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专题八 [方法]等腰(边)三角形中常见辅助线
在等腰三角形中有一个重要的性质:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合,我们把这个性质称为“三线合一”.也就是“等腰”加“一线”可以推出其余“两线”,用作推论即“等腰”“平分线”“中线”“高”四个条件可“知二得二”.
等腰三角形中的“三线”可以产生等角、等边(中点)、垂直等结论,为解题提供大量相关条件,所以等腰三角形的“三线”是一种常见的辅助线.
等腰三角形“三线合一”的性质常用来证明两线垂直、两线段相等、两角相等、线段的和差倍分等.
1.如图,已知等边△ABC,E为BC延长线上的一点,点D,M分别是AC,BE的中点,且CE=CD.求证:DM⊥BC.
证明:如答案图,连接BD.
∵△ABC是等边三角形,点D是AC的中点,
∴BD平分∠ABC,∠ABC=∠ACB=60°.
∴∠DBC=∠ABC=30°.
∵CD=CE,∴∠E=∠EDC=∠ACB=30°.
∴∠E=∠DBC.∴BD=DE.
∵点M是BE的中点,∴DM⊥BE,即DM⊥BC.
2.如图,在△ABC中,AB=AC,CE⊥AE于点E,CE=BC,点E在△ABC外,求证:∠B=∠ACE.
证明:如答案图,过点A作AF⊥BC于点F.
∵AB=AC,AF⊥BC,
∴BF=CF=BC,∠AFB=90°.
∵CE=BC,∴BF=CE.
又∵CE⊥AE,∴∠E=∠AFB=90°.
在Rt△ABF和Rt△ACE中,
∴Rt△ABF≌Rt△ACE(HL).
∴∠B=∠ACE.
3.如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,点P是斜边AB的中点,点D,E分别在边AC,BC上,连接PD,PE.若PD⊥PE.
(1)求证:PD=PE;
(1)证明:如图1,连接PC.
∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠A=∠B=45°.
∵点P为斜边AB的中点,∴CP⊥AB,
∴∠DCP=∠BCP=45°=∠B,∠CPB=90°,
∴CP=BP.
∵PD⊥PE,∴∠DPE=90°,∴∠DPC=∠EPB,
∴△DPC≌△EPB(ASA),∴PD=PE.
(2)若点D,E分别在边AC,CB的延长线上,如图2,其他条件不变,(1)中的结论是否成立 并加以证明.
(2)解:PD=PE仍成立,证明如下:
如图2,连接CP.
∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠A=∠ABC=45°.
∵点P为斜边AB的中点,∴CP⊥AB,
∴∠ECP=45°=∠ABC=∠A=∠ACP,
∴CP=AP.
∵PD⊥PE,CP⊥AB,
∴∠DPE=∠CPA=90°,∴∠APD=∠CPE,
∴△APD≌△CPE(ASA),∴PD=PE.
4.已知,在△ABC中,AB=AC,D为边AB上一点,E为AC延长线上的一点,连接DE交BC于点F,且DF=EF.
(1)如图1,求证:BD=CE;
(1)证明:如答案图,过点D作DG∥AE,交BC于点G.
∴∠FDG=∠E.
在△DGF和△ECF中,
∴△DGF≌△ECF(ASA),∴DG=CE.
∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.
∵DG∥AE,∴∠DGB=∠ACB,∴∠B=∠DGB,
∴DG=BD,∴BD=CE.
(2)如图2,过点D作DG∥BC交AC于点G.若∠BCA=60°,CF=BD,在不添加任何辅助线的情况下,直接写出图2中与线段AD相等的四条线段(线段AD除外).
(2)解:与AD相等的线段有DG,GE,AG,BF.
5.已知,△ABC为等边三角形,点D为直线AC上的一个动点,点E为BC延长线上一点,且BD=DE.
(1)如图1,若点D在边AC上,猜想线段AD与CE之间的关系,并说明理由;
解:(1)AD=CE,理由如下:
如答案图1,过点D作DP∥BC,交AB于点P.
∵△ABC是等边三角形,∴△APD也是等边三角形,
∴AP=PD=AD,∠APD=∠ACB=60°,∴∠BPD=∠DCE.
∵DB=DE,∴∠DBC=∠DEC.
∵DP∥BC,∴∠PDB=∠CBD,∴∠PDB=∠DEC.
在△BPD和△DCE中,
∴△BPD≌△DCE(AAS),∴PD=CE,∴AD=CE.
(2)如图2,若点D在AC的延长线上,(1)中的结论是否成立 请说明理由.
(2)成立.理由如下:
如答案图2,过点D作DP∥BC,交AB的延长线于点P.
∵△ABC是等边三角形,
∴△APD也是等边三角形,
∴AP=PD=AD,∠APD=∠ABC=∠ACB=∠ECD=60°.
∵DB=DE,∴∠DBC=∠DEC.
∵DP∥BC,∴∠PDB=∠CBD,
∴∠PDB=∠DEC.
在△BPD和△DCE中,
∴△BPD≌△DCE(AAS),∴PD=CE,∴AD=CE.
6.如图,在△ABC中,BP平分∠ABC,AP⊥BP于点P.若S△ABC=12,则S△PBC= .
6
7.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°.
(1)如图1,BE平分∠ABC交AC于点E,过点A作AH⊥BE的延长线于点H,求证:BE=2AH;
(1)证明:延长BC,AH交于点M,如答案图1.
∵∠ACB=90°,AH⊥BH,
∴∠AHB=∠ACB=90°,
∴∠M+∠EBC=∠M+∠MAC=90°,
∴∠EBC=∠MAC.
又∵AC=BC,∠ACM=∠BCE=90°,
∴△MAC≌△EBC(ASA),∴AM=BE.
∵BH平分∠ABM,BH⊥AM,
易知AH=HM=AM.
∵BE=AM,∴BE=2AH.
(2)如图2,当点D在线段AB上时,且∠ADE=∠ABC,AH⊥DE,垂足为H,DE交AC于点E,请猜想线段AH与DE之间的数量关系,并证明;
(2)解:DE=2AH,证明如下:
过点D作DM∥BC交AH的延长线于点M,
交AC于点N,如答案图2.
则∠AND=90°,∠ADN=∠ABC.
∵∠ADE=∠ABC,∴DE平分∠ADN,
由(1)可得DE=2AH.
(3)如图3,当点D在AB的延长线上时,且∠ADE=∠ABC,AH⊥DE,垂足为H,DE交AC于点E,交BC于点F,且满足DF=2CF,求证:AH=BC-BD.
(3)证明:过点D作DM∥BC交AH的延长线于点M,交AC的延长线于点P,过点B作BN⊥DH于点N,如答案图3.
同理可证DE=2AH.
∵∠ADE=∠ABC,即∠FDB=∠FBA.
∵∠FBA=∠BFD+∠FDB,
∴∠BFD=∠FDB,∴FB=BD.
∵BN⊥FD,∴2FN=FD.
∵DF=2CF,∴CF=FN.
又∵∠EFC=∠BFN,FC=FN,∠FCE=∠FNB,
∴△ECF≌△BNF(ASA),∴EF=BF=BD,
∴2BC=2(BF+CF)=2BD+2CF=BD+EF+DF
=BD+DE=BD+2AH.
∴2BC-BD=2AH,即AH=BC-BD.
8.如图,已知△ABC中,∠B是锐角,且∠B=2∠C,AD是BC边上的高.求证:AB+BD=DC.
证明:如答案图,在线段DC上取一点E,使DE=DB,连接AE.
∵AD⊥BC,DE=DB,
∴AB=AE.∴∠AEB=∠B.
又∵∠B=2∠C,∴∠AEB=2∠C.
∵∠EAC+∠C=∠AEB,
∴∠EAC=∠C.∴AE=CE.
∴CE=AE=AB.
∴DC=CE+DE=AB+BD,即AB+BD=DC.
9.如图,在△ABC中,AB=AC,D为△ABC外一点,且∠ABD=60°,
∠BDC+2∠ADB=180°,请写出线段BD,CD与AB之间的数量关系,并证明你的结论.
解:BD+CD=AB.证明如下:
如答案图,延长CD到点E,使ED=BD,连接AE.
∵∠BDC+2∠ADB=180°,∠BDC+∠BDE=180°,
∴∠BDE=2∠ADB.∴∠ADE=∠ADB.
在△ADE和△ADB中,
∴△ADE≌△ADB(SAS),∴AE=AB,∠E=∠ABD=60°.
∵AB=AC,∴AE=AC,∴△ACE是等边三角形,∴CE=AC=AB.
∵CE=ED+CD=BD+CD,∴BD+CD=AB.
10.如图,AB∥CD,∠1=∠2,AD=AB+CD.
(1)求证:BE=CE;
证明:(1)如答案图,延长AB,DE交于点F,则∠1=∠2=∠F,
∴AD=AF.
∵AD=AB+CD,∴CD=BF.
∵∠2=∠F,∠DEC=∠FEB,CD=BF,
∴△DCE≌△FBE(AAS),∴BE=CE.
(2)求证:AE⊥DE.
(2)∵△DCE≌△FBE,∴DE=EF.
∵AD=AF,∴AE⊥DE.
11.如图1,在△ABC中,∠B是锐角,AD⊥BC于点D,且∠B=2∠C,AB=3.5,BD=1,求DC的长.
小亮积极思考后提出了自己的想法:
解:如图2,延长DB到点E,使BE=AB,连接AE.……
请根据小亮的思路写出完整的解题步骤.
