(共18张PPT)
第1课时 分式方程
1.分式方程的定义
分母中含 的方程叫作分式方程.
温馨提示:(1)分式方程的重要特征:①是等式;②方程里含有分母;③分母中含有未知数;
(2)分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数(不是一般的字母系数).分母中含有未知数的方程是分式方程,分母中不含有未知数的方程是整式方程;
(3)分式方程和整式方程的联系:分式方程可以转化为整式方程.
未知数
2.解分式方程的思想
将分式方程化为 ,具体做法是“去分母”,即方程两边乘 .
3.解分式方程产生增根的原因
解分式方程:=.
解:方程两边同乘(x+5)(x-5),得
x+5=10,解得x=5.
检验:将x=5代入原方程中,分母x-5和x2-25的值都为0,相应的分式无意义.因此x=5虽是整式方程x+5=10的解,但不是原分式方程=的解,实际上,这个分式方程无解.在这里,我们把x=5称为原分式方程的增根.
整式方程
最简公分母
思考:产生增根的原因是什么
真相揭秘:
分式两边同乘了等于 的式子,所得整式方程的解使分母为 ,这个整式方程的解就不是原分式方程的解.
0
0
4.解分式方程的一般步骤
(1)去分母:在分式方程的两边乘 ,将原方程化成整式方程.
(2)解方程:解这个整式方程.
(3)检验:将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为 ,则整式方程的解是原分式方程的解,否则,这个解不是原分式方程的解;
(4)下结论:写出原分式方程的根的情况(解是什么或无解).
最简公分母
0
简记为:“一化二解三检验”.
注意:分式方程解的检验是必不可少的步骤.
下列方程中:①=1;②=0;③=;④+=5,是分式方程的有( )
A.①② B.②③ C.③④ D.②③④
[方法点拨] 判断一个方程是不是分式方程的关键是看分母中有没有未知数,需要注意的是判断时不能先化简.
D
1.下列各式中是关于x的分式方程的是( )
A.2x=4 B.x2+1=y
C.+1=0 D.=2
D
解下列方程:
(1)=1+;
解:方程两边同乘2(x-4),得
1=2(x-4)-2(2x-3).
解得x=-.
检验:当x=-时,2(x-4)≠0,
∴x=-是原分式方程的解.
(2)-=0;
解:方程两边同乘x(x-1),得6x-(x+5)=0.
解得x=1.
检验:当x=1时,x(x-1)=0,
∴x=1是原分式方程的增根,
∴原分式方程无解.
(3)-=;
(4)+=;
解:原方程可变形为:
+=,
方程两边同乘(x+1)(x-1),得
5(x-1)+3(x+1)=6,
解得x=1.
检验:当x=1时,(x+1)(x-1)=0,
∴x=1是原分式方程的增根,
∴原分式方程无解.
解:原方程可变形为:-=,
方程两边同乘x(x-2),得
(2x+2)(x-2)-x(x+2)=x2-2,
解得x=-,
检验:当x=-时,x(x-2)≠0,
∴x=-是原分式方程的解.
(5)=-.
解:原方程可变形为:=-,
方程两边同乘(x-1)2(x+1)2,得3(x+1)2=2(x-1)2+(x-1)(x+1).
解得x=-.
检验:当x=-时,(x-1)2(x+1)2≠0,
∴x=-是原分式方程的解.
[方法点拨] (1)解分式方程去分母时,要注意,不要漏乘没有分母的项;(2)解完整式方程后一定要代入最简公分母检验.
2.(2025·成都七中)解分式方程-3=时,去分母正确的是( )
A.2x-3=3x-1 B.2x-3(x-2)=3x-1
C.2x-3(x-2)=-3x-1 D.2x-3(x-2)=-3x+1
3.分式方程+=1的解为( )
A.x=-1 B.x=1
C.x=2 D.x=-2
D
A
4.解分式方程:
(1)+1=;
(2)-=1.
解:方程两边同乘(x+2),得
3+x+2=2x,
解得x=5.
检验:当x=5时,x+2≠0,
∴x=5是原分式方程的解.
解:方程两边同乘(x+1)(x-1),得
x(x+1)-2=(x+1)(x-1),
解得x=1.
检验:当x=1时,(x+1)(x-1)=0,
∴x=1是原分式方程的增根,
∴原分式方程无解.
(1)若关于x的方程=无解,则m的值为( )
A.0 B.4或6 C.6 D.0或4
[知识拓展] 分式方程有增根与无解的区别:分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数,分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数,还包括分式方程化为整式方程后使整式方程无解的数.
