(共12张PPT)
13.3.2 三角形的外角
1.三角形外角的定义
三角形的一边与另一边的 组成的角,叫作三角形的外角.
2.三角形外角的性质(三角形内角和定理的推论)
三角形的外角等于 的两个内角的和.
三角形的外角和等于 .
延长线
与它不相邻
360°
温馨提示:三角形每个顶点处有两个外角,它们是对顶角,所以三角形共有六个外角.通常每个顶点处取一个外角,因此,我们常说三角形有三个外角.因为三角形的每个外角与它相邻的内角是互补的,由三角形的内角和是180°,可推出三角形的三个外角和是360°.
3.基本几何图形——飞镖形
数量关系:∠BDC=∠A+∠B+∠C.
(1)将一副三角板△ABC和△ABD按图1方式叠放,其中∠C=45°,∠D=30°,则∠AEB等于( )
A.75° B.60° C.45° D.30°
A
(2)如图2,在△ABC中,∠B=30°,∠C=60°,D是BC上一点,将△ABD沿AD翻折后得到△AED,边AE交射线BC于点F.若DE∥AC,则∠ADC等于( )
A.60° B.65° C.70° D.80°
A
1.如图,∠A=28°,∠C=35°,∠BDC=100°,则∠B的度数是( )
A.43° B.33° C.47° D.37°
2.如图,在△ABC中,D,E分别是边AB和BC上的点,连接ED并延长交CA的延长线于点F.若∠B=35°,∠C=56°,∠F=47°,则∠ADF的度数为 .
D
42°
如图,下面是有关三角形内角、外角平分线的探究,阅读后请按要求作答:
(1)如图1,BP,CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线且相交
于点P,请猜想∠A与∠P之间的数量关系,并说明理由;
解:(1)∠P=90°+∠A.理由如下:
∵BP,CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线,
∴∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠ACB.
∵∠P=180°-(∠PBC+∠PCB),
∴∠P=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=90°+∠A.
(2)如图2,BP,CP分别是∠ABC和∠ACB外角的平分线且相交于点P,请猜想∠A与∠P之间的数量关系,并说明理由;
(2)∠P=90°-∠A.理由如下:
∵BP,CP分别是∠ABC和∠ACB外角的平分线,
∴∠PBC=∠DBC,∠PCB=∠ECB,
∴∠PBC=(180°-∠ABC),
∠PCB=(180°-∠ACB),
∴∠P=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-(360°-∠ABC-∠ACB)
=180°-[360°-(180°-∠A)]=90°-∠A.
(3)如图3,BP为∠ABC的平分线,CP为∠ACB的外角∠ACF的平分线,它们相交于点P,请直接写出∠A与∠P之间的数量关系.
(3)∠P=∠A.理由如下:
∵BP为∠ABC的平分线,CP为∠ACF的平分线,
∴∠PBC=∠ABC,∠PCF=∠ACF.
∵∠PCF=∠PBC+∠P,
∴∠P=∠PCF-∠PBC=∠ACF-∠ABC=
(∠ACF-∠ABC)=∠A.
3.(2025·成都七中)如图,BP是△ABC中∠ABC的平分线,CP是∠ACB的外角的平分线.若∠ABP=25°,∠ACP=55°,则∠P的度数为( )
A.20° B.25° C.30° D.35°
C
4.如图,在△ABC中,将△ADE沿DE翻折,点A落在点F处,则∠A,∠BDF,
∠CEF三者之间的关系是( )
A.∠CEF=∠BDF+∠A
B.∠CEF-3∠A=∠BDF
C.∠CEF=2(∠BDF+∠A)
D.∠CEF-∠BDF=2∠A
D
5.如图,在三角形纸片ABC中,∠A=75°,∠B=72°.将三角形纸片的一角折叠,使点C落在△ABC内.如果∠1=32°,那么∠2的度数为 .
34°(共13张PPT)
13.3.1 三角形的内角
1.三角形内角和定理
三角形的内角和等于 .
符号语言:如图,在△ABC中,
∠A+∠B+∠C=180°.
