(共17张PPT)
5.5 立方根
知识点1 立方根
1．立方根的定义
如果一个数x的_____等于a，即_____，那么x叫作a的立方根或
三次方根．
2．立方根的性质
正数的立方根是一个_____；0的立方根是0；负数的立方根是一
个_____．
立方
x3＝a
正数
负数
3．立方根的表示方法及读法
数a的立方根记作“ ”，读作“三次根号a”，其中a叫作
_________，3叫作_______．
被开方数
根指数
知识点2 开立方
求一个数的_______的运算叫作开立方．立方运算与开立方运算
互为逆运算．
立方根
考点1 利用立方根的定义求未知数的值
典例1 [2025·金山期中]方程(3x－2)3＝64的根是_____．
x＝2
思路导析 直接利用立方根的定义得到方程3x－2＝4，然后解方程即可求解．
解析：因为43＝64，
所以3x－2＝4，解得x＝2，
故该方程的根为x＝2.
2或3或4
思路导析 根据正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，列式求解即可．
－a＋b－c
思路导析 本题考查计算器—基础知识，根据计算器的按键顺序，写出计算的式子，然后求值即可．
考点4 平方根与立方根的综合应用
典例4 已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的立方根是4，c是
算术平方根等于自身的数，则a＋2b－c2＝_________．
105或104
思路导析 根据题意分别计算出a，b，c的值，再代入代数式求值即可．算术平方根等于自身的数存在0与1两种情况．
1(共24张PPT)
5.6 实数
知识点1 实数的定义及分类
1．实数的定义：_______________统称为实数．
有理数与无理数
0
负有理数
负无理数
无限不循,环小数
正无理数
负实数
负无理数
0
知识点2 实数与数轴
1．实数与数轴上的点的关系
实数与数轴上的点一一对应．
2．利用数轴比较实数的大小
数轴上的任意两点，右边的点所表示的实数总比左边的点所表
示的实数大．
知识点3 与实数有关的概念
名称 意义 性质
相反数 如果a是一个实数，那么－a
表示a的相反数 a与b互为相反数 a＋b＝0
倒数 a与 互为倒数(其中a≠0) a与b互为倒数 ab＝1
绝对值 (1)如果a是实数，那么|a|
就是在数轴上表示数a的点到
原点的距离．
(2)实数a的绝对值记作|a| (1)正实数的绝对值等于它本
身，负实数的绝对值等于它
的相反数，0的绝对值是0.
(2)任何实数的绝对值都是非
负数，即|a|≥0.
(3)互为相反数的两个数的绝
对值相等，即|a|＝|－a|
知识点4 实数的运算
1．在实数的运算中，有理数的运算法则、运算律对实数同样适
用．
2．实数的运算顺序：
先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、减．同级运算从左到
右依次进行，有括号的要先算括号里面的．
思路导析 本题根据整数、负有理数、无理数的定义，对给出的实数逐一分类即可．
思路导析 (1)(2)(3)(4)根据相反数和绝对值的定义求解即可．
考点3 实数与数轴
典例3 [2025·大兴期中]如图，点A和点B在数轴上，点A对应的
实数为1，点B对应的实数为3，以AB为边在数轴上方作矩形ABCD，
且AD＝1，连接对角线AC，若以点A为圆心，AC长为半径作弧交数
轴于点E，则点E对应的实数是______________．
思路导析 本题考查了实数与数轴，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先根据勾股定理求出AC＝5，即点E与点A之间的距离，再确定点E对应的实数即可求解．
思路导析 此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．直接利用立方根的性质以及算术平方根分别化简，化简绝对值，计算有理数的乘方，进而得出答案．(共20张PPT)
第2课时 勾股定理的逆定理
知识点 勾股定理的逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形
是直角三角形．
符号语言：在△ABC中，
因为a2＋b2＝c2，
所以△ABC是直角三角形，且∠C＝90°.
【注意】
运用勾股定理的逆定理时：(1)不能机械地认为Rt△ABC中，边长为c的边所对的角必是直角，应是最长边所对的角是直角；(2)不要习惯性地验证a2＋b2是否等于c2，而要看最长边的平方是否等于另两边的平方和．
考点1 利用勾股定理判断三角形的形状
典例1 [2025·蚌埠期中]如图，在△ABC中，AC＝15，BC＝25，点D在边BC上，且AD⊥BC，AD＝12.
(1)求AB的长；
(2)判断△ABC的形状，并说明理由．
思路导析 (1)在直角△ADC中利用勾股定理得CD＝9，进而求得BD＝16，在Rt△ABD中，运用勾股定理即可求解；
(2)利用勾股定理的逆定理即可判断．
解：(1)因为AD⊥BC，
所以△ADC是直角三角形，∠ADC＝∠ADB＝90°.