解:∵EB=AB=3.5,
∴∠E=∠EAB.
∵∠ABD=∠E+∠EAB=2∠E,∠ABD=2∠C,
∴∠E=∠C,∴AE=AC.
∵AD⊥BC,
∴ED=DC=EB+BD=3.5+1=4.5,
∴DC的长为4.5.
12.阅读理解:在一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时,我们可以通过以下三种方法转化倍角寻找等腰三角形:
如图1,若∠ABC=2∠C,可作BD平分∠ABC,则 是等腰三角形;
如图2,若∠ABC=2∠C,延长CB至点D,使BD=BA,连接AD,则△ABD与
是等腰三角形;
△DBC
△ACD
如图3,若∠B=2∠ACB,以点C为顶点,CA为一边,在△ABC外作∠ACD= ,交BA的延长线于点D,则△DBC是等腰三角形.
解决问题:如图4,在△ABC中,∠ACB=2∠B,BC=2AC,求证:∠A=90°.
证明:如答案图,在BC的延长线上截取CH=AC,在BC上截取CE=CA,连接AH,AE.
∵BC=2AC,∴BE=CE=AC.
∠ACB
∵AC=CH,∴BE=CH,∠H=∠CAH,
∴∠ACB=∠H+∠CAH=2∠H.
又∵∠ACB=2∠B,∴∠H=∠B,
∴AH=AB,
∴△ABE≌△AHC(SAS),
∴AE=AC=CE,
∴△ACE是等边三角形,∴∠ACB=60°,
∴∠B=30°,∴∠BAC=90°.(共14张PPT)
第2课时 作对称轴
1.下列图形中,对称轴条数最多的是( )
A
2.下列尺规作图,能确定AD=BD的是( )
B
3.在“线段、锐角、三角形、等边三角形”这四个图形中,一定是轴对称图形的有 个,其中对称轴条数最多的是 ,线段的对称轴是 .
4.如图,等边△ABC的边长为1cm,D,E分别是AB,AC上的点,将△ADE沿直线DE折叠,使点A落在点A'处,且点A'在△ABC的外部,则图中阴影部分图形的周长为 cm.
3
等边三角形
它的垂直平分线及线段本身所在的直线
3
5.请仅用无刻度的直尺完成下列画图,不写画法,保留画图痕迹.
(1)如图①,四边形ABCD中,AB=AD,BC=DC,画出四边形ABCD的对称轴m;
(2)如图②,四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=∠D,画出BC边的垂直平分线n.
解:(1)答案如图①,直线m即为所求作.
(2)答案如图②,直线n即为所求作.
6.(2025·重庆巴蜀)如图,在△ABC外有一点D,满足BC⊥BD且BC=BD.
(1)过点B作直线AB的垂线,交AC于点F,并在射线BF上取BE=BA,连接DE交AC于点G;(尺规作图,保留作图痕迹)
解:(1)作图如答案图所示.
(2)求∠AGD的度数.
(2)∵BC⊥BD,AB⊥BE,
∴∠CBD=∠ABE=90°,
∴∠ABC=∠EBD.
在△ABC和△EBD中,
∴△ABC≌△EBD(SAS),
∴∠A=∠BED.
又∵∠AFB=∠EFG,
∴∠EGF=∠ABF=90°,
∴∠AGD=180°-90°=90°.
7.如图,在正方形网格中,A,B两点均在直线a上方,要在直线a上求一点P,使PA+PB的值最小,则点P应选在( )
A.点C B.点D C.点E D.点F
C
8.如图,在△ABC中,∠A=20°,沿BE将此三角形对折,又沿BA'再一次对折,点C落在BE上的点C'处,此时∠C'DB=74°,则原三角形中∠C的度数为( )
A.27° B.59° C.69° D.79°
D
9.(2024·杭州)如图,一张长方形纸折叠后压平,点F在线段BC上,EF,GF为两条折痕.若∠BFE=51°,∠CFG=47°,则∠C'FB'的度数为 .
16°
10.【新教材改编】有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A,B,如图.电信部门要修建一座信号发射塔,按照设计要求,发射塔到两个城镇A,B的距离必须相等,到两条公路l1,l2的距离也必须相等,
发射塔C应修建在什么位置 请用尺规作
图找出所有符合条件的点,注明点C的位
置.(保留作图痕迹,不要求写出画法)
解:如答案图所示,C1,C2就是所求的位置.
11.如图,小聪用一张面积为1的正方形纸片,按如下方式操作:①将正方形纸片四角向内折叠,使四个顶点重合,展开后沿折痕剪开,把四个等腰直角三角形扔掉;②在余下纸片上依次重复以上操作,当完成第2 025次操作时,余下纸片的面积为( )
A.22 025 B.
C. D.
C
12.如图,将一张长方形的纸对折,可得到一条折痕(图中虚线);再连续对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行;对折三次,可以得到7条折痕;那么对折四次,可以得到 条折痕;对折n次,可以得到 条折痕.
15
(2n-1)
13.如图,△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称,△A'B'C'和△A″B″C″关于直线EF对称.
(1)利用尺规作图作出直线EF;
解:(1)如答案图,连接B'B″,作线段B'B″的垂直平分线EF即为所求.
(2)直线MN与EF相交于点O,试探究∠BOB″与直线MN,EF所夹锐角α的数量关系.
(2)如答案图,连接BO,B'O,B″O.
∵△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称,
∴∠BOM=∠B'OM.
又∵△A'B'C'和△A″B″C″关于直线EF对称,∴∠B'OE=∠B″OE.
∴∠BOB″=∠BOM+∠B'OM+∠B'OE+∠B″OE=2(∠B'OM+∠B'OE)=2α,
即∠BOB″=2α.(共20张PPT)
第2课时 “30°角所对直角边等于斜边的一半”的运用
1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD是斜边AB上的高,AD=3 cm,则AB的长度是( )
A.3 cm B.6 cm C.9 cm D.12 cm
D
2.如图,一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下,倒下部分与地面成30°夹角,这棵大树在折断前的高度为( )
A.10米 B.15米 C.25米 D.30米
B
3.如图,在等边△ABC中,BC=8,点D是AB的中点,过点D作DF⊥AC于点F,过点F作FE⊥BC于点E,则BE的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
C
4.(1)【跨学科融合】如图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC,DE垂直于横梁AC.若BC=4 m,∠A=30°,则DE= ;
(2)如图,AB=AC,∠BAC=120°,D是BC的中点,DE⊥AB于点E.若AD=3cm,则AB= cm,BE= cm.
2 m
6
4.5
5.(1)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AC的垂直平分线EF交AC于点E,交BC于点F.若CF=3.5,则BF= ;
(2)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,BC=8cm,AB的垂直平分线交BC于点M,交AB于点E,AC的垂直平分线交BC于点N,交AC于点F,则ME的长为 cm.
7
6.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D,E.
(1)求证:AE=2CE;
(1)证明:如图,连接BE.
∵∠A=30°,∠ACB=90°,∴∠ABC=60°.
∵DE是AB的垂直平分线,
∴AE=BE,∴∠ABE=∠A=30°,
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°.
∴在Rt△BCE中,BE=2CE,∴AE=2CE.
(2)连接CD,请判断△BCD的形状,并说明理由.
(2)解:△BCD是等边三角形,理由如下:
如图,连接CD.
∵DE垂直平分AB,∴点D为AB的中点,
∴BD=AB.
∵∠A=30°,∠ACB=90°,∴BC=AB,∴BD=BC.
又∵∠ABC=60°,∴△BCD是等边三角形.
7.如图,OE平分∠AOB,∠AOE=15°,DE∥OB交OA于点D,EC⊥OB,垂足为C.若EC=2,则OD的长为( )
A.2 B.2 C.4 D.4+2
8.如图,点D在线段BC上,连接AD,BD=CD,CA⊥AD,∠1=30°,AB=4,则AC的长为 .
C
2
9.校园内有一块四边形的草坪造型,课外活动小组实地测量,并记录数据,
根据造型画如图的四边形ABCD,其中AB=CD=2m,AD=BC=3m,∠B=30°.
(1)求证:△ABC≌△CDA;
(1)证明:在△ABC和△CDA中,
∴△ABC≌△CDA(SSS).
(2)求草坪造型的面积.
(2)解:如图,过点A作AE⊥BC于点E,
∴∠AEB=90°.
∵∠B=30°,AB=2m,∴AE=AB=1m.
∴S△ABC=BC·AE=×3×1=(m2).
∵△ABC≌△CDA,∴S△ABC=S△CDA=m2,
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△CDA=3m2,
∴草坪造型的面积为3m2.
10.如图,△ABC是边长为6的等边三角形,点P是AC边上的一动点,由点A向点C运动(与点A,C不重合),点Q是CB延长线上的一点,与点P同时以相同的速度由点B向CB的延长线方向运动(点Q不与点B重合),过点P作PE⊥AB于点E,连接PQ交AB于点D.
(1)当∠BQD=30°时,求AP的长;
(1)解:设AP=x,则BQ=x,PC=6-x,CQ=6+x.
∵∠BQD=30°,∠C=60°,∴∠QPC=90°.
∴QC=2PC,即x+6=2(6-x),解得x=2,即AP=2.
(2)求证:在运动过程中,点D是线段PQ的中点;
(2)证明:如图,过点P作PF∥BC,交AB于点F.
∴∠PFA=∠ABC=∠FPA=∠C=∠A=60°,
∠DBQ=∠DFP,
∴PF=AP=AF.∴PF=QB.
