第二章 直线和圆的方程 专项训练（含解析）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章　直线和圆的方程 专项训练
考点1 对称问题及其应用
1.(2025河南洛阳期中)已知点A(2,0)与B(0,4)关于直线ax+y+b=0对称,则a,b的值分别为　(　　)
A.1,3　　B.-,-　　C.-2,0　　D.,-
2.(2025天津五中段考)与直线3x-4y+5=0关于坐标原点O对称的直线方程为(　　)
A.3x+4y-5=0　　B.3x+4y+5=0　　
C.3x-4y+5=0　　D.3x-4y-5=0
3.(2025天津南开中学月考)已知点A(-3,6)和B(1,2),在x轴上求一点M,使|AM|+|BM|最小,那么点M的坐标为(　　)
A.(-2,0)　　B.(1,0)　　C.(4.4,0)　　D.(0,0)
4.(2024河北石家庄二中期中)将一张坐标纸折叠一次,使得点A(0,0)和点B重合,点C(7,3)和点D(m,n)重合,则m+n=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
5.(2025浙江杭州联谊学校质检)已知光线从点A(-6,3)射出,经直线2x-y+10=0反射,且反射光线所在直线过点B(-8,-3),则反射光线所在直线的方程是(　　)
A.3x-2y+18=0　　B.2x-3y+7=0　　
C.3x+2y+30=0　　D.2x+3y+25=0
6.已知点(m,n)为直线x+y-1=0上的一点,则+的最小值为(　　)
A.　　B.2　　C.4　　D.3
7.(2025福建师大附中月考)已知点P(1,1),则点P关于直线x-y-2=0的对称点的坐标是　　　　.
8.(2024上海复旦附中期中)一质点在矩形ABCD内运动,从AB的中点O沿一确定方向发射该质点,依次由线段BC,CD,DA反射,反射点分别为P1,P2,P3(反射角等于入射角),最后落在线段OA(不包括端点)上的P4处.若A(-1,0),B(1,0),C(1,1)和D(-1,1),则OP1所在直线的斜率的取值范围是　　　　.
9.(2025福建厦门二中期中)如图,在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=1,P是边AB上异于A,B的一点,某光线从点P处出发,经边BC,CA反射后又回到点P,如图所示,若光线QR经过△ABC的重心G,则线段AP的长度是　　　　;直线PQ的斜率为　　　　.
10.(2025山东淄博质检)在平面直角坐标系中,点A(2,3),B(1,1),直线l:x+y+1=0.
(1)在直线l上找一点C使得|AC|+|BC|最小,并求这个最小值和点C的坐标;
(2)在直线l上找一点D使得||AD|-|BD||最大,并求这个最大值和点D的坐标.
考点2　直线系方程及其应用
1.(2024北京师范大学第二附属中学期中)若点P(x0,y0)是直线l:Ax+By+C=0外一点,则方程Ax+By+C-(Ax0+By0+C)=0表示(　　)
A.过点P且与l垂直的直线
B.过点P且与l平行的直线
C.不过点P且与l垂直的直线
D.不过点P且与l平行的直线
2.(2024河北沧州期中)经过两直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0平行的直线l的方程为(　　)
A.3x-4y+8=0　　B.3x-4y+6=0　　
C.4x+3y-6=0　　D.4x+3y+6=0
3.(2025广东深圳实验学校月考)直线l1:x+(m+1)y-2m-2=0与直线l2:(m+1)x-y-2m-2=0相交于点P,且对任意实数m,直线l1,l2分别恒过定点A,B,则|PA|+|PB|的最大值为(　　)
A.4　　B.8　　C.2　　D.4
4.(多选题)(2025福建厦门外国语学校月考)对于直线l:(m-1)x+y-2m+3=0,下列结论中正确的是(　　)
A.直线l恒过点(2,-1)
B.当m=0时,直线l在y轴上的截距为3
C.若直线l不经过第二象限,则m∈
D.坐标原点到直线l的距离的最大值为
5.(2025河北衡水中学月考)已知点P(-2,-1)和直线l:(1+2λ)x+(1-3λ)y+λ-2=0,则点P到直线l的距离的取值范围是　　　　.
