(共10张PPT)
第2课时 分式的乘法与除法(二)
2.计算的结果是( )
A. B. C. D.
C
1.计算的结果是( )
A. B. C. D.
D
3.化简÷·的结果是( )
A.- B.- C. D.
4.计算:
(1)÷= ;
(2)·÷= .
D
-
(1)÷(a-2)·= ;
(2)÷(m+n)2·= .
5.化简:
6.计算:
(1)·;
解:原式=-.
1
(2)÷;
解:原式= .
(3)·÷;
解:原式=-.
(4)÷·.
解:原式= .
7.计算与的结果( )
A.相等 B.互为倒数
C.互为相反数 D.以上都不对
8.在下列各式中:①;②-·;③·;
④÷,结果相等的两个式子是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.③④
C
B
9.若2a=3b≠0,则= .
10.(1)先化简,再求值:÷·,其中a=-,b=;
解:原式=··
=··=.
当a=-,b=时,原式==-6.
(2)若+b2+9=6b,求÷·的值.
解:原式=··= .
∵+b2+9=6b,
∴+b2-6b+9=0,
∴+(b-3)2=0,
∴a-5=0,b-3=0,
∴a=5,b=3,∴原式= = .
11.若·÷M3=1,则M为( )
A.- B.- C. D.
12.已知x,y,z均不为0,且满足4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0,则代数式的值为 .
B
1
13.已知:A=a2-ab,B=,C=.
(1)若A÷B=C·D,求D;
解:(1)∵A÷B=C·D,
∴D=A÷B÷C=(a2-ab)÷÷ =a(a-b)·· = .
(2)若a>b>0,试比较与B的大小.
(2)∵ = = ,B== ,∴ = =.
∵a>b>0,∴0<<1,∴
第1课时 分式的加法与减法
2.计算+-,得( )
A.- B. C.-2 D.2
D
1.化简-,结果正确的是( )
A.1 B.0 C. D.
D
3.化简-的结果是( )
A. B.a-3 C.a+3 D.
A
4.计算:(1)+= ;
(2)+= ;
(3)+= .
2
x+1
1
5.化简:(1)+= ;
(2)-= ;
(3)-a-b= .
6.计算:
(1)-;
解:原式=1.
(2)-;
解:原式=a+3.
(3)a-b+;
解:原式=.
(4)+-.
解:原式=.
7.下列化简分式+的过程中,开始出现错误的步骤是( )
+
=- ①
= ②
= ③
=-. ④
A.① B.② C.③ D.④
B
8.若x是非负整数,则表示-的值的对应点落在如图数轴上的范围是( )
A.① B.② C.③ D.①或②
9.(1)若+=2,则分式的值为 ;
(2)若x2+3x=-1,则x-= .
B
1
-2
10.(1)已知m=n,求++的值;
解:原式=++
=
=
=-.
当m=n时,原式=-=.
(2)若+=,求实数A,B的值.
解:∵+=
=
=,
∴解得
11.已知两个分式:A=,B=+,其中a≠±2,则A与B的关系是( )
A.相等 B.互为倒数
C.互为相反数 D.A>B
C
12.已知a>0,S1=,S2=-S1-1,S3=,S4=-S3-1,S5=…(即当n为大于1的奇数时,Sn= ;当n为大于1的偶数时,Sn=-Sn-1-1),按此规律,S2 025= .
-
13.阅读下面材料:
新定义:如果函数y=f(x)满足:对于自变量x的取值范围内的任意x1,x2,
①若x1②若x1 f(x2),则称f(x)是减函数.
例题:证明函数f(x)=(x>0)是减函数.
证明:设0f(x1)-f(x2)=-==.
∵00,x1x2>0,∴>0,即f(x1)-f(x2)>0.
∴f(x1) > f(x2),∴函数f(x)=(x>0)是减函数.
根据以上材料,解答下面的问题:
已知函数f(x)=+x(x<0),f(-1)=+(-1)=0,f(-2)=+(-2)=-.
(1)计算:f(-3)= , f(-4)= ;
(2)猜想:函数f(x)=+x(x<0)是 函数(填“增”或“减”);
(3)请仿照例题证明你的猜想.
-
-
增
(3)证明:设x1f(x1)-f(x2)=-=-+x1-x2=+x1-x2=+x1-x2.