(2)若关于x的分式方程2-=的解为正数,则k的取值范围为( )
A.k<2 B.k<2且k≠0
C.k>-1 D.k>-1且k≠0
D
B
(3)m为何值时,关于x的方程+=会产生增根
[方法点拨] 处理这类问题时,通常先将分式方程转化为整式方程,再将求出的增根代入整式方程,即可求解.
解:方程两边同乘(x+2)(x-2),得2(x+2)+mx=3(x-2),
整理,得(m-1)x=-10.
∵原方程有增根,∴(x-2)(x+2)=0,即x=2或x=-2.
把x=2代入(m-1)x=-10,解得m=-4;
把x=-2代入(m-1)x=-10,解得m=6.
∴当m=-4或m=6时,方程会产生增根.
5.已知关于x的分式方程-2=的解为正数,则k的取值范围为( )
A.-2-2且k≠-1
C.k>-2 D.k<2且k≠-1
6.(1)若关于x的方程+1=有增根,则m的值为 ;
(2)若关于x的分式方程-1=无解,则m的值为 .
B
-6
0或1
7.阅读下面的材料:
在学习“可以化为一元一次方程的分式方程及其解法”的过程中,老师提出一个问题:若关于x的分式方程=1的解为正数,求a的取值范围.
经过独立思考与分析,小杰与小哲开始交流解题思路如下:
小杰说:“解这个关于x的分式方程,得x=a+4,由题意可得a+4>0,所以a>-4.”
小哲说:“你考虑不全面,还必须保证x≠4,即a+4≠4才行.”
(1)请回答: 的说法是正确的,并简述正确的理由是____________
___________;
小哲
分式的
分母不为0
(2)参考对上述问题的讨论,解决下面的问题:
若关于x的方程+=3的解为非负数,求m的取值范围.
解:(2)去分母,得x+m-3m=3(x-3),整理,得-2x=2m-9,
解得x=.
∵该分式方程的解为非负数,
∴≥0且≠3,
解得m≤且m≠.(共12张PPT)
第2课时 分式的乘法与除法(二)
分式的乘方法则
分式乘方要把分子、分母分别 .
用式子表示为= (n为正整数).
温馨提示:(1)分式乘方时,要首先确定乘方结果的 ,负数的偶次方为 ,负数的奇次方为 ;(2)在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时,应先算 ,再算 ,有多项式时,应先分解因式,再约分.
乘方
符号
正
负
乘方
乘除
计算:
(1);
(2).
解:原式=.
解:原式=-.
1.下列等式正确的是( )
A.= B.=
C.= D.=
A
2.计算:
(1)= ;
(2)= ;
(3)= ;
(4)= .
-
计算:
(1)·÷(-ab4);
(2)÷·(m2-n2)2;
解:原式=··=.
解:原式=··(m+n)2(m-n)2
=n2(m-n)4.
(3)÷·.
解:原式=÷·
=··=.
[总结升华] 分式的乘除混合运算,首先把除法运算转化为乘法运算,再用乘法运算法则计算.有乘方的,先算乘方,注意符号的处理.
3.计算:
(1)·÷;
(2)÷;
解:原式=··
=-.
解:原式=÷
=·
=.
(3)·÷;
(4)÷(x+y)·.
解:原式=··(a+b)(a-b)
=.
解:原式=··
=
=.
若m等于它的倒数,求式子÷·的值.
解:原式=-··
=-.
∵m等于它的倒数,∴m=,解得m=±1.
当m=1时,原式=;
当m=-1时,原式=-.
4.(1)已知+=0,求·÷的值;
解:原式=-··=-.
∵+=0,
∴解得
∴原式=-=-.
(2)化简求值:÷·,其中x=1,y=7.
解:原式=··
=.
当x=1,y=7时,原式=9.(共14张PPT)
第1课时 分式的加法与减法
1.同分母分式的加减法法则
同分母分式相加减,分母不变,把分子相 .用式子表示为±= .
温馨提示:(1)注意分数线有括号的作用,分子相加减时,要注意添 ;
(2)把分子相加减后,如果所得结果不是最简分式,要 ,化成 .
加减
括号
约分
最简分式或整式
2.异分母分式的加减法法则
异分母分式相加减,先通分,变为 的分式,再加减.用式子表示为
±=±=.
温馨提示:(1)异分母的分式相加减,先通分是关键.通分后,异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法;(2)异分母分式的加减法的一般步骤:①找最简公分母; ②通分;③进行同分母分式的加减运算;④把结果化成最简分式.
同分母
计算:
(1)-;
解:原式===1.
(2)-;
解:原式===.
(3)+- ;
解:原式===.
(4)+;
解:原式===2.
(5)-;
解:原式===.
(6)-.
解:原式=+=.
