第三章　圆锥曲线的方程 专项训练（含解析）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第三章　圆锥曲线的方程 专项训练　
考点1 椭圆中的斜率问题
1.(2025吉林大学附属中学月考)已知点A(-2,0)和点B(2,0),P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于-,则动点P的轨迹方程为　　　　　　　　.
2.(2025河北衡水二中月考)过椭圆C:+=1(a>b>0)右焦点F的直线l:x-y-=0交C于A,B两点,P为AB的中点,且直线OP的斜率为-,O为坐标原点,则椭圆C的方程为　　　　　　.
3.(2024河北邯郸期中联考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点(,).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C的上顶点为P,过P的两条直线l1,l2分别与C交于异于点P的点A,B,若直线l1,l2的斜率之和为-1,试判断直线AB是否过定点,若过定点,求出该定点;若不过定点,请说明理由.
4.如图,已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点P(3,1),焦距为4.斜率为-的直线l与椭圆C相交于异于点P的M,N两点,且直线PM,PN均不与x轴垂直.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若|MN|=,求直线MN的方程;
(3)记直线PM的斜率为k1,直线PN的斜率为k2,证明:k1k2为定值.
5.(2025北京海淀期中)已知椭圆C:+=1,过点P(4,0)且与x轴不重合的直线l与椭圆C交于A,B两点.
(1)若线段AB中点的横坐标为,求直线l的方程;
(2)设直线AB与直线x=1交于点Q,点M满足MP⊥x轴,MB∥x轴,试求直线MA的斜率与直线MQ的斜率的比值.
6.(2025黑龙江哈尔滨师范大学附属中学期中)已知椭圆C:+=1(a>b>0),四点P1(,1),P2(0,1),P3,P4中恰有三点在椭圆C上.
(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过点P4且与C相交于A,B两点,若直线P4A与直线P4B的斜率的和为0,求证:l的斜率存在且为定值.
考点2　离心率及其取值范围
1.(2025河南洛阳期中)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰直角三角形,且∠F1F2P=90°,则C的离心率为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
2.(2024河南郑州期末)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M,N在C上(M位于第一象限),且点M,N关于原点O对称,若|MN|=|F1F2|,2|MF2|=|NF2|,则椭圆C的离心率为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
3.(2025浙江台金七校联盟期中)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的左支交于P,Q两点,若|PF2|=|F1F2|,且5=3,则双曲线的离心率为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.2
4.(2025广东惠州期中)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与y轴相交于M点,与双曲线C的一个交点为P,且点P在第一象限内,若=2,·=0,则双曲线C的离心率为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.+1
5.(2025辽宁鞍山一中期中)已知F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点,记△AF1F2的内切圆I1的半径为r1,△BF1F2的内切圆I2的半径为r2,若r1r2=a2,则双曲线的离心率为(　　)
A.　　B.2　　C.　　D.3
6.(2025广东汕头模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0),A1,A2是实轴端点,F是右焦点,B(0,b)是虚轴端点,若在线段BF上(不含端点)存在不同的两点Pi(i=1,2),使得△PiA1A2构成以A1A2为斜边的直角三角形,则双曲线的离心率e的取值范围是(　　)
A.　　B.　　
C.　　D.
7.(2025湖北四地七校期中联考)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与椭圆交于A,B两点,P为AB的中点,4|F1P|=|AB|,tan∠APF1=,则该椭圆的离心率为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
8.(2024湖北武汉部分高中调研测试)已知椭圆E:+=1(a>b>0),过左焦点F且不与x轴垂直的直线l交E于P,Q两点,若直线x=-上存在点T,使得△PQT是等边三角形,则E的离心率的取值范围是(　　)
A.　　B.　　
C.　　D.
9.(2025陕西咸阳模拟)已知F1,F2为椭圆E和双曲线C的公共焦点,P是它们的一个公共点,e1,e2分别为它们的离心率.若∠F1PF2=60°,则+的最大值为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
10.(2025广东珠海期中)过双曲线E的两个焦点分别作实轴的垂线,交E于四个点,若这四个点恰为一个正方形的四个顶点,则E的离心率为　　　　.
11.(2025河北邯郸武安一中期中)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若P为椭圆C上一点,PF1⊥F1F2,△PF1F2的内切圆的半径为,则椭圆C的离心率为　　　　.
