(共16张PPT)
第2课时 作对称轴
1.尺规作图
(1)作已知线段的垂直平分线:
(2)过一点作已知直线的垂线:
已知点P在直线上时,如图1所示;
已知点P在直线外时,如图2所示.
2.轴对称图形的性质
如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任意一对对称点所连线段的 ;或者说,轴对称图形的对称轴,是任何一对对称点所连 的垂直平分线.
注意:这个性质实际上体现了线段垂直平分线的尺规作图,我们也可以用此法确定线段中点.
3.用尺规法作轴对称图形的对称轴的基本步骤
(1)找出(任意)一对对称点;
(2)作对称点的连线段;
(3)作出连线段的垂直平分线.
垂直平分线
垂直平分线
数学课上,老师布置如下任务:如图,在△ABC中,BD平分∠ABC交AC于点D.
(1)用尺规完成以下基本作图:作线段BD的
垂直平分线,分别交AB,BD,BC于点E,O,F,
连接DE;(不写作法,不下结论,保留作图痕
迹)
解:(1)作图如答案图所示.
(2)求证:DE=BF,请根据下列证明思路完成填空:
证明:∵① ,
∴∠ABD=∠CBD.
∵EF是线段BD的垂直平分线,
∴BE=DE,∠BOE=∠DOE=90°.
∴② .
在△BEO和△BFO中,
∴△BEO≌△BFO(ASA).
∴④ ,
∴DE=BF.
BD平分∠ABC
∠BOE=∠BOF
BOF
1.如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以点B,C为圆心,大于BC的长为半径作弧,两弧相交于点M,N;②作直线MN交AC于点D,连接BD.若AC=6,AD=2,则BD的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
C
2.(2025·重庆南开)如图,已知AB∥CE,AD平分∠BAC,交CE于点D.
(1)尺规作图:过点C作AD的垂线,交AD于点F,交AB于点G;(保留作图痕迹,不写作法和结论)
解:(1)如答案图,直线CG即为所求作.
(2)在(1)所作图形中,求证:CD=AG.(补全证明过程)
证明:∵AD平分∠BAC,
∴ .
∵CF⊥AD,
∴∠CFA=∠GFA=90°,
∠BAD=∠CAD
在△AFC和△AFG中,
∴△AFC≌△AFG(ASA),
∴ .
∵AB∥CE.
∴ .
∵∠BAD=∠CAD,
∴∠ADC=∠CAD,
∴ ,
∴CD=AG.
AC=AG
∠BAD=∠ADC
AC=CD
画出下面各图形所有的对称轴.
[规律点拨] 当一个图形的对称轴的条数超过1条时,各对称轴往往交于一点.
解:答案如图所示.
3.下列图形中,是轴对称图形且有两条对称轴的是( )
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
A
4.画出下面各图形所有的对称轴.
解:画图略.
(1)将一张四条边都相等的四边形纸片按下图中①②的方式沿虚线依次对折后,再沿图③中的虚线裁剪,最后将图④中的纸片打开铺平,所得图案应是( )
A
(2)如图,将△ABC三个角分别沿DE,HG,EF翻折,三个顶点均落在点O处,则∠1+∠2的度数为 .
180°
5.在一条长方形纸带(如图1)一边上取中点C,按图2所示的方式折叠,若∠CAB-∠CBA=20°,则3∠CAB+∠CBA的度数为( )
A.180° B.150° C.160° D.200°
D
6.如图,在△ABC中,∠B=76°,DE是边AC的垂直平分线,与AB,AC分别交于点D,E,将△ADC沿DC翻折得到△A'DC.若A'D∥BC,则∠A的度数为 .
26°(共10张PPT)
第2课时 用坐标表示轴对称
1.关于坐标轴对称的点的坐标特点
(1)点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为 ;
(2)点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为 ;
(3)已知两个点的坐标分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2),若x1=x2,y1+y2=0,则点P1,P2关于x轴对称;若x1+x2=0,y1=y2,则点P1,P2关于y轴对称.反之也成立.
2.在坐标系中画轴对称图形的方法
(1)计算——计算对称点的坐标;
(2)描点——根据对称点的坐标描点;
(3)连接——依次连接所描的各点得到成轴对称的图形.
(x,-y)
(-x,y)
(1)点M(-2,1)关于x轴对称点N的坐标是 ,关于y轴对称点Q的坐标是 ;
(2)若点A(1+m,2)与点B(-3,1-n)关于y轴对称,则m+n的值是 ;
(-2,-1)
(2,1)
1
(3)点P(1,2)关于直线y=1对称的点的坐标是 ,关于直线x=-2对称的点的坐标是 .
[规律点拨] 通过在坐标系中寻找对称的规律,我们还可以得到如下结论:
①点P(x0,y0)关于直线x=m对称的点的坐标为(2m-x0,y0);
②点P(x0,y0)关于直线y=n对称的点的坐标为(x0,2n-y0).
(1,0)
(-5,2)
1.在平面直角坐标系中,点A(2,1)与点B关于x轴对称,则点B的坐标是( )
A.(2,-1) B.(-2,1)
C.(-2,-1) D.(2,1)
2.如果A(a-1,3),B(4,b-2)关于x轴对称,则a= ,b= ;若关于y轴对称,则a= ,b= ;若关于直线x=1对称,则a= ,b= .
5
-1
-3
5
-1
5
A
如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4).
(1)作出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,并写出三个顶点的坐标为:A1( ),B1( ),C1( );
解:(1)A1(-1,1);B1(-4,2);C1(-3,4).
作图如图所示.