注意:任何一个三角形中,至少有两个锐角,最多有一个钝角或直角.
180°
2.三角形内角和定理的推论
(1)推论一:直角三角形的两个锐角 .
符号语言:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,
∴∠A+∠B=90°.
(2)推论二:有两个角互余的三角形是 三角形.
符号语言:如图,在△ABC中,∠A+∠B=90°,
∴△ABC是直角三角形.
互余
直角
3.常见模型
数量关系:如图1,∠1+∠2=∠3+∠4;
数量关系:如图2,∠1+∠2=∠3+∠ACB.
数量关系:如图3,∠1+∠2=∠3+∠4;
数量关系:如图4,∠A+∠B=∠C+∠D.
(1)在△ABC中,∠A=70°,∠A比∠B大10°,则∠C= ;
(2)如图,在△ABC 中,∠B=32°,∠C=48°,AD 平分∠BAC,则∠ADC的度数是( )
A.80° B.82°
C.98° D.100°
50°
B
如图,在△ABC中,BF平分∠ABC,CF平分∠ACB,∠A=65°.
(1)求∠BFC的大小;
解:(1)∵BF平分∠ABC,CF平分∠ACB,
∴∠FBC=∠ABC,∠FCB=∠ACB.
∵∠A=65°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-65°=115°.
∴∠FBC+∠FCB=(∠ABC+∠ACB)=57.5°.
∴∠BFC=180°-(∠FBC+∠FCB)=122.5°.
(2)若将题目中“∠A=65°”改为“∠A=α”,则∠BFC的大小是多少
(2)由(1)中推理易知:∠BFC=90°+α.
1.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,则∠C等于( )
A.45° B.60° C.75° D.90°
2.如图为两直线l,m与△ABC相交的情形,其中l,m分别与BC,AB平行.根据图中标示的角度,则∠B的度数为( )
A.55° B.60° C.65° D.70°
C
A
3.如图,B处在A处的南偏西42°方向,C处在A处的南偏东30°方向,C处在B处的北偏东72°方向,则∠ACB的度数是 .
78°
(2025·重庆南开)在下列条件中:①∠A+∠B=∠C;②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3;③∠A=90°-∠B;④∠A=∠B=2∠C;⑤∠A=2∠B=3∠C中,能判定△ABC是直角三角形的条件有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
B
(2025·成都外语校)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,BE平分∠ABC,AD,BE相交于点F.
(1)若∠CAD=36°,求∠AEF的度数;
(1)解:∵AD⊥BC,∴∠ABD+∠BAD=90°.
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠CAD=90°,∴∠ABD=∠CAD=36°.
∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠ABC=18°,
∴∠AEF=90°-∠ABE=72°.
(2)求证:∠AEF=∠AFE.
(2)证明:∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE.
∵∠ABE+∠AEF=90°,∠CBE+∠BFD=90°,
∴∠AEF=∠BFD.
∵∠AFE=∠BFD,∴∠AEF=∠AFE.
4.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,BE平分∠ABC交AC边于点E,∠BAC
=60°,∠ABE=25°,则∠DAC的大小是( )
A.15° B.20° C.25° D.30°
5.如图,在△ABC中,AD是角平分线,AE是高.已知∠BAC=2∠B,∠B=2∠DAE,那么∠ACB的度数为 .
B
72°(共12张PPT)
13.1 三角形的概念
1.三角形的有关概念及表示
(1)由不在同一条直线上的三条线段 顺次相接所组成的图形叫作三角形.
(2)三角形的构成元素
组成三角形的线段叫作三角形的 ,相邻两边的公共端点叫作三角形的 ,相邻两边所组成的角叫作三角形的 ,简称三角形的 .
首尾
边
顶点
内角
角
如图,线段AB,BC,CA是三角形的 ,点A,B,C是三角形的 ,∠A,∠B,∠C是三角形的角.
三角形的边有时也用小写字母来表示.如图,顶点A所对的边BC用 表示,顶点B所对的边AC用 表示,顶点C所对的边AB用 表示.