又∵∠BDQ=∠FDP,∴△DQB≌△DPF.
∴DQ=DP,即点D是线段PQ的中点.
(3)运动过程中,线段ED的长是否发生变化 如果不变,求出线段ED的长;如果变化,请说明理由.
(3)解:运动过程中线段ED的长不发生变化,为3.
∵PF=AP=AF,PE⊥AF,∴EF=AF.
又∵△DQB≌△DPF,∴DF=DB,即DF=BF.
∴ED=EF+DF=(AF+BF)=AB=3.
11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,∠BAD=∠ADE=60°,DE=3,
AB=10,CE平分∠ACB,DE与CE相交于点E,则AD的长为( )
A.4 B.13 C.6.5 D.7
D
12.(1)如图,已知等边△ABC的边长为6cm,直线m⊥AC于点Q,交△ABC的另一边于点P,直线m以1cm/s的速度由点A向点C平移,到点C时停止,同时点G从点C出发,以3cm/s的速度沿C→B→A的路线运动,到点A时停止,连接PG.若△BPG为直角三角形,则直线m的运动时间为 ;
s或 s
(2)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,连接AC,BD.若∠ACB=90°,AC=BC,AB=BD,则∠ADC的度数为 .
提示:过点D,C分别作AB的垂线,垂足为E,F,则DE=CF=AB=BD,由此可求出∠ABD的度数.
105°
13.如图,在等边△ABC中,AD⊥BC于点D,P是AB边上的任意一点(点P可以与点A重合,但不与点B重合),过点P作PE⊥BC,垂足为E,过点E作EF⊥AC,垂足为F.
(1)求证:2BD=2CF+BE;
(1)证明:∵△ABC是等边三角形,AD⊥BC,
∴BC=2BD,∠C=60°.
∵EF⊥AC,∴∠EFC=90°,
∴∠FEC=30°,∴EC=2CF.
∵BC=EC+BE,∴2BD=2CF+BE.
(2)若AB=4,过点F作FQ⊥AB,垂足为Q,PQ=1,求PB的长.
(2)解:设PB=x,
∵PE⊥BC,∠B=60°,∴∠BPE=30°,
∴BE=x,CE=4-x.
∵EF⊥AC,∠C=60°,∴∠FEC=30°,
∴CF=CE=2-x,∴AF=4-CF=2+x.
∵∠BAC=60°,FQ⊥AB,∴∠AFQ=30°,
∴AQ=AF=1+x.
①如答案图1,BP+PQ+AQ=AB,
即x+1+1+x=4,解得x=,∴PB=;
②如答案图2,BP+AQ-PQ=AB,
即x+1+x-1=4,解得x=,∴PB=.
综上所述,PB的长为或.(共33张PPT)
《轴对称》章末考点复习与小结
1.(2025·重庆巴蜀)下列图形中,不是轴对称图形的是( )
D
2.如图,将一个三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠,使点C落在AB边上的点E处,折痕为BD,则下列结论一定正确的是( )
A.AD=BD B.AE=AC
C.ED+EB=DB D.AE+CB=AB
D
3.如图,△ABC和△A'B'C'关于直线l对称,下列结论:①△ABC≌△A'B'C';②∠BAC=∠B'A'C';③直线l垂直平分CC';④直线l平分∠CAC'.正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
D
4.如图,在△ABC中,AB=AC,BC=6,面积是24;AC的中垂线分别交AB,AC边于点E,F.若点D是边BC的中点,M是线段EF上的一动点,则△CDM周长的最小值为 .
11
5.在平面直角坐标系中,将点A(-1,-2)向右平移3个单位长度得到点B,则点B关于x轴的对称点B'的坐标为( )
A.(-3,-2) B.(2,2)
C.(-2,2) D.(2,-2)
6.已知点P(1,a)与点Q(b,2)关于x轴对称,又有点Q(b,2)与点M(m,n)关于y轴对称,则m-n的值为( )
A.3 B.-3 C.1 D.-1
B
B
7.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的各顶点坐标分别为A(-1,4),B(4,3),C(1,1).
(1)利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点,画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1,并直接写出△A1B1C1各顶点的坐标;
解:(1)画图略.A1(-1,-4),B1(4,-3),C1(1,-1).
(2)求△A1B1C1的面积.
(2)=S△ABC
=3×5-×1×5-×2×3-×2×3=.
8.如图,在等腰△ABC中,∠ABC=118°,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交AC于点E,BC的垂直平分线PQ交BC于点P,交AC于点Q,连接BE,BQ,则∠EBQ的度数为( )
A.65° B.60° C.56° D.50°
C
9.如图,在△ABC中,点D在AB上,点E在BC上,DE为AB的中垂线.若∠B=∠C,且∠EAC>90°,则根据图中标示的角,下列叙述正确的是( )
A.∠1=∠2,∠1<∠3
B.∠1=∠2,∠1>∠3
C.∠1≠∠2,∠1<∠3
D.∠1≠∠2,∠1>∠3
B
10.如图,已知AD是△ABC的角平分线,AD的中垂线交AB于点F,交BC的延长线于点E,连接AE,DF.以下四个结论:①∠EAD=∠EDA;②DF∥AC;③∠FDE=90°;④∠B=∠CAE.其中恒成立的有( )
A.①② B.②③④
C.①②④ D.①②③④
C
11.(1)如图,在△ABC中,AF平分∠BAC,AC的垂直平分线DE交BC于点E,连接AE,∠B=70°,∠FAE=19°,则∠C的度数为 ;
(2)如图,线段AB,BC的垂直平分线l1,l2相交于点O.若∠1=39°,则∠AOC的度数为 .
24°
78°
12.如图,已知∠MBN,A为射线BM上一定点.
(1)尺规作图:按要求完成下列作图.(不写作法,保留作图痕迹)
①作线段BC=BA,点C在射线BN上;
②作线段AB的垂直平分线DE,分别交AB,BC于点D,E;
解:(1)①如答案图,线段BC即为所求作.
②如答案图,直线DE即为所求作.
(2)在(1)的条件下,连接AC,AE,若AC=AE,求∠B的度数.
(2)∵BA=BC,AC=AE,
∴∠BAC=∠ACB=∠AEC.
∵DE垂直平分线段AB,∴EA=EB,
∴∠B=∠BAE.
∵∠AEC=∠B+∠BAE,
∴∠AEC=∠ACB=∠BAC=2∠B.
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°,
∴5∠B=180°,∴∠B=36°.
13.等腰三角形的一个内角为40°,则它一条腰上的高与另一条腰的夹角为( )
A.50° B.40°
C.50°或40° D.10°或50°
14.下列对△ABC的判断,错误的是( )
A.若AB=AC,∠B=60°,则△ABC是等边三角形
B.若∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5,则△ABC是直角三角形
C.若∠A=20°,∠B=80°,则△ABC是等腰三角形
D.若AB=BC,∠C=40°,则∠B=40°
D
D
15.如图,在锐角△ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,连接BE,CD.下列命题中,是假命题的是( )
A.若CD=BE,则∠DCB=∠EBC
B.若∠DCB=∠EBC,则CD=BE
C.若BD=CE,则∠DCB=∠EBC
D.若∠DCB=∠EBC,则BD=CE
16.如图,在△ABC的边BC上有D,E两点,连接AD,AE.若AB=BE,CA=CD,且∠BAC=100°,则∠DAE的度数为( )
A.80° B.40° C.30° D.20°
A
B
17.(1)如图,∠A=60°,CE⊥AB于点E,BD⊥AC于点D,BD与CE相交于点H,HD=1,HE=2,则BD+CE的值为 ;
(2)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,DE=3cm,则BF= cm.
9
6
18.(2025·重庆育才)如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC,点F在BC延长线上,且EB=EF.若BD=4,BF=8,则线段DE的长为 .
2
19.(2024·福建)如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,点D是AB上一点,过点D作DE⊥BC交BC于点E,交CA的延长线于点F.
(1)证明:△ADF是等腰三角形;
(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵FE⊥BC,
∴∠F+∠C=90°,∠BDE+∠B=90°,
∴∠F=∠BDE.
∵∠BDE=∠FDA,∴∠F=∠FDA,
∴△ADF是等腰三角形.
(2)若∠B=60°,BD=16,AD=5,求EC的长.
(2)解:∵∠DEB=90°,∠B=60°,BD=16,
∴∠BDE=30°,
∴BE=BD=8.
∵AB=AC,
∴△ABC是等边三角形,
∴BC=AB=AD+BD=5+16=21,
∴EC=BC-BE=21-8=13.
20.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC.点D为△ABC外一点,连接BD交AC于点F,连接CD,且满足∠BDC=90°,连接AD,过点A作AE⊥AD交CD的延长线于点E.
(1)求证:AE=AD;
证明:(1)∵∠BAC=∠BDC=90°=∠DAE,
∴∠BAD=∠EAC,∠ABF+∠AFB=90°
=∠DFC+∠DCF,∴∠ABD=∠ACE.
又∵AB=AC,
∴△ABD≌△ACE(ASA),∴AE=AD.
(2)若点F为AC的中点,求证:DE=4DF.
(2)如图,延长EA交BD于点H,过点A作AN⊥BD于点N.
∵AE=AD,∠DAE=90°,
∴∠E=∠ADE=45°,∠DAH=90°.
∵∠BDC=90°,∴∠BDE=90°,
∴∠AHD=45°=∠ADH=∠E,
∴AD=AH,DH=DE.
