(共12张PPT)
第1课时 运用平方差公式
用平方差公式分解因式
(1)公式:a2-b2= .
(2)语言描述:两个数的平方差,等于这两个数的 与这两个数的 的积.
(3)公式的特点:①左边是二项式,两项都要写成平方的形式,且符号相反;
②右边是两个数的和与这两个数的差的积.
温馨提示:运用公式时要注意字母a和b的广泛意义,a,b可以是字母,也可以是单项式或多项式.
注意:符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解,即能写成:( )2-( )2的形式.简单说成“两数是平方,减号在中央”.如x2+y2
用平方差公式进行因式分解;-x2+y2 用平方差公式进行因式分解.(均填“能”或“不能”)
(a+b)(a-b)
和
差
不能
能
把下列各式分解因式:
(1)x2-1;
解:原式=(x+1)(x-1).
(2)m2-9n2;
解:原式=(m+3n)(m-3n).
(3)-16a2+25b2;
解:原式=(5b+4a)(5b-4a).
(4)(x+p)2-(x-p)2;
解:原式=4xp.
(5)(x-2y)2-(4x-2y)2;
解:原式=-3x(5x-4y).
(6)x4-y4;
解:原式=(x2+y2)(x+y)(x-y).
(7)(a+b+c+d)2-(a-b+c-d)2.
解:原式=4(a+c)(b+d).
1.(2024·湖北)下列多项式能用平方差公式分解因式的是( )
A.x2+y2 B.-x2-y2
C.x2-y3 D.-x2+y2
2.把下列各式分解因式:
(1)9a2-b2;
D
解:原式=.
(2)1-x4;
解:原式=(1+x2)(1+x)(1-x).
(3)(a+b)2-9a2.
解:原式=(4a+b)(b-2a).
把下列各式分解因式:
(1)x3y-xy;
解:原式=xy(x+1)(x-1).
(2)x2(y-1)-(y-1);
解:原式=(y-1)(x+1)(x-1).
(3)a2(m-n)+b2(n-m);
(4)mx4-81m.
解:原式=a2(m-n)-b2(m-n).
=(m-n)(a2-b2)
=(m-n)(a+b)(a-b).
解:原式=m(x4-81)
=m(x2+9)(x2-9)
=m(x2+9)(x+3)(x-3).
[方法点拨] 在分解因式时,要先看多项式的各项是不是有公因式,有公因式的要先提取公因式,再用平方差公式等方法进行分解.
3.分解因式:
(1)2a4-18a2= ;
(2)(2025·重庆巴蜀)a2(a-b)+b2(b-a)= .
4.把下列各式分解因式:
(1)4x3-x;
解:原式=x(2x+1)(2x-1).
(2)4a2x2-16a2y2;
解:原式=4a2(x+2y)(x-2y).
(3)ax4-9ay2;
解:原式=a(x2+3y)(x2-3y).
(4)a2(b-1)-(b-1).
解:原式=(b-1)(a+1)(a-1).
2a2(a+3)(a-3)
(a-b)2(a+b)
若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,则称这个正整数为“神秘数”.如:4=22-02,12=42-22,20=62-42,…,因此4,12,20,…都是神秘数.
(1)30和2 028这两个数是神秘数吗 为什么
解:(1)30不是,2 028是.理由如下:
∵30=15×2,15是奇数,不能表示为两个连续偶数的和,
∴30不是“神秘数”.
∵2 028=1 014×2=(508+506)(508-506)=5082-5062,
∴2 028是“神秘数”.
(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k为非负整数),由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗 为什么
(2)是.理由如下:
∵(2k+2)2-(2k)2=4(2k+1),
∴由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数.
(3)试结合(2)中的结论说明两个连续奇数的平方差(取正数)不可能是“神秘数”.
(3)由(2)知,神秘数是4的倍数,但一定不是8的倍数.设两个连续奇数为2n+1和2n-1(其中n为正整数),则(2n+1)2-(2n-1)2=8n,即两个连续奇数的平方差是8的倍数,
∴两个连续奇数的平方差不可能是“神秘数”.
