(共12张PPT)
第2课时 不等式的解集
知识点1 不等式的解与解集
1．不等式的解与解集
(1)能使不等式成立的_______的值，叫作这个不等式的解．例
如：x＝2，3，4分别是不等式2x＋3<12的一个解．
(2)一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解组成这个不等
式的解集．
未知数
【注意】
不等式的解一定在不等式的解集的范围之内，不等式的解有多个，是一个具体的数值，而解集是一个范围．
2．解不等式
求不等式的解集的过程叫作解不等式．
知识点2 用数轴表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集的步骤：
1．画数轴；
2．定界点：当解集中有“<”或“>”时，画空心圆，当解集中
有“≤”或“≥”时，画实心圆；
3．定方向：大于向右画，小于向左画．
考点1 不等式的解与解集
典例1 下列结论中，正确的是( )
A．x＝2是不等式x＋3<4的解
B．不等式x>－3有无数个负整数解
C．不等式x≤－2的解集中，－2是最大的整数解
D．不等式x<2有2个正整数解
思路导析 根据不等式的解及解集的概念进行逐一判断即可．
变式1 [2024·揭阳期中]请写出一个关于x的不等式，使－2，
3都是它的解：________________．
变式2 在－4，－2，－1，0，1，3中，是不等式x＋5>3的解的
有_____________，是不等式3x<5的解的有___________________
__．
x<4(答案不唯一)
－1，0，1，3
－4，－2，－1，0，
1
考点2 用数轴表示不等式的解集
典例2 [2025·黔东南一模]不等式x>－1的解集在数轴上表示正确的是( )
思路导析 本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，大于号，要向数轴右边画，且表示－1的点画空心圆圈，据此可得答案．
变式1 [2025·北京期中]如图，在数轴上表示的x的取值范围是( )
A．－3
B．－3C．－3≤x<1
D．x<1或x>－3
变式2 x的取值范围在数轴上的表示如图所示，则x的取值范围
为_______．
0≤x<1(共14张PPT)
6.2 不等式的基本性质
知识点 不等式的基本性质
1．不等式的基本性质1：
不等式的两边都_____________同一个整式，不等号的方向_____．
即如果a>b，那么a＋c___b＋c，a－c___b－c.
加上(或减去)
不变
＞
＞
2．不等式的基本性质2：
不等式的两边都乘(或除以)同一个___数，不等号的方向_____．
即如果a>b，c>0，那么ac___bc， __ .
3．不等式的基本性质3：
不等式的两边都乘(或除以)同一个___数，不等号的方向_____．
即如果a>b，c<0，那么ac___bc， __ .
正
不变
＞
＞
负
改变
＜
＜
思路导析 根据不等式的性质逐一判断．
考点2 不等式的基本性质的应用
典例2 如果关于x的不等式(m－2)x>n的解集是x>1，那么m，n满
足的等量关系是________，m的取值范围是____．
m＝n＋2
m>2
a<－2
变式3 比较大小，用“>”或“<”填空：若x
(a－b)y，则a__b.
<(共13张PPT)
第6章 一元一次不等式
6.1 不等式
第1课时 不等式及一元一次不等式
知识点1 不等式的概念
1．用“>”“≥”“<”“≤”“≠”连接的式子，叫作不等式．
2．常用的不等号及其对应的实际意义
符号 实际意义 读法
＜ 小于、低于、少于、不足 小于
＞ 大于、高于、多于、超过 大于
≤ 不大于、不高于、至多、不超过 小于或等于
≥ 不小于、不低于、至少、不少于 大于或等于
≠ 不相等 不等于
知识点2 一元一次不等式的概念
不等式的两边都是_____，只含有_____未知数，并且未知数的
次数都是__的不等式叫作一元一次不等式．
整式
一个
1
考点1 不等式的概念
典例1 下列式子中，不等式有( )
①4>－3 ②5a≤－1 ③3x－2 ④|x|≠3
⑤s＝vt ⑥2x⑨a2＋b2≠c2.