6.(2025上海师大附中月考)设直线l经过直线2x-3y+2=0和3x-4y-2=0的交点,且与两坐标轴围成等腰直角三角形,则直线l的方程为　　　　　　　　　　.
7.(2025浙江宁波镇海中学月考)已知不重合的两直线l1:mx+y+2m-3=0,l2:mx+y-m+1=0,则直线l1与l2之间距离的最大值为　　　　.
8.(2025福建福州期中)在下列所给的三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并加以解答.
①与直线x-2y+5=0垂直;②过点(2,-3);③与直线2x+y+2=0平行.
问题:已知直线l过点P(1,-1),且　　　　.
(1)求直线l的一般式方程;
(2)已知M(3,-1),O为坐标原点,在直线l上找一点N,使得|MN|-|ON|最大,并写出点N的坐标.
9.(2025湖南湘西州多校联考)如图,直线l过点P(2,1)且与x轴、y轴的正半轴分别交于点A,B.
(1)若P为线段AB的中点,求直线l的方程;
(2)若点P在线段AB上,且满足=2,过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M,动点E,F分别在线段MP和OA上,若直线EF平分直角梯形OAPM的面积,求证:直线EF必过一定点,并求出该定点坐标.
考点3　圆系方程、圆的切线系方程的应用
1.(2025福建厦门期中)圆心在直线x-y-4=0上,且经过两圆x2+y2-4x-3=0,x2+y2-4y-3=0的交点的圆的方程为(　　)
A.x2+y2-6x+2y-3=0　　B.x2+y2+6x+2y-3=0
C.x2+y2-6x-2y-3=0　　D.x2+y2+6x-2y-3=0
2.(2025湖北孝感高中协作体期中联考)已知圆C1:x2+y2+2ax-4+a2=0和圆C2:x2+y2-2by-1+b2=0外切(其中a,b∈R),则a+b的最大值为(　　)
A.4　　B.3　　C.8　　D.4
3.(多选题)(2025四川成都期中)设有一组圆Ck:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4,k∈N*.下列命题中是真命题的是(　　)
A.存在一条定直线与所有的圆均相切
B.存在一条定直线与所有的圆均相交
C.存在一条定直线与所有的圆均不相交
D.所有的圆均不经过原点
4.(多选题)(2024江西南昌莲塘二中期中)设直线系M:xcos θ+(y-2)sin θ=1(0≤θ<2π).下列四个命题中正确的是(　　)
A.存在一个圆与所有直线均相交
B.存在一个圆与所有直线均不相交
C.存在一个圆与所有直线均相切
D.M中的直线所能围成的正三角形面积都相等
5.(2025河北秦皇岛期中)已知圆M:(x-1-cos θ)2+(y-2-sin θ)2=1,直线l:kx-y-k+2=0.有下面五个命题,其中正确命题的个数是(　　)
①对任意实数k与θ,直线l和圆M有公共点;
②对任意实数k与θ,直线l与圆M都相离;
③存在实数k与θ,使直线l和圆M相离;
④对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l与圆M相切;
⑤对任意实数θ,必存在实数k,使得直线l与圆M相切.
A.2　　B.3　　C.4　　D.5
6.(多选题)(2024福建龙岩永定一中期中)已知O为坐标原点,圆M:(x-cos θ)2+(y-sin θ)2=1,则下列结论正确的是(　　)
A.圆M与圆x2+y2=4内切
B.直线xcos α+ysin α=0与圆M相离
C.圆M上到直线x+y=的距离等于1的点最多有两个
D.过直线x+y=3上任一点P作圆M的切线,切点分别为A,B,则四边形PAMB面积的最小值为
7.(2025浙江杭州期中)已知acos θ+a2sin θ-2=0,bcos θ+b2sin θ-2=0(a≠b),对任意a,b∈R,经过两点(a,a2),(b,b2)的直线与一定圆相切,则该圆的方程为　　　　　　　　.
8.(2025安徽蚌埠段考)已知圆M:x2+y2-4x+3=0,P(-1,t)为直线l:x=-1上一动点,过点P作圆M的两条切线,切点分别为A,B.