边
顶点
a
b
c
(3)顶点是A,B,C的三角形,记作“ ”,读作“三角形ABC”.
△ABC
2.等腰、等边三角形的相关概念
(1)有两边相等的三角形叫作等腰三角形.
注意:在等腰三角形中,相等的两边叫作 ,另一边叫作 ,两腰的夹角叫作 ,腰和底边的夹角叫作 .
腰
底边
顶角
底角
3.三角形的分类
(1)三角形按角分类
(2)三角形按边分类
如图所示.
(1)图中有 个三角形,分别是
______________________________________________________________________;
(2)在△ABC中,∠B所对的边是 ;在△AEF中,AE边所对的角是 .
[方法点拨] 例(1)问最好用“先小后大”的方法数,即由一部分构成的三角形,由两部分构成的三角形,由三部分构成的三角形等,做到不重复,不遗漏.
7
△ADE、△AEF、△CEF、△BDC、
△AEC、△ACD、△ABC
AC
∠AFE
1.若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”,则图中以BC为公共边的“共边三角形”有( )
B
A.2对 B.3对 C.4对 D.6对
2.如图,在△BCE中,边BE所对的角是 ,∠CBE所对的边是 ;在△ACE中,边AE所对的角是 ,∠AEC所对的边是 ;∠A为内角的三角形是 .
∠BCE
CE
∠ACE
AC
△ABD,△ABC,△ACE
把下列三角形进行分类,并把序号填入到正确的位置.
(1)按边分类:
三边均不相等的 是不等边三角形;
只有两条边相等的 是等腰三角形;
三条边相等的 是等边三角形;
②④⑤⑦
③⑥⑧
①
(2)按角分类:
都是锐角的 是锐角三角形;
有直角的 是直角三角形;
有钝角的 是钝角三角形.
①④⑥⑦
③⑤
②⑧
3.下列说法:①等边三角形是等腰三角形;②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形;③按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.其中正确的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
4.(2024·河南)如图是三角形按常见关系进行分类的图,则关于P,Q区域的说法正确的是( )
A.P是等边三角形,Q是等腰三角形
B.P是等腰三角形,Q是等边三角形
C.P是直角三角形,Q是锐角三角形
D.P是钝角三角形,Q是等腰三角形
C
B
5.如图,在△ABC中,AE⊥BC,点D为BC上一点,则图中 是锐角三角形, 是直角三角形, 是钝角三角形.
△ABC、△ADC
△ADE、△ACE、△ABE
△ABD (共16张PPT)
13.2.1 三角形的边
1.三角形三边的关系
三角形两边的和 第三边,三角形两边的差 第三边.即若a,b,c为三角形的三边,则
注意:判断三条线段能否组成三角形,只需判断两条较小线段之和是否大于第三条线段,若大于,则能组成三角形;若小于或等于,则不能组成三角形.
2.三角形的稳定性
由于构成三角形的三边的长固定时,三角形的形状和大小不会发生变化,所以三角形是具有 的图形.
注意:四边形不具有稳定性.
大于
小于
稳定性
(1)以下列长度的各组线段为边,能组成三角形的是( )
A.2 cm,4 cm,6 cm
B.2 cm,5 cm,9 cm
C.7 cm,8 cm,10 cm
D.6 cm,6 cm,13 cm
C
(2)(2025·重庆巴蜀)一个不等边三角形的两边长分别为6和10,且第三边长为偶数,则符合条件的三角形有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
(3)三角形的三边长分别是6,2a-2,8,则a的取值范围是 .
[方法归纳] (1)判断三条线段能否组成三角形,只需判断较短的两条线段之和能否大于最长的线段或较长的两条线段之差能否小于最短的线段即可;(2)求第三边范围时,常用“两边之差<第三边<两边之和”建立不等关系求解.
B
21.下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是( )
A.1cm,2cm,3cm B.3cm,4cm,5cm
C.4cm,5cm,10cm D.6cm,9cm,2cm
2.现有四根木棒,长度分别为4 cm,6 cm,8 cm,10 cm,从中任取三根木棒,能组成三角形的个数为 个.
