的样本，老年患者应抽取5人
B．该医院中年患者所占的频率为
C．估计该医院的平均治愈率大约是
D．估计该医院的平均治愈率大约是
11．在中，内角所对的边分别为，已知，则（ ）
A．
B．若是底边为的等腰三角形，为其内心，则
C．若，则的周长为15
D．若，则
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知为纯虚数，则实数 ．
13．排球比赛的规则是局胜制（局比赛中，优先取得局胜利的一方，获得最终胜利，无平局），在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，均为，前局中乙队以领先，则最后乙队获胜的概率是 ．
14．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球的半径为R，A，B，为球面上三点，劣弧BC的弧长记为，设表示以为圆心，且过B，C的圆，同理，圆的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面．设．
①若平面是面积为的等边三角形，则；
②若，则；
③若平面为直角三角形，且，则；
④若，则球面的体积；
其中所有正确结论的序号是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为.
(1)若复数是实数，求实数的值；
(2)若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数的取值范围
16．如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点．
(1)若，求的值；
(2)求的长；
(3)求的取值范围．
17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若；
(1)求B；
(2)若，试判断的形状.
(3)若，求的面积的最大值．
18．已知某科技公司的某型号芯片的各项指标经过全面检测后，分为I级和Ⅱ级，两种品级芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示：
若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值K，将该指标大于K的产品应用于A型手机，小于或等于K的产品应用于B型手机．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)若临界值，请估计该公司生产的1000个该型号芯片I级品和1000个Ⅱ级品中应用于A型手机的芯片个数；
(2)设且，现有足够多的芯片I级品 Ⅱ级品，分别应用于A型手机 B型手机各1万部的生产：
方案一：直接将该芯片I级品应用于A型手机，其中该指标小于等于临界值K的芯片会导致芯片生产商每部手机损失800元；直接将该芯片Ⅱ级品应用于B型手机，其中该指标大于临界值K的芯片，会导致芯片生产商每部手机损失400元；
方案二：重新检测芯片I级品，II级品的该项指标，并按规定正确应用于手机型号，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要130万元；
请求出按方案一，芯片生产商损失费用的估计值（单位：万元）的表达式，并从芯片生产商的成本考虑，选择合理的方案．
19．如图，是圆的直径，点在圆所在平面上的射影恰是圆上的点，且，点是的中点，与交于点点是上的一个动点.
（1）求异面直线和所成角的大小；
（2）若平面，求的值；
（3）若点为的中点，且，求三棱锥的体积.2025-2026学年第一学期高二年级开学模拟测试题数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知i为虚数单位，复数，则其共轭复数的虚部是（ ）．
A． B．i C． D．1
【答案】C
【分析】利用复数乘法求出复数z，进而求出即可作答.
【详解】依题意，，则有，
所以的虚部是.
故选：C
2．若向量，满足，，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将展开，利用数量积的定义以及，即可求解.
【详解】由可得：，
即，
将，代入可得：，
所以，
故选：B
3．已知两条不同的直线l，m与两个不同的平面，，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
【答案】B
【分析】根据空间中线面、面面的判定定理与性质定理一一判断即可.
【详解】对于A，若，，，则可能平行，可能相交，故A不正确；
对于B，因为，所以能在内找到一条直线，使得，
因为，所以，又因为，所以由面面垂直的判定定理可证明，故B正确；
对于C，若，则或，故C不正确；
对于D，若，，则或，故D不正确.
故选：B.
4．已知单位向量，，若对任意的，恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用模的平方就是向量的平方，再借助向量数量积的运算，从而转化为一元二次不等式恒成立，则利用判别式就可以求解.
【详解】因为单位向量，，所以由平方得：
，
又因为对任意的，上式关于的一元二次不等式恒成立，
则满足，
此时只能满足，即，
因为，所以，
故选：B.
5．已知向量满足，.则△的形状为（ ）
A．正三角形 B．钝角三角形
C．非等边的等腰三角形 D．直角三角形
【答案】A
【分析】由题意结合平面向量数量积的运算律可得，再由平面向量数量积的定义可得，进而可得，即可得解.
【详解】由可得，
两边同时平方可得，
，，
即
同理可得，
，该三角形为正三角形.
故选：A.
【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用，考查了运算求解能力，合理转化题目条件是解题关键，属于中档题.
6．木楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是边长为1的正方形，且，均为正三角形，，，则该木楔子的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图，分别过点A，B作的垂线，垂足分别为G，H，连接，取的中点O，连接，求出，结合三棱锥和三棱柱的体积公式计算即可.
【详解】如图，分别过点A，B作的垂线，垂足分别为G，H，连接，
则由题意等腰梯形全等于等腰梯形，
则.
