(共5张PPT)
专题七 [易错]
《全等三角形》中的常见错误
1.下列命题:①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等;②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等;③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等.其中正确的是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
2.在△ABC中,高AD,BE所在的直线交于点H,若BH=AC,则∠ABC= .
A
45°或135°
3.已知三角形的两边长分别为5和7,则第三边上的中线长x的取值范围是 .
4.△ABC的三边长分别为3,5,7,△DEF的三边长为3,3x-2,2y-1.若这两个三角形全等,则x-y等于 .
5.在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,分别过点A,B向过点C的直线CD作垂线,垂足分别为E,F.若AE=5,BF=3,则EF= .
1
-或0
8或2
6.如图,点C在线段BD上,AB⊥BD于点B,ED⊥BD于点D,∠ACE=90°,且AC=5cm,CE=6cm,点P以2cm/s的速度沿A→C→E向终点E运动,同时点Q以3cm/s的速度从点E开始,在线段EC上做往返运动(即沿E→C→E→C→…运动),当点P到达终点E时,P,Q同时停止运动.过P,Q分别作BD的垂线,垂足为M,N.设运动时间为ts,当以P,C,M为顶点的三角形与△QCN全等时,t的值为 .
1或或
7.如图,已知D是△ABC中BC边上的一点,E是AD上的一点,EB=EC,∠BAE
=∠CAE,求证:∠ABE=∠ACE.
证明:如答案图,过点E作EF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,则∠BFE=∠CGE=90°.
∵∠BAE=∠CAE,即AE是∠BAC的平分线,
∴EF=EG.
又∵EB=EC,
∴Rt△BFE≌Rt△CGE(HL),
∴∠ABE=∠ACE.(共17张PPT)
第1课时 角的平分线的性质
1.如图,在△ABC中,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,DF⊥AC,垂足为F,若AB=5,DF=1,则△ABD的面积为( )
A.3 B.2 C.2.5 D.5
C
2.如图,AB∥CD,以点A为圆心,小于AC长为半径作圆弧,分别交AB,AC于点E,F,再分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径作圆弧,两弧交于点P,作射线AP,交CD于点M.若∠ACD=110°,则∠CMA的度数为( )
A.30° B.35° C.70° D.45°
B
3.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AC,DF⊥AB,E,F分别是垂足.若BD=2CD,AB=6,则AC的长为( )
A.3 B.6 C.9 D.12
4.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC交AC于点D.若BC=10,AD=3,则△BCD的面积为 .
A
15
5.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC.以点A为圆心,任意长为半径作弧,交AB,AC于D,E两点;分别以点D,E为圆心,大于DE长为半径作弧,在∠BAC内两弧相交于点P;作射线AP交BC于点F,过点F作FG⊥AB,垂足为G.若AB=8cm,则△BFG的周长等于 cm.
8
6.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,CD⊥AD于点D,∠B=80°.
(1)用直尺和圆规作∠A的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F;(保留作图痕迹,不要求写作法)
解:(1)作图如图所示.
(2)求∠CFE的度数.
(2)∵AD∥BC,CD⊥AD,
∴∠B+∠BAD=180°,∠D=90°.
∵∠B=80°,
∴∠BAD=180°-80°=100°.
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE=∠BAD=50°,
∴∠CFE=180°-∠D-∠DAE=40°.
7.(2025·重庆西附)如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,连接AO,过点O作OD⊥BC,OE⊥AB,△ABC的面积是16,周长是8,则OD的长是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
D
8.如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB于点F,DE=DG.若S△DEF=2,
S△ADG=9,则△ADE的面积为 .
5
9.如图,在△ABC中,AC>AB,D是BA延长线上的一点,点E是∠CAD的平分线上的一点,EB=EC,过点E作EF⊥AC于点F,EG⊥AD于点G.
(1)求证:△EGB≌△EFC;
(1)证明:∵AE平分∠DAC,
EF⊥AC,EG⊥AD,
∴∠EFC=∠EGB=90°,EF=EG.
在Rt△EGB和Rt△EFC中,
∴Rt△EGB≌Rt△EFC(HL).
(2)若AB=3,AC=5,求AF的长.
(2)解:∵△EGB≌△EFC,∴GB=FC.
在Rt△EGA和Rt△EFA中,
∴Rt△EGA≌Rt△EFA(HL),∴AF=AG,
∴AG+AB=BG=CF=AC-AF,∴AF+AB=AC-AF,
∴2AF=AC-AB=5-3=2,∴AF=1.
10.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,且DB=DC,DE⊥AB于点E.
(1)求证:∠ABD+∠ACD=180°;
证明:(1)如图,过点D作DF⊥AC交AC延长线于点F.
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF.
在Rt△DBE和Rt△DCF中,
∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL),
∴∠ABD=∠DCF.
∵∠DCF+∠ACD=180°,∴∠ABD+∠ACD=180°.
11.如图,点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点,且∠MPN与∠AOB互补.若∠MPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA,OB相交于M,N两点,则以下结论:①PM=PN恒成立;②OM+ON的值不变;③四边形PMON的面积不变;④MN的长度不变.其中正确的结论有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
B
12.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,BE是△ABD的边AD上的中线.若△ABC的面积是24,AB=10,AC=6,则△ABE的面积是 .
7.5
13. (1)【学习理解】如图1,AB=6,AC=4,点D为BC的中点,则AD的取值范围为 ;
1(2)【活学活用】如图2,AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°,点F为BC的中点.
求证:S△ABC=S△ADE;
(2)证明:如图2,延长AF至点G,使FG=AF,连接CG.
∵∠BAD=∠CAE=90°,∴∠DAE+∠BAC=180°,
∴∠DAE+∠BAF+∠CAF=180°.
∵点F为BC的中点,∴BF=CF.
又∵∠AFB=∠GFC,∴△ABF≌△GCF(SAS),
∴∠BAF=∠G,AB=CG=AD,S△ABF=S△GCF.
∵∠DAE+∠BAF+∠CAF=180°,
∴∠DAE+∠G+∠CAF=180°.
∵∠ACG+∠G+∠CAF=180°,∴∠DAE=∠GCA.
又∵AE=CA,∴△ADE≌△CGA(SAS),
∴S△ADE=S△CGA.
∵S△CGA=S△ACF+S△GCF=S△ACF+S△ABF=S△ABC,
∴S△ABC=S△ADE.
(3)【思维拓展】如图3,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC和∠ABC的平分线AD与BE相交于点F,连接DE,S△ABC=30,S△CDE=4,求S△ABF的值.
(3)解:∵BE,AD分别平分∠ABC,∠BAC,
∴∠1=∠2=∠ABC,∠3=∠4=∠BAC.
∵∠C=90°,∴∠ABC+∠BAC=90°,
∴∠1+∠3=45°,∴∠5=∠8=∠1+∠3=45°.
如图3,在AB上截取BM=BD,AN=AE,连接FM,FN.
易证得△AFE≌△AFN(ASA),△BFD≌△BFM(SAS),
∴DF=FM,EF=FN,∠5=∠6=∠7=∠8=45°,S△AFE=S△AFN,
S△BDF=S△BMF,
过点N作NP⊥MF于点P,过点E作EQ⊥AF于点Q,
则∠NPF=∠EQF=90°.
又∵∠NFP=180°-∠6-∠7-∠8=45°=∠5,FN=FE,
∴△NFP≌△EFQ(AAS),∴NP=EQ,
∴S△MFN=FM·NP=DF·EQ=S△DEF.
又∵S△ABC-S△CDE=30-4=26=S△DEF+S△BDF+S△AFE+S△ABF=
S△MFN+S△BMF+S△AFN+S△ABF=2S△ABF,
∴S△ABF=13.(共16张PPT)
第3课时 三角形全等的判定(三)(SSS)
1.如图,在△ABC中,AB=AC,要根据“SSS”判定△ABO≌△ACO,还需添加条件( )
A.AD=AE B.OD=OE
C.OB=OC D.BD=CE
C
2.(2025·重庆一中)尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法.如图,为了得到∠P'O'Q'=∠POQ,在用直尺和圆规作图的过程中,得到△AOB≌△A'O'B'的依据是( )
A.SAS B.SSS C.ASA D.AAS
B
3.如图,D为AE延长线上一点,且AB=AC,EB=EC,BD=CD,则图中全等三角形共有( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
C
4.如图,已知AC=FD,BC=ED,点B,D,C,E在一条直线上,要利用“SSS”证全等,还需添加条件 ,得△ACB≌ .
AB=FE
△FDE
5.(1)如图,AB=AC,BD=CD,∠BAC=36°,则∠BAD的度数是 °;
(2)如图,已知AB=AC,AD=AE,BD=CE,B,D,E三点在同一直线上.若∠1=25°,∠3=55°,则∠2= °.
18
30
6.如图,已知线段a,b,c.
求作:△ABC,使得AB=a+b,BC=b,AC=c.(不写作法,不下结论,保留清晰的作图痕迹)
解:如答案图,△ABC即为所求作.
7.如图,在△ABC中,∠ABC=2∠C,点D,E,F分别为线段AC,AB,BC上一点,连接ED,FD,BD,且BE=BF,ED=FD,则下列说法不一定正确的是( )
A.∠ABD=∠C B.∠ADB=∠ABC
C.AB=BD D.∠AED=∠DFC
C
8.(1)如图,在△ABC和△BDE中,点C在BD上,AC交BE于点F.若AC=BD,AB=ED,BC=BE,∠D=60°,∠ABE=28°,则∠ACB= ;
(2)如图,AB=2,BC=AE=6,CE=CF=7,BF=8,则四边形ABDE与△CDF的面积的比值是 .
46°
1
9.如图,AC=BC,AD=BD,M,N分别是AC,BC的中点,求证:DM=DN.
证明:如图,连接CD.
在△ACD和△BCD中,
∴△ACD≌△BCD(SSS),∴∠A=∠B.
∵M,N分别是AC,BC的中点,AC=BC,∴AM=BN.
在△ADM和△BDN中,
∴△ADM≌△BDN(SAS),∴DM=DN.