(1)求|PA|,当t为何值时,|PA|最小 最小值为多少
(2)求直线AB的方程,并判断直线AB是否过定点,若过定点,求出定点的坐标;若不过定点,请说明理由.
考点4　隐圆、辅助圆问题
1.如果圆(x-a)2+(y-a)2=8上总存在到原点的距离为的点,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-3,-1)∪(1,3)　　B.(-3,3)
C.[-1,1]　　D.[-3,-1]∪[1,3]
2.(多选题)(2024吉林长春五中期中)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,1),B(m,-1)(m>0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的可能取值为(　　)
A.7　　B.6　　
C.5　　D.4
3.(2025河南郑州期中)已知P为直线l1:mx-2y-m+6=0与直线l2:2x+my-m-6=0(m∈R)的交点,Q为圆C:(x+3)2+(y+3)2=8上的动点,则|PQ|的取值范围为(　　)
A.[2,8]　　B.(2,8]　　
C.[,6]　　D.(,6]
4.(2025河北衡水二中月考)已知EF是圆C:x2+y2-2x-4y+3=0的一条动弦,且CE⊥CF,P是EF的中点,当弦EF变化时,直线l:x-y-3=0上存在两点A,B,使得∠APB≥恒成立,则线段AB长度的最小值是(　　)
A.3+1　　B.4+2　　C.4+1　　D.4+2
5.(2025广东深圳期中)已知M,N是圆O:x2+y2=8上两点,且|MN|=4,若直线x-ay+6=0上存在点P使得+=,则实数a的取值范围为(　　)
A.∪　　　　B.
C.∪　　　　D.
6.(2025江苏常州联盟调研)已知在平面直角坐标系Oxy中,A(-3,0),B(1,0),直线l:2kx-y+3k=0上存在动点P满足|PA|=3|PB|,则实数k的取值范围为　　　　.
7.(2025河南省实验中学月考)已知P为直线l:x+y-2=0上的动点,过点P作圆C:x2+2x+y2=0的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,则当|PC|·|AB|最小时,直线AB的方程为　　　　　　　.
8.(2025陕西西安期中)在平面直角坐标系Oxy中,已知圆C:x2+y2-4x=0及点A(-1,0),B(1,2).
(1)若直线l平行于直线AB,与圆C相交于D,E两点,且|DE|=|AB|,求直线l的方程;
(2)在圆C上是否存在点P,使得|PA|2+|PB|2=12成立 若存在,求满足条件的点P的个数;若不存在,说明理由;
(3)对于线段AC上的任意一点Q,若在以点B为圆心的圆上都存在不同的两点M,N,使得点M是线段QN的中点,求圆B的半径r的取值范围.
答案
考点1　对称问题及其应用
1.B　因为点A(2,0)与B(0,4)关于直线ax+y+b=0对称,
所以直线AB与直线ax+y+b=0垂直且线段AB的中点在直线ax+y+b=0上,
易得直线AB的斜率为=-2,线段AB的中点为(1,2),
则有解得
2.D　设直线3x-4y+5=0上的点Q(x1,y1)关于原点O(0,0)对称的点P(x,y)在所求直线上,
由中点坐标公式得=0,=0,解得x1=-x,y1=-y,代入直线方程3x-4y+5=0,得3(-x)-4(-y)+5=0,
整理得3x-4y-5=0,
即所求直线方程为3x-4y-5=0.
3.D　易知A,B两点位于x轴同侧,由B(1,2),知其关于x轴的对称点为(1,-2),记B'(1,-2),
则当A,B',M三点共线时,|AM|+|BM|最小,
设直线AB'的斜率为k,则k===-2,
所以直线AB'的方程为y+2=-2(x-1),化简得y=-2x,
又因为点M在x轴上,所以令y=0,得x=0,
所以点M的坐标为(0,0).
4.A　A(0,0)和B连线的中点为,且kAB==-,所以线段AB的中垂线的斜率k=2,所以线段AB的中垂线的方程为y-=2,即2x-y-3=0,由题意可得点C(7,3)和点D(m,n)连线的中垂线方程也为2x-y-3=0,且点C和点D连线的中点为,则解得所以m+n=.