取的中点O，连接，因为，所以，
则，
∴.
因为，，所以，因为四边形为正方形，
所以，又因为，平面，所以平面，
所以平面，同理可证平面，
∴多面体的体积
，
故选：D.
7．依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数．用表示第一次抛掷骰子的点数，用表示第二次抛掷骰子的点数，用表示一次试验的结果．记“”为事件，“”为事件，“”为事件，则（ ）
A．与相互独立 B．与对立
C．与相互独立 D．与相互独立
【答案】C
【分析】用列举法列出所有可能结果，再结合互斥事件、对立事件、相互独立事件及古典概型的概率公式计算可得．
【详解】依题意依次抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数为个；
其中事件“ ”包含的样本点有：
，，，，，共个；
事件 “ ”，包含的样本点有：
， ， ， ，，，，，共个，
事件 “”，包含的样本点有：，，，，，，
，，，，，，
，，，，，共个，
所以与不能同时发生，但是能同时不发生，故不是对立事件，故 B 错误；
因为与不能同时发生，所以与是互斥事件，则，
又 ， ，所以，
所以与不相互独立，故A错误；
又事件包含的样本点有： ，，共个，
所以 ， ，则 ，
所以 与 相互独立，故C正确；
事件包含的样本点有：， ， ，，，共个，
因为，所以 与 不相互独立，故D 错误．
故选：C
8．棱长为6的正方体中，点E是线段的中点，点F在线段上，，则正方体被平面所截得的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】延长交直线AF于Q，连接EQ交于N，得N是的中点，延长直线EN于P，连接AP交于M，作出截面AFNEM，利用即可求解面积.
【详解】延长交直线AF于Q，
因为,所以,
连接EQ交于N，得N是的中点，延长直线EN于P，
连接AP交于M，作出截面AFNEM如下图所示，
则中，，
故的面积
=，
四边形ENFM中，，高为
四边形ENFM的面积
，
故所求截面面积为.
故选:B.
【点睛】思路点睛：一般地，立体几何中的截面问题，有两种处理方法：
一、是利用平行关系找交线，
二、是利用共面直线延长相交得交点.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知向量，，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则与的夹角为
【答案】BC
【分析】根据向量垂直的坐标表示判断A，根据向量平行和数量积的坐标表示判断B，根据向量模长的坐标表示判断C，根据向量夹角的坐标表示判断D.
【详解】选项A，若，则，解得，故A项错误；
选项B，若，则，解得，
则，故B项正确；
选项C，若，则，所以，故C项正确；
选项D，，则，，，
所以，所以与的夹角不是，故D项错误，
故选：BC
10．据医院对某种病情治愈率统计为：老年患者治愈率为，中年患者治愈率为，青年患者治愈率为.现医院共有30名老年患者，40名中年患者，50名青年患者，则（ ）
A．若从该医院所有患者中抽取容量为20的样本，老年患者应抽取5人
B．该医院中年患者所占的频率为
C．估计该医院的平均治愈率大约是
D．估计该医院的平均治愈率大约是
【答案】ABC
【分析】根据频率的计算即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，若从该医院所有患者中抽取容量为20的样本，老年患者应抽取的人数为，A对；
对于B，该医院中年患者所占的频率为，B对；
对于CD，估计该医院的平均治愈率大约是，C对D错.
故选：ABC.
11．在中，内角所对的边分别为，已知，则（ ）
A．
B．若是底边为的等腰三角形，为其内心，则
C．若，则的周长为15
D．若，则
【答案】ACD
【分析】分别利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和基本不等式的相关知识进行求解即可.
【详解】由可得，
，则，
由正弦定理可得，，由余弦定理可得，A为三角形内角，
所以，故选项A正确；
若是底边为的等腰三角形，因为，则，
设内切圆圆心为，
则，故选项B错误；
若，因为，由余弦定理可得，
所以，则的周长为15，故选项C正确；
因为，所以为的重心，则，
因为，由余弦定理可得（当且仅当时去等号），
则，所以，故选项D正确，
故选：ACD.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知为纯虚数，则实数 ．
【答案】3
【分析】根据给定条件，利用纯虚数的定义列式求解.
【详解】由为纯虚数，得，所以.
故答案为：3
13．排球比赛的规则是局胜制（局比赛中，优先取得局胜利的一方，获得最终胜利，无平局），在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，均为，前局中乙队以领先，则最后乙队获胜的概率是 ．
【答案】
【分析】根据题意，分第三局乙获胜、第三局乙负，第四局乙获胜、第三四局乙负，第五局乙获胜三种情况求解相应概率，再求和.
