1.2 第2课时 矩形的判定 课件 (共25张PPT) 2025-2026学年北师大版九年级上册

(共25张PPT)
第一章 特殊平行四边形
1.2 矩形的性质与判定
第2课时 矩形的判定
第2课时 矩形的判定
情 境 导 入
同学们：我们一起回忆一下，矩形的定义和性质？
回忆矩形的性质
平行四边形
矩形
有一个角是直角
性质 边 角 对角线
矩形
矩形的对边平行且相等.
矩形的两条对角线相等且互相平分.
矩形的四个角都是直角.
探究矩形的判定
根据矩形的定义，有一个角是直角的平行四边形是矩形.
矩形的定义判定：
除此之外，还有什么条件可以判断一个平行四边形是矩形？先想一想，再与同伴交流.
新 课 探 究
第2课时
矩形的判定
矩形
满足？条件
平行四边形
对角线、
边、
角
平行四边形的对角线满足什么条件时，它就是矩形了？
探究矩形的判定
（1）随着∠α的变化两条对角线的长度将发生怎样的变化？
（2）当两条对角线的长度相等时平行四边形有什么特征？由此
你能得到一个怎样的猜想？
探究矩形的判定条件
猜想1：对角线相等的平行四边形是矩形.
猜想1：对角线相等的平行四边形是矩形.
探究矩形的判定条件
证一证
已知：如图，在□ABCD 中，AC,DB是它的两条对线,
AC=DB. 求证：□ABCD是矩形.
证明：四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB = DC，AB∥DC.
又∵BC = CB，AC = DB，
∴△ABC ≌△DCB. ∴∠ABC=∠DCB.
∵AB∥DC，∴∠ABC+ ∠DCB = 180°.
∴∠ABC=∠DCB= 90°.
∴□ABCD 是矩形（矩形的定义）.
定理：对角线相等的平行四边形是矩形.
★定理运用格式：
∵四边形ABCD是平行四边形, AC=BD,
∴四边形ABCD是矩形.
(对角线相等的平行四边形是矩形)
探究矩形的判定条件
活动2：我们知道，矩形的四个角都是直角.反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？
探究矩形的判定条件
猜想2：有三个角是直角的四边形是矩形.
请证明你的结论， 并与同伴交流.
探究矩形的判定条件
证一证
猜想2：有三个角是直角的四边形是矩形.
已知:如图，在四边形 ABCD, ∠A =∠B=∠C = 90°. 求证: 四边形 ABCD 是矩形.
证明: ∵∠A =∠B =∠C= 90°,
∴∠A+∠B = 180°, ∠B +∠C=180°.
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
∴四边形 ABCD 是矩形.
★定理运用格式：
探究矩形的判定条件
定理：四边相等的四边形是菱形.
在四边形ABCD 中，
∵ ∠A =∠B =∠C =90°,
∴ 四边形ABCD是矩形.
三个角是直角
矩形
有一个角是直角
对角线相等
对角线互相平分
一组对边平行且相等
两组对边分别平行或相等
四边形
平行四边形
两组对角分别相等
对角线互相平分且相等
探究矩形的判定条件
探究矩形的判定
1.如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是平行四边形呢？
用绳子测量四边形的两对边是否相等，相等则是平行四边形.
探究矩形的判定
2.如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是菱形呢？
拿绳子测量四边形的每一个边长，如果四边长度一样，那么根据菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形。
探究矩形的判定
3.如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是矩形呢？
先用绳子测量四边形的两对边是否相等，相等则是平行四边形.
再用绳子测量对角线是否相等.
对角线相等的平行四边形是矩形.
4. 如图，在△ABC中，AD 为 BC 边上的中线，延长 AD 至 E，使 DE = AD，连接 BE，CE.
（1）试判断四边形 ABEC 的形状；
（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形 ABEC 是矩形？
探究矩形的判定
解:（1）四边形 ABEC 是平行四边形．
（2）当△ABC 满足∠BAC＝90°时,四边形ABEC是矩形．
例： 如图在 □ ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，△ABO 是等边三角形，AB = 4.求 □ ABCD 的面积.
探究矩形的判定条件
O
探究矩形的判定条件
解: ∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴OA = OC,OB = OD.
又∵△ABO 是等边三角形，
∴OA = OB = AB = 4.
∴OA = OB = OC = OD = 4.
∴AC = BD = 2OA = 2×4 = 8.
∴□ABCD 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
∴∠ABC = 90°（矩形的四个角都是直角）.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2+BC2 = AC2，
∴BC=
∴S□ABCD = AB·BC = 4× = .
O
巩固练习
1.如图，要使 成为矩形，需要添加的条件是( @2@ )
A. B.
C. D.
C
巩固练习
2.如图，你能用一根绳子检查一个书架的侧边是否和上、下底都垂直吗？为什么？
解：能. 因为在实际生活中，书架的对边是相等的，即它已经是一个平行四边形，只需成为矩形即可说明垂直. 这时，用绳子测量书架的两条对角线的长是否相等即可说明是否垂直.
3.如图，在 中，，，，分别是，，， 的平分线. 求证：四边形是矩形.
巩固练习
拓展延伸
4 . 如图, 将 , 使, 连接, , 交于点 .
证明:四边形 是平行四边形,
, , , .
又 , ,
四边形 为平行四边形, .
在 与 中,
.
（1） 求证: ;
拓展延伸
（2） 探究：当与之间满足怎样的数量关系时，四边形为矩形？为什么？
解：当 时，四边形 为矩形.
理由如下：由（1），得四边形 是平行四边形，
.
， .
. .
.四边形 为矩形.
4 . 如图, 将 , 使, 连接, , 交于点 .
课 堂 小 结
1、这节课你都学会了什么？
2、将你的所学形成网络框架.
第2课时 矩形的判定
有一个角是直角
对角线相等
三个角是直角
THANK YOU