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章末综合测评(二) 复数
第七章 复数
题号
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√
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设复数z＝3－4i，则z的共轭复数的模为( )
A．7 B．1 C．5 D．25
C [复数z＝3－4i的共轭复数为＝3＋4i，
则＝5．故选C．]
2．(2022·全国乙卷)设(1＋2i)a＋b＝2i，其中a，b为实数，则( )
A．a＝1，b＝－1 B．a＝1，b＝1
C．a＝－1，b＝1 D．a＝－1，b＝－1
题号
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√
A [因为a，b∈R，(a＋b)＋2ai＝2i，所以a＋b＝0，2a＝2，解得a＝1，b＝－1．故选A．]
3．在复平面内，复数z＝i(－2＋i)的共轭复数对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
题号
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√
B [因为z＝i(－2＋i)＝－1－2i，则＝－1＋2i，则其对应的点的坐标为(－1，2)，位于第二象限．故选B．]
4．(1－i)4＋i57＝( )
A．4＋i B．－4＋i C．4－i D．－4－i
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√
B [(1－i)4＋i57＝[(1－i)2]2＋i1+14×4＝(－2i)2＋i＝－4＋i，故选B．]
5．在复平面内，一个正方形的三个顶点分别对应的复数是1＋2i，－2＋i，0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为( )
A．3＋i B．3－i C．1－3i D．－1＋3i
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√
D [在复平面内通过已知三个点易知第四个顶点对应的复数为－1＋3i．]
6．(2024·新高考Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
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√
C [因为＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i．
故选C．]
7．设i是虚数单位，若复数a＋(a∈R)是纯虚数，则a＝( )
A．4 B．3 C．2 D．1
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√
C [∵a＋＝a＋＝a－2－4i是纯虚数，
∴a－2＝0，即a＝2．故选C．]
8．已知复数z满足|z|＝1，则|z－1＋i|的最大值为( )
A．2 B．＋1 C．－1 D．3
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√
B [设z＝a＋bi，其中a，b∈R，
则z－1＋i＝(a－1)＋(b＋1)i，∵|z|＝1，
∴a2＋b2＝1，即点(a，b)的轨迹是以(0，0)为圆心，1为半径的圆，
∴|z－1＋i|＝即为圆上动点到定点(1，－1)的距离，∴＋1．
故选B．]
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其共轭复数为，则下列结果为实数的是( )
A．z2 B．|z2|
C．(z＋1) D．·i2 023
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√
√
√
BCD [对于A，z2＝a2－b2＋2abi，不一定为实数；
对于B，|z2|＝a2＋b2∈R；
对于C，(z＋1)＝z·＋1＝a2＋b2＋2a＋1∈R；
对于D，·i2 023＝2bi2 024＝2b(i4)506＝2b∈R．
故选BCD．]
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10．若复数z＝1－i，为z的共轭复数，则以下正确的是( )
A．z在复平面对应的点位于第二象限
B．|z|＝
C．|z|2＝z2
D．为纯虚数
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√
BD [对于A项，∵z＝1－i，复数z在复平面内对应的点为(1，－1)，∴复数z在复平面内对应的点位于第四象限，故A错误；
对于B项，根据复数模的公式，|z|＝，故B正确；
对于C项，z2＝(1－i)2＝－2i，而|z|2＝2，故C错误；
对于D项，∵＝1＋i，∴＝i，故D正确．
故选BD．]
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11．若复数z＝，则( )
A．z的共轭复数
B．|z|＝
C．复数z的实部与虚部相等
D．复数z在复平面内对应的点在第四象限
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√
√
BD [∵z＝，∴z＝，
则，故A错误；|z|＝，故B正确；
复数z的实部为，虚部为－，实部与虚部不相等，故C错误；
复数z在复平面内对应的点为，在第四象限，故D正确，故选BD．]
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三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12．请写出一个在复平面内对应的点位于第一象限的复数：z＝_____________________．
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1＋i(答案不唯一) [根据复数的几何意义可知，复数a＋bi在复平面内所对应的点的坐标为(a，b)，
所以第一象限的复数的坐标需满足a>0，b>0，
那么满足条件的其中一个复数z＝1＋i．]
1＋i(答案不唯一)
13．已知(m＋2)＋(m2＋m－6)i是纯虚数，则实数m的值为______．
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－2 [因为m∈R，且(m＋2)＋(m2＋m－6)i是纯虚数，
则解得m＝－2．]
－2
14．设z的共轭复数是 ，若z＋＝8，则|z|＝________，＝_____．
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2 ±i [设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi，由z＋＝8得，
∴|z|＝2，∴＝±i．]
2
±i
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)(1)在复数范围内因式分解：x2＋4；
