第二章章末检测试卷
（满分150 时间120分钟）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，则的最小值为（ ）
A．7 B．1 C．2 D．3
2. 一元二次不等式的解集为（ ）
A． B．或
C． D．或
3．如果，，那么下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4. 已知是正实数，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．. C．2. D．.
5.一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
6. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，若关于的不等式的解为-1A B． C． D．
8. 一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站处建仓库，则和分别为2万元和8万元．则当两项费用之和最小时，仓库应建在距离车站（ ）千米
A．4 B．5 C．2 D．.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如果，那么下面一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
10. 已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
11. 对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（ ）
A． B．
C． D．R
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 不等式的解集为 .
13. 用篱笆围一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是 米.
14. 不等式的的解集为R，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知为正实数，且满足.
（1）若恒成立，求的最小值；
（2）证明：.
16. 已知实数满足.
（1）若，求的最小值；
（2）若，求的最小值
17. 已知函数.
（1）求关于的不等式的解集；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
18. 已知 .
(1)解关于的不等式
(2)若不等式的解为，求实数的值.
19. 某单位修建一个长方形无盖蓄水池，其容积为立方米，深度为米，池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，设池底长方形的长为米.
（1）用含的表达式表示池壁面积；
（2）当为多少米时，水池的总造价最低，最低造价是多少？第二章章末检测试卷
（满分150 时间120分钟）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，则的最小值为（ ）
A．7 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】由题可知，，利用基本不等式即可求解；
【详解】，
，
当且仅当，即时取等号，
的最小值为7.
故选A
2. 一元二次不等式的解集为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】A
【分析】求出一元二次不等式的解集判断即可.
【详解】不等式化为，即，解得，
所以原不等式的解集为.
故选：A
3．如果，，那么下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用特殊值判断A、B、C，根据不等式的性质判断D.
【详解】对于A、B，若，，则，不成立，故AB错误；
对于C，若，，则不成立，故C错误；
对于D，因为，，所以，故D正确.
故选：D
4. 已知是正实数，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．. C．2. D．.
【答案】B
【分析】利用基本不等式“1的妙用”即可求解.
.
当且仅当，即时取等号.
的最小值为.
故选B
5.一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由一元二次方程根与系数的关系求解即可；
【详解】∵一元二次方程有一个正根和一个负根，
∴解得.
故满足题意的a的取值集合应是集合的真子集，结合选项可知选C.
故选：C.
6. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题可得，且，利用基本不等式解答即可．
【详解】解：∵，∴，
∴
当且仅当，即时取等号，
∵当时，不等式恒成立，
∴只需．
∴的取值范围为．
故选A．
【点睛】本题主要考查基本不等式，解题的关键是得出，属于一般题．
7．已知函数，若关于的不等式的解为-1A B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得，且，3为方程的两根，运用韦达定理可得，，的关系，可得的解析式，计算（4）.
【详解】关于的不等式的解为-1可得，且，3为方程的两根，
可得，，即，，
，，（4），
故选．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质、函数与方程的思想，以及韦达定理的运用．
8. 一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站处建仓库，则和分别为2万元和8万元．则当两项费用之和最小时，仓库应建在距离车站（ ）千米
A．4 B．5 C．2 D．.
【答案】B
【分析】先利用待定系数法求出和关于的函数解析式，再利用基本不等式即可求解．
【详解】依题意，设，，其中，是比例系数，
在距离车站处建仓库，则和分别为2万元和8万元，
，，
，，
，，其中，
两项费用之和，当且仅当，即时，等号成立，
故这家公司应该把仓库建在距离车站5千米处，才能使两项费用之和最小．
故选B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如果，那么下面一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】利用不等式的性质来进行判断即可.
【详解】对于A，取，满足由，但
不可以推出：，故A错误；
对于B，由，得，
再利用同向同正不等式可乘性得：，故B正确；
对于C，因为，根据不等式性质有：，故C错误；
对于D，因为，根据不等式性质有：，故D正确；
故选：BD.
10. 已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】对于选项A，对作差，用均值不等式，即可判断作答；对于选项B，只需将变形成，代入消元后不等式性质判断即可；对于选项C，根据基本不等式“和定，积最大”可判断；对于选项D，将平方后由基本不等式即可判断.