10.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,E为边BC上的一点,且AB=AE,D为线段BE的中点,过点E作EF⊥AE,过点A作AF∥BC,且AF,EF相交于点F.求证:
(1)∠C=∠BAD;
证明:(1)∵D为线段BE的中点,
∴BD=DE.
又∵AB=AE,AD=AD,
∴△ABD≌△AED(SSS),
∴∠ADB=∠ADE=90°,
∴∠C+∠DAC=90°.
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠DAC=90°,∴∠C=∠BAD.
(2)AC=EF.
(2)∵AF∥BC,∴∠FAE=∠AEB.
∵△ABD≌△AED,∴∠B=∠AEB,
∴∠B=∠FAE.
在△ABC和△EAF中,
∴△ABC≌△EAF(ASA),∴AC=EF.
11.如图,平面上有△ACD与△BCE,其中AD与BE相交于点P.若AC=BC,
AD=BE,CD=CE,∠ACE=55°,∠BCD=155°,则∠BPD的度数为( )
A.110° B.125° C.130° D.155°
C
12.如图,在直角坐标平面内的△ABC中,点A的坐标为(0,2),点C的坐标为(5,5),如果要使△ABD与△ABC全等,那么点D的坐标是 .
(5,-1)或(-2,5)或(-2,-1)
13.【初步探索】
(1)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠ADC=90°,E,F分别是BC,CD上的点,且EF=BE+FD,探究图中∠BAE,∠FAD,∠EAF之间的数量关系.
小明同学探究此问题的方法是:延长FD到点G,使DG=BE,连接AG.先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是 ;
∠BAE+∠FAD=∠EAF
【灵活运用】
(2)如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是BC,CD上的点,且EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立,并说明理由.
解:(2)成立,理由如下:如答案图,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG.
∵∠B+∠ADF=180°,∠ADG+∠ADF=180°,
∴∠B=∠ADG.
又∵AB=AD,
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴∠BAE=∠DAG,AE=AG.
∵EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,
∴△AEF≌△AGF(SSS),
∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF.(共16张PPT)
第2课时 三角形全等的判定(二)(ASA与AAS)
1.(2025·重庆西附)如图,某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是带上( )
A.① B.② C.③ D.①和③
C
2.如图,在△ABC与△EDF中,∠B=∠D=90°,∠A=∠E,点B,F,C,D在同一直线上.下列条件中,不能判定△ABC≌△EDF的是( )
A.AB=ED B.AC=EF
C.AC∥EF D.BC=DF
C
3.如图,点B,C,E在同一条直线上,且AC=CE,∠B=∠D=90°,AC⊥CD.下列结论不一定成立的是( )
A.∠A=∠2 B.∠A+∠E=90°
C.BC=DE D.∠BCD=∠ACE
D
4.如图,AB=DE,∠B=∠DEF,要证明△ABC≌△DEF.
(1)若以“SAS”为依据,还缺条件 ;
(2)若以“ASA”为依据,还缺条件 ;
(3)若以“AAS”为依据,还缺条件 .
BC=EF(或BE=CF)
∠A=∠D
∠ACB=∠DFE(或AC∥DF)
5.(1)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为BC上一点,连接AD.过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F.若BE=4,CF=1,则EF的长度为 ;
(2)如图,∠1=∠2=30°,∠A=∠B,AE=BE,点D在边AC上,AE与BD相交于点O,则∠C的度数为 .
3
75°
6.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AB=AC,点E是BD上一点,且∠ABD=∠ACD,∠EAD=∠BAC.求证:AE=AD.
证明:∵∠EAD=∠BAC,
∴∠EAD-∠EAO=∠BAC-∠EAO,
即∠CAD=∠BAE.
在△BAE和△CAD中,
∴△BAE≌△CAD(ASA),
∴AE=AD.
7.(2024·山东)如图,AB⊥CD,且AB=CD,CE⊥AD于点E,BF⊥AD于点F.若CE=7,BF=4,EF=3,则AD的长为( )
A.7 B.8 C.5 D.4
B
8.如图,已知CB⊥AD,AE⊥CD,垂足分别为B,E,AE,BC相交于点F,连接DF.若AB=BC=8,CF=2,则图中阴影部分的面积为 .
6
9.张华与爸爸妈妈在公园里荡秋千.如图,张华坐在秋千的起始位置A处,OA与地面垂直,两脚在地面上用力一蹬,妈妈在距地面1.1 m高的B处接住他后用力一推,爸爸在C处接住他.若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD,CE分别为1.6 m和2 m,∠BOC=90°.
(1)△COE与△OBD全等吗 请说明理由;
解:(1)△COE≌△OBD.理由如下:
由题意可知,∠CEO=∠ODB=90°,OB=OC.
∵∠BOC=90°,
∴∠COE+∠BOD=∠BOD+∠OBD=90°,
∴∠COE=∠OBD.
在△COE和△OBD中,
∴△COE≌△OBD(AAS).
(2)爸爸是在距离地面多高的地方接住张华的 (提示:夹在两条平行线间的垂直线段都相等)
(2)解:∵△COE≌△OBD,
∴CE=OD=2 m,OE=BD=1.6 m,
∴DE=OD-OE=2-1.6=0.4(m).
∵AD=1.1 m,
∴AE=AD+DE=1.5 m.
答:爸爸是在距离地面1.5 m的地方接住张华的.
10.如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,D是边AC上一点,连接BD,过点C作CE⊥BD交BD于点E,在EC上截取EF=EB,连接AF交BD于点G.求证:CF=2EG.
证明:如图,过点A作AH⊥BD交BD的延长线于点H.
∵CE⊥BD,∴∠H=∠BEC=90°,∴∠BCE+∠CBE=90°.
∵∠ABC=90°,∴∠ABH+∠CBE=90°,
∴∠ABH=∠BCE.
∵AB=BC,∴△ABH≌△BCE(AAS),
∴AH=BE,BH=CE.
∵EF=EB,∴AH=EF.
∵∠H=∠FEG=90°,∠AGH=∠FGE,
∴△AGH≌△FGE(AAS),
∴GH=GE,∴EH=2EG.
∵BH=CE,BE=EF,∴CF=EH=2EG.
11.(2025·重庆巴蜀)如图,在平面直角坐标系中,C(6,6),点B,A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上,∠ACB=90°,则OA+OB等于( )
A.10 B.11 C.12 D.13
C
12.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ABC=54°,CE平分∠ACB,AD平分∠CAB,CE与AD交于点F,点G为△ABC外一点,且∠ACD=∠FCG,∠CBG=∠CAF,连接DG.下列结论:①△ACF≌△BCG;②∠BGC=117°;③S△ACE=S△CFD+S△BCG;④AD=DG+BG.其中结论正确的是 (填序号).
①②④
13.如图,在△ABC中,点D是AB上一点,点E是BC上一点,连接DE,AE,∠AED=∠B,点F是AE上一点,且EF=DE,连接CF.
(1)如图1,若CE=BD=2,BC=6,求CF的长度;
(1)解:∵∠AED=∠B,∠AED+∠BED+∠CEF=180°,
∠B+∠BED+∠BDE=180°,
∴∠BDE=∠CEF.
又∵EF=DE,CE=BD,
∴△CEF≌△BDE(SAS),∴CF=BE.
∵CE=BD=2,BC=6,∴CF=BE=BC-CE=4.
(2)如图2,若CE=AD,点G为CF上一点,连接EG,且∠CEG=∠EAB,求证:AE=2GE.
(2)证明:如答案图,延长EG到点P,使得EP=EA,连接PF,
∵∠CEG=∠EAB,∠AEC=∠PEF+∠CEG=∠EAB+∠B,
∴∠PEF=∠B.
又∵∠AED=∠B,∴∠PEF=∠AED.
又∵EF=ED,PE=AE,∴△PEF≌△AED(SAS),
∴∠EAB=∠P,AD=PF.
∵∠EAB=∠CEG,AD=CE,
∴∠P=∠CEG,PF=CE.
又∵∠PGF=∠EGC,∴△PGF≌△EGC(AAS),
∴GE=GP,∴AE=PE=2GE.(共27张PPT)
《全等三角形》
章末考点复习与小结
1.如图,A,D,C,F四点在同一条直线上,BC=EF,∠B=∠E,添加以下条件还不能判断△ABC≌△DEF的是( )
A.AD=CF B.AB∥DE
C.BC∥EF D.AB=DE
A
2.下列命题中,正确的是( )
A.三个角分别相等的两个三角形全等
B.面积相等的两个三角形全等
C.三边分别相等的两个三角形全等
D.有两边及一个角分别相等的两个三角形全等
C
3.如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD,CE相交于点H.若EH=EB=3,S△AEH=6,则CH的长是( )
A.1 B. C.2 D.
A
4.如图,在△ABC中,AB=BC,点D为AC上的点,连接BD,点E在△ABC外,连接AE,BE,使得BE=CD,∠ABE=∠C,过点B作BF⊥AC交AC于点F.若∠BAE=21°,∠C=28°,则∠FBD= ( )
A.49° B.59° C.41° D.51°
C
5.如图,已知BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为点E,F.给出下列条件:①AB=CD,∠B=∠C;②AB=DC,AB∥CD;③AB=DC,BE=CF;④AB=DF,BE=CF.其中可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是 .(填序号)
①②③
6.如图,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是BC边上的一点,过点B作BE⊥AD交AD于点E,过点C作CF⊥AD交AD延长线于点F.若BE=3,CF=1.8,则EF= .
1.2
7.(2025·重庆渝北区)如图,△ABC中,CD⊥AB,垂足为D.BE⊥AC,垂足为G,BE=AC,F是CD上一点,且AB=CF.连接AE,AF.
(1)求证:AE=AF;
(1)证明:∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴∠CAD+∠ACD=∠CAD+∠EBA=90°,
∴∠ACD=∠EBA.
在△AEB和△FAC中,
∴△AEB≌△FAC(SAS),∴AE=FA.
(2)求∠EAF的度数.
(2)解:∵△AEB≌△FAC,
∴∠E=∠CAF.
∵∠E+∠EAG=90°,
∴∠CAF+∠EAG=90°,即∠EAF=90°.
8.在△ABC中,∠BCA=90°且AC=BC,D为平面内一点,把CD绕着点C逆时针旋转90°后得到线段CE.