(2)计算：，i是虚数单位．
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[解] (1)易知x2＋4＝x2－4i2＝x2－(2i)2＝(x＋2i)(x－2i)，
即x2＋4可分解为(x＋2i)(x－2i)．
(2)由＝－i，
可得＝(－i)18，
又i2＝－1，所以(－i)18＝[(－i)2]9＝(－1)9＝－1，即＝－1．
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16．(本小题满分15分)四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C，D四点对应的复数分别为1＋3i，2i，2＋i，z．
(1)求复数z；
(2)若z是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值．
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[解] (1)由题意，复平面内A，B，C三点的坐标分别为(1，3)，(0，2)，(2，1)，
设D的坐标为(x，y)，由于，
∴(x－1，y－3)＝(2，－1)，∴x－1＝2，y－3＝－1，解得x＝3，y＝2，故D(3，2)，
则点D对应的复数z＝3＋2i．
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(2)∵3＋2i是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根，
∴3－2i是关于x的方程2x2－px＋q＝0的另一个根，
则3＋2i＋3－2i＝，(3＋2i)·(3－2i)＝，
即p＝12，q＝26．
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17．(本小题满分15分)已知复数z1＝，z2＝(2＋i)m－3(1＋2i)，m∈R，i为虚数单位．
(1)若z1＋z2是纯虚数，求实数m的值；
(2)若z1＋z2＞0，求z1·z2的值．
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[解] (1)z1＝＝m2＋m2i，z2＝2m－3＋(m－6)i，
所以z1＋z2＝m2＋2m－3＋(m2＋m－6)i，
因为z1＋z2是纯虚数，所以解得m＝1．
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(2)由(1)知，z1＋z2＝m2＋2m－3＋(m2＋m－6)i，
因为z1＋z2＞0，所以解得m＝2，
所以z1＝4＋4i，z2＝1－4i，所以z1·z2＝(4＋4i)(1－4i)＝20－12i．
18．(本小题满分17分)已知z为复数，z＋2i和均为实数，其中i是虚数单位．
(1)求复数z和|z|；
(2)若z1＝i在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．
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[解] (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋2i＝a＋(b＋2)i，
由z＋2i为实数，得b＋2＝0，则b＝－2，
由i为实数，得＝0，则a＝4，
∴z＝4－2i，则|z|＝．
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(2)z1＝i＝4＋i＝i，
由z1在复平面内对应的点在第四象限，得
解得－2故实数m的取值范围为．
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19．(本小题满分17分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2．
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
题号
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[解] (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
由已知条件得a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi，
所以2ab＝2，
所以a＝b＝1或a＝b＝－1，
即z＝1＋i或z＝－1－i．
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(2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i，
所以点A(1，1)，B(0，2)，C(1，－1)，
所以S△ABC＝×1＝×2×1＝1．
当z＝－1－i时，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i，
所以点A(－1，－1)，B(0，2)，C(－1，－3)，
所以S△ABC＝×1＝×2×1＝1．
综上，△ABC的面积为1．
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THANKS章末综合测评(二) 复数
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设复数z＝3－4i，则z的共轭复数的模为( )
A．7 B．1 C．5 D．25
2．(2022·全国乙卷)设(1＋2i)a＋b＝2i，其中a，b为实数，则( )
A．a＝1，b＝－1 B．a＝1，b＝1
C．a＝－1，b＝1 D．a＝－1，b＝－1
3．在复平面内，复数z＝i(－2＋i)的共轭复数对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．(1－i)4＋i57＝( )
A．4＋i B．－4＋i C．4－i D．－4－i
5．在复平面内，一个正方形的三个顶点分别对应的复数是1＋2i，－2＋i，0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为( )
A．3＋i B．3－i
C．1－3i D．－1＋3i
6．(2024·新高考Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
7．设i是虚数单位，若复数a＋(a∈R)是纯虚数，则a＝( )
A．4 B．3 C．2 D．1
8．已知复数z满足|z|＝1，则|z－1＋i|的最大值为( )
A．2 B．＋1
C．－1 D．3
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其共轭复数为，则下列结果为实数的是( )
A．z2 B．|z2|
C．(z＋1) D．·i2 023
10．若复数z＝1－i，为z的共轭复数，则以下正确的是( )
A．z在复平面对应的点位于第二象限
B．|z|＝