5.B　设点A(-6,3)关于直线2x-y+10=0的对称点为A'(a,b),
则解得
因此反射光线所在直线过点A'(-2,1)与点B(-8,-3),
则反射光线所在直线的方程为y-1=(x+2),即2x-3y+7=0.
6.A　将点(m,n)记为点P,则+为点P(m,n)到原点O(0,0)和到点A(-2,0)的距离之和,即|PO|+|PA|.
设O(0,0)关于直线x+y-1=0的对称点为B(a,b),则解得所以B(1,1).易得|PO|=|PB|,当A,P,B三点共线时,|PO|+|PA|取到最小值,且最小值为|AB|=.
7.答案　(3,-1)
解析　设点P关于直线x-y-2=0的对称点为Q(m,n),
则解得∴Q(3,-1).
8.答案　
解析　由题意,可得OP1∥P2P3,P1P2∥P3P4,设P1(1,b)(0设∠P1OB=θ,则∠P1P2C=∠DP2P3=θ,且tan θ=b,所以|CP1|=1-b,|CP2|==-1,|DP2|=3-,所以tan θ===b,解得b=,此时=.
综上所述,OP1所在直线的斜率的取值范围是.
9.答案　;2
解析　建立如图所示的平面直角坐标系,可得A(0,0),B(1,0),C(0,1),
所以直线BC的方程为y=(x-1),即x+y-1=0,且△ABC的重心G的坐标为,
设点P(a,0)(0连接NR,QM,设M(x0,y0),
则有解得所以M(1,1-a),
由光的反射原理可知,M,N,Q,R四点共线,所以kMN=kGN,即=,解得a=(a=0舍去),
则|AP|=,即线段AP的长度为.
所以N,M,P,则直线MN的方程为y=,即3x-6y+1=0,
联立直线MN的方程与BC的方程,得解得即Q,
所以直线PQ的斜率为=2.
10.解析　(1)由题知A,B在直线l的同侧,设点A(2,3)关于直线l:x+y+1=0的对称点为A'(x,y),则解得即A'(-4,-3).
所以直线A'B的方程为=,即4x-5y+1=0.
当点C为直线4x-5y+1=0与直线x+y+1=0的交点时,|AC|+|BC|取得最小值.
联立解得所以C,
且|AC|+|BC|的最小值为|A'B|==.
(2)由题意知直线AB的方程为=,整理得2x-y-1=0,当点D为直线2x-y-1=0与直线x+y+1=0的交点时,||AD|-|BD||最大,
由解得即D(0,-1),
从而||AD|-|BD||的最大值为|AB|==.
考点2　直线系方程及其应用
1.B　由题意可知Ax0+By0+C的结果为一个非零常数,所以方程Ax+By+C-(Ax0+By0+C)=0中,C-(Ax0+By0+C)的结果是一个不等于C的常数,则直线Ax+By+C-(Ax0+By0+C)=0与l平行,当x=x0,y=y0时,Ax+By+C-(Ax0+By0+C)=Ax0+By0+C-(Ax0+By0+C)=0,即点P在方程Ax+By+C-(Ax0+By0+C)=0表示的直线上,故该方程表示过点P且与l平行的直线.
2.A　解法一:由题意设所求直线方程为3x-4y+c=0,c≠5,联立解得∴P(0,2),将(0,2)代入3x-4y+c=0,解得c=8,故所求直线方程为3x-4y+8=0.
解法二:设所求直线方程为(x-2y+4)+λ(x+y-2)=0,即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0.∵该直线与直线3x-4y+5=0平行,∴-4(1+λ)=3(λ-2)且5(1+λ)≠3(4-2λ),可得λ=.∴所求直线方程为3x-4y+8=0.
(3)与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)平行的直线系方程为Ax+By+λ=0(λ≠C).
(4)与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)垂直的直线系方程为Bx-Ay+λ=0.
(5)过直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0)与l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0)交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ为参数),但此方程不能表示直线l2.