所以DC2＝AC2－AD2＝152－122＝92.
所以DC＝9，
所以BD＝BC－CD＝25－9＝16，
在Rt△ABD中，AB2＝AD2＋BD2＝122＋162＝202，
所以AB＝20；
(2)△ABC是直角三角形，理由如下：
因为AB＝20，AC＝15，BC＝25，
152＋202＝252，
所以△ABC是直角三角形，∠BAC是直角．
变式1 [2025·邯郸一模]五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是( )
变式2 [2025·葫芦岛期中]在△ABC中，AC＝6，BC＝a，AB＝b，
如果a，b满足(a＋6)(a－6)＋b2＝0，则△ABC的形状是_______
_____．
直角三
角形
考点2 勾股定理及其逆定理的实际应用
典例2 [2025·长寿期中]如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地(图中的四边形ABCD)，经测量，在四边形ABCD中，∠ACB＝90°，AB＝15 m，BC＝9 m，AD＝5 m，DC＝13 m.
(1)△ACD是直角三角形吗？为什么？
(2)小区为美化环境，欲在空地上铺草
坪，已知草坪每平方米80元，试问铺满
这块空地共需花费多少元？
思路导析 (1)先在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得AC＝12 m，
在△ACD中，AC2＋AD2＝122＋52＝132＝CD2，再利用勾股定理的
逆定理可知△ACD是直角三角形，且∠DAC＝90°；
(2)分别利用三角形的面积公式求出S△ABC＋S△ADC，即四边形ABCD
的面积，再乘以80，即可求总花费．
解：(1)△ACD是直角三角形，理由如下：
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝15 m，BC＝9 m，
所以AC2＋92＝152，AC＝12.
在△ACD中，AD＝5 m，DC＝13 m，AC＝12 m，
所以AC2＋AD2＝122＋52＝132＝CD2，
所以△ACD是直角三角形，∠DAC＝90°；
变式1 [2025·河池期中]3月29日，巴马2025年“瑶风壮韵三月三·传承巴马民族风”系列活动在巴马城东体育广场开幕．活动前，工人师傅在搭建主会场时，想要两块直角三角形的铁皮制作造型．现有一块薄铁皮ABCD，∠B＝90°，各边的尺寸如图所示．为尽量不浪费材料而合理利用，请你帮工人师傅设计，如何裁剪得到两块都是“直角三角形”的铁皮？并说明理由．
解：为尽量不浪费材料而合理利用，可以连接AC，沿着AC剪裁就得到两个直角三角形．理由如下：
连接AC．
在△ABC中，
因为∠B＝90°，
所以△ABC为直角三角形；
所以AC2＝AB2＋BC2＝8，
又因为AD2＋AC2＝1＋8＝9，而DC2＝9，
所以AC2＋AD2＝DC2，
所以△ACD也为直角三角形．
所以为尽量不浪费材料而合理利用，沿着AC剪裁就得到两个直角三角形．
变式2 [2025·青岛期中]如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路AC的同侧，两个喷泉之间的距离AB为25 m，喷泉的供水点M在小路AC上．现要为喷泉铺设两条互相垂直的供水管道AM和BM，已铺管道AM长为20 m，BM长为15 m，供水点M到AB的距离是MN.
(1)请判断供水管道AM与BM是否符合铺设要求；
(2)求MN的长及AN的长．
解：(1)符合要求，理由如下：
因为在△ABM中，AM＝20 m，BM＝15 m，AB＝25 m，
所以AM2＋BM2＝202＋152＝625，AB2＝252＝625，
所以AM2＋BM2＝AB2，
所以△ABM是直角三角形，∠AMB＝90°，
所以AM⊥BM，符合要求；(共17张PPT)
第5章 勾股定理与实数
5.1 勾股定理及其逆定理
第1课时 勾股定理
知识点1 勾股定理
在直角三角形中，如果两条直角边长分别是a和b，斜边长为c，
那么__________．用自然语言可叙述为_____________________
_____________________．
在我国古代，人们将直角三角形中较短的直角边称为勾，较长
的直角边称为股，斜边称为弦，所以这个定理在我国被称为
“勾股定理”．
a2＋b2＝c2
直角三角形两直角边的
平方和等于斜边的平方
【注意】
(1)勾股定理体现的是直角三角形中三边之间的关系；(2)勾股定理只对直角三角形适用，应注意分清题目中的直角边和斜边，不要看到a，b，c就以为a，b为直角边，c为斜边．
知识点2 勾股定理的验证
我们可以利用赵爽弦图、毕氏证法、总统证法等方式来证明勾
股定理．
知识点3 勾股定理的应用
利用勾股定理解决实际问题时，关键是将实际问题转化为数学
模型(直角三角形)．
考点1 利用勾股定理进行计算
典例1 [2025·蚌埠期中]如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是边BC上一点，若AC＝5，AB＝13，CD＝4，则BD的长是( )
A．6 B．7
C．8 D．9
思路导析 根据勾股定理求出BC＝12，根据线段的和差关系即可求得答案．
变式1 [2025·合肥期中]如图，长方形纸片ABCD中，AB＝3 cm，
