(共16张PPT)
第2课时 线段的垂直平分线的判定
知识点1 线段垂直平分线的判定
到___________________点在这条线段的垂直平分线上．
图示：
几何语言：因为PA＝PB，所以点P在线段AB的垂直平分线上．
线段两端距离相等的
【注意】
可以用来说明线段垂直、相等．
知识点2 用尺规作线段的垂直平分线
步骤1：分别以点A与点B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，
两弧分别交于C，D两点．
步骤2：过C，D两点作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平
分线．
图示：
知识点3 过一点作已知
直线的垂线
考点1 线段垂直平分线的判定
典例1 [2024·德州期中]三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是△ABC的( )
A．三条高线的交点
B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条中线的交点
思路导析 因为到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以这个公园应建的位置是△ABC的三边垂直平分线的交点．
变式1 如图，∠AOB内一点P，点P1，P2分别是点P关于OA，OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N，若P1P2＝5，则△PMN的周长是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
变式2 [2024·日照期中]如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，D，边AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，E，MD，NE的延长线交于点O.
(1)若BC＝12，求△ADE的周长；
(2)试判断点O是否在BC的垂直
平分线上，并说明理由．
解：(1)因为AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，
所以AD＝BD，AE＝CE，
△ADE的周长＝AD＋DE＋AE＝BD＋DE＋CE＝BC＝12；
(2)点O在BC的垂直平分线上，理由：
连接AO，BO，CO，如图，
因为DM，EN分别是AB，AC的垂直平分线，
所以OA＝OB，
OA＝OC，
所以OB＝OC，
所以点O在BC的垂直平分线上．
考点2 用尺规作线段的垂直平分线
典例2 阅读下面的材料：
已知△ABC中，AC>BC，在AC上确定一点P，
使得AC＝PB＋PC．
下面是小方设计的尺规作图过程：
作法：如图，
①分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于点M，点N，作直线MN，直线MN交AC于点P；
②连接PB.
所以点P即为所求．
根据小方设计的尺规作图过程．
(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明．
证明：因为MN是线段AB的垂直平分线，直线MN交AC于点P，
所以PA＝ ( )(填推理的依据)．
因为AC＝PA＋PC，
所以AC＝PB＋PC．
所以点P即为所求．
思路导析 (1)根据线段垂直平分线的作法作出图形即可；
(2)根据线段垂直平分线的性质可得出答案．
解：(1)如图所示：
(2)PB 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
变式 [2024·嘉兴一模]如图，已知平行四边形ABCD，AB第2课时 轴对称的基本性质
知识点1 轴对称的基本性质
成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴_________．
垂直平分
【注意】
①成轴对称的两个图形的对应线段所在直线平行，或为同一条直线，或相交于一点，且交点在对称轴上；②成轴对称的两个图形的对应点(重合的对应点，即在对称轴上的对应点除外)的连线平行或在同一条直线上．
知识点2 作一个图形关于某条直线成轴对称的图形
步骤：(1)找—在原图形上找特殊点；
(2)作—作各个特殊点关于已知直线的对称点；
(3)连—连接各对称点．
考点1 轴对称的基本性质
典例1 如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法不一定正确的是( )
A．AC＝A′C′ B．BO＝B′O
C．AA′⊥MN D．AB＝B′C′
思路导析 根据成轴对称的两个图形的性质和轴对称的基本性质作答．
变式 [2024·南充期末]如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，连接AA′，BB′，CC′，其中BB′分别交AC，A′C′于点D，D′，下列结论：①AA′∥BB′ ②∠ADB＝∠A′D′B′ ③直线l垂直平分AA′ ④直线AB与A′B′的交点不一定在直线l上．其中正确的是( )
A．①②③ B．②③④
C．①②④ D．①③④
考点2 利用轴对称的基本性质作成轴对称的图形
典例2 如图，画出△ABC关于直线MN成轴对称的图形△A′B′C′.
思路导析 根据成轴对称的两个图形对应点的连线被对称轴垂直平分作图．
解：如图所示，△A′B′C′
即为所求作．
变式 如图，已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′成轴对称．
(1)请画出它们的对称轴l；
(2)若CM⊥AB，垂足为M，试画出点M关于直线l的对称点M′.