1.化简+的结果是( )
A.-2a+b B.-2a-b
C.2a+b D.2a-b
2.计算:
(1)-; (2)+-;
C
解:原式=a-2.
解:原式=-m-2.
(3)+-.
解:原式=-2.
计算:
(1)+;
(2)+;
解:原式=+
=.
解:原式=+
==.
(3)+-;
(4)-x2+2;
解:原式=-+
=
==.
解:原式=-+
==.
(5)-a-1.
解:原式=-(a+1)
=-
==.
[方法总结] (1)异分母分式的加减法关键是确定最简公分母;(2)整式和分式相加减时,把整式看作分母是1的“分式”,按异分母分式的加减法的步骤进行运算.
3.计算-的结果为( )
A. B.
C. D.
A
4.计算:
(1)+; (2)-;
解:原式=.
解:原式=.
(3)+;
(4)-x-1.
解:原式=.
解:原式=.
已知=+,求实数A,B的值.
解:由已知,得
==,
∴∴
5.已知+=1(a+b≠0),则= ( )
A. B.1 C.2 D.3
6.已知=+,求3A-B的值.
解:由已知,得
==,
∴解得
∴3A-B=3×2-3=3.
C(共18张PPT)
第2课时 分式方程的应用
1.列分式方程解应用题的步骤
(1)审题;
(2)设未知数;
(3)找出相等关系,列出分式方程;
(4)解这个分式方程;
(5)检验,看方程的解是否满足方程并符合题意;
(6)写出答案.
2.工程问题
(1)基本关系:工作总量=工作时间×工作效率.
(2)根据题意填空.
两个工程队共同参与一项筑路工程,甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一,这时增加了乙队,两队又共同工作了半个月,总工程全部完成.哪个队的施工速度快
表格法分析如下:
设乙队单独完成这项工程需要x个月,工作总量为“1”.
工作时间(月) 工作效率 工作总量(“1”)
甲队
乙队
根据等量关系:甲队完成的工作总量+乙队完成的工作总量=“1”,可列出方程 .
根据等量关系:甲队单独完成的工作总量+两队合作完成的工作总量=“1”,则合作的工作效率是 ,根据等量关系可列出方程
.
×+·=1
+
+×=1
3.行程问题
(1)基本关系:路程=速度×时间.
(2)根据题意填空.
某次列车平均提速v km/h.用相同的时间,列车提速前行驶s km,提速后比提速前多行驶50 km,提速前列车的平均速度为多少 (这里的字母v,s表示已知数据)
设提速前列车的平均速度为x km/h,那么提速前列车行驶s km所用时间为 h,提速后列车的平均速度为 km/h,提速后列车行驶(s+50)km所用时间为 h.根据行驶时间的等量关系可以列出方程 .
(x+v)
=
4.销售问题
(1)基本关系:总价=单价×数量.
(2)根据题意填空.
某商店准备购进甲、乙两种商品,甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元,用2 000元购进甲种商品和用1 200元购进乙种商品的数量相同.求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元.
设甲种商品每件的进价是x元,则乙种商品每件的进价是 元.根据等量关系购买的甲种商品的数量=乙种商品的数量,可列出方
程 .
若设甲种商品购进y件,则乙种商品购进 件.根据等量关系甲种商品
的进价= ,可列出方程 .
(x-20)
=
y
乙种商品的进价+20元
=+20
某工厂计划生产3 000个零件,若每天比原计划多生产15个零件,则生产3 300个零件所需的时间与原计划时间相同.
(1)求原计划每天生产的零件个数;
解:(1)设原计划每天生产零件x个.依题意,得
=.解得x=150.
经检验,x=150是原分式方程的解,且符合题意.
答:原计划每天生产的零件个数为150个.
(2)为了提前完成生产任务,工厂在安排若干台旧设备按原计划正常生产的同时,增加2台新设备参与共同生产,经过10天完成计划的90%.已知每台新设备的效率是每台旧设备的1.2倍,求旧设备的台数.
(2)设旧设备有y台.依题意,得
×10=3 000×90%.
解得y=3.
经检验,y=3是原分式方程的解,且符合题意.
答:旧设备有3台.
1.某家具厂要在开学前赶制540套桌凳,为了尽快完成任务,厂领导合理调配,加强第一线人力,使每天完成的桌凳比原计划多2套,结果提前3天完成任务.问原计划每天完成多少套桌凳 设原计划每天完成x套桌凳,则所列方程正确的是( )
A.-=3 B.-=3
C.-=3 D.-=3
C
2.(2025·成都石室)某工厂原计划生产2 400台电动汽车,由于临近春节销量攀升,计划生产的电动汽车数量增加了1 200台.工厂在实际生产中通过提高生产效率,每天比原计划多生产10台电动汽车,实际完成生产任务的天数是原计划天数的1.2倍.求原计划每天生产多少台电动汽车.
