4.5.2 用二分法求方程的近似解 课件（19张PPT） 高一数学 必修第一册 人教A版2019

我国古代数学家已经比较系统地解决了某些类型方程求解的问题，国外数学家对方程的求解也有很多研究，使得方程求解的方法越来越完善.但是指数方程、对数方程等超越方程和五次以上的高次代数方程不能用对数运算求解，不过其数值解法随着现代计算技术的发展得到了广泛的应用，比如本节介绍的“二分法”，就是一种常见的利用计算技术的数值解法.
问题1：我们已经知道，函数f(x)=lnx+2x?6在区间(2,3)内存在一个零点.进一步的问题是，如何求出这个零点呢？
问题1：我们已经知道，函数f(x)=lnx+2x?6在区间(2,3)内存在一个零点.进一步的问题是，如何求出这个零点呢？
一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定的精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值.为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围.
大多数方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解.在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解.
问题1：我们已经知道，函数f(x)=lnx+2x?6在区间(2,3)内存在一个零点.进一步的问题是，如何求出这个零点呢？
取(2,3)的中点2.5，用计算工具算得f(2.5)≈?0.084.因为f(2.5)f(3)<0，所以零点在区间(2.5,3)内.
再取区间(2.5,3)的中点2.75，用计算工具算得f(2.75)≈0.512.因为f(2.5)f(2.75)<0，所以零点在区间(2.5,2.75)内.
一般地，称x=a+b/2为区间(a,b)的中点.
问题1：我们已经知道，函数f(x)=lnx+2x?6在区间(2,3)内存在一个零点.进一步的问题是，如何求出这个零点呢？
由于(2,3)?(2.5,3)?(2.5,2.75)，所以零点所在的范围变小了.如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小.这样，我们就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在的范围缩小到满足一定精确度的区间，区间内任意一点都可以作为函数零点的近似值.为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值.
例如，当精确度为0.01时，因为|2.5390625?2.53125|0.0078125<0.01，
所以区间(2.53125,2.5390625)内任意一点都可以作为零点的近似值，也可以将x=2.53125作为函数f(x)=lnx+2x?6零点的近似值，也即方程lnx+2x?6=0的近似值.
对于区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
注：判断一个函数能否用二分法的依据是：
其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点的近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.
给定精确度ε，用二分法求函数y=f(x)零点x_0的近似值的一般步骤如下：
1.确定零点x_0初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0.
2.求区间(a,b)的中点c.
3.计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
(1)若f(c)=0(此时x_0=c)，则c就是函数的零点；
(2)若f(a)f(c)<0(此时x_0∈(a,c))，则令b=c；
(3)若f(c)f(b)<0(此时x_0∈(c,b))，则令a=c.
4.判断是否达到精确度ε：若|a?b|<ε，则得到零
点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4.
由函数零点与相应方程解的关系，我们可用二分法来
求方程的近似解.
为了刻画与准确值的接近程度，这里给出了精确度ε，由|a?b|<ε可知，区间[a,b]中任意一个值都是零点x_0满足精确度ε的近似值(想一想，为什么).
例2.借助信息技术，用二分法求方程2^x+3x=7的近似解(精确度为0.1).
解：原方程即2^x+3x?7=0，令f(x)=2^x+3x?7，用信息技术画出函数y=f(x)的图象，并列出它的对应值表.
观察图或表，可知f(1)f(2)<0，说明该函数在区间(1，2)内存在零点x_0.
例2.借助信息技术，用二分法求方程2^x+3x=7的近似解(精确度为0.1).
取区间(1，2)的中点x_1=1.5，用信息技术算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)f(1.5)<0，所以x_0∈(1,1.5).
再取区间(1,1.5)的中点x_2=1.25，用信息技术算得f(1.25)≈?0.87.因为f(1.25)f(1.5)<0，所以x_0∈(1.25,1.5).
同理可得，x_0∈(1.375,1.5)，x_0∈(1.375,1.4375).
由于|1.375?1.4375|=0.0625<0.1，所以，原方程的近似解可取为1.375.

由例2可见，用二分法求方程的近似解，计算量较大，而且是重复相同的步骤.因此，可以通过设计一定的计算程序，借助信息技术完成计算.下图就是表示二分法求方程近似解过程的程序框图.有兴趣的同学，可以在此基础上用有关算法语言编写程序，利用信息技术求方程的近似解.