(共29张PPT)
课前准备
1：提前3分钟进班坐好。
2：选修一数学课本、积累纠错本、演草纸、黑红水笔等工具准备齐全。
3：桌上不能有其他杂物。
4：做好上课准备。
课前准备
1.4.1.2 空间中直线、平面的平行
第一章 空间向量与立体几何
课 型：新授课
日 期：2.1
导（5min）
学习目标
XUEXIMUBIAO
【学习目标】
1.通过阅读课本P29-31能用向量语言描述线线、线面、面面平行的关系，积累直观想象经验。
2. 能用向量语言解决立体几何直线、平面平行的相关问题，提升逻辑推理和数学运算素养。
【重难点】
重点：能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系
难点: 建立空间图形基本要素与向量之间的关系，把立体几何问题转化为空间向量问题
导（5min）
问题导入
如图,在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点，求平面PAD和平面EDB的法向量.
1、定义法：找线面垂直
2、待定系数法：
导（5min）
问题导入
直线的方向向量、平面的法向量是确定空间中直线、平面的关键量.
能否用这些向量来刻画空间中的直线、平面间的平行、垂直关系？
问题1.完成下列表格
1、认真阅读课本P29-31并思考以下问题。将问题的答案写在积累本上(前8min)
思(13min)
线面平行的判定定理 面面平行的判定定理
图形语言
文字语言
符号语言
问题2.如何用向量表示点、直线、平面？
问题3.如何求直线的方向向量？如何求平面的法向量？
问题4.阅读教材选择性必修一第29页至第31页，完成下列问题：
一、直线和直线平行
设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2 ________________ λ∈R，使得u1＝________.
二、直线和平面平行
设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l α，则l∥α u________n ________________.
三、平面和平面平行
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β ________________ λ∈R，使得________________．
2、完成导学提纲上深入学习部分。(后5min)
要求： 1. 阅读课本快速、全面，圈画并标星重要知识点；
2. 不交流，不提问，眼不斜视，手不离笔；
思(13min)
各小组讨论解决问题，并记录解决不了的问题和疑惑！
要求：人人发言，不讨论与课堂无关的话题，以小组为单位，组内商量后选出代表回答问题。
议(5min)
问题4.阅读教材选择性必修一第29页至第31页，完成下列问题：
一、直线和直线平行
设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2 ________________ λ∈R，使得u1＝________.
二、直线和平面平行
设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l α，则l∥α u________n ________________.
三、平面和平面平行
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β ________________ λ∈R，使得________________．
展（8min）
探究1.空间直线和直线平行
1.如图，u1,u2分别是直线l1,l2的方向向量，若l1∥l2，则u1,u2是什么位置关系？代数如何表示？
若两条直线平行，则这两条直线的方向向量也平行，反之亦然.
l1
l2
展（8min）
牛刀小试
例1、 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点.求证：MN∥RS.
展（8min）
牛刀小试
例1、 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点.求证：MN∥RS.
主要方法：几何法、基底法、坐标法
展（8min）
探究2.空间直线和平面平行
2.如图，设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l α，若l∥ α，则u,n是什么位置关系？代数如何表示？
若线面平行，则直线的方向向量与平面的法向量垂直.
注意：直线在平面外.
展（8min）
牛刀小试
例2、如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C，B1 C1的中点.求证:MN//平面 A1BD.
展（8min）
【悟】用空间向量证明线面平行的三种方法：
(1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即用平面内的一组基底表示.
(2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证.
(3)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.
展（8min）
展（8min）
探究3.空间平面和平面平行
3.如图，设n1,n2分别是平面α，β的法向量，若α∥β，则n1,n2是什么位置关系？代数如何表示？
若两平面平行，则这两个平面的法向量也平行.
展（8min）
牛刀小试
例3、已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:平面ADE∥平面B1C1F.
展（8min）
探究4.
平行动点问题
P30-例3.长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，
线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1.
x
y
z
评（6min）
题型一：直线和直线平行
1.若两条直线的方向向量分别是=(2，4，-5)，=(-6，x，y),且两条直线平行，则x=_____，y=_____
评（6min）
题型二：直线和平面平行
课本31页第3题如图，在正方体ABCD-A B C D 中，E，F分别是面AB ，面A C 的中心. 求证：EF//平面ACD .
评（6min）
题型三：平面和平面平行
棱长为2的正方体ABCD-A B C D 中，若点G,K分别是DD ,CC 的中点，H为底面ABCD的中心.求证：平面GHA∥平面D BK
评（6min）
题型四：平行动点问题
P31-2.如图，四面体ABCD中，E是BC的中点，直线AD上是否存在点F，使得AE∥CF？
检（3min）
1.已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y) 分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2 ，则( )
A.x＝6，y＝15 B.x＝3，y＝ C.x＝3，y＝15 D.x＝6，y＝
2.(多选)若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是( )
A.a＝(1,0,0)，n＝(0，－2,0) B.a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)
C.a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D.a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)
解 若l∥α，则a·n＝0. 而A中a·n＝0， B中a·n＝1＋5＝6，
C中a·n＝－1， D中a·n＝－3＋3＝0.
