7.2.2 复数的乘、除运算
[学习目标] 1．掌握复数的乘法和除法运算．
2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．
3．掌握在复数范围内解方程的方法．
[讨论交流] 预习教材P77－P79的内容，思考以下问题：
问题1．复数的乘法和除法运算法则各是什么？
问题2．复数乘法的运算律有哪些？
问题3．如何在复数范围内求方程的解？
[自我感知] 经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 复数乘法的运算法则和运算律
探究问题1 类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
[新知生成]
1．复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝________．
2．复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝________
结合律 (z1z2)z3＝________
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝________
[典例讲评] 1．(源自湘教版教材)计算：
(1)(1＋2i)(4－3i)；
(2)(1＋i)2；
(3)(1－i)2；
(4)(1＋i)1 000．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
1．两个复数代数形式乘法的一般方法
复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简单运算，例如平方差公式、完全平方公式等．
2．常用公式
(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)．
(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．
(3)(1±i)2＝±2i．
[学以致用] 1．(1)(2023·新高考Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)i是虚数单位，若(1＋mi)(2－i)为纯虚数，则实数m的值为( )
A．2 B．4 C．－2 D．－4
探究2 复数除法的运算法则
探究问题2 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·结果是多少？能否借助该结论计算(a，b∈R)
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
探究问题3 类比实数的除法是乘法的逆运算，你认为该如何定义复数的除法运算？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
[新知生成]
复数除法的法则：(a＋bi)÷(c＋di)＝i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)．
[典例讲评] 2．(源自北师大版教材)计算：
(1)；(2)；(3)．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
1．根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．
2．设z1，z2都是复数，则|z1·z2|＝＝(z2≠0)．
[学以致用] 2．(1)设复数z满足＝i2 025，则|z|等于( )
A．1 B． C． D．2
(2)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为( )
A．3＋5i B．3－5i
C．－3＋5i D．－3－5i
探究3 在复数范围内解方程
[典例讲评] 3．在复数范围内解下列方程：
(1)x2＋5＝0；
(2) x2＋6x＋10＝0．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法
(1)求根公式法
①当Δ≥0时，x＝．
②当Δ<0时，x＝(此时，两根互为共轭复数)．
(2)利用复数相等的定义求解
设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此根代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．
[学以致用] 3．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c为实数)的一个根．
(1)求b，c的值；
(2)试判断1－i是不是方程的根．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
1．－i＝( )
A．－5－3i B．－5＋3i
C．5－3i D．5＋3i
2．复数的共轭复数是( )
A．2＋i B．－2＋i
C．－2－i D．2－i
3．复数z满足z2＋1＝0，则z3＝( )
A．1 B．±1 C．i D．±i
4．若一元二次方程x2－2x＋5＝0，则该方程在复数范围内的解为________．
1．知识链：(1)复数的乘法运算及运算律．
(2)复数的除法运算．