【详解】对于A，
当且仅当时，等号成立，所以，即，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D错误.
故选：AB.
11. 对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（ ）
A． B． C． D．R
【答案】AB
【分析】讨论参数，得到一元二次不等式的解集，进而判断选项的正误．
【详解】由，分类讨论a如下：
当时，；
当时，；
当时，或；
当时，；
当时，或．
故选：AB．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 不等式的解集为 .
【答案】
【分析】移项通分化为整式不等式求解即可.
【详解】由可得：，
即，解得：.
故答案为：.
13. 用篱笆围一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是 米.
【答案】40
【分析】设矩形的长为，则宽为，设所用篱笆的长为，所以有，利用基本不等式可以求出的最小值.
【详解】设矩形的长为，则宽为，设所用篱笆的长为，所以有，根据基本不等式可知：，（当且仅当时，等号成立，即时，取等号）.
【点睛】本题考查了基本不等式的应用，由已知条件构造函数，利用基本不等式求出最小值是解题的关键.
14. 不等式的的解集为R，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】分类讨论,根据一元二次不等式的解集性质可以求出实数的取值范围.
【详解】当时,不等式变为：,显然符合题意；
当时,要想不等式的的解集为,
只需：,综上所述实数的取值范围为.
【点睛】本题考查了已知不等式的解集求参数取值范围问题,考查了一元二次不等式解集的性质.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知为正实数，且满足.
（1）若恒成立，求的最小值；
（2）证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】(1)利用基本不等式的变形形式（时取等号)求得的最大值，即得的最小值；
(2) 先利用“乘1法”转化，使用基本不等式证得，在利用基本不等式的变形形式证得.
【详解】解：（1）因为，，，
由基本不等式得，当且仅当时取等号.
因为恒成立，所以，的最小值为.
（2）因为，
所以
当且仅当时取等号，得证.
【点睛】关键点点睛：（1）基本不等式的变形形式要熟练掌握和运用；（2）先利用“乘1法”转化，使用基本不等式求最值更是已知和为定值求倒数和最值的有利方法.
16. 已知实数满足.
（1）若，求的最小值；
（2）若，求的最小值，
【答案】（1）9；（2）4.
【分析】（1）由得，并且将其代入得，再根据二次函数的最值可求从而可得的最小值；
（2）由得，并代入得，再由，利用基本不等式得，可得的最小值.
【详解】（1）由得，所以，
而当取等号，
所以，当取等号，
所以的最小值为；
（2）由得，所以，
因为，所以,
又，当且仅当，即 (舍去)时取等号，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为；
故得解.
17. 已知函数.
（1）求关于的不等式的解集；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解即得；
（2）根据不等式恒成立的意义，确定求函数的最小值，并利用配方法求得最小值，将问题转化为解关于的简单的绝对值不等式，根据绝对值的意义即可求解.
【详解】(1)由得，即，
所以的解集为；
(2)不等式对任意恒成立，
由得的最小值为，
所以恒成立，即，
所以，
所以实数的取值范围为
18. 已知 .
(1)解关于的不等式
(2)若不等式的解为，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出，结合二次不等式的求解方法可得答案；
（2）利用不等式的解与方程的根的关系，结合韦达定理可求答案.
【详解】（1）由题意知，即，
解得.
所以所求不等式的解集为.
（2）不等式的解解为，所以方程的两根为，
所以，解得，
故的值为，的值为.
19. 某单位修建一个长方形无盖蓄水池，其容积为立方米，深度为米，池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，设池底长方形的长为米.
（1）用含的表达式表示池壁面积；
（2）当为多少米时，水池的总造价最低，最低造价是多少？
【答案】（1）；（2）当米时，最低造价是元.
【分析】（1）求出池底面积和池底长方形的宽，从而可利用表示出；（2）利用表示出总造价，利用基本不等式可求得最低造价和此时的取值.
【详解】（1）由题意得：池底面积为平方米，池底长方形的宽为米
（2）设总造价为元，则：
化简得：
因为，当且仅当，即时取等号
即当米时，最低造价是元
【点睛】本题考查构造函数模型解决实际问题，涉及到函数最值的求解问题，关键是能够构造出合适的函数模型，结合基本不等式求得结果.