解：(1)根据轴对称图形的性质作图如图；
(2)如图所示，点M′即为所求点的位置．(共25张PPT)
4.3 角的平分线
知识点1 角的对称性
角是___________，角的_________________是它的对称轴．
轴对称图形
平分线所在的直线
【注意】
角的平分线是射线，对称轴是直线．
知识点2 用尺规作角的平分线
步骤：(1)以点O为圆心，适当的长为半径作弧，分别交角的两
边于M，N两点．
(2)分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧交于
点C．
(3)作射线OC，射线OC即为所求作．
图示：
知识点3 角平分线的性质定理
角平分线上的点到_______的距离相等．
几何语言：因为OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，所以PD＝PE.
角两边
【注意】
可根据角平分线的性质来说明两条线段相等．
图示：
知识点4 角平分线的判定
角的_____到角两边_________的点在___________上．
几何语言：因为PD⊥OA，PE⊥OB，且PD＝PE，所以点P在∠AOB
的平分线上．
内部
距离相等
角的平分线
考点1 用尺规作角平分线
典例1 [2024·青岛期末]如图，车站O位于两条公路OA，OB的交汇处，在公路OB上还有一个车站C，现要在两条公路之间修一个中转站P，使它到两条公路的距离相等，且到两个车站的距离也相等．请你在图中作出点P的位置．(不写作法，保留作图痕迹)
思路导析 直接利用角平分线的作法及线段垂直平分线的作法得出答案．
解：如图所示，分别作线段OC的垂直平分线和∠AOB的平分线，二者的交点P即为所求．
变式 [2024·聊城期中]两个城镇A，B与两条公路ME，MF的位置如图所示，其中ME是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部，请在图中用尺规作图找出符合条件的点C．(不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹)
解：如图所示，分别作AB的垂直平分线和∠FME的平分线，二者的交点C即为所求作．
考点2 角的对称性和角平分线的性质
典例2 [2025·聊城期末]在△ABC中，DE垂直平分AC，连接CE，CE平分∠ACB.
(1)若∠CEB＝46°，求∠B的度数；
(2)若BC＝4，△ABC的周长比△EBC的周长
多8，△EBC的面积为6，则三角形AEC的面
积为多少？
思路导析 (1)利用垂直平分线的性质得到∠A＝23°，再由角平分线的定义得到∠ACB＝46°，利用三角形内角和定理即可解答；(2)利用三角形面积公式和角平分线性质定理可求得DE，利用线段垂直平分线性质定理可求得AC，进而可求S△AEC．
解：(1)因为DE垂直平分AC，
所以EA＝EC，
所以∠A＝∠ACE，
因为∠BEC＝46°，
所以∠A＝∠ACE＝46°× ＝23°，
因为CE平分∠ACB，
所以∠ACB＝2∠ACE＝46°，
所以∠B＝180°－∠A－∠ACB＝180°－23°－46°＝111°；
(2)如图，过点E作EF⊥BC交CB的延长线于点F，
因为EF⊥BC，DE⊥AC，CE为角分平线，
所以EF＝DE，
因为S△EBC＝ ×BC·EF＝ ×4·EF＝6，
所以EF＝DE＝3，
因为C△ABC＝AB＋AC＋BC，C△EBC＝EB＋EC＋BC＝AB＋BC，
且C△ABC－C△EBC＝8，
所以AC＝8，
所以S△AEC＝ AC·ED＝12，
所以△AEC的面积为12.
变式 [2024·泰安期中]如图，已知在△ABC中，∠B＝52°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E.
(1)求∠EAD的度数；
(2)AB＝6，AC＝4，DE＝2，求S△ABC．
考点3 角平分线的判定
典例3 [2024·聊城期中]如图，在△ABC中，D是BC
的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且∠BDE＝
∠CDF.那么AD平分∠BAC吗？为什么？
思路导析 先证明△BED≌△CFD(AAS)，从而得到DE＝DF，再利用角平分线的判定定理即可得证．
所以△BED≌△CFD(AAS)，
所以DE＝DF，
又因为DE⊥AB，DF⊥AC，
所以点D在∠BAC的平分线上，
所以AD平分∠BAC．
变式 [2025·上饶期中]如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在边BC，AC上，DE＝DB，∠DEC＝∠B.
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)写出AE＋AB与AC的数量关系，并说明理由．
所以△DCE≌△DFB(AAS)，
所以DC＝DF，
因为DF⊥AB，DC⊥AC，
所以点D在∠BAC的平分线上，
所以AD平分∠BAC；
所以AC＝AF.