3.已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a＝(2，m,1)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，则实数m的值是______.
4.已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是( )
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
结
证明线线平行的两种思路：
（1）(基向量法)用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明．
(2)(坐标法)建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示．
用空间向量证明线面平行的三种方法：
(1) 证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即用平面内的一组基底表示.
(2) 证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证.
(3) 先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直
证明面面平行问题的方法：
(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．
(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明．
整理笔记
本课结束
下节内容预告：高中课堂导学提纲 2024级数学 日期：2025.7.1 编制： 审核：高一数学组
1.4.1.2空间中直线、平面的平行 【学习目标】 通过阅读课本P29-31能用向量语言描述线线、线面、面面平行的关系，积累直观想象经验。 2. 能用向量语言解决立体几何直线、平面平行的相关问题，提升逻辑推理和数学运算素养。 【重难点】 重点：能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系 难点: 建立空间图形基本要素与向量之间的关系，把立体几何问题转化为空间向量问题 【基础感知】 问题1.完成下列表格 线面平行的判定定理面面平行的判定定理图形语言文字语言符号语言
问题2.如何用向量表示点、直线、平面？ 问题3.如何求直线的方向向量？如何求平面的法向量？ 问题4.阅读教材选择性必修一第29页至第31页，完成下列问题： 一、直线和直线平行 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2 ________________ λ∈R，使得u1＝________. 二、直线和平面平行 设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l α，则l∥α u________n ________________. 三、平面和平面平行 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β ________________ λ∈R，使得________________． 【我有问题要问】 1. 2. 3. 4. 【深入学习】 题型一：直线和直线平行 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM＝DB，DA＝DP＝1，CD＝2.求证：MN∥AP. 题型二：直线和平面平行 课本31页第3题如图，在正方体ABCD-A B C D 中，E，F分别是面AB ，面A C 的中心. 求证：EF//平面ACD . 题型三：平面和平面平行 棱长为2的正方体ABCD-A B C D 中，若点G,K分别是DD ,CC 的中点，H为底面ABCD的中心.求证：平面GHA∥平面D BK 题型四：平行动点问题 课本P31-2.如图，四面体ABCD中，E是BC的中点，直线AD上是否存在点F，使得AE∥CF？ 【检】 1.已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y) 分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2 ，则( ) x＝6，y＝15 B.x＝3，y＝15/2 C.x＝3，y＝15 D.x＝6，y＝ 15/2 2.(多选)若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是( ) A.a＝(1,0,0)，n＝(0，－2,0) B.a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1) C.a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D.a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1) 3.已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a＝(2，m,1)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，则实数m的值是______. 4.已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是( ) 【结】 知识清单: 证明线线平行的两种思路： （1）(基向量法)用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明． (2)(坐标法)建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示． 用空间向量证明线面平行的三种方法： 证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即用平面内的一组基底表示. 证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证. 先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直 证明面面平行问题的方法： (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 2.（1）.设,分别是直线l1, l2的方向向量， 线线平行：l1∥l2 ∥ ，使得 =. （2）.设是直线l方向向量,是平面α的法向量， 线面平行l ∥ α ⊥ =0. （3）.设,分别是平面α，β的法向量， 面面平行：α ∥ β ∥ ，使得 =. 2.核心素养:逻辑推理、直观想象、数学运算 3.常见误区:(1)证明线面平行的关键是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． (2)特别强调直线在平面外
天生我材必有用1.4.1.2空间中直线、平面的平行限时练
一、单选题
1．设直线l的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．在空间向量中，我们给出了定义向量的“外积”运算规则：对于空间向量和，.已知，，平面的法向量，直线的方向向量，则直线与平面的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直
C．直线在平面内 D．相交但不垂直
3．若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知直线l的方向向量，平面的法向量，若直线l与平面平行，则实数x的值为（ ）
A．7 B． C．2 D．
5．已知是直线的方向向量，是平面的法向量.若，则（ ）
A．7 B． C． D．
6．已知，分别是平面，的法向量，若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
7．若，且为直线l的一个方向向量，为平面的一个法向量，则m的值为（ ）
A． B． C． D．8
8．已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（ ）
A． B．
C．l与α相交但不垂直 D．或
二、多选题
9．给出下列命题，其中错误的是（ ）
A．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则直线
B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
D．已知向量，，则在上的投影向量为
10．设两条不重合的直线，的方向向量分别为，，两个不重合的平面，的法向量分别为，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，使得，则
11．已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
三、填空题
12．已知平面的法向量为，直线在平面外，且方向向量，则直线与平面的位置关系为 .
13．已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为.若，则实数λ的值为 .
四、解答题
14．如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且.设点为棱的中点，求证：平面.
学校:___________姓名：___________班级：___________列号：___________
天生我材必有用
天生我材必有用
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
