(共16张PPT)
第2课时 三角形全等的判定(二)(ASA与AAS)
1.角边角公理
两角和它们的 分别相等的两个三角形全等.(可以简写成“角边角”,用字母表示为“ASA”)
符号语言:
如图,在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(ASA).
夹边
2.角角边定理
两角分别相等且其中一组等角的 相等的两个三角形全等.(可以简写成“角角边”,用字母表示为“AAS”)
符号语言:
如图,在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(AAS).
注意:两个三角形,如果具备两个角和一边对应相等,则可判断其全等,但其中“对应”必不可少.
对边
如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E,AD与CE交于点F,且AD=CD.
(1)求证:△ABD≌△CFD;
(1)证明:∵AD⊥BC,CE⊥AB,
∴∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°,
∴∠BAD+∠B=∠FCD+∠B=90°,∴∠BAD=∠FCD.
在△ABD和△CFD中,
∴△ABD≌△CFD(ASA).
(2)已知BC=9,AD=6,求AF的长.
(2)解:由(1)知,△ABD≌△CFD,∴BD=DF.
∵BC=9,AD=CD=6,
∴BD=BC-CD=3,
∴AF=AD-DF=AD-BD=3.
1.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,CD∥AB,DE⊥AC于点E,且CE=AB.求证:△CED≌△ABC.
证明:∵DE⊥AC,∠B=90°,
∴∠DEC=∠B=90°.
∵CD∥AB,
∴∠A=∠DCE.
在△CED和△ABC中,
∴△CED≌△ABC(ASA).
如图,在△ABC中,点D在射线BC上,过AC的中点E作线段FG交AB于点G,且∠DCF=∠B.
(1)求证:△AEG≌△CEF;
(1)证明:∵∠B=∠DCF,∴CF∥AB,
∴∠FCA=∠A,∠F=∠FGA.
∵点E是AC的中点,∴AE=CE.
在△AEG和△CEF中,
∴△AEG≌△CEF(AAS).
(2)若CF=6,AC=BC=10,AG=3BG,求△ABC的周长.
(2)解:∵△AEG≌△CEF,∴AG=CF=6.
又∵AG=3BG,∴BG=2,∴AB=8,
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=28.
(1)证明:∵∠ACB=90°,点M,C,N在同一条直线上,∴∠ACM+∠BCN=90°.
∵AM⊥MN,BN⊥MN,∴∠AMC=∠BNC=90°,
∴∠ACM+∠CAM=90°,∴∠CAM=∠BCN.
在△ACM和△CBN中,
∴△ACM≌△CBN(AAS),
∴AM=CN,CM=BN,
∴MN=CN+CM=AM+BN.
如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C在△ABC外作直线MN,AM⊥MN于点M,BN⊥MN于点N.
(1)求证:MN=AM+BN;
(2)如图2,若过点C作直线MN与线段AB相交,AM⊥MN于点M,BN⊥MN于点N,(1)中的结论是否仍然成立 成立请说明理由,不成立请说明MN,AM,BN之间的关系;
(2)解:(1)中的结论不成立,结论为MN=AM-BN.理由如下:
∵∠ACB=90°,∴∠ACM+∠BCN=90°.
∵AM⊥MN,BN⊥MN,∴∠AMC=∠BNC=90°,
∴∠ACM+∠CAM=90°,∴∠CAM=∠BCN.
在△ACM和△CBN中,
∴△ACM≌△CBN(AAS),
∴AM=CN,CM=BN,
∴MN=CN-CM=AM-BN.
(3)在图2中,若MN与AB相交的位置可以改变,(2)中的结论是否一定成立 若不一定成立,你还能得出什么结论 请直接写出这个结论.
(3)解:(2)中的结论不一定成立.
还能得到的结论:MN=BN-AM.
2.如图,点E在△ABC的边AC上,且∠ABE=∠C,AF平分∠BAE交BE于点F,FD∥BC交AC于点D.
(1)求证:△ABF≌△ADF;
(1)证明:∵FD∥BC,∴∠ADF=∠C.
又∵∠ABE=∠C,∴∠ABE=∠ADF.
∵AF平分∠BAE,∴∠BAF=∠DAF.
在△ABF和△ADF中,
∴△ABF≌△ADF(AAS).
(2)若BE=7,AB=8,AE=5,求△EFD的周长.
(2)解:∵△ABF≌△ADF,
∴AD=AB=8,BF=DF.
∵AE=5,∴DE=AD-AE=3,
∴△EFD的周长=EF+DF+DE=EF+BF+DE=BE+DE=7+3=10.