5.如果(x+y-3)2+(x-y+5)2=0,那么x2-y2= .
6.若x2-y2=24,x+y=6,则x+2y= .
7.用简便方法计算下列各式:
(1)5352×6-6×4652;
-15
7
解:原式=6×(5352-4652)
=6×(535+465)×(535-465)
=6×1 000×70
=420 000.
(2)1002-992+982-972+962-952+…+22-12;
解:原式=(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+…+(2+1)(2-1)
=100+99+98+97+…+2+1
=5 050.
(3)….
解:原式=…
=…
=×
=.(共14张PPT)
17.1 用提公因式法分解因式
1.因式分解的定义
把一个多项式化成几个整式的 的形式,像这样的式子变形 叫作这个多项式的因式分解,也叫作把这个多项式分解因式.
温馨提示:(1)因式分解只针对多项式,而不是针对单项式,是对这个多项式的整体,而不是部分,因式分解的结果只能是整式的乘积的形式;(2)要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止;(3)因式分解是一种恒等变形,而整式的乘法是一种运算,二者不能混淆.
乘积
2.公因式的概念
一个多项式中各项都含有的 叫作这个多项式各项的公因式.
温馨提示:(1)公因式必须是每一项中都含有的因式;(2)公因式可以是一个数,也可以是一个字母,还可以是一个多项式;(3)正确找出多项式的公因式的步骤:
因式
3.提公因式法
如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来,将多项式写成 与另一个因式的 的形式,这种分解因式的方法叫作提公因式法.
温馨提示:(1)提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律,即ma+mb+mc=m(a+b+c);(2)提公因式法步骤(分两步):①找出公因式;②提取公因式,将多项式化为两个因式的乘积;(3)当多项式第一项的系数是负数时,通常先提出“-”号,使括号内的第一项的系数变为正数,同时多项式的各项都要变号;(4)用提公因式法分解因式时,若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零,则提取公因式后,该项变为“+1”或“-1”,不要把该项漏掉,或认为是0而出现错误;(5)可用整式乘法来检验因式分解是否正确.
公因式
乘积
下列由左到右的变形,哪些是因式分解 哪些不是 为什么
(1)a(x+y)=ax+ay; (2)x2+2xy+y2-1=x(x+2y)+(y+1)(y-1);
(3)ax2-9a=a(x+3)(x-3); (4)a+1=a;
(5)2a3=2a·a·a.
解:∵(1)(2)(4)的右边都不是整式的积的形式,
∴(1)(2)(4)都不是因式分解;
(5)左边不是多项式,不是因式分解;
(3)的右边是整式的积的形式,左边是多项式,而且左右两边是恒等的,
∴(3)是因式分解.
[方法点拨] 判断式子的变形是不是因式分解要把握以下几点:①左边是多项式,右边是整式的积的形式;②左、右恒等;③分解要彻底.
1.(2025·重庆外语校)下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是( )
A.x2+xy=x(x+y) B.x2+x=x2
C.(x+2)2=x2+4x+4 D.x2-5x+4=x(x-5)+4
2.若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为(x-1)(x-3),则k+b的值为 .
A
-1
把下列各式分解因式:
(1)mx-2my;
解:原式=m.
(2)4x2+6xy+2x;
解:原式=2x(2x+3y+1).
(3)-4m3+16m2-26m;
解:原式=-2m(2m2-8m+13).
(4)25x2y3-15x2y2;
解:原式=5x2y2(5y-3).
(5)-8a2m+1bm+2+28am+1b2m+4;
解:原式=-4am+1bm+2(2am-7bm+2).
(6)(x+y+z)(x-y+z)+(y-x+z)(y-x-z);
解:原式=(x-y+z)[(x+y+z)-(y-x+z)]
=2x(x-y+z).
(7)-6(x-y)3+18(y-x)2.
解:原式=6(x-y)2(y-x+3).