AD＝9 cm，将此长方形纸片折叠，使点D，B重合，点C落在点H
的位置，折痕为EF，则△ABE的面积为( )
A．6 cm2 B．8 cm2
C．10 cm2 D．12 cm2
变式2 [2025·江门期中]如图，在直线l上有正方形a，b，c，
若a，c的面积分别为4和16，则b的面积为___．
20
考点2 勾股定理的验证
典例2 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明，后人称之为“赵爽弦图”流传至今．如图，下列式子中，可以用来表示从图1到图2的变化的是( )
思路导析 根据两个图形面积相等列式，即可求解．
变式 下面四幅图中，不能证明勾股定理的是( )
考点3 勾股定理的实际应用
典例3 [2025·云浮一模]我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是(丈和尺是长度单位，1丈＝10尺)( )
A．5尺，6尺
B．10尺，11尺
C．11尺，12尺
D．12尺，13尺
思路导析 本题考查勾股定理的实际应用，设AC＝x尺，则AB＝AB′＝(x＋1)尺，在Rt△ACB′中，利用勾股定理进行求解即可．
变式1 [2025·哈尔滨期中]如图，由于台风的影响，一棵高度
是16 m的树折断，树顶落在离树干底部8 m处，则这棵树的折
断处距地面的高度是__m.
6
变式2 [2025·南京期末]如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当
它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度DE＝5 cm，当它摆
动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度BF＝7 cm，且与摆锤在
最低点时的水平距离为BC＝10 cm，求钟摆AD的长度．
解：由题意可知AD＝AB，CE＝BF＝7 cm，
所以CD＝CE－DE＝7－5＝2(cm)，
设AB＝x cm，
则AC＝AD－CD＝(x－2) cm，
因为∠ACB＝90°，
所以AB2＝AC2＋BC2，即x2＝(x－2)2＋102，
解得x＝26.
答：钟摆AD的长度为26 cm.(共16张PPT)
5.2 算术平方根
知识点1 算术平方根
一般地，如果一个_____x的平方等于a，即x2＝a，那么这个___
___x叫作a的算术平方根，记作“____”，读作“______”，如
25的算术平方根是__．
特别地，规定0的算术平方根是__， 即＝__．
正数
正
数
根号a
5
0
0
【注意】
因为任何数的平方都是非负数，所以负数没有算术平方根．
知识点2 成立的条件
式子 有意义的条件是_____．
a≥0
知识点3 算术平方根的性质
1. ___0(a≥0)．(双重非负性)
【注意】
≥
2．运算性质：( )2＝__(a≥0)．
3．符号性质：(1)正数有一个正的算术平方根；(2)0的算术平
方根是0；(3)负数没有算术平方根．
a
思路导析 先求出这个数，然后根据算术平方根的定义再求出它的前一个数的算术平方根即可．
变式1 64的算术平方根是( )
A．±4 B．±8
C．4 D．8
1
－1
0.5
考点3 算术平方根的实际应用
典例3 [2025·阳江期中]直田七亩半，忘了长和短．记得立契
时，长阔争一半．今问俊明公，此法如何算．意思是有一块面
积为7亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少．只记得在立契约
的时候说过，宽是长的一半．则田的宽是___步．(一亩＝240平
方步)
30
思路导析 设此矩形田的宽为x步，根据题意列出方程即可求出答案．
解析：设此矩形田的宽为x步，
依据题意，可列方程为x·2x＝240×7.5＝1 800，
解得x＝30(负值舍去)，
则田的宽为30步．
变式 [跨学科][2025·大兴期中]物体自由下落时，下落的高
度h(单位：m)可用公式h＝ gt2来计算，其中，g是重力加速
度，取g＝10 m/s2，t(单位：s)表示物体下落的时间．若一个
小球从离地面45 m的高处自由下落，则小球落到地面的时间
是__s.
3(共18张PPT)
第2课时 数轴及网格中的无理数
知识点2 网格中的无理数
在网格中求线段的长度时，需要先找出线段所在的直角三角形，
再利用勾股定理计算出线段的长．
考点1 确定一个无理数在数轴上的对应点
典例1 [2025·静安二模]如图，数轴上的点A，B，O，C，D分
别表示数－2，－1，0，1，2，那么表示数 －2的点应落
在( )
A．线段AB上 B．线段BO上
C．线段OC上 D．线段CD上
思路导析 根据三角形的分类判断．
变式1 [2025·延安期中]如图，正方形ABCD的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1的点处，若以点A为圆心，AB的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数为( )
考点2 网格中的无理数
典例2 如图1，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，依次连接正方形网格的格点A，B，C，D得到一个正方形，其边长为a.