我们知道,“对称补缺”的思想是解决问题时一种重要的添加辅助线的策略.请参考这种思想,解决本题:如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D是AC上一点,AE⊥BD交BD的延长线于点E,且BD是∠ABC的平分线.求证:AE=BD.
证明:如答案图,延长AE,BC交于点F.
∵AE⊥BE,∠ACB=90°,
∴∠BEF=∠BEA=90°,∠ACF=∠ACB=90°,
∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°,
∴∠DBC=∠FAC.
在△ACF和△BCD中,
∴△ACF≌△BCD(ASA),∴AF=BD.
∵BD是∠ABC的平分线,∴∠ABE=∠FBE.
在△ABE和△FBE中,
∴△ABE≌△FBE(ASA),∴AE=EF=AF,∴AE=BD.
3.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,3),且AO=BO,∠AOB=90°,则点B的坐标为 .
(-3,2) (共12张PPT)
第4课时 尺规作图：
作一个角等于已知角
1.用尺规作一个角等于已知角
已知:∠AOB(如图).
求作:∠A'O'B',使∠A'O'B'=∠AOB.
作法与示范:
作法 示范
(1)作射线O'A'
(2)以点O为圆心,任意长为半径作弧,交OA于点C,交OB于点D
(3)以点O'为圆心,OC长为半径作弧,交O'A'于点C'
(4)以点C'为圆心,CD长为半径作弧,交前面的弧于点D'
(5)过点D'作射线O'B', ∠A'O'B'就是 所求作的角
2.作一个角等于已知角的应用
(1)利用“作一个角等于已知角”可以过直线外一点作已知直线的平行线.
(2)根据全等的判定,通过用尺规作角和线段也可以作出要求的三角形.
注意:作已知角的和差倍分是在作一个角等于已知角的基础上继续作角来实现的.
如图,用尺规作图作出∠BCP=∠ABC,则作图痕迹弧GH是( )
A.以点C为圆心,以BE长为半径的弧
B.以点C为圆心,以DE长为半径的弧
C.以点F为圆心,以DE长为半径的弧
D.以点F为圆心,以BE长为半径的弧
C
1.如图1,已知∠AOB,求作∠A'O'B',使∠A'O'B'=∠AOB.作法如下:
①作射线O'A';
②以点O为圆心,任意长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D(如图2);
③以点O'为圆心,OC长为半径画弧,交O'A'于点C';
④以点C'为圆心,CD长为半径画弧,与③中所画的弧相交于点D';
⑤过点D'画射线O'B',∠A'O'B'就是所求作的角(如图3).
作图依据是: .
SSS,全等三角形的对应角相等
2.如图,在△ABC中,AC=BC,∠BCA=90°,点D为线段AB上的一点,过点B作BE⊥CD交CD的延长线于点E.
(1)基本尺规作图:作∠CAF=∠BCE,交线段CE于点F(不写作法,保留作图痕迹);
解:(1)如答案图所示.
(2)求证:AF=BE+EF.
证明:∵BE⊥CD,
∴∠BEC=① °.
又∵∠BCA=90°,
∴∠BCE+∠CBE=∠BCE+∠ACF=90°,
90
∴∠CBE=② .
在△BCE和△CAF中,
∴△BCE≌△CAF(ASA),
∴BE=④ ,AF=CE.
∵CE=CF+EF,
∴AF=BE+EF.
∠ACF
CF
如图,已知∠α,∠β和线段a,用尺规作一个三角形,使其一个内角等于∠α+∠β,另一个内角等于∠β,且两角的夹边等于a.(要求:不写作法,保留作图痕迹)
解:如答案图,△ABC即为所求作.
3.如图,小颖走在一条笔直的小路AB上,小明站在路外的一点C上.你能帮小明设计一条路线,使这条路线与小颖所走的路线平行吗
解:如答案图,过点C作直线MN交AB于点D,以CM为一边,作∠MCF=∠MDB(或∠MCF=∠CDA,或∠MCE=∠ADM,或∠MCE=∠CDB),则直线CF(或CE)即为所求作的路线.
4.如图,点B,D在线段AE上,且AD=BE,CD平分∠ACB.
(1)尺规作图:在线段DE的上方作△DEF,使得∠DEF=∠BAC,EF=AC;
解:(1)如答案图,△DEF即为所求作的三角形.
(2)在(1)的条件下,若∠A=60°,∠FDE=40°,求∠BCD的度数.
(2)∵∠DEF=∠A=60°,∠FDE=40°,
∴∠DFE=180°-60°-40°=80°.
∵AD=BE,∴AD+DB=BE+DB,∴AB=ED.
又∵∠A=∠DEF,AC=EF,
∴△CAB≌△FED(SAS),∴∠ACB=∠EFD=80°.
