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4.5 函数的应用(二)
4.5.3 函数模型的应用
第四章 指数函数与对数函数
复习引入
在本章，我们类比幂函数的研究方法，学习指数函数和对数函数的概念、图象和性质，并对这几类基本初等函数的变化差异进行比较.在此基础上，通过解决简单实际问题，体会如何根据变化差异，选择合适的函数类型构建数学模型，刻画现实问题的变化规律.面临一个实际问题时，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？
例析
例3.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(，1766—1834)就提出了自然状态下的人口增长模型，其中表示经过的时间，表示时的人口数，表示人口的增长率.
尽管对马尔萨斯人口理论存在一些争议，但它对人口学和经济学的发展都产生了一定的影响.上网了解，还有哪些人口模型，它们与我们所学的函数有怎样的关系？
例析
例3.自然状态下的人口增长模型，其中表示经过的时间，表示时的人口数，表示人口的增长率.
(1)根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196和67207万.根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在19501959年期间的具体人口增长模型.
解(1)：由题意知，设年期间我国人口的年平均增长率为，根据马尔萨斯人口增长模型，有
由计算工具得：
因此我国在期间得人口增长模型为.
例析
例3.(1)中的模型：.
(2)利用(1)中的模型计算年各年末得人口总数.查阅国家统计局网站公布的我国在年间各年末得实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符.
解(2)：分别取，由可得我国在年间的各年末人口总数；查阅国家统计局网站，使得我国年各年末的实际人口总数，如表所示.
年份 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958
计算所得人口总数/万 56417 57665 58940 60243 61576 62938 64330 65753
实际人口总数/万 56300 57482 58796 60266 61465 62828 64563 65994
例析
例3.(1)中的模型：.
(2)利用(1)中的模型计算年各年末得人口总数.查阅国家统计局网站公布的我国在年间各年末得实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符.
解(2)：根据年我国人口总数的实际数据画出散点图，并画出函数
的图象.
由表和图可以看出，所得模型与年的实际人口数据基本吻合.
例析
例3.(1)中的模型：.
(3)以(1)中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到亿？
解(3)：将代入，由计算工具得.
所以，如果人口按照(1)中的模型增长，那么大约在年后的第年(即年)，我国的人口就已达到13亿.
例析
因为人口基数大，人口增长过快，与我国经济发展水平产生了较大矛盾，所以我国从20世纪70年代逐步实施了计划生育政策.因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件，自然就出现了依据模型得到的结果与实际不符的情况.
思考：事实上，我国1990年的人口数为11.43亿，直到2005年才突破13亿.对由函数模型所得的结果与实际情况不符，你有何看法？
在用已知的函数模型刻画实际问题时，应注意模型的适用条件.
例析
例4.2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料(草裹泥)上提取的草茎遗存进行碳14年代检测，检测出碳14的残留量约为起始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？
解：设样本中碳14的初始量为，衰减率为()，经过年后，残余量为.根据问题的实际意义，可选择如下模型：
由碳14的半衰期为5730年，得于是，
所以.由样本中碳14的残余量约为初始量的55.2%可知，
，即.解得.
由计算工具得.因为2010年之前的4912年是公元前2903年，所以推断此水坝大概是公元前2903年建成的.
例析
在实际问题中，有的能应用已知的模型解决，有的需要根据问题的条件建立函数模型加以解决.
例5.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前天翻一番.
请问，你会选择哪种投资方案？
例析
解：设第天所得回报是元，则方案一可以用函数进行描述；方案二可以用函数进行描述；方案三可以用函数进行描述.三个模型中，第一个常数函数，后两个都是增函数.要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析.
我们先用信息技术计算一下三种方案所得回报的增长情况(如下表).
例析
再画出三个函数的图象.
函数图象是分析问题的好帮手.为了便于观察，用虚线连接离散的点.
例析
由表和图可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同.可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的.从每天所得回报看，在第13天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第58天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.
根据这里的分析，是否应作这样的选择：投资5天以下选方案一，投资58天选方案二，投资8天以上选方案三？
例析
下面再看累计的回报数.通过信息技术列表如下.
因此，投资16天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资810天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，则应选择方案三.
上述例子只是一种假想情况，但从中可以看到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异.
例析
例6.某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金(单位：万元)随销售利润(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：，，，其中哪个模型能符合公司的要求？
解：借助信息技术画出函数
的图象，观察图象发现，在区间上，模型,的图象都有一部分在直线的上方，只有模型的图象始终在的下方，这说明只有按照模型进行奖励时才符合公司的要求.
例析
下面通过计算确认上述判断.先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元.
对于模型，它在区间上单调递增，而且当时，，因此，当时，，所以该模型不符合要求；
对于模型，由函数图象，并利用信息技术，可知在区间内有一个点满足，由于它在区间上单调递增，因此当时，，所以该模型也不符合要求；
对于模型，它在区间上单调递增，而且当时，
，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.
例析
再计算按模型奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当
时，是否有，即成立.
令，，利用信息技术画出它的图象.
例析
由图象可知函数在区间上单调递减，因此，即.
所以，当时，，说明按该模型奖励，奖金不会超过利润的25%.
综上所述，模型确实能符合公司要求.
例析
用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下：
这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况(是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”)；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题.在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等.
函数模型
实际问题
函数模型的解
实际问题的解
化归
解释说明
运算
推理
课堂小结&作业
课堂小结：
(1)建立数学模型解决实际问题的基本过程；
(2)几类基本初等函数模型的增长特性及其性质.
作业：
课本的题，习题4.5的11、12、14题.