由(1)知△DCE≌△DFB，
所以CE＝FB，
所以AE＋AB＝AE＋FB＋AF＝AE＋CE＋AF＝AC＋AF＝2AC．(共12张PPT)
4.2 线段的垂直平分线
第1课时 线段的垂直平分线的性质及应用
知识点1 线段的垂直平分线的定义
_____并且_____一条线段的_____叫作这条线段的垂直平分线，
比如：直线MN_______线段AB，并且_____线段AB，我们把直线
MN叫作线段AB的垂直平分线．
垂直
平分
直线
垂直于
平分
知识点2 线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点到_________的距离相等．
图示：
几何语言：因为点P在线段AB的垂直平分线上，所以PA＝PB.
线段两端
知识点3 利用轴对称的知识解决最短路径问题
求作直线l上一点P到两定点A，B(A，B不在直线l上)的距离之和
最短时，可任取一点(A或B)作其关于直线l的对称点，与另一点
(B或A)相连．
图示：
考点1 线段垂直平分线的定义与性质
典例1 [2024·威海期末]如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，若△ABD的周长为12，AB＝5，则AC＝( )
A．4
B．5
C．6
D．7
思路导析 根据线段的垂直平分线的性质得到DC＝DB，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
变式1 [2024·商洛期末]如图，在△ABC中，∠A＝40°，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，连接CE，则∠BEC的大小为( )
A．40° B．50°
C．80° D．100°
变式2 [2024·淄博期末]如图，在△ABC中，AB＝2.5，AC＝6，CB＝6.5，EF垂直平分AC，点P为直线EF上一动点，则△ABP周长的最小值是( )
A．8.5 B．9
C．12.5 D．15
考点2“ 将军饮马”问题
典例2 如图，要在公路MN旁修建一个货物中转站，分别向A，B两个开发区运货．
若要求货物中转站到A，B两个开发区的距离和最小，那么货物中转站Q应建在哪里？(保留作图痕迹，不写作法)
思路导析 利用轴对称求最短路线的方法得出答案．
解：如图所示，点Q即为所求作．
变式1 [2025·东莞期末]如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝115°，
∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一个点M，N，使△AMN的周
长最小，则∠AMN＋∠ANM＝( )
A．110° B．120°
C．130° D．100°
变式2 如图，在△ABC中，AC＝11 cm，BC＝9 cm，AB的垂直平
分线交AB于点M，交AC于点N，在直线MN上存在一点P，使P，B，
C三点构成的△PBC的周长最小，则△PBC的周长最小值为______．
20 cm(共17张PPT)
4.4 等腰三角形
第1课时 等腰三角形(1)
知识点1 等腰三角形的轴对称性
等腰三角形是___________，等腰三角形的对称轴是_________
_________．
轴对称图形
底边的垂
直平分线
知识点2 等腰三角形的性质定理1
等腰三角形的_________相等(简写成“等边对等角”)．
两个底角
知识点3 等腰三角形的性质定理2
等腰三角形_____________、_____________及___________重
合．(简写成“三线合一”)
顶角的平分线
底边上的中线
底边上的高
【注意】
1．等腰三角形两腰上的中线相等，两底角的平分线也相等．
2．等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
3．等腰三角形底边上的高(或底边上的中线或顶角的平分线)上任意一点到两腰的距离相等．
4．顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形，等腰直角三角形的底角均为45°.
知识点4 等边三角形的性质定理
等边三角形的各角都等于_____．
【注意】
等边三角形是特殊的等腰三角形．
60°
考点1 等边对等角
典例1 [2024·菏泽期中]如图，△ABC中，D是BC边上一点，AC＝AD＝BD，∠BAC＝105°，则∠C的
度数为( )
A．35° B．40°
C．45° D．50°
思路导析 根据AC＝AD＝BD，可知∠ADC＝∠C＝2∠B；再根据三角形内角和定理可求得∠C的度数．
变式 [2024·郑州期末]如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠DBC的度数是( )
A．30°
B．36°
C．45°
D．54°
考点2 “ 三线合一”
典例2 [2024·平凉期末]如图，点D，E在
△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE，
求证：BD＝CE.
思路导析 本题主要考查了“三线合一”定理．过点A作AP⊥BC于点P，由“三线合一”，得点P为DE及BC的中点，再根据线段之间的关系即可得证．
证明：如图，过点A作AP⊥BC于点P.
因为AB＝AC，
所以BP＝PC；
因为AD＝AE，
所以DP＝PE，
所以BP－DP＝PC－PE，
所以BD＝CE.