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
思路导析 根据不等式的定义判断即可．
变式 下列式子：①－2<0 ②4x＋2y>0
③x＝1 ④x2－xy ⑤x≠3 ⑥x－1A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
思路导析 根据一元一次不等式的定义逐项判断即可求解．
变式 [2025·重庆期中]若(a－2)x|a－1|＋3>0是关于x的一元一
次不等式，则a的值为__．
0
考点3 列不等式
典例3 下列不等关系中，正确的是( )
A．a不是正数可表示为a<0
B．x不大于4可表示为x<4
C．x与2的和是非负数可表示为x＋2>0
D．m与5的差是负数可表示为m－5<0
思路导析 根据不等量关系的表示方法逐项分析即可．
解析：A．a不是正数可表示为a≤0，故不正确；B.x不大于4可
表示为x≤4，故不正确；C．x与2的和是非负数可表示为x＋2
≥0，故不正确；D.m与5的差是负数可表示为m－5<0，故正确．
变式 用不等式表示下列数量之间的关系：
(1)哥哥存款x元，弟弟存款y元，兄弟二人的存款总数少于
2 000元；
(2)长为a＋5，宽为a－3的长方形的面积小于边长为a＋2的正
方形的面积；
(3)一列动车有n节车厢，每节车厢有100个座位．在五一期间，
这列动车上有m个人，其中有一些人没有座位．
解：(1)根据题意可知x＋y<2 000；
(2)根据题意可知(a＋5)(a－3)<(a＋2)2；
(3)根据题意可知100n6.4 一元一次不等式组
第1课时 一元一次不等式组的解法
知识点1 一元一次不等式组的概念
1．不等式组
将几个不等式联立起来，便组成了一个不等式组．
2．一元一次不等式组
一般地，由几个含有同一未知数的一元一次不等式所组成的不
等式组，叫作一元一次不等式组．
基本特征：(1)所含未知数相同；(2)每个不等式都是一元一次
不等式；(3)不等式的个数必须不小于2.
知识点2 一元一次不等式组的解集
一般地，一元一次不等式组中各个不等式的解集的_________叫
作这个一元一次不等式组的解集．求不等式组解集的过程叫解
不等式组．
公共部分
【注意】
公共部分是指数轴上被两个不等式的解集区域都覆盖的部分，若无公共部分，则说明这个不等式组无解．
一元一次不等式组的解集的四种示例情况
知识点3 一元一次不等式组的解法
1．分别求出不等式组中各个不等式的解集；
2．在同一数轴上将它们的解集表示出来，利用数轴确定解集的
公共部分；
3．写出不等式组的解集．
思路导析 本题考查的是一元一次不等式组的解法，先解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示两个不等式的解集，再确定公共部分即可．(共23张PPT)
第2课时 一元一次不等式组的应用
知识点1 一元一次不等式组的特殊解及字母参数问题
1．分别求出不等式组中各个不等式的解集；
2．利用_____求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解
集；
3．判断含字母参数的解集在哪两个数值之间；
4．判断两端能不能取等号．
数轴
知识点2 列一元一次不等式组解应用题的步骤
列一元一次不等式组解决实际问题的步骤与列方程组解决实际
问题的步骤类似．
1．审：认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的
_________；
2．设：设出适当的_______；
3．列：根据题中的_________列出不等式组；
不等关系
未知数
不等关系
4．解：解不等式组，求出其解集；
5．验：检验所求出的不等式组的解集是否符合题意；
6．答：写出答案．
思路导析 利用求一元一次不等式组的解集的步骤进行计算得出解集，并在解集里面找出符合题意的解，求和即可．
思路导析 首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组有4个整数解得到关于a的不等式，从而求解即可．
考点3 一元一次不等式组的应用
典例3 有一家人参加登山活动，他们要将矿泉水分装在旅行包
内带上山．若每人带2瓶，则剩余5瓶；若每人带4瓶，则有1个
人带了矿泉水，但不足3瓶．这家人参加登山的人数为__．
4
思路导析 设登山人数为x人，则矿泉水有(2x＋5)瓶，根据题意列出不等式组，解不等式组后确定整数解即可．
变式1 [2025·重庆期中]某中学组织学生参与校园手工制作与义卖实
践活动，同学们负责制作并售卖手工艺品纸艺花和手工编织挂件，已
知纸艺花每个成本15元，每个售价20元，手工编织挂件每个成本8元，
每个售价14元．在第一次义卖活动中，学生共卖出了150件手工艺品，
总收入为2 496元．
(1)请求出纸艺花和手工编织挂件各销售了多少个？
(2)学校计划筹备第二次义卖活动，需制作纸艺花和手工编织挂件共80
件，要求总成本不超过885元，且纸艺花的数量不低于手工编织挂件数
量的 .请为第二次义卖活动设计一种利润最大的方案．
因为m是整数，所以m＝34，35.