∵AN⊥BD,∴HN=DN.
∵点F是AC的中点,∴AF=CF.
又∵∠ANF=∠CDF=90°,∠AFN=∠CFD,
∴△AFN≌△CFD(AAS),
∴NF=DF,∴DN=2DF,∴DH=4DF.
∴DE=4DF.
21.如图1,△ACB为等腰三角形,∠ABC=90°,点P在射线BC上(不与点B,C重合),以AP为腰长向下作等腰Rt△PAQ,QE⊥AB于点E.
(1)当点P在线段BC上时,求证:△PAB≌△AQE;
(1)证明:∵∠ABC=90°,△PAQ是等腰直角三角形,QE⊥AB于点E,
∴AP=AQ,∠ABP=∠QEA=∠QAP=90°,
∴∠QAE+∠BAP=∠BAP+∠APB=90°,
∴∠QAE=∠APB,
∴△PAB≌△AQE(AAS).
(2)在(1)的条件下,连接CQ交AB于点M,求的值;
(2)解:∵△PAB≌△AQE,∴PB=AE,AB=QE.
∵AB=CB,∴QE=CB.
又∵∠QEM=∠CBM,∠QME=∠CMB,
∴△QEM≌△CBM(AAS),∴ME=MB.
∵AB=CB,AE=PB,
∴BE=PC=2MB,∴=2.
(3)如图2,过点Q作QF⊥AQ交直线AB于点F,过点P作DP⊥AP交直线AC于点D,连接DF,则点P在运动过程中,线段DF,QF与DP之间有怎样的数量关系 请说明理由.
(3)解:QF-DP=DF或DP+QF=DF.理由如下:
如答案图1,当点P在线段BC上时,
过点A作HA⊥AC交QF于点H.
∵QA⊥AP,HA⊥AC,AP⊥PD,QF⊥AQ,
∴∠QAH+∠HAP=∠HAP+∠PAD=90°,
∠AQH=∠APD=90°,
∴∠QAH=∠PAD.
∵△PAQ为等腰直角三角形,∴AQ=AP,
∴△AQH≌△APD(ASA),
∴AH=AD,QH=PD.
∵HA⊥AC,∠BAC=45°,
∴∠HAF=45°=∠DAF.
又∵AH=AD,AF=AF,
∴△AHF≌△ADF(SAS),∴HF=DF,
∴QF-DP=QF-QH=HF=DF;
当点P在线段BC的延长线上时,如答案图2,过点A作HA⊥AC交直线QF于点H,
同理可得,△AQH≌△APD,
∴QH=PD.
同理可得,△AHF≌△ADF,
∴HF=DF,
∴DF=HF=HQ+QF=DP+QF.
22.如图,在平面直角坐标系中,点B(-3,0),A(-1,0)分别是x轴上两点,点P(0,h)是y轴正半轴上的动点,过点P作DP⊥PB,CP⊥PA,且PD=PB,PC=AP.
(1)如图1,连接AD,BC相交于点E,求证:△CPB≌△APD;
(1)证明:∵DP⊥PB,CP⊥PA,
∴∠CPA=∠BPD=90°,
∴∠CPA+∠BPA=∠BPD+∠BPA,
即∠CPB=∠APD.
又∵PC=PA,PB=PD,
∴△CPB≌△APD(SAS).
(2)如图1,连接PE,求证:PE平分∠CED;
(2)证明:如图1,过点P作PM⊥AD于点M,PN⊥BC于点N.
由(1)得△CPB≌△APD,
∴BC=AD,S△CPB=S△APD,
∴BC·PN=AD·PM,
∴PN=PM,∴PE平分∠CED.
(3)如图2,连接CD与y轴相交于点Q,当动点P在y轴正半轴上运动时,线段PQ的长度是否改变 如果不变,请求出其值;如果改变,请求出其变化范围.
(3)解:线段PQ的长度不变,且PQ=1,理由如下:
如图2,过点D作DG⊥y轴于点G,过点C作CH⊥y轴于点H.
∵∠BPD=90°,∠POB=90°,
∴∠OPB+∠GPD=90°,∠OPB+∠OBP=90°,
∴∠GPD=∠OBP.
又∵∠DGP=∠POB,PD=BP,
∴△DGP≌△POB(AAS),
∴DG=PO,PG=OB=3,
同理可得,△CHP≌△POA,
∴CH=PO,PH=OA=1.∴CH=DG.
又∵∠GQD=∠HQC,∠DGQ=∠CHQ,
∴△DGQ≌△CHQ(AAS),∴GQ=HQ.
∵PQ=QH-PH=GQ-PH=PG-PQ-PH,
∴2PQ=PG-PH=3-1=2,∴PQ=1.(共9张PPT)
专题九 [易错]《轴对称》中的常见错误
1.已知等腰三角形的一条边长等于6,另一条边长等于3,则此等腰三角形的周长是( )
A.9 B.12 C.15 D.12或15
2.一个等腰三角形的周长是16,其中一边长是6,另两边长分别是( )
A.6和10 B.6和4
C.5和5 D.5和5或4和6
C
D
3.在等腰△ABC中,AB=AC,一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分,则这个等腰三角形的底边长为( )
A.7 B.7或11
C.11 D.7或10
4.已知点O为等边△ABD的边BD的中点,AB=4,E,F分别为射线AB,DA上一动点,且∠EOF=120°.若AF=1,则BE的长为 .
B
3或1
5.等腰三角形的一个内角为70°,则它另外两个内角的度数分别是( )
A.55°,55° B.70°,40°或70°,55°
C.70°,40° D.55°,55°或70°,40°
6.一个等腰三角形的腰长等于2m,面积等于1m2,则它的顶角等于( )
A.150° B.30°
C.150°或30° D.60°
7.等腰三角形中有一个角是50°,它的一条腰上的高与底边的夹角为 .
D
C
25°或40°
8.定义:等腰三角形的顶角与其中一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰△ABC中,∠A=80°,则它的特征值k= .
9.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,点D在BC边上,连接AD,若△ABD为直角三角形,则∠ADC的度数为 .
10.等腰△ABC中,BD⊥AC,垂足为D,且BD=AC,则等腰△ABC底角的度数为 .
或
130°或90°
15°或45°或75°
11.已知△ABC的三边长分别为4,4,6,在△ABC所在平面内画一条直线,将△ABC分割成两个三角形,使得其中一个三角形是等腰三角形,则这样的直线最多可画( )
A.3条 B.4条 C.5条 D.6条
12.在平面直角坐标系中,已知A(2,2),B(4,0).若在坐标轴上取点C,使△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
B
B
13.下列说法正确的有( )
①两个全等的三角形一定关于某直线对称;
②顶角的角平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴;
③三角形两边的垂直平分线的交点到三边的距离相等;
④等腰三角形的中线、高线、角平分线互相重合.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
14.下列说法:
①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形;
②如果三角形的一个外角平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形;
③三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等;
④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形.其中正确的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
15.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ACB=45°,点D是AB的中点,AF⊥CD于点H,交BC于点F,BE∥AC交AF的延长线于点E,给出下列结论:①∠BAE=∠ACD;②△ADC≌△BEA;③AC=AF;④∠BDE=∠EDC;⑤BC⊥DE.上述结论正确的序号是( )
A.①②⑤ B.②④⑤
C.①②④ D.①②③
A(共11张PPT)
第2课时 用坐标表示轴对称
1.(2025·重庆育才)在平面直角坐标系中,点P(-4,5)关于y轴对称的点的坐标为( )
A.(-4,5) B.(-4,-5)
C.(4,5) D.(4,-5)
2.已知点A(m-1,3)与点B(2,n-1)关于x轴对称,则(m+n)2 025的值为( )
A.0 B.1
C.-1 D.32 025
C
B
3.△ABC是网格中的格点三角形(三角形的各顶点都在网格的交叉点上),如图建立直角坐标系,将该三角形先向下平移2个单位长度,然后再将平移后的图形沿y轴翻折180°,得到△A'B'C',则点B对应点B'的坐标为( )
A.(-4,3) B.(-3,-2) C.(2,-5) D.(-4,-3)
A
4.(1)若点(a,3)与(4,b)关于x轴对称,则a+b= ;
(2)在平面直角坐标系中,点A的坐标是(-1,2).作点A关于y轴的对称点,得到点A',再将点A'向下平移4个单位长度,得到点A″,则点A″的坐标是 .
5.已知点P(a+1,-2a-3)关于y轴的对称点在第四象限,则a的取值范围为 .
1
(1,-2)
-
6.如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,-3),B(3,-2),C(2,-4),正方形网格中,每个小正方形的边长是1个单位长度.
(1)△ABC关于x轴对称的图形为△A1B1C1,请画出△A1B1C1;
解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求作.
(2)求△A1B1C1的面积.
(2)=2×3-×1×3-×1×2-×1×2
=.
7.如图,在平面直角坐标系中,△ABC关于直线m(直线m上各点的横坐标都为1)对称,点C的坐标为(4,1),则点B的坐标为( )
A.(-2,1) B.(-3,1)
C.(-2,-1) D.(-3,-1)
A
8.如图,动点P从(0,3)出发,沿箭头所示的方向运动,每当碰到长方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点P第2 025次碰到长方形的边时,点P的坐标为( )
A.(8,3) B.(0,3)
C.(3,0) D.(7,4)
A
9.(1)在平面直角坐标系中,过点(0,2)的直线AB垂直于y轴,点P(-2,1)关于直线AB的对称点的坐标为 ;
(2)已知点A(2a-b,5+a),B(2b-1,-a+b).若A,B关于y轴对称,则(4a+b)2 025的值为 .