∵ CD平分∠ACB,∴∠BCD=∠ACB=40°.(共13张PPT)
14.1 全等三角形及其性质
1.全等形的定义
能够 的两个图形叫作全等形.
2.全等三角形的有关概念
能够 的两个三角形叫作全等三角形, 的顶点叫作对应顶点, 的边叫作对应边, 的角叫作对应角.
全等用符号“ ”表示,读作“ ”.
温馨提示:(1)在表示三角形全等时,通常把对应顶点的字母写在对应的位置上.
完全重合
完全重合
重合
重合
重合
≌
全等于
(2)对应边、对应角的确定方法:
对应元素确定方法
3.几种常用的全等变换方式
平移、翻折、旋转前后的图形全等.
全等三角形常见的典型类型:
4.全等三角形的性质
全等三角形的对应边 ,全等三角形的对应角 .
符号语言:
如图,若△ABC≌△DEF,
则AB=DE,BC=EF,AC=DF,
∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F.
温馨提示:全等三角形的周长和面积都分别对应相等,但周长和面积都分别相等的两个三角形不一定全等.
相等
相等
如图,图中均存在三角形与△ABC全等(每个图形均为△ABC分别经过平移、旋转或翻折得到),找一找各全等图形的对应元素.
解:图1中对应顶点:点A与点D,点B与点E,点C与点F;
对应边:AB与DE,AC与DF,BC与EF;
对应角:∠A与∠D,∠B与∠1,∠2与∠F.
图2中对应顶点:点A与点A,点B与点E,点C与点D;
对应边:AB与AE,AC与AD,BC与ED;
对应角:∠B与∠E,∠ACB与∠ADE,∠BAC与∠EAD.
图3中对应顶点:点A与点A,点B与点E,点C与点F;
对应边:AB与AE,AC与AF,BC与EF;
对应角:∠BAC与∠EAF,∠B与∠E,∠C与∠F.
图4中对应顶点:点A与点C,点B与点D,点C与点A;
对应边:AB与CD,AC与CA,BC与DA;
对应角:∠B与∠D,∠ACB与∠CAD,∠BAC与∠DCA.
1.如图,点E,F在线段BC上,△ABF与△DCE全等,点A与点D,点B与点C是对应顶点,AF与DE交于点M,则∠C等于( )
A.∠B B.∠A C.∠EMF D.∠AFB
A
2.如图,△ABE≌△ACD,且∠1=∠2,∠B=∠C,则下列等式不正确的是( )
A.AB=AC B.∠BAE=∠CAD
C.EB=DC D.AD=DE
3.如图,点B,C,D在一条直线上,△ABC≌△BED,则AC的对应边是 ,∠ABC的对应角是 .
D
BD
∠E
如图,△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置.
(1)若∠B=30°,∠F=45°,求∠A的度数;
解:(1)由平移可知△ABC≌△DEF,
∴∠ACB=∠F=45°,
∴∠A=180°-∠B-∠ACB=105°.
(2)若BF=10,EC=4,求平移的距离.
(2)∵△ABC≌△DEF,∴BC=EF,
∴BC-EC=EF-EC,
∴BE=CF=(BF-EC)=3,
∴平移的距离为3.
[方法归纳] 利用全等三角形的性质,可以得到相等的线段和相等的角,这是以后证明线段相等或角相等时常用的方法.
4.如图,△ACF≌△BDE,点A,B,C,D在同一条直线上,下列结论中错误的是( )
A.AF∥BE B.∠ACF=∠DBE
C.AB=CD D.CF∥DE
5.(2024·江苏)如图,△ABC≌△ADE,线段BC的延长线过点E,与线段AD交于点F,∠ACB=∠AED=108°,∠CAD=12°,∠B=48°,则∠DEF的度数为 .
B
36°
6.如图,△ACF≌△DBE,且点A,B,C,D在同一条直线上,∠A=50°,∠F=40°.
(1)求△DBE各内角的度数;
解:(1)∵△ACF≌△DBE,
∴∠E=∠F=40°,∠D=∠A=50°,
∴∠EBD=180°-∠E-∠D=90°.
(2)若AD=16,BC=10,求AB的长.
(2)∵△ACF≌△DBE,∴AC=DB,
∴AC-BC=DB-BC,即AB=CD,
∴AB===3.(共16张PPT)
第1课时 三角形全等的判定(一)(SAS)
边角边公理
和它们的 分别相等的两个三角形全等.(可以简写成“边角边”,用字母表示为“SAS”)
符号语言:
如图,在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SAS).