(1)如图1,当点D在AC上,点E在BC的延长线上时,连接AE,BD.求证:AE=BD;
(1)证明:在△ACE和△BCD中,
∴△ACE≌△BCD(SAS),∴AE=BD.
(2)如图2,当点D不在AC上,点E不在BC的延长线上时,连接AD,BE,点M为AD的中点,连接MC并延长交BE于点N,求证:∠MNB=90°;
(2)证明:如答案图,延长CM至点Q,使得MQ=MC,连接AQ.
在△AQM与△DCM中,
∴△AQM≌△DCM(SAS),
∴AQ=DC,∠Q=∠DCQ.
又∵CD=CE,∴AQ=CE.
∵∠ECB=360°-∠DCE-∠ACB-∠DCA=180°-∠DCA,
∠QAC=180°-∠Q-∠ACQ=180°-∠DCQ-∠ACQ=180°-∠DCA,∴∠ECB=∠QAC.
在△QAC与△ECB中,
∴△QAC≌△ECB(SAS).∴∠ACQ=∠CBE.
∴∠BCN+∠CBE=∠BCN+∠ACQ=90°,
即∠MNB=90°.
(3)如图3,在(2)的条件下,当点M,C,E在同一直线上时,若BE=8,求CM的长.
(3)解:由(2)可知△QAC≌△ECB,
∴BE=CQ=2CM=8,∴CM=CQ=4.
9.(2025·重庆育才)如图,BD平分∠ABC交AC于点D,DE⊥BC于点E.若AB=4,BC=5,S△ABC=9,则DE的长为( )
A.2 B. C.4 D.3
A
10.如图,OG平分∠MON,点A,B是射线OM,ON上的点,连接AB.按以下步骤作图:①以点B为圆心,任意长为半径作弧,交AB于点C,交BN于点D;②分别以点C,D为圆心,大于CD长为半径作弧,两弧相交于点E;③作射线BE,交OG于点P.若∠ABN=140°,∠MON=50°,则∠OPB的度数为( )
A.35° B.45° C.55° D.65°
B
11.如图,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,OA=36°.连接AC,BD相交于点M,连接OM.下列结论:①∠AMB=36°;②AC=BD;③OM平分∠AOD;④MO平分∠AMD.其中正确的结论有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
B
解析:如答案图,延长BA,过点P作PN⊥BD,PF⊥BA,PM⊥AC,
设∠PCD=x°,则∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-2∠PBC
=2x°-2(x°-40°)=80°,
∴∠CAF=100°.易知AP是∠CAF的平分线,
∴∠CAP=∠CAF=50°.故选C.
12.如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P.若∠BPC=40°,则∠CAP= ( )
A.40° B.45° C.50° D.60°
C
13.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB.若AC=2,DE=1,则S△ACD= .
14.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AC于点E,CF为△ABC中
AB边的高.若AC=2AB,CF=5,则DE的长为 .
1
15.如图,点D在线段BC上,AB∥CE,AB=CD,BD=CE.
(1)作∠ADE的平分线DF,交AE于点F(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
解:(1)作图如答案图所示.
(2)求证:AF=EF.请将以下推导过程补充完整.
证明:∵AB∥CE,∴① .
在△ABD和△DCE中,
∴△ABD≌△DCE (③ ), ∴④ .
∵DF平分∠ADE,∴∠ADF=∠EDF.
又∵DF=DF,∴△ADF≌△EDF(SAS),∴AF=EF.
∠B=∠C
SAS
AD=DE
16.如图,在△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,点E在BC上,连接DE,且AD=DE.
(1)求证:AB=BC+CE;
(1)证明:如答案图,过点D作DF⊥AB于点F.
∵BD平分∠ABC,且∠C=90°,DF⊥AB,
∴DF=DC,∠AFD=∠C=90°.
在Rt△ADF和Rt△EDC中,
∴Rt△ADF≌Rt△EDC(HL),
∴AF=CE.
在Rt△BDF和Rt△BDC中,
∴Rt△BDF≌Rt△BDC(HL),∴BF=BC.
∵AB=BF+AF,∴AB=BC+CE.
(2)若CE=2,AB=7,求线段BE的长.
(2)解:由(1)知,AB=BC+CE,
∴BC=AB-CE=5,
∴BE=BC-CE=5-2=3.
17.(2025·成都七中)如图,在△ABC中,AD为BC边上的高,AE是∠BAD的平分线,点F为AE上一点,连接BF,∠BFE=45°.
(1)求证:BF平分∠ABE;
(1)证明:∵AE是∠BAD的平分线,
∴∠BAD=2∠BAF.
∵∠BFE=45°,
∴∠FBA+∠BAF=45°,
∴2∠FBA+2∠BAF=90°.
∵AD为BC边上的高,
∴∠EBF+∠FBA+2∠BAF=90°.
∴2∠FBA=∠EBF+∠FBA,
∴∠EBF=∠FBA,∴BF平分∠ABE.
(2)连接CF交AD于点G,若S△ABF=S△CBF,求证:∠AFC=90°;
(2)证明:如答案图,过点F作FM⊥BC于点M,FN⊥AB于点N,
∵BF平分∠ABE,FM⊥BC,FN⊥AB,
∴FM=FN. ∵S△ABF=S△CBF,
即AB·FN=BC·FM,
∴AB=BC.
在△ABF和△CBF中,
∴△ABF≌△CBF(SAS),∴∠AFB=∠CFB.
∵∠BFE=45°,∴∠AFB=135°,∴∠CFB=135°,
∴∠AFC=360°-∠AFB-∠CFB=90°.
(3)在(2)的条件下,当BE=3,AG=4.5时,求线段AB的长.
(3)解:∵△ABF≌△CBF,∴AF=FC.
∵∠AFC=∠ADC=90°,∠AGF=∠CGD,
∴∠FAG=∠FCE.
在△AFG和△CFE中,
∴△AFG≌△CFE(ASA),
∴AG=CE=4.5,
∵BE=3,∴BC=BE+EC=7.5.
由(2)知AB=BC,
∴AB=7.5.
18.如图,小敏做了一个角平分仪ABCD,其中AB=AD,
BC=DC.将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合,调整
AB和AD,使它们分别落在角的两边上,过点A,C画一
条射线AE,AE就是∠PRQ的平分线.此角平分仪的画
图原理是:根据仪器结构,可得△ABC≌△ADC,这样
就有∠QAE=∠PAE,则说明这两个三角形全等的依据
是( )
A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS
D
19.如图,点A,B在一水池的两侧,若BE=DE,∠B=∠D=90°,点B,E,D在同一直线上,CD=10m,则水池宽AB= m.
10
20.小强为了测量一幢高楼的高AB,在旗杆CD与高楼之间选一定点P,测得旗杆顶C的视线PC与地面的夹角∠DPC=36°,测得楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB=54°,量得点P到楼底的距离PB与旗杆的高度CD相等,都等于10m,量得旗杆与楼之间的距离DB=36m,请你帮小强计算高楼的高AB是多少米.
解:∵∠CPD=36°,∠APB=54°,∠CDP=∠ABP=90°,
∴∠DCP=90°-∠CPD=54°=∠BPA.
又∵∠CDP=∠PBA,DC=BP,
∴△CPD≌△PAB(ASA),∴PD=AB.
∵DB=36m,PB=10m,
∴AB=DP=DB-PB=26m.
答:高楼的高AB是26m.(共16张PPT)
第4课时 尺规作图：作一个角等于已知角
1.如图,用直尺和圆规作一个角等于已知角,能得出∠A'O'B'=∠AOB的依据是( )
A.SAS B.SSS C.ASA D.AAS
B
2.已知两边及其夹角作三角形,第一步应为( )
A.作一条线段等于已知线段
B.作一个角等于已知角
C.作两条线段等于已知三角形的边,并使其夹角等于已知角
D.作一条线段等于已知线段或作一个角等于已知角
D
3.小明同学在学习了利用尺规作一个三角形与已知三角形全等后,尝试用不同的方法作三角形,则在下列作出的图形中,不一定与△ABC全等的是( )
D
4.(2025·成都期末)如图,∠O=35°,观察尺规作图的痕迹,∠ABC的度数为 .
70°
5.数学课上,老师提出一个问题:经过已知角一边上的点,作一个角等于已知角.如图,用尺规过∠AOB的边OB上一点C(图1)作∠DCB=∠AOB(图2).我们可以通过以下步骤作图:
①作射线CQ;②以点O为圆心,小于OC的长为半径作弧,分别交OA,OB于点N,M;③以点P为圆心,MN的长为半径作弧,交上一段弧于点Q;④以点C为圆心,OM的长为半径作弧,交OB于点P.则正确的排序是 .(填序号)
②④③①
6.如图,AB∥DE,∠BCD=15°,∠ABC=40°.
(1)用直尺和圆规在BC的右侧求作∠BCF,使得∠BCF=∠ABC;(不写作法,保留作图痕迹)
解:(1)作图如答案图所示.
解:∵∠ABC=40°,
∴∠BCF=∠ABC=40°,
∴AB∥CF(① ).
内错角相等,两直线平行
(2)根据(1)的作图,求∠CDE的大小.
小明同学的解答如下,请你帮他填写完整:
∵AB∥DE,
∴② (③ ),
∴④ .
∵∠BCD=15°,
∴∠DCF=∠BCF-∠BCD=40°-15°=25°,
∴∠CDE=180°-∠DCF=180°-25°=155°.
DE∥CF
平行于同一直线的两条直线平行
∠DCF+∠CDE=180°
7.已知两角及其夹边作三角形,所用的基本作图的方法是( )
A.平分已知角
B.作已知直线的垂线
C.作一个角等于已知角及作一条线段等于已知线段
D.作已知直线的平行线
C
8.小高在用尺规作∠A'O'B'=∠AOB时,具体的操作步骤如下:①作射线O'A';②以点O为圆心,◆为半径作弧,交OA于点C,交OB于点D;③以点O'为圆心,★的长为半径作弧,交O'A'于点C';④以点C'为圆心,▲的长为半径作弧,交前面的弧于点D';⑤过点D'作射线O'B',则∠A'O'B'就是所要作的角.下列说法不正确的是( )
A.◆表示任意长
B.★与◆的长相等
C.▲与线段CD的长相等
D.▲与★的长相等
D
9.如图,点D在△ABC边AB的延长线上,且AB=BD.以点A为圆心,任意长为半径画弧,分别交△ABC的边AC,AB于点M,N;再以点D为圆心,AN长为半径画弧,交AD于点N';再以点N'为圆心MN长为半径画弧交前弧于点M',作射线DM'.已知点E为射线DM'上一点,连接BE,请你添加一个条件 ,使△ABC≌△DBE.