(3)在复数范围内解方程．
2．方法链：分母实数化、配方法、求根公式法．
3．警示牌：分母实数化时忽视i2＝－1造成运算错误．
利用复数产生分形图
以前我们学过的函数，定义域都是实数集的子集．但函数概念还可以推广：定义域是复数集的子集的函数称为复变函数．类似地，我们还可以得到多项式复变函数的概念．例如，f (z)＝z2就是一个多项式复变函数，此时
f (i)＝i2＝－1，f (1＋i)＝(1＋i)2＝2i．
给定多项式复变函数f (z)之后，对任意一个复数z0，通过计算公式zn＋1＝f (zn)，n∈N可以得到一列值
z0，z1，z2，…，zn，…．
如果存在一个正数M，使得|zn|＜M对任意n∈N都成立，则称z0为f (z)的收敛点；否则，称z0为f (z)的发散点．f (z)的所有收敛点组成的集合称为f (z)的充满茹利亚集．
例如，当f (z)＝z2时，如果z0＝i，则得到的一列值是
i，－1，1，1，…，1，…；
如果z0＝1＋i，则算出的一列值是
1＋i，2i，－4，…，22n-1，…．
显然，对于f (z)＝z2来说，i为收敛点，1＋i为发散点．事实上，利用|z2|＝|z|2可以证明，
f (z)＝z2的充满茹利亚集是一个单位圆盘(即由满足|z|≤1的所有z组成的集合)．
让人惊讶的是，当f (z)＝z2＋c时，对于某些复数c来说，f (z)的充满茹利亚集是非常复杂的．如果利用计算机对不同形态的收敛点和发散点进行不同的着色，而且，如果按照一定的规则对c进行分类，并进行着色，可以得到如图所示的芒德布罗分形图．
7.2.2 复数的乘、除运算
[探究建构]
探究1
探究问题1 提示：复数的乘法法则如下：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)·(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．
新知生成 1．(ac－bd)＋(ad＋bc)i
2．z2z1 z1(z2z3) z1z2＋z1z3
典例讲评 1．解：(1)(1＋2i)(4－3i)
＝1×4＋1×(－3i)＋2i×4＋2i×(－3i)
＝4－3i＋8i－6i2
＝4－3i＋8i－6×(－1)
＝10＋5i．
(2)(1＋i)2＝12＋2×1×i＋i2＝1＋2i－1＝2i．
(3)(1－i)2＝12－2×1×i＋i2＝1－2i－1＝－2i．
(4)(1＋i)1 000＝[(1＋i)2]500
＝(2i)500
＝2500×i500
＝2500×1
＝2500．
学以致用 1．(1)A (2)C [(1)因为(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限，故选A．
(2)依题意(1＋mi)(2－i)＝2＋2mi－i＋m＝2＋m＋(2m－1)i为纯虚数，所以解得m＝－2．故选C．]
探究2
探究问题2 提示：z·
探究问题3 提示：设复数a＋bi(a，b∈R)除以c＋di(c，d∈R)，其商为x＋yi(x，y∈R)，即(a＋bi)÷(c＋di)＝x＋yi．
∵(x＋yi)(c＋di)＝(cx－dy)＋(dx＋cy)i，
∴(cx－dy)＋(dx＋cy)i＝a＋bi．
由复数相等，可知
解这个方程组，得
于是有(a＋bi)÷(c＋di)＝i．
典例讲评 2．解：(1)；
(2)＝－i；
(3)＝＝i6＝－1．
学以致用 2．(1)A (2)A [(1)因为i4＝1，所以i2 025＝i，
所以＝i，得1＋z＝i(1－z)，
即z＝＝i，
所以|z|＝1．
(2)∵z(2－i)＝11＋7i，
∴z＝＝3＋5i．]
探究3
典例讲评 3．解：(1)因为x2＋5＝0，所以x2＝－5，
又因为2＝2＝－5，
所以x＝±i，
所以方程x2＋5＝0的根为±i．
(2)法一：因为x2＋6x＋10＝x2＋6x＋9＋1＝(x＋3)2＋1＝0，所以(x＋3)2＝－1，
又因为i2＝－1，所以(x＋3)2＝i2，
所以x＋3＝±i，即x＝－3±i．
法二：因为Δ＝62－4×10×1＝－4<0，
所以方程的根为x＝＝－3±i．
学以致用 3．解：(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，且b，c为实数，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，
即b＋c＋(b＋2)i＝0，
∴解得
(2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，
把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，即方程成立．
∴1－i是方程的根．
[应用迁移]
1．A [－i(3－5i)＝5i2－3i＝－5－3i．
故选A．]
2．B [∵＝－2－i，而－2－i的共轭复数是－2＋i．故选B．]
3．D [因为z2＋1＝0，所以z2＝－1，则z＝±i．
当z＝i时，z3＝i3＝－i．
当z＝－i时，z3＝(－i)3＝i．
所以z3＝±i．]
4．1±2i [Δ＝(－2)2－4×1×5＝－16<0，
所以方程的根为x＝＝1±2i．
即方程的两根分别为1＋2i和1－2i．]
6/6(共65张PPT)
7.2.2 复数的乘、除运算
第七章 复数
7.2 复数的四则运算
[学习目标] 1．掌握复数的乘法和除法运算．