注意:(1)证明两个三角形全等的书写步骤:
①准备条件:证全等时要用的条件要先证好;
②指明范围:写出在哪两个三角形中;
③摆齐根据:摆出三个条件用大括号括起来;
④写出结论:写出全等结论.
两边
夹角
(2)“SAS”中的角必须是两条边的夹角,而不是其中一边的对角,两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形 (填“一定”或“不一定”)全等.如图所示的两个三角形的两组边及一条边的对角分别相等,很明显这两个三角形不全等.
不一定
已知:如图,AB∥DE,且AB=DE,AF=DC.求证:∠B=∠E.
证明:∵AB∥DE,∴∠A=∠D.
∵AF=DC,
∴AF+CF=DC+CF,
即AC=DF.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SAS),∴∠B=∠E.
[方法点拨] 利用“SAS”判定两个三角形全等时,一定要注意角是两边的夹角.边相等的条件有以下几种:①已知相等的边;②中点;③公共边;④一部分相等,另一部分是公共边.角相等的条件有以下几种:①已知相等的角;②公共角;③对顶角;④角平分线;⑤角的和差;⑥平行线的性质;⑦垂直;⑧等角的余角或补角;⑨全等三角形的性质.
1.如图,点E,F在BC上,AB=CD,AF=DE,若要利用“SAS”证明△ABF≌△DCE,则需要添加的条件是 .
∠A=∠D
2.如图,△ABC是等边三角形,D,E在直线BC上,DB=EC.求证:∠D=∠E.
证明:∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠ABC=∠ACB,
∴∠ABD=∠ACE.
在△ADB和△AEC中,
∴△ADB≌△AEC(SAS),∴∠D=∠E.
如图,AC⊥BC,DC⊥EC,AC=BC,DC=EC,AE与BD交于点F.
(1)求证:AE=BD;
(1)证明:∵AC⊥BC,DC⊥EC,∴∠ACB=∠ECD=90°,
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE,
即∠ACE=∠BCD.
在△ACE和△BCD中,
∴△ACE≌△BCD(SAS),∴AE=BD.
(2)求∠AFD的度数.
(2)解:∵△ACE≌△BCD,∴∠A=∠B.
设AE与BC交于点O,则∠AOC=∠BOF.
∵∠A+∠AOC+∠ACO=∠B+∠BOF+∠BFO=180°,
∴∠BFO=∠ACO=90°,
∴∠AFD=180°-∠BFO=90°.
3.如图,在△ABC中,D是BC延长线上一点,满足CD=AB,过点C作CE∥AB且CE=BC,连接DE并延长,分别交AC,AB于点F,G.
(1)求证:△ABC≌△DCE;
(1)证明:∵CE∥AB,
∴∠B=∠ECD.
在△ABC和△DCE中,
∴△ABC≌△DCE(SAS).
(2)若∠B=50°,∠D=22°,求∠AFG的度数.
(2)解:∵△ABC≌△DCE,∴∠A=∠D=22°.
在△AGF中,∠AGF=∠B+∠D=72°,
∴∠AFG=180°-∠AGF-∠A=180°-72°-22°=86°.
要测量圆形工件的外径,工人师傅设计了如图所示的卡钳,O为卡钳两柄的交点,且有OA=OB=OC=OD.如果圆形工件恰好通过卡钳AB,则此工件的外径必是CD之长,你能说明其中的道理吗
解:连接AB,CD.
在△AOB和△COD中,
∴△AOB≌△COD(SAS),∴AB=CD.
4.如图,A,B两点位于高墙外,不能直接到达.为在该高楼的楼顶上搭建一个支架,需要在地面测量出A,B间的距离.学习了三角形全等知识后,小明给出了如下的方案:先在地面上取一点可以直接到达点A和点B的点O,连接AO并延长到点C,使OC=OA;连接BO并延长到点D,使OD=OB;连接CD并测量出CD的长度,CD的长度就是A,B间的距离.请根据以上的信息,说明AB=CD的理由.
解:在△AOB与△COD中,
∴△AOB≌△COD(SAS),
∴AB=CD.
如图,AC是△ABD的中线,AD是△ABE的中线,BA=BD.求证:AE=2AC.
证明:如图,延长AC到点F,使CF=AC,连接DF.
∵AC是△ABD的中线,∴BC=DC.
在△ABC和△FDC中,
∴△ABC≌△FDC(SAS),∴∠B=∠FDC,DF=BA.
∵BA=BD,AD是△ABE的中线,
∴∠BAD=∠BDA,BA=BD=DF=DE,
∴∠ADE=∠B+∠BAD=∠FDC+∠BDA=∠ADF.
在△ADE和△ADF中,
∴△ADE≌△ADF(SAS),
∴AE=AF=2AC.
