(共17张PPT)
13.2.2 三角形的中线、
角平分线、高
1.下列各图中,作AC边上的高,正确的是( )
D
2.(2024·浙江)王伯伯要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子,则图中他所作的线段AD应该是△ABC的( )
A.角平分线 B.中线
C.高线 D.以上都不是
B
3.下列说法错误的是( )
A.三角形的高、中线、角平分线都是线段
B.三角形的三条中线都在三角形内部
C.锐角三角形的三条高一定交于同一点
D.三角形的三条高、三条中线、三条角平分线都交于同一点
D
4.如图,AD,AM,AH分别为△ABC的角平分线、中线和高.因为AD是△ABC的角平分线,所以∠ =∠CAD=∠ ;因为AM是△ABC的中线,所以
= =BC;因为AH是△ABC的高,所以∠ =∠ =90°.
BAD
BAC
BM
CM
AHB
AHC
5.(1)如图,在△ABC中,E是中线AD的中点.若△ACE的面积是1,则△ABD的面积是 ;
(2)如图,DE∥BC,CD是△ABC的角平分线,∠ACB=60°,那么∠EDC=
度;
(3)如图,BD,CE是△ABC的高.若AB=4,AC=6,CE=5,则BD的长度是 .
2
30
6.如图,在△ABC中,AE是BC边上的高.
(1)若AD是边BC上的中线,AE=5cm,S△ABC=30cm2,求CD的长;
解:(1)∵AD,AE分别是BC边上的中线和高,AE=5cm,
S△ABC=30cm2,
∴BC==12 cm,
∴CD=6cm.
(2)若AD是∠BAC的平分线,∠B=30°,∠C=60°,求∠DAE的度数.
(2)∵∠B=30°,∠C=60°,∴∠BAC=90°.
又∵AD为∠BAC的平分线,
∴∠DAC=45°,
∴∠ADC=180°-∠DAC-∠C=75°.
又∵AE⊥BC,
∴∠DAE=90°-∠ADC=15°.
7.如图,在△ABC中,CE=2BE,点D为AC的中点,连接AE,DE,取DE的中点F,连接AF.若△AEF的面积是1,则△ABC的面积是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
C
8.如图,AD是△ABC的高,CF是△ABC的角平分线,点E是AC的中点.若∠ACB=50°,∠BAD=65°,则∠AFC的度数为 ;若△BCE与△BAE的周长差为3,AB=7,则BC= .
50°
10
9.(1)如图,在△ABC中,D,F为BC上的点,且F为CD的中点,CD=2BD,连接AD,E是AD的中点,连接BE,EF,EC.若S△DEF=3,则△ABC的面积是 ;
(2)如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,BC的中点,连接AE,CD交于点F.当△AFD的面积为时,△ABC的面积为 .
18
21
10.在△ABC(AB>BC)中,AC=2BC,BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分,求AB和AC的长.
解:∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD.
设BD=CD=x,AB=y,则AC=4x,BC=2x.
分两种情况讨论:
①若AC+CD=60,AB+BD=40,
则4x+x=60,x+y=40,解得x=12,y=28,
∴AB=28,AC=4x=48,BC=2x=24,
符合三角形的三边关系;
②若AC+CD=40,AB+BD=60,
则4x+x=40,x+y=60,解得x=8,y=52,
∴AB=52,AC=4x=32,BC=2x=16,不符合三角形的三边关系.
综上,AB=28,AC=48.
11.如图,△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O,连接DE.下列结论:①AO是△ABE的角平分线;②BO是△ABD的中线;③DE是△ACD的中线;④ED是△EBC的角平分线.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
12.(1)在△ABC中,AD为边BC上的高,∠ABC=30°,∠CAD=20°,则∠BAC的度数为 ;
(2)如图,在△ABC中,CF,BE分别是AB,AC边上的中线(即点O为△ABC的重心).若AE=2,AF=3,且△ABC的周长为15,则BC= ;若OF=1.5,则CF= ;若S△COE=3,则S四边形AFOE= .
40°或80°
5
4.5
6
13.阅读下列材料:
阳阳同学遇到这样一个问题:如图1,在△ABC中,AB=AC,BD是△ABC的高,P是BC边上一点,PM,PN分别与直线AB,AC垂直,垂足分别为M,N.求证:BD=PM+PN.阳阳发现,连接AP,有S△ABC=S△ABP+S△ACP,即AC·BD=AB·PM+AC·PN.由AB=AC,可得BD=PM+PN.他又画出了当点P在CB的延长线上,且上面问题中其他条件不变时的图形,如图2.他猜想此时BD,PM,PN之间的数量关系是:BD=PN-PM.
(1)请补全阳阳同学证明猜想的过程:
证明:连接AP.
∵S△ABC=S△ACP- ,
∴AC·BD=AC· -AB· .
∵AB=AC,∴BD=PN-PM.
S△ABP
PN
PM
(2)参考阳阳同学思考问题的方法,解决下列问题:
在△ABC中,AB=AC=BC,BD是△ABC的高.P是△ABC所在平面上一点,PM,PN,PQ分别与直线AB,AC,BC垂直,垂足分别为M,N,Q.
①如图3,若点P在△ABC的内部,试猜想BD,PM,PN,PQ之间的数量关系,并写出推理过程;
解:(2)①BD=PM+PN+PQ.
如图3,连接AP,BP,CP.
∵S△ABC=S△ABP+S△ACP+S△BPC,
∴AC·BD=AB·PM+AC·PN+BC·PQ.
∵AB=AC=BC,∴BD=PM+PN+PQ.
②若点P在如图4所示的位置,探究此时BD,PM,PN,PQ之间的数量关系是: .(直接写出结论即可)
②提示:如图4,连接AP,BP,CP,过点P分别作AB,AC,BC的垂线,垂足为M,N,Q,
则S△ABC=S△ABP+S△BCP-S△ACP.
