第一章 特殊平行四边形 单元测试（含答案）2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第一章 特殊平行四边形
(时间：120分钟　满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题　共40分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是(　　)
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对边相等且平行
2．如图，菱形ABCD的周长是20，对角线AC，BD相交于点O．若BD＝6，则菱形ABCD的面积是(　　)
A．6 B．12
C．24 D．48
3．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，连接BE，则∠AEB的度数为(　　)
A．45° B．15°
C．10° D．125°
4．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH．若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
5．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△BCD沿对角线BD翻折，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则△BDE的面积为(　　)
A． C．21 D．24
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，EO⊥AC于点O，交BC于点E．若△ABE的周长为8，AB＝3，则AD的长为(　　)
A．2 B．5.5 C．5 D．4
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为(　　)
A．1.2 B．2.4
C．2.5 D．4.8
8．如图，已知点O是矩形ABCD的对角线的交点，∠AOB＝60°，作DE∥AC，CE∥BD，DE，CE相交于点E．若四边形OCED的周长是20，则BC等于(　　)
A．5 B．5
C．10 D．10
9．如图，点P是矩形ABCD的边上一动点，矩形两边AB，BC的长分别为15和20，那么点P到矩形两条对角线AC和BD的距离之和是(　　)
A．6 B．12
C．24 D．不能确定
10．如图，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，PE⊥OA于点E，PF⊥OC于点F，PG⊥OB于点G，则的值是(　　)
A．1 B．2
C．
第Ⅱ卷(非选择题　共80分)
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
11．若某个菱形的两条对角线的长度分别为3和4，则该菱形的周长为 ．
12．如图，已知正方形ABCD的边长为4，则图中阴影部分的面积为 ．
第12题图
13．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，则∠BCD＝ ．(填度数)
第13题图
14．如图，矩形ABCD≌矩形EFGB，点C在BG上，连接DF，H为DF的中点．若AB＝10，BC＝6，则CH的长为 ．
15．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为(2，3)，则点F的坐标为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，3)，D是OA的中点，点P在BC上运动．当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 ．
三、解答题(本大题共6个小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(8分)如图，在四边形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝3 cm，AD＝12 cm，以CD为边在四边形ABCD外部作面积为的正方形CDEF，∠ABC＝90°．
(1)连接AC，求AC和CD的长；
(2)求四边形ABCD的面积．
18．(8分)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB＝，BD＝2，求OE的长．
19．(8分)如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB．
(1)求证： ABCD是矩形；
(2)请添加一个条件，使四边形ABCD是正方形．
20．(10分)如图，G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．
(1)求证：EB＝GD；
(2)判断EB与GD的位置关系，并说明理由．
21．(10分)如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
(1)求证：四边形DEFG是正方形；
(2)求AE＋AG的值．
22．(12分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为边AB上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连接CD，BE．
(1)求证：CE＝AD；
(2)当D为AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？请说明理由．
(3)若D为AB的中点，则当∠A的度数满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明理由．
第一章 特殊平行四边形
(时间：120分钟　满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题　共40分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是(　C　)
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对边相等且平行
2．如图，菱形ABCD的周长是20，对角线AC，BD相交于点O．若BD＝6，则菱形ABCD的面积是(　C　)
A．6 B．12
C．24 D．48
3．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，连接BE，则∠AEB的度数为(　B　)
A．45° B．15°
C．10° D．125°
4．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH．若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为(　A　)
A．3 B．4
C．5 D．6
5．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△BCD沿对角线BD翻折，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则△BDE的面积为(　A　)
A． C．21 D．24
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，EO⊥AC于点O，交BC于点E．若△ABE的周长为8，AB＝3，则AD的长为(　C　)
A．2 B．5.5 C．5 D．4
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为(　D　)
A．1.2 B．2.4
C．2.5 D．4.8
8．如图，已知点O是矩形ABCD的对角线的交点，∠AOB＝60°，作DE∥AC，CE∥BD，DE，CE相交于点E．若四边形OCED的周长是20，则BC等于(　B　)
A．5 B．5
C．10 D．10
9．如图，点P是矩形ABCD的边上一动点，矩形两边AB，BC的长分别为15和20，那么点P到矩形两条对角线AC和BD的距离之和是(　B　)
A．6 B．12
C．24 D．不能确定