[方法总结] 遇到“中点”或“中线”时,可考虑倍长中线模型,倍长中线构造全等三角形,利用中线的性质证明三角形全等.
5.(2025·重庆巴蜀)如图,在△ABC中,AB=9,AC=7,点D是BC边上的中点,则AD的长m的取值范围为 .
1第2课时 角的平分线的判定
1.角的平分线的判定
角的 到角两边距离 的点在角的平分线上.
符号语言:如图,在∠AOB中,
∵PC⊥OA,PD⊥OB,PC=PD,
∴点P在∠AOB的平分线OE上,即OP平分∠AOB.
2.三角形的角平分线的特点
三角形的三条角平分线相交于一点,这一点到三角形的三边的距离相等.
内部
相等
(1)如图,在△ABC中,P为BC上一点,PM⊥AB,垂足为M,PN⊥AC,垂足为N,∠CAP=∠APQ,PM=PN,下面的结论:
①AN=AM;
②QP∥AM;
③△BMP≌△CNP.
其中正确的是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
A
(2)如图,BD=CD,BF⊥AC于点F,CE⊥AB于点E.求证:点D在∠BAC的平分线上.
证明:∵BF⊥AC,CE⊥AB,
∴∠BED=∠CFD=90°.
在△BDE和△CDF中,
∴△BDE≌△CDF(AAS),∴DE=DF,
∴点D在∠BAC的平分线上.
如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,连接BD,CE交于点O,连接OA.求证:OA平分∠BOE.
证明:如答案图,过点A作AM⊥BD,AN⊥CE,垂足分别为M,N.
∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE.
在△BAD和△CAE中,
∴△BAD≌△CAE(SAS),∴BD=CE,S△BAD=S△CAE,
∴BD·AM=CE·AN,∴AM=AN.
又∵AM⊥BD,AN⊥CE,∴OA平分∠BOE.
[方法点拨] 角平分线的判定方法有两种思路:①由定义证角相等;②由判定定理证垂线段相等.
1.如图,点O在△ABC内,且到三边的距离相等,若∠BOC=3∠A,则∠A= .
2.(2024·山东)如图,△ABC两个外角的平分线BD与CE相交于点P,PN⊥AC于点N,PM⊥AB于点M,且BD∥AC,小明同学得出了下列结论:①PM=PN;②点P在∠CAB的平分线上;③∠CPB=90°-∠A;④AB=CB.其中正确的是 (填序号).
36°
①②④
3.如图,CA=CB,点E在BC上,且CE=CD,∠ACB=∠DCB=90°,AE的延长线交BD于点F,连接CF.求证:
(1)AE=BD;
证明:(1)在△ACE与△BCD中,
∴△ACE≌△BCD(SAS),∴AE=BD.
(2)FC平分∠AFD.
(2)如图,过点C作CG⊥AF,CH⊥BD,垂足分别为G,H.
由(1)知,△ACE≌△BCD,
∴AE=BD,S△ACE=S△BCD,
即AE·CG=BD·CH,∴CG=CH.
又∵CG⊥AF,CH⊥DF,∴FC平分∠AFD.
如图,三条公路两两相交于A,B,C三点,现计划修建一个超市,要求这个超市到三条公路的距离相等,可供选择的地方有多少处 你能在图中画出来吗
解:如答案图.
①作出△ABC两内角的平分线,其交点为O1;
②分别作出△ABC两外角的平分线,其交点分别为O2,O3,O4.
综上所述,满足条件的修建点有四处,即点O1,O2,O3,O4所在的地方.
[知识总结] 三角形两个外角平分线的交点到三角形三边所在直线的距离也是相等的.
4.如图,AD,CE为△ABC的角平分线且交于点O,∠DAC=30°,∠ECA=35°,则∠ABO等于( )
A.25° B.30° C.35° D.40°
A
5.如图,有一块空闲的三角形土地,其三边长分别为30 m,40 m,50 m,现在要把它分成面积比为3∶4∶5的三部分,分别种植不同的花,请你设计一种方案,并简要说明理由.
解:如答案图,将△ABC分为△ABP,△ACP,△BCP三个小三角形,即可符合面积比为3∶4∶5.(共15张PPT)
第1课时 角的平分线的性质
1.作已知角的平分线
作已知角的平分线的方法有很多,主要有折叠法和尺规作图法,其中尺规作图法的依据是“SSS”和全等三角形对应角相等的性质.
用尺规作已知角的平分线如图所示.
2.角的平分线的性质
角的平分线上的点到角两边的 相等.
符号语言:
如图,∵OC平分∠AOB,点P在OC上,
PD⊥OA,PE⊥OB,
∴PD=PE.