B
3
一个等腰三角形的周长为40 cm.
(1)求腰长的取值范围;
解:(1)设腰长为x cm,则底边长为(40-2x)cm.
由题意,得
解得10(2)若一边的长为10 cm,求另外两边的长.
(2)由(1)知,这一条边为底边,
∴腰长为=15 (cm).
∴另外两边的长为15 cm,15 cm.
[易错点拨] 在等腰三角形中,当不清楚已知的边是腰还是底时,一定要分类讨论.在求出等腰三角形的边长后,还要根据三角形的三边关系看这三条线段能否组成三角形.
3.已知三角形的三边长分别为2,a-1,4,则化简+的结果为( )
A.2a-10 B.10-2a
C.4 D.-4
4.(2024·上海)若等腰三角形的周长为20 cm,那么腰长x的取值范围是 .
C
5 cm5.已知△ABC的三边长分别为a,b,c.
(1)若a,b,c满足(a-b)2+=0,试判断△ABC的形状;
解:(1)∵(a-b)2+=0,
∴a-b=0,b-c=0,
∴a=b=c,
∴△ABC是等边三角形.
(2)若a=5,b=2,且c为整数,求△ABC的周长的最大值及最小值.
(2)∵a=5,b=2,
∴5-2∵c为整数,∴c=4,5,6.
当c=4时,△ABC的周长最小,
最小值为5+2+4=11;
当c=6时,△ABC的周长最大,
最大值为5+2+6=13.
(1)下列设备,没有利用三角形的稳定性的是( )
A.活动的四边形衣架 B.起重机
C.屋顶三角形钢架 D.相机支架
(2)如图,木工师傅做长方形门框时,会在门上斜着钉两条木板,使其不变形,这样做的数学原理是 .
A
三角形具有稳定性
(1)如图,工人在墙内镶嵌了一个四边形窗框,为了防止变形,工人师傅需采用一种加固方法,下面四种方案,你认为错误的是( )
D
(2)(2025·浙江)下面的图形是用木条钉成的支架,最不容易变形的是( )
B
6.(2025·成都外语校)以下生活现象不是利用三角形稳定性的是( )
C
7.如图是一个由四根木条钉成的框架,拉动其中两根木条后,它的形状将会改变,若固定其形状,下列有四种加固木条的方法,不能固定形状的是钉在哪两点上的木条( )
A.A,F B.C,E C.C,A D.E,F
D
8.下列图形中具有稳定性的是 .(填序号)
①④⑥(共18张PPT)
13.2.2 三角形的中线、
角平分线、高
1.三角形的中线:连接三角形的顶点与 的线段叫作三角形的中线.
(1)三角形三条中线的交点叫作三角形的 ;
(2)三角形的三条中线交点在三角形 ;
(3)三角形的一条中线可以等分三角形的面积.
2.三角形的角平分线:三角形的一个内角的平分线与它的对边相交,连接这个角的 和 之间的线段叫作三角形的角平分线,也叫作三角形的内角平分线.
(1)三角形的三条角平分线相交于 ;
(2)三角形的三条角平分线交点在三角形 .
对边中点
重心
内
顶点
交点
一点
内
3.三角形的高:从三角形的一个顶点向对边作垂线, 与 之间的线段叫作三角形的高线.三角形的高线简称三角形的高.
(1)三角形的三条高线(或其延长线)交于 ;
(2)锐角三角形的三条高线交点在三角形 ,直角三角形的三条高线交点即为 ,钝角三角形的三条高线的延长线交点在三角形 .
顶点
垂足
一点
内
直角顶点
外
注意:①三角形的三条高所在直线交于同一点,如图.