(2)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,请直接写出点P的坐标;
(2)如图,找出点A关于x轴的对称点A'(1,-1),连接BA',与x轴交点即为P,点P的坐标为(2,0).
(3)在y轴上是否存在点Q,使得S△AOQ=S△ABC 如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,说明理由.
(3)设存在点Q,使得S△AOQ=S△ABC,
如图,过点A作AD⊥y轴于点D,
设点Q的坐标为(0,y),则OQ=,AD=1,
S△ABC=3×3-×3×1-×2×1-×3×2=.
由题意,得××1=×,
解得y=或y=-,
∴点Q的坐标为或.
3.如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(-3,1),
B(-1,-2),C(2,4),其中每个小正方形的边长为1个单位长度.
(1)请画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
解:(1)如答案图所示,△A1B1C1为所求作.
(2)在(1)问的条件下,若P(a,b)是△ABC中AB边上的一点,则点P在△A1B1C1中对应点的坐标为 ;
(-a,b)
(3)求△A1B1C1的面积.
(3)如答案图所示,过点B1作与x轴平行的直线,过点A1作A1E⊥EF于点E,过点C1作C1F⊥EF于点F.
=--
=--=.(共11张PPT)
第2课时 等腰三角形的判定
1.等腰三角形的判定(一):
用等腰三角形的定义判定.
符号语言:
如图,∵AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形.
2.等腰三角形的判定(二):
用垂直平分线的性质判定.
符号语言:
如图,在△ABC中,∵AD⊥BC,BD=CD,
∴AB=AC.
3.等腰三角形的判定(三):
有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”).
符号语言:
如图,在△ABC中,∵∠B=∠C,
∴AB=AC(等角对等边).
4.思考:分别找出下图中的等腰三角形:
已知:∠ABC和∠ACB的平分线交 于点O,过点O作EF∥BC交AB于点E,交AC于点F,则 为等腰三角形
△ABP、△ABC、△APC
△ABC、△ABE、△BCE
△BEO和△CFO
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,AE是∠BAC的平分线,AE与CD交于点F,求证:△CEF是等腰三角形.
证明:∵在△ABC中,∠ACB=90°,∴∠B+∠BAC=90°.
∵CD是AB边上的高,∴∠ACD+∠BAC=90°,∴∠B=∠ACD.
∵AE是∠BAC的平分线,∴∠BAE=∠EAC,
∴∠B+∠BAE=∠ACD+∠EAC,即∠CEF=∠CFE,
∴△CEF是等腰三角形.
[方法点拨] “等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据,是先有角相等再有边相等,只限于在同一个三角形中,若在两个不同的三角形中,此结论不一定成立.
1.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC交AB于点M,交AC于点N.若BM+CN=9,则线段MN的长为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
D
2.如图,在锐角△ABC中,点E是AB边上一点,BE=CE,AD⊥BC于点D,AD与EC交于点G.判断△AEG的形状并说明理由.
解:△AEG是等腰三角形,理由如下:
如答案图,过点E作EF⊥BC于点F,
∵BE=CE,EF⊥BC,∴∠BEF=∠CEF.
∵EF⊥BC,AD⊥BC,∴EF∥AD,
∴∠BEF=∠BAD,∠AGE=∠FEC,
∴∠AGE=∠EAG,∴△AEG是等腰三角形.
如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,点E是BC的中点,线段EF∥AD交线段AB于点G,交线段CA的延长线于点F.
(1)若CF=6,AG=2,求AC的长;
(1)解:∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.
∵EF∥AD,
∴∠CAD=∠F,∠BAD=∠AGF,
∴∠F=∠AGF,
∴AF=AG=2.
∴AC=CF-AF=6-2=4.
(2)求证:BG=CF.
(2)证明:如答案图,延长FE至点H,使EH=EF,连接BH.
∵点E是BC的中点,
∴BE=CE.
在△BEH和△CEF中,
∴△BEH≌△CEF(SAS),
∴FC=HB,∠F=∠H.
由(1),知∠F=∠AGF=∠BGH,
∴∠H=∠BGH,∴BG=BH,∴BG=CF.
3.如图,在△ABC中,∠B=74°,边AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E.若AB+BD=BC,则∠BAC的度数为( )
A.74° B.69° C.65° D.60°
B
4.如图,点E在△ABC的AC边的延长线上,点D在AB边上,DE交BC于点F,DF=EF,BD=CE.求证:△ABC是等腰三角形.
证明:如图,过点D作DG∥AC交BC于点G.
∵DG∥AC,
∴∠GDF=∠E,∠DGB=∠ACB.
在△GDF和△CEF中,
∴△GDF≌△CEF(ASA),∴GD=CE.
∵BD=CE,∴BD=GD,
∴∠B=∠DGB,∴∠B=∠ACB,
∴△ABC是等腰三角形.(共20张PPT)
综合与实践 最短路径问题
1.最短路径问题
(1)两点之间, 最短;
(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中, 最短.
2.图形的轴对称及平移的性质
(1)连接任意一对对称点所得的线段被对称轴 ;
(2)图形的平移过程中,对应线段之间的关系是______________________
________.
线段
垂线段
垂直平分
平行(或在一条直线上)
且相等
3.模型解读
模型一:两定一动型
类型1:如图1,在定直线l上找一个动点P,使动点P到异侧两个定点A与B的距离之和最小,即PA+PB最小.
作法:连接AB,与定直线l的交点Q即为所要寻找的点,即当动点P运动到点Q处,PA+PB最小,且最小值等于AB.
原理:两点之间,线段最短.
类型2:如图2,在定直线l上找一个动点P,使动点P到同侧两个定点A与B的距离之和最小,即PA+PB的和最小.