12.(2025福建厦门双十中学月考)已知F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点,直线y=kx(k≠0)交椭圆C于M,N两点.若|FM|=3|FN|,∠MFN=,则椭圆C的离心率为　　　　.
13.(2025浙江南太湖联盟联考)已知椭圆和双曲线有相同的焦点F1和F2,离心率分别为e1,e2,P为它们的一个公共点,且|-|=2||(O为坐标原点).若e1∈,则e2的取值范围是　　　　.
14.(2025湖北武汉模拟)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0),A,B,F分别为双曲线的左、右顶点及右焦点,P为双曲线的右支上异于B的动点,过F作直线AP的垂线交BP于点Q,设点Q的横坐标为t,则当最大时,双曲线E的离心率为　　　　.
15.(2025河北沧州期中)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,斜率为的直线l经过左焦点F1且交C于A,B两点(点A在第一象限内),设△AF1F2的内切圆半径为r1,△BF1F2的内切圆半径为r2,若=3,求椭圆的离心率.
考点3　定点、定值及探究性问题
1.(2025河北邯郸期中)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,点P(0,2),坐标原点为O,连接PA,PB,分别交椭圆C于点M,N,△PAB为直角三角形,且|MN|=|AB|.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线l与椭圆C交于D,E两点(均不与A,B重合),若·=0,求证:直线l过定点.
2.(2024江西上饶广丰中学月考)已知椭圆方程为+=1(a>b>0),过点A(-a,0),B(0,b)的直线的倾斜角为,原点O(0,0)到该直线的距离为.
(1)求椭圆的方程;
(2)对于D(-1,0),是否存在实数k,使得直线y=kx+2交椭圆于两点P,Q,且|DP|=|DQ| 若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
3.(2025四川南充期中)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的准线与y轴的交点为A(0,-1).
(1)求抛物线C的方程;
(2)若经过点(-1,0)的直线l与抛物线C相切,求直线l的方程;
(3)若过点M(0,2)的直线l1与抛物线C交于P,Q两点,证明:+为定值.
4.(2025湖南部分名校期中)已知F1(-2,0),F2(2,0),点P满足||PF1|-|PF2||=2,记点P的轨迹为E.
(1)求轨迹E的方程;
(2)直线l经过点A(5,0),倾斜角为45°,且与轨迹E交于C,D两点(C在A,D之间),若=λ,λ∈R,求λ的值;
(3)已知点T(-1,0),过点F2作斜率不为0的直线m与轨迹E交于M,N两点,记直线TM,TN的斜率分别为k1,k2,那么k1·k2是不是定值 若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
5.(2024湖南岳阳一中月考)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),设P是双曲线C上任意一点,O为坐标原点,F为双曲线的右焦点,A1,A2分别为双曲线的左、右顶点.
(1)已知点P在右支上时,总有|PO|>|PF|,求的取值范围;
(2)设过右焦点F的直线l交双曲线于M,N两点,M在第一象限内,如图1,若△OMN为等边三角形,求的值;
(3)若a=2,b=,动点Q在双曲线上,且与双曲线的顶点不重合,直线QA1和直线QA2与直线x=1分别相交于点S和T,如图2,是否存在定点E,使得ES⊥ET恒成立 若存在,请求出定点E的坐标;若不存在,试说明理由.
　　
考点4　圆锥曲线中的最值与范围问题
1.(2025浙江衢州五校联盟期中)已知椭圆C:+=1,动直线l与椭圆C相切于点P,且点P在第一象限内.
(1)若直线l的斜率为-1,求点P的坐标;
(2)若过原点O的直线l1与l垂直,垂足为Q,求△OPQ面积的最大值.
2.(2024江苏南京一中月考)在平面直角坐标系Oxy中,已知等轴双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左顶点为A,过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B,C两点,且△ABC的面积为+1.
(1)求双曲线E的方程;
(2)若直线l:y=kx-1与双曲线E的左、右两支分别交于点M,N,与双曲线E的两条渐近线分别交于点P,Q,求的取值范围.
3.(2024四川成都蒲江中学月考)已知抛物线Γ:y2=2x,A,B,M,N为抛物线Γ上四点,点T在y轴左侧,满足=2,=2.设线段AB的中点为D.
(1)求抛物线Γ的准线方程和焦点坐标;
(2)证明:直线TD与y轴垂直;
(3)设圆C:(x+2)2+y2=3,若点T为圆C上的动点,△TAB的面积为S,求S的最大值.