②三角形的三条高的特性
锐角 三角形 直角 三角形 钝角
三角形
高在三角形内部的数量 3 1 1
三条高线之间是否相交 相交 相交 不相交
三条高所在的直线是否相交 相交 相交 相交
三条高所在直线的交点的位置 三角形 内部 直角 顶点 三角形
外部
4.归纳与小结
三角形的 重要线段 图形 符号语言
三角形 的中线 ∵AD是△ABC的边BC上的中线,
∴BD=CD=BC
三角形的 角平分线 ∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠1=∠2=∠BAC
三角形 的高线 ∵AD是△ABC的高线,
∴AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°
注意:三角形的中线、角平分线、高线都是线段,既不是射线,也不是直线.
(1)如图1,在△ABC中,已知点E,F分别是AD,CE的中点,且S△ABC=4 cm2,则S△BEF= cm2;
1
(2)如图2,在△ABC中,点D,E,F分别在三边上,E是AC的中点,AD,BE,CF交于一点G,BD=2DC,S△BGD=8,S△AGE=3,则△ABC的面积是 ;
(3)在△ABC中,AB=AC,AC边上的中线BD把△ABC的周长分成12 cm和15 cm的两部分,则这个等腰三角形的腰长是 cm.
[方法归纳] (1)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分;(2)等底不等高的三角形的面积之比等于高之比;(3)等高不等底的三角形的面积之比等于底之比.
30
8或10
1.如图,在△ABC中,D,E,F分别是AC,BD,AE的中点.若△DEF的面积为1,则△ABC的面积为( )
A.3 B.4 C.8 D.12
C
2.(2025·成都树德)如图,在△ABC中,AB>AC,AD是BC边上的中线,若△ABD和△ADC的周长之差为2,且AB与AC的和为14,则AB= ,AC= .
8
6
(1)如图1,在△ABC中,AD,CE是△ABC的角平分线.若∠BAC=60°,
∠ACE=40°,则∠DAC= ,∠BCE= ,∠ABC= ;
30°
40°
40°
(2)如图2,在△ABC中,∠BAC=100°,AD⊥BC于点D,AE平分∠BAC交BC于点E.若∠C=26°,则∠DAE的度数为 .
14°
3.如图,∠1=∠2,∠3=∠4,则下列结论中错误的是( )
A.BD是△ABC的角平分线
B.CE是△BCD的角平分线
C.∠3=∠ACB
D.CE是△ABC的角平分线
D
4.如图,△ABC的三条角平分线交于点I,则有:
∠BAD= ,
∠ABE= ,
∠ACB=2 .
∠CAD
∠ABC
∠ACF或∠BCF
(1)如图1,在△ABC中,AB边上的高是 ,BC边上的高是 ;在△BCF中,CF边上的高是 ;
CE
AD
BC
(2)如图2,△ABC的三条高线交于点H,则有∠HAE= ,
∠HAF= ,∠HBF= ;S△ABC=BC·AD
= = ;
∠HBD
∠HCD
∠HCE
AC·BE
AB·CF
(3)如图3,AD,BE分别是△ABC中BC,AC边上的高,BC=8 cm,AC=4 cm.若AD=3 cm,则BE的长为 cm.
6
5.如图,在△ABC中,AD⊥AB,有下列三个结论:①AD是△ACD的高;②AD是△ABD的高;③AD是△ABC的高.其中正确的结论是( )
A.①和②
B.①和③
C.②和③
D.只有②正确
D
6.(2025·重庆一中)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是高,BE是中线,CF是角平分线,CF交AD于点G,交BE于点H,给出以下结论:①BF=AF;②∠AFG=∠AGF;③∠FAG=2∠ACF;④S△ABE=S△BCE.上述结论中正确的有 .(填序号)
②③④
7.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠1=∠B.
(1)试说明CD是△ABC的高;
解:(1)∵∠ACB=90°,∴∠1+∠BCD=90°.
又∵∠1=∠B,∴∠B+∠BCD=90°,
∴∠BDC=90°,即CD⊥AB,
∴CD是△ABC的高.
(2)如果AC=8,BC=6,AB=10,求CD的长.
(2)∵∠ACB=∠BDC=90°,∴S△ABC=AC·BC=AB·CD,
∴CD===.