BD=PM+PQ-PN (共15张PPT)
13.2.1 三角形的边
1.如图,工人师傅砌门时,常用木条EF固定矩形门框ABCD,使其不变形,这种做法的依据是( )
A.两点之间,线段最短
B.两点确定一条直线
C.三角形的稳定性
D.长方形的四个角都是直角
C
2.(2025·重庆育才)下列长度的三条线段能构成三角形的是( )
A.6,11,5 B.2,8,5
C.3,4,6 D.2,3,7
3.若x,y为等腰三角形的两边,且满足+(y-6)2=0,则这个等腰三角形的周长为( )
A.16 B.14
C.10 D.16或14
C
D
4.下列图形中,具有稳定性的是 .(填序号)
5.(1)如果等腰三角形的一边长是5cm,另一边长是10cm,那么这个等腰三角形的周长为 cm;
(2)在△ABC中,a=7,b=3,c=2x+2,其中c的长是偶数,则x的值是 .
①②
25
2或3
6.已知a,b,c是△ABC的三边,a=4,b=6,且三角形的周长是大于14的偶数.
(1)求c的值;
解:(1)∵6-4
又∵三角形的周长是大于14的偶数,
∴c>4,且c为偶数.∴c=6或8.
(2)判断△ABC的形状.
(2) ∵当c=6时,b=c=6,a=4,此时△ABC为等腰三角形;
当c=8时,a=4,b=6,
此时△ABC为不等边三角形.
7.如图,工人师傅做了一个长方形窗框ABCD,E,F,G,H分别是四条边上的中点,为了使它稳固,需要在窗框上钉一根木条,这根木条不应钉在( )
A.A,C两点之间
B.E,G两点之间
C.B,F两点之间
D.G,H两点之间
B
8.(2024·山东)若a,b,c为△ABC的三条边,且a,b满足(a-4)2+|b-3|=0,第三条边c为整数,则△ABC的周长的最小值为( )
A.8 B.9 C.10 D.11
9.(1)已知三角形的三边长分别为4,x,11,则化简+= ;
(2)已知a,b,c是三角形的三边长,则化简+-= .
B
11
-a+b+c
10.若三边均不相等的三角形的三边a,b,c满足a-b>b-c(a为最长边,c为最短边),则称它为“不均衡三角形”.例如,一个三角形的三边长分别为7,5,4,∵7-5>5-4,∴这个三角形为“不均衡三角形”.
(1)下列4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为 ;(填序号)
①4cm,2cm,1cm; ②13cm,18cm,9cm;
③9cm,8cm,6cm; ④19cm,20cm,19cm.
②
(2)已知“不均衡三角形”的三边长分别为2x+2,16,2x-6,其中x为整数,求x的值.
解:(2)分情况讨论:
①当2x+2>16>2x-6,即7有解得x>9,
∴9∵x为整数,∴x=10;
②当16>2x+2>2x-6,即x<7时,
有解得
∴此不等式组无解,∴此种情况不存在;
综上,x的值为10,12,13或14.
③当2x+2>2x-6>16,即x>11时,
有解得x<15,
∴11∵x为整数,∴x=12或13或14.
11.若二元一次方程组的解x,y的值恰好是一个等腰三角形两边的长,且这个等腰三角形的周长为7,则m的值为( )
A.1.5 B.2 C.4 D.2或4
B
12.(2025·重庆巴蜀)已知关于x的不等式组至少有2个整数解,且存在边长为4,a,6的三角形,则所有满足条件的整数a的值之和为 .
解析:解不等式≤0,得x≤,解不等式-2x+1<-1,得x>1.∵不等式组至少有2个整数解,∴≥3,即a≥6.∵存在以4,a,6为边的三角形,∴230
13.有长度分别为3 cm与4 cm的木棒若干,现利用这两种型号的木棒拼成等腰三角形.(两种型号的木棒均要使用,且每边只能用一种型号的木棒,两腰用同种型号的木棒)
(1)若用两根4 cm的木棒作为等腰三角形的底边长,要拼出周长为38 cm的等腰三角形,则用3 cm的木棒拼成腰,共需要多少根
解:(1)∵腰长==15(cm),
∴共需要15÷3×2=10(根).
(2)若要拼出周长为72 cm的等腰三角形,则两种型号的木棒各需要多少根
(2)设3 cm的一边需要x根,4 cm的一边需要y根.
分情况讨论:
①以3 cm的木棒为腰,4 cm的木棒为底,且满足两边之和大于第三边,则6x+4y=72,且6x>4y.
∵x,y为正整数,
∴x=8,y=6或x=10,y=3.
∴需要3 cm的木棒16根,4 cm的木棒6根或需要3 cm的木棒20根,4 cm的木棒3根;
②以4 cm的木棒为腰,3 cm的木棒为底,且满足两边之和大于第三边,则3x+8y=72,且3x<8y.
∵x,y为正整数,
∴x=8,y=6.
∴需要3 cm的木棒8根,4 cm的木棒12根.
综上,需要3 cm的木棒16根,4 cm的木棒6根或需要3 cm的木棒20根,4 cm的木棒3根或需要3 cm的木棒8根,4 cm的木棒12根.(共11张PPT)
专题二 [提升]
三角形相关基本图形的应用(二)
1.“8字”模型及“8字”模型加角平分线
如图1,∠A+∠B=∠C+∠D;
如图2,AP平分∠BAD,CP平分∠BCD,则2∠P=∠B+∠D.
2.“飞镖”模型及“飞镖”模型加角平分线
如图1,∠BCD=∠A+∠B+∠D,AB+AD>BC+CD;
如图2,BO平分∠ABC,DO平分∠ADC,则∠O=(∠A+∠C);
如图3,AO平分∠BAD,CO平分∠BCD,则∠O=(∠D-∠B).
1.如图1,线段AB,CD相交于点O,连接AD,BC.
(1)求证:∠A+∠D=∠B+∠C;
(1)证明:易知∠A+∠D+∠AOD
=∠B+∠C+∠BOC=180°.
∵∠AOD=∠BOC,
∴∠A+∠D=∠B+∠C.
(2)如图2,延长AD,CB交于点E,分别在CD,AB的延长线上取点F,G,连接FG,分别交AE,CE于点M,N.求∠A+∠C+∠G+∠E+∠F的度数;
(2)解:如答案图,连接AC.
∵∠F+∠G+∠FOG=∠OAC+∠OCA+∠AOC=180°,
∠AOC=∠FOG,
∴∠F+∠G=∠OAC+∠OCA.
∵∠EAC+∠ECA+∠E=180°,
∴∠EAO+∠ECO+∠G+∠E+∠F=180°.
(3)如图3,若将图2中的每个角都截去,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N= 度.
1 080
2.【模型】如图1,AD,BC交于点O,则∠A+∠B=∠C+∠D.