注意:(1)不能直接得到OE=OD,只有通过证明△OEP≌△ODP得OE=OD;
(2)角是一个轴对称图形,对称轴是角平分线所在的直线.
距离
3.证明几何命题的一般步骤
(1)明确命题中的已知和求证;
(2)根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证;
(3)经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出证明 .
4.角平分线基本图形及结论
已知:如图,AD平分∠BAC.
结论:=.
提示:利用角平分线的性质及等积法即可得到结论.
过程
如图,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B,连接AB.下列结论中不一定成立的有( )
①PA=PB;
②PO平分∠APB;
③OA=OB;
④AB=OP.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
(2025·重庆大渡口区)如图,在△ABC中,AB=AC.
(1)尺规作图:作∠BAC的平分线,交BC边于点D;(不写作法,保留作图痕迹)
(1)解:作图如答案图所示.
(2)证明:AD⊥BC.
(2)证明:∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.
在△ABD和△ACD中,
∴△ABD≌△ACD(SAS),∴∠ADB=∠ADC.
∵∠ADB+∠ADC=180°,
∴∠ADB=∠ADC=90°,即AD⊥BC.
1.如图,AD是△ABC的角平分线,从点D向AB,AC两边作垂线段,垂足分别为E,F,那么下列结论中错误的是( )
A.DE=DF B.AE=AF
C.BD=CD D.∠ADE=∠ADF
C
2.如图,用直尺和圆规作一个已知角的平分线,要说明∠AOC=∠BOC,需要证明△CON和△COM全等,则这两个三角形全等的依据是 .
SSS
3.如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE,CD相交于点O,∠1=∠2.
求证:OB=OC.
证明:∵∠1=∠2,
∴AO平分∠CAB.
又∵OE⊥AC,OD⊥AB,
∴OE=OD.
在△COE和△BOD中,
∴△COE≌△BOD(ASA),∴OC=OB.
(1)如图,AB⊥BC,DC⊥BC,AE平分∠BAD,DE平分∠ADC,以下结论:①DE=BE;②点E是BC的中点;③∠AED=90°;④AD=AB+CD.正确的是( )
A.①②③ B.②④
C.③④ D.②③④
D
(2)如图,在△ABE中,D,C分别在AE,BE上,且CD=CB,AC平分∠EAB,CH⊥AB于点H.
①求证:∠ADC+∠B=180°;
(2)①证明:如答案图,过点C作CM⊥DE,垂足为M.
∵AC平分∠EAB,CH⊥AB,CM⊥DE,
∴CM=CH,∠CMA=∠CHB=90°.
在Rt△DMC和Rt△BHC中,
∴Rt△DMC≌Rt△BHC(HL),
∴DM=BH,∠CDM=∠B.
∵∠CDM+∠ADC=180°,∴∠ADC+∠B=180°.
②解:在Rt△AMC和Rt△AHC中,
∴Rt△AMC≌Rt△AHC(HL),∴AM=AH,
设BH=DM=x,则AH=8-x,AM=3+x,
∴8-x=3+x,解得x=2.5,
∴AH=8-2.5=5.5.
[方法点拨] 若题目中存在角平分线,可添加角平分线上的点到角两边的垂线段,根据角平分线的性质定理可直接获得等量条件.
4.如图,在△ABC中,CD是边AB上的高,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=10,DE=3,则△BCE的面积为( )
A.16 B.1 C.14 D.13
B
5.如图,在△ABC中,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E.若S△ABC=42,AB=13,BC=8,则DE的长为 .
4
6.如图,在△ABC中,∠B=60°,∠BAC,∠ACB的平分线AE,CF相交于点O.求证:OE=OF.
证明:如图,过点O作OH⊥AC于点H,OM⊥BC于点M,ON⊥AB于点N,连接OB.
∵AE平分∠BAC,CF平分∠ACB,
∴OH=ON,OH=OM,
∴OM=ON.
在Rt△BON和Rt△BOM中,
∴Rt△BON≌Rt△BOM(HL),
∴∠NBO=∠MBO.
又∵∠OEM=∠ABC+∠BAC=60°+∠BAC,
又∵∠OEM=∠ABC+∠BAC=60°+∠BAC,
∠OFN=∠BAC+∠ACB=(∠BAC+∠ACB)+∠BAC
=×(180°-∠ABC)+∠BAC=60°+∠BAC,
∴∠OEM=∠OFN.
在△ONF和△OME中,
∴△ONF≌△OME(AAS),∴OE=OF.(共15张PPT)
第5课时 三角形全等的判定(四)(HL)
1.直角三角形全等的判定“HL”
分别相等的两个直角三角形全等.(可以简写成“斜边、直角边”,用字母表示为“HL”)
符号语言:
如图,∠C=∠F=90°,
在Rt△ABC和Rt△DEF中,
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).