4.(2025河北承德期中)已知圆C:(x-2)2+y2=4和定点A(-2,0),P为圆C上的任意一点,线段PA的垂直平分线与直线PC交于点M,设点M的轨迹为曲线H,坐标原点为O.
(1)求曲线H的方程;
(2)若过曲线H上一点的直线l与直线y=x和y=-x分别交于点S,T,且该点为线段ST的中点.
(i)求证:直线l与曲线H有且只有一个公共点;
(ii)求+的最小值.
5.(2025黑龙江哈尔滨师范大学附属中学期中)如图,已知椭圆C1:+y2=1,曲线C2:y=x2-1与y轴的交点为M,过坐标原点O的直线l与曲线C2相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线MA,MB分别与C1交于点D,E.
(1)求x1x2;
(2)证明:以DE为直径的圆经过点M;
(3)记△MAB,△MDE的面积分别为S1,S2,若S1=λS2,求λ的取值范围.
6.(2025山东济宁期中)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为2,F1,F2分别为其左、右焦点,O为原点,且点P在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)经过左焦点F1的直线l与椭圆C交于A,B两点(异于左、右顶点),M为线段AB的中点.
①若∠AOB=90°,求线段OM的长度;
②求点A到直线OM的距离d的最小值.
答案
考点1 椭圆中的斜率问题
1.答案　+=1(x≠±2)
解析　设动点P的坐标为(x,y),由题知x≠±2,
又A(-2,0),B(2,0),
所以直线AP的斜率kAP=,
直线BP的斜率kBP=,
由题意可得×=-,化简得点P的轨迹方程为+=1(x≠±2).
2.答案　+=1
解析　对于x-y-=0,令y=0,可得x=,所以椭圆C的右焦点为F(,0),
由直线l的方程得kAB=1,设A(x1,y1),B(x2,y2)(y1+y2≠0),P(x0,y0),则有两式相减得+=0,整理得=-·=-·,因此kOPkAB=-
因此×1=-,所以a2=2b2,又a2=b2+c2,c2=3,
所以a2=6,b2=3,因此椭圆C的方程为+=1.
3.解析　(1)因为椭圆C的离心率为,所以=,①
因为点(,)在椭圆C上,所以+=1,②
又c2=a2-b2,③
故联立①②③,解得a2=6,b2=4,c2=2,
则椭圆C的方程为+=1.
(2)易知直线AB的斜率存在,P(0,2),
不妨设直线AB的方程为y=kx+m(m≠±2),A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去y并整理,得(2+3k2)x2+6kmx+3m2-12=0,
所以x1+x2=-,x1x2=,
所以kPA+kPB=+=+
=2k+=2k+(m-2)·
=2k+==-1,所以m=-4k-2,
此时直线AB的方程为y=k(x-4)-2,
故直线AB恒过定点(4,-2).
4.解析　(1)由椭圆C:+=1(a>b>0)过点P(3,1),焦距为4,
得所以因此椭圆C的方程为+=1.
(2)设直线l的方程为y=-x+m,M(x1,y1),N(x2,y2),
联立消去y得4x2-6mx+9m2-36=0,
由Δ=(-6m)2-144(m2-4)>0,得-则x1+x2=,x1x2=.
则|MN|==·=·
=·=,解得m=2或m=-2,
当m=2时,直线l:y=-x+2,经过点P(3,1),不符合题意,舍去;
当m=-2时,直线l:y=-x-2,符合题意,
所以当|MN|=时,直线MN的方程为y=-x-2.
(3)证明:由(2)知x1+x2=,x1x2=,
因为直线PM,PN均不与x轴垂直,所以x1≠3,x2≠3,则m≠0且m≠2,
所以k1k2=·=
=
===,所以k1k2为定值.
5.解析　(1)易知直线AB的斜率存在且不为0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1≠x2,+=1,+=1,所以+=0,
设线段AB的中点为E,E的纵坐标为y0,由已知可得点E的坐标为,所以x1+x2=,y1+y2=2y0,所以+=0,
因为直线AB过点P(4,0),E,所以=,所以+×=0,所以y0=±,
当y0=时,==-,即直线AB的斜率为-,所以直线AB的方程为y=-(x-4),
因为直线AB:y=-(x-4)与y轴的交点坐标为(0,),点(0,)在椭圆+=1内,故直线AB与椭圆相交,满足条件;
当y0=-时,==,即直线AB的斜率为,所以直线AB的方程为y=(x-4),因为直线AB:y=(x-4)与y轴的交点坐标为(0,-),点(0,-)在椭圆+=1内,故直线AB与椭圆相交,满足条件,所以直线l的方程为y=(x-4)或y=-(x-4).