【模型应用】如图2,∠BAD和∠BCD的平分线交于点E.
(1)若∠B=40°,∠D=30°,求∠E的度数;
解:(1)设AD与CE交于点M,AE与BC交于点N,如答案图.
易证∠D+∠MCD=∠E+∠MAE,∠E+∠NCE=∠B+∠NAB,
∴∠D+∠MCD+∠B+∠NAB=2∠E+∠MAE+∠NCE.
∵AE,CE分别是∠BAD和∠BCD的平分线,
∴∠MCD=∠NCE,∠NAB=∠MAE,
∴∠B+∠D=2∠E,
即∠E=(∠B+∠D)=×(40°+30°)=35°.
(2)直接写出∠E与∠B,∠D之间的数量关系是 .
∠E=(∠B+∠D)
3.如图,∠ABD,∠ACD的平分线交于点P.若∠A=48°,∠D=10°,求∠P的度数.
解:法一:如答案图1,延长PC交BD于点E,设AC,PB交于点F.
易得∠A+∠ABF=∠P+∠PCF.
∵∠P+∠PBE=∠PED,∠PED=∠PCD-∠D,
∴∠P+∠PBE=∠PCD-∠D,
∴2∠P+∠PCF+∠PBE=∠A-∠D+∠ABF+∠PCD.
∵PB,PC分别平分∠ABD,∠ACD,
∴∠ABF=∠PBE,∠PCF=∠PCD,
∴2∠P=∠A-∠D.
∵∠A=48°,∠D=10°,
∴∠P=19°.
法二:如答案图2,延长DC交AB于点E,设AC,PB交于点F.
∵∠ACD=∠A+∠AEC=48°+∠AEC,
∠AEC=∠ABD+∠D=∠ABD+10°,
∴∠ACD=48°+∠ABD+10°,
∴∠ACD-∠ABD=58°.
易得∠P+∠PCF=∠A+∠ABF.
又∵BP,CP分别平分∠ABD,∠ACD,
∴∠P+∠ACD=∠A+∠ABD,
∴∠P=∠A-(∠ACD-∠ABD)=19°.
4.如图1所示的图形,像我们常见的符号——箭号,我们不妨把这样的图形叫作“箭头四角形”.
(1)【探究】观察“箭头四角形”,试探究∠BDC与∠A,∠B,∠C之间的关系,并说明理由;
解:(1)∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.理由如下:
如答案图,连接AD并延长至点E.
∵∠BDE=∠BAD+∠B,
∠CDE=∠CAD+∠C,
∠BDC=∠BDE+∠CDE,
∠BAC=∠BAD+∠CAD,
∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.
(2)【应用】请你直接利用(1)问结论,解决下列两个问题:
①如图2,把一块三角尺XYZ放置在△ABC上,使三角尺的两条直角边XY,XZ恰好经过点B,C.若∠A=60°,则∠ABX+∠ACX= ;
②如图3,∠ABE,∠ACE的2等分线(即角平分线)BF,CF相交于点F.若∠BAC=60°,∠BEC=130°,求∠BFC的度数;
(2)②由(1)知,∠BEC=∠BAC+∠ABE+∠ACE.
∵∠BAC=60°,∠BEC=130°,
∴∠ABE+∠ACE=∠BEC-∠BAC=70°.
∵BF平分∠ABE,CF平分∠ACE,
∴∠ABF=∠ABE,∠ACF=∠ACE,
∴∠BFC=∠BAC+∠ABF+∠ACF=∠BAC+
(∠ABE+∠ACE)=95°.
30°
(3)【拓展】如图4,BOi,COi分别是∠ABO,∠ACO的2 025等分线(i=1,2,3,…,2 023,2 024),它们的交点从上到下依次为O1,O2,O3,…,O2 024.已知∠BOC=m°,∠BAC=n°,则∠BO1 000C= (用含m,n的式子表示). (共15张PPT)
13.3.1 三角形的内角
1.(2025·成都石室)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=65°,过点A作EF∥BC,则∠FAC的度数是( )
A.60° B.45° C.30° D.25°
D
2.如图,李明同学在东西方向的滨海路A处,测得海中灯塔P在北偏东60°方向上,他向东走300米至B处,测得灯塔P在北偏东30°方向上,则从灯塔P观测A,B两处的视角∠P的度数是( )
A.30° B.32° C.35° D.40°
A
3.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,则△ABC是( )
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等腰直角三角形
4.(1)在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5,则最大角的度数为 ;
(2)在△ABC 中,∠A=108°,∠B=2∠C,则∠B的度数为 .
C
100°
48°
5.(1)如图,在△ABC中,∠ABC=62°,BD是角平分线,CE是高,BD与CE相交于点O,则∠BOC的度数是 ;
(2)如图,在△ABC中,∠B,∠C的平分线交于点O.若∠BOC=132°,则∠A= .
121°
84°
6.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,点P为AD上一点,PE⊥AD交BC的延长线于点E.若∠B=35°,∠ACB=85°,求∠E的度数.
解:∵∠B=35°,∠ACB=85°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-35°-85°=60°.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=×60°=30°,
∠ADC=180°-∠CAD-∠ACB=65°,
∵PE⊥AD,
∴∠DPE=90°,
∴∠E=90°-∠PDE=90°-65°=25°.
7.如图,在△ABC中,BD⊥AC,BE平分∠ABC.若∠A=2∠C,∠DBE=20°,则∠ABC= ( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
B
8.(1)在△ABC中,∠B=∠A+5°,∠C=3∠B-15°,则∠A 的度数为 ,△ABC 是 三角形;
(2)在△ABC中,将∠B,∠C按如图所示的方式折叠,点B,C均落于边BC上的点Q处,线段MN,EF为折痕.若∠A=82°,则∠MQE= °.
35°
钝角
82
9.如图,在△ABC中,∠B=∠C,FD⊥BC,DE⊥AB,∠AFD=158°,则∠EDF的度数为 ;
68°
10.如图1,在△ABC中,点D,E在边BC上,AE平分∠BAC,AD⊥BC.
(1)若∠B=30°,∠C=70°,求∠EAD的大小;
解:(1)∵∠B=30°,∠C=70°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°.
∵AE平分∠BAC,∴∠EAC=∠BAC=40°.