∵x10,>0,x2+x1<0,x1-x2<0,
∴+x1-x2<0,即f(x1)-f(x2)<0,
∴f(x1)< f(x2), ∴函数f(x)=+x(x<0)是增函数.(共15张PPT)
第2课时 分式方程的应用
1.(2025·重庆南开)2025年3月2日,重庆马拉松在美丽的海棠烟雨公园鸣枪开跑.甲、乙两人参加了约42千米的比赛,甲每小时比乙多跑了2千米,最终甲比乙早1小时到达.设乙的速度为每小时x千米,则可列方程为 ( )
A.=+1 B.=-1
C.=+1 D.=-1
C
2.【跨学科融合】《千里江山图》是宋代王希孟的作品,如图,它的局部画面装裱前是一个长为2.4米,宽为1.4米的长方形,装裱后,整幅图画宽与长的比是8∶13,且四周边衬的宽度相等,则边衬的宽度应是多少米 设边衬的宽度为x米,根据题意可列方程 ( )
A.=
B.=
C.=
D.=
D
3.某校购买了一批篮球和足球.已知购买足球的数量是篮球的2倍,购买足球用了5 000元,购买篮球用了4 000元,篮球单价比足球贵30元.根据题意可列方程=-30,则方程中的x表示( )
A.足球的单价 B.篮球的单价
C.足球的数量 D.篮球的数量
4.为了改善生态环境,防止水土流失,某村计划在荒坡上种树960棵,由于青年志愿者支援,实际每天种树的棵数是原计划的2倍,结果提前4天完成任务,则原计划每天种树 棵.
D
120
5.小明读到关于某城际铁路的新闻报道后,搜集该线路的相关信息制作了下表,表中两个区间段(线路的一部分)以最高时速运行时相应所用的时间t1比t2约少0.1 h,那么区间设计最高时速v= km/h.
区间段 区间近似 里程(km) 区间设计最 高时速(km/h) 相应所用
时间(h)
A-B 48 v t1
B-C 88 1.1v t2
320
6.(2024·重庆B卷)某工程队承接了老旧小区改造工程中1 000平方米的外墙粉刷任务,选派甲、乙两人分别用A,B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半.据测算需要A,B两种外墙漆各300千克,购买外墙漆总费用为15 000元,已知A种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元.
(1)求A,B两种外墙漆每千克的价格各是多少元
解:(1)设A种外墙漆每千克的价格是x元,B种外墙漆每千克的价格是y元,
根据题意,得解得
答:A种外墙漆每千克的价格是26元,B种外墙漆每千克的价格是24元.
(2)已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的,乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时.问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米
(2)设甲每小时粉刷外墙的面积是m平方米,则乙每小时粉刷外墙的面积是m平方米,
根据题意,得-=5,解得m=25,
经检验,m=25是所列方程的解,且符合题意.
答:甲每小时粉刷外墙的面积是25平方米.
7.下表是学习分式方程的应用时,老师板书的问题和两名同学所列的方程.
甲、乙两地相距1 400 km,乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9 h,已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍. 小明:-=9
小红:=2.8×
下列判断正确的是 ( )
A.小明设的未知数是高铁列车的平均速度
B.小红设的未知数是乘特快列车从甲地到乙地的时间
C.高铁列车的平均速度是100 km/h
D.特快列车从甲地到乙地的时间是14 h
D
8.某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支,第二次又用600元购进该款铅笔,但这次每支的进价是第一次进价的倍,购进数量比第一次少了30支,则该商店第一次购进的铅笔每支的进价是 元.
9.甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程,乙队先单独做2天后,再由两队合作10天就能完成全部工程.已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的,则乙队单独完成此项工程需 天.
4
20
10.(2025·重庆巴蜀)为了提高学生的体育活动参与度,增强学生的身体素质,某学校决定购买A型和B型两种运动器材来布置体育活动室.学校预算资金为1 900元,且B型运动器材每件的价格是A型运动器材每件价格的1.2倍.若用1 000元购买A型运动器材,剩余的资金购买B型运动器材,则购买到的A型运动器材的数量比B型运动器材的数量多10件.
(1)分别求出A型和B型运动器材每件的价格;
解:(1)设A型运动器材每件的价格为x元,则B型运动器材每件的价格为1.2x元,
由题意,得=+10,解得x=25,
经检验,x=25是原方程的解,且符合题意,
∴1.2x=1.2×25=30.