(2)设直线AB的方程为x=ty+4(t≠0),
联立消去x,化简可得3(ty+4)2+4y2=12,即(3t2+4)y2+24ty+36=0,则Δ=(24t)2-144(3t2+4)=144(t2-4)>0,所以t>2或t<-2,
则yA+yB=-,yAyB=,
联立可得所以点Q的坐标为,
因为MP⊥x轴,MB∥x轴,所以点M的坐标为(4,yB),
所以直线MA的斜率k1==-,
直线MQ的斜率k2==,
所以=-×=-,
又tyAyB==-=-(yA+yB),
所以=-=-=2.
6.解析　(1)由对称性可知点P3和P4在椭圆C上,所以+=1,因为+>+=1,所以点P1不在C上,
所以点P2在C上,因此+=1,
所以b=1,a=2,即C的方程为+y2=1.
(2)证明:如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知t≠,且|t|<2,不妨设A在x轴上方,可得A,B的坐标分别为,,则==,==,所以+=+=≠0,不符合题意,
则直线l的斜率存在,可设l的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去y,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,
所以Δ=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)=16(4k2-m2+1)>0,x1+x2=,x1x2=,
则+=+=0,
因此(x2-)+(x1-)=0,
即2kx1x2+(x1+x2)-2m+2=0,
所以+-2m+2=0,
化简整理得[2k-(1-m)](2k-1)=0,
因为直线l不经过点P4,所以≠k+m,即2k-(1-m)≠0,
所以2k-1=0,解得k=,为定值.
考点2　离心率及其取值范围
1.A　如图所示,
由椭圆+=1(a>b>0),得左顶点为A(-a,0),
由点P在过点A且斜率为的直线上,可得直线AP的方程为y=(x+a),
因为△PF1F2为等腰直角三角形,且∠F1F2P=90°,所以P(c,2c),
将(c,2c)代入方程y=(x+a),可得2c=(c+a),整理得3c=a,
所以椭圆C的离心率e==.
2.C　依题意作图如下,
由于|MN|=|F1F2|,并且线段MN,F1F2互相平分,
∴四边形MF1NF2是矩形,其中∠F1MF2=,
设|MF2|=x,则|MF1|=2a-x,
在Rt△F1MF2中,根据勾股定理,得|MF1|2+=|F1F2|2,即(2a-x)2+x2=4c2,整理得x2-2ax+2b2=0,
∵点M位于第一象限,∴|MF1|>|MF2|,即x由2|MF2|=|NF2|,∠MF2N=,得|MN|=3|MF2|,则3(a-)=2c,整理得7c2+6ac-9a2=0,即7e2+6e-9=0,解得e=,∵03.A　设双曲线-=1(a>0,b>0)的半焦距为c,c>0,则F1(-c,0),F2(c,0),则|PF2|=|F1F2|=2c,
结合双曲线的定义可得|PF1|=|PF2|-2a=2c-2a,
由5=3可得|QF1|=c-a,结合双曲线的定义可得|QF2|=|QF1|+2a=c-a,
在△PF1F2和△QF1F2中,由余弦定理的推论可得,
cos∠PF1F2=
==,
cos∠QF1F2=
==,
由∠PF1F2+∠QF1F2=π,可得cos∠PF1F2+cos∠QF1F2=0,即有+=0,解得3a=2c,因此离心率e==.
4.D　设∠PF1F2=θ,根据题意可作图如下:
∵=2,·=0,∴PF1⊥PF2,|PF1|=|MF1|,
在Rt△MOF1中,|OF1|=c,∠MF1F2=θ,则|MF1|=,∴|PF1|=|MF1|=,
又在Rt△F1PF2中,|F1F2|=2c,∴|PF2|=2csin θ,
∵|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴+4c2sin2θ=4c2,
∴9+16sin2θcos2θ=16cos2θ,∴9+16(1-cos2θ)cos2θ=16cos2θ,
∴9-16cos4θ=0,∴cos2θ=,
易知θ为锐角,则cos θ=,∴θ=30°,
∴|PF1|==c,|PF2|=2csin θ=c,
∴双曲线C的离心率e=====+1.
