1.3正方形的性质与判定 同步练习（含答案）2025-2026学年北师大版九年级数学上册

1.3正方形的性质与判定
一．选择题
1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是(　　)
A．对角线相等
B．轴对称图形
C．对角线互相平分
D．对角线平分每一组对角
2．(2024·深圳龙岗区期中)如图，在正方形ABCD中，F为边AB上一点，CF与BD交于点E，连接AE．若∠BCF＝25°，则∠AEF＝(　　)
A．35° B．40°
C．45° D．50°
第2题图
3．如图，点G是正方形ABCD的对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG 5．如图，在正方形OABC中，点A的坐标是(－3，1)，则点C的坐标是(　　)
A．(1，3) B．(2，3)
C．(1，4) D．(3，1)
4．下列说法正确的是(　　)
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．对角线互相垂直的菱形是正方形
5．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E，F分别为AO，AD的中点．若EF＝3，则OD的长是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
6．如图，P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②C四边形PECF＝2AB(C表示周长)；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF；⑤∠PFE＝∠BAP；⑥AP⊥EF．其中正确结论的个数是( 　)
A．3 B．4
C．5 D．6
二．填空题
7．如图，在正方形ABCD中，BE⊥CF．若BE＝2，则CF的长是 ．
8.为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．若AB＝2，AG＝，则EB＝ ．
　
第3题图
9．如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AD，AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积为 ．
10．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，∠EAF＝45°，正方形ABCD的边长为3，BE＝1，则DF的长为 ．
11．如图，将矩形纸片折叠，使点A落在BC上的点F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则展开后折叠部分是一个正方形，其数学原理是 ．
三，解答题
12．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB.求证：四边形BEDF是正方形.
13．如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥AC，MF⊥AD，垂足分别为E，F.

(1)求证：∠CAB＝∠DAB；
(2)若∠CAD＝90°，求证：四边形AEMF是正方形.
14．(1)如图1，在正方形ABCD中，E为边AB上一点(点E不与点A，B重合)，连接DE，过点A作AF⊥DE，交BC于点F，求证：DE＝AF；
(2)如图2，在正方形ABCD中，E，F分别为边AB，CD上的点(点E，F不与正方形的顶点重合)，连接EF，作EF的垂线分别交边AD，BC于点G，H，垂足为O．若E为AB的中点，DF＝1，AB＝4，求GH的长．
图1
图2
1.3正方形的性质与判定
一．选择题
1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是(　D　)
A．对角线相等
B．轴对称图形
C．对角线互相平分
D．对角线平分每一组对角
2．(2024·深圳龙岗区期中)如图，在正方形ABCD中，F为边AB上一点，CF与BD交于点E，连接AE．若∠BCF＝25°，则∠AEF＝(　B　)
A．35° B．40°
C．45° D．50°
第2题图
3．如图，点G是正方形ABCD的对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG 5．如图，在正方形OABC中，点A的坐标是(－3，1)，则点C的坐标是(　A　)
A．(1，3) B．(2，3)
C．(1，4) D．(3，1)
4．下列说法正确的是(　C　)
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．对角线互相垂直的菱形是正方形
5．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E，F分别为AO，AD的中点．若EF＝3，则OD的长是(　D　)
A．3 B．4
C．5 D．6
6．如图，P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②C四边形PECF＝2AB(C表示周长)；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF；⑤∠PFE＝∠BAP；⑥AP⊥EF．其中正确结论的个数是(　C　)
A．3 B．4
C．5 D．6
二．填空题
7．如图，在正方形ABCD中，BE⊥CF．若BE＝2，则CF的长是 2 ．
8.为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．若AB＝2，AG＝，则EB＝ ．
　
第3题图
9．如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AD，AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积为 1 ．
10．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，∠EAF＝45°，正方形ABCD的边长为3，BE＝1，则DF的长为 ．
11．如图，将矩形纸片折叠，使点A落在BC上的点F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则展开后折叠部分是一个正方形，其数学原理是 邻边相等的矩形是正方形 ．
三，解答题
12．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB.求证：四边形BEDF是正方形.
证明：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC，DF⊥AB，
∴∠BFD＝∠BED＝∠ABC＝90°，
∴四边形BEDF是矩形.
又∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，
∴DF＝DE，∴四边形BEDF是正方形.
13．如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥AC，MF⊥AD，垂足分别为E，F.

(1)求证：∠CAB＝∠DAB；
(2)若∠CAD＝90°，求证：四边形AEMF是正方形.
证明：(1)∵AB是CD的垂直平分线，∴AC＝AD，
又∵AB⊥CD，
∴∠CAB＝∠DAB(等腰三角形的三线合一).
(2)∵ME⊥AC，MF⊥AD，∠CAD＝90°，
即∠CAD＝∠AEM＝∠AFM＝90°，
∴四边形AEMF是矩形.
又∵∠CAB＝∠DAB，ME⊥AC，MF⊥AD，
∴ME＝MF，∴矩形AEMF是正方形.
14．(1)如图1，在正方形ABCD中，E为边AB上一点(点E不与点A，B重合)，连接DE，过点A作AF⊥DE，交BC于点F，求证：DE＝AF；
(2)如图2，在正方形ABCD中，E，F分别为边AB，CD上的点(点E，F不与正方形的顶点重合)，连接EF，作EF的垂线分别交边AD，BC于点G，H，垂足为O．若E为AB的中点，DF＝1，AB＝4，求GH的长．
图1
图2
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAE＝∠ABF＝90°．
∴∠DAF＋∠BAF＝90°．
∵AF⊥DE，
∴∠DAF＋∠ADE＝90°．
∴∠ADE＝∠BAF．
在△DAE和△ABF中，
∴△DAE≌△ABF(ASA)．
∴DE＝AF．
(2)解：如图，分别过点A，D作AN∥GH，DM∥EF，分别交BC，AB于点N，M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠DAB＝∠B＝90°．
∴四边形DMEF是平行四边形．
∴ME＝DF＝1，DM＝EF．
∵DM∥EF，GH⊥EF，
∴DM⊥GH．
同理，四边形AGHN是平行四边形，
∴GH＝AN．
∵AN∥GH，DM⊥GH，
∴AN⊥DM．
∴∠DAN＋∠ADM＝90°．
∵∠DAN＋∠BAN＝90°，
∴∠ADM＝∠BAN．
在△ADM和△BAN中，
∴△ADM≌△BAN(ASA)．
∴DM＝AN．
∴DM＝GH．
∵E为AB的中点，AB＝4，
∴AE＝AB＝2．
∴AM＝AE－ME＝2－1＝1．
在Rt△ADM中，AM＝1，AD＝4，
∴DM＝＝＝．
∴GH＝．
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