变式 [2024·淄博期中]等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是21，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则BM＋DM的最小值为( )
A．6
B．7
C．8
D．9
考点3 等边三角形的性质
典例3 [2024·临沂期中]如图，△ABC和△BDE
都是等边三角形，点C关于AD的对称点F在BD边
上．
(1)求证：AE＝CD；
(2)用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由．
思路导析 (1)利用“SAS”可证△ABE≌△CBD，则可证得AE＝CD；
(2)由DF和DC关于AD对称，可得DF＝DC，证明AE＝DF，从而可得
结论．
解：(1)证明：因为△ABC和△BDE都是等边三角形，
所以AB＝BC，BE＝BD＝DE，∠ABC＝∠EBD＝60°，
所以∠ABC－∠CBE＝∠EBD－∠CBE，
所以∠ABE＝∠CBD，
所以△ABE≌△CBD(SAS)．
所以AE＝CD；
(2)AD＝DF＋BD.理由如下：
因为点F，C关于AD对称，
所以DF＝DC．
因为AE＝CD，
所以AE＝DF.
因为BD＝DE，
所以AD＝AE＋DE＝DF＋BD.
变式 [2024·济南期中]如图，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F.
(1)试判断AD与BE是否相等，并说明理由；
(2)求∠AFE的度数．(共17张PPT)
第3课时 等腰三角形(3)
知识点1 等边三角形的判定
有一个角为_____的_____三角形是等边三角形．这个内角可以
是底角，也可以是顶角．
60°
等腰
知识点2 含30 °角的直角三角形的性质
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．如图，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°，则BC＝ AB.
考点1 等边三角形的判定2
典例1 [2024·威海期末]如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点D为△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上一点，CE＝CA．
(1)求∠CDE的度数；
(2)点F在DE上，若DC＝DF，
写出EF与BD相等的理由．
思路导析 (1)由等腰直角三角形的性质及角的和差可得∠DAB＝∠DBA＝30°，可得AD＝BD，由“SAS”可证△ADC≌△BDC，可得∠ACD＝∠BCD＝45°，由外角的性质可求解；(2)连接CF，易证△CDF为等边三角形，可证明△CFE≌△CDB，即可解题．
所以△ACD≌△BCD(SAS)，
所以∠ACD＝∠BCD＝45°，
所以∠CDE＝∠CAD＋∠ACD＝15°＋45°＝60°；
(2)连接CF，
因为∠EDC＝60°，DC＝DF，
所以△DCF为等边三角形，
所以CD＝CF.
因为∠CDB＝∠EDC＋∠EDB＝∠EDC＋∠DAB＋∠DBA＝120°，∠CFE＝∠CDF＋∠DCF＝120°，
所以∠CFE＝∠CDB.
因为CE＝CA，
变式 [2024·东营期中]如图，已知AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，BE⊥AE，垂足为E.
(1)求证：AD＝AE；
(2)若BE∥AC，试判断△ABC的形状，并说明理由．
考点2 含30 °角的直角三角形
典例2 [2024·济宁期中]如图，在等边△ABC中，点D，点E分别在AB，AC上，BD＝AE，连接BE，CD，交于点P，作EH⊥CD于点H.求证：
(1)△CAD≌△BCE；
(2)PE＝2PH.
思路导析 (1)根据“SAS”证明△CAD≌△BCE即可；(2)利用直角三角形30°角的性质即可解决．
(2)因为△CAD≌△BCE，
所以∠ACD＝∠CBE，
因为∠EPH是△BPC的一个外角，
所以∠EPH＝∠CBP＋∠BCP＝∠ACD＋∠BCP＝∠ACB＝60°.
因为EH⊥CD，
所以∠PEH＝90°－∠EPH＝30°，
所以PE＝2PH.
变式 [2024·泰安期中]如图，等边三角形ABC中，D是AB的中
点，DE⊥AC于点E，EF∥AB，EF交BC于点F，AB＝4 cm，则△EFC
的周长为__ cm.