AC=DE或∠C=∠E或∠ABC=∠DBE(答案不唯一)
10.如图,已知正方形ABCD,点E在边BC上,连接AE.
(1)尺规作图:在正方形内部作∠ADF,使∠ADF=∠BAE,边DF交线段AE于点T,交AB边于点F(不写作法,保留作图痕迹);
解:(1)作图如答案图所示.
(2)要探究AE,DF的位置关系和数量关系,请将下列过程补充完整.
解:AE=DF,AE⊥DF,理由如下,
∵四边形ABCD是正方形,
∴① ,∠DAF=∠B=90°.
DA=BA
在△DAF和△ABE中,
∴△DAF≌△ABE(ASA),
∴③ .
∵∠BAE+∠DAT=90°,
∴④ ,
∴∠ATD=90°,∴AE⊥DF,
∴AE=DF,AE⊥DF.
通过上面的操作,进一步探究得到这样的结论:两端点在正方形的一组对边上且⑤ 的线段长相等.
DF=AE
∠ADF+∠DAT=90°
相互垂直
11.如图,已知∠AOB与∠EO'F,分别以点O,O'为圆心,同样长为半径画弧,交OA,OB于点A',B',交O'E, O'F于点E',F',以点B'为圆心,E'F'长为半径画弧,交弧A'B'于点H,作射线OH,下列结论不正确的是( )
A.∠EO'F=∠AOB
B.∠AOB>∠EO'F
C.∠HOB=∠EO'F
D.∠EO'F+∠AOH=∠AOB
A
12.如图,在△ABC中,D是AB边上的一点,小高用尺规作图,作法如下:①以点B为圆心,任意长为半径作弧,交BA于点F,交BC于点G;②以点D为圆心,BF为半径作弧,交DA于点M;③以点M为圆心,FG为半径作弧,两弧相交于点N;④过点D作射线DN交AC于点E.若∠ADE=62°,∠C=68°,则∠A的度数是 .
50°
13.如图,在小明的一张地图上,有A,B,C三个城市,但是图上城市C已被墨迹污染,只知道∠BAC=α,∠ABC=β,你能用尺规帮他在图中确定C城市的具体位置吗
解:如答案图,点C为所求作的点.(共19张PPT)
专题六 [提升]
全等三角形常用的辅助线
在证明三角形全等时有时需添加辅助线,对学习几何证明不久的学生而言往往是难点.下面介绍证明三角形全等时常见的几种辅助线,供同学们学习时参考.
1.如图,在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD,AB>AD,下列结论正确的是( )
A.AB-ADB.AB-AD=CD-CB
C.AB-AD>CD-CB
D.AB-AD与CD-CB的大小关系不确定
解析:如答案图,在AB上截取一点E,使得AE=AD,连接CE.易证△EAC≌△DAC(SAS),∴EC=DC,∴AB-AD=AB-AE=BE>CE-CB=CD-CB.故选C.
C
2.小林在测量如图所示的四边形ABCD时,测得该四边形的面积为18cm2,
∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD,他马上得到AC的长度为 cm.
解析:如答案图,延长CD,使得DE=BC,连接AE.∵∠BAD=∠BCD=90°,∴∠ABC+∠ADC=180°.又∵∠1+∠ADC=180°,∴∠ABC=∠1.又∵AB=AD,BC=DE,∴△ABC≌△ADE(SAS),∴AC=AE,∠BAC=∠DAE,S△CAE=S四边形ABCD,∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD=90°,即∠EAC=90°,∴△CAE为等腰直角三角形.∵S四边形ABCD=18cm2,∴S△CAE=AC2=18cm2,∴AC=6cm.故答案为6.
6
3.如图,AD∥BC,点E在线段AB上,∠ADE=∠CDE,∠DCE=∠ECB.求证:CD=AD+BC.
证明:在CD上截取CF=BC,连接EF,如答案图.
在△FCE与△BCE中,
∴△FCE≌△BCE(SAS),∴∠2=∠1.
∵AD∥BC,∴∠ADC+∠BCD=180°.
又∵∠ADE=∠CDE,∠DCE=∠BCE,
∴∠DCE+∠CDE=(∠ADC+∠BCD)=90°,
∴∠2+∠3=90°,∠1+∠4=90°,∴∠3=∠4.
在△FDE和△ADE中,
∴△FDE≌△ADE(ASA),∴DF=DA.
∵CD=DF+CF,∴CD=AD+BC.
4.如图,在△ABC中,AB=4,AC=7,AD是△ABC的中线,则AD的取值范围是( )
A.3C.5.5B
5.如图,AD是△ABC的中线,点E,F分别在AB,AC上(E,F不与端点重合),且DE⊥DF,则( )
A.BE+CF>EF
B.BE+CF=EF
C.BE+CFD.BE+CF与EF的大小关系不确定
A
6.(1)【阅读理解】如图1,在△ABC中,若AB=10,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.
解决此问题可以用如下方法:延长AD到点E使DE=AD,再连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD),把AB,AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形的三边关系即可判断,则中线AD的取值范围是 ;
2(2)【问题解决】如图2,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,求证:BE+CF>EF;
(2)证明:延长FD至点M,使DM=DF,连接BM,EM,如答案图1所示.
易得△BMD≌△CFD,∴BM=CF.
∵DE⊥DF,∴∠EDF=∠EDM=90°.
又∵DF=DM,ED=ED,
∴△EDF≌△EDM(SAS),∴EF=EM.
在△BME中,由三角形的三边关系,得
BE+BM>EM,∴BE+CF>EF.
(3)【问题拓展】如图3,在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,CB=CD,
∠BCD=140°,以点C为顶点作一个70°的角,角的两边分别交AB,AD于E,F两点,连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系,并加以证明.
(3)解:BE+DF=EF,证明如下:
延长AB至点N,使BN=DF,连接CN,如答案图2.
∵∠D+∠ABC=180°,∠ABC+∠CBN=180°,
∴∠D=∠CBN.
又∵CD=CB,DF=BN,∴△CDF≌△CBN(SAS),
∴∠DCF=∠BCN,CF=CN.
∵∠BCD=140°,∠ECF=70°,∴∠DCF+∠BCE=70°,
∴∠NCE=∠NCB+∠BCE=70°,
即∠NCE=∠FCE.又∵CN=CF,CE=CE,
∴△NCE≌△FCE(SAS),∴EN=EF.∵BE+BN=EN,∴BE+DF=EF.
7.如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AC=2AB,AD平分∠BAC交BC于点D,延长DB至点F,使BF=BD,连接AF.
(1)求证:AF=CD;
(1)证明:如图,取AC的中点G,连接DG,
∴AC=2AG=2CG.
∵AC=2AB,∴AG=AB=CG.
∵AD平分∠BAG,∴∠BAD=∠GAD.
又∵AD=AD,∴△ADB≌△ADG(SAS),
∴BD=GD,∠ABD=∠AGD,∴∠DGC=∠ABF.
∵BD=BF,∴BF=DG.
又∵AB=CG,∠ABF=∠CGD,
∴△ABF≌△CGD(SAS),∴AF=CD.
(2)若CE平分∠ACB交AB于点E,交AD于点O,试猜想AC,AF,AE三条线段之间的数量关系,并证明你猜想的结论.
(2)解:AC=AE+AF,证明如下:
如答案图,在AC上取一点H,使AH=AE,连接OH,易证△AOE≌△AOH(SAS),
∴∠AOE=∠AOH.
∵∠ABC=60°,∴∠BAC+∠ACB=120°.
∵AD平分∠BAC,CE平分∠ACB,
∴∠OAC+∠ACO=(∠BAC+∠ACB)=60°=∠AOE,
∴∠AOH=∠AOE=60°,∴∠COH=∠COD=60°.
又∵∠HCO=∠DCO,OC=OC,
∴△HCO≌△DCO(ASA),∴CD=CH,
∴AC=AH+CH=AE+CD=AE+AF.
8.【阅读理解】如图1,AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°,
∠B=90°,易知:DB=DC.
(1)【问题解决】如图2,AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°,
∠B<90°,求证:DB=DC;
(1)证明:如图2,过点D作DM⊥AB于点M,DN⊥AC交AC的延长线于点N.
∵AD平分∠BAC,DM⊥AB,DN⊥AC,
∴DM=DN.
∵∠B+∠ACD=180°,∠ACD+∠NCD=180°,
∴∠B=∠NCD.
又∵∠DMB=∠N=90°,
∴△DMB≌△DNC(AAS),∴DB=DC.
(2)【问题拓展】如图3,在四边形ABDC中,∠B=45°,∠C=135°,DB=DC,过点D作DE⊥AB,垂足为E,BE=a,则AB-AC的值是多少 (用含a的代数式表示)
(2)解:如图3,连接AD,过点D作DF⊥AC交AC的延长线于点F.
∵∠ACD=135°,∠ACD+∠FCD=180°,
∴∠FCD=45°=∠B.
又∵∠F=∠DEB=90°,DC=DB,
∴△DFC≌△DEB(AAS),∴DF=DE,CF=BE.
又∵AD=AD,
∴△ADF≌△ADE(HL),∴AF=AE,
∴AB-AC=(AE+BE)-(AF-CF)=2BE.
∵BE=a,∴AB-AC=2a.
9.如图,在等腰直角△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,将线段BC绕点B顺时针旋转45°得到线段BD.连接AD,交BC于点E,过点C作线段AD的垂线,垂足为F,交BD于点G.
(1)求∠BCG的度数;
(1)解:如答案图所示.
∵AB=BC=BD,∠ABC=90°,∠1=45°,
∴∠2=∠3=(180°-∠ABC-∠1)=22.5°,
∠2+∠5=90°.