5.B　过I1分别作AF1,AF2,F1F2的垂线,垂足分别为D,E,F,连接I1F2,I2F2,如图所示,
则|AD|=|AE|,|F1D|=|F1F|,|F2E|=|F2F|,
由双曲线的定义及A在右支上得|AF1|-|AF2|=2a,则(|AD|+|DF1|)-(|AE|+|EF2|)=|F1F|-|F2F|=2a,
又∵|F1F2|=|F1F|+|F2F|=2c,∴|F1F|=a+c,又|F1F|=|OF1|+|OF|,∴|OF|=a,即I1在直线x=a上,
同理可知I2也在直线x=a上,
∵∠I1F2A=∠I1F2F1,∠I2F2B=∠I2F2F1,
∴∠I1F2A+∠I2F2B=∠I1F2F1+∠I2F2F1=∠I2F2I1=,
∴tan∠I1F2F=tan-∠I2F2F=,
∴=,则|I1F||I2F|=,即r1r2=(c-a)2=a2,∴c=2a,故离心率e==2.
6.B　由题意知,F(c,0),B(0,b),则直线BF的方程为bx+cy-bc=0,
∵在线段BF上(不含端点)存在不同的两点Pi(i=1,2),使得△PiA1A2构成以A1A2为斜边的直角三角形,∴以A1A2为直径的圆与线段BF有两个交点,∴原点O到直线BF的距离小于=a,即1,∴1容易判断只有a,∴7.B　不妨设|AB|=2x,x>0,此时|AP|=|BP|=x,因为4|F1P|=|AB|,所以|F1P|=x,
因为tan∠APF1=>0,所以∠APF1为锐角,可得cos∠APF1=,在△AF1P中,由余弦定理得,
|AF1|===x,
所以|AF1|2+|AP|2=|PF1|2,则△AF1P为直角三角形,且∠F1AP=90°,
所以|BF1|===x,而△AF1B的周长l=4a=x+x+2x,解得x=a,所以|AF1|=x=a,|AF2|=2a-|AF1|=a,
则|F1F2|=a=2c,可得e=.
8.D　由已知得点F(-c,0),设直线PQ的方程为x=my-c(m≠0),点P(x1,y1),Q(x2,y2),
联立可得(a2+b2m2)y2-2b2cmy-b4=0,
则Δ=4b4c2m2+4b4(a2+b2m2)=4a2b4(m2+1)>0,
由根与系数的关系可得y1+y2=,y1y2=-,
所以|PQ|=·=,
设线段PQ的中点为M(x0,y0),
则y0==,x0=my0-c=-c=-,
因为△PQT为等边三角形,所以TM⊥PQ,且直线TM的斜率为-m,
所以|TM|=·=,
且tan==,故|TM|=|PM|,
即=,整理可得=∈(0,),所以<<1.
9.D　不妨设椭圆E的方程是+=1(a1>b1>0),双曲线C的方程是-=1(a2>0,b2>0),F1,F2分别为椭圆E的左、右焦点,P在第一象限内,
由椭圆及双曲线的定义可得|PF1|+|PF2|=2a1,
|PF1|-|PF2|=2a2,∴|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2,
在△F1PF2中,由余弦定理可得,(2c)2=(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-a2)cos 60°,
即4c2=+3,∴4=+,
由柯西不等式得≥,故≤×4=,则+≤,当且仅当=,即e1=,e2=时取等号.
10.答案　
解析　不妨设双曲线E:-=1(a>0,b>0),其半焦距为c(c>0).
解法一:如图,设四个顶点分别为A,B,C,D,左、右焦点分别为F1,F2,连接AF1,
在Rt△AF1F2中,|F1F2|=2c,|AF1|-|AF2|=2a=c-c=(-1)c,
所以离心率e====.
解法二:设过焦点的实轴的垂线分别交E于点A,B,C,D,其中A,B在y轴右侧,令F1,F2分别为左、右焦点.
令x=c,可得y=±,所以|AB|=.
依题意可得,|AB|=|F1F2|,所以=2c,
又b2=c2-a2,所以c2-ac-a2=0,即e2-e-1=0,解得e=,
又因为e>1,所以e=.
解法三:设F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,过F2的实轴的垂线与双曲线在第一象限内的交点为A,则|F1F2|=2c,A(c,c),由A(c,c)在双曲线上,得-=1,又b2=c2-a2,所以c4-3a2c2+a4=0,即e4-3e2+1=0,所以e2=由e>1知e2=应舍去,所以e=.