解:设原计划每天生产x台电动汽车,则实际每天生产了(x+10)台电动汽车,
由题意,得=1.2×,
解得x=40,
经检验,x=40是原方程的解,且符合题意.
答:原计划每天生产40台电动汽车.
已知“太原南-北京西”全程大约500千米,“复兴号”G614次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40千米,其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的(两列车中途停留时间均除外).经查询,“复兴号”G614次列车从太原南到北京西,中途只有石家庄一站,停留5分钟.求乘坐“复兴号”G614次列车从太原南到北京西需要多长时间.
解:设“复兴号”G614次列车从太原南到北京西的行驶时间为x小时,则“和谐号”列车的行驶时间为x小时,
根据题意,得=+40,解得x=.经检验,x=是原分式方程的解.
∴x+=(小时).
答:乘坐“复兴号”G614次列车从太原南到北京西需要小时.
3.一艘轮船在静水中的速度为30km/h,它沿江顺流航行144km与逆流航行96km所用时间相等,江水的流速为多少 设江水流速为vkm/h,则符合题意的方程是( )
A.= B.=
C.= D.=
A
4.为保证运动会期间各场馆用电设施的正常运行,某市供电局为此进行了电力抢修演练.现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修.维修工人骑摩托车先行出发,10分钟后,抢修车装载完所需材料再出发,结果他们同时到达体育馆,已知抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍,求摩托车的速度.
解:设摩托车的速度为x千米/时,则抢修车的速度为1.5x千米/时.
依题意,得-=,
解得x=40.
经检验,x=40是原分式方程的解,且符合题意.
答:摩托车的速度为40千米/时.
(2025·重庆八中)某甜品店在售的两款小蛋糕,水果蛋糕和慕斯蛋糕的制作成本分别为每个7元和12元,已知水果蛋糕每个售价是慕斯蛋糕每个售价的,用300元购买水果蛋糕的个数比用612元购买慕斯蛋糕的个数少9个.
(1)求水果蛋糕和慕斯蛋糕的每个售价分别为多少元;
解:(1)设慕斯蛋糕每个售价为x元,则水果蛋糕每个售价为x元,
由题意,得=-9,解得x=18,经检验,x=18是原方程的解,且符合题意,
∴x=12.
答:水果蛋糕每个售价为12元,慕斯蛋糕每个售价为18元.
(2)随着新年临近,该甜品店对水果蛋糕和慕斯蛋糕的售价进行了调整,每个水果蛋糕的售价上调了a%,每个慕斯蛋糕的售价上调了a%,月底经统计水果蛋糕的销售总量为400个,慕斯蛋糕的销售总量为300个,若要保证本月的总利润不低于4 700元,求a的最小值.
(2)由题意,得×400+×300≥4 700,
解得a≥20,∴a最小为20.
答:a的最小值为20.
5.某体育用品商店出售毽球,有批发和零售两种售卖方式,小明打算为班级购买毽球,如果给每个人买一个毽球,就只能按零售价付款,共需80元;如果小明多购买5个毽球,就可以享受批发价,总价是72元.已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同,则小明班级共有多少名学生 设班级共有x名学生,依据题意列方程,得( )
A.50×=×40 B.40×=×50
C.40×=×50 D.50×=×40
B
6.如图,某公司会计欲查询乙商品的进价,发现进货单已被墨水污染.
商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下:
李阿姨:我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%.
王师傅:甲商品比乙商品的数量多40件.
请你求出乙商品的进价,并帮他们补全进货单.
解:设乙商品的进价为x元/件,则甲商品的进价为(1+50%)x元/件,根据题意,得
-=40,解得x=40.
经检验,x=40是原分式方程的解,且符合题意.
∴(1+50%)x=60,=80,=120.
补全进货单如下表:
商品 进价(元/件) 数量(件) 总金额(元)
甲 60 120 7 200
乙 40 80 3 200(共12张PPT)
第1课时 分式的基本性质
1.分式的基本性质
分式的分子与分母乘(或除以)同一个 的整式,分式的值 .用含整式A,B,C的式子表示为
=,=(C≠0).
温馨提示:(1)基本性质中的A,B,C表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件,一般在解题过程中不另强调;C≠0是在解题过程中另外附加的条件,在运用分式的基本性质时,必须重点强调C≠0这个前提
不等于0
不变
条件; (2)在应用分式的基本性质进行分式变形时,虽然分式的值不变,但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如:=,在变形后,字母x的取值范围变化了.
2.分式的变号法则
对于分式中的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变;改变其中任何一个或三个,分式成为原分式的相反数.
根据分式的基本性质,完成下列各等式.