10．如图，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，PE⊥OA于点E，PF⊥OC于点F，PG⊥OB于点G，则的值是(　C　)
A．1 B．2
C．
第Ⅱ卷(非选择题　共80分)
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
11．若某个菱形的两条对角线的长度分别为3和4，则该菱形的周长为 10 ．
12．如图，已知正方形ABCD的边长为4，则图中阴影部分的面积为 8 ．
第12题图
13．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，则∠BCD＝ 70° ．(填度数)
第13题图
14．如图，矩形ABCD≌矩形EFGB，点C在BG上，连接DF，H为DF的中点．若AB＝10，BC＝6，则CH的长为 2 ．
15．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为(2，3)，则点F的坐标为 (－1，5) ．
16．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，3)，D是OA的中点，点P在BC上运动．当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 (1，3)或(4，3)或(9，3) ．
三、解答题(本大题共6个小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(8分)如图，在四边形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝3 cm，AD＝12 cm，以CD为边在四边形ABCD外部作面积为的正方形CDEF，∠ABC＝90°．
(1)连接AC，求AC和CD的长；
(2)求四边形ABCD的面积．
解：(1)∵AB＝4 cm，BC＝3 cm，∠ABC＝90°，
∴AC＝＝＝5(cm)．
∵正方形CDEF的面积为169 cm2，
∴CD＝＝13(cm)．
(2)∵AD＝12 cm，且122＋52＝132，
∴AD2＋AC2＝CD2．
∴∠CAD＝90°．
∴四边形ABCD的面积为AB·BC＋AD·AC＝×4×3＋×12×5＝36(cm2)．
18．(8分)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB＝，BD＝2，求OE的长．
(1)证明：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA．
∵AC平分∠BAD，
∴∠OAB＝∠DAC．
∴∠DCA＝∠DAC．
∴CD＝AD＝AB．
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形．
(2)解：由(1)知四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC．
∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC．
∵BD＝2，∴OB＝BD＝1．
在Rt△AOB中，∵AB＝，OB＝1，
∴OA＝＝2．∴OE＝OA＝2．
19．(8分)如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB．
(1)求证： ABCD是矩形；
(2)请添加一个条件，使四边形ABCD是正方形．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD．
∵∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC．
∴AC＝BD．
∴ ABCD是矩形．
(2)解：AB＝AD(或AC⊥BD，答案不唯一)．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形．
20．(10分)如图，G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．
(1)求证：EB＝GD；
(2)判断EB与GD的位置关系，并说明理由．
(1)证明：∵四边形EFGA和四边形ABCD是正方形，
∴AG＝AE，AB＝AD，∠DAB＝∠GAE＝90°．
∴∠GAD＝90°＋∠EAD，∠EAB＝90°＋∠EAD．
∴∠GAD＝∠EAB．
在△GAD和△EAB中，
∴△GAD≌△EAB(SAS)．
∴EB＝GD．
(2)解：EB⊥GD．理由如下：
如图，AD，BE的交点记作点M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°．
∴∠AMB＋∠ABM＝90°．
由(1)知△GAD≌△EAB，
∴∠GDA＝∠EBA．
∵∠DMH＝∠AMB，
∴∠HDM＋∠DMH＝∠ABM＋∠AMB＝90°．
∴∠DHM＝180°－(∠HDM＋∠DMH)＝180°－90°＝90°．
∴EB⊥GD．
21．(10分)如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
(1)求证：四边形DEFG是正方形；
(2)求AE＋AG的值．
(1)证明：如图，过点E分别作EM⊥AD于点M，EN⊥AB于点N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB．
∵EM⊥AD于点M，EN⊥AB于点N，
∴EM＝EN．
又∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四边形ANEM是正方形．
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝∠MEN＝90°．
∴∠DEM＝∠FEN．
又∵∠EMD＝∠ENF＝90°，EM＝EN，
∴△EMD≌△ENF(ASA)．
∴ED＝EF．
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形．
(2)解：∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°．
∴∠ADG＝∠CDE．
∴△ADG≌△CDE(SAS)．∴AG＝CE．
∴AE＋AG＝AE＋CE＝AC＝AD＝4．
22．(12分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为边AB上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连接CD，BE．
(1)求证：CE＝AD；
(2)当D为AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？请说明理由．
(3)若D为AB的中点，则当∠A的度数满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明理由．
(1)证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB．
∴AC∥DE．
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形．
∴CE＝AD．
(2)解：四边形BECD是菱形．理由如下：
∵D为AB的中点，∴AD＝BD．
∵CE＝AD，∴BD＝CE．
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形．
∵DE⊥BC，
∴四边形BECD是菱形．
(3)解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．理由如下：
∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
∴∠ABC＝∠A＝45°．
∴AC＝BC．
∵D为AB的中点，
∴CD⊥AB．
∴∠CDB＝90°．
∵四边形BECD是菱形，
∴菱形BECD是正方形，
即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．
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