先分解因式,再求值:3(x-2)2(x-7)+11(2-x)(7-x),其中x=1.
解:原式=3(x-2)2(x-7)+11(x-2)(x-7)
=(x-2)(x-7)[3(x-2)+11]
=(x-2)(x-7)(3x+5).
当x=1时,原式=(1-2)×(1-7)×(3+5)=48.
3.把下列各式分解因式:
(1)4x2-12xy;
解:原式=4x(x-3y).
(2)-7ab-14abx+49aby;
解:原式=7ab(7y-2x-1).
(3)6x(a-b)+4y(b-a);
解:原式=2(a-b)(3x-2y).
(4)a2-ab+c(a-b).
解:原式=(a-b)(a+c).
4.已知(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)可分解因式为(3x+a)(x+b),其中a,b均为整数,求a+3b的值.
解:原式=(3x-7)(2x-21-x+13)=(3x-7)(x-8).
∵(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)可分解因式为(3x+a)(x+b),
∴(3x-7)(x-8)=(3x+a)(x+b),
则a=-7,b=-8,
∴a+3b=-7+3×(-8)=-31.
利用因式分解计算:
(1)234×265-234×65;
解:原式=234×(265-65)=234×200=46 800.
(2)×16-×16-×16;
解:原式=16×=16×(-1)=-16.
(3)9992+999;
(4).
解:原式=999×(999+1)=999×1 000=999 000.
解:原式=-2.
5.2 0252+2 025能被下列哪个数整除( )
A.2 022 B.2 023
C.2 024 D.2 026
6.(2024·安徽)父亲今年x岁,儿子今年y岁,父亲比儿子大26岁,并且x,y满足x2-xy=1 040,请你求出父亲和儿子今年各多少岁
解:由题意得,x-y=26.
∵x2-xy=x(x-y),∴26x=1 040,
解得x=40,
∴y=40-26=14.
答:父亲和儿子今年分别是40岁、14岁.
D(共9张PPT)
补充课题：十字相乘法
1.十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫作十字相乘法.
对于二次三项式x2+bx+c,若存在 则x2+bx+c=(x+p)(x+q).
温馨提示:(1)在对x2+bx+c分解因式时,要先从常数项c的正、负入手,若c>0,则p,q同号(若c<0,则p,q异号),然后依据一次项系数b的正负再确定p,q的符号;
(2)若x2+bx+c中的b,c为整数,要先将c分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能),然后看这两个整数之和能否等于b,直到凑对为止.
2.首项系数不为1的十字相乘法
在二次三项式ax2+bx+c(a≠0)中,如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,即a=a1a2,常数项c可以分解成两个因数之积,即c=c1c2,把a1,a2,c1,c2排列如下:
按斜线交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1,若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b,那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积,即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
温馨提示:(1)分解思路为“看两端,凑中间”;
(2)二次项系数一般都化为正数,如果是负数,则提出负号,分解括号里面的二次三项式,最后结果不要忘记把提出的负号添上.
分解因式:
(1)x2+6x+5;
(2)x2-7x+10;
解:原式=(x+1)(x+5).
解:原式=(x-2)(x-5).
(3)x2-4x-12;
(4)x2+8x+15;
解:原式=(x+2)(x-6).
解:原式=(x+3)(x+5).
(5)x2-6xy-16y2.
解:原式=(x-8y)(x+2y).
1.分解因式:x3+5x2+6x= .
2.将下列各式分解因式:
(1)x2-6x+8;
解:原式=(x-2)(x-4).
(2)x2+10x-24;
解:原式=(x+12)(x-2).
(3)x2y2-7xy+10;
解:原式=(xy-2)(xy-5).
(4)x2-3xy-54y2;
解:原式=(x-9y)(x+6y).
(5)x2-5xy+6y2.
解:原式=(x-2y)(x-3y).
x(x+3)(x+2)
用十字相乘法分解因式:
(1)2x2-5x-3;
解:原式=(2x+1)(x-3).