2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．
3．掌握在复数范围内解方程的方法．
整体感知
[讨论交流] 预习教材P77－P79的内容，思考以下问题：
问题1．复数的乘法和除法运算法则各是什么
问题2．复数乘法的运算律有哪些
问题3．如何在复数范围内求方程的解
[自我感知] 经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 复数乘法的运算法则和运算律
探究问题1 类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢
探究建构
[提示] 复数的乘法法则如下：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)·(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．
[新知生成]
1．复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝_____________________．
( ac－bd )＋(ad＋bc)i
2．复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝______
结合律 (z1z2)z3＝________
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝____________
【教用·微提醒】 一般地，对任意自然数n，有i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i．
z2z1
z1(z2z3)
z1z2＋z1z3
【链接·教材例题】
例3 计算(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)．
[解] (1－2i)(3＋4i)(－2＋i)
＝(11－2i)(－2＋i)
＝－20＋15i．
例4 计算：
(1)(2＋3i)(2－3i)；
(2)(1＋i)2．
分析：本例可以用复数的乘法法则计算，也可以用乘法公式计算．
[解] (1)(2＋3i)(2－3i)＝22－(3i)2＝4－(－9)＝13；
(2)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝1＋2i－1＝2i．
[典例讲评] 1．(源自湘教版教材)计算：
(1)(1＋2i)(4－3i)；
(2)(1＋i)2；
(3)(1－i)2；
(4)(1＋i)1 000．
[解] (1)(1＋2i)(4－3i)
＝1×4＋1×(－3i)＋2i×4＋2i×(－3i)
＝4－3i＋8i－6i2
＝4－3i＋8i－6×(－1)
＝10＋5i．
(2)(1＋i)2＝12＋2×1×i＋i2＝1＋2i－1＝2i．
(3)(1－i)2＝12－2×1×i＋i2＝1－2i－1＝－2i．
(4)(1＋i)1 000＝[(1＋i)2]500
＝(2i)500
＝2500×i500
＝2500×1
＝2500．
反思领悟 1．两个复数代数形式乘法的一般方法
复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简单运算，例如平方差公式、完全平方公式等．
2．常用公式
(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)．
(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．
(3)(1±i)2＝±2i．
[学以致用] 1．(1)(2023·新高考Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
(2)i是虚数单位，若(1＋mi)(2－i)为纯虚数，则实数m的值为( )
A．2 B．4 C．－2 D．－4
√
√
(1)A (2)C [(1)因为(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限，故选A．
(2)依题意(1＋mi)(2－i)＝2＋2mi－i＋m＝2＋m＋(2m－1)i为纯虚数，
所以 ，解得m＝－2．故选C．]
探究2 复数除法的运算法则
探究问题2 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·结果是多少 能否借助该结论计算(a，b∈R)
[提示] z·．
探究问题3 类比实数的除法是乘法的逆运算，你认为该如何定义复数的除法运算
[提示] 设复数a＋bi(a，b∈R)除以c＋di(c，d∈R)，其商为x＋yi(x，y∈R)，即(a＋bi)÷(c＋di)＝x＋yi．
∵(x＋yi)(c＋di)＝(cx－dy)＋(dx＋cy)i，
∴(cx－dy)＋(dx＋cy)i＝a＋bi．
由复数相等，可知
解这个方程组，得
于是有(a＋bi)÷(c＋di)＝i．
[新知生成]
复数除法的法则：(a＋bi)÷(c＋di)＝i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)．
【链接·教材例题】
例5 计算(1＋2i)÷(3－4i)．
[解] (1＋2i)÷(3－4i)＝
＝
＝i．
[典例讲评] 2．(源自北师大版教材)计算：
(1)；(2)；(3)．