∵CF⊥AD,∴∠4+∠6=90°.
又∵∠5=∠6,∴∠4=∠2=22.5°,即∠BCG=22.5°.
(2)连接EG,求证:AE-FG=EG+DF.
(2)证明:如答案图,延长CG,与AB的延长线交于点M,连接CD.
由(1)知,∠3=∠4.
∵BC=BD,∴∠BDC=∠BCD,
∴∠BDC-∠3=∠BCD-∠4,即∠7=∠8,
∴CF=DF.
在△ABE和△CBM中,
∴△ABE≌△CBM(ASA),∴BE=BM,AE=CM.
∵∠9=90°-∠1=90°-45°=45°,∴∠9=∠1.
在△BEG和△BMG中,
∴△BEG≌△BMG(SAS),∴EG=MG,
∴AE=CM=CF+FG+GM=DF+FG+EG,
即AE-FG=EG+DF.
10.已知:在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°.
(1)如图1,CF平分∠ACB交AB于点F,BE⊥CF于点E,探究CF,BE之间的数量关系;
解:(1)CF=2BE.理由如下:
如图1,延长BE,CA交于点H.
∵CF平分∠ACB,且BE⊥CF,
∴∠ACE=∠BCE,∠BEC=∠CEH=90°.
又∵CE=CE,∴△BEC≌△HEC(ASA),
∴BE=EH,∴BH=2BE.
∵∠H+∠HBA=90°,∠H+∠HCE=90°,
∴∠HBA=∠HCE.
又∵AC=AB,∠CAF=∠BAH=90°,
∴△ACF≌△ABH(ASA),∴CF=BH,∴CF=2BE.
(2)如图2,若D为线段BC上一点,∠EDB=∠ACB,BE⊥DE,垂足为E,DE交AB于点F,线段DF,BE之间的数量关系是什么 并说明理由.
(2)DF=2BE.理由如下:
如图2,作DG∥AC,交BE的延长线于点G,交AB于点P,则∠BDG=∠C.
∵∠EDB=∠ACB,∴DE平分∠BDG,∴∠GDE=∠BDE.
∵DG∥AC,∴∠BPD=∠A=90°,
而∠PBD=45°,∴∠PDB=45°,∴BP=DP.
∵∠PFD+∠PDF=90°,∠G+∠PDF=90°,
∴∠PFD=∠G.又∵∠FPD=∠GPB,DP=BP,
∴△PFD≌△PGB(AAS),∴DF=BG.
∵∠GED=∠BED,DE=DE,∠GDE=∠BDE,
∴△EGD≌△EBD(ASA),
∴EG=EB,∴BG=2BE,∴DF=2BE.(共16张PPT)
14.1 全等三角形及其性质
1.(2024·浙江)下列各组的两个图形属于全等形的是( )
B
2.如图,已知△ABC≌△BAD,且点A和点B,点C和点D是对应顶点.如果AB=5,BD=6,AD=4,那么BC等于( )
A.4 B.5 C.6 D.无法确定
3.如图,△ABC≌△ADE,点D在BC边上.若∠E=35°,∠DAC=30°,则∠BDA的度数为( )
A.35° B.40° C.50° D.65°
A
D
4.(1)如图,将△ABC沿BC折叠,使点A与点D重合,则△ABC
△DBC,AB的对应边是 ,∠ACB的对应角是 ;
(2)如图,△ABC≌△CDA,则AB= ,∠BCA= .
≌
DB
∠DCB
CD
∠DAC
5.(1)如图,点D,E在线段BC上,△ABE≌△ACD,∠BAC=84°,∠DAE=30°,则∠BAD= ;
(2)如图,△ACE≌△BDF.若AD=8,BC=3,则AB的长是 .
27°
2.5
6.如图,D,A,E三点在同一条直线上,BD⊥DE于点D,CE⊥DE于点E,且△ABD≌△CAE,AC=4.
(1)求∠BAC的度数;
解:(1)∵BD⊥DE于点D,
CE⊥DE于点E,
∴∠BDA=∠AEC=90°,
∴在△ABD中,∠ABD+∠BAD=90°.
∵△ABD≌△CAE,
∴∠ABD=∠CAE,AB=CA,
∴∠CAE+∠BAD=90°.
∵D,A,E三点在同一条直线上,
∴∠DAE=180°,∴∠BAC=90°.
(2)求△ABC的面积.
(2)∵AC=4,AB=AC,∴AB=4.
又∵∠BAC=90°,∴△ABC是等腰直角三角形,
∴S△ABC=AC·AB=×4×4=8.
7.(2024·山东)如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别是(2,0),(0,3).若△AOB≌△DCA,则点D的坐标是( )
A.(5,3) B.(5,2) C.(2,5) D.(3,5)
B
8.如图,已知△ABC≌△DEF,CD平分∠ACB.若∠A=30°,∠CGF=88°,则∠E的度数是( )
A.30° B.50° C.44° D.34°
D
9.如图,已知△ABC≌△DEC.
(1)若∠BCE=20°,则∠ACD的度数为 ;
(2)若∠A=60°,∠E=50°,∠BCE=25°,则∠ACE的度数为 .
20°
45°
10.如图所示,A,C,E三点在同一条直线上,且△ABC≌△DAE.
(1)求证:BC=DE+CE;
(1)证明:∵△ABC≌△DAE,
∴BC=AE,AC=DE.
又∵AE=AC+CE,
∴BC=DE+CE.
(2)当△ABC满足什么条件时,BC∥DE
(2)解:∵BC∥DE,∴∠BCE=∠E.
又∵△ABC≌△DAE,
∴∠ACB=∠E,
∴∠ACB=∠BCE.
又∵∠ACB+∠BCE=180°,
∴∠ACB=90°,
即当△ABC满足∠ACB为直角时,BC∥DE.
11.如图,△ABC≌△DEF,FE⊥BC,垂足为E,交AC于点H.若∠A=α,∠CHE=β,则∠BED的大小为( )
A.α-β B.90°+α-β
C.β-α D.90°-α+β
A
12.如图,△ABC≌△ADE,BC的延长线交DA于点F,交DE于点G.若∠D=25°,∠E=105°,∠DAC=16°,则∠DGB的度数为 .
66°
13.如图,点A,B,C在同一条直线上,点E在BD上,且△ABD≌△EBC,AB=2cm,
BC=3cm.
(1)求DE的长;
解:(1)∵△ABD≌△EBC,
∴BD=BC=3cm,BE=AB=2cm,
∴DE=BD-BE=1cm.
(2)判断AC与BD的位置关系,并说明理由;
(2)AC与BD垂直.理由如下:
∵△ABD≌△EBC,∴∠ABD=∠EBC.
又∵点A,B,C在同一条直线上,
∴∠EBC=∠ABD=90°,即AC与BD垂直.
(3)判断直线AD与直线CE的位置关系,并说明理由.
(3)直线AD与直线CE垂直.理由如下:
如答案图,延长CE交AD于点F.
∵△ABD≌△EBC,∴∠D=∠C.
在Rt△ABD中,∠A+∠D=90°,
∴∠A+∠C=90°,
∴∠AFC=90°,即CE⊥AD.(共19张PPT)
第1课时 三角形全等的判定(一)(SAS)
1.如图,AC与BD相交于点P,AP=DP,要利用“SAS”证明△APB≌△DPC,还需添加的条件是( )
A.AB=DC B.PB=PC
C.∠A=∠D D.∠APB=∠DPC
B
2.如图,AA',BB'表示两根长度相同的木条.若O是AA',BB'的中点,经测量AB=9 cm,则容器的内径A'B’为( )
A.8 cm B.9 cm C.10 cm D.11 cm
B
3.如图,AB=AC,AD=AE,下列结论错误的是( )
A.△ABE≌△ACD B.BE⊥AC
C.∠B=∠C D.BD=CE
B
4.(1)如图,∠ACB=∠DBC,AC,BD交于点O.若根据“SAS”来证明△ABC≌△DCB,则需添加的一个条件是 ;
(2)如图,点D在△ABC的边BC上,且AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE,
DE=12,CD=4,则BD= ;
AC=DB(答案不唯一)
8
(3)如图,AD是△ABC的高,AD=BD,点E在AD上,DE=DC,∠AEB=120°,则∠C= .
60°
5.如图1是小高制作的燕子风筝,燕子风筝的骨架图如图2所示.其中AB=AE,AC=AD,∠BAD=∠EAC,∠C=50°,求∠D的大小.
解:∵∠BAD=∠EAC,
∴∠BAD+∠CAD=∠EAC+∠CAD,
即∠BAC=∠EAD.
在△ABC和△AED中,
∴△ABC≌△AED(SAS),∴∠D=∠C=50°.
6.如图,DE∥AB,DE=AC,点D在AC上,且AD=AB.求证:∠EAD=∠CBA.
证明:∵DE∥AB,
∴∠ADE=∠BAC.
在△DAE和△ABC中,
∴△DAE≌△ABC(SAS),
∴∠EAD=∠CBA.
7.如图,在3×3的方格中,每个小方格的边长均为1,若∠1=20°,则∠2的度数为( )
A.80° B.70° C.60° D.20°
B
8.如图,在△ABC中,∠B=∠C=34°,E,F,D分别是AB,AC,BC上的点,且BE=CD,BD=CF,则∠EDF的度数为 .
34°
9.如图,已知OA=OC,OB=OD,且OA⊥OB,OC⊥OD.下列结论:①△AOD≌△COB;②AB=CD;③∠ABC=∠CDA.其中正确的结论
是 .(填序号)
①②③
10.阅读学习“手拉手”模型:如图1.
条件:(1)△ABC和△ADE都是等腰三角形;
(2)∠BAC=∠DAE(顶角相等).
结论:△ABD≌△ACE.
解题思路:左手拉左手(B连D),右手拉右手(C连E),易证:∠BAD=∠CAE,利用边角边证得△ABD≌△ACE.
解决问题:如图2,△ABC和△ECD都是等边三角形.B,C,D三点共线,AD与BE交于点O,AD与CE交于点F,AC与BE交于点G
(1)找出图中的一对全等三角形,并说明理由;
解:(1)△BCE≌△ACD.