(1)=(b≠0);
(2)=;
(3)=(b≠0);
(4)3x-2=;
(5)=;
(6)=.
[方法点拨] (1)利用分式的基本性质判断分式是如何变形时,看分母如何变化,想分子如何变化;看分子如何变化,想分母如何变化.(2)利用分式的基本性质将分式变形时,一定要保证分子和分母所乘或除以的整式不能为零,且乘或除以的是同一个整式.
1.(2025·重庆巴蜀)下列各式从左到右的变形正确的是( )
A.= B.=
C.= D.=
C
2.填空:
(1)=;
(2)=;
(3)=;
(4)=.
不改变分式的值,把下列各式的分子与分母中的各项系数化为整数.
(1);
解:(1)原式=.
(2).
(2)原式=.
[规律点拨] 若系数为小数,分子、分母可同时扩大10倍、100倍…;若系数为分数,分子、分母可同乘分母的最小公倍数.
3.(2025·重庆南开)将分式中的x,y的值都扩大为原来的2倍,则分式的值( )
A.不变
B.扩大为原来的2倍
C.缩小为原来的
D.扩大为原来的4倍
A
4.不改变分式 的值,把它的分子和分母中的各项系数都化为整数,所得结果为( )
A. B.
C. D.
B
不改变分式的值,使下列分式的分子和分母不含“-”号.
(1); (2); (3); (4)-.
解:(1)=-.
(2)=.
(3)=-.
(4)-=.
[总结升华] 一般地,在分式运算的最后结果中,习惯于只保留一个负号,写在分式的前面.
5.不改变分式的值,使分子与分母的首项系数均为正,则下列式子变形正确的是( )
A.= B.=-
C.=- D.=-
C(共11张PPT)
第1课时 分式的乘法与除法(一)
1.分式的乘法法则
分式乘分式,用分子的 作为积的分子,分母的 作为积的分母.
用式子表示为·=.
2.分式的除法法则
分式除以分式,把除式的分子、分母 后,与被除式相乘.
用式子表示为÷=·=.
积
积
颠倒位置
温馨提示:(1)分式的乘除法都能统一成乘法,然后约去公因式,化为最简分式或整式;(2)分式与分式相乘,若分子和分母是多项式,则先分解因式,看能否约分,然后再乘;(3)整式与分式相乘,可以直接把整式(整式可以看作分母是1的代数式)和分式的分子相乘作为分子,分母不变.当整式是多项式时,同样要先分解因式,便于约分;(4)分式的乘除的计算结果,要通过约分,化为最简分式或整式,且最简分式或整式应不含括号.
计算:
(1)·;
(2)÷;
解:原式=.
解:原式=·=.
(3)·;
解:原式=·=.
(4)÷;
(5)(xy-x2)·÷;
(6)÷(a+1)·.
[方法点拨] 当分子、分母有多项式时,应尽量一次性全部分解因式,便于尽可能多的约分.
解:原式=·
==.
解:原式=-x(x-y)··=-y.
解:原式=··=.
1.计算:
(1)·;
(2)÷(-)
解:原式=-.
(3)·;
(4)÷;
(5)÷·.
解:原式=.
解:原式=-a2.
解:原式=.
解:原式=.
通常购买同一品种的西瓜时,西瓜的质量越大,花费的钱越多,因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好.假如我们把西瓜都看成球形,并把西瓜瓤的密度看成是均匀的,西瓜的半径为R,西瓜的皮厚都是d,已知球的体积公式为V=πa3(其中a为球的半径),那么:
(1)西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少
解:(1)根据球的体积公式可知:
西瓜瓤的体积V1=π(R-d)3,
整个西瓜的体积V2=πR3.
(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积的比值是多少
(2)==.
(3)买大西瓜合算还是买小西瓜合算
(3)根据(2)可知R越大,则V1占V2的比例就越大,故买大西瓜合算.
2.已知a m布料能做b件上衣,2a m布料能做3b条裤子,则一件上衣的用料是一条裤子用料的 倍.
1.5
先化简,再求值:
(1)÷,其中x=-;
解:原式=·=-.
当x=-时,原式=-=.
(2)÷·,其中a=,b=-1.
解:原式=··
=.
当a=,b=-1时,原式==.
3.已知a=b+2 025,求代数式·÷的值.
解:原式=··(a-b)·(a+b)
=2(a-b).
∵a=b+2 025,即a-b=2 025,
∴原式=2×2 025=4 050.(共11张PPT)
第1课时 整数指数幂
思考:am中指数m可以是负整数吗 如果可以,那么负整数指数幂am表示什么
做一做,你发现了什么 a3÷a5=
a-2=
1.负整数指数幂的意义
一般地,当n是正整数时,a-n= (a≠0).这就是说,a-n(a≠0)是an的 .