[解] (1)；
(2)＝－i；
(3)＝＝＝i6＝－1．
反思领悟 1．根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．
2．设z1，z2都是复数，则|z1·z2|＝(z2≠0)．
[学以致用] 2．(1)设复数z满足＝i2 025，则|z|等于( )
A．1 B． C． D．2
(2)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为( )
A．3＋5i B．3－5i C．－3＋5i D．－3－5i
√
√
(1)A (2)A [(1)因为i4＝1，所以i2 025＝i，
所以＝i，得1＋z＝i(1－z)，
即z＝＝i，所以|z|＝1．
(2)∵z(2－i)＝11＋7i，
∴z＝＝3＋5i．]
【教用·备选题】 (源自湘教版教材)已知复数z1＝1＋2i，z2＝4－3i，求及．
[解] i．
＝－i，
或＝(1＋2i)＝i＋i－i．
探究3 在复数范围内解方程
【链接·教材例题】
例6 在复数范围内解下列方程：
(1)x2＋2＝0；
(2)ax2＋bx＋c＝0，其中a，b，c∈R，且a≠0，Δ＝b2－4ac＜0．
分析：利用复数的乘法容易得到(1) 中方程的根．对于(2)，当Δ＝b2－4ac<0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0无实数根．利用求解一元二次方程的“根本大法”——配方法，类似于(1)，就能在复数范围内求得(2)中方程的根．
[解] (1)因为2＝2＝－2，所以方程x2＋2＝0的根为x＝±i．
(2)将方程ax2＋bx＋c＝0的二次项系数化为1，得x2＋＝0．
配方，得，即．
由Δ＜0，知＞0．
类似(1)，可得x＋＝±i．
所以原方程的根为x＝－i．
[典例讲评] 3．在复数范围内解下列方程：
(1)x2＋5＝0；
(2)x2＋6x＋10＝0．
[解] (1)因为x2＋5＝0，所以x2＝－5，
又因为2＝2＝－5，所以x＝±i，
所以方程x2＋5＝0的根为±i．
(2)法一：因为x2＋6x＋10＝x2＋6x＋9＋1＝(x＋3)2＋1＝0，所以(x＋3)2＝－1，
又因为i2＝－1，所以(x＋3)2＝i2，
所以x＋3＝±i，即x＝－3±i．
法二：因为Δ＝62－4×10×1＝－4<0，
所以方程的根为x＝＝－3±i．
反思领悟 在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的求解方法
(1)求根公式法
①当Δ≥0时，x＝．
②当Δ<0时，x＝(此时，两根互为共轭复数)．
(2)利用复数相等的定义求解
设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此根代入方程ax2＋bx＋c＝0
(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．
[学以致用] 3．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c为实数)的一个根．
(1)求b，c的值；
(2)试判断1－i是不是方程的根．
[解] (1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，且b，c为实数，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即b＋c＋(b＋2)i＝0，
∴解得
(2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，
把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，即方程成立．
∴1－i是方程的根．
【教用·备选题】 (源自苏教版教材)在复数集C内解下列方程：
(1)z2＋4＝0；
(2)z2－10z＋40＝0．
[解] (1)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则(x＋yi)2＋4＝0，
即(x2－y2＋4)＋2xyi＝0，
所以解得
因此z＝2i或z＝－2i．
(2)配方，得(z－5)2＝－15．所以z－5＝i或z－5＝－i．
所以z＝5＋i或z＝5－i．
1．－i(3－5i)＝( )
A．－5－3i B．－5＋3i
C．5－3i D．5＋3i
应用迁移
2
3
题号
4
1
A [－i(3－5i)＝5i2－3i＝－5－3i．
故选A．]
√
2
3
题号
4
1
B [∵＝－2－i，而－2－i的共轭复数是－2＋i．故选B．]
√
2．复数的共轭复数是( )
A．2＋i B．－2＋i
C．－2－i D．2－i
3．复数z满足z2＋1＝0，则z3＝( )
A．1 B．±1 C．i D．±i
2
3
题号
4
1
D [因为z2＋1＝0，所以z2＝－1，则z＝±i．
当z＝i时，z3＝i3＝－i．
当z＝－i时，z3＝(－i)3＝i．
所以z3＝±i．]
√
2
3
题号
4
1
1±2i [Δ＝(－2)2－4×1×5＝－16<0，
所以方程的根为x＝＝1±2i．
即方程的两根分别为1＋2i和1－2i．]
1±2i
4．若一元二次方程x2－2x＋5＝0，则该方程在复数范围内的解为________．
1．知识链：(1)复数的乘法运算及运算律．
(2)复数的除法运算．