作法:作定点B关于定直线l的对称点C,连接AC,与定直线l的交点Q即为所要寻找的点,即当动点P运动到点Q处,PA+PB最小,且最小值等于AC.
原理:两点之间,线段最短.
模型二:两动一定型
类型3:如图3,在∠MON的内部有一点A,在OM上找一点B,在ON上找一点C,使得△ABC的周长最小.
作法:作点A关于OM的对称点A',作点A关于ON的对称点A″,连接A'A″,与OM交于点B,与ON交于点C,连接AB,AC,△ABC即为所求.
模型三:两定两动型
类型4:如图4,在∠MON的内部有A,B两点,在OM上找一点C,在ON上找一点D,使得四边形ABDC的周长最小.
作法:作点A关于OM的对称点A',作点B关于ON的对称点B',连接A'B',与OM交于点C,与ON交于点D,连接AC,BD,AB,四边形ABDC即为所求.
类型5:如图5,已知A,B是两个定点,在定直线l上找两个动点M与N,且MN长度等于定长d(动点M位于动点N左侧),使AM+MN+NB的值最小.
提示:存在定长的动点问题一定要考虑平移.
作法一:将点A向右平移d个单位长度得到点A',作点A'关于定直线l的对称点A″,连接A″B,交定直线l于点N,将点N向左平移d个单位长度,得到点M.
作法二:作点A关于定直线l的对称点A1,将点A1向右平移d个单位长度得到点A2,连接A2B,交定直线l于点N,将点N向左平移d个单位长度,得到点M.
类型6:(造桥选址)如图6,直线l1∥l2,点A,B分别在直线l1,l2的两侧.在直线l1上找一点C,直线l2上找一点D,使得CD⊥l2,且AC+BD+CD的值最小.
作法:将点A沿CD方向向下平移CD长度至点A',连接A'B,交l2于点D,过点D作DC⊥l2,交l1于点C,连接AC,则桥CD即为所求,此时最小值为A'B+CD.
模型四:垂线段最短型
类型7:如图7,在∠MON的内部有一点A,在OM上找一点B,在ON上找一点C,使得AB+BC的值最小.
作法:作点A关于OM的对称点A',过点A'作A'C⊥ON,交OM于点B,则点B,C即为所求.
类型8:如图8,在定直线l上找一个动点P,使动点P到两个定点A与B的距离之差最小,即最小.
作法:连接AB,作AB的中垂线,与直线l的交点P即为所求点,此时=0.
模型五:线段差最大问题
类型9:如图9,在定直线l上找一个动点P,使动点P到同侧两个定点A与B的距离之差最大,即最大.
作法:延长BA交直线l于点P,点P即为所求,即B,A,P三点共线时,最大值为AB的长度.
类型10:如图10,在定直线l上找一个动点P,使动点P到异侧两个定点A与B的距离之差最大,即最大.
作法:作点B关于l的对称点B',连接AB',交直线l于点P,则点P即为所求,最大值为AB'的长度.
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点C在直线MN上,
∠BCN=30°,点P为MN上一动点,连接AP,BP.当AP+BP的值最小时,
∠CBP的度数为 .
[分析]如答案图,作点B关于MN的对称点D,连接AD交MN于点P,连接BP,CD.由对称性可知,BC=CD,∠CBP=∠CDP,∠BCN=∠DCN,由此可以判断出△BCD的形状,进而求得∠ACD的度数,由AC=BC=CD可求得∠CDP的度数,即∠CBP的度数.
15°
1.如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,P为对角线BD上的一个动点,则下列线段的长等于AP+EP最小值的是( )
A.AB B.DE C.BD D.AF
D
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2,以BC为边向左作等边△BCE,点D为AB的中点,连接CD,点P,Q分别为CE,CD上的动点.
(1)求证:△ADC为等边三角形;
(1)证明:∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
∠ABC=30°,AC=2,
∴∠BAC=60°,AB=2AC=4.
∵点D为AB的中点,
∴AD=BD=AB=2,∴AD=AC,
∴△ADC是等边三角形.
(2)求PD+PQ+QE的最小值.
(2)解:如答案图,连接PA,QB.
∵△BCE和△ADC都是等边三角形,
∴∠BCE=60°,∠ACD=60°,
∴∠ACE=∠ACB-∠BCE=30°=∠ACD,
∴CE垂直平分AD,∴PA=PD.
同理可得,CD垂直平分BE,∴QB=QE,
∴PD+PQ+QE=PA+PQ+QB,
由两点之间线段最短可知,当点A,P,Q,B共线时,PA+PQ+QB取得最小值为AB的长,
故PD+PQ+QE的最小值为4.
2.如图,在△ABC中,AB=AC=10,△ABC的面积是40,AD是∠BAC的平分线.若P,Q分别是AD和AC上的动点,则PC+PQ的最小值是 .
8
3.已知∠AOB=30°,点P在∠AOB的内部,OP=4,OA上有一点M,OB上有一点N,当△MNP的周长取最小值时,∠MPN= °,△MNP的周长为 .
提示:如答案图,作点P关于直线OA的对称点P',作点P关于直线OB的对称点P″,连接P'P″,交OA于点M,交OB于点N,则此时△MNP的周长最小.
120
4
如图,点A在y轴上,G,B两点在x轴上,且G(-3,0),B(-2,0),HC与GB关于y轴对称,∠GAH=60°,P,Q分别是AG,AH上的动点,则BP+PQ+CQ的最小值是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
[分析]如答案图,分别作B,C关于AG和AH对称的点B',C',连接BP,CQ,B'P,C'Q,PQ,得出BP+PQ+CQ的最小值为B'C'的长,再依据等边三角形的性质和判定以及轴对称的性质分别求得B'P+PN和C'Q+QN的值即可求解.