2.直角三角形全等的五种判定方法
(1) ;(2) ;(3) ;
(4) ;(5)HL.
斜边和一直角边
SAS
ASA
AAS
SSS
如图,在△ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BD⊥DE于点D,CE⊥DE于点E.
(1)若点B,C在DE的同侧(如图1),且AD=CE,求证:AB⊥AC;
(1)证明:∵BD⊥DE,CE⊥DE,
∴∠ADB=∠AEC=90°.
在Rt△ABD和Rt△CAE中,
∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL),
∴∠DAB=∠ECA.
∵∠EAC+∠ECA=90°,
∴∠EAC+∠DAB=90°,
∴∠BAC=180°-(∠EAC+∠DAB)=90°,
∴AB⊥AC.
(2)若点B,C在DE的两侧(如图2),且AD=CE,其他条件不变,AB与AC仍垂直吗 若是,请给出证明;若不是,请说明理由.
(2)解:AB⊥AC.证明如下:
同(1)可证得Rt△ABD≌Rt△CAE,
∴∠DAB=∠ECA.
∵∠CAE+∠ECA=90°,
∴∠CAE+∠DAB=90°,即∠BAC=90°,
∴AB⊥AC.
1.如图,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE=BF.若利用“HL”可直接证明△DEC≌△BFA,则需添加的条件是( )
A.EC=FA B.DC=BA
C.∠D=∠B D.∠DCE=∠BAF
B
2.如图,已知BE⊥CD于点E,且BE=DE,BC=DA,延长DA交BC于点F.求证:
(1)△BEC≌△DEA;
证明:(1)∵BE⊥CD,
∴∠BEC=∠DEA=90°.
在Rt△BEC和Rt△DEA中,
∴Rt△BEC≌Rt△DEA(HL).
(2)BC⊥FD.
(2)由(1)知△BEC≌△DEA,∴∠B=∠D.
又∵∠C+∠B=90°,
∴∠C+∠D=90°,即∠BFA=90°,
∴BC⊥FD.
3.如图,AC⊥AD,BC⊥BD,AC=BD,求证:AD=BC.
证明:如答案图,连接DC.
∵AC⊥AD,BC⊥BD,
∴∠A=∠B=90°.
在Rt△ADC和Rt△BCD中,
∴Rt△ADC≌Rt△BCD(HL),
∴AD=BC.
如图,已知DE⊥AC于点E,BF⊥AC于点F,AD=CB,DE=BF,求证:AB∥DC.
证明:∵DE⊥AC,BF⊥AC,∴∠DEA=∠BFC=∠DEC=∠BFA=90°.
在Rt△ADE和Rt△CBF中,
∴Rt△ADE≌Rt△CBF(HL),
∴AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE.
在△ABF和△CDE中,
∴△ABF≌△CDE(SAS),
∴∠BAC=∠DCA,∴AB∥DC.
[方法点拨] 在证一次全等不能解决问题时,可考虑证两次全等或三次全等,证第一次全等是为证第二次全等准备边或角相等的条件.在分析问题时,可“执因索果”,也可“执果索因”,这样可使问题简化.
4.下列说法中,正确的有 个.
①两条边对应相等的两个直角三角形全等;
②有一锐角和斜边对应相等的两直角三角形全等;
③一条直角边和一个锐角对应相等的两直角三角形全等;
④面积相等的两个直角三角形全等.
3
5.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,点F在边AC上,连接DF.
(1)求证:AC=AE;
(1)证明:∵∠C=90°,DE⊥AB,
∴∠C=∠AED=90°.
∵AD平分∠BAC,
∴∠CAD=∠EAD.
在△ACD和△AED中,
∴△ACD≌△AED(AAS),
∴AC=AE.
(2)若DF=DB,试说明∠B与∠AFD的数量关系;
(2)解:∠B+∠AFD=180°.理由如下:
由(1)知,△ACD≌△AED,∴DC=DE.
在Rt△CDF和Rt△EDB中,
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL),
∴∠CFD=∠B.
∵∠CFD+∠AFD=180°,
∴∠B+∠AFD=180°.
(3)在(2)的条件下,若AB=m,AF=n,求BE的长.(用含m,n的代数式表示)
(3)解:由(2)知,Rt△CDF≌Rt△EDB,
∴CF=BE.
由(1)知,AC=AE.
∵AB=AE+BE,
∴AB=AC+BE=AF+CF+BE=AF+2BE.