(3)在复数范围内解方程．
2．方法链：分母实数化、配方法、求根公式法．
3．警示牌：分母实数化时忽视i2＝－1造成运算错误．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．三个实数具有怎样的关系
[提示] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
所以|z|＝，
z·＝(a＋bi)(a－bi)＝a2－(bi)2＝a2＋b2，
所以|z|2＝2＝z·．
2．复数除法的实质是怎样的
[提示] 复数除法的实质是分母实数化的过程，两个复数相除，就是先把它们的商写成分数的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简即可．
3．实系数一元二次方程的虚根有何特点
[提示] 实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，即若复数a＋bi(a，b∈R，b0)是实系数一元二次方程的根，则其共轭复数a－bi是该方程的另一根．
利用复数产生分形图
以前我们学过的函数，定义域都是实数集的子集．但函数概念还可以推广：定义域是复数集的子集的函数称为复变函数．类似地，我们还可以得到多项式复变函数的概念．例如，f (z)＝z2就是一个多项式复变函数，此时
f (i)＝i2＝－1，f (1＋i)＝(1＋i)2＝2i．
阅读材料
给定多项式复变函数f (z)之后，对任意一个复数z0，通过计算公式zn＋1＝f (zn)，n∈N可以得到一列值
z0，z1，z2，…，zn，…．
如果存在一个正数M，使得|zn|＜M对任意n∈N都成立，则称z0为f (z)的收敛点；否则，称z0为f (z)的发散点．f (z)的所有收敛点组成的集合称为f (z)的充满茹利亚集．
例如，当f (z)＝z2时，如果z0＝i，则得到的一列值是
i，－1，1，1，…，1，…；
如果z0＝1＋i，则算出的一列值是
1＋i，2i，－4，…，，…．
显然，对于f (z)＝z2来说，i为收敛点，1＋i为发散点．事实上，利用|z2|＝|z|2可以证明，f (z)＝z2的充满茹利亚集是一个单位圆盘(即由满足|z|≤1的所有z组成的集合)．
让人惊讶的是，当f (z)＝z2＋c时，对于某些复数c来说，f (z)的充满茹利亚集是非常复杂的．如果利用计算机对不同形态的收敛点和发散点进行不同的着色，而且，如果按照一定的规则对c进行分类，并进行着色，可以得到如图所示的芒德布罗分形图．
一、选择题
1．已知z＝，则z在复平面上对应的点所在象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
课时分层作业(十九) 复数的乘、除运算
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
D [因为z＝＝5－3i，所以它在复平面上对应的点为(5，－3)，该点位于第四象限．故选D．]
2．设复数z＝i2 024－2i，则z的虚部是( )
A．3 B．2 C．－3 D．－2
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
D [因为z＝i506×4－2i＝1－2i，所以z的虚部为－2．故选D．]
3．(2023·全国甲卷)设a∈R，(a＋i)(1－ai)＝2，则a＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
√
C [因为(a＋i)(1－ai)＝2，
所以2a＋(1－a2)i＝2，即解得a＝1．故选C．]
4．已知复数z·(1－2i)在复平面内对应的点的坐标为(3，1)，则z＝( )
A．i B．＋i C．－i D．i
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
√
A [由已知复数z·(1－2i)在复平面内对应的点的坐标为(3，1)，则z·(1－2i)＝3＋i，所以z＝i．故选A．]
5．(多选)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A．i3(1＋i)2 B．i2(1－i)2 C． D．
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
√
BC [计算得AD为实数，BC为纯虚数．]
√
二、填空题
6．在复数范围内方程2x2＋3x＋4＝0的解为________．
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
[因为Δ＝b2－4ac＝32－4×2×4＝9－32＝－23<0，
所以方程2x2＋3x＋4＝0的根为x＝．]
7．设z＝＝________．
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
3 [由z＝＋3－4i＝3－3i，
所以|z|＝．]
3
8．若2＋i(i是虚数单位)是关于x的实系数方程x2＋mx＋n＝0的一个根，则m＋n＝_____．
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
1 [因为2＋i是关于x的实系数方程x2＋mx＋n＝0的一个根，所以(2＋i)2＋m(2＋i)＋n＝0，
所以2m＋n＋3＋(4＋m)i＝0，由复数相等可得