∵AD⊥BC,∠C=70°,∴∠DAC=90°-∠C=20°.
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=20°.
(2)若∠B<∠C,则2∠EAD与∠C-∠B之间有怎样的数量关系 请说明理由;
(2)2∠EAD=∠C-∠B.理由如下:
由(1)知,∠EAD=∠EAC-∠DAC
=∠BAC-(90°-∠C).
把∠BAC=180°-∠B-∠C代入上式,整理得∠EAD=∠C-∠B,
∴2∠EAD=∠C-∠B.
(3)如图2,若把“AD⊥BC”变成“点F在EA的延长线上,FD⊥BC”,其他条件不变,2∠F与∠C-∠B相等吗 请说明理由.
(3)相等.理由如下:
过点A作AG⊥BC于点G,
则AG∥FD,∴∠F=∠EAG.
所以问题转化为用第(2)问方法求解即可.
11.如图,在△ABC中,BE,CF分别是∠ABC,∠ACB的平分线,BE与CF交于点O,连接AO并延长交BC于点D.若∠AOE=60°,则∠ACB的度数是( )
A.55° B.70° C.60° D.65°
C
12.如图,将一张三角形纸片ABC的一角折叠,使得点A落在点A'的位置,折痕为DE.若∠A=30°,∠C=40°,点E是AB边上的固定点,点D是AC边上一动点,将纸片沿DE折叠,使A'D与三角形纸片ABC的其中一边平行,则∠AED= .
75°或130°或40°
13.如图,在△ABC和△DEF中,∠A=40°,∠E+∠F=70°.将△DEF放置在△ABC上,使得∠D的两条边DE,DF分别经过点B,C.
(1)当将△DEF按图1放置在△ABC上时,∠ABD+∠ACD= °;
(2)当将△DEF按图2放置在△ABC上时:
①请求出∠ABD+∠ACD的大小;
解:(2)①在△ABC中,∠A=40°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°.
在△DEF中,∠E+∠F=70°,
∴∠D=180°-70°=110°.
∴∠DBC+∠DCB=180°-110°=70°.
∴∠ABD+∠ACD=(∠ABC-∠DBC)+(∠ACB-∠DCB)=70°.
210
②能否将△DEF摆放到某个位置,使得BD,CD同时平分∠ABC和∠ACB 若能,直接写出∠D与∠A的关系;若不能,请说明理由.
②能,∠D=90°+∠A.理由如下:
当BD,CD同时平分∠ABC和∠ACB时,
∠DBC+∠DCB=(∠ABC+∠ACB)=(180°-∠A).
∵∠DBC+∠DCB=180°-∠D,
∴∠D=90°+∠A.(共12张PPT)
13.1 三角形的概念
1.假设某人用绳索围出了如下四个图形,其中符合三角形概念的图形是( )
D
2.如图表示三角形的分类,则A区域表示的是( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.三边都不相等的三角形
3.如图所示,其中三角形的个数有( )
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
D
D
4.三角形按角分类可以分为锐角三角形,直角三角形和 .
5.小明同学将几种三角形的关系整理如图,请帮他在图中括号内填上一个适当的条件是 .
钝角三角形
AB=BC(答案不唯一)
6.如图所示.
(1)图中共有 个三角形,它们分别
是 ;
(2)△BEG的三个顶点分别是 ,三条
边分别是 ,三个角分别是 ;
(3)在△AEF中,顶点A所对的边是 ,边AF所对的顶点是 ;
(4)∠ACB是△ 的内角,∠ACB的对边是 .
4
△ABC、△BEG、△AEF、△CFG
B,E,G
BE,EG,GB
∠B,∠BEG,∠BGE
EF
E
ABC
AB
7.下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡,其中不能判断三角形类型的是( )
C
8.下列说法正确的是( )
A.钝角三角形一定不是等腰三角形
B.直角三角形一定不是等腰三角形
C.等腰三角形一定是锐角三角形
D.等边三角形一定是锐角三角形
D
9.图1是一个三角形,分别连接这个三角形三边的中点得到图2;再分别连接图2中间小三角形的中点,得到图3.(若三角形中含有其他三角形则不计入)图2中有4个三角形;图3中有7个三角形.按上面的方法继续下去,第20个图形中有 个三角形;第n个图形中有 个三角形.(用含n的代数式表示)
58
(3n-2)
10.在如图所示的方格中,以AB为一边,以小正方形的格点为顶点,画出符合下列条件的三角形,并把相应的三角形用字母表示出来.
(1)钝角三角形;
(2)等腰直角三角形;
(3)等腰锐角三角形.
解:(答案不唯一)
(1)△ABC为所作的钝角三角形,如答案图所示.
(2)△ABD为所作的等腰直角三角形,如答案图所示.
(3)△ABE为所作的等腰锐角三角形,如答案图所示.
11.如图,在△ABC中,∠ACB是钝角,让点C在射线BD上向右移动,则( )
A.△ABC将先变成直角三角形,然后再变成
锐角三角形,而不会再是钝角三角形
B.△ABC将变成锐角三角形,而不会再是钝
角三角形
C.△ABC将先变成直角三角形,然后再变成
锐角三角形,接着又由锐角三角形变为钝角
三角形
D.△ABC先由钝角三角形变为直角三角形,
再变为锐角三角形,接着又变为直角三角形,
然后再次变为钝角三角形
D
12.如图,图①中有1个三角形,在图①中的三角形内部(不含边界)取一点,连接该点与三角形的3个顶点得到图②,图②中共有4个三角形.若在图②中的一个小三角形内部(不含边界)取一点,连接该点与该小三角形的3个顶点得到图③.在虚线框中画出图③,图③中共有 个三角形.(写出所有可能的值)
作图如答案图.
7或9
13.如图,在△ABC中,AE⊥BC,点E是垂足,点D是边BC上的一点,连接AD.
(1)写出△ABE的三个内角;
解:(1)△ABE的三个内角分别是:∠BAE,∠B,∠AEB.
(2)在△ABD中,∠B的对边是 ;在△ABC中,∠B的对边是 ;
AD
AC
(3)图中共有几个三角形 把它们分别写出来.这些三角形中,哪些是直角三角形 哪些是锐角三角形 哪些是钝角三角形
(3)图中共有6个三角形,分别是:△ABD,△ABE,△ABC,△ADE,△ADC,△AEC.