当m＝34时，80－m＝46，利润是34×(20－15)＋46×(14－8)＝446(元)；
当m＝35时，80－m＝45，利润是35×(20－15)＋45×(14－8)＝445(元)．
因为445<446，
选择方案：制作纸艺花34件，手工编织挂件46件；
答：制作纸艺花34件，手工编织挂件46件，利润最大．
变式2 [内江中考]某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1 000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．
(1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米？
(2)如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量(以百米为单位)的方案有几种？请你帮助设计出来．
所以分配方案有3种．
方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队500米；
方案二：分配给甲工程队600米，分配给乙工程队400米；
方案三：分配给甲工程队700米，分配给乙工程队300米.(共15张PPT)
6.3 一元一次不等式的解法
第1课时 一元一次不等式的解法
知识点 一元一次不等式的解法
1．依据：解一元一次不等式，就是根据_________________，将
不等式逐步化为xa(x≥a)的形式．
2．解一元一次不等式的步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移
项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.
不等式的基本性质
【注意】
(1)去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项．
(2)去括号时，若括号前面有负号，括号里的每一项都要变号．
(3)移项时不要忘记变号．
(4)在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向
要改变．
考点1 解一元一次不等式
典例1 [2025·台州二模]解不等式3x－5≤x＋1，并把解集在数轴上表示出来．
思路导析 本题考查了解一元一次不等式．先去括号，再移项，然后合并同类项，最后系数化为1即可求解，再用数轴表示解集．
解：3x－5≤x＋1，
移项，得3x－x≤1＋5，
合并同类项，得2x≤6，
系数化为1，得x≤3，
用数轴表示为
解：去分母，得15x－9－42≤6－4x，
移项，得15x＋4x≤6＋9＋42，
合并同类项，得19x≤57，
两边同除以19，得x≤3，
把不等式的解集在数轴上表示出来如图：
思路导析 首先解这个不等式，然后在数轴上表示出解集，最后找出正整数解即可．
解：2(7－x)≥3(x－2)－6，
14－2x≥3x－6－6，
－2x－3x≥－6－6－14，
－5x≥－26，x≤，
将解集在数轴上表示如图：
所以原不等式的正整数解为x＝1，2，3，4，5.
思路导析 方程组中的两个方程相加得到x＋y＝k－1，然后根据题意得到k－1>3，进而求解即可．
变式 [2024·河池期末]已知m是非负整数，关于x，y的方程
x＋y＝－1与5x＋2y＝6m＋7的公共解满足不等式2x－y<19，
求非负整数m的值．(共20张PPT)
第2课时 一元一次不等式的实际应用
知识点 列一元一次不等式解决实际问题的步骤
列一元一次不等式解决实际问题的步骤与列一元一次方程解决
实际问题的步骤类似．
1．审：认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的
_________；
2．设：设出适当的_______；
3．列：根据题中的_________列出不等式；
不等关系
未知数
不等关系
4．解：解不等式，求出其解集；
5．验：检验所求出的不等式的解集是否符合题意；
6．答：写出答案．
考点1 竞赛问题