答:A型运动器材每件的价格为25元,B型运动器材每件的价格为30元.
(2)购买当日恰逢促销,A型运动器材按原价的八折销售.已知该学校实际需要购买A型和B型两种运动器材共80件,要求总费用不超过预算,其中购买B型运动器材的资金不低于830元,那么该学校共有哪些不同的购买方案
(2)设购买A型运动器材y件,则购买B型运动器材(80-y)件,
由题意,得解得50≤y≤52.
∵y为正整数,∴y的值可以为50,51,52,
∴该学校共有3种不同的购买方案:
①购买A型运动器材50件,购买B型运动器材30件;
②购买A型运动器材51件,购买B型运动器材29件;
③购买A型运动器材52件,购买B型运动器材28件.
11.某店在开学初用880元购进若干个学生专用科学计算器,按每个50元出售,很快就销售一空.据了解学生还急需3倍数量的这种计算器,于是又用2 580元购进所需计算器,由于量大,每个进价比上次优惠1元,该店仍按每个50元销售,最后剩下4个按九折卖出.这笔生意该店共盈利
( )
A.508元 B.520元 C.528元 D.560元
B
12.(选做)为进一步改善生态环境,村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫.初步预算,这三座山各需两种树木数量和之比为5∶6∶7,需香樟数量之比为4∶3∶9,并且甲、乙两山需红枫数量之比为2∶3.在实际购买时,香樟的价格比预算低20%,红枫的价格比预算高25%,香樟购买数量减少了6.25%,结果发现所花费用恰好与预算费用相等,则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为 .
13.在落实“乡村振兴”战略中,三峡库区某驻村干部组织村民依托著名电商平台组建了某土特产专卖店,专门将进货自本地各家各户的A,B两款商品销售到全国各地.2024年10月份,该专卖店第一次购进A商品40件,B商品60件,进价合计8 400元;第二次购进A商品50件,B商品30件,进价合计6 900元.
(1)该专卖店10月份A,B两款商品的进货单价分别为多少元
解:(1)设该专卖店10月份A商品的进货单价为x元,B商品的进货单价为y元,根据题意,得
解得
答:该专卖店10月份A,B两款商品的进货单价分别为90元和80元.
(2)10月底,该专卖店顺利将两次购进的商品全部售出.由于季节原因,B商品缺货,该专卖店在11月份和12月份都只能销售A商品,且A商品11月份的进货单价比10月份上涨了m元,进价合计49 000元;12月份的进货单价又比11月份上涨了0.5m元,进价合计61 200元,12月份的进货数量是11月份进货数量的1.2倍.为了尽快回笼资金,A商品在11月份和12月份的销售过程中维持每件150元的售价不变,到2025年元旦节,该专卖店把剩下的50件A商品打八折促销,很快便售完,则该专卖店在A商品进货单价上涨后的销售总金额为多少元
(2)根据题意,得×1.2= ,解得m=8.
经检验,m=8是原分式方程的解,且符合题意.
则该专卖店11月份购进A商品=500(件),
12月份购进A商品500×1.2=600(件),
150×(500+600-50)+150×0.8×50=163 500(元).
答:该专卖店在A商品进货单价上涨后的销售总金额为163 500元.(共11张PPT)
第1课时 分式的乘法与除法(一)
1.计算·的结果是( )
A. B. C. D.0
2.计算÷·的结果为( )
A.1 B.-1 C.- D.
C
B
3.【新教材改编】在一块a公顷的稻田上插秧,人工插秧需要m天完成;如果用插秧机工作,要比人工插秧提前4天完成,则插秧机的工作效率是人工插秧效率的 ( )
A.倍 B.倍
C.倍 D.倍
A
4.计算:
(1)·= ; (2)÷= ;
(3)·= ; (4)÷= ;
(5)÷·x= .
5.由甲地到乙地的一条铁路全程为s km,火车全程运行时间为a h;由甲地到乙地的公路全程为这条铁路全程的m倍,汽车全程运行时间为b h.那么火车的平均速度是汽车平均速度的 倍.
4bcd
1
6.计算:
(1)·;
解:原式=.
(2)÷(-8x2y);
解:原式=-.