9(共22张PPT)
第4章 图形的轴对称
4.1 图形的轴对称
第1课时 轴对称
知识点1 轴对称的定义
把一个平面图形沿某条直线折叠后，得到另一个与它_______图
形，图形的这种变化叫作_______．这条直线叫作_______．
全等的
轴对称
对称轴
【注意】
轴对称图形是一种全等变化．
知识点2 两个图形关于某条直线成轴对称的有关概念
1．一个图形以某条直线为对称轴，经过轴对称后，能够与_____
_______重合，那么称这两个图形关于这条直线_________，重合
的点叫作_______．
2．如果两个点关于一条直线_________，那么其中一个点叫作另
一个点关于这条直线的对称点．
另一
个图形
成轴对称
对应点
成轴对称
【注意】
成轴对称的两个图形是全等形，但全等的两个图形不一定成轴对称．成轴对称的两个图形的对应点不一定在对称轴两侧，也可能在对称轴上．
知识点3 成轴对称的两个图形的性质
两个图形关于某条直线成轴对称，则这两个图形_____，_______
相等，_______相等．
全等
对应角
对应边
【注意】
图形的轴对称是图形位置的变换，变换后图形的大小、形状都没改变．
考点1 两个图形关于某条直线成轴对称
典例1 [2024·泰安期中]下列图形中，△A′B′C′与△ABC关于直线MN成轴对称的是( )
思路导析 认真观察各选项给出的图形，根据轴对称的定义，直线两侧的两个图形是否关于直线成轴对称进行判断．
【方法技巧】
确定一个图形是不是另一个图形通过轴对称得到的，关键看是否存在一条直线，沿直线折叠后，两个图形能够重合．如果两个图形成轴对称，那么这两个图形全等．
变式 [2024·安阳期中]下列各组图形中，两个图案是轴对称的有( )
A．①③④ B．①③
C．①②③ D．①②③④
考点2 成轴对称的两个图形的性质
典例2 [2024·吉林期中]如图，这两个四边形关于某直线对称，根据图形的条件求x，y.
思路导析 根据成轴对称的两个图形的性质进行求解．
解：x＝70°，y＝4.
变式 如图，△ABC与△DEF关于直线MN对称，其中∠C＝90°，AC＝4 cm，DE＝5 cm，BC＝3 cm.
(1)你认为点A与点D有何关系？
(2)求∠F的度数；
(3)求△DEF的周长和面积．
解：(1)点A与点D关于直线MN成轴对称；
(2)∠F＝∠C＝90°；
(3)因为△ABC与△DEF关于直线MN成轴对称，
所以DF＝AC＝4 cm，EF＝BC＝3 cm，
所以△DEF的周长＝5＋3＋4＝12(cm)．
因为∠F＝90°，
所以△DEF的面积＝3×4× ＝6(cm2)．
考点3 折叠问题
典例3 [2024·泰安期末]如图，在Rt△ABC纸片中，AB＝4，
AC＝3，BC＝5，将Rt△ABC纸片按图示方式折叠，使点A恰好落
在斜边BC上的点E处，BD为折痕，则下列四个结论：①BD平分
∠ABC ②AD＝DE ③DE＝EC ④△DEC的周长为4.其中正确
的有_______．(填序号)
①②④
思路导析 根据翻折的性质可证得①②；由翻折的性质得BE＝AB＝4，即可得CE＝1，若DE＝EC＝1，则DC＝2，构不成三角形可判断③；由AD＝DE，结合三角形的周长公式可判断④.
变式 [2024·日照期中]如图，将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A′处，若∠1＝80°，∠2＝16°，则∠A为( )
A．25° B．28°
C．32° D．36°
考点4 利用成轴对称的性质在网格中作图
典例4 如图，在4×4的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，例如图1中的△ABC，△DEF为格点三角形，且两个三角形关于直线l成轴对称，请在图2网格内画出另外两种与△ABC关于直线l成轴对称的格点三角形．
思路导析 依据轴对称的性质得到△ABC各顶点关于直线l的对称点，再顺次连接各点即可．
解：如图所示，△DEF即为所求作．
变式 在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．在图中画出与△ABC成轴对称的格点三角形．(画出4个即可)
解：如图所示，△ABC1，△DEF，△A′BC，△MBN即为所求作．(答案不唯一)(共21张PPT)
第2课时 等腰三角形(2)
知识点1 等腰三角形的判定
1．判定1：有两条边相等的三角形是等腰三角形．(定义)
几何语言：如图，在△ABC中，因为AB＝AC，所以△ABC是等腰
三角形．
2．判定2：有_______相等的三角形是等腰三角形．(简称“等
角对等边”)
几何语言：如图，在△ABC中，因为∠B＝∠C，所以△ABC是等
腰三角形．
两个角
知识点2 等边三角形的判定
三个角都相等的三角形是等边三角形．
考点1 等角对等边
典例1 如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，点Q是OA上一点，且PQ∥OB，若PQ＝2，则线段OQ的长是( )
A．1.8 B．2.5
C．3 D．2
思路导析 利用角平分线的定义以及平行线的性质推出∠QPO＝∠QOP，再根据等角对等边求解即可．
【拓展】
由“角平分线＋平行”两个条件一定能推出“等腰”，即“角平分线、平行、等腰”任意两个作为条件，都可以推出第三个．
变式 [2024·济南期末]如图，在△ABC中，BE，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，ED∥AC，交BC于点D，EF⊥AB于点F.若BC＝35，EF＝5，DE＝13，则△EBD的面积为( )
A．50 B．55
C．60 D．65
考点2 等腰三角形的相关计算
典例2 [2024·滨州期末]如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC交BD的延长线于点E.若F是DE上的一点，且BF＝DE，求证：AD＝AF.