∵AB=m,AF=n,
∴BE=(m-n).(共16张PPT)
第3课时 三角形全等的判定(三)(SSS)
1.边边边公理
三边分别相等的两个三角形 .(可以简写成“边边边”,用字母表示为“SSS”)
符号语言:
如图,在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SSS).
全等
2.一般三角形的判定方法有:SAS,ASA,AAS,SSS.
注意:(1)在所给的两个三角形中,如果有两边对应相等,又没有角对应相等时,往往寻找或构造第三组边也相等,从而利用“SSS”证明全等; (2)三个角分别相等的两个三角形 (填“一定”或“不一定”)全等.
不一定
已知:如图,AB=CD,AE=CF,DE=BF.求证:
(1)△ABF≌△CDE;
证明:(1)∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE.
在△ABF和△CDE中,
∴△ABF≌△CDE(SSS).
(2)AB∥CD.
(2)∵△ABF≌△CDE,∴∠A=∠C,∴AB∥CD.
1.已知:如图,点A,D,C,B在同一条直线上,AD=BC,AE=BF,CE=DF,求证:AE∥BF.
证明:∵AD=BC,
∴AD+CD=BC+CD,
即AC=BD.
在△ACE和△BDF中,
∴△ACE≌△BDF(SSS),
∴∠A=∠B,∴AE∥BF.
如图是一个测平架,AB=AC,在BC的中点D处挂一个重锤,自然下垂,使用时调整架身,使点A恰好在重锤线上,就说明此时BC处于水平位置,你能说明其中的道理吗
解:∵点D是BC的中点,∴BD=CD.
在△ABD和△ACD中,
∴△ABD≌△ACD(SSS),∴∠ADB=∠ADC.
又∵∠BDC=180°,
∴∠ADB=90°,即AD与BC垂直.
∵AD是垂直于地面的,∴此时BC处于水平位置.
2.如图,小敏做了一个角平分仪ABCD,其中AB=AD,BC=DC.将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合,调整AB和AD,使它们分别落在角的两边上,过点A,C画一条射线AE,AE就是∠PRQ的平分线.小敏根据角平分仪的画图原理得到以下结论:①△ABC≌△ADC;②∠BCA=∠DCA;③∠ABC=∠ADC;
④∠BAE=∠ACD.其中正确的结论有 .(填序号)
①②③
如图,已知AB=DC,DB=AC.求证:∠ABD=∠DCA.
证明:连接AD.
在△BAD和△CDA中,
∴△BAD≌△CDA(SSS),
∴∠ABD=∠DCA.
[方法归纳] 本题作辅助线的意图是构造全等的三角形,即两个三角形的公共边,构造公共边是常添的辅助线之一.
3.如图,AB=AD,BC=DC,求证:∠ABC=∠ADC.
证明:连接AC.
在△ABC和△ADC中,
∴△ABC≌△ADC(SSS),
∴∠ABC=∠ADC.
如图,已知线段a,b,求作△ABC,使得AB=2a,BC=b,AC=a.
解:作法: ①作线段AB=2a;
②以点A为圆心,a为半径作弧;
③以点B为圆心,b为半径作弧,与前弧交于点C;
④连接AC,BC.
△ABC即为所求作的三角形(如答案图).
4.如图,用尺规作出了△DEF≌△ABC,在作图痕迹中,弧MN是( )
A.以点E为圆心,AB为半径的弧
B.以点E为圆心,AC为半径的弧
C.以点F为圆心,BC为半径的弧
D.以点F为圆心,AC为半径的弧
D
5.已知下列条件(如图),用尺规作三角形:
(1)已知:线段a,b.
求作:等腰三角形,使它的腰长为a,底长为b.
解:(1)如答案图1.
(2)已知:线段a.
求作:等边三角形,使它的边长为a.
(2)如答案图2.
已知:如图,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:△ABE≌△ADE.
证明:在△DEC和△BEC中,
∴△DEC≌△BEC(ASA),∴DE=BE.
∵∠3=∠4,∴∠AED=∠AEB.
在△ABE和△ADE中,
∴△ABE≌△ADE(SAS).
6.如图,已知DE=AB,∠D=∠A,请你补充一个条件,使△ABC≌△DEF,你添加的条件是 .
∠B=∠E(答案不唯一)
7.已知△ABN和△ACM的位置如图所示,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2.求证:
(1)BD=CE;
证明:(1)在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE.
(2)∠M=∠N.
(2)∵∠1=∠2,
∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE,
即∠BAN=∠CAM.
由(1)知△ABD≌△ACE,∴∠B=∠C.
又∵AC=AB,∠CAM=∠BAN,
∴△ACM≌△ABN(ASA),∴∠M=∠N.