【详解】解：最后乙队获胜，则需要在剩下的三次比赛中赢一局即可.
当第三局乙获胜，其概率为，
当第三局乙负，第四局乙获胜，其概率为，
当第三四局乙负，第五局乙获胜，其概率为，
所以最后乙获胜的概率为，
故答案为：.
14．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球的半径为R，A，B，为球面上三点，劣弧BC的弧长记为，设表示以为圆心，且过B，C的圆，同理，圆的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面．设．
①若平面是面积为的等边三角形，则；
②若，则；
③若平面为直角三角形，且，则；
④若，则球面的体积；
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【分析】对于①，由条件知三边为，推得，判断①；对于②，利用代入易得；对于③，由余弦定理和题设可得，取特殊值即可判断③；对于④，先求得三棱锥的体积，由球面的体积即可判断④．
【详解】对于①，因等边三角形的面积为，则，
又，故，则，故①正确；
对于②，由可得，故，即②正确；
对于③，由余弦定理可知，由可得，，
即，化简得，．
取，则，则，故③错误；
对于④，由可得，故，
由正弦定理，的外接圆半径为，点到平面ABC的距离，
则三棱锥的体积,
而球面的体积，故④正确；
故答案为：①②④．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为.
(1)若复数是实数，求实数的值；
(2)若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数的取值范围
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用复数乘法法则得到，根据是实数，可得方程，求出；
（2）利用复数除法法则化简，得到对应的点坐标，根据所在象限，得到不等式组，求出实数的取值范围.
【详解】（1）由可得，
所以，
若复数是实数，可得，
解得；
（2）
，
易知复数在复平面内所对应的点坐标为，
又复数在复平面内所对应的点位于第四象限，可得，
解得，
即实数的取值范围为.
16．如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点．
(1)若，求的值；
(2)求的长；
(3)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据向量的线性运算，结合图形的几何性质，可得答案；
（2）利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，可得答案；
（3）利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，结合二次函数的性质，可得答案.
【详解】（1）由分别为的中点，则，，
由图可得，则，
所以.
（2）由（1）可知，，
由，则，
，
可得，解得.
（3）由图可得，
，
，
由，则.
17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若；
(1)求B；
(2)若，试判断的形状.
(3)若，求的面积的最大值．
【答案】(1)
(2)为等边三角形
(3)
【分析】（1）根据题意结合正弦定理分析求解；
（2）根据题意结合余弦定理分析求解；
（3）根据题意利用基本不等式可得，代入面积公式运算求解.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
因为，则，可得，
即，所以.
（2）由（1）可知：，
由余弦定理可得：，
又因为，即，
可得，整理得，即，
所以为等边三角形.
（3）由（2）可知：，即，
当且仅当时，等号成立，
所以的面积的最大值为.
18．已知某科技公司的某型号芯片的各项指标经过全面检测后，分为I级和Ⅱ级，两种品级芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示：
若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值K，将该指标大于K的产品应用于A型手机，小于或等于K的产品应用于B型手机．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)若临界值，请估计该公司生产的1000个该型号芯片I级品和1000个Ⅱ级品中应用于A型手机的芯片个数；
(2)设且，现有足够多的芯片I级品 Ⅱ级品，分别应用于A型手机 B型手机各1万部的生产：
方案一：直接将该芯片I级品应用于A型手机，其中该指标小于等于临界值K的芯片会导致芯片生产商每部手机损失800元；直接将该芯片Ⅱ级品应用于B型手机，其中该指标大于临界值K的芯片，会导致芯片生产商每部手机损失400元；
方案二：重新检测芯片I级品，II级品的该项指标，并按规定正确应用于手机型号，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要130万元；
请求出按方案一，芯片生产商损失费用的估计值（单位：万元）的表达式，并从芯片生产商的成本考虑，选择合理的方案．
【答案】(1)
(2)，应选择方案二
【分析】（1）根据频率分布直方图，即可求解频率，进而可求解，
（2）分别计算两种方案的费用，即可比较作答.
【详解】（1）临界值时，I级品中该指标大于60的频率为，
II级品中该指标大于60的频率为0.1
故该公司生产的1000个该型号芯片I级品和1000个II级品中应用于型手机的芯片个数估计为：
（2）当临界值时，若采用方案一：
I级品中该指标小于或等于临界值的概率为，
可以估计10000部型手机中有部手机芯片应用错误；
II级品中该指标大于临界值的概率为，
可以估计10000部型手机中有部手机芯片应用错误；
故可以估计芯片生产商的损失费用
又采用方案二需要检测费用共130万元
故从芯片生产商的成本考虑，应选择方案二
19．如图，是圆的直径，点在圆所在平面上的射影恰是圆上的点，且，点是的中点，与交于点点是上的一个动点.
