1.2矩形的性质与判定 同步练习（含答案）2025-2026学年北师大版九年级数学上册

1.2矩形的性质与判定
一．选择题
1．下列说法正确的是(　　)
A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
B．矩形的对角线互相垂直平分
C．菱形的对角线平分一组对角
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
2．如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点D落在点E处，AE与边BC的交点为M．若AB＝1，BC＝2，则BM的长等于(　　)
A．
C．
3．(2024·东营检测)如图，木杆AB斜靠在墙壁上，P是AB的中点，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM的方向滑动，则下滑过程中OP的长度变化情况是(　　)
A．逐渐变大 B．不断变小
C．不变 D．先变大再变小
4．要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是(　　)
A．测量四边形画框的两个角是否为90°
B．测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分
C．测量四边形画框的一组对边是否平行且相等
D．测量四边形画框的四边是否相等
5．(2024·烟台检测)两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝(　　)
A．α－90° B．α－45°
C．180°－α D．270°－α
第7题图
二．填空题
6．如图，AC，BD是 ABCD的对角线，要使 ABCD成为矩形，需添加一个条件： ．
　
第8题图
7．如图，在矩形ABCD中，点E在边DC上，连接AE，将△AED沿折痕AE翻折，使点D落在边BC上的D1处．若∠DEA＝76°，则∠D1EC＝ ．(填度数)
8．(2024·绥化期末)已知Rt△ABC的两边长为5和12，则其斜边上的中线长为 ．
9．如图，点M在矩形ABCD的边CD上，过点M作ME⊥AC于点E，作MF⊥BD于点F．若AB＝12，BC＝16，则ME＋MF等于 ．
三，解答题
10．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若AB＝3，∠AOD＝120°，求BC的长．
11．如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB＝6，OA＝5，求AD与BD的长．
12．如图，在 ABCD中，E，F分别是边AB，DC上的点，且AE＝CF，∠DEB＝90°．求证：
(1)△ADE≌△CBF；
(2)四边形DEBF是矩形．
13．如图，在△ABC中，点O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN平行于BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角的平分线于点F．
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由．
1.2矩形的性质与判定
一．选择题
1．下列说法正确的是(　C　)
A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
B．矩形的对角线互相垂直平分
C．菱形的对角线平分一组对角
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
2．如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点D落在点E处，AE与边BC的交点为M．若AB＝1，BC＝2，则BM的长等于(　B　)
A．
C．
3．(2024·东营检测)如图，木杆AB斜靠在墙壁上，P是AB的中点，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM的方向滑动，则下滑过程中OP的长度变化情况是(　C　)
A．逐渐变大 B．不断变小
C．不变 D．先变大再变小
4．要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是(　B　)
A．测量四边形画框的两个角是否为90°
B．测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分
C．测量四边形画框的一组对边是否平行且相等
D．测量四边形画框的四边是否相等
5．(2024·烟台检测)两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝(　C　)
A．α－90° B．α－45°
C．180°－α D．270°－α
第7题图
二．填空题
6．如图，AC，BD是 ABCD的对角线，要使 ABCD成为矩形，需添加一个条件： ∠ABC＝90°(答案不唯一) ．
　
第8题图
7．如图，在矩形ABCD中，点E在边DC上，连接AE，将△AED沿折痕AE翻折，使点D落在边BC上的D1处．若∠DEA＝76°，则∠D1EC＝ 28° ．(填度数)
8．(2024·绥化期末)已知Rt△ABC的两边长为5和12，则其斜边上的中线长为 6.5或6 ．
9．如图，点M在矩形ABCD的边CD上，过点M作ME⊥AC于点E，作MF⊥BD于点F．若AB＝12，BC＝16，则ME＋MF等于 9.6 ．
三，解答题
10．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若AB＝3，∠AOD＝120°，求BC的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，BO＝OD．
∵OA＝OD，∴OA＝OB＝OC＝OD．
∴AC＝BD．
∴四边形ABCD是矩形．
(2)解：∵∠AOD＝120°，OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝30°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°．
∵AB＝3，∴BD＝2AB＝6．
∴AD＝＝＝3．
∴BC＝AD＝3．
11．如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB＝6，OA＝5，求AD与BD的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝2OA＝10，AC＝BD，∠BAD＝90°，AB＝CD＝6．
∴BD＝10．
∴AD＝＝＝8．
∴AD的长为8，BD的长为10．
12．如图，在 ABCD中，E，F分别是边AB，DC上的点，且AE＝CF，∠DEB＝90°．求证：
(1)△ADE≌△CBF；
(2)四边形DEBF是矩形．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，∠A＝∠C．
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(SAS)．
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD．
∵AE＝CF，
∴BE＝DF．
∴四边形DEBF是平行四边形．
∵∠DEB＝90°，
∴四边形DEBF是矩形．
13．如图，在△ABC中，点O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN平行于BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角的平分线于点F．
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由．
(1)证明：如图，
∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角的平分线于点F，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6．
∵MN∥BC，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6．
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．
∴EO＝CO，FO＝CO．
∴OE＝OF．
(2)解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∴∠2＋∠4＝∠5＋∠6＝90°．
∵CE＝12，CF＝5，∠ECF＝90°，
∴EF＝＝＝13．
由(1)知EO＝FO＝CO，
∴OC＝EF＝．
(3)解：当点O在边AC上运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：
当O为AC的中点时，AO＝CO．
∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵∠ECF＝90°，
∴ AECF是矩形．
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