代数基本定理
1．代数基本定理
任何一元n(n∈N*)次复系数多项式方程f (x)＝0至少有一个复数根．
它说的是：任何一元n(n∈N*)次复系数多项式f (x)在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积．进而一元n次多项式方程有n个复数根(重根按重数计)．
2．一元多项式方程的根与系数之间的关系
(1)设实系数一元二次方程a2x2＋a1x＋a0＝0(a2≠0)在复数集C内的根为x1，x2，则
(2)设实系数一元三次方程a3x3＋a2x2＋a1x＋a0＝0(a3≠0)． ①
在复数集C内的根为x1，x2，x3，可以得到，方程①可变形为a3(x－x1)(x－x2)(x－x3)＝0，
展开得a3x3－a3(x1＋x2＋x3)x2＋a3(x1x2＋x1x3＋x2x3)x－a3x1x2x3＝0． ②
比较①②可以得到
【典例】 (1)(多选)在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之一，在复数集范围内，若ω是x3＝1的一个根，则ω2＋ω＋1＝( )
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)设多项式函数f (x)＝anxn＋an－1xn-1＋…＋a1x＋a0(an≠0)，根据代数基本定理可知方程f (x)＝0有n个根x1，x2，…，xn．则x1＋x2＋…＋xn＝________；x1x2…xn＝________．
[尝试解答] _________________________________________________________
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1．设实系数一元三次方程x3＋2x2＋3x＋4＝0在复数集C内的根为x1，x2，x3，则的值为( )
A．－2 B．0 C．2 D．4
2．(多选)设实系数一元四次方程ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝0(a≠0)，在复数集C内
的根为x1，x2，x3，x4，则下列结论正确的是( )
A．x1＋x2＋x3＋x4＝－
B．x1x2x3＋x1x2x4＋x1x3x4＋x2x3x4＝－
C．x1x2x3x4＝
D．x1x2＋x1x3＋x1x4＋x2x3＋x2x4＋x3x4＝
探究课2 代数基本定理
典例探究
典例 (1)AD (2)－ (－1)n [(1)因为x3＝1，所以x3－1＝0，即(x－1)(x2＋x＋1)＝0，所以x＝1或x＝即ω＝1或ω＝
当ω＝1时，ω2＋ω＋1＝3；
当ω＝时，ω2＋ω＋1＝0．故选AD．
(2)由题意知：
f (x)＝an(x－x1)(x－x2)·…·(x－xn)，
∴an(x－x1)(x－x2)·…·(x－xn)＝anxn＋an－1xn-1＋…＋a1x＋a0，
∴
∴]
对点训练
1．A [∵x3＋2x2＋3x＋4＝(x－x1)(x－x2)(x－x3)＝x3－(x1＋x2＋x3)x2＋(x1x2＋x1x3＋x2x3)x－x1x2x3，
由对应系数相等得：
x1＋x2＋x3＝－2，x1x2＋x1x3＋x2x3＝3，
∴＝(x1＋x2＋x3)2－2(x1x2＋x1x3＋x2x3)＝4－6＝－2．故选A．]
2．AC [由题设知：
ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝a(x－x1)(x－x2)(x－x3)(x－x4)
＝a[x4－(x1＋x2＋x3＋x4)x3＋(x1x2＋x1x3＋x1x4＋x2x3＋x2x4＋x3x4)x2－(x1x2x3＋x1x2x4＋x1x3x4＋x2x3x4)x＋x1x2x3x4]，
∴x1＋x2＋x3＋x4＝－，
x1x2＋x1x3＋x1x4＋x2x3＋x2x4＋x3x4＝，
x1x2x3＋x1x2x4＋x1x3x4＋x2x3x4＝－故选AC．]
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探究课2 代数基本定理
第七章 复数
1．代数基本定理
任何一元n(n∈N*)次复系数多项式方程f (x)＝0至少有一个复数根．
它说的是：任何一元n(n∈N*)次复系数多项式f (x)在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积．进而一元n次多项式方程有n个复数根(重根按重数计)．
知识提炼
2．一元多项式方程的根与系数之间的关系
(1)设实系数一元二次方程a2x2＋a1x＋a0＝0(a2≠0)在复数集C内的根为x1，x2，则
(2)设实系数一元三次方程a3x3＋a2x2＋a1x＋a0＝0(a3≠0)． ①
在复数集C内的根为x1，x2，x3，可以得到，方程①可变形为a3(x－x1)(x－x2)(x－x3)＝0，
展开得a3x3－a3(x1＋x2＋x3)x2＋a3(x1x2＋x1x3＋x2x3)x－a3x1x2x3＝0． ②
比较①②可以得到
【典例】 (1)(多选)在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之一，在复数集范围内，若ω是x3＝1的一个根，则ω2＋ω＋1＝( )
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)设多项式函数f (x)＝anxn＋an－1xn-1＋…＋a1x＋a0(an≠0)，根据代数基本定理可知方程f (x)＝0有n个根x1，x2，…，xn．则x1＋x2＋…＋xn＝________；x1x2…xn＝__________．
典例探究
√
－
(－1)n
√
(1)AD (2)－ (－1)n [(1)因为x3＝1，所以x3－1＝0，即(x－1)(x2＋x＋1)＝0，所以x＝1或x＝．即ω＝1或ω＝．
当ω＝1时，ω2＋ω＋1＝3；
当ω＝时，ω2＋ω＋1＝0．故选AD．
知识提炼
(2)由题意知：
f (x)＝an(x－x1)(x－x2)·…·(x－xn)，
∴an(x－x1)(x－x2)·…·(x－xn)
＝anxn＋an－1xn-1＋…＋a1x＋a0，
∴
∴]
1．设实系数一元三次方程x3＋2x2＋3x＋4＝0在复数集C内的根为x1，x2，x3，则的值为( )
A．－2 B．0 C．2 D．4
对点训练
A [∵x3＋2x2＋3x＋4＝(x－x1)(x－x2)(x－x3)＝x3－(x1＋x2＋x3)x2＋(x1x2＋x1x3＋x2x3)x－x1x2x3，
由对应系数相等得：x1＋x2＋x3＝－2，x1x2＋x1x3＋x2x3＝3，
∴＝(x1＋x2＋x3)2－2(x1x2＋x1x3＋x2x3)＝4－6＝－2．
故选A．]
√
2．(多选)设实系数一元四次方程ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝0(a≠0)，在复数集C内的根为x1，x2，x3，x4，则下列结论正确的是( )
A．x1＋x2＋x3＋x4＝－
B．x1x2x3＋x1x2x4＋x1x3x4＋x2x3x4＝－
C．x1x2x3x4＝
D．x1x2＋x1x3＋x1x4＋x2x3＋x2x4＋x3x4＝
√
√
AC [由题设知：
ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝a(x－x1)(x－x2)(x－x3)(x－x4)
＝a[x4－(x1＋x2＋x3＋x4)x3＋(x1x2＋x1x3＋x1x4＋x2x3＋x2x4＋x3x4)x2－(x1x2x3＋x1x2x4＋x1x3x4＋x2x3x4)x＋x1x2x3x4]，
∴x1＋x2＋x3＋x4＝－，
x1x2＋x1x3＋x1x4＋x2x3＋x2x4＋x3x4＝，
x1x2x3＋x1x2x4＋x1x3x4＋x2x3x4＝－．故选AC．]
THANKS