温馨提示:(1)引入负整数指数幂后,指数的取值范围就可以推广到全体整数,以前所学的幂的运算性质仍然成立;(2)a-n(a≠0)是an的倒数,a可以是不等于0的数,也可以是不等于0的代数式.例如:(2xy)-1= (xy≠0),
(a+b)-5= (a+b≠0).
倒数
2.整数指数幂的运算性质
(1)am·an= (m,n是整数);
(2)(am)n= (m,n是整数);
(3)(ab)n= (n是整数).
温馨提示:=(a≠0,b≠0,n是整数);=(a≠0,b≠0,m,n是整数).
am+n
amn
anbn
(1)计算:
①2-3= ; ②(-3)-2= ;
③= ; ④= ;
(2)计算:-(-2)0-+.
-
解:原式=2-1-3+2=0.
1.已知a=-0.52,b=-5-2,c=,d=,比较a,b,c,d的大小,并用“<”号连接起来 .
2.计算:
(1)(2024·重庆A卷)(π-3)0+;
a解:原式=1+2=3.
(2)(-3)0-(-5)+--;
解:原式=1+5+3-3-2=4.
(3)+(-1)0-.
解:原式=2-1+1-=.
化简下列各式,使其结果只含正整数指数幂:
(1)(a-1b2c-2)-3;
解:原式=(a-1)-3·(b2)-3·(c-2)-3=a3b-6c6=.
(2);
解:原式==27x12y6.
(3)(2m2n-2)2·3m-3n5;
解:原式=4m4n-4·3m-3n5=12mn.
(4)4x-1y2z÷(-2x-1y-2z-1)2;
解:原式=4x-1y2z÷4x-2y-4z-2=xy6z3.
(5)a2b-3·(a-1b)3÷(ab)-1.
解:原式=a2b-3·a-3b3·ab=b.
[方法点拨] 无论是整式还是分式,化除为乘时一定要注意将除式中因式的指数变号后再运算,但是最后的结果应化负整数指数幂的形式为分式.
3.计算:
(1)(m3n)-2·(2m-2n-3)-2;
解:原式=m-6n-2·m4n6
=m-2n4=.
(2)(3a2bc-2)-2÷(-2a-2b-3)-1;
解:原式=a-4b-2c4·(-2a-2b-3)
=-.
(3)·÷.
解:原式=x-2y-3··
=x2y2.
4.若3y-5x-2=0,求÷的值.
解:÷=105x-3y.
∵3y-5x-2=0,
∴5x-3y=-2.
∴原式=10-2=.(共8张PPT)
第2课时 科学记数法
用科学记数法表示绝对值小于1的数
用科学记数法表示绝对值小于1的数时,一般写成 的形式,其中n是正整数,1≤<10.
温馨提示:确定n的值的两种方法:
①n等于原数中左起第一个非0数前0的个数(包括小数点前的那个0);
②小数点向右移到第一个非0的数后,小数点移动了几位,n就等于几.
a×10-n
用科学记数法表示下列各数:
(1)0.008; (2)-0.000 016;
(3)0.000 000 027 5.
解:(1)0.008=8×10-3.
(2)-0.000 016=-1.6×10-5.
(3)0.000 000 027 5=2.75×10-8.
1.用科学记数法表示0.000 861,正确的是( )
A.861×10-6 B.86.1×10-5
C.8.61×10-4 D.8.61×104
2.用科学记数法表示下列各数:
(1)0.000 01; (2)0.000 000 204;
(3)-0.000 135; (4)0.000 67.
解:(1)0.000 01=10-5.
C
(2)0.000 000 204=2.04×10-7.
(3)-0.000 135=-1.35×10-4.
(4)0.000 67=6.7×10-4.
用小数表示下列各数:
(1)3×10-6; (2)1.125×10-9; (3)-8.7×10-3.
解:(1)3×10-6=0.000 003.
[方法点拨] 还原为小数时,指数为负几,就在第一个不是0的数前加几个0(包括小数点前的0).
(2)1.125×10-9=0.000 000 001 125.
(3)-8.7×10-3=-0.008 7.
3.用小数表示下列各数:
(1)2×10-7; (2)3.14×10-5;
(3)-2.17×10-1; (4)-7.08×10-3.
解:(1)2×10-7=0.000 000 2.
(2)3.14×10-5=0.000 031 4.
(3)-2.17×10-1=-0.217.
(4)-7.08×10-3=-0.007 08.
一根长约为1 m,直径为80 mm的光纤预制棒,可拉成至少400 km长的光纤.试问:1 cm2大约是这种光纤的横截面积的多少倍 (结果精确到百位,π取3.14)
解:光纤的横截面积为
1×π×÷(400×103)=1.256×10-8(m2).