B
4.如图,角形铁架∠MON小于60°,A,D分别是OM,ON上的点,为实际应用的需要,需在ON和OM上各找点B,C,使AB+BC+CD最小,则应如何找
解:如答案图,利用对称性“化折为直”,分别作出点A,D关于ON,OM的对称点A',D',连接A'D'分别与ON,OM交于点B,C,则B,C两点即为所求的点.
解:如答案图所示,以直线l为对称轴,作点A关于直线l的对称点A',A'B的连线交直线l于点C,则点C即为所求.理由如下:
在直线l上任找一点C'(异于点C),连接CA,C'A,C'A',C'B.
∵点A,A'关于直线l对称,
∴直线l为线段AA'的垂直平分线,
则有C'A=C'A',CA=CA'.
∴CA-CB=CA'-CB=A'B.
在△A'BC'中,C'A'-C'B
∴C'A-C'B如图所示,A,B两点在直线l的两侧,在l上找一点C,使点C到点A,B的距离之差最大,并说明理由.
5.如图,在等边△ABC中,E是AC边的中点,P是△ABC的中线AD上的动点,且AB=6,则BP-PE的最大值是 .
6.如图,在正方形ABCD中,AB=8,AC与BD交于点O,N是AO的中点,点M在BC边上,且BM=6,P为对角线BD上一点,则PM-PN的最大值为 .
3
2(共8张PPT)
第2课时 “30°角所对直角边等于斜边的一半”的运用
含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于 斜边的一半 .
符号语言:
如图,在Rt△ABC中,∵∠C=90°,∠A=30°,∴BC=AB.
注意:该性质反过来说也成立,在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°.
如图,在△ABC中,∠ACB=30°,DE是边AC的垂直平分线,点O在DE上,∠OAB=∠OBA.
(1)求证:△OAB是等边三角形;
(1)证明:∵DE是边AC的垂直平分线,
∴OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.
∵∠OAB=∠OBA,∴OA=OB,∴OC=OB,
∴∠OBC=∠OCB. ∵∠ACB=30°=∠OCA+∠OCB,
∴∠OAC+∠OBC=30°,
∴∠OAB=∠OBA=×(180°-2×30°)=60°,∴△OAB是等边三角形.
(2)若OD=2,OE=4,求BE的长.
(2)解:如答案图,过点O作OF⊥BC于点F.
∵OD=2,OE=4,
∴DE=OD+OE=6.
∵∠ACB=30°,∠CDE=90°,
∴CE=2DE=12,∠CED=60°,
∴∠EOF=30°,
∴EF=OE=2,
∴CF=CE-EF=12-2=10.
∵OC=OB,OF⊥BC,
∴BC=2CF=20,
∴BE=BC-CE=20-12=8.
1.如图,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC.若AN=1,则BC的长为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
B
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,DE垂直平分AB,交BC于点E,垂足为D,连接AE.若BE=6cm,∠B=15°,则AC= cm.
3.(2025·重庆巴蜀)如图,△ABC是等边三角形,点D在边AC上,点E在AB延长线上.若ED⊥AC交BC于点P,且AD=4,BP=2,则PC= .
3
4
如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,EF是AB的垂直平分线,EF交BC于点F,交AB于点E,求证:BF=FC.
证明:如答案图,连接AF.
∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°.
∵EF为AB的垂直平分线,∴BF=AF,
∴∠BAF=∠B=30°,
∴∠FAC=120°-30°=90°.
∵∠C=30°,∴AF=CF.
∵BF=AF,∴BF=FC.
4.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,∠BAC=120°.求证:DE+DF=BC.
证明:在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=BD,DF=CD.
∴DE+DF=(BD+CD)=BC.(共10张PPT)
第1课时 画轴对称的图形
1.作对称点的依据
连接任意一对对称点的线段被对称轴 ,利用这一性质可以作出任意一点关于对称轴对称的对称点.
2.画轴对称图形的方法
几何图形都可以看作由点组成.对于一些规则的几何图形,只要画出图形中的一些特殊点(如线段的端点)的 ,连接这些 ,就可以得到与原图形成轴对称的图形.即作轴对称图形 作对称点.
垂直平分
对称点
对称点
3.画轴对称图形的步骤
(1)找——在原图形上找特殊点(如线段的端点);
(2)画——画各个特殊点关于对称轴对称的对称点;
(3)连——依次连接各对称点.
已知:△ABC和过点A的直线MN(如图).
求作:△A'B'C',使△A'B'C'与△ABC关于直线MN对称.(写出作法)
解:作法:①过点B画直线MN的垂线,垂足为D,在垂线上截取DB'=BD,点B'就是点B关于直线MN的对称点;
②同理,作点C的对称点C';
③因为点A在对称轴MN上,所以点A的对称点A'与点A重合;
④连接A'B',B'C',C'A',则△A'B'C'就是所求作的三角形.(如答案图所示)
1.画出△ABC关于直线l的对称图形.
解:答案如图所示.
2.如图,分别以直线l为对称轴,将数字作轴对称变换,作出变换后所得的图形.
解:画图略.
正方形绿化场地拟种植两种不同颜色的花卉,要求种植的花卉能组成轴对称图形.下面是两种不同设计方案中的一部分,请把图1、图2补成轴对称图形,并画出一条对称轴(在你所设计的图案中用阴影部分和非阴影部分表示两种不同颜色的花卉).
解:答案如图所示(答案不唯一).