(3)·;
解:原式=.
(4)÷.
解:原式=.
7.下列各式计算错误的是 ( )
A.·=- B.÷=
C.÷(a2-ab)= D.(-a)3÷=b
D
8.关于式子÷,下列说法正确的是( )
A.当x=1时,其值为2 B.当x=-1时,其值为0
C.当-19.(1)若·M=,则M= ;
(2)若÷N=,则N= .
D
x-2
10.先化简,再求值:
(1)÷·,其中a=2 025;
解:原式=··=a+1.
当a=2 025时,原式=2 025+1=2 026.
(2)·÷,其中a满足a2-a=0.
解:原式=··(a+1)(a-1)=(a-2)(a+1)=a2-a-2.
∵a2-a=0,∴原式=0-2=-2.
11.【新教材改编】如图,设k=(a>b>0),则k的值可以为( )
A. B.1 C. D.2
解析:甲图中阴影部分的面积=a2-b2,乙图中阴影部分的面积=a(a-b),∴k====1+.∵a>b>0,∴0<<1,∴1C
12.(1)若x,y,z满足==(x≠y≠z且x,y,z均不为0),则代数式÷的值为 ;
(2)已知三个数x,y,z满足=-3,=,=-,则y的值是 .
提示:由题意可知,x,y,z均不为0,∴=+=-,=+=,=+=-,由此可求出=,∴y=.
13.在学习了分式乘除法后,老师给出了这样一道题目:
计算:（a8+）（a2-1）.多数同学无从下手,聪明的小高将a2-1变形为a,然后运用平方差公式轻松地解决了问题,你知道他是怎么做的吗
解:原式=a（a8+）
=a
=a
=a
=a
=a17-.(共11张PPT)
第1课时 分式的基本性质
1.分式可变形为( )
A. B.- C. D.-
2.根据分式的基本性质,分式可变形为( )
A. B.- C.-1 D.-
D
B
3.(2025·重庆南开)下列等式成立的是 ( )
A.= B.= C.= D.=x
C
4.(1)当a,b满足条件 时,-=;
(2)已知=,则x的取值范围是 .
a≠b
x≤0且x≠-2
5.在括号中填上恰当的式子:
(1)=(a≠0);
(2)=.
6.不改变分式的值,使下列分式的分子和分母的最高次项的系数为正数.
(1);
解:(1)=-.
(2);
(2)=-.
(3).
(3)=.
7.不改变分式的值,将分式中的分子与分母的各项系数化为整数,且分子、分母的最高次项系数都是最小的正整数,正确的是( )
A. B.
C. D.
A
8.(2025·重庆育才)如果分式中的x,y都扩大为原来的2倍,那么分式的值( )
A.扩大为原来的2倍 B.扩大为原来的4倍
C.不变 D.不能确定
9.(1)若=,则= ;
(2)若=-2,则= ;
(3)(2024·上海)若==(x,y,z均不为零),则= .
A
3
10.(1)已知x∶y∶z=5∶2∶7,求的值;
解:∵x∶y∶z=5∶2∶7,∴可以设x=5k,y=2k,z=7k(k≠0).
∴====.
(2)已知=,=,求的值.
解:∵=,=,∴a=b,c=b.∴==.
11.下列等式:①=-;
②=;
③=-;
④=-中,成立的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
12.如果一个自然数M的各位数字均不为0,且能分解成A×B(A≥B),其中A与B都是两位数,A与B的十位数字相同,个位数字之和为8,则称数M为“吉祥数”.如572=22×26,22和26的十位数字相同,个位数字之和为8,所以572是“吉祥数”.根据以上信息,最小的“吉祥数”是 ;已知M是“吉祥数”,且能分解成A×B(A>B).设f(M)=A+B,g(M)=A-B.若能被9整除,则M的最大值为 .
解析:由题意可知,最小的两位数A,B的十位数字是1,个位数字分别为1和7,∴最小的“吉祥数”是11×17=187;设A=10a+b,则B=10a+8-b,∴A+B=20a+8,A-B=2b-8.由A>B可知,4187
2 915
13.阅读下面解题过程:
已知=,求的值.
解:∵=,∴x≠0,∴=,即x+=.
∴====.
请借鉴上面的方法解答下面的题目:
(1)已知=2,求的值;
解:(1)∵=2,∴x≠0,∴=2,即x+=.