所以 m＋n＝1．]
1
三、解答题
9．已知复数z1＝1－i，z2＝4＋6i，i为虚数单位．
(1)求；
(2)若复数z＝1＋bi(b∈R)满足z＋z1为实数，求|z|．
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
[解] (1)＝－1＋5i．
(2)因为z＝1＋bi(b∈R)，所以z＋z1＝2＋(b－1)i，
因为z＋z1为实数，所以b－1＝0，所以b＝1，所以z＝1＋i，
所以|z|＝．
10．已知a∈R，b∈R，且＝1＋2i，则|a＋bi|＝( )
A． B．2 C． D．10
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
A [因为＝1＋2i，即a＋3i＝(1＋2i)(1＋bi)，即a＋3i＝1＋bi＋2i＋2bi2＝(1－2b)＋(2＋b)i，
因为a∈R，b∈R，所以解得
所以|a＋bi|＝|－1＋i|＝．故选A．]
√
11．在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是＝(－2，3)，＝(3，－2)，则复数对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
A [由已知可得，z1＝－2＋3i，z2＝3－2i，
则＝i，
所以复数对应的点为，该点位于第一象限．故选A．]
√
12．在复数范围内方程x2－2x＋5＝0的两根为α，β，则|α|＋|β|＝( )
A．2 B．2 C． D．5
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
B [因为方程x2－2x＋5＝0，
所以Δ＝(－2)2－4×5＝－16<0，所以x＝＝1±2i，
若令α＝1＋2i，则β＝1－2i，
则|α|＋|β|＝|1＋2i|＋|1－2i|＝．]
√
13．某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数(i是虚数单位)．
①；②；③．
从三个式子中选择一个，求出这个常数为______；根据三个式子的结构特征及计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式________．
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
i
＝i
i ＝i [由复数的运算法则，可得＝i；
根据三个式子的结构特征及上式的计算结果，可以得到：＝i，
证明如下：
由＝i．]
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
14．已知z是复数，z－i为实数，为纯虚数(i为虚数单位)．
(1)求复数z；
(2)复数z1＝在复平面上对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
[解] (1)设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，因为z－i＝a＋(b－1)i是实数，
所以b＝1，则z＝a＋i，
所以，
因为为纯虚数，
所以2－2a＝0且a＋40，
解得a＝1，所以z＝1＋i．
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
(2)由(1)知，z1＝i，
所以z1在复平面上对应的点为，又已知z1在复平面上对应的点在第二象限，
所以解得－1题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
15．设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1＜ω＜2．
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；
(2)设u＝，证明：u为纯虚数．
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
[解] (1)因为z是虚数，所以可设z＝x＋yi，x，y∈R，且y0，
所以ω＝z＋＝x＋yi＋＝x＋yi＋＝i．
因为ω是实数且y0，所以y－＝0，所以x2＋y2＝1，
即|z|＝1．此时ω＝2x．
因为－1＜ω＜2，所以－1＜2x＜2，从而有－＜x＜1，
即z的实部的取值范围是．
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
(2)证明：设z＝x＋yi，x，y∈R，且y0，
由(1)知，x2＋y2＝1，
所以u＝＝＝＝－i．
因为x∈，y0，所以0，
所以u为纯虚数．
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
THANKS课时分层作业(十九) 复数的乘、除运算
一、选择题
1．已知z＝，则z在复平面上对应的点所在象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．设复数z＝i2 024－2i，则z的虚部是( )
A．3 B．2 C．－3 D．－2
3．(2023·全国甲卷)设a∈R，(a＋i)(1－ai)＝2，则a＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