（1）求异面直线和所成角的大小；
（2）若平面，求的值；
（3）若点为的中点，且，求三棱锥的体积.
【答案】（1）；（2）3；（3）.
【分析】（1）结合、，即可得到平面，即可得出.
（2）由平面可知则=.根据为的重心即可得出答案.
（3）,求出代入即可得出答案.
【详解】（1）因为点在圆所在平面上的射影恰是圆上的点，于是平面
因为平面所以
又，且所以平面，
又平面所以，
于是异面直线和所成角的大小为
（2）因为平面，平面平面平面所以
在中，点是的中点，点是的中点，所以为的重心，从而
在中，因为所以
所以的值为3.
（3）在中，由（2）知为的重心，所以又点为的中点，
所以于是
所以
在直角中，，所以
从而所以
所以三棱锥的体积为.2025-2026学年第一学期高二年级开学模拟测试题数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知i为虚数单位，复数，则其共轭复数的虚部是（ ）．
A． B．i C． D．1
2．若向量，满足，，，则（ ）．
A． B． C． D．
3．已知两条不同的直线l，m与两个不同的平面，，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
4．已知单位向量，，若对任意的，恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量满足，.则△的形状为（ ）
A．正三角形 B．钝角三角形 C．非等边的等腰三角形 D．直角三角形
6．木楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是边长为1的正方形，且，均为正三角形，，，则该木楔子的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数．用表示第一次抛掷骰子的点数，用表示第二次抛掷骰子的点数，用表示一次试验的结果．记“”为事件，“”为事件，“”为事件，则（ ）
A．与相互独立 B．与对立
C．与相互独立 D．与相互独立
8．棱长为6的正方体中，点E是线段的中点，点F在线段上，，则正方体被平面所截得的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知向量，，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则与的夹角为
10．据医院对某种病情治愈率统计为：老年患者治愈率为，中年患者治愈率为，青年患者治愈率为.现医院共有30名老年患者，40名中年患者，50名青年患者，则（ ）
A．若从该医院所有患者中抽取容量为20的样本，老年患者应抽取5人 B．该医院中年患者所占的频率为
C．估计该医院的平均治愈率大约是 D．估计该医院的平均治愈率大约是
11．在中，内角所对的边分别为，已知，则（ ）
A． B．若是底边为的等腰三角形，为其内心，则
C．若，则的周长为15
D．若，则
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知为纯虚数，则实数 ．
13．排球比赛的规则是局胜制（局比赛中，优先取得局胜利的一方，获得最终胜利，无平局），在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，均为，前局中乙队以领先，则最后乙队获胜的概率是 ．
14．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球的半径为R，A，B，为球面上三点，劣弧BC的弧长记为，设表示以为圆心，且过B，C的圆，同理，圆的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面．设．
①若平面是面积为的等边三角形，则；
②若，则；
③若平面为直角三角形，且，则；
④若，则球面的体积；
其中所有正确结论的序号是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为.
(1)若复数是实数，求实数的值；
(2)若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数的取值范围
16．如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点．
(1)若，求的值；
(2)求的长；
(3)求的取值范围．
17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若；
(1)求B；(2)若，试判断的形状.(3)若，求的面积的最大值．
18．已知某科技公司的某型号芯片的各项指标经过全面检测后，分为I级和Ⅱ级，两种品级芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示：
若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值K，将该指标大于K的产品应用于A型手机，小于或等于K的产品应用于B型手机．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)若临界值，请估计该公司生产的1000个该型号芯片I级品和1000个Ⅱ级品中应用于A型手机的芯片个数；
(2)设且，现有足够多的芯片I级品 Ⅱ级品，分别应用于A型手机 B型手机各1万部的生产：
方案一：直接将该芯片I级品应用于A型手机，其中该指标小于等于临界值K的芯片会导致芯片生产商每部手机损失800元；直接将该芯片Ⅱ级品应用于B型手机，其中该指标大于临界值K的芯片，会导致芯片生产商每部手机损失400元；
方案二：重新检测芯片I级品，II级品的该项指标，并按规定正确应用于手机型号，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要130万元；
请求出按方案一，芯片生产商损失费用的估计值（单位：万元）的表达式，并从芯片生产商的成本考虑，选择合理的方案．
19．如图，是圆的直径，点在圆所在平面上的射影恰是圆上的点，且，点是的中点，与交于点点是上的一个动点.
（1）求异面直线和所成角的大小；（2）若平面，求的值；
（3）若点为的中点，且，求三棱锥的体积.
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