∴====.
(2)若x2-3x+1=0,求的值.
(2)∵x2-3x+1=0,∴x≠0,∴x-3+=0,即x+=3.
∴====(共9张PPT)
专题十五 [易错]《分式》
中的常见错误
1.在,,,中,是分式的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
B
2.若分式的值为零,则x的值为( )
A.-2 B.4
C.2 D.2或-2
A
3.若关于x的分式方程=+5的解为正数,则m的取值范围为( )
A.m<-10 B.m≤-10
C.m≥-10且m≠-6 D.m>-10且m≠-6
4.若数a使关于x的分式方程+=3的解为非负数,且使关于y的不等式组的解集为y≤0,则符合条件的所有整数a的积为
.
D
40
5.已知关于x的方程-2=的解大于1,求m的取值范围.
解:方程两边同乘(x-3),得
x-2(x-3)=m,解得x=6-m.
由题意,得解得m<5且m≠3,
∴当m<5且m≠3时,方程的解大于1.
6.若分式方程-=1有增根,求m的值.
解:方程两边同乘(x-1),得mx+1+2=x-1.
整理,得x=-.
由题意知,增根为x=1,
∴-=1,∴m=-3.
7.已知关于x的分式方程-=0无解,求a的值.
解:去分母,得ax-2a+x+1=0,整理,得(a+1)x=2a-1,
分两种情况讨论:
①方程(a+1)x=2a-1无解,
∴a+1=0,∴a=-1;
②分式方程有增根,由x(x+1)=0,得x=-1或x=0.
当x=-1时,-a-1=2a-1,解得a=0;
当x=0时,2a-1=0,解得a=.
综上所述,a=-1或0或.
8.先化简:÷,再从0,1,2中取一个合适的数作为x的值代入求值.
解:原式= ÷= ·= .
由题意,得x≠0且x≠2,∴取x=1.
当x=1时,原式= =-1.
9.先化简:÷,然后从-2≤x≤2范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值.
解:原式=·=·
=·=-·=-x+3.
由题意,得x≠±2.
∵-2≤x≤2,∴x可取-1,0,1.
当x=1时,原式=-1+3=2.(答案不唯一)(共9张PPT)
第1课时 整数指数幂
1.若代数式(x-1)-1有意义,则x应该满足 ( )
A.x≠±1 B.x≠-1 C.x≠0 D.x≠1
2.若a=(-0.5)-2,b=(-2 025)0,则a与b的大小关系为( )
A.a>b B.a3.计算:(1)= ;
(2)= .
D
A
4.(1)(a2)-3= ; (2)(3a2b-2)3= ;
(3)(-a-2b)-2= .
5.(1)若33a-2=1,则a= ;
(2)若3a=,则a= ;
(3)若a-3=-,则a= .
-4
-2
6.计算:
(1)-(-2)0+;
(3)+(π-3)0+(-2)-2+;
(2)(-2 025)0×(-5)-3×;
解:原式=-1-1+4=+2.
解:原式=1×(-5)-3×52=-.
(4)(-3)0 --(-1)2 025 -+.
解:原式=+1++8=.
解:原式=1-3+1-2+4=1.
7.(2025·重庆外语校)若a=-32,b=-3-2,c=,d=,则a,b,c,d的大小关系为( )
A.ad>a>c
C.a8.定义一种新的运算:如果a≠0,则有a▲b=a-2+ab+,那么▲2的值是( )
A.-3 B.5 C.- D.
D
B
9.(1)已知am=3,an=2,则a-ma-n= ;
(2)若10a=20,10b=5-1,则9a÷32b的值为 ;
(3)若7-2×7-1×70=7p,则p的值为 .
81
-3
10.计算下列各式,并把结果化成只含正指数的形式:
(1)a-2b2(a2b-2)-3; (2)(2a2b-2c-3)-2÷(a-2b)4;
(3)（）-1÷（·）-4.
解:原式=.
解:原式=a4c6.
解:原式=.
11.若102a=25,则10-a等于 ( )
A. B.- C. D.
12.(1)若1-4x-1+4x-2=0,则x2-x-2的值是 ;
(2)【新教材改编】已知a+a-1=5,则a2+a-2= ,a4+a-4= .