3.如图是4×4正方形网格,其中有两个小正方形是涂阴影的,请再选择三个小正方形并涂上阴影,使整个涂阴影的图形成为轴对称图形.请补全图形,并且画出对称轴(如图例),要求所画的三种方案不能重复.
解:如答案图所示:(答案不唯一)
小明从镜子中看到对面电子钟的示数如图所示,这时的实际时刻应是 .
[思维点拨] 若镜子里是数字电子钟(如题),则使用对称的方式获取正确时间,或从纸的背面看,获取实际时间;若镜子里是指针时钟,可用对称的方式或从背面看,也可以用12:00减去从镜子里看到的时间,获取实际时间.
10:51
4.如图,小芳在镜子里看到镜子对面指针时钟的示数是2:35,则现在的实际时间是 .
9:25(共19张PPT)
第1课时 等边三角形的性质与判定
1.等边三角形的定义
的三角形叫作等边三角形.
2.等边三角形的性质
(1)等边三角形的三边都 .
(2)等边三角形的三个角都 ,并且每一个角都等于 .
(3)等边三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线,分别互相 .
(4)等边三角形是轴对称图形,有 条对称轴.
三边都相等
相等
相等
60°
重合
三
3.等边三角形的判定
(1)根据定义:三边都 的三角形是等边三角形.
(2)三个角都 的三角形是等边三角形.
(3)有一个角是 的等腰三角形是等边三角形.
4.三角形按边的分类方法
三角形
相等
相等
60°
△ABC为等边三角形,点M是BC边上任意一点,点N是CA边上任意一点,且BM=CN,BN与AM相交于点Q,求∠BQM的度数.
解:∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°,AB=BC.
又∵BM=CN,
∴△AMB≌△BNC(SAS),
∴∠BAM=∠CBN,
∴∠BQM=∠ABQ+∠BAM=∠ABQ+∠CBN=∠ABC=60°.
如图,△ABC是等边三角形,D为BC边上一个动点(点D与点B,C均不重合),AD=AE,∠DAE=60°,连接CE.
(1)求证:△ABD≌△ACE;
(1)证明:∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°.
∵∠DAE=60°,
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,
即∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中,,
∴△ABD≌△ACE(SAS).
(2)求证:CE平分∠ACF;
(2)证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠BCA=60°.
∵△ABD≌△ACE,∴∠ACE=∠B=60°.
∴∠ECF=180°-∠ACE-∠BCA=60°.
∴∠ACE=∠ECF.∴CE平分∠ACF.
(3)若AB=2,当四边形ADCE的周长取最小值时,求BD的长.
(3)解:∵△ABD≌△ACE,∴BD=CE.
∵AD=AE,
∴四边形ADCE的周长=CE+DC+AD+AE=BD+DC+2AD=2+2AD.
∴当AD⊥BC时,即D为BC的中点时,AD的值最小,即四边形ADCE的周长取最小值.
∵AB=AC=BC=2,
∴BD=BC=×2=1.
1.下列关于等边三角形的说法中,不正确的是( )
A.等边三角形是轴对称图形,三条高所在的直线都是它的对称轴
B.等边三角形是特殊的等腰三角形
C.等边三角形与等腰三角形具有相同的性质
D.等边三角形的三条角平分线的长度相等
C
2.如图,已知△ABC是等边三角形,点B,C,D,E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E的度数为 .
15°
如图,在等边△ABC中,点P在△ABC内,点Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,问△APQ是什么形状的三角形 试证明你的结论.
解:△APQ为等边三角形.证明如下:
∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°.
又∵BP=CQ,∠ABP=∠ACQ,
∴△ABP≌△ACQ(SAS),∴AP=AQ,∠BAP=∠CAQ.
∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°,
∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°,
∴△APQ是等边三角形.
在△ABC中,AC=BC,BC边上的中垂线DF分别交直线BC,AC于点D,F.∠ACB的平分线交直线DF于点E,连接AE,BE,BF.
(1)如图1,当∠ACB=30°时, ①求证:△ABE是等边三角形;
(1)①证明:∵∠ACB=30°且CE平分∠ACB,
∴∠ACE=∠BCE=∠ACB=15°.
在△ACE和△BCE中,
∴△ACE≌△BCE(SAS),∴AE=BE,
∵DF是边BC的垂直平分线,∴CE=BE,
∴∠CBE=∠BCE=15°.
∵在△ABC中,AC=BC,∠ACB=30°,
∴∠BAC=∠ABC=×(180°-30°)=75°,
∴∠EBA=∠ABC-∠CBE=75°-15°=60°,
∴△ABE是等边三角形.
②探究AF,BF,EF三条线段之间的数量关系,并证明;
②解:AF+EF=BF.证明如下:
如答案图,在边FB上取一点G,使FG=FE,
∴△EFG是等腰三角形.
∵DF是边BC的垂直平分线,
∴FC=FB,∠FDB=90°,
∴∠FCB=∠FBC=30°,
∴∠BFD=180°-90°-30°=60°,
∴△EFG是等边三角形,
∴FE=GE,∠FEG=60°.
由①,知△ABE是等边三角形,
∴AE=BE,∠AEB=60°.
∵∠AEF=∠GEF-∠AEG,
∠BEG=∠BEA-∠AEG,
∴∠AEF=∠BEG.
在△AEF和△BEG中,
∴△AEF≌△BEG(SAS),∴AF=BG,
∴AF+EF=BG+FG=BF.
(2)如图2,当∠ACB=150°时,请直接写出AF,BF,EF三条线段之间的数量关系.
(2)解:AF+BF=EF.