C．|z|2＝z2
D．为纯虚数
11．若复数z＝，则( )
A．z的共轭复数
B．|z|＝
C．复数z的实部与虚部相等
D．复数z在复平面内对应的点在第四象限
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12．请写出一个在复平面内对应的点位于第一象限的复数：z＝________．
13．已知(m＋2)＋(m2＋m－6)i是纯虚数，则实数m的值为________．
14．设z的共轭复数是 ，若z＋＝8，则|z|＝________，＝________．
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)(1)在复数范围内因式分解：x2＋4；
(2)计算：，i是虚数单位．
16．(本小题满分15分)四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C，D四点对应的复数分别为1＋3i，2i，2＋i，z．
(1)求复数z；
(2)若z是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值．
17．(本小题满分15分)已知复数z1＝，z2＝(2＋i)m－3(1＋2i)，m∈R，i为虚数单位．
(1)若z1＋z2是纯虚数，求实数m的值；
(2)若z1＋z2＞0，求z1·z2的值．
18．(本小题满分17分)已知z为复数，z＋2i和均为实数，其中i是虚数单位．
(1)求复数z和|z|；
(2)若z1＝i在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．
19．(本小题满分17分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2．
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
章末综合测评(二)
1．C [复数z＝3－4i的共轭复数为＝3＋4i，
则＝5．故选C．]
2．A [因为a，b∈R，(a＋b)＋2ai＝2i，所以a＋b＝0，2a＝2，解得a＝1，b＝－1．
故选A．]
3．B [因为z＝i(－2＋i)＝－1－2i，则＝－1＋2i，则其对应的点的坐标为(－1，2)，位于第二象限．
故选B．]
4．B [(1－i)4＋i57＝[(1－i)2]2＋i1+14×4＝(－2i)2＋i＝－4＋i，故选B．]
5．D [在复平面内通过已知三个点易知第四个顶点对应的复数为－1＋3i．]
6．C [因为＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i．故选C．]
7．C [∵a＋
＝a＋＝a－2－4i是纯虚数，
∴a－2＝0，即a＝2．故选C．]
8．B [设z＝a＋bi，其中a，b∈R，
则z－1＋i＝(a－1)＋(b＋1)i，∵|z|＝1，
∴a2＋b2＝1，即点(a，b)的轨迹是以(0，0)为圆心，1为半径的圆，
∴|z－1＋i|＝即为圆上动点到定点(1，－1)的距离，
∴＋1．
故选B．]
9．BCD [对于A，z2＝a2－b2＋2abi，不一定为实数；
对于B，|z2|＝a2＋b2∈R；
对于C，(z＋1)＝z·＋1＝a2＋b2＋2a＋1∈R；
对于D，·i2 023＝2bi2 024＝2b(i4)506＝2b∈R．
故选BCD．]
10．BD [对于A项，∵z＝1－i，复数z在复平面内对应的点为(1，－1)，∴复数z在复平面内对应的点位于第四象限，故A错误；
对于B项，根据复数模的公式，|z|＝，故B正确；
对于C项，z2＝(1－i)2＝－2i，而|z|2＝2，故C错误；
对于D项，∵＝1＋i，∴＝i，故D正确．故选BD．]
11．BD [∵z＝，∴z＝，
则，故A错误；
|z|＝，故B正确；
复数z的实部为，虚部为－，实部与虚部不相等，故C错误；
复数z在复平面内对应的点为，在第四象限，故D正确，故选BD．]
12．1＋i(答案不唯一) [根据复数的几何意义可知，复数a＋bi在复平面内所对应的点的坐标为(a，b)，
所以第一象限的复数的坐标需满足a>0，b>0，
那么满足条件的其中一个复数z＝1＋i．]
13．－2 [因为m∈R，且(m＋2)＋(m2＋m－6)i是纯虚数，则解得m＝－2．]
14．2 ±i [设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi，由z＋＝8得，
∴|z|＝2，∴＝±i．]
15．解：(1)易知x2＋4＝x2－4i2＝x2－(2i)2＝(x＋2i)(x－2i)，
即x2＋4可分解为(x＋2i)(x－2i)．
(2)由＝－i，
可得＝(－i)18，
又i2＝－1，所以(－i)18＝[(－i)2]9＝(－1)9＝－1，即＝－1．
16．解：(1)由题意，复平面内A，B，C三点的坐标分别为(1，3)，(0，2)，(2，1)，
设D的坐标为(x，y)，由于，
∴(x－1，y－3)＝(2，－1)，∴x－1＝2，y－3＝－1，解得x＝3，y＝2，故D(3，2)，
则点D对应的复数z＝3＋2i．
(2)∵3＋2i是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根，
∴3－2i是关于x的方程2x2－px＋q＝0的另一个根，
则3＋2i＋3－2i＝，(3＋2i)·(3－2i)＝，
即p＝12，q＝26．
17．解：(1)z1＝＝m2＋m2i，z2＝2m－3＋(m－6)i，
所以z1＋z2＝m2＋2m－3＋(m2＋m－6)i，
因为z1＋z2是纯虚数，所以解得m＝1．
(2)由(1)知，z1＋z2＝m2＋2m－3＋(m2＋m－6)i，
因为z1＋z2＞0，所以解得m＝2，
所以z1＝4＋4i，z2＝1－4i，
所以z1·z2＝(4＋4i)(1－4i)＝20－12i．
18．解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋2i＝a＋(b＋2)i，
由z＋2i为实数，得b＋2＝0，则b＝－2，
由i为实数，得＝0，则a＝4，
∴z＝4－2i，则|z|＝
(2)z1＝i＝4＋i＝i，
由z1在复平面内对应的点在第四象限，得
解得－2故实数m的取值范围为
19．解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
由已知条件得a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi，
所以2ab＝2，
所以a＝b＝1或a＝b＝－1，即z＝1＋i或z＝－1－i．
(2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i，
所以点A(1，1)，B(0，2)，C(1，－1)，
所以S△ABC＝×1＝×2×1＝1．
当z＝－1－i时，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i，
所以点A(－1，－1)，B(0，2)，C(－1，－3)，
所以S△ABC＝×1＝×2×1＝1．
综上，△ABC的面积为1．
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