3.A　直线l1:x+(m+1)y-2m-2=0即x+y-2+m(y-2)=0,令得即直线l1过定点A(0,2);
直线l2:(m+1)x-y-2m-2=0即x-y-2+m(x-2)=0,令得即直线l2过定点B(2,0).
因为1×(m+1)+(m+1)×(-1)=0,所以l1⊥l2,即PA⊥PB,因此|PA|2+|PB|2=|AB|2=8,
所以|PA|+|PB|≤=4,当且仅当|PA|=|PB|=2时,等号成立,即|PA|+|PB|的最大值为4.
4.AD　直线l:(m-1)x+y-2m+3=0,即m(x-2)-x+y+3=0,
令可得所以直线l恒过点(2,-1),因此A正确;
当m=0时,直线l:x-y-3=0,其在y轴上的截距为-3,因此B不正确;
当m=1时,直线l:y=-1,此时直线l也不经过第二象限,因此C不正确;
因为直线l过定点(2,-1),所以坐标原点到直线l的距离的最大值为=,因此D正确.
5.答案　(0,]
解析　方程(1+2λ)x+(1-3λ)y+λ-2=0可化为x+y-2+(2x-3y+1)λ=0,
令解得则直线l过定点(1,1),记A(1,1),
易知|PA|为点P到直线l的距离的最大值,且|PA|==,
若P(-2,-1)在直线l上,则有-2-1-2+(-4+3+1)λ=0,即-5=0,可得P(-2,-1)不可能在直线l上,则d>0.
综上可得,06.答案　x-y-4=0或x+y-24=0
解析　设直线l的方程为2x-3y+2+λ(3x-4y-2)=0,整理得(2+3λ)x-(3+4λ)y+2-2λ=0,令x=0,得y=,令y=0,得x=-,依题意得=,即=±1,解得λ=-1或λ=-.所以直线l的方程为x-y-4=0或x+y-24=0.
7.答案　5
解析　直线l1:mx+y+2m-3=0即m(x+2)+y-3=0,
令x+2=0且y-3=0,解得x=-2,y=3,所以直线l1过定点(-2,3),记A(-2,3).
直线l2:mx+y-m+1=0即m(x-1)+y+1=0,令x-1=0且y+1=0,解得x=1,y=-1,所以直线l2过定点(1,-1),记B(1,-1).
易知l1与l2平行,故当AB与直线l1,l2垂直时,直线l1,l2之间的距离最大,且最大值为|AB|==5.
8.解析　(1)选择①与直线x-2y+5=0垂直.可设直线l的方程为2x+y+m=0,因为直线l过点P(1,-1),所以2×1-1+m=0,解得m=-1,所以直线l的方程为2x+y-1=0.
选择②过点(2,-3).因为直线l过点P(1,-1),点(2,-3),所以直线l的斜率k==-2,所以直线l的方程为y+1=-2(x-1),整理得2x+y-1=0.
选择③与直线2x+y+2=0平行.可设直线l的方程为2x+y+m=0(m≠2),
因为直线l过点P(1,-1),所以2×1-1+m=0,解得m=-1,所以直线l的方程为2x+y-1=0.
(2)设点O关于直线l的对称点为Q(x,y),
则解得所以Q,
显然|MN|-|ON|=|MN|-|QN|≤|QM|,
当且仅当Q,N,M三点共线时取等号,
又直线QM的斜率kQM==-,故直线QM的方程为y+1=-(x-3),即y=-x+,
联立解得所以当点N的坐标为时,|MN|-|ON|最大.
9.解析　由题可设A(a,0),B(0,b),a>0,b>0.
(1)若P为线段AB的中点,则解得
所以直线l的方程为+=1,即x+2y-4=0.
(2)易得=(2-a,1),=(-2,b-1),
由=2得解得
故A(6,0),B.
所以S梯形OAPM=×(6+2)×1=4.
由题可设E(m,1),F(n,0),0≤m≤2,0≤n≤6,
则S梯形OMEF=×(m+n)×1=2,即m+n=4,
当m≠n时,易得直线EF的方程为=,
即x-n-(m-n)y=0,
将m=4-n代入直线EF的方程得x-n-(4-2n)y=0,即(2y-1)n+x-4y=0,
令解得
所以直线EF必过定点.