(2)4x2+8x+3;
解:原式=(2x+3)(2x+1).
(3)-3x2+4x-1;
解:原式=(-3x+1)(x-1).
(4)14x2+3x-27;
解:原式=(2x+3)(7x-9).
(5)-14(x2+x)+24.
解:原式=(x2+x-12)(x2+x-2)=(x+4)(x-3)(x+2)(x-1).
[方法点拨] 十字相乘法的方法简单点来讲就是:十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数.
3.用十字相乘法分解因式:
(1)3x2+10x+3;
解:原式=(3x+1)(x+3).
(2)4x2-8x-5;
解:原式=(2x-5)(2x+1).
(3)-6x2+13x-5;
解:原式=(-2x+1)(3x-5).
(4)(a+b)2-4(a+b)+3;
解:原式=(a+b-1)(a+b-3).
(5)(x-2)2+5(x-2)+4;
解:原式=(x+2)(x-1).
(6)(x2-2x)2-4(x2-2x)-5.
解:原式=(x2-2x-5)(x2-2x+1)
=(x2-2x-5)(x-1)2.
用分组分解法分解因式:
(1)a(a+2)+a+2;
解:原式=(a+2)(a+1).
(2)m-n+p(n-m);
解:原式=(m-n)-p(m-n)
=(m-n)(1-p).
(3)2ax-10ay+5by-bx;
解:原式=(x-5y)(2a-b).
(4)x2-4xy+4y2-1;
解:原式=(x-2y+1)(x-2y-1).
(5)x2+2xy+y2-2x-2y+1;
解:原式=(x+y-1)2.
4.用分组分解法分解因式:
(1)a2-ab+ac-bc;
解:原式=(a+c)(a-b).
(2)a2-2ab+b2-c2;
解:原式=(a-b)2-c2
=(a-b-c)(a-b+c).
(3)x2-y2+ax+ay;
解:原式=(x-y)(x+y)+a(x+y)
=(x+y)(x-y+a).
(4)4xy+1-4x2-y2.
解:原式=(1+2x-y)(1-2x+y).(共16张PPT)
第2课时 运用完全平方公式
1.完全平方式
我们把 和 这样的式子叫作完全平方式.
这两个多项式是两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,这恰是这两个数的和(或差)的平方.
完全平方式的特点:
(1)必须是 项式(或可以看成 项的);
(2)有两个 的平方项;
(3)有一个乘积项(等于平方项底数乘积的 倍).
a2+2ab+b2
a2-2ab+b2
三
三
同号
±2
思考:下列各式是完全平方式吗
(1)a2-2ab-b2( ) (2)a2+b2-2ab( )
(3)-6xy+9x2+y2( ) (4)a2-6ab+b2( )
(5)x2+x+( ) (6)m2+4mn+2n2( )
简记口诀:首平方,尾平方,首尾两倍在中央.
×
√
√
×
√
×
2.用完全平方公式分解因式
把整式乘法的完全平方公式反过来,就得到因式分解的完全平方公式.
a2+2ab+b2= ;
a2-2ab+b2= .
语言描述:两个数的平方和加上(或减法)这两个数的积的2倍,等于这个两个数的和(或差)的平方.
(a+b)2
(a-b)2
3.因式分解的步骤
(1)多项式为两项或三项时,步骤如下:
(2)多项式为四项及以上时,通常需先分组,分组后再利用提公因式法或公式法进行分解.
把下列各式分解因式.
(1)a2+2a+1;
(2)-m2-4+4m;
解:原式=(a+1)2.
解:原式=-(m-2)2.
(3)4x2-20x+25;
(4)x2-6xy+9y2;
解:原式=(2x-5)2.
解:原式=(x-3y)2.
(5)4a2+4ab+b2;
解:原式=(2a+b)2.
(6)(x-1)2+6(1-x)+9;
解:原式=(x-4)2.
(7)(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2.
解:原式=4y2.