理由:∵△ABC和△ECD都是等边三角形,
∴∠BCA=∠ECD=∠BAC=60°,BC=AC,CE=CD,
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE,
即∠BCE=∠ACD,
∴△BCE≌△ACD(SAS).
(2)求∠BOD的度数.
(2)∵△BCE≌△ACD,∴∠ADC=∠BEC.
∵∠EFO=∠CFD,
∴∠EOF=∠DCF=60°,∴∠BOD=120°.
11.如图,在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,C,D,E三点在同一条直线上,连接BD,BE.以下三个结论:①BD=CE;②BD⊥CE;③∠ACE+∠DBC=45°.其中结论正确的是
( )
A.①②③ B.①②
C.①③ D.②③
A
12.(1)在△ABC中,AB=5,AC=3,AD是△ABC的中线,设AD长为m,则m的取值范围是 ;
(2)如图,已知E为线段DF,AC的中点.若BD=3,CF=4,BC=5,则BE的取值范围是 .
1113.已知△ABC和△CDE中,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α,AE与BD交于点F.
(1)如图1,当α=90°时,求证:
①△ACE≌△BCD;②AE⊥BD;
(1)证明:①∵∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE,
即∠ACE=∠BCD.
又∵AC=BC,CE=CD,∴△ACE≌△BCD(SAS).
②∵△ACE≌△BCD,∴∠CAE=∠CBD.
∵∠ACB=90°,∴∠CAE+∠EAB+∠ABC=90°,
∴∠CBD+∠EAB+∠ABC=90°,
∴∠AFB=180°-∠CBD-∠EAB-∠ABC=90°,
∴AE⊥BD.
(2)如图2,当α=60°时,直接写出∠AFB的度数为 ;
(2)提示:同(1)可证得△ACE≌△BCD(SAS),
∴∠CAE=∠CBD.
∵∠CAE+∠EAB+∠ABC=180°-∠ACB=120°,
即∠CBD+∠EAB+∠ABC=180°-∠AFB=120°,
∴∠AFB=60°.故答案为60°.
60°
(3)如图3,直接写出∠AFD的度数为 .(用含α的式子表示)
(3)提示:同(1)可证得△ACE≌△BCD(SAS),
∴∠CAE=∠CBD.
∵∠CAE+∠EAB+∠ABC=180°-∠ACB=180°-α,
∴∠CBD+∠EAB+∠ABC=180°-∠AFB=180°-α,
∴∠AFB=α,∴∠AFD=180°-∠AFB=180°-α.
故答案为180°-α.
180°-α (共19张PPT)
第2课时 角的平分线的判定
1.小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图,一把直尺压住射线OB,另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P,小明说:“射线OP就是∠BOA的平分线.”他这样做的依据是( )
A.在角的内部,到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C.三角形的三条高交于一点
D.三角形三边的垂直平分线交于一点
A
2.如图,在△ABC中,点O是△ABC内一点,且点O到△ABC三边的距离相等.若∠A=40°,则∠BOC的度数为( )
A.110° B.120° C.130° D.140°
A
3.如图,AB=AC,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE与CF交于点D,则下列结论:①△ABE≌△ACF;②△BDF≌△CDE;③点D在∠BAC的平分线上.以上结论正确的是( )
A.①②③ B.②③ C.①③ D.①
A
4.(1)如图,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,且PD=6cm.当PE= cm时,点P在∠AOB的平分线上;
(2)如图,已知PA⊥ON于点A,PB⊥OM于点B,且PA=PB.若∠MON=50°,∠OPC=30°,则∠PCA= °.
6
55
5.如图,已知点P到AE,AD,BC的距离相等,下列说法:①点P在∠BAC的平分线上;②点P在∠CBE的平分线上;③点P在∠BCD的平分线上;④点P在∠BAC,∠CBE,∠BCD的平分线的交点处.其中正确的是 .(填序号)
①②③④
6.如图,点A,B在射线OM上,点C,D在射线ON上,已知AB=CD,S△ABP=S△CDP,求证:点P在∠MON的平分线上.
证明:过点P作PE⊥OM于点E,PF⊥ON于点F,如图.
∵S△ABP=S△CDP,
∴AB·PE=CD·PF.
∵AB=CD,∴PE=PF.
又∵PE⊥OM,PF⊥ON,
∴点P在∠MON的平分线上.
7.(2025·重庆南开)如图,三条笔直公路两两相交,交点分别为A,B,C,现计划修一个油库,要求到三条公路的距离都相等,△ABC内部被河水填满无法施工,则可供选择的地址有( )
A.1处
B.2处
C.3处
D.4处
C
8.如图,在△ABC中,∠ABC,∠EAC的平分线BP,AP交于点P,过点P作PM⊥BE,PN⊥BF,垂足分别为M,N,则下列结论中正确的个数有( )
①CP平分∠ACF;②∠ABC+2∠APC=180°;③∠ACB=2∠APB;④S△ACP=S△AMP+S△CNP.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
D
9.如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P.若∠BPC=42°,则∠CAP的度数为 .
48°
10.如图,在△ABC中,点D在BC边上,∠BAD=100°,∠ABC的平分线交AC于点E,过点E作EF⊥AB,垂足为F,且∠AEF=50°,连接DE.
(1)求∠CAD的度数;
(1)解:∵EF⊥AB,∠AEF=50°,
∴∠FAE=90°-50°=40°.
∵∠BAD=100°,∴∠CAD=180°-100°-40°=40°.
(2)求证:DE平分∠ADC;
(2)证明:如图,过点E作EG⊥AD于点G,EH⊥BC于点H.
∵∠FAE=∠DAE=40°,EF⊥BF,EG⊥AD,
∴EF=EG.
∵BE平分∠ABC,EF⊥BF,EH⊥BC,
∴EF=EH,∴EG=EH.
又∵EG⊥AD,EH⊥BC,∴DE平分∠ADC.
(3)若AB=7,AD=4,CD=8,且S△ACD=15,求△ABE的面积.
(3)解:∵S△ACD=15,∴AD·EG+CD·EH=15,
即×4×EG+×8×EG=15,
∴EG=EF=EH=,
∴S△ABE=AB·EF=×7×=.
11.如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,△ABC的角平分线AD,BE相交于点P,过点P作PF⊥AD交BC的延长线于点F,交AC于点H,则下列结论:①∠APB=135°;②PF=PA;③PH=PD;④连接CP,CP平分∠ACB.其中正确的是( )
A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①②③④
D
12.(1)如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的外角平分线BP,CP交于点P,PE⊥AC于点E.若S△BPC=3,PE=2,S△ABC=5,则△ABC的周长是 ;
11
(2)如图,△ABC的外角∠MBC和∠NCB的平分线BP,CP相交于点P,PE⊥BC于点E且PE=3cm.若△ABC的周长为14cm,S△BPC=7.5cm2,则△ABC的面积为 cm2.
提示:如答案图,过点P作PF⊥AN于点F,PG⊥AM于点G,连接AP.易得PF=PG=PE=3cm.由S△BPC=7.5cm2,可知BC=5cm,
∴AB+AC=9cm,由S△ABC=S△ACP+S△ABP-S△BCP=(AB+AC-BC)×3即可解答.
6
(1)证明:∵点B的坐标是(-1,0),点C的坐标是(1,0),∴OB=OC.
∵DO⊥BC,∴∠DOB=∠DOC=90°.
又∵DO=DO,∴Rt△DOB≌Rt△DOC(SAS),
∴∠BDO=∠CDO,BD=CD.
∵∠BAC=2∠BDO,∴∠BAC=∠BDC.
设AC与BD交于点Q,则∠AQB=∠DQC,
∴∠BAC+∠ABD=∠BDC+∠DCA,
∴∠ABD=∠ACD.
13.如图,在平面直角坐标系中,点B的坐标是(-1,0),点C的坐标是(1,0),点D为y轴上的一点,点A为第二象限内的一动点,且∠BAC=2∠BDO,过点D作DM⊥AC于点M.
(1)求证:∠ABD=∠ACD;
(2)若点E在BA的延长线上,求证:AD平分∠CAE;
(2)证明:过点D作DN⊥BE于点N,如答案图.
∵DM⊥AC,∴∠DNB=∠DMC=90°.
又∵∠NBD=∠MCD,BD=CD,
∴△BDN≌△CDM(AAS),∴DN=DM.
又∵DN⊥AE,DM⊥AC,
∴AD是∠CAE的平分线,即AD平分∠CAE.
(3)当点A运动时,的值是否发生变化 若不变化,请求出其值;若变化,请说明理由.
(3)解:不变化,其值为2.
∵△BDN≌△CDM,∴BN=CM.
易得AN=AM.
又∵BN=AN+AB=AM+AB,CM=AC-AM,
∴AM+AB=AC-AM,即AC-AB=2AM.
∴=2,即的值不发生变化,其值为2.(共16张PPT)
第5课时 三角形全等的判定(四)(HL)
1.如图,AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为C,D,要根据“HL”证明Rt△ABC与Rt△BAD全等,则还需要添加的一个条件是( )
A.∠CAB=∠DBA B.AB=BD
C.BC=AD D.∠ABC=∠BAD
C
2.下列各选项中的两个直角三角形不一定全等的是( )
A.两条直角边对应相等的两个直角三角形
B.两个锐角对应相等的两个直角三角形
C.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形
D.有一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形
B
3.如图,在△ABC中,点D在边BC上,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E,D,BD=CF,BE=CD.若∠AFD=140°,则∠EDF的度数为( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
C
4.如图,AC⊥AB,AC⊥CD,要使得△ABC≌△CDA.
(1)若以“SAS”为依据,需添加条件 ;
(2)若以“HL”为依据,需添加条件 .
5.如图,MN∥PQ,AB⊥PQ,点A,D,B,C分别在直线MN与PQ上,点E在AB上,AD+BC=7,AD=EB,DE=EC,则AB= .
AB=CD
AD=CB
7
6.(2025·重庆一中)如图,AB=AD,AC=AE,AC⊥BC,AE⊥DE,垂足分别为C,E,DE分别交AB,CB于点F,G.
(1)求证:△ABC≌△ADE;
(1)证明:∵AC⊥BC,AE⊥DE,
∴∠C=∠E=90°.