这些三角形中,直角三角形是:△ABE,△ADE,△AEC;
锐角三角形是:△ABC,△ADC;
钝角三角形是:△ABD.
(4)∠ADC是哪几个三角形的公共角
(4)∠ADC是△ADE和△ADC的公共角.(共15张PPT)
13.3.2 三角形的外角
1.如图,在△ABC中,∠A=40°,外角∠ACD=100°,则∠B的度数是( )
A.70° B.80° C.60° D.40°
2.(2024·大连)一副三角板按如图所示方式叠放在一起,则图中∠α的度数是( )
A.55° B.60° C.65° D.75°
C
D
3.如图,若∠A=27°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于( )
A.120°
B.115°
C.110°
D.105°
C
4.(1)如图,点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,且DE∥BC,点F在边BC的延长线上.若∠ADE=28°,∠ACF=118°,则∠A= ;
(2)如图,△ADC是45°的直角三角板,△ABE是30°的直角三角板.若BE与CD交于点F,则∠BFD的度数为 .
90°
15°
5.(1)如图,在△ABC中,若DE∥BC,FG∥AC,∠BDE=120°,∠DFG=115°,则∠C= °;
(2)在如图所示的五角星中,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为 .
55
180°
6.如图,在△ABC中,∠A=30°,∠ACB=80°,△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E.
(1)求∠CBE的度数;
解:(1)在△ABC中,∠A=30°,∠ACB=80°,
∴∠CBD=∠A+∠ACB=110°.
∵BE是∠CBD的平分线,
∴∠CBE=∠CBD=55°.
(2)过点D作DF∥BE,交AC的延长线于点F,求∠F的度数.
(2)∵∠ACB=80°,∠CBE=55°,
∴∠CEB=∠ACB-∠CBE=25°.
∵DF∥BE,∴∠F=∠CEB=25°.
7.(2025·重庆巴蜀)如图,在△ABC中,将△ABC沿直线m折叠,点B落在点D的位置,若∠B=30°,∠2=25°,则∠1的度数是( )
A.90° B.85° C.75° D.60°
B
8.(1)如图,AD是△ABC的角平分线,CE是△ABC的高,∠BAC=60°,
∠BCE=50°,则∠ADC的度数为 ;
(2)如图,在△ABC中,∠B=46°,三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E,则∠AEC的度数为 .
70°
67°
9.(2024·江苏)如图是某种可调节躺椅的示意图,AE与BD的交点为C,∠CAB=50°,∠CBA=60°,∠CEF=30°.为了舒适,需调整∠CDF大小,使∠EFD=120°,且∠CAB、∠CBA、∠CEF保持不变,则图中∠CDF应调整为 度.
20
10.如图,BD是△ABC的角平分线,H是CB的延长线上一点,过点H作DB的平行线,交AB于点N,交AC于点G,F是BD的延长线上一点,连接FG并延长,交AB于点M.
(1)当∠1=80°,∠A=20°时,直接写出:∠2= °,∠C= °;
(2)若∠BMF=∠A+∠C,求证:∠2=∠3.
证明:∵∠BMF=∠A+∠C,∠BMF=∠A+∠AGM,
∴∠AGM=∠C,∴MF∥CH,
∴∠F=∠CBD.
∵BD是△ABC的角平分线,
∴∠CBD=∠ABD,
∴∠ABD=∠F.
∵HG∥BD,∴∠F=∠3,∠ABD=∠2,
∴∠2=∠3.
60
40
11.如图,四边形ABCD的两组对边AD,BC与AB,DC的延长线分别交于点E,F,∠AEB,∠AFD的平分线交于点P,∠A=64°,∠BCD=136°,则下列结论:①∠EPF=100°;②∠ABC+∠ADC=160°;③∠PEB+∠PFC+∠EPF=136°;④∠PEA+∠PFA=36°.其中正确的是( )
A.①②③ B.②③④
C.①③④ D.①②③④
D
12.如图,在△ABC中,∠A=60°,BD,CD分别平分∠ABC,∠ACB,M,N,Q分别在DB,DC,BC的延长线上,BE,CE分别平分∠MBC,∠BCN,BF,CF分别平分∠EBC,∠ECQ,则∠F= .
15°
13.在△ABC中,∠ABC=∠ACB,BD平分∠ABC,BD的延长线交△ABC的外角∠ACM的平分线于点E,直线CE与直线AB交于点F.
(1)如图1,当∠BAC>90°时,探究∠CDE与∠F的关系.
①当∠ABC=26°时,求∠CDE,∠F的大小;
解:(1)①∵∠ABC=∠ACB,∠ABC=26°,BD平分∠ABC,
∴∠CDE=∠CBD+∠ACB=∠ABC+∠ABC=∠ABC=39°.
∵CF平分∠ACM,
∴∠F=∠MCF-∠ABC=∠ACM-∠ABC
=(180°-∠ACB)-∠ABC=(180°-∠ABC)-∠ABC
=90°-∠ABC=51°.
②当∠ABC=38°时,求∠CDE,∠F的大小;
②当∠ABC=38°时,∠CDE=∠ABC=57°,
∠F=90°-∠ABC=33°.
③由上述结果可以猜想当∠ABC的大小发生变化时,∠CDE与∠F之间的数量关系保持不变,这个数量关系用等式表示为 ;
∠CDE+∠F=90°
(2)如图2,当∠BAC<90°时,∠CDE与∠F之间又有怎样的数量关系呢 写出你的结论并证明.
(2)∠CDE-∠F=90°.证明如下:
同(1)可证∠CDE=∠ABC.
∵CE平分∠ACM,
∴∠BCF=∠MCE=∠ACM=(180°-∠ACB)=(180°-∠ABC).
在△BCF中,∠F=∠ABC-∠BCF=∠ABC-(180°-∠ABC)=∠ABC-90°,
∴∠F=∠CDE-90°,∴∠CDE-∠F=90°.(共18张PPT)
《三角形》
章末考点复习与小结
1.(2025·重庆一中)下列各组中的三条线段能组成三角形的是( )
A.3,4,8 B.5,6,11
C.5,6,10 D.4,4,8
2.已知三角形三边的长分别为1,2,x,则x的取值范围在数轴上表示为( )
C
A
3.已知一个三角形的三条边长均为正整数.若其中仅有一条边长为5,且它不是最短边,则满足条件的三角形的个数为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
解析:①当5是最大的边长时,可能的情况有2,4,5;3,3,5;3,4,5;4,4,5,共四种情况.②当5是第二大的边长时,可能的情况有2,5,6;3,5,6;3,5,7;4,5,6;4,5,7;4,5,8,共六种情况.综上,共有10个满足条件的三角形.故选D.