(-2,3)
-1
10.(2025·重庆巴蜀)△ABC在如图所示的网格中,已知点A的坐标为(0,-3),点B的坐标为(3,-1).
(1)在网格中画出平面直角坐标系,并直接写出点C的坐标为 ;
解:(1)建立平面直角坐标系如答案图.
(3,3)
(2)作△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C';
(2)如答案图,△A'B'C'即为所求作.
(3)若P为x轴上一点,且△PAB的面积为4,求点P的坐标.
(3)如答案图,延长AB交x轴于点Q,记BC与x轴的交点为点M.
∵S△ABM=S△AQM-S△BQM,
∴×1×3=MQ×3-MQ×1,
∴QM=,∴Q（,0）.
∵S△PAB=S△APQ-S△BPQ,
∴4=PQ×3-PQ×1,
∴PQ=4,∴P（,0）或P（,0）.
11.关于x的不等式组恰有5个整数解,且点A(a,a+3)不在坐标轴上,则点A关于x轴的对称点在第( )
A.一、二象限 B.二、三象限
C.三、四象限 D.一、四象限
12.坐标平面上有一个轴对称图形,A,B两点在此图形上且互为对称点.若此图形上有一点C(-2,-9),则点C的对称点的坐标是 .
C
(-2,1)
13.如图,线段AB的两个端点的坐标分别为A(4,6),B(2,2),线段AB与线段A1B1关于直线m(直线m上各点的横坐标都为5)对称,线段A1B1与线段A2B2关于直线n(直线n上各点的横坐标都为9)对称.
(1)在图中分别画出线段A1B1,A2B2;
解:(1)答案如图,线段A1B1,A2B2即为所求作.
(2)若点P(a,b)关于直线m的对称点为P1,点P1关于直线n的对称点为P2,则点P2的坐标是 .
(a+8,b)(共14张PPT)
第2课时 等腰三角形的判定
1.下列能判定△ABC为等腰三角形的是( )
A.∠A=40°,∠B=50° B.∠A=40°,∠B=70°
C.AB=AC=3,BC=6 D.AB=3,BC=8,周长为16
2.下列三角形中,等腰三角形的个数是( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
B
B
3.如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为D,交AC于点E,∠A=∠ABE.若AC=5,BC=3,则BD的长为( )
A.2.5 B.1.5 C.2 D.1
4.(1)如图,在△ABC中,∠B=∠C,AD⊥BC于点D.若AB=6,CD=4,则△ABC的周长是 ;
(2)(2024·重庆B卷)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.若BC=2,则AD的长度为 .
D
20
2
5.(1)如图,在△ABC中,BC=5cm,BP,CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线,且PD∥AB,PE∥AC,则△PDE的周长是 cm;
(2)如图,在△ABC和△ADE中,C,D两点分别在AE,AB上,BC与DE相交于点F.若BD=CD=CE,∠ADC+∠ACD=114°,则∠DFC的度数为 .
5
123°
6.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,连接AD,BE平分∠ABC交AC于点E,过点E作EF∥BC交AB于点F.
(1)若∠C=36°,求∠BAD的度数;
(1)解:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=36°.
∵AB=AC,D是BC边上的中点,
∴AD⊥BC,
∴∠BAD=90°-∠ABC=54°.
(2)求证:FB=FE.
(2)证明:∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE.
∵EF∥BC,∴∠FEB=∠CBE.
∴∠ABE=∠FEB.∴FB=FE.
7.如图,在锐角△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,E是AD上一点,连接EB,EC.若∠EBC=45°,BC=6,则△EBC的面积是( )
A.12 B.9 C.6 D.3
B
8.如图,正方形网格中的每个小正方形边长都是1.已知A,B是两格点.若△ABC为等腰三角形,且S△ABC=1,则满足条件的格点C有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
D
9.如图,在△ABC中,DE垂直平分BC,交BC,AB于点D,E,连接CE,BF平分∠ABC,交CE于点F.若BE=AC,∠ACF=16°,则∠EFB的度数为 .
61.5°
10.如图,在△ABC中,∠BAC=2∠B,E是AB上一点,AE=AC,AD⊥CE,垂足为D,交BC于点F.
(1)若∠BCE=30°,试判断△ABC的形状,并说明理由;
解:(1)△ABC为直角三角形,理由如下:
∵AE=AC,AD⊥CE,∴∠ADC=∠CDF=90°,
∠BAC=2∠EAD=2∠CAD.
又∵∠BAC=2∠B,
∴∠BAD=∠CAD=∠B.
∵∠BCE=30°,∠CDF=90°,
∴∠AFC=∠B+∠BAF=60°,
∴∠BAF=∠B=∠CAD=30°,
∴∠BCA=180°-∠AFC-∠CAD=90°.
即△ABC为直角三角形.
(2)若AD=4,求BC的长.
(2)如图,过点C作CG∥AB交AD的延长线于点G,则∠B=∠BCG,∠BAF=∠G.
由(1),知∠BAF=∠B=∠CAF,
∴∠BCG=∠G=∠CAF,
∴CA=CG,FA=FB,FC=FG.
又∵AG=FA+FG,BC=FB+FC,∴AG=BC.
在△ACG中,CA=CG,AG⊥CD,
∴AG=2AD,∴BC=2AD.
∵AD=4,∴BC=2AD=8.
11.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,AD=BC,以AB为底边作等腰Rt△ABE,连接ED,EC,延长CE交AD于点F,下列结论:①△ADE≌△BCE;②BD+DF=AD;③CE⊥DE;④S△BDE=S△ACE.其中正确的有( )
A.①②③ B.①②③④
C.②③④ D.①③④
B
12.(2025·重庆巴蜀)如图,在等腰△ABC中,AB=AC,∠B=50°,D为BC的中点,点E在AB上,∠AED=69°.若点P是等腰△ABC的腰AC上的一点,则当△EDP为等腰三角形时,∠EDP的度数是 .
100°或142°
13.如图1,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α,AD,BE相交于点M,连接CM.
(1)求证:△ACD≌△BCE;
(1)证明:∵∠ACB=∠DCE=α,
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,
即∠ACD=∠BCE.
又∵CA=CB,CD=CE,∴△ACD≌△BCE(SAS).
(2)求证:MC平分∠AME;
(2)证明:如图1,过点C作CH⊥AD于点H,CN⊥BE于点N.
∵△ACD≌△BCE,∴S△ACD=S△BCE,AD=BE,
∴AD·CH=BE·CN,
∴CH=CN,∴MC平分∠AME.
(3)如图2,当α=90°时,取AD,BE的中点分别为点P,Q,连接CP,CQ,PQ,判断△CPQ的形状,并加以证明.
(3)解:△CPQ为等腰直角三角形.证明如下:
同(1)可得,△ACD≌△BCE,
∴AD=BE,∠CAP=∠CBQ.
∵AD,BE的中点分别为点P,Q,∴AP=BQ.
又∵CA=CB,∴△ACP≌△BCQ(SAS),
∴CP=CQ,∠ACP=∠BCQ.
又∵∠ACP+∠PCB=90°,
∴∠BCQ+∠PCB=90°,即∠PCQ=90°.
∴△CPQ为等腰直角三角形.(共15张PPT)
综合与实践 最短路径问题
1.小颖的爸爸要在某条街道l上修建一个牛奶站P,向居民区A,B提供牛奶,要使点P到A,B的距离之和最短,则下列作法正确的是( )
B
2.如图,等边△ABC的边长为8,AD是BC边上的中线,E是AD边上的动点,F是AB边上一点.若BF=4,当BE+EF取得最小值时,则∠EBC的度数为( )
A.15° B.25° C.30° D.45°
C
3.如图,在△ABC中,AB=6,AC=9,EF垂直平分线段BC,P是直线EF上的任意一点,则△ABP周长的最小值是( )
A.9 B.15 C.24 D.27
4.如图,等边△ABC的边BC上的高为6,AD是BC边上的中线,M是线段AD上的一个动点,点E是AC的中点,则EM+CM的最小值为 .
B
6
5.如图,钝角△ABC的面积为15,最长边AB=10,BD平分∠ABC,点M,N分别是BD,BC上的动点,则CM+MN的最小值为 .
3
6.如图,∠AOB=30°,C为OA上的一点,请你在射线OB上找一点P,使得点P到OA的距离与点P到点C的距离之和最小.(保留作图痕迹,不写作法)
解:如答案图,作点C关于OB的对称点C',过点C'作OA的垂线交OB于点P,则点P即为所求.
7.如图,在等边△ABC中,BD⊥AC于点D,QD=15,点P,Q分别为AB,AD上的两个定点且BP=AQ=20,在BD上有一动点E使PE+QE最短,则PE+QE的最小值为( )
A.35 B.40 C.50 D.60
C
8.如图,AB=AC=5,∠BAC=110°,AD是∠BAC内的一条射线,且∠BAD=25°,P为射线AD上一动点,则的最大值是 .
9.如图,在四边形ABCD中,∠BAD=122°,∠B=∠D=90°,在BC,CD上分别找一点M,N.当△AMN周长最小时,∠MAN的度数为 .
5
64°
10.如图,在△ABC中,已知AB=AC,AD是BC边上的中线,CE⊥AB,点P是AD上的一个动点.