在Rt△ABC和Rt△ADE中,
∴Rt△ABC≌Rt△ADE(HL).
(2)若∠D=30°,∠DAB=28°,求∠DGB的度数.
(2)解:∵△ABC≌△ADE,∠D=30°,
∴∠B=∠D=30°.
又∵∠DAB=28°,
∴∠DFB=∠D+∠DAB=30°+28°=58°,
∴∠DGB=∠DFB+∠B=58°+30°=88°.
7.(2025·成都石室)如图,AD,BE为锐角△ABC的高.若BF=AC,BC=7,CD=2,则AF的长为( )
A.2 B.2.5 C.3 D.4
C
8.如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.若∠BAE=25°,则∠ACF= °.
70
9.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=3.有一条线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动,则当AP= 时,才能使以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC全等.
3或6
10.如图,已知Rt△ABC≌Rt△DBE,∠ACB=∠DEB=90°,∠A=∠D.
(1)若将两个三角形按图1方式摆放,其中点E落在边AB上,DE所在直线交边AC于点F.求证:AF+EF=DE;
(1)证明:如图1,连接BF.
由Rt△ABC≌Rt△DBE知,BC=BE,AC=DE.
∵BF=BF,
∴Rt△BCF≌Rt△BEF(HL),∴CF=EF.
∵AC=DE=AF+CF,∴AF+EF=DE.
(2)若将两个三角形按图2方式摆放,边AC的延长线与DE相交于点F,你认为(1)中的结论还成立吗 若成立,请写出证明过程;若不成立,请写出AF,EF与DE之间的关系,并说明理由.
(2)解:不成立,AF=EF+DE.理由如下:
如图2,连接BF.
由Rt△ABC≌Rt△DBE知,BC=BE,AC=DE.
∵BF=BF,∴Rt△BEF≌Rt△BCF(HL),
∴EF=CF,∴AF=AC+CF=DE+EF.
11.(2025·重庆巴蜀)如图,在△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC交AC于点F,作DE⊥AC,垂足为E,连接AD,若∠BAD=90°,AD=4,AC=7,则EF的长为( )
A.1 B.1.5 C.2 D.2.5
A
12.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(0,3),B(0,1),C(-4,0),点D在y轴右侧.若以A,B,D为顶点的三角形与△ABC全等,则点D的坐标为 .
(4,0)或(4,4)
解析:如答案图,△ABD≌△ABC,△BAD'≌△ABC.过点D'作D'H⊥y轴于点H.易得D(4,0),△AD'H≌△BCO(AAS),可得D'(4,4).故答案为(4,0)或(4,4).
13.如图1,在△ABC中,AB=AC,过点B作射线BE,过点C作射线CF,使∠ABE=∠ACF,且射线BE,CF交于点D.过点A作AM⊥BD于点M.
(1)求证:BM=DM+DC;
(1)证明:如答案图1,过点A作AN⊥CF于点N,连接AD.
∵AM⊥BD,AN⊥CF,∴∠AMB=∠ANC=90°.
在△AMB和△ANC中,
∴△AMB≌△ANC(AAS),
∴BM=CN=DC+DN,AM=AN.
在Rt△AMD和Rt△AND中,
∴Rt△AMD≌Rt△AND(HL),∴DM=DN,∴BM=DM+DC.
(2)如图2,将射线BE,CF分别绕点B和点C顺时针旋转至如图位置,若∠ABE=∠ACF仍然成立,射线BE交射线CF的反向延长线于点D,过点A作AM⊥BD于点M,则(1)中的结论是否仍然成立 如果成立,请证明;如果不成立,线段BM,DM,DC又有怎样的数量关系 并证明你的结论.
(2)解:不成立,BM=DM-DC.证明如下:
如答案图2,过点A作AN⊥CF于点N,连接AD.
同(1)易得△AMB≌△ANC(AAS),
∴BM=CN=DN-DC,AM=AN.
同(1)易得Rt△AMD≌Rt△AND(HL),
∴DM=DN,∴BM=DM-DC.(共42张PPT)
专题五 [提升]
全等三角形常用的基本模型
1.三垂直模型
在三垂直模型中,利用余角的性质寻求两直角三角形中一组对应角相等,再加上任一组对应边相等,易证两直角三角形全等,常见的模型如下:
2.一线三等角模型
如图,∠B=∠C=∠1,由三角形的外角和定理易得∠2=∠3,∠4=∠5,再加上任一组对应边相等,易证两三角形全等.
3.旋转共顶点模型
如图,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD,E为直线AC与BD的交点,则易得△OAC≌△OBD,∠AEB=∠AOB=∠COD,OE平分∠AED.
4.半角模型
(1)正方形半角模型
条件:四边形ABCD是正方形,∠ECF=45°.
结论:①△BCE≌△DCG;②△CEF≌△CGF;③EF=BE+DF;④△AEF的周长=2AB;⑤CE,CF分别平分∠BEF和∠EFD.
(3)等边三角形半角模型Ⅰ(60°-30°型)
条件:△ABC是等边三角形,∠EAD=30°.
结论:①△ABD≌△ACF;②△ADE≌△AFE;③∠ECF=120°.
(4)等边三角形半角模型Ⅱ(120°-60°型)
条件:△ABC是等边三角形,△BDC是等腰三角形,且BD=CD,∠BDC=120°,∠EDF=60°.
结论:①△BDE≌△CDG;②△EDF≌△GDF;③EF=BE+CF;④△AEF的周长=2AB;⑤DE,DF分别平分∠BEF和∠EFC.
(5)等腰三角形半角模型(2α-α型)
条件:△ABC是等腰三角形,∠BAC=2α,AB=AC,∠DAE=α.
结论:①△ABD≌△ACF;②△ADE≌△AFE;③∠ECF=180°-2α.
5.邻边相等对角互补模型
如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD+∠BCD=∠ABC+∠ADC=180°,易证AC平分∠BCD.
1.(2024·黑龙江)在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时.
求证:①△ADC≌△CEB;
(1)证明:①∵∠ACD+∠BCE=90°,∠DAC+∠ACD=90°,
∴∠DAC=∠BCE.
在△ADC和△CEB中,,
∴△ADC≌△CEB(AAS).
②DE=AD+BE;
②∵△ADC≌△CEB,
∴CD=BE,AD=CE,
∴DE=CE+CD=AD+BE.
(2)解:△ADC≌△CEB成立,DE=AD+BE不成立,此时应有DE=AD-BE.理由如下:
∵∠ACD+∠BCE=90°,∠DAC+∠ACD=90°,
∴∠DAC=∠BCE.
又∵AC=BC,∠ADC=∠BEC=90°,∴△ADC≌△CEB(AAS),
∴CD=BE,AD=CE,∴DE=CE-CD=AD-BE.
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,(1)中的结论还成立吗 若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
2.【建立模型】如图1,等腰Rt△ABC的直角顶点B在线段EF上,过点A作AE⊥EF于点E,过点C作CF⊥EF于点F,可以得到结论:△ABE≌△BCF.
【运用模型】请利用这一结论解决下列问题:
(1)如图2,在平面直角坐标系中,A(1,0),C(-1,4),过点A作AB⊥AC,且AB=AC,请直接写出点B的坐标;
解:(1)B(5,2).
(2)在第一象限内存在一点P,使△ABP为等腰直角三角形.理由如下:
分三种情况讨论:
①当∠PAB=90°,AP=AB时,
如答案图1,分别过点B,P作y轴的垂线
交过点A的直线于点E,F,
可得△ABE≌△PAF(AAS),
∴BE=AF,AE=PF.
∵A(-2,6),B(6,2),
∴BE=AF=2+6=8,AE=PF=6-2=4,
∴P(2,14);
(2)如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-2,6),点B的坐标为(6,2),在第一象限内是否存在一点P,使△ABP为等腰直角三角形 若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
②当∠PBA=90°,AB=BP时,
如答案图2,分别过点A,P作x轴的垂线交过点B的直线于点E,F.
同理可得P(10,10);
③当∠APB=90°,AP=BP时,
如答案图3,分别过点A,B作x轴的垂线交过点P的直线于点E,F,
可得△APE≌△PBF(AAS),
∴PE=BF,AE=PF.设P(x,y),
∴PE=x+2,PF=6-x,AE=y-6,BF=y-2,
∴解得∴P(4,8).
综上,在第一象限内存在一点P,使△ABP为等腰直角三角形,点P的坐标为(2,14)或(10,10)或(4,8).
3.已知CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线,CA=CB,E,F是直线CD上的两点,且∠BEC=∠CFA=α.
(1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E,F在射线CD上,请解决下面两个问题:
①如图1,若∠BCA=90°,α=90°,则BE CF,
EF (填“>”“<”或“=”);
=
=
②如图2,若α+∠BCA=180°,则①中的两个结论还成立吗 请说明理由;
解:(1)②成立.理由如下:如图2,当点E在点F左侧时,
∵∠BEC=α,∴∠BCE+∠CBE=180°-α.
又∵α+∠ACB=180°,即∠BCE+∠ACF=180°-α,
∴∠CBE=∠ACF.
在△BCE和△CAF中,
∴△BCE≌△CAF(AAS),∴BE=CF,CE=AF,
∴EF=CF-CE=BE-AF;
当点E在点F右侧时,同理可证EF=AF-BE,
∴EF=.
(2)如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,α=∠BCA,请写出AF,BE,EF三条线段之间的数量关系.(不要求说明理由)
(2)EF=AF+BE.
提示:可证明△BCE≌△CAF得出.
4.已知:在△ABC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线m上,∠BDA=∠AEC=∠BAC.
(1)如图1,若AB⊥AC,则BD与AE的数量关系为 ,BD,CE与DE的数量关系为 ;
(2)如图2,当AB不垂直于AC时,(1)中的结
论是否还成立 请说明理由;
解:(2)(1)中的结论还成立.理由如下:
∵∠BAE=∠BAC+∠CAE=∠B+∠BDA,∠BDA=∠BAC,
∴∠B=∠CAE.
又∵∠BDA=∠AEC,AB=CA,
∴△ABD≌△CAE(AAS),
∴BD=AE,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE.