当m=n时,m=n=2,此时直线EF的方程为x=2,过点.
综上,直线EF必过定点.
考点3　圆系方程、圆的切线系方程的应用
1.A　设所求圆的方程为(x2+y2-4x-3)+λ(x2+y2-4y-3)=0,即(1+λ)x2+(1+λ)y2-4x-4λy-3-3λ=0,
其圆心为,因为圆心在直线x-y-4=0上,
所以--4=0,解得λ=-,
因此所求圆的方程为x2+y2-4x+y-3+1=0,即x2+y2-6x+2y-3=0.
2.B　圆C1的标准方程为(x+a)2+y2=4,则C1(-a,0),半径r1=2,
圆C2的标准方程为x2+(y-b)2=1,则C2(0,b),半径r2=1,
因为两圆外切,所以|C1C2|=r1+r2,即=3,所以a2+b2=9,
所以(a+b)2=a2+b2+2ab≤2(a2+b2)=18,
则-3≤a+b≤3,
所以a+b的最大值为3,当且仅当a=b时等号成立.
3.BD　根据题意得,圆Ck的圆心坐标为(k-1,3k),k∈N*,易知圆心在直线y=3(x+1)上,故存在直线y=3(x+1)与所有的圆都相交,所以B正确;以圆Ck与圆Ck+1为例,考虑两圆的位置关系:圆Ck的圆心为(k-1,3k),半径r=k2,圆Ck+1的圆心为(k+1-1,3(k+1)),即(k,3k+3),半径R=(k+1)2,两圆的圆心距d==,R-r=(k+1)2-k2=2k+,对任意的k∈N*,R-r>d,故Ck含于Ck+1之中,所以A错误;当k取无穷大时,可以认为所有直线都与圆相交,所以C错误;将(0,0)代入圆的方程,可得(-k+1)2+9k2=2k4,即10k2-2k+1=2k4,因为等式左边为奇数,右边为偶数,所以不存在k∈N*使此式成立,即所有的圆均不经过原点,所以D正确.
4.ABC　易知点(0,2)到M中每条直线的距离d==1,即M中的每条直线都是圆x2+(y-2)2=1的切线,所以存在圆心为(0,2),半径大于1的圆与M中所有直线均相交,故A正确;
由上述分析知,存在圆心为(0,2),半径小于1的圆与M中所有直线均不相交,故B正确;
由上述分析知,存在圆心为(0,2),半径等于1的圆与M中所有直线均相切,故C正确;
因为M中的直线与以(0,2)为圆心,1为半径的圆相切,所以不妨取M中的直线AB,AC,BC,DE,它们围成正三角形ADE与正三角形ABC,如图,△ABC与△ADE的面积不相等,故D错误.
5.A　对于①②,由题可知圆M的圆心为M(1+cos θ,2+sin θ),半径r=1,直线l的方程可以写成y=k(x-1)+2,易知直线l过定点(1,2),记A(1,2),易知点A在圆M上,所以直线l与圆M相切或相交,故对任意实数k与θ,直线l和圆M有公共点,①正确,②错误.
对于③,由以上分析知不存在实数k与θ,使直线l和圆M相离,③错误.
对于④,当直线l与圆M相切时,点A恰好为直线l与圆M的切点,故直线AM与直线l垂直,
当k=0时,直线AM与x轴垂直,则1+cos θ=1,即cos θ=0,解得θ=k'π+(k'∈Z),故存在θ使得直线l与圆M相切;
当k≠0时,若直线AM与直线l垂直,则cos θ≠0,
直线AM的斜率kAM===tan θ,
所以kAM·k=-1,即tan θ=-,
对任意的k≠0,均存在实数θ,使得tan θ=-,从而使得直线AM与直线l垂直.
综上所述,对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l与圆M相切,④正确.
对于⑤,点M(1+cos θ,2+sin θ)到直线l的距离d=,令θ=0,则当k=0时,d=0;当k≠0时,d=<1,故当θ=0时,d<1恒成立,即直线l与圆M必相交,故此时不存在实数k,使得直线l与圆M相切,⑤错误.