(1)若BC=6,AD=4,AB=5,求CE的长;
解:(1)∵AB=AC,AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC.
∵CE⊥AB,
∴S△ABC=BC·AD=AB·CE,
∴CE===.
(2)在(1)的条件下,求BP+EP的最小值.
(2)如答案图,连接PC.
由(1)可得AD垂直平分线段BC,
∴BP=CP,
∴BP+EP=CP+EP≥CE,
∴BP+EP的最小值为.
11.如图,已知∠AOB的大小为α,P是∠AOB内部的一个定点,且OP=4,点E,F分别是OA,OB上的动点.若△PEF周长的最小值等于4,则α=( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
A
解析:如答案图,作点P关于OA的对称点C,
关于OB的对称点D,连接CD,交OA于点E,
交OB于点F,此时,△PEF的周长最小,为CD
的长,连接OC,OD,PE,PF,则OC=OD=OP=4,
CD=C△PEF=4,∴∠COD=2∠AOB=2α.
∵OC=OD=CD=4,∴△COD是等边三角形,
∴2α=60°,∴α=30°.故选A.
12.(1)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=6,BD是△ABC的角平分线,P,N分别是BD,AC边上的动点,点M在BC上,且BM=1,则PM+PN的最小值为 ;
(2)如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(1,4)和(3,0),点C是y轴上的一个动点,且A,B,C三点不在同一条直线上.当△ABC的周长最小时,点C的坐标是 .
(0,3)
13.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=4,CD平分∠ACB,交边AB于点D,点E是边AB的中点,点P为边CB上的一个动点.
(1)AE= ,∠ACD= °;
(2)当四边形ACPD为轴对称图形时,求CP的长;
解:(2)∵四边形ACPD为轴对称图形,CD平分∠ACB,
∴对称轴为直线CD,
∴CP=CA=4.
4
45
(3)若△CPD是等腰三角形,求∠CPD的度数;
(3)∵CD平分∠ACB,∠ACB=90°,
∴∠PCD=45°.
当PC=PD时,∠PDC=∠PCD=45°,
∴∠CPD=180°-45°-45°=90°;
当DP=DC时,∠CPD=∠PCD=45°;
当CP=CD时,∠CPD=∠CDP=(180°-45°)÷2=67.5°.
综上所述,∠CPD的度数为90°或45°或67.5°.
(4)若点M在线段CD上,连接MP,ME,直接写出MP+ME的值最小时CP的长度.
(4)如答案图,点M在CD上,作点P关于CD的对称点P',连接P'E.
∴PM=P'M,CP=CP'.
∵MP+ME=MP'+ME≥EP',
∴当点E,M,P'三点共线时,MP+ME的值最小.
又根据垂线段最短,可知当EP'⊥AC时,EP'有最小值,
∴EP'∥BC,
∴∠AEP'=∠B=30°,∠AP'E=∠ACB=90°.
∵AE=4,
∴AP'=AE=2,
∴CP=CP'=AC-AP'=2.(共14张PPT)
第1课时 画轴对称的图形
1.小芳画了一个正方形风筝图案,此图案以正方形的某条对角线所在直线为对称轴,则小芳画的图案可能是( )
C
2.小明在镜中看到身后墙上的时钟如下,你认为实际时间最接近9:00的是( )
B
3.下面是四位同学所作的△ABC关于直线MN对称的图形,其中正确的是( )
D
4.小新是一位不错的足球运动员,他衣服上的号码在镜子里如图所示,他是 号运动员.
5.如图,两平面镜OA与OB之间的夹角为110°,光线经平面镜OA反射到平面镜OB上,再反射出去,其中∠1=∠2,则∠1的度数为 .
16
35°
6.如图,在边长为1个单位长度的小正方形网格中,给出了△ABC(顶点是网格线的交点).
(1)请画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1;
解:(1)如答案图所示,△A1B1C1即为所求.
(2)将线段AC向左平移3个单位长度,再向下平移5个单位长度,画出平移后得到的线段A2C2,并以它为一边作△A2B2C2,使A2B2=C2B2.
(2)如答案图所示,△A2B2C2即为所求.(图形不唯一)
7.(2024·贵州)如图是一个经过改造的台球桌面的示意图,图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔,如果一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过多次反射),那么该球最后将落入的球袋是( )
A.1号袋 B.2号袋 C.3号袋 D.4号袋
B
8如图,在小正三角形组成的网格中,已有6个小正三角形涂黑,还需涂黑n个小正三角形,使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有3条对称轴,则n的最小值为( )
A.10 B.6 C.3 D.2
C
9.如图,在4×4的正方形网格中,有4个小正方形已经涂黑,若再涂黑1个白色的小正方形,使新构成的黑色部分图形是轴对称图形,则这样的情况有 种.
2
10.如图①,图②,图③都是3×3的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点.A,B,C均为格点.在给定的网格中,按下列要求画图.
(1)在图①中,画一条不与AB重合的线段MN,使MN与AB关于某条直线对称,且M,N为格点;
解:答案不唯一.
(1)如答案图图①,MN即为所求作.
(2)如答案图图②,线段PQ即为所求作.
(2)在图②中,画一条不与AC重合的线段PQ,使PQ与AC关于某条直线对称,且P,Q为格点;
(3)在图③中,画一个△DEF,使△DEF与△ABC关于某条直线对称,且D,E,F为格点.
(3)如答案图图③,△DEF即为所求作.
11.如图,由4个小正方形组成的田字格中,△ABC的顶点都是小正方形的顶点.在田字格中画出与△ABC成轴对称的三角形,且顶点都是小正方形的顶点,则这样的三角形(不包含△ABC本身)共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
12.如图所示的“钻石”型网格(由边长都为1个单位长度的等边三角形组成),其中已经涂黑了3个小等边三角形(阴影部分表示),请你只涂黑一个小等边三角形,使它与阴影部分合起来所构成的完整图形是一个轴对称图形,满足题意的涂色方式有 种.
3
13.如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上,点E在BC边上,且点E在小正方形的顶点上,连接AE.
(1)在图中画出△AEF,使△AEF与△AEB关于直线AE对称,点F与点B是对称点;
解:(1)如答案图所示,△AEF即为所求作.
(2)求△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积.
(2)重叠部分的面积=S四边形AECD-S△GEC
=2×4-×2×2=6.(共16张PPT)
第1课时 等腰三角形的性质
1.(2025·重庆西附)如图,等腰△ABC的底角∠A为70°,则它的顶角∠B为( )
A.60° B.50° C.40° D.30°
C
2.如图,直线a∥b,直线l与直线a,b分别相交于点A,B,点C在直线b上,且CA=CB.若∠1=32°,则∠2的度数为( )
A.32° B.58° C.74° D.75°
3.等腰三角形的两边分别为5和10,则它的周长是( )
A.20 B.15 C.25 D.20或25
C
C
4.(1)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边的中线.若∠BAD=40°,则∠C的度数为 ;
(2)(2025·重庆外语校)如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,点E是线段BC延长线上一点,连接AE,点C在AE的垂直平分线上.若DE=15 cm,则△ABC的周长等于 .
50°
30 cm
5.(1)如图,在△ABC中,若AB=AC,AD=BD,∠CAD=24°,则∠C= °;
(2)(2025·成都七中)如图,在△ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,∠A-∠DBC=40°,则∠C的度数为 .
52
64°
6.如图,在△ABC中,AB=AC,AD为△ABC的角平分线.以点A为圆心,AD长为半径画弧,与AB,AC分别交于点E,F,连接DE,DF.
(1)求证:△ADE≌△ADF;
(1)证明:∵AD为△ABC的角平分线,
∴∠BAD=∠CAD.
在△ADE和△ADF中,
∴△ADE≌△ADF(SAS).
(2)若∠BAC=80°,求∠BDE的度数.
(2)解:∵∠BAC=80°,AD为△ABC的角平分线,
∴∠EAD=40°.
由作图可得AE=AD,∴∠ADE=∠AED=70°.
∵AB=AC,AD为△ABC的角平分线,
∴AD⊥BC,∴∠BDE=90°-∠ADE=20°.
7.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则下列结论错误的是( )
A.∠ADC=90° B.DE=DF
C.AD=BC D.BD=CD
8.等腰三角形底边长为5 cm,一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3 cm,则腰长为 .
C
8 cm
9.如图,在△ABC中,AB=AC,点E,D,F分别是边AB,BC,AC边上的点,且BE=CD,CF=BD.若∠EDF=50°,则∠A的度数为 .
80°
10.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点E为AC边的中点,过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D,CG平分∠ACB交BD于点G,交AB于点M,点F为边AB上一点,连接CF,∠ACF=∠CBG.
(1)若∠FCM=18°,则∠BGC的度数为 ;
(2)若点G是BD的中点,判断CF与DE的数量关系,并说明理由.
解:(2)CF=2DE,理由如下:
∵AC=BC,∠ACB=90°,CM平分∠ACB,
∴∠CAB=∠BCM=45°..
108°
又∵∠CBG=∠ACF,AC=CB,
∴△BCG≌△CAF(ASA),∴BG=CF.
∵CG平分∠ACB,AC=BC,∴CM⊥AB.
又∵AD⊥AB,∴AD∥CG,∴∠D=∠EGC.
又∵∠AED=∠CEG,AE=CE,
∴△ADE≌△CGE(AAS),
∴DE=GE,即DG=2DE.