D
4.已知a,b,c是△ABC的三条边长,则化简-的结果为 .
0
5.a,b,c分别为△ABC的三边,且满足a+b=3c-2,a-b=2c-6.
(1)求c的取值范围;
解:(1)①当a-b≥0时,a-b∴
解得3≤c<6;
②当a-b<0时,b-a∴
解得2综上所述,2(2)若△ABC的周长为18,求c的值.
(2)∵△ABC的周长为18,a+b=3c-2,
∴a+b+c=4c-2=18,
解得c=5.
6.如图,AE,BD是△ABC的高线,AE=6cm,BD=5cm,BC=8cm,则AC的长度是( )
A.8cm B.8.6cm
C.9cm D.9.6cm
D
7.如图,在△ABC中,∠1=∠2,G为AD的中点,延长BG交AC于点E,且满足BE⊥AC,F为AB上一点,且CF⊥AD于点H,则下列结论中正确的个数是( )
①线段AG是△ABE的角平分线;②线段BG是△ABD的边AD上的中线;③线段AE是△ABG的边BG上的高;④∠1+∠FBC+∠FCB=90°.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
D
8.如图,D,E分别是△ABC的边BC,AB边上的中点,F是AD上一点,且3AF=FD.若阴影部分的面积为9,则△ABC的面积是( )
A.18 B.16 C.15 D.14
B
9.(1)如图,在△ABC中,点E在AC上,点D在BE上,已知AE=2CE,BE=3DE.若S△CDE=1,则△ABD的面积为 ;
(2)如图,在△ABC中,AB=AC,AC边上的高BD=4,P为BC上一点,PE⊥AC于点E,PF⊥AB于点F,则PE+PF的值为 ;
4
4
(3)如图,△ABC的面积为1,第一次操作:分别延长AB,BC,CA至点A1,B1,C1,使A1B=AB,B1C=BC,C1A=CA,顺次连接A1,B1,C1,得到△A1B1C1;第二次操作:分别延长A1B1,B1C1,C1A1至点A2,B2,C2,使A2B1=A1B1,B2C1=B1C1,C2A1=C1A1,顺次连接A2,B2,C2,得到△A2B2C2;…;按此规律,则△A3B3C3的面积为 .
343
10.如图,AD是△ABC的中线,BE是△ABD的中线,过点E作EF⊥BC,垂足为F.
(1)若∠ABC=35°,∠EBD=18°,∠BAD=55°,求∠BED的度数;
解:(1)∵∠ABC=35°,∠EBD=18°,
∴∠ABE=35°-18°=17°,
∴∠BED=∠ABE+∠BAD=17°+55°=72°.
(2)若△ABC的面积为30,EF=5,求CD的长.
(2)∵AD是△ABC的中线,
∴S△ABD=S△ABC=×30=15.
又∵BE是△ABD的中线,
∴S△BDE=S△ABD=.
∵EF⊥BC,且EF=5,
∴S△BDE=BD·EF,即BD×5=,
∴BD=3,∴CD=BD=3.
11.【跨学科融合】如图,一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后,其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P,点F为焦点.若∠1=155°,∠2=30°,则∠3的度数为( )
A.45° B.50° C.55° D.60°
C
12.(1)(2025·重庆八中)如图,在△ABC中,∠ABC=80°,∠ACB=40°,AE平分∠BAC,AD是BC边上的高,则∠DAE的度数是 ;
(2)如图,在△ABC中,点D是BC上的点,∠BAD=∠ABC=40°.将△ABD沿着AD翻折得到△AED,则∠CDE的度数为 .
20°
20°
13.(2025·重庆巴蜀)已知在△ABC中,点D是AC延长线上的一点,过点D作DE∥BC,DG平分∠ADE,BG平分∠ABC,DG交直线BC于点F,DG与BG交于点G.
(1)如图1,若∠ACB=90°,∠A=50°,求出∠G的度数;
(1)解:∵∠ACB=90°,∠A=50°,∴∠ABC=40°.
∵BG平分∠ABC,
∴∠CBG=20°.
∵DE∥BC,
∴∠CDE=∠BCD=90°,∠BFD=∠FDE.
∵DG平分∠ADE,
∴∠BFD=∠CDF=∠FDE=∠CDE=45°,
∴∠G=∠BFD-∠CBG=45°-20°=25°.
(2)如图2,若∠ACB≠90°,试判断∠G与∠A的数量关系,并证明你的结论;
(2)解:∠A=2∠G,证明如下:
由(1)可知,∠CDF=∠CFD,
设∠ABG=x,∠CDF=y,
∵∠ACB=∠DCF,
∴∠A+∠ABC=∠CDF+∠CFD,
即∠A+2x=2y,
∴y=∠A+x.
同理可得∠A+∠ABG=∠G+∠CDF,
∴∠A+x=∠G+y,即∠A+x=∠G+∠A+x,
∴∠A=2∠G.
(3)如图3,若FE∥AD,求证:∠DFE=∠ABC+∠G.
(3)证明:∵EF∥AD,
∴∠DFE=∠CDF,
由(1)可知,∠CFD=∠CDF,∴∠DFE=∠CFD.
∵∠DFC=∠G+∠FBG,
∴∠DFE=∠FBG+∠G=∠ABC+∠G.(共14张PPT)
专题一 [提升]
三角形相关基本图形的应用(一)
1.双(三)垂直模型
如图1,∠A=∠C,∠B=∠AFD=∠CFE;
如图2,∠B=∠CAD,∠C=∠BAD,AB·AC=AD·BC.
2.角平分线与高线(或垂线)夹角模型
如图1,AD,AE分别是△ABC的高和角平分线,则∠DAE=;
如图2,AE是△ABC的角平分线,FD⊥BC,则∠DFA=.
3.双角平分线模型
(1)两内角平分线的夹角模型
如图1,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线BE,CF交于点G,则∠BGC=90°+∠A.