∴10-4÷(1.256×10-8)≈8.0×103.
答:1 cm2大约是这种光纤的横截面积的8.0×103倍.
4.在科幻小说《三体》中,制造太空电梯的材料是由科学家汪淼发明的一种具有超高强度纳米丝的“飞刃”.若“飞刃”的直径为0.000 92 dm,则“飞刃”的直径(dm)可用科学记数法表示为( )
A.9.2×10-4 B.92×10-3
C.0.92×10-3 D.-9.2×104
5.我们身处在自然环境中,一年接受的宇宙射线及其他天然辐射量约为3 100微西弗(一西弗等于1 000毫西弗,1毫西弗等于1 000微西弗),用科学记数法可以表示为 西弗.
A
3.1×10-3(共12张PPT)
18.1.1 从分数到分式
1.分式的概念
一般地,如果A,B表示两个整式,并且 中含有字母,那么式子 叫作分式.在分式中,A叫作 ,B叫作 .
温馨提示:(1)分母中的“字母”是表示不同数的“字母”,但π表示圆周率,是一个常数,不是字母,如是整式而不能当作分式;(2)分母中含有字母是分式的一个重要标志,判断一个代数式是不是分式不能先化简,如是分式,与xy有区别,xy是整式,即只看形式,不能看化简的结果.
B
分子
分母
2.分式有意义、无意义、值等于零或值为正(负)的条件
(1)分式有意义的条件: .
(2)分式无意义的条件: .
(3)分式的值等于零的条件: .
(4)分式的值为正的条件:A,B .
(5)分式的值为负的条件:A,B .
(6)分式的值为整数的条件:分子是分母的 倍(有时需要分离常数).
温馨提示:(1)分式有无意义与分母有关,与分子无关,分式要明确其是否有意义,就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值,以避免分母的值为零;(2)必须在分式有意义的前提下,才能讨论分式的值.
分母不等于零
分母等于零
分子等于零且分母不等于零
同号
异号
整数
填空:
(1)长方形的面积为20 cm2,宽为a cm,则长方形的长为 cm;
(2)甲、乙两地相距100千米,某汽车的速度为v千米/时,则它从甲地到乙地所需时间为 小时;
(3)一项工程,甲单独做需x时,乙单独做需y时,则甲、乙两人一起合做
需 时.
1.现有游客m人,如果每n人住一个房间,结果还有一人无房住,则房间数为( )
A. B.-1 C. D.+1
A
下列各式中,哪些是整式 哪些是分式
,,,,,,, .
解:整式有:,,.
分式有:,,,.
2.下列代数式中,不属于分式的是( )
A. B. C. D.-
3.下列各式:①,②,③,④,⑤(x+y)中,分式有 个.
A
3
填空:
(1)当x 时,分式有意义;
当x 时,分式有意义;
(2)当x 时,分式无意义.
≠2
为任意实数
=±2
4.若代数式有意义,则实数x的取值范围是( )
A.x=-1 B.x=3
C.x≠-1 D.x≠3
5.若分式无意义,则x的值为 .
D
±2
当x取何值时,下列分式的值为0
(1);
解:(1)由题意,得解得x=-.
即当x=-时,分式的值为0.
(2).
(2)由题意,得解得x=3.
即当x=3时,分式的值为0.
6.若分式的值为零,则m的值为( )
A.m=±1 B.m=-1
C.m=1 D.不存在
7.当 时,分式的值为正数;
当 时,分式的值为负数;
当x= 时,分式的值为正整数.
B
x<8
40或1或2或5(共12张PPT)
第2课时 分式的混合运算
1.分式的混合运算顺序
先算 ,再算 ,最后算 ,有括号的先算 .计算结果要化为 .整式的运算律依然适用.
2.分式的求值
分式的求值,要遵循先化简后求值的原则.
乘方
乘除
加减
括号里面的
最简分式或整式
计算:
(1)·-÷;
(2)÷;
解:原式=·-·
=-
=-.
解:原式=·
=·
=-·=-.
(3)-·;
(4)÷.
解:原式=-·
=-·+·(a+b)
=-+1=1.
解:原式=÷
=·=.
1.填空:
(1)·= ;
(2)m-1+÷= .
2.计算:
(1)-÷;
(2)÷;
解:原式=.
解:原式=.
(3)·(a+2).
解:原式=.
先化简,再求值:
(1)÷,其中a=2;
解:原式=·
=·=.
当a=2时,原式==.
(2)÷（-a+2）,其中a为负整数且满足不等式3-a≤2(a+6);
解:原式=÷
=·=·
=.