[方法点拨] 判断一个三角形是等边三角形有三种方法:①证三边相等(定义法);②证三个内角相等;③先证其为等腰三角形,再证它有一个内角为60°.
3.如图,等边△ABC的边长为10,点P是边AB的中点,Q为BC延长线上一点,CQ∶BC=1∶2,过点P作PE⊥AC于点E,连接PQ交AC边于点D,则DE的长为 .
5
4.如图,在等边△ABC中,D,E,F分别是各边上的一点,且AD=BE=CF.求证:△DEF是等边三角形.
证明:∵△ABC为等边三角形,且AD=BE=CF,
∴AF=BD=CE,
∠A=∠B=∠C=60°,
∴△ADF≌△BED≌△CFE(SAS),
∴DF=ED=EF,∴△DEF是等边三角形.
5.如图,△ABC和△CDE都为等边三角形,点E在BC上,AE的延长线交BD于点F.
(1)求证:AE=BD;
(1)证明:∵△ABC和△CDE都为等边三角形,
∴∠ACE=∠BCD=60°,
AC=BC,CE=CD,
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴AE=BD.
(2)求∠AFB的度数;
(2)解:∵△ACE≌△BCD,∴∠CAE=∠CBD.
又∵∠AEC=∠BEF,∴∠AFB=∠ACB=60°.
(3)连接CF,求证:CF平分∠AFD;
(3)证明:如答案图1,作CM⊥AF于点M,CN⊥DF于点N.
∵△ACE≌△BCD,
∴S△ACE=S△BCD,AE=BD,
∴AE·CM=BD·CN,
∴CM=CN,∴CF平分∠AFD.
(4)探究EF,DF,CF之间的数量关系,并证明.
(4)解:EF+DF=CF.证明如下:
如答案图2,连接CF,延长AF到点Q,使FQ=DF,连接DQ.
∵∠AFB=∠ACB=60°,
∴∠DFQ=60°,
∴△DFQ是等边三角形,
∴DQ=DF,∠FDQ=∠CDE=60°,
∴∠CDF=∠EDQ.
又∵CD=DE,DF=DQ,
∴△CDF≌△EDQ(SAS),∴CF=EQ.
∴EF+DF=EF+FQ=EQ=CF.(共17张PPT)
第1课时 等腰三角形的性质
1.等腰三角形的定义
有 相等的三角形叫作等腰三角形.
2.等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的两个底角相等
(简写成“等边对等角”);
符号语言:
如图,在△ABC中,
AB=AC,
∴∠B=∠C(等边对等角).
两边
(2)等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”).
符号语言:
如图,在△ABC中,AB=AC,BD=DC,
∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD(三线合一).
或在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=DC,∠BAD=∠CAD(三线合一).
或在△ABC中,AB=AC,∠BAD=∠CAD,
∴BD=DC,AD⊥BC(三线合一).
(3)等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(顶角的平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴.
(1)等腰三角形的一个外角为100°,那么它的底角为( )
A.50° B.80°
C.50°或80° D.无法确定
C
(2)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图1所示的“三等分角仪”能三等分任意角.如图2,这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在点O相连并可绕点O转动,点C固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动.若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是( )
A.60° B.65° C.75° D.80°
D
(3)如图3,在四边形ABCD中,AB∥DC,点E是CD的中点,AE=BE.求证:∠D=∠C.
证明:∵AE=BE,∴∠EAB=∠EBA.
∵AB∥DC,∴∠DEA=∠EAB,∠CEB=∠EBA.∴∠DEA=∠CEB.
∵点E是CD的中点,∴DE=CE.
在△ADE和△BCE中,,
∴△ADE≌△BCE(SAS).
∴∠D=∠C.
[方法点拨] 当角的关系较多时,常设较小角为x,其他角用含x的式子表示,然后观察图形,寻找隐含条件,如三角形内角和为180°等来建立方程,从而得解.
1.如图,在△ABC中,点D为边AC上一点,且AB=DB=DC,∠C=40°,则∠ABD的度数是( )
A.20° B.40° C.60° D.80°
2.如图,在△ABC中,AB=AC,D,E分别是AC,AB上的点,且BC=BD,AD=DE=EB,则∠A的度数为 .
A
45°
3.如图,在△ABC中,点E在AB上,连接CE,满足AC=CE,线段CD交AB于点F,连接AD.
(1)若∠DAF=∠BCF,∠ACD=∠BCE,求证:AD=BE;
(1)证明:∵∠D+∠DAF=∠BCF
+∠B,∠DAF=∠BCF,
∴∠D=∠B.
在△ACD和△ECB中,
∴△ACD≌△ECB(AAS).
∴AD=BE.
(2)若∠ACD=24°,EF=CF,求∠BAC的度数.
(2)解:∵AC=CE,∴∠AEC=∠BAC.
∵EF=CF,∴∠AEC=∠ECF.
∴∠AEC=∠ECF=∠BAC.
在△ACE中,∠AEC+∠BAC+∠ACE=180°,
即∠AEC+∠BAC+∠ECF+∠ACD=180°,
∴3∠BAC+∠ACD=180°,
∴∠BAC===52°.
(1)等腰三角形的周长为13cm,其中一边长为3cm,则该等腰三角形的底边长为 ;
(2)在等腰△ABC中,AB=AC,一边上的中线BD将这个三角形的周长分为12和9两个部分,则该等腰三角形的底边长为多少
解:根据题意,
①当12是腰长与腰长一半时,AC+AC=12,解得AC=8,
3cm
∴底边长=9-×8=5,
此时三边为8,8,5,能构成三角形;
②当9是腰长与腰长一半时,
AC+AC=9,解得AC=6,
∴底边长=12-×6=9,
此时三边为6,6,9,能构成三角形.
