1.1菱形的性质与判定 同步练习（含答案） 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

1.1菱形的性质与判定
一．选择题
1．(2024·淄博检测)如图，若要使 ABCD是菱形，则需要添加的条件是(　　)
A．AB＝CD B．AD＝AC
C．AB＝BC D．AC＝BD
2．(2024·泰安检测)如图，菱形ABCD的对角线交点与坐标原点O重合，若点A(－2，5)，则点C的坐标是(　　)
A．(5，－2) B．(2，－5)
C．(2，5) D．(－2，－5)
3．下列说法不正确的是(　　)
A．菱形的四条边都相等
B．菱形的对角线相等
C．菱形是轴对称图形
D．菱形的对角线互相垂直
4．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O．若AB＝5，AC＝6，则BD的长为(　　)
A．4 B．6
C．7 D．8
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，DB＝8，则点A到BC边的距离为(　　)
A． B．6
C．8 D．
6．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如果添加一个条件，可推出 ABCD是菱形，那么这个条件可以是(　　)
A．AB＝AC
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．AB⊥AC
7．若菱形的对角线分别为6和8，则菱形的周长是(　　)
A．24 B．14
C．10 D．20
8．如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．若AE＝4 cm，则四边形AEDF的周长为(　　)
A．12 cm B．6 cm
C．20 cm D．22 cm
二．填空题
9．如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的面积是 ．
10．(2024·济南检测)如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是 ．(写出一个即可)
11．如图， ABCD的对角线AC与BD交于点O，请你添加一个条件使它是菱形，你添加的条件是 ．
第11题图
12．如图，在菱形ABCD中，M，N分别为AB，AC的中点．若MN＝2，则菱形ABCD的周长为 ．
第12题图
13．如图，O是菱形ABCD的对角线的交点，E，F分别是OA，OC的中点．下列结论：①四边形BFDE是菱形；②S四边形ABCD＝EF·BD；③∠ADE＝∠EDO；④△DEF是轴对称图形．其中正确的结论有 ．(填序号)
三．解答题
14.(郴州中考)如图，四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，连接BF，FD，DE，EB.求证：四边形DEBF是菱形.
15．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF＝AE，连接BE，EF．
(1)如图1，当E是线段AC的中点时，BE和EF的数量关系是 ．
(2)如图2，当E不是线段AC的中点，其他条件不变时，请你判断(1)中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
(3)如图3，当E是线段AC延长线上的任意一点，其他条件不变时，(1)中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
　　　　　　　图1　　　　　　　图2　　　　　　图3
1.1菱形的性质与判定
一．选择题
1．(2024·淄博检测)如图，若要使 ABCD是菱形，则需要添加的条件是(　C　)
A．AB＝CD B．AD＝AC
C．AB＝BC D．AC＝BD
2．(2024·泰安检测)如图，菱形ABCD的对角线交点与坐标原点O重合，若点A(－2，5)，则点C的坐标是(　B　)
A．(5，－2) B．(2，－5)
C．(2，5) D．(－2，－5)
3．下列说法不正确的是(　B　)
A．菱形的四条边都相等
B．菱形的对角线相等
C．菱形是轴对称图形
D．菱形的对角线互相垂直
4．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O．若AB＝5，AC＝6，则BD的长为(　D　)
A．4 B．6
C．7 D．8
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，DB＝8，则点A到BC边的距离为(　A　)
A． B．6
C．8 D．
6．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如果添加一个条件，可推出 ABCD是菱形，那么这个条件可以是(　C　)
A．AB＝AC
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．AB⊥AC
7．若菱形的对角线分别为6和8，则菱形的周长是(　D　)
A．24 B．14
C．10 D．20
8．如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．若AE＝4 cm，则四边形AEDF的周长为(　B　)
A．12 cm B．6 cm
C．20 cm D．22 cm
二．填空题
9．如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的面积是 24 ．
10．(2024·济南检测)如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是 AB＝AD(答案不唯一) ．(写出一个即可)
11．如图， ABCD的对角线AC与BD交于点O，请你添加一个条件使它是菱形，你添加的条件是 AB＝AD(答案不唯一) ．
第11题图
12．如图，在菱形ABCD中，M，N分别为AB，AC的中点．若MN＝2，则菱形ABCD的周长为 16 ．
第12题图
13．如图，O是菱形ABCD的对角线的交点，E，F分别是OA，OC的中点．下列结论：①四边形BFDE是菱形；②S四边形ABCD＝EF·BD；③∠ADE＝∠EDO；④△DEF是轴对称图形．其中正确的结论有 ①②④ ．(填序号)
三．解答题
14.(郴州中考)如图，四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，连接BF，FD，DE，EB.求证：四边形DEBF是菱形.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠ACB.
∵AE＝CF，∴△DAE≌△BAE≌△BCF≌△DCF(SAS).
∴DE＝BE＝BF＝DF.
∴四边形DEBF是菱形.
15．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF＝AE，连接BE，EF．
(1)如图1，当E是线段AC的中点时，BE和EF的数量关系是 BE＝EF ．
(2)如图2，当E不是线段AC的中点，其他条件不变时，请你判断(1)中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
(3)如图3，当E是线段AC延长线上的任意一点，其他条件不变时，(1)中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
　　　　　　　图1　　　　　　　图2　　　　　　图3
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC．
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴∠BCA＝60°．
又∵E是线段AC的中点，
∴∠CBE＝∠ABE＝30°，AE＝CE．
∵CF＝AE，∴CE＝CF．
∴∠F＝∠CEF＝∠BCA＝30°．
∴∠CBE＝∠F＝30°．
∴BE＝EF．
故答案为BE＝EF．
(2)结论成立．证明如下：
如图，过点E作EG∥BC交AB于点G．
∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，
∴AB＝BC，∠BCD＝120°，AB∥CD．
∴∠ACD＝60°，∠DCF＝∠ABC＝60°．
∴∠ECF＝120°．
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝60°．
∵EG∥BC，
∴∠AGE＝∠ABC＝60°．
∵∠BAC＝60°，
∴△AGE是等边三角形．
∴AG＝AE＝GE．
∴BG＝CE，∠BGE＝120°＝∠ECF．
∵CF＝AE，
∴GE＝CF．
∴△BGE≌△ECF(SAS)．∴BE＝EF．
(3)结论成立．证明如下：
如图，过点E作EG∥BC交AB的延长线于点G．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC．
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝60°．
∴∠ECF＝60°．
∵EG∥BC，
∴∠AGE＝∠ABC＝60°．
∴∠AGE＝∠ECF．
∵∠BAC＝60°，
∴△AGE是等边三角形．
∴AG＝AE＝GE．∴BG＝CE．
∵CF＝AE，
∴GE＝CF．
∴△BGE≌△ECF(SAS)，
∴BE＝EF．
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