11.答案　
解析　由PF1⊥F1F2,可得P点的横坐标xP=-c,代入椭圆方程可得|yP|=,
则△PF1F2的面积S=·2c·|yP|=,
又△PF1F2的内切圆的半径为,所以△PF1F2的面积S=(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)·=(2a+2c)·,
所以=(2a+2c)·,即=(a+c)·,
又b2=a2-c2,故2a2-ac-3c2=0,两边同除以a2,得3e2+e-2=0,所以e=或e=-1,
又椭圆的离心率e∈(0,1),所以椭圆C的离心率为.
12.答案　
解析　设F2是椭圆C的右焦点,O是坐标原点,M在第一象限内,连接MF2,NF2,
由对称性可知|OM|=|ON|,|OF|=|OF2|,则四边形FMF2N为平行四边形,
则|MF2|=|FN|,∠FMF2=π-∠MFN=.又|FM|=3|FN|,所以|FM|=3|MF2|,
又|FM|+|MF2|=4|MF2|=2a,所以|MF2|=a,|FM|=a,
在△FMF2中,由余弦定理可得=+|FM|2-2|MF2|·|FM|·cos∠FMF2,
即4c2=a2+a2-2×a×a×,解得=,
所以椭圆C的离心率e===.
13.答案　
解析　设椭圆的长半轴长为a,双曲线的实半轴长为a',它们的半焦距为c,其中a,a',c>0,
所以a=,a'=,
根据椭圆及双曲线的对称性,不妨令焦点F1和F2在x轴上,F1在F2左侧,点P在y轴右侧,
由椭圆及双曲线的定义得解得|PF1|=a+a',|PF2|=a-a',
因为|-|=2||,所以||=2||,
而O是线段F1F2的中点,所以∠F1PF2=90°,
则有|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
即(a+a')2+(a-a')2=4c2,整理得a2+a'2=2c2,
从而有+=2c2,即有=2-,
又14.答案　2
解析　由题意可得A(-a,0),B(a,0),易知直线AP的斜率存在,设为k,则k≠0,直线AP的方程为y=k(x+a),与双曲线方程联立,消去y,可得(b2-a2k2)x2-2k2a3x-a4k2-a2b2=0,则-a·xP=,
解得xP=,所以yP=k(xP+a)=,
设过F(,0)且与直线AP垂直的直线为l1,则其方程为y=-(x-),
由题意可得Q为直线l1与直线BP的交点,
直线BP的方程为y=(x-a)=(x-a),
与直线l1的方程联立,可解得t=,
则==,
令q=(q>1),则==-++1=+,
易知当q=2,即=时,取得最大值,
此时双曲线E的离心率e===2.
15.解析　如图所示,由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a.
设△AF1F2的面积为S1,△BF1F2的面积为S2,
因为=3,所以==,
即=-=3,即yA=-3yB.
易得直线l:x=2y-c,联立椭圆C与直线l的方程,可得消去x,可得(a2+4b2)y2-4b2cy-b4=0,
所以yA+yB=,yA·yB=.
将yA=-3yB代入上式,得-2yB=,-3=,
消去yB,得-3×=,化简得12c2=a2+4b2,
又b2=a2-c2,所以12c2=a2+4(a2-c2),即16c2=5a2,
故椭圆的离心率e===.
考点3　定点、定值及探究性问题
1.解析　(1)因为△PAB为直角三角形,
所以由椭圆的对称性知,∠APB=90°,则|OP|=|AB|,即2=×2a,所以a=2,则|MN|=|AB|=,结合相似的知识可得N,
将代入+=1,得+=1,
又a=2,所以b=1,
所以椭圆的标准方程为+y2=1.
(2)证明:由(1)知,B(2,0).
由题意,可设直线DE的方程为x=ty+m(m≠±2),
联立消去x得,(t2+4)y2+2tmy+m2-4=0,
则Δ=4t2m2-4(t2+4)(m2-4)=16(t2-m2+4)>0,设D(x1,y1),E(x2,y2),则y1+y2=,y1·y2=.(*)
=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),
因为·=0,所以(x1-2)(x2-2)+y1y2=0,
将x1=ty1+m,x2=ty2+m代入上式,整理得,
(t2+1)y1y2+t(m-2)(y1+y2)+(m-2)2=0,
将(*)式代入上式,得(t2+1)·+t(m-2)·+(m-2)2=0,整理得5m2-16m+12=0,
解得m=或m=2(舍),故直线l:x=ty+,它恒过点.
