4.5.3函数模型的应用 课件（35张PPT） 高一数学必修第一册人教A版2019

(共35张PPT)
章节：第四章 指数函数与对数函数
标题：
4.5.3函数模型的应用
课时：1课时
目
录
1.教学目标
2.新课讲授
3.新课小结
4.作业巩固
PART 01
教学目标
环节1：教学目标分解
教学目标 素养目标
1.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具比较对数函数、线性函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义，在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题变化规律. 数学抽象
逻辑推理
直观想象
数据分析
数学建模
2.收集一些现实生活，生产实际或者经济领域中的函数模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义. 环节2：教学重难点
重点：
1.理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义，在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题变化规律
PART 02
新课讲授
1.函数模型的应用
常见的函数模型
我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画．
面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？
思考下：我们利用函数知识解决应用（实际）问题的基本步骤是什么？
课堂例题
例3 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766~1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：.
其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.
(1) 根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万.根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950~1959年期间的具体人口增长模型.
(2) 利用(1)中的模型计算1951~1958年各年末的人口总数，查阅国家统计局网站公布的我国在1951~1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符.
(3) 以(1)中的模型作预测，大约在什么时候我国的人口总数达到13亿？
（1）设1951～1959 年我国各年的人口增长率分别为 ，… ． 由
可得 1951年的人口增长率 ≈0.0200．
同理可得，≈0.0210,≈0.0229 ,≈0.0250,≈0.0197，≈0.0223，≈0.0276,≈0.0222,≈0.0154．
于是 ， 1951～1959 年期间 ， 我国人口的年平均增长率为:
令 =55196， 则我国在 1950～1959年期间的人口增长模型为
，t ∈N．
根据表 中的数据画出散点图 ， 并画出函数 （t ∈N ）
所以，由图可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合.
解： (2) 将题意知y=130000，代入：
由计算工具得：。所以，如果人口按照(1)中的模型增长，那么大约在1950年后的第40年(即1990年)，我国的人口就已达到13亿.
事实上,我国1989年的人口数为11.27亿 ， 直到 2005年才突破13 亿.对由函数模型所得的结果与实际情况不符,你有何看法 ？
(1)根据已知条件求函数解析式；
(2)根据函数解析式解决实际问题
(3)结合实际情况进行的分析
下面来解决章引言中的问题．
课堂例题
例4 2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？
在章前的分析中，我们了解到该模型是属于指数衰减，所以应选择函数 建立数学模型 ．
, 　　
解 ： 设样本中碳 １４ 的初始量为衰减率为
经过 年后,残余量为根据问题的实际意义,
选择函数
由碳14的半衰期为 5730年,得=，　　
由样本中碳14 的残余量约为初始量的 55.2％可知，0.552k
解得.由计算工具得≈4912．
因为 2010年之前的 4912年是公元前 2902年 ，
所以推断此水坝大概是公元前 2902年建成的 ．
例5 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据．
课堂例题
投资方案选择原则：投入资金相同，回报量多，投资周期合理
(1)比较三种方案每天回报量
(2)比较三种方案一段时间内的总回报量
哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。
解：设第x天所得回报为y元，则
方案一：每天回报40元：
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元：
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
三种方案每天回报表
y=40
y=10x
y=0.4×2x-1
三种方案每天回报表
问题1 你看到了什么？请你大胆的描述出来！
由表和图象可知，方案一的函数是常函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同.
可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的.
从每天所得回报看，在第1~3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5~8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.
因此，投资1~6天，应选择方案一；
投资7天，应选择方案一或方案二；
投资8~10天，应选择方案二；
投资11天（含11天）以上，则应选择方案三.
课堂例题
例6 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金(单位：万元)随销售利润（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。
现有三个奖励模型：,其中哪个模型能符合公司的要求？
一次函数，对数型函数，指数函数。
①销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且
部门销售利润一般不会超过公司总的利润1000万元，
所以销售利润x可用不等式表示为.
③依据这个模型进行奖励时，奖金不超过利润的25%，
所以奖金y可用不等式表示为.
②依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，
所以奖金y可用不等式表示为.
求函数解析式；接下来通过函数解析式画出函数图像进行分析。
①对于模型,它在区间[10,1000]上递增,当时,,因此该模型不符合要求;
②对于模型,它在区[10,1000]上递增,观察图象并结合计算可知, 当时,, 因此该模型不符合要求;
③对于模型,它在区间[10,1000]上递增,观察图象并结合计算可知,当时,,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求；
按模型奖励时，奖金是否不超过利润的25%呢？
解：当时,要使成立,
只需成立，即
令,当时,是否有恒成立
即当时, 的图象是否在轴下方
作的图象：
根据图象观察,的图象在区间内的确在轴的下方.
这说明,按模型奖励, 奖金不会超过利润的25%.
PART 03
新课小结
解决实际问题的步骤：
实际问题
读懂问题
抽象概括
数学问题
演算
推理
数学问题的解
还原说明
实际问题的解
PART 04
作业巩固
课本P154 练习
课本P156 习题4.5
课本P156 习题4.5
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