(1)a的值为 ；
(2)在图2的数轴上作出表示实数－a＋1的点．
解：(1)(示例)如图1，点E即为所求作；
(2)如图2，△BDF即为所求作；
变式2 [2025·南平期中]如图，每个小正方形的边长都是1，解答下列问题：
(1)线段AB的长为 ，AC的长为 ；
(2)请连接BC，判断△ABC的形状，并说明理由．(共15张PPT)
5.3 无理数
第1课时 无理数
无限不循环小数
【注意】
任何一个有理数都可以化成有限小数或无限循环小数；反过来，任何有限小数或无限循环小数都是有理数．
知识点2 估计无理数的大小
对于带有根号的无理数，可以用“夹逼法”估计它的近似值，
其方法是：
第1步：确定被估算的无理数位于哪两个整数之间；
第2步：以较小整数开始逐步加0.1(或以较大整数开始逐步减
0.1)，并求出其平方确定被估算的无理数的十分位……
如此继续下去，可以估算无理数的近似值．
思路导析 根据无理数的定义即可得出结果．
4
唯一)
2(共23张PPT)
5.4 平方根
知识点1 平方根
1．平方根的定义
如果一个数x的_____等于a，即_____，那么x叫作a的平方根或
二次方根．
2．平方根的性质
一个正数有两个平方根，它们___________；0的平方根是__；负
数没有平方根．
平方
x2＝a
互为相反数
0
算术平
算术平方根
知识点2 开平方
求一个数a(a≥0)的_______的运算叫作开平方，a叫作_________．
平方与开平方互为逆运算．
平方根
被开方数
【注意】
≥0(a≥0)，一个非负数的算术平方根总是非负数．与此类似的还有|a|≥0，an≥0(n为偶数)．
思路导析 根据平方根的定义进行解答即可．
变式1 下列说法：①36的平方根是6 ②±9的平方根是±3 ③0.01是0.1的平方根 ④42的平方根是4 ⑤81的算术平方根是±9.其中正确的有( )
A．0个 B．1个
C．3个 D．5个
±2
考点2 利用平方根解方程
典例2 解方程：
(1)x2－6＝0；
(2)2(x－3)2＝50.
思路导析 (1)先移项，然后利用平方根的性质解方程；
(2)先两边同时除以2，再利用平方根的性质解方程．
变式 [2025·襄阳期中]计算：
(1)4(2x－1)2＝36；
(2)(3x＋1)2－8＝1.
考点3 平方根的性质的应用
典例3 [2025·新乡期中]若m－5与m＋1是同一个数两个不同的平方根，则m的值为( )
A．－2 B．2
C．3或2 D．3
思路导析 一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数，由此计算即可．
变式1 [2025·佛山期中]若一个正数a的两个平方根分别是3b－5和－2b＋2.
(1)求a和b的值；
(2)求a＋3b的平方根．
解：(1)因为一个正数a的两个平方根分别是3b－5和－2b＋2，
所以3b－5＋(－2b＋2)＝0，
所以b＝3，
所以a＝(3b－5)2＝42＝16；
(2)因为a＝16，b＝3，
所以a＋3b＝16＋3×3＝16＋9＝25，
又因为25的平方根是±5，
所以a＋3b的平方根为±5.
变式2 [2025·梅州期中]阅读下列材料，完成后面任务：
问题：已知一个数的算术平方根为2x－1，平方根为±(x＋1)，
求这个数．
解：根据题意，得2x－1＝x＋1或2x－1＝－(x＋1)，……第一步
解得x＝2或x＝0.…………………………………………… 第二步
当x＝2时，2x－1＝2×2－1＝3，所以这个数是9，………第三步
当x＝0时，2x－1＝2×0－1＝－1，所以这个数是1.…… 第四步
综上所述，这个数是9或1. …………………………………第五步
任务：
(1)上述解法是错误的，错在第 步；
(2)请写出本题正确的解题过程．
解：(1)因为当x＝0时，2x－1＝2×0－1＝－1<0，不符合算术平方根的定义，舍去，
所以第四步错误．
故答案为：四；
(2)根据题意，得2x－1＝x＋1或2x－1＝－(x＋1)，
解得x＝2或x＝0.
当x＝2时，2x－1＝2×2－1＝3，所以这个数是9，
当x＝0时，2x－1＝2×0－1＝－1，不符合算术平方根的定义，舍去．
综上所述，这个数是9.