BD=AE
DE=BD+CE
(3)如图3,若只保持∠BDA=∠AEC,BD=EF=7cm,DE=10cm,点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动,同时点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动,它们运动的时间为t s.是否存在x,使得△ABD与△EAC全等 若存在,求出相应的t与x的值;若不存在,请说明理由.
(3)当△DAB≌△ECA时,AD=CE,BD=AE=7cm.
∵AD+AE=DE=10cm,∴CE=AD=DE-AE=3cm,
∴t==,∴x=3÷=2;
当△DAB≌△EAC时,
AD=AE=DE=5cm,BD=CE=7cm,
∴t==,∴x=7÷=.
综上所述,存在x,使得△ABD与△EAC全等,此时t=,x=2或t=,x=.
5.(2024·成都)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,CE的延长线交BD于点F.
(1)求证:△ACE≌△ABD;
(1)证明:∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE,即∠CAE=∠BAD.
在△ACE和△ABD中,
∴△ACE≌△ABD(SAS).
(2)若∠BAC=∠DAE=40°,请直接写出∠BFC的度数;
(2)解:∠BFC=40°.
(3)过点A作AH⊥BD于点H,求证:EF=HF-DH.
(3)证明:如答案图,连接AF,过点A作AJ⊥CF于点J.
∵△ACE≌△ABD,
∴S△ACE=S△ABD,CE=BD,
∴CE·AJ=BD·AH,
∴AJ=AH.
在Rt△AFJ和Rt△AFH中,
∴Rt△AFJ≌Rt△AFH(HL),
∴FJ=FH.
在Rt△AJE和Rt△AHD中,
∴Rt△AJE≌Rt△AHD(HL),
∴EJ=DH,
∴EF=FJ-EJ=HF-DH.
6.综合与实践:数学活动课上,老师带领同学们以等腰三角形为背景,探究线段之间的关系.
问题情境:已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D是直线BC上的一个动点,连接AD,在直线AD的右侧作∠DAE=90°,且AE=AD,连接CE,DE.
(1)如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形,此时点D在线段BC上,请直接写出线段BD与CE的数量关系与位置关系: , ;
BD=CE
BD⊥CE
解:(2)(1)中的结论仍成立.理由如下:
∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,
即∠BAD=∠CAE.又∵AB=AC,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS),∴BD=CE,∠ABD=∠ACE.
在△ABC中,∠BAC=90°,
∴∠ABC+∠ACB=90°,∴∠ACE+∠ACB=90°,即∠BCE=90°,
∴BD⊥CE.
(2)如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形,此时点D在线段BC的延长线上,请判断(1)中的结论是否仍成立 并说明理由;
(3)“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题,在点D运动的过程中,如果BC=5,CE=2,请直接写出线段CD的长.
(3)分情况讨论:
①当点D在BC上时,如图1,
由(1)可知△ABD≌△ACE,
∴BD=CE=2,∴CD=BC-BD=3;
②当点D在CB的延长线上时,如答案图,
同(2)证得,△ABD≌△ACE,
∴BD=CE=2,
∴CD=BC+BD=5+2=7;
③∵BD=CE=2,BC=5,
∴点D不能在BC的延长线上.
综上所述,CD=3或7.
7.已知边长为4的正方形ABCD,∠EAF的两边分别与射线CB,DC相交于点E,F,且∠EAF=45°,连接EF.求证:EF=BE+DF.
(1)【思路分析】如图1,在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠B=∠ADC=90°,
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE',则点F,D,E'在一条直线上,
则∠E'AF= 度,
…
根据定理,可证△AEF≌△AE'F,
∴EF=BE+DF.
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(2)【类比探究】如图2,当点E在线段CB的延长线上时,试探究BE,DF,EF之间存在的数量关系,并写出证明过程;
解:(2)DF=BE+EF.证明如下:
将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADE',如图2.
∴△ADE'≌△ABE,∠E'AE=90°,
∴AE'=AE,DE'=BE,∠DAE'=∠BAE.
∵∠EAF=45°,∴∠E'AF=∠E'AE-∠EAF=45°,
∴∠E'AF=∠EAF.
又∵AF=AF,∴△AEF≌△AE'F(SAS),
∴EF=E'F,∴DF=DE'+E'F=BE+EF.
(3)【拓展应用】如图3,在△ABC中,AB=AC,点D,E在BC上,且∠BAC=2∠DAE.若S△ABC=14,S△ADE=6,求线段BD,DE,EC围成的三角形的面积.
(3)将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACD',连接ED',如图3.
∴△ACD'≌△ABD,∴CD'=BD,
∴S△ABC=S四边形AD'CD=14.
同(2)可得△ADE≌△AD'E(SAS),
∴DE=D'E,S△ADE=S△AD'E=6,
∴BD,DE,EC围成的三角形的面积为CD',D'E,EC围成的三角形的面积,即S△ED'C=S四边形AD'CD-S△ADE-S△AD'E=2.
8.(1)如图1,在正方形ABCD中,AB=2,点M,N分别在AD,CD上.若∠MBN=45°,求△DMN的周长;
解:(1)如图1,把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合,
则AM=CM',BM=BM',∠A=∠BCM',∠ABM=∠CBM'.
在正方形ABCD中,∠A=∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=CD=AD,
∴∠BCM'+∠BCD=180°,∴M',C,N三点共线.
∵∠MBN=45°,∴∠ABM+∠CBN=45°,
∴∠M'BN=∠CBM'+∠CBN=∠ABM+∠CBN=45°,即∠M'BN=∠MBN.
又∵BN=BN,∴△MBN≌△M'BN(SAS),
∴MN=M'N.
∵M'N=CM'+CN=AM+CN,∴MN=AM+CN,
∴△DMN的周长=MN+DM+DN=AM+DM+DN+CN=2AB=4.
(2)如图2,在四边形ABCD中,AB=BC,∠A+∠C=180°,点M,N分别在AD,CD上.若∠MBN=∠ABC,试探索线段AM,CN,MN之间有怎样的数量关系 请写出猜想,并给出证明;
(2)MN=AM+CN.证明如下:
如图2,把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合,则AM=CM',BM=BM',∠A=∠BCM',∠ABM=∠CBM'.
∵∠A+∠BCD=180°,∴∠BCM'+∠BCD=180°,
∴M',C,N三点共线.
∵∠MBN=∠ABC,
∴∠ABM+∠CBN=∠ABC=∠MBN,
∴∠M'BN=∠CBM'+∠CBN=∠ABM+∠CBN,
即∠M'BN=∠MBN.
又∵BN=BN,∴△MBN≌△M'BN,∴MN=M'N.
∵M'N=CM'+CN=AM+CN,∴MN=AM+CN.
(3)如图3,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC+∠ADC=180°,点M,N分别在DA,CD的延长线上.若∠MBN=∠ABC,试探索线段AM,CN,MN之间的数量关系,并给出证明.
(3)MN=CN-AM.证明如下:
如图3,在CN上截取CM'=AM,连接BM'.
在四边形ABCD中,∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠C+∠BAD=180°.
又∵∠BAM+∠BAD=180°,∴∠BAM=∠C.
又∵AB=BC,∴△ABM≌△CBM'(SAS),
∴AM=CM',BM=BM',∠ABM=∠CBM',
∴∠MBM'=∠ABC.
∵∠MBN=∠ABC,
∴∠MBN=∠MBM'=∠M'BN.
又∵BN=BN,∴△MBN≌△M'BN(SAS),
∴MN=M'N.
∵M'N=CN-CM'=CN-AM,
∴MN=CN-AM.
9.如图,在四边形ABCD中,CE⊥AB,已知CB=CD,AC平分∠BAD.求证:
(1)∠B+∠ADC=180°;
证明:(1)如图,过点C作CF⊥AD,交AD的延长线于点F.
∵AC平分∠BAD,CE⊥AB,CF⊥AD,
∴∠CEB=∠CFD=90°,CE=CF.
又∵CB=CD,
∴Rt△CEB≌Rt△CFD(HL),
∴∠B=∠CDF,BE=DF.
∵∠CDF+∠ADC=180°,∴∠B+∠ADC=180°.
(2)AB+AD=2AE.
(2)∵∠CAF=∠CAE,∠F=∠CEA=90°,AC=AC,
∴△AFC≌△AEC(AAS),∴AF=AE.
∵AF=AD+DF,BE=DF,∴AF=AD+BE.
又∵AE=AB-BE,∴AF+AE=AB+AD,
∴AB+AD=2AE.
10.已知在四边形ABCD中,AB=AD,∠EAF=∠BAD.
(1)如图1,∠ABC=∠ADC=90°,E,F分别是边BC,CD上的点,线段EF,BE,DF之间的关系是 ;
EF=BE+DF
(2)如图2,∠ABC+∠ADC=180°,E,F分别是边BC,CD上的点,(1)中的结论是否仍然成立 若成立,请证明;若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明;
解:(2)(1)中的结论仍然成立,即EF=BE+FD,证明如下:
如答案图1,延长CD至点G,使DG=BE,连接AG.
∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ADG+∠ADC=180°,
∴∠ADG=∠ABC.又∵AB=AD,
∴△ABE≌△ADG(SAS),∴∠DAG=∠BAE,AE=AG.
∵∠EAF=∠BAD,
∴∠BAE+∠DAF=∠BAD,∴∠DAG+∠DAF=∠BAD,
∴∠GAF=∠EAF.
又∵AF=AF,∴△EAF≌△GAF(SAS),
∴EF=FG=DG+DF=BE+DF.
(3)如图3,∠ABC+∠ADC=180°,E,F分别是边BC,CD延长线上的点,(1)中的结论是否仍然成立 若成立,请证明;若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明.
(3)(1)中的结论不成立,EF=BE-FD,证明如下:
如答案图2,延长CD至点G,使DG=BE,连接AG,
∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ADG+∠ADC=180°,
∴∠ADG=∠ABC.
又∵AB=AD,
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴∠DAG=∠BAE,AE=AG,
∴∠BAD=∠EAG.
∵∠EAF=∠BAD,∴∠EAF=∠EAG,
∴∠GAF=∠EAG,∴∠GAF=∠EAF.
又∵AF=AF,∴△EAF≌△GAF(SAS),
∴EF=FG=DG-DF=BE-DF.