又∵点G是BD的中点,∴DG=BG,∴CF=2DE
11.如图,已知△ABC和△ADE都是等腰三角形,∠BAC=∠DAE=90°,BD,CE交于点F,连接AF.下列结论:①BD=CE;②BF⊥CF;③AF平分∠CAD;④∠AFE=45°.其中正确结论的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
12.(1)等腰△ABC两腰上的高所在直线夹角为45°,则顶角∠A的度数为 ;
(2)如图,在等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=50°.
∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点E,F,G分别为边BC,AC上的点,沿FG折叠使点C与点E重合,则∠CEF的度数是 .
135°或45°
40°
13.(1)如图1,AB=AC,∠B=∠EDF,DE=DF,FC=2,BE=4,求BC的长;
解:(1)∵AB=AC,∠B=∠EDF,
∴∠B=∠C=∠EDF.
∵∠EDC=∠B+∠BED=∠EDF+∠CDF,
∴∠BED=∠CDF.
又∵DE=FD,∴△DEB≌△FDC(AAS),
∴BD=FC=2,BE=CD=4,
∴BC=BD+CD=6.
(2)如图2,AB=AC,∠ABC=∠EDF,DE=DF,探索BC,BE,CF的数量关系,并证明;
(2)BC=BE-CF.证明如下:
∵AB=AC,∠ABC=∠EDF,
∴∠ABC=∠ACB=∠EDF,
∴∠ABD=∠DCF,
∠BED+∠BDE=∠BDE+∠CDF,
∴∠BED=∠CDF.
又∵DE=DF,∴△BED≌△CDF(AAS),
∴BD=CF,BE=CD,
∴BC=CD-BD=BE-CF.
(3)如图3,在△ABC中,∠B=∠ADE=45°,∠C=22.5°,DA=DE,AB=2,BD=2,求DC的长.
(3)如答案图,在△ABC内部作∠CEF=∠C交BC于点F,
∴∠DFE=∠CEF+∠C=45°,EF=CF.
∵∠B=∠ADE=45°,
∴∠DFE=∠B=∠ADE=45°.
∵∠ADC=∠BAD+∠B=∠FDE+∠ADE,
∴∠BAD=∠FDE.
又∵AD=DE,∴△BAD≌△FDE(AAS),
∴BD=EF=CF=2,AB=DF=2,
∴DC=DF+CF=2+2.(共16张PPT)
第1课时 等边三角形的性质与判定
1.下列条件中,不能得到等边三角形的是( )
A.有两个内角是60°的三角形
B.三边都相等的三角形
C.有一个角是60°的等腰三角形
D.有两个外角相等的等腰三角形
2.如图,△ABC是等边三角形,点D在AC边上,∠DBC=35°,则∠ADB的度数为( )
A.25° B.60° C.85° D.95°
D
D
3.如图,△ABC是等边三角形,AB=6,BD是∠ABC的平分线,延长BC到点E,使CE=CD,则BE的长为( )
A.7 B.8 C. D.9
4.如图,等边三角形纸片ABC的边长为6,E,F是边BC上的三等分点.分别过点E,F沿着平行于BA,CA的方向各剪一刀,则剪下的△DEF的周长是 .
D
6
5.如图,点E,F分别在等边△ABC的边CB,AC的延长线上,BE=CF,FB的延长线交AE于点G,则∠AGB= °.
6.如图,D为等边△ABC内一点,AD=BD,BP=BC,
∠DBP=∠DBC.求∠P的度数.
解:由题意,得AC=BC,∠ACB=60°.连接DC.
∵BP=BC,∠DBP=∠DBC,BD=BD,
∴△BPD≌△BCD(SAS).∴∠P=∠BCD.
∵AD=BD,AC=BC,DC=DC,
∴△ADC≌△BDC(SSS).
∴∠BCD=∠ACD=∠ACB=30°.
∴∠P=∠BCD=30°.
60
7.如图,△ABC是等边三角形,高AD,BE相交于点F,连接DE,则∠FED的度数为( )
A.15° B.20° C.25° D.30°
D
8.如图所示,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.以下五个结论:①△ACD≌△BCE;②△DPC≌△EQC;③△CPQ为等边三角形;④∠AOB=60°;⑤连接CO,CO平分∠BCD.其中正确的是( )
A.①②③④⑤ B.①②③④
C.①④⑤ D.①③④
B
9.(2025·重庆一中)如图,△ABC,△CDE都是等边三角形,将△CDE绕点C旋转,使得点A,D,E在同一直线上,连接BE.若BE=1,AE=4,则CE的长是 .
3
10.如图,在平面直角坐标系中,已知A(-2,0),B(2,0),C(6,0),D为y轴正半轴上一点,且∠ODB=30°,延长DB至点E,使BE=BD.P为x轴正半轴上一动点(点P在点C右边),点M在EP上,且∠EMA=60°,AM交BE于点N.
(1)求证:BE=BC;
(1)证明:∵A(-2,0),B(2,0),OD⊥AB,
∴AD=BD,AB=4.
∵∠ODB=30°,
∴∠ABD=90°-30°=60°,
∴△ABD是等边三角形,∴BD=AB=4.
∵B(2,0),C(6,0),∴BC=6-2=4,
∴BC=BD.
又∵BE=BD,∴BE=BC.
(2)求证:∠ANB=∠EPC;
(2)证明:由三角形的外角性质,得
∠BAN+∠ANB=∠ABD=60°,
∠BAN+∠EPC=∠EMA=60°,
∴∠ANB=∠EPC.
(3)当点P运动时,求BP-BN的值.
(3)解:∵BE=BD=BC,∠CBE=∠ABD=60°,
∴△BCE是等边三角形,∴BC=CE.
∵AB=BC=4,∴AB=CE.
∵∠ABD=∠BCE=60°,∴∠ABN=∠ECP=120°.
又∵∠ANB=∠EPC,
∴△ABN≌△ECP(AAS),∴BN=CP.
∵BP-CP=BC,∴BP-BN=BC=4.
11.如图,在等边△ABC中,D,E分别为AC,BC边上的点,AD=CE,连接AE,BD交于点F,∠CBD,∠AEC的平分线交AC边于点G,BG与AE交于点H,连接FG.下列说法:①△ABD≌△CAE;②∠BGE=30°;③∠ABG=∠BGF;④AB=AH+FG;⑤S△AGE∶S△BGC=DG∶GC.其中正确的说法有( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
A
12.如图,已知等边△ABC和等边△BPE,点P在BC的延长线上,EC的延长线交AP于点M,连接BM.下列结论:①AP=CE;②∠PME=60°;③BM平分∠AME;④AM+MC=BM.其中正确的有 .(填序号)
①②③④
13.数学课上,李老师出示了如下框中的题目:
在等边△ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC,如图1,试确定线段AE与DB的大小关系,并说明理由.
小敏与同桌小聪讨论后,进行解答:
(1)特殊情况,探索结论:
当点E为AB的中点时,如图2,确定线段AE与BD的大小关系,请你直接写出结论:AE BD(填“>”“<”或“=”);
(2)特例启发,解答题目:
题目中,AE与BD的大小关系是:AE BD(填“>”“<”或“=”).理由如下:
如图3,过点E作EF∥BC,交AC于点F.(请你完成解答过程)
=
=
解:(2)AE与BD的大小关系:AE=BD.
∵△ABC为等边三角形,且EF∥BC,
∴∠AEF=∠ABC=60°,
∠AFE=∠ACB=60°,∠FEC=∠ECB.
∴△AEF是等边三角形,∠EFC=∠DBE=120°.
∴AE=EF.
∵ED=EC,∴∠D=∠ECB=∠FEC.
又∵∠EFC=∠DBE,EC=DE,
∴△EFC≌△DBE(AAS).∴EF=BD.∴AE=BD.
(3)拓展结论,设计新题:在等边△ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且DE=CE.若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长.
(3)①如答案图图1,当点E在AB的延长线上时,过点E作EF∥BC,交AC的延长线于点F,则∠DCE=∠CEF,∠DBE=∠AEF=∠ABC,∠ACB=∠F.
∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°.
∴∠AEF=∠F=∠DBE=60°.
∵ED=EC,∴∠D=∠DCE=∠CEF.
∴△FEC≌△BDE(AAS).∴EF=BD.
易证△AEF为等边三角形,
∴AE=EF=BD=2.∴CD=BC+BD=1+2=3;
②如答案图图2,当点E在BA的延长线上时,过点E作EF∥BC,交CA的延长线于点F.
同①可得DB=EF=AE=2,BC=1,
∴CD=BD-BC=2-1=1.
综上所述,CD的长为3或1.(共13张PPT)
第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定
1.到三角形的三个顶点距离相等的点是( )
A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点
C.三条高的交点 D.三条边的垂直平分线的交点
2.(2025·重庆一中)如图,在△ABC中,DE垂直平分AC,连接CE,BC=4,△BCE的周长为10,则AB的长是( )
A.4 B.5 C.6 D.10
D
C
3.如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交AB于点D,垂足为E,CD平分∠ACB.若∠A=50°,则∠B的度数为( )
A.25° B.30° C.35° D.40°
4.定理“两直线平行,同位角相等”的逆命题是 ,它是 (填“真”或“假”)命题,它 (填“是”或“不是”)原定理的逆定理.
B
同位角相等,两直线平行
真
是
5.(1)如图,在△ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB交AC于点D,交AB于点E.若BC=4,且△BDC的周长为10,则AE的长为 ;
(2)如图,∠AOB内有一点P,分别画出点P关于OA,OB的对称点P1,P2,连接P1P2交OA于点M,交OB于点N.若P1P2=5cm,则△PMN的周长为 .