[方法点拨] 用完全平方公式分解因式,首先要将式子化成a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的形式,然后写成(a+b)2或(a-b)2的形式,公式中的a,b可以是数、字母、单项式或多项式.如果有公因式的,要先提公因式.
1.下列各式中,是完全平方式的有( )
①a2-a+;②x2+xy+y2;③m2+m+9;④x2-xy+y2;⑤m2+4n2+4mn;
⑥a2b2-ab+1.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.将下列分解因式的结果填在横线上.
(1)x2-4x+4= ;
(2)9a2-30a+25= ;
(3)(a-b)2+4ab= .
C
(x-2)2
(3a-5)2
(a+b)2
已知x,y为实数,求下列式子的最小值:2x2+4xy+5y2-4x+2y+13.
解:原式=(x2+4xy+4y2)+(x2-4x+4)+(y2+2y+1)+8
=(x+2y)2+(x-2)2+(y+1)2+8.
∵(x+2y)2≥0,(x-2)2≥0,(y+1)2≥0,
∴当x=2,y=-1时,原式有最小值,且最小值为8.
3.(2024·天津)已知a= 2 024x+2 023,b=2 024x+2 024,c=2 024x+2 025,那么a2+b2+c2-ab-bc-ac的值等于 .
4.利用因式分解简便运算:
(1)1 0012-202 202+1012= ;
(2)992+198+1= ;
(3)662+652-130×66= .
5.已知a2+b2=2a-b-2,则3a-b的值为 .
3
810 000
10 000
1
4
6.已知△ABC的三边长a,b,c满足a2+b2+c2-6a-6b-10c+43=0,试判断△ABC的形状.
解:∵a2+b2+c2-6a-6b-10c+43
=a2-6a+9+b2-6b+9+c2-10c+25
=(a-3)2+(b-3)2+(c-5)2=0,
∴a-3=0,b-3=0,c-5=0,
∴a=3,b=3,c=5,
∴△ABC为等腰三角形.
把下列各式分解因式.
(1)(a2-2a)2+2(a2-2a)+1;
解:原式=(a2-2a+1)2=(a-1)4.
(2)3a4-6a2+3;
解:原式=3(a4-2a2+1)
=3(a2-1)2
=3(a-1)2(a+1)2.
(3)(x2+y2)2-4x2y2;
解:原式=(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy)
=(x+y)2(x-y)2.
(4)a4-8a2b2+16b4.
解:原式=
=[(a+2b)(a-2b)]2
=(a+2b)2(a-2b)2.
7.分解因式:
(1)(a2+9)2-36a2;
解:原式=(a2+6a+9)(a2-6a+9)
=(a+3)2(a-3)2.
(2)16x4-72x2+81;
解:原式=(4x2-9)2
=[(2x+3)(2x-3)]2
=(2x+3)2(2x-3)2.
(3)a2+1-2a+4(a-1).
解:原式=(a-1)2+4(a-1)
=(a-1)(a-1+4)=(a-1)(a+3).
8.先阅读下列材料,然后回答问题:
将一个多项式分组后,可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.能分组分解的多项式通常有四项或六项,一般的分组分解有四种形式,即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等.如:
①am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n)
=(m+n)(a+b);
②a2-2ab+b2+a-b=(a2-2ab+b2)+(a-b)
=(a-b)2+(a-b)
=(a-b)(a-b+1);
③2xy+y2-1+x2=x2+2xy+y2-1
=(x+y)2-1
=(x+y+1)(x+y-1).
请你仿照以上方法,分解下列各式:
(1)x2-y2-x-y;
解:(1)原式=(x+y)(x-y)-(x+y)
=(x+y)(x-y-1).
(2)45am2-20ax2+20axy-5ay2;
(2)原式=45am2-5a(4x2-4xy+y2)
=5a[9m2-(2x-y)2]
=5a(3m+2x-y)(3m-2x+y).
(3)4a2+4a-4a2b-b-4ab+1.
(3)原式=(4a2+4a+1)-b(4a2+4a+1)
=(2a+1)2(1-b).