解3-a≤2(a+6),得a≥-3.
∵a为负整数,∴a=-3,-2,-1.
又∵a≠0,3,-3,-2,∴a=-1.
当a=-1时,原式==2.
(3)÷,其中a满足a2+2a-3=0.
解:原式=÷
=÷=·
=2a(a+2)=2(a2+2a).
∵a2+2a-3=0,∴a2+2a=3,
∴原式=2×3=6.
3.先化简,再求值:÷,其中y满足y2+y-3=0.
解:原式=·=·
=(y+2)(y-1)=y2+y-2.
∵y2+y-3=0,∴y2+y=3,
∴原式=3-2=1.
4.先化简:÷,再从0,1,-1,中选取一个合适的数代入求值.
解:原式=·=.
∵x+1≠0,x-1≠0,x≠0,
∴x≠±1,0,
∴当x=时,原式==8.
从火车上下来两个旅客,他们沿着同一方向到同一地点,甲旅客一半的路程以速度a行走,另一半的路程以速度b行走;乙旅客一半的时间以速度a行走,另一半的时间以速度b行走,问哪个旅客先到达目的地 (速度单位都相同,且a≠b)
解:设路程为单位“1”,则甲旅客所用时间为+=,乙旅客所用时间为.
∴-==.
∵a≠b,a>0,b>0,∴-=>0,∴>,∴乙旅客先到达目的地.
[方法点拨] 比较两个数大小的常用方法有:直接比较法、利用数轴法、绝对值法、求差法、求商法等.
5.甲、乙两人两次到某粮店去买大米,两次的大米价格分别为每千克a元和b元,甲每次买100千克大米,乙每次买100元的大米,请问谁两次买的大米平均价格更低些 并说明理由.
解:甲的平均价格为=(元/千克).
乙的平均价格为=(元/千克).
∵-=≥0,
∴当a=b时,两人买的大米平均价格一样;
当a≠b时,乙买的大米平均价格更低些.(共13张PPT)
第2课时 分式的约分与通分
1.约分与最简分式
根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的 约去,叫作分式的约分.
分子与分母没有 的分式,叫作最简分式.
温馨提示:约分的基本步骤:
①若分子、分母都是单项式,则约去系数的 ,并约去公共字母的 ;
公因式
公因式
最大公约数
最低次幂
②若分子、分母含有多项式,则先将多项式 ,然后约去分子、分母所有的 .
注意:
①约分前后分式的值要相等.
②约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.
③约分是对分子、分母的整体进行的,也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式.
分解因式
公因式
2.通分与最简公分母
根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的 的分式,叫作分式的通分.
一般取各分母的所有因式的 的积作公分母,它叫作最简公分母.
温馨提示:确定几个分式的最简公分母的一般步骤:
(1)分母为多项式的先 ;
(2)系数:各分式分母系数的 ;
(3)字母:各分母的所有字母的 ;
(4)多项式:各分母所有多项式因式的 ;
(5)将(2)(3)(4)中的因式写成 的形式.
同分母
最高次幂
分解因式
最小公倍数
最高次幂
最高次幂
积
思考:分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点 这些做法的根据是什么
共同点 约分 通分
分数 找分子与分母的最大公约数 找所有分母的最小公倍数
分式 找分子与分母的公因式 找所有分母的最简公分母
依据 分数或分式的基本性质 约分:
(1);
(2);
解:原式==-.
解:原式==.
(3);
解:原式==-.
(4);
解:原式==.
(5).
解:原式==.
[方法点拨] 找最大公因式的方法:①找分子、分母的系数的最大公约数;②找分子、分母中相同的字母或因式(是多项式时一定要分解因式);③相同的字母或因式取次数最低的.另外,在约分过程中要注意对分子、分母符号的处理.
1.将分式约分时,分子分母应同时除以( )
A.5m B.5mx C.5mx2 D.10mx2
2.约分:
(1);
解:(1)原式=-=-.
(2);
(2)原式==.
(3).
(3)原式==2(x-y).
C
通分:
(1)与;
(2)与;
解:最简公分母是2a2b2c.
∴==,
==.
解:最简公分母是2a2b2c.
∴==,
==.
(3)与.
解:最简公分母是x(x+y)(x-y).
∴===,
===.
3.(2024·自贡)把,,通分过程中,不正确的是( )
A.最简公分母是(x-2)(x+3)2 B.=
C.= D.=
4.将分式,,通分后,它们分别变为 , ,
.
D
先化简,再求值:,其中a=2,b=-.
解:原式=
==.
当a=2,b=-时,原式==.
5.先化简,再求值:,其中x=-2,y=3.
解:原式==.
当x=-2,y=3时,原式==-.