4．已知复数z·(1－2i)在复平面内对应的点的坐标为(3，1)，则z＝( )
A．i B．＋i
C．－i D．i
5．(多选)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A．i3(1＋i)2 B．i2(1－i)2
C． D．
二、填空题
6．在复数范围内方程2x2＋3x＋4＝0的解为________．
7．设z＝＝________．
8．若2＋i(i是虚数单位)是关于x的实系数方程x2＋mx＋n＝0的一个根，则m＋n＝________．
三、解答题
9．已知复数z1＝1－i，z2＝4＋6i，i为虚数单位．
(1)求；
(2)若复数z＝1＋bi(b∈R)满足z＋z1为实数，求|z|．
10．已知a∈R，b∈R，且＝1＋2i，则|a＋bi|＝( )
A． B．2 C． D．10
11．在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是＝(－2，3)，＝(3，－2)，则复数对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
12．在复数范围内方程x2－2x＋5＝0的两根为α，β，则|α|＋|β|＝( )
A．2 B．2 C． D．5
13．某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数(i是虚数单位)．
①；②；③．
从三个式子中选择一个，求出这个常数为______；根据三个式子的结构特征及计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式________．
14．已知z是复数，z－i为实数，为纯虚数(i为虚数单位)．
(1)求复数z；
(2)复数z1＝在复平面上对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．
15．设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1＜ω＜2．
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；
(2)设u＝，证明：u为纯虚数．
课时分层作业(十九)
1．D [因为z＝＝5－3i，
所以它在复平面上对应的点为(5，－3)，该点位于第四象限．故选D．]
2．D [因为z＝i506×4－2i＝1－2i，所以z的虚部为－2．故选D．]
3．C [因为(a＋i)(1－ai)＝2，
所以2a＋(1－a2)i＝2，即解得a＝1．
故选C．]
4．A [由已知复数z·(1－2i)在复平面内对应的点的坐标为(3，1)，则z·(1－2i)＝3＋i，
所以z＝i．故选A．]
5．BC [计算得AD为实数，BC为纯虚数．]
6． [因为Δ＝b2－4ac＝32－4×2×4＝9－32＝－23<0，
所以方程2x2＋3x＋4＝0的根为
x＝
7．3 [由z＝＋3－4i＝3－3i，所以|z|＝
8．1 [因为2＋i是关于x的实系数方程x2＋mx＋n＝0的一个根，所以(2＋i)2＋m(2＋i)＋n＝0，
所以2m＋n＋3＋(4＋m)i＝0，由复数相等可得
所以 m＋n＝1．]
9．解：(1)＝－1＋5i．
(2)因为z＝1＋bi(b∈R)，所以z＋z1＝2＋(b－1)i，
因为z＋z1为实数，
所以b－1＝0，所以b＝1，所以z＝1＋i，
所以|z|＝
10．A [因为＝1＋2i，即a＋3i＝(1＋2i)(1＋bi)，即a＋3i＝1＋bi＋2i＋2bi2＝(1－2b)＋(2＋b)i，
因为a∈R，b∈R，所以解得
所以|a＋bi|＝|－1＋i|＝
故选A．]
11．A [由已知可得，z1＝－2＋3i，z2＝3－2i，
则＝i，
所以复数对应的点为，该点位于第一象限．故选A．]
12．B [因为方程x2－2x＋5＝0，
所以Δ＝(－2)2－4×5＝－16<0，
所以x＝＝1±2i，
若令α＝1＋2i，则β＝1－2i，
则|α|＋|β|＝|1＋2i|＋|1－2i|＝
13．i ＝i [由复数的运算法则，可得＝i；
根据三个式子的结构特征及上式的计算结果，可以得到：＝i，
证明如下：
由＝i．]
14．解：(1)设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，因为z－i＝a＋(b－1)i是实数，
所以b＝1，则z＝a＋i，
所以，
因为为纯虚数，
所以2－2a＝0且a＋4≠0，解得a＝1，
所以z＝1＋i．
(2)由(1)知，z1＝i，
所以z1在复平面上对应的点为，又已知z1在复平面上对应的点在第二象限，
所以解得－1即实数m的取值范围为(－1，1)．
15．解：(1)因为z是虚数，所以可设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0，所以ω＝z＋＝x＋yi＋＝x＋yi＋i．
因为ω是实数且y≠0，
所以y－＝0，所以x2＋y2＝1，
即|z|＝1．
此时ω＝2x．
因为－1＜ω＜2，
所以－1＜2x＜2，
从而有－＜x＜1，
即z的实部的取值范围是
(2)证明：设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0，
由(1)知，x2＋y2＝1，
所以u＝
＝
＝
＝－i．
因为x∈，y≠0，
所以≠0，
所以u为纯虚数．
2/2