3
5cm
6.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D是BC延长线上一点,点E是BD的垂直平分线EH与AB的交点,DE交AC于点F.求证:点E在AF的垂直平分线上.
证明:∵EH是BD的垂直平分线,
∴BE=DE.∴∠B=∠D.
∵∠ACB=90°,∴∠B+∠A=90°,∠D+∠DFC=90°.
∴∠A=∠DFC.
又∵∠DFC=∠AFE,
∴∠A=∠AFE.∴AE=FE.
∴点E在AF的垂直平分线上.
7.如图,在△ABC中,AB边的垂直平分线DE分别与AB,AC边交于点D,E,BC边的垂直平分线FG分别与BC,AC边交于点F,G,连接BE,BG.若△BEG的周长为16,GE=1,则AC= ( )
A.13 B.14 C.15 D.16
B
8.如图,△ABC中,∠BAC=130°,AB,AC的垂直平分线分别交BC于点E,F,与AB,AC分别交于点D,G,则∠EAF的度数为( )
A.80° B.70° C.65° D.60°
9.如图,△ABC中,OD,OE分别是AB,BC边上的垂直平分线,OD,OE交于点O,连接OA,OC.已知∠B=40°,则∠OAC的度数为 .
A
50°
10.如图,在△ABC中,l是AB的垂直平分线,与边AC交于点E,点D在l上,且DB=DC,连接AD.
(1)求证:∠CAD=∠ACD;
证明:(1)∵l是AB的垂直平分线,点D在l上,
∴DA=DB.
∵DB=DC,∴DA=DC,
∴∠CAD=∠ACD.
(2)连接BE,若BD⊥CD,求证:BE⊥AC.
(2)∵BD⊥CD,
∴∠CDB=90°,
∴∠BCD+∠CBD=90°.
又∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,
∴∠CAD+∠ACD+∠BAD+∠ABD=90°.
∵DA=DB,∴∠ABD=∠BAD.
又∵∠CAD=∠ACD,
∴∠CAD+∠BAD=45°,即∠EAB=45°.
∵l是AB的垂直平分线,
∴EA=EB,∴∠EBA=∠EAB=45°,
∴∠AEB=90°,即BE⊥AC.
11.如图,在△ABC中,AB=AC,且∠ABC=60°,点O为△ABC内一点,且OA=OC,作点B关于直线OC的对称点B',连接BB',OB',CB'.下列结论:①∠OAB=∠OCB;②∠OB'C=30°;③当AO∥BB'时,B'C⊥AB.其中正确的是( )
A.① B.①③ C.② D.①②③
D
12.(1)如图,在△ABC中,边BC的垂直平分线DP与∠BAC的平分线相交于点D,垂足为P.若∠BAC=84°,则∠BDC= °;
解析:如答案图,过点D作DM⊥AB交AB
的延长线于点M,DN⊥AC于点N,
易证Rt△BDM≌Rt△CDN(HL),
∴∠MDB=∠CDN,∴∠MDN=∠BDC.
又∵∠DMA=∠DNA=90°,∠BAC=84°,
∴∠MDN=∠BDC=96°.故答案为96°.
96
(2)如图,OE,OF分别是AC,BD的垂直平分线,垂足分别为E,F,且AB=CD,∠ABD=120°,∠CDB=38°,则∠OBD的度数为 .
解析:连接OA,OC,如答案图.易证△ABO≌△CDO(SSS),∴∠ABO=∠CDO.
设∠OBD=∠ODB=α,∠ABO=∠CDO=β,
∴α+β=120°,β-α=38°,∴α=41°,
即∠OBD=41°.故答案为41°.
41°
13.如图,在△ABC中(AB>BC),G在CB的延长线上,边AC的垂直平分线DE与∠ABG的平分线交于点M,与AB交于点D,与AC交于点E,MN⊥AB于点N.已知AB=13,BC=9,MN=3,求△BMN的面积.
解:如答案图,连接AM,CM,过点M作MK⊥CG,垂足为K.
∵ME为AC的垂直平分线,∴AM=MC.
∵BM平分∠ABG,MN⊥AB,MK⊥CG,
∴MN=MK,∴Rt△AMN≌Rt△CMK(HL).
又∵MB=MB,
∴Rt△MBK≌Rt△MBN(HL),∴BK=BN,
∴AN=CK=BC+BK=BC+BN,
∴BN=AN-BC=AB-BN-BC,
∴2BN=AB-BC=13-9=4,∴BN=2,
∴S△BMN=BN·MN=×2×3=3.(共15张PPT)
15.1.1 轴对称及其性质
1.(2025·重庆一中)下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志,在这四个标志中,是轴对称图形的是( )
D
2.如图,一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD,其中∠BAD=150°,∠B=40°,则∠BCD的度数是( )
A.130° B.150° C.40° D.65°
A
3.如图,△ABD和△ACD关于直线AD对称.若S△ABC=10,则图中阴影部分的面积为( )
A.10 B.5 C. D.
B
4.如图,是轴对称图形且只有两条对称轴的是 .(填序号)
①②
5.(1)如图,AB左边是计算器上的数字“5”,若以直线AB为对称轴,那么它的轴对称图形是数字 ;
(2)从汽车后视镜中看见某车牌的号码如图所示,该汽车的号码实际是 .
“2”
B6395
6.如图,△ABC和△ADE关于直线MN对称,BC与DE的交点F在直线MN上.
(1)图中点C的对应点是点 ,∠B的对应角是 ;
(2)若DE=5,BF=2,则CF的长为 ;
(3)若∠BAC=108°,∠BAE=30°,求∠EAF的度数.
解:∵∠BAC=108°,∠BAE=30°,
∴∠CAE=108°-30°=78°.
根据对称性知,∠EAF=∠CAF,
∴∠EAF=∠CAE=39°.
E
∠D
3
7.(2025·吉林)如图,△ABC与△DEF关于直线l对称,连接AD交直线l于点O,下列结论不一定正确的是( )
A.AC=DF B.∠B=∠E
C.AO=BC D.AD⊥直线l
C
8.如图是一个经过改造的规则为4×7的台球桌面示意图,图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔.如果一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过台球桌边缘多次反弹),那么球最后将落入的球袋是( )
A.1号袋 B.2号袋
C.3号袋 D.4号袋
D
9.(1)如图,△ABC的周长为30cm,把△ABC的边AC对折,使顶点C和点A重合,折痕交BC边于点D,交AC边于点E,连接AD.若AE=4cm,则△ABD的周长是 cm;
(2)如图,在△ABC中,∠C=90°,沿DE翻折使得A与B重合,∠CBD=26°,则∠ADE的度数是 .
22
58°
10.如图,将长方形纸片ABCD折叠,使点D与点B重合,点C落在点C'处,折痕为EF.
(1)求证:△ABE≌△C'BF;
(1)证明:由题意可知,AB=DC=BC',
∠A=∠ABC=∠D=∠EBC'=∠C=∠C'=90°,
∴∠ABE=∠C'BF,
∴△ABE≌△C'BF(ASA).
(2)若∠ABE=20°,求∠EFC'的度数.
(2)解:由(1)知,∠C'BF=∠ABE=20°,
∴∠BFC'=90°-20°=70°.
由折叠可知∠EFC'=∠EFC.
∵∠BFE+∠EFC=180°,
∴∠EFC'-∠BFC'+∠EFC=180°,
即2∠EFC'=180°+70°=250°,∴∠EFC'=125°.
11.如图,在长方形ABCD中,点P在AD上,连接PB,PC,将△APB沿PB翻折得到△A'PB,△DPC沿PC翻折得到△D'PC.已知∠D'PB=15°,∠A'PC=21°,则∠D'CB的度数为( )
A.16° B.21° C.36° D.30°
C
12.如图,ABCD为一长方形纸片,E为BC上一点,将纸片沿AE折叠,点B落在长方形外的点F处,连接BD.若∠CBD=25°,AF∥BD,则∠BAE的度数为 .
57.5°
13.如图,在△ABC中,∠ABC=40°,∠ACB=90°,AE平分∠BAC交BC于点E.P是边BC上的动点(不与点B,C重合),连接AP,将△APC沿AP翻折得到△APD,连接DC,记∠BCD=α.
(1)如图,当点P与点E重合时,求α的度数;
解:(1)∵∠B=40°,∠ACB=90°,
∴∠BAC=50°.
∵AE平分∠BAC,∴∠EAC=∠EAD.
∵点P与点E重合,
∴点D在AB边上,AE⊥CD,
∴∠ACD=∠ADC=(180°-∠BAC)=65°,
∴α=∠ACB-∠ACD=25°.
(2)当点P与点E不重合时,记∠BAD=β,探究α与β的数量关系.
(2)①如答案图1,当点P在线段BE上时,
∵∠ADC=∠ACD=90°-α,
∠ADC+∠BAD=∠B+∠BCD,
∴90°-α+β=40°+α,
∴2α-β=50°;
②如答案图2,当点P在线段CE上时,延长AD交BC于点F.
∵∠ADC=∠ACD=90°-α,
∠ADC=∠AFC+α=∠B+∠BAD+α=40°+β+α,
∴90°-α=40°+β+α,
∴2α+β=50°.
综上,当点P在线段BE上时,α与β的数量关系为2α-β=50°;
当点P在线段CE上时,α与β的数量关系为2α+β=50°.