2.解析　(1)因为过点A(-a,0),B(0,b)的直线的倾斜角为,所以=tan ,即=,
故过点A(-a,0),B(0,b)的直线的方程为y=(x+a),
故原点O(0,0)到该直线的距离为=,解得a=(负值舍去),
故b=1,所以椭圆的方程是+y2=1.
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2).
将y=kx+2代入+y2=1得,(3k2+1)x2+12kx+9=0,
则Δ=144k2-36(3k2+1)>0,解得k>1或k<-1,
设PQ的中点为M,则xM==-,yM=kxM+2=.
由|DP|=|DQ|,得DM⊥PQ,
所以kDM===-,
所以3k2-4k+1=0,得k=1或k=,
由于k>1或k<-1,
故k=1,k=均不成立,所以不存在满足条件的k.
3.解析　(1)由题可知=1,即p=2,则抛物线C的方程为x2=4y.
(2)依题意,当直线l的斜率不存在时,l:x=-1,与抛物线只有一个交点,但不相切,故直线l的斜率必存在.
设l的方程为y=k(x+1),与抛物线方程联立,消去y,得x2-4kx-4k=0,则Δ=16k2+16k=0,解得k=0或k=-1,经检验均成立,
所以直线l的方程为y=0或x+y+1=0.
(3)证明:由题意知,直线l1的斜率一定存在,设l1:y=tx+2,P(x1,y1),Q(x2,y2),
联立消去y,得x2-4tx-8=0,则Δ'=16t2+32>0,x1+x2=4t,x1x2=-8,
而|PM|2=+=(1+t2),|QM|2=+=(1+t2),
所以+====,是定值.
4.解析　(1)因为||PF1|-|PF2||=2<|F1F2|=4,所以点P的轨迹是以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的双曲线,
设此双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),
易知又b2=c2-a2,所以即轨迹E的方程为x2-=1.
(2)因为直线l经过点A(5,0),倾斜角为45°,
所以直线l的方程为y=x-5,
联立解得或由C在A,D之间可得C(2,-3),D(-7,-12),
则=(-3,-3),=(-12,-12),
由=λ得(-3,-3)=λ(-12,-12),解得λ=.
(3)解法一:设直线m的方程为x=ny+2,M(x1,y1),N(x2,y2),x1≠-1,x2≠-1.
联立消去x,得(3n2-1)y2+12ny+9=0,
则3n2-1≠0,Δ=144n2-36(3n2-1)=36n2+36>0,
所以
则k1·k2=·===
===-1,
故k1·k2是定值,且该定值为-1.
解法二:①当直线m的斜率不存在时,其方程为x=2,不妨设M在N的上方,可得M(2,3),N(2,-3),此时k1k2=-1;
②当直线m的斜率存在时,设其方程为y=k(x-2),k≠0,
联立消去y,得(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0,
则3-k2≠0,Δ=16k4+4(3-k2)(4k2+3)=36(k2+1)>0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),x1≠-1,x2≠-1,
所以
所以k1·k2=·=
=
===-1.
综上所述,k1·k2为定值-1.
5.解析　(1)设点P(x0,y0),x0≥a,则|PO|2=+,|PF|2=+,
要使|PO|>|PF|,则|PO|2>|PF|2,代入并化简得x0>,
∵x0≥a,∴又∵a>0,b>0,∴的取值范围是(0,).
(2)若△OMN为等边三角形,则|OM|=|ON|,故xM=xN,直线l的斜率不存在,故直线l:x=c,
则xM=xN=c,yM=,∵△OMN为等边三角形,∴c=yM,即c2=,即a2+b2=,∴=.
(3)由题知双曲线C的方程为-=1,A1(-2,0),A2(2,0),设点Q(x1,y1),则-=1,x1≠±2,
易得直线QA1:y=(x+2),则S,
直线QA2:y=(x-2),则T,
由Q点在双曲线上,且双曲线关于x轴对称得,
若存在定点E,使得ES⊥ET恒成立,则点E只能在x轴上,设E(t,0),则·=0,
∴(1-t)2+=(1-t)2-=0,解得t=-或t=,
即存在满足题意的定点E,其坐标为或.