∴该等腰三角形的底边长为5或9.
4.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,∠A=36°,将△ABC中的∠A沿DE向下翻折,使点A落在点C处.若AE=,则BC的长是 .
5.如图,在△ABC中,AB=AC,D,E是BC边上的点,且BD=CE,求证:AD=AE.
证明:∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴AD=AE.
已知:如图,在△ABC中,AB=2AC,∠1=∠2,DA=DB.求证:DC⊥AC.
证明:如答案图,过点D作DE⊥AB于点E.
∵DA=DB,DE⊥AB,∴AE=EB=AB,∠AED=90°.
∵AB=2AC,∴AC=AB.∴AC=AE.
在△ACD和△AED中,
∴△ACD≌△AED(SAS).
∴∠ACD=∠AED=90°.∴DC⊥AC.
[方法点拨] 遇“等腰三角形”常作辅助线构造全等三角形,再利用全等三角形的性质解题,这是一种非常重要的方法.
6.如图,在△ABC中,AC=BC,CE为△ABC的中线,BD为AC边上的高,BF平分∠CBD交CE于点G,交AC于点F,连接AG交BD于点M.若∠AFG=63°,则∠AMB的度数为 .
117°
7.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点E是AB边的中点,点F,G分别在AC,BC上,且EF⊥EG.
(1)求证:AF=CG;
(1)证明:如图,连接CE.
∵AC=BC,∠ACB=90°,点E是AB边的中点,
∴∠A=∠B=45°,AE=BE,∠AEC=∠BEC=90°,∠ECG=∠ACB=45°=∠A=∠B,
∴CE=BE=AE.
∵EF⊥EG,∴∠FEG=∠FEC+∠CEG=90°.
∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=90°,∴∠AEF=∠CEG.
在△AEF和△CEG中,
∴△AEF≌△CEG(ASA),∴AF=CG.
(2)若AC=4,求四边形CFEG的面积.
(2)解:由(1)知,△AEF≌△CEG,
∴S△AEF=S△CEG,
∴S四边形CFEG=S△CEF+S△CEG=S△CEF+S△AEF
=S△ACE=S△ABC=AC·BC=4.(共15张PPT)
第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定
1.线段的垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 .
符号语言:
如图1,已知线段AB.
∵直线l⊥AB,垂足为C,且AC=CB,点P在直线l上,
∴PA=PB.
相等
2.线段的垂直平分线的性质定理的逆定理
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的 上.
符号语言:
如图2,∵PA=PB,
∴点P在AB的垂直平分线l上.
注意:线段的垂直平分线可以看成是与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合.
垂直平分线
3.互逆命题与互逆定理
(1)互逆命题:如果两个命题的题设、结论 ,那么这两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个命题叫作原命题,那么另一个命题叫作它的 .
(2)互逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是 ,那么它也是一个定理,称这两个定理叫作互逆定理,其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.
任何一个命题都有逆命题,但不是任何一个定理都有逆定理.
正好相反
逆命题
真命题
(1)如图1,在△ABC中,DE是线段AC的垂直平分线,且分别交BC,AC于点D,E,∠B=55°,∠C=40°,则∠BAD等于( )
A.40° B.45° C.50° D.55°
B
(2)如图2,在△ABC中,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G.若BG=8,CE=10,且△AEG的周长为15,则EG的长为 .
3
如图,在△ABC中,AC的垂直平分线DE交AC于点E,交∠ABC的平分线于点D,DF⊥BC于点F.求证:BC-AB=2CF.
证明:如图,连接DA,DC,过点D作AB的垂线交BA的延长线于点G.
∵BD平分∠ABC,DF⊥BC,DG⊥BA,
∴DG=DF.
又∵BD=BD
∴△BDG≌△BDF(HL).∴BG=BF.
∵DE垂直平分AC,∴DC=DA.
在Rt△DAG与Rt△DCF中,
∴Rt△DAG≌Rt△DCF(HL).∴AG=CF.
∴BC-AB=BF+CF-(BG-AG)=CF+AG=2CF.
1.如图,在△ABC中,BC边上两点D,E分别在AB,AC的垂直平分线上.若BC=24,则△ADE的周长为 ( )
A.22 B.23 C.24 D.25
C
2.如图,在四边形ABCD中,M,N分别是CD,BC的中点,且AM⊥CD,AN⊥BC.
(1)求证:∠BAD=2∠MAN;
(1)证明:如图,连接AC.
∵M是CD的中点,AM⊥CD,
∴AM是线段CD的垂直平分线,∴AC=AD.
又∵AM⊥CD,AM=AM,
∴Rt△ACM≌Rt△ADM(HL),∴∠3=∠4.
同理可得∠1=∠2,
∴∠2+∠3=∠BAD,即∠BAD=2∠MAN.
(2)连接BD,若∠MAN=70°,∠DBC=40°,求∠ADC的度数.
(2)解:∵AM⊥CD,AN⊥BC,∠MAN=70°,
∴∠BCD=360°-90°-90°-70°=110°,
∠BAD=2∠MAN=140°,
∴∠BDC=180°-∠DBC-∠BCD=30°.
由(1)易得AB=AD,
∴∠ADB=∠ABD=(180°-∠BAD)=20°,
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=50°.
如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上一点,BD=BC,过点D作AB的垂线交AC于点E,求证:BE垂直平分CD.
证明:∵∠ACB=90°,DE⊥AB,
∴∠ACB=∠BDE=90°.