所以正确命题的个数为2.
6.ACD　圆M:(x-cos θ)2+(y-sin θ)2=1的圆心为M(cos θ,sin θ),半径r1=1,而圆x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径r2=2,所以|OM|=1=r2-r1,故圆M与圆x2+y2=4内切,A正确;利用点到直线的距离公式,得圆心M(cos θ,sin θ)到直线xcos α+ysin α=0的距离d==|cos(θ-α)|≤1,故圆M和直线相切或相交,B错误;利用点到直线的距离公式,得圆心M(cos θ,sin θ)到直线x+y=的距离d'===,因为sin∈[-1,1],sin-1∈[-2,0],∈[0,2],且圆M的半径为1,所以圆M上到直线x+y=的距离等于1的点最多有两个,C正确;由题可得四边形PAMB的面积S=2S△PAM=|MA|·|PA|=|PA|=,当MP垂直于直线x+y=3时,|MP|有最小值,且|MP|===,因为sin∈[-1,1],sin-3∈[-4,-2],∈[2,4],所以|MP|min=2,则四边形PAMB面积的最小值为,D正确.
7.答案　x2+y2=4
解析　∵acos θ+a2sin θ-2=0,bcos θ+b2sin θ-2=0,a≠b,
∴(a,a2),(b,b2)都在直线xcos θ+ysin θ-2=0上,
故经过两点(a,a2),(b,b2)的直线的方程是xcos θ+ysin θ-2=0(切线系方程),
易知点(0,0)到该直线的距离d==2,
故所求圆的方程为x2+y2=4.
8.解析　(1)圆M:x2+y2-4x+3=0即(x-2)2+y2=1,其圆心为M(2,0),半径r=1,由题知|MA|=1,|PM|=,
则|PA|==,
易知当t=0时,|PA|最小,最小值为2.
(2)结合(1)得以P为圆心,PA为半径的圆P的方程为(x+1)2+(y-t)2=t2+8,
显然线段AB为圆P和圆M的公共弦,
则直线AB的方程为(x+1)2-(x-2)2+(y-t)2-y2=t2+8-1,即3x-ty-5=0,
令得所以直线AB过定点.
考点4　隐圆、辅助圆问题
1.D　由圆(x-a)2+(y-a)2=8上总存在到原点的距离为的点,知圆(x-a)2+(y-a)2=8与圆x2+y2=2有交点,又两圆的圆心距为|a|,半径分别为2,,∴2-≤|a|≤2+,∴1≤|a|≤3,解得1≤a≤3或-3≤a≤-1.∴实数a的取值范围是[-3,-1]∪[1,3].
2.CD　圆C:(x-3)2+(y-4)2=1的圆心为C(3,4),半径为1.
∵∠APB=90°,∴P是以AB为直径的圆上的点,
又AB的中点为(0,0),记O(0,0),∴P是以O为圆心的圆上的点,
易得C(3,4)与O(0,0)之间的距离为5,∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6,最小值为4,即|PO|max=6,|PO|min=4,
又在Rt△APB中,|PO|=|AB|==,故4≤≤6,解得≤m≤,结合选项可知m的可能取值为4或5.
3.A　已知直线l1:mx-2y-m+6=0,直线l2:2x+my-m-6=0,而m×2+(-2)×m=0,所以l1⊥l2.
直线l1的方程可化为m(x-1)-2(y-3)=0,因此直线l1过定点(1,3),
直线l2的方程可化为2(x-3)+m(y-1)=0,因此直线l2过定点(3,1),
所以点P的轨迹是以点(1,3)与点(3,1)为直径两端点的圆,其圆心为(2,2),半径r==.
又圆C:(x+3)2+(y+3)2=8的圆心为C(-3,-3),半径R=2,
故两个圆心之间的距离d==5,
因为d>r+R=3,所以两圆相离,
因此|PQ|的最大值为d+r+R=8,最小值为d-r-R=2,
所以|PQ|的取值范围是[2,8].