(2)两外角平分线的夹角模型
如图2,在△ABC中,BO,CO是△ABC的外角平分线,则∠O=90°-∠A.
(3)内外角平分线的夹角模型
如图3,在△ABC中,BP平分∠ABC,CP平分∠ACB的外角,两条角平分线相交于点P,则∠P=∠A.
1.如图,在△ABC中,AB=8,BC=10,CF⊥AB于点F,AD⊥BC于点D,AD与CF交于点E,∠B=46°.
(1)求∠AEC的度数;
解:(1)∵CF⊥AB,∴∠CFB=90°.
∵∠B=46°,∴∠BCF=44°.
∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°,
∴∠AEC=∠ADC+∠BCF=90°+44°=134°.
(2)若AD=6,求CF的长.
(2)∵S△ABC=BC·AD=AB·CF,∴CF===.
2.已知,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,D是AB上一点,且∠ACD=∠B.
(1)如图1,求证:CD⊥AB;
(1)证明:∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠BCD=90°.
∵∠ACD=∠B,∴∠B+∠BCD=90°,
∴∠BDC=90°,∴CD⊥AB.
(2)将△ADC沿CD所在直线翻折,点A落在BD边所在的直线上,记为点A'.
①如图2,若∠B=34°,求∠A'CB的度数;
(2)解:①当∠B=34°时,∴∠ACD=34°.
由折叠知,∠A'CD=∠ACD=34°,
∴∠A'CB=∠ACB-2∠ACD=90°-68°=22°;
②若∠B=n°,请直接写出∠A'CB的度数(用含n的代数式表示).
②当∠B=n°,n≤45时,同①可得,∠A'CB=∠ACB-2∠ACD=90°-2n°;
当n>45时,由折叠知,∠ACD=∠A'CD=∠B=n°,
∴∠BCD=90°-n°,
∴∠A'CB=∠A'CD-∠BCD=n°-(90°-n°)=2n°-90°.
综上,∠A'CB的度数为90°-2n°或2n°-90°.
3.(1)如图1,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是∠BAC的平分线.若∠B=38°,∠C=70°,则∠DAE 的度数为 ;
(2)若(1)中∠B>∠C,其余条件不变,请直接写出∠DAE,∠B,∠C之间的数量关系;
解:(2)∠DAE=(∠B-∠C).
16°
变式:
(3)如图2,∠B=x,∠C=y,若把(1)中“AD是BC边上的高”改为“F是AE上一点,FD⊥BC于点D”,其余条件不变,试用含x,y的式子表示∠DFE的大小;
(3)∵∠EAC=∠BAC=(180°-x-y),
∴∠AEC=180°-∠C-∠EAC=180°-y-(180°-x-y)
=90°+x-y,
∴∠DFE=90°-∠AEC=(y-x).
(4)如图3,若把(3)中“F是AE上一点”改为“F是AE的延长线上一点”,其余条件不变,试用含x,y的式子表示∠DFE的大小.
(4)∵∠EAC=∠BAC=(180°-x-y),
∴∠AEC=180°-∠C-∠EAC=90°+x-y,
∴∠DEF=∠AEC=90°+x-y,
∴∠DFE=90°-∠DEF=(y-x).
4.如图,∠CBF,∠ACG是△ABC的外角,∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC,∠CBF的平分线BD,BE交于点D,E.
(1)求∠DBE的度数;
解:(1)∵∠DBG=∠ABC,∠EBG=∠CBF,
∴∠DBE=∠DBG+∠EBG=(∠ABC+∠CBF)=90°.
(2)若∠A=70°,求∠D的度数.
(2)∵∠ACG-∠ABC=∠A=70°,
∠DBG=∠ABC,∠DCG=∠ACG,
∴∠D=∠DCG-∠DBG=(∠ACG-∠ABC)=35°.
解:(1)②∠ABC=∠ACB.理由如下:
设∠CBE=x,∠ACB=y,则∠ABC=2x.
∵∠CEF=∠CBE+∠ACB,∴∠CEF=x+y.
∵∠CEF+∠P=90°,∴∠P=90°-x-y.
∵∠PCD=∠P+∠ABC,∴∠PCD=90°-x-y+2x=90°+x-y.
∵∠ACB+∠ACD=180°,∴∠ACD=180°-y.
∵CF平分∠ACD,∴∠PCD=∠ACD=(180°-y),则90°+x-y=(180°-y),
∴y=2x,即∠ABC=∠ACB.
5.如图,在△ABC中,BE平分∠ABC,CF平分△ABC的外角∠ACD,CF交BE的延长线于点F,直线CF与直线AB交于点P.
(1)如图1,当∠BAC>90°时,已知∠CEF+∠P=90°.
①当∠P=48°,∠ACB=28°时,∠ABC= °;
②探究∠ABC与∠ACB的数量关系,并说明理由;
28
(2)如图2,当∠BAC<90°时,已知∠CEF-∠P=90°.请问(1)中∠ABC与∠ACB的数量关系还成立吗 若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
(2)∠ABC=∠ACB仍然成立.证明如下:
设∠CBE=m,∠ACB=n,则∠ABC=2m.
∵∠CEF=∠CBE+∠ACB,∴∠CEF=m+n.
∵∠CEF-∠P=90°,∴∠P=m+n-90°.
∵∠ABC+∠PBC=180°,∴∠PBC=180°-2m.
∵∠ACB+∠ACD=180°,∴∠ACD=180°-n.
∵CF平分∠ACD,∴∠ACF=∠ACD=(180°-n),
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°+n.
∵∠BCF=∠P+∠PBC,∴∠BCF=m+n-90°+180°-2m=90°-m+n,
则90°+n=90°-m+n,∴n=2m,即∠ABC=∠ACB.(共11张PPT)
专题三 [提升]
三角形相关基本图形的应用(三)
1.风筝模型
如图1,∠A+∠O=∠1+∠2;
如图2,∠A+∠O=∠2-∠1.
2.角翻折模型
如图1,2∠C=∠1+∠2;
如图2,2∠C=∠2-∠1.
1.如图,∠1,∠2,∠3分别是∠BAD,∠ABC,∠BCD的邻补角,判定下列大小关系:①∠1+∠3=∠ABC+∠D;②∠1+∠3<∠ABC+∠D;③∠1+∠2+∠3=360°;④∠1+∠2+∠3>360°.其中正确的是 .(填序号)
解析:如答案图,连接BD.