在Rt△BDE和Rt△BCE中,
∴Rt△BDE≌Rt△BCE(HL),∴ED=EC.
∵ED=EC,BD=BC,∴BE垂直平分CD.
[方法点拨] 要证明一条直线是线段的垂直平分线,只需证明直线上有两个点到该线段两端点的距离相等即可.
3.(2025·山东)元旦联欢会上,3名同学分别站在△ABC三个顶点的位置上.游戏时,要求在他们中间放一个凳子,谁先坐到凳子上谁获胜,为使游戏公平,则凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的( )
A.三边垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三边中线的交点
D.三边上高的交点
A
4.如图,在△ABC中,EF是AB的垂直平分线,MN是BC的垂直平分线,EF与MN相交于点O.求证:点O必在AC的垂直平分线上.
证明:连接AO,BO,CO.
∵EF垂直平分AB,点O在EF上,∴OA=OB.
又∵MN垂直平分BC,点O在MN上,
∴OB=OC.∴OA=OC.
∴点O必在AC的垂直平分线上.
写出下列命题的逆命题,判断原命题和逆命题的真假,并判断两者是否互为逆定理.
(1)两直线平行,同旁内角互补;
(2)对顶角相等;
(3)对应角相等的三角形是全等三角形.
解:(1)逆命题为:同旁内角互补,两直线平行.原命题是一个定理,它的逆命题是真命题,所以它们互为逆定理.
(2)逆命题为:相等的角是对顶角.原命题是真命题,逆命题是假命题,所以它们不互为逆定理.
(3)逆命题为:全等三角形的对应角相等.原命题是假命题,逆命题是真命题,所以它们不互为逆定理.
5.下列命题的逆命题错误的是( )
A.两个数的绝对值相等,则它们的平方相等
B.同旁内角互补,两直线平行
C.垂直平分线上的点到与这条线段两个端点的距离相等
D.全等三角形的对应角相等
6.写出命题“互为倒数的两个数乘积为1”的逆命题:___________________
____________________________.
D
如果两个数的乘积
为1,那么这两个数互为倒数(共16张PPT)
15.1.1 轴对称及其性质
1.轴对称图形的概念
如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够 ,这个图形就叫作轴对称图形,这条直线就是它的 ,折叠后重合的点是对应点,叫作对称点.这时,我们也说这个图形关于这条直线对称.
注意:①对称轴是一条直线(不能是线段或射线);②一个轴对称图形的对称轴可以有一条,也可以有多条甚至无数条.
互相重合
互相重合
2.两个图形成轴对称的概念
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形 ,那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称,也称这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫作 ,折叠后重合的点是对应点,叫作 .
重合
对称轴
对称点
轴对称图形和两个图形成轴对称的区别和联系总结如下表:
轴对称图形 两个图形成轴对称
区别 一个图形 两个图形
联系 ①沿着某条直线对折后,直线两旁的部分都能够互相重合(即直线两旁的两部分全等); ②都有对称轴(至少一条); ③如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,那么这两个图形关于这条直线(即对称轴)对称;如果把成轴对称的两个图形看成一个图形,那么这个图形是轴对称图形
3.轴对称图形和轴对称的性质
(1)成轴对称的两个图形全等.
(2)成轴对称的两个图形中,连接对称点的线段被对称轴垂直平分.
(3)连接轴对称图形对称点的线段被对称轴垂直平分.
注意:关于某条直线成轴对称的两个图形是全等图形(对应边相等,对应角相等),而全等的两个图形不一定成轴对称.
4.线段的垂直平分线的定义
经过线段 并且 于这条线段的直线,叫作这条线段的垂直平分线.
注意:成轴对称的两个图形与轴对称图形的对称轴都是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线.
中点
垂直
(1)下列图片中,是轴对称图形的是( )
D
(2)下列图形中, 是轴对称图形,其中只有1条对称轴的是 ,有2条对称轴的是 ,有3条对称轴的是 .(填序号)
①②③
①
③
②
1.(2024·重庆A卷)下列四种化学仪器的示意图中,是轴对称图形的是 ( )
C
2.下列四个图形中,是轴对称图形且对称轴的条数为2的图形的个数是 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
3.如图是4×4的正方形网格,其中已有3个小方格涂成了灰色.现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成灰色,与原来3个灰色方格组成的图形成为轴对称图形,则符合要求的白色小正方形有 个.
4
请在下列这一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律,然后在横线的空白处设计一个恰当的图形.
4.图中与标号“1”的三角形成轴对称的三角形的个数为 .
5.如图,有一个英语单词,四个字母都关于直线l对称,请在图中补全该字母,并写出这个英语单词为 .
2
BOOK
补图略.
如图,已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称,∠C=75°,
AD=4cm,EF=5cm.
(1)求AB,EH的长度以及∠G的度数;
解:(1)∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称,
∴AB=EF=5cm,EH=AD=4cm,
∠G=∠C=75°.
(2)连接AE,DH,AE与DH平行吗 为什么
(2)AE∥DH.理由如下:
∵A,E关于MN对称,D,H关于MN对称,
∴AE⊥MN,DH⊥MN,∴AE∥DH.
6.(2024·北京)如图,△ABC和△AB'C'关于直线l对称,连接CC',在直线l上任取一点O,连接OB,OB',下列结论中,不一定正确的是( )
A.l垂直平分CC’ B.OB=OB'
C.∠BAC=∠CAO D.△ABC≌△AB'C'
C
7.如图,直线m是多边形ABCDE的对称轴,若∠A=130°,∠B=110°,则∠D的度数为 ;若AE=2,AB=1,BC=3,则多边形ABCDE的周长为 .
110°
10