4.B　圆C:x2+y2-2x-4y+3=0即(x-1)2+(y-2)2=2,其圆心为C(1,2),半径r=.
因为CE⊥CF,P是EF的中点,所以|CP|=|EF|==r=1,
所以点P的轨迹方程为(x-1)2+(y-2)2=1,易知此轨迹为圆,圆心为点C(1,2),半径R=1,
若直线l:x-y-3=0上存在两点A,B,使得∠APB≥恒成立,
则圆(x-1)2+(y-2)2=1在以AB为直径的圆内(含内切),
点C(1,2)到直线l的距离d==2(直线l与圆(x-1)2+(y-2)2=1相离),
所以AB长度的最小值为2(d+1)=4+2.
5.A　圆O:x2+y2=8的圆心为O(0,0),半径r=2.
设MN的中点为Q,则+=2,
又+=,所以=2,
又因为|MN|=4,|OM|=|ON|=2,所以△OMN为等腰直角三角形,
则|OQ|=2,可得|OP|=2|OQ|=4,
因此点P在以原点O为圆心,4为半径的圆,即圆x2+y2=16上,
又因为点P在直线x-ay+6=0上,
所以直线x-ay+6=0与圆x2+y2=16有交点,
即圆心(0,0)到直线的距离d=≤4,解得a≥或a≤-,
即实数a的取值范围为∪.
6.答案　
解析　设P(x,y),
由|PA|=3|PB|,可得=3,
整理得x2+y2-3x=0,即为+y2=,
可得P点在以为圆心,为半径的圆上运动,
又P在直线l上,所以直线l和圆有交点,
因此圆心到直线l的距离d=≤,解得-≤k≤,
即实数k的取值范围是.
7.答案　3x+3y+1=0
解析　圆C:x2+2x+y2=0的圆心为C(-1,0),半径r=1,
易知A,P,B,C四点在以PC为直径的圆上,且AB⊥CP,
所以|PC|·|AB|=4S△PAC=4××|PA|×|AC|=2|PA|,
又|PA|=,所以|PC|取最小值时,|PA|也取最小值.易知当直线CP⊥l时,|PC|取得最小值,
此时|PC|·|AB|取得最小值,且直线PC的方程为y=x+1,
联立解得即P,
则以PC为直径的圆的方程为(x+1)+y=0,
将两圆方程(x+1)+y=0与x2+2x+y2=0作差,得3x+3y+1=0,即直线AB的方程为3x+3y+1=0.
8.解析　(1)圆C的标准方程为(x-2)2+y2=4,所以其圆心为C(2,0),半径为2.
因为l∥AB,A(-1,0),B(1,2),所以直线l的斜率为=1,
设直线l的方程为x-y+m=0(m≠1),
则圆心C到直线l的距离d=.
因为|DE|=|AB|==2,
且|CE|2=d2+,所以4=+2,
解得m=0或m=-4,
故直线l的方程为x-y=0或x-y-4=0.
(2)假设圆C上存在点P(x,y)满足条件,
则|PA|2+|PB|2=(x+1)2+(y-0)2+(x-1)2+(y-2)2=12,即x2+y2-2y-3=0,即x2+(y-1)2=4,
因为|2-2|<<2+2,
所以圆C:(x-2)2+y2=4与圆x2+(y-1)2=4相交,
易知点P既在圆C:(x-2)2+y2=4上,又在圆x2+(y-1)2=4上,所以点P为两圆的交点,其个数为2.
(3)易知线段AC所在直线的方程为y=0,设Q(t,0)(-1≤t≤2),N(x',y'),
因为M为线段QN的中点,所以M,
又M,N都在半径为r的圆B上,
所以
即
易知①②两方程对应的两圆有公共点,故(2r-r)2≤(t-1)2+4≤(2r+r)2对于t∈[-1,2]恒成立,易知当t∈[-1,2]时,4≤(t-1)2+4≤8,所以r2≤4且9r2≥8,解得≤r≤2.
又易知Q在圆B外,所以(t-1)2+4>r2恒成立,所以r2<4,所以0综上所述,圆B的半径r的取值范围是.