∵∠1=∠ABD+∠ADB,∠3=∠CBD+∠BDC,∴∠1+∠3=∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠BDC=∠ABC+∠ADC.故①正确,②不正确;如答案图,延长AD.同理可得∠2+∠4=∠BAD+∠BCD,∴∠1+∠2+∠3+∠4=∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=2×180°=360°,∴∠1+∠2+∠3<360°.故③④不正确.故答案为①.
①
(2)如答案图,过点P作PQ∥BM,则PQ∥BM∥CN.
易知∠DBP+∠ECP=∠A+∠BPC,
∴(∠DBP+∠ECP)=(∠A+∠BPC).
∵PQ∥BM∥CN,∴∠MBP=∠BPQ,∠NCP=∠CPQ,
∴∠MBP+∠NCP=∠BPQ+∠CPQ=∠BPC.
∵BM,CN分别平分∠DBP和∠ECP,
∴(∠DBP+∠ECP)=∠MBP+∠NCP=∠BPC,∴∠BPC=(∠A+∠BPC),
∴∠BPC=∠A.故答案为∠A=∠BPC.
2.如图1,点D,E分别是四边形ABPC的边AB,AC的延长线上一点.
(1)若∠A=80°,∠P=150°,则∠DBP+∠ECP= ;
(2)如图2,分别作∠DBP和∠ECP的平分线BM,CN.若BM∥CN,则∠A和∠BPC的关系为 ;
230°
∠A=∠BPC
(3)如图3,分别作∠DBP和∠ECP的平分线,它们交于点O,请求出∠A,∠O和∠P之间的数量关系,并说明理由.
(3)∠A+2∠O=∠P.理由如下:
易知∠DBP+∠ECP=∠A+∠P,
∴(∠DBP+∠ECP)=(∠A+∠P).
∵OB,OC分别平分∠DBP和∠ECP,
∴∠OBP+∠OCP=(∠DBP+∠ECP),
∴∠OBP+∠OCP=(∠A+∠P).
易知∠OBP+∠OCP+(∠360°-∠P)+∠O=360°,
∴(∠A+∠P)+∠O=∠P,
∴∠A+2∠O=∠P.
3.如图,把△ABC沿EF翻折,翻折后的图形如图.若∠A=60°,∠1=95°,则∠2的度数是( )
A.15° B.20°
C.25° D.35°
C
4.如图,在△ABC中,∠B=28°.将△ABC沿直线m翻折,点B落在点D的位置,则∠1-∠2= .
解析:如答案图.根据折叠的性质,得∠D=∠B=28°.
∵∠1=∠B+∠BEF,∠BEF=∠2+∠D,
∴∠1=∠B+∠2+∠D,∴∠1-∠2=∠B+∠D=56°.故答案为56°.
56°
5.(1)如图1,将∠BAC沿DE折叠,使点A落在∠BAC内部的点M处,当∠A=50°,∠BDM=30°时,求∠CEM的度数;
解:(1)如答案图1,连接AM.
根据折叠的性质,得∠DAE=∠DME=50°.
∵∠BDM=∠DAM+∠DMA,
∠CEM=∠EAM+∠EMA,
∴∠BDM+∠CEM=(∠DAM+∠EAM)+(∠DMA+∠EMA)
=∠DAE+∠DME=100°,
∴∠CEM=100°-∠BDM=70°.
(2)如图2,将∠BAC沿DE折叠,使点A落在∠BAC外部的点M处,求图中∠A,∠BDM,∠CEM之间的数量关系;
(2)如答案图2,设AC与DM交于点F.
根据折叠的性质,得∠A=∠M.
∵∠BDM=∠A+∠AFD,
∠AFD=∠CEM+∠M,
∴∠BDM=∠A+∠CEM+∠M=2∠A+∠CEM,
∴2∠A=∠BDM-∠CEM.
(3)如图3,将∠A,∠B一起沿EF折叠,使点A,B的对应点M,N分别落在射线BD的左右两侧.试探索∠A,∠B,∠CEM,∠DFN之间的数量关系,并证明.
(3)2(∠A+∠B)=∠CEM-∠DFN+360°.证明如下:
法一:如答案图3,延长CA,DB交于点P.
由(2)知,2∠P=∠1-∠2,
∴2(180°-∠PAB-∠PBA)=∠1-∠2,
即2(∠CAB+∠ABD-180°)=∠1-∠2,
∴2(∠CAB+∠ABD)=∠CEM-∠DFN+360°.
法二:如答案图3.根据折叠的性质,得
∠3=∠FEM=(180°-∠1),∠4=∠NFE=(180°+∠2).
易知∠A+∠B+∠3+∠4=360°,
∴∠A+∠B+(180°-∠1)+(180°+∠2)=360°.
整理,得2(∠A+∠B)=∠1-∠2+360°,
∴2(∠A+∠B)=∠CEM-∠DFN+360°.(共6张PPT)
专题四 [易错]
《三角形》中的常见错误
1.若等腰三角形的周长为10 cm,其中一边长为2 cm,则该等腰三角形的底边长为( )
A.2 cm B.4 cm
C.2 cm或6 cm D.6 cm
2.(1)若等腰三角形的一边长为3 cm,另一边长为7 cm,则这个等腰三角形的周长为 cm;
(2)若等腰三角形的两条边长分别为3和4,则这个等腰三角形的周长为 .
A
17
10或11
3.甲地离学校4 km,乙地离学校1 km,记甲、乙两地之间的距离为d km,则d的取值范围为( )
A.3
B.3或5
C.3D.3≤d≤5
D
4.下列4个图形中,正确画出△ABC中AC边上的高的是( )
A.① B.② C.③ D.④
D
5.在△ABC中,BD为AC边上的高,∠ABD=30°,则∠BAC的度数为 .
6.已知BD,CE是△ABC的高,直线BD,CE相交所成的角中有一个角为100°,则∠BAC的度数为 .
60°或120°
80°或100°
7.在△ABC中,AB=AC,BD是中线,△ABC的周长为16 cm,BD把△ABC分成的两个小三角形的周长差为2 cm,求△ABC的各边长.
解:设AB=AC=x cm,BC=y cm.由题意,得
或
解得或(均符合三边关系)
∴△ABC的各边长分别为6 cm,6 cm,4 cm或 cm, cm, cm.