思路导析 根据角平分线的定义和平行线的性质得出∠ABD＝∠E，则AB＝AE，根据“SAS”证明△ABD≌△AEF，则可证AD＝AF.
证明：因为BD平分∠ABC，
所以∠ABE＝∠CBE.
因为AE∥BC，
所以∠E＝∠CBE，
所以∠E＝∠ABE，
所以AB＝AE.
因为BF＝DE，
所以BD＋DF＝EF＋DF，即BD＝EF，
变式 [2024·泰安期中]如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于点D，AB＝7，BC＝9，AC＝4.
(1)求△AEF的周长；
(2)若DO＝2，试求△ABC的面积．
解：(1)在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
所以∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF.
因为EF∥BC，
所以∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC，
所以∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF，
所以BE＝OE，CF＝OF，
所以EF＝OE＋OF＝BE＋CF，
所以△AEF的周长＝AE＋AF＋EF＝AE＋BE＋AF＋CF＝AB＋AC＝11；
考点3 等边三角形的判定1
典例3 [2025·延安期中]如图，在△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，ED的延长线与CB的延长线交于点F，BD＝BF，∠ABC＝∠A，试判断△ABC的形状，并说明理由．
思路导析 由角的互余关系、等腰三角形的性质以及对顶角相等证出∠A＝∠C，再由∠ABC＝∠A，得出∠ABC＝∠A＝∠C，即可得出结论．
解：△ABC是等边三角形．理由如下：
因为DE⊥AC，
所以∠AED＝∠CEF＝90°，
∠A＋∠ADE＝90°，∠C＋∠F＝90°，
因为BD＝BF，
所以∠BDF＝∠F，
因为∠ADE＝∠BDF，
所以∠ADE＝∠F，
所以∠A＝∠C，
又因为∠ABC＝∠A，
所以∠ABC＝∠A＝∠C，
所以△ABC是等边三角形．
变式 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，CD的垂直平分线MF交AC于点F，交BC于点M.
(1)求∠BDE的度数；
(2)求证：△ADF是等边三角形．(共10张PPT)
第3课时 轴对称图形
知识点1 轴对称图形的定义
一个图形的一部分，以某一条直线为_______，经过轴对称能与
图形的_________重合，这样的图形叫作轴对称图形．
图形：
对称轴
另一部分
【注意】
轴对称图形的三个条件：①一个整体图形；②一条直线——对称轴；③直线两旁的部分完全重合．
知识点2 轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系
区别 (1)两个图形关于某条直线成轴对称，是指两个图形的位置关系，涉及两个图形；轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言．
(2)成轴对称的两个图形只有一条对称轴；轴对称图形至少有一条对称轴.
联系 (1)都沿对称轴折叠重合．
(2)如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形关于这条直线成轴对称.
考点1 轴对称图形的识别
典例1 [2024·徐州]古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形的是( )
思路导析 根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可．
变式1 [中华传统文化][2024·临沂期中]“致中和，天地位焉，万物育焉”，对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，下列图案是轴对称图形的是( )
变式2 [2025·上饶期中]请在下面的这一组图形符号中找出它
们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处，填上适当的图
形____．
考点2 轴对称图形的设计
典例2 在下列各图的正方形网格中，已有两个正方形涂灰，请再将其中的一个空白正方形涂灰，使涂灰部分是一个轴对称图形．(最少三种不同方法)
思路导析 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
解：如图，共有5种方法：
变式 [2024·威海期中]如图，在4×3的正方形网格中，已有三个小正方形被涂灰，再将其余的小正方形涂灰一个，使四个被涂灰部分构成的图案为轴对称图形．能满足条件的涂法有( )
A．2种 B．3种
C．4种 D．5种