典例1 [2025·聊城期中]某学校组织开展了环保知识竞赛初赛，共有20道题，答对一题加6分，答错或不答每题倒扣3分，小辉在初赛得分超过80分顺利进入决赛，设他答对x道题，根据题意，可列出关于x的不等式为( )
A．6x－(20－x)>80 B．6x－(20－x)≥80
C．6x－3(20－x)>80 D．6x－3(20－x)≥80
思路导析 利用小辉的得分＝6×答对题目数－3×答错或不答题目数，结合小辉的得分超过80分，可列出关于x的一元一次不等式，此题得解．
变式 [2025·蚌埠期中]甲、乙两队进行篮球对抗赛，现规定每队胜一场得4分，负一场得2分，双方比赛10场且每一场都赛出胜负(没有平场)，甲队至少要胜多少场才能使得分不少于30分？( )
A．4场 B．5场
C．6场 D．7场
考点2 销售利润问题
典例2 [2025·吴忠二模]某商店将进价为80元的某种商品，以
120元的标价出售，商店准备回馈客户进行打折促销，但要保证
利润不低于10元，则至多可打_____折．
七五
思路导析 先设可打x折，根据题意列出不等式，求出解集即可得出答案．
变式 某市自行车专用车道自2021年5月1日投入使用以来，已成为市民骑行健身的打卡地，使自行车销量大增．今年春天，某自行车专营店购进A，B两种品牌的自行车共50辆，A，B两种品牌的自行车进价分别为1 000元/辆和750元/辆．在销售过程中发现，A品牌自行车的利润率为80%，B品牌自行车的利润率为60%.若将所购进的自行车全部销售完毕后其
利润不少于29 500元，那么此次最少购进多少
辆A品牌自行车？(提示：利润率＝利润÷进价
×100%)
解：设购进A品牌自行车x辆，则购进B品牌自行车(50－x)辆，
根据题意，得1 000×80%x＋750×60%(50－x)≥29 500，
解得x≥20，
所以x的最小值为20，
答：此次最少购进20辆A品牌自行车．
考点3 方案选择问题
典例3 [2025·延安期中]为了提高节日仪式感，三八妇女节期间，甲乙两家花店以同样的价格出售同样的玫瑰花束，并且又各自推出不同促销方案：
甲花店的优惠方案：购花价格累计超过200元后，超出200元的部分按70%付费；
乙花店的优惠方案：购花价格累计超过100元后，超出100元的部分按80%付费；
某公司想在三八妇女节为公司的女性送上玫瑰花束，若该公司准备购买总价为x(x>200)元的玫瑰花束．
(1)在甲花店购买的优惠价为y甲＝ 元，在乙花店购买的优惠价为y乙＝ 元；(均用含x的式子表示)；
(2)请问该公司到哪家花店购花更优惠？写出解答过程．
思路导析 (1)直接根据优惠方案列代数式即可；
(2)根据题意，分三种情况，分别列出式子进行求解即可．
解：(1)(0.7x＋60)，(0.8x＋20)；
(2)当y甲400，即当x>400时，在甲花店购花更优惠；
当y甲>y乙时，0.7x＋60>0.8x＋20，解得x<400，即当200当y甲＝y乙时，0.7x＋60＝0.8x＋20，解得x＝400，即当x＝400时，在甲，乙花店购花一样优惠．
变式 [2025·合肥期中]某公司为了节约能源，决定购买节能性能更好的10台新设备．现有A，B两种型号的新设备供选择，其中每台的价格、产量如表：
A型 B型
价格(万元/台) 24 20
产量(吨/月) 720 540
(1)经预算：该公司购买节能新设备的总资金不超过220万元，请求出有几种购买方案(每一种新设备至少买1台)；
(2)在(1)的条件下，若要求每月产量不低于6 120吨，请你设计一种最省钱的购买方案．
解：(1)设购买A型设备x台，B型设备(10－x)台，
根据题意，得24x＋20(10－x)≤220，
解得x≤5，
因为每一种新设备至少买1台，
所以x＝1，2，3，4，5，
所以有5种购买方案；
(2)根据题意，得
720x＋540(10－x)≥6 120，
解得x≥4，
则x为4或5，
当x＝4时，购买资金为24×4＋20×6＝216(万元)，
当x＝5时，购买资金为24×5＋20×5＝220 (万元)，
因为216<220，
所以最省钱的购买方案为购买A型设备4台，B型设备6台．
变式 在长跑比赛中，张华跑在前边，在离终点100 m时他以
4 m/s的速度向终点冲刺，在张华身后10 m的李明想要赶在张
华之前到达终点，则李明的速度要超过____m/s.
4.4