A
23
527
13.解答下列各题:
(1)已知2x+5y-3=0,求4x·的值;
解:∵2x+5y-3=0,∴2x+5y=3,
∴原式=22x·25y=22x+5y=23=8.
(2)已知=2,=5,求92x-y的值;
解:∵=2,=5,∴3x=2,3y=5.
∴92x-y=(32)2x-y=34x-2y====.
(3)已知a=2-555,b=3-444,c=6-222,请用“<”把它们按照从小到大的顺序连接起来,并说明理由.
解:b∵a=2-555=(2-5)111=,b=3-444=(3-4)111=,
c=6-222=(6-2)111=,且<<,
∴<<,即b《分式》章末考点复习与小结
1.下列式子中,是分式的是 ( )
A.x B. C.- D.
2.分式有意义的条件是( )
A.x≠0 B.y≠0 C.x≠0或y≠0 D.x≠0且y≠0
B
C
3.若分式的值为0,则x 的值是( )
A.2 B.0 C.-2 D.-5
4.(1)当 时,分式的值为正;
(2)当 时,分式的值为负;
(3)若分式的值为整数,则整数x的值是 ;若分式的值为整数,则整数x的值是 .
A
x<-
-10,2,4或6
-3,0,1,2,4,5,6或9
5.下列代数式变形正确的是 ( )
A.=- B.=
C.= D.=
6.(2025·重庆南岸区)若x,y的值均扩大为原来的2倍,则下列分式的值保持不变的是 ( )
A. B. C. D.
C
C
7.不改变分式的值,把下列各式分子与分母中各项的系数都化为最简整数.
(1); (2); (3).
解:(1)原式==.
(2)原式====.
(3)原式====.
8.下列计算中正确的是 ( )
A.(-1)0=-1 B.(-1)-1=1 C.2a-3= D.(-a)3÷(-a)7=
9.【跨学科融合】纳米是表示微小距离的单位,1纳米=0.000 001毫米,而1毫米相当于我们通常使用的刻度尺上的一小格,可想而知1纳米是多么的小.中科院物理所研究员解思深领导的研究组研制出直径为0.5纳米的碳纳米管.0.5纳米相当于0.000 000 5毫米,数据0.000 000 5用科学记数法可以表示为 ( )
A.0.5×10-6 B.0.5×10-7 C.5×10-6 D.5×10-7
D
D
10.计算:
(1)2-2+(π-3)0+(-2)2;
解:原式=+1+4=.
(2)-(-1)2 026+(π-2 025)0.
解:原式=4-1+1=4.
11.下列计算正确的是 ( )
A.+= B.-= C.a÷= D.a+·b=a
12.计算:(1)+= ;
(2)-= ;
(3)÷+= .
B
a-b
13.(1)(2025·重庆育才)已知=-,则A= ,B= ;
(2)已知x为整数,且++为整数,则所有符合条件的x的值之和为 ;
(3)已知+=6,则的值为 .
-1
-2
8
8
14.化简:
(1)(2024·重庆B卷)÷;
解:原式= ÷
= ·
= .
(2)÷;
解:原式=÷
= ·
= .
(3)÷.
解:原式= ÷
= ÷
= ·
= .
15.先化简,再求值:
(1)（x-2-）÷,其中x=30-(-2)2;
解:原式=÷
= ·
= .
∵x=30-(-2)2=1-4=-3,∴原式==-.
(2)÷,再从-2,0,1,2中选一个x值代入求值;
解:原式= ÷
= ÷
= ·
=-.
由分式有意义知x≠±2且x≠1,
∴取x=0,∴原式=-=1.
(3)÷,其中m2+3m=-1.
解:原式=÷
=÷
=·
=.
∵m2+3m=-1,∴原式==-1.
16.解分式方程=1-的过程如下:
解:方程两边同乘x(x-2),
得x(x-1)=x(x-2)-1. ①
去括号,得x2-x=x2-2x-1. ②
解这个方程,得x=-1. ③
检验:当x=-1时,x(x-2)≠0, ④
所以x=-1是原方程的解.
以上解答过程中,开始出错的一步是( )
A.① B.② C.③ D.④
A
17.已知关于x的分式方程-=1的解是正数,则m的取值范围是( )
A.m>4 B.m<4
C.m>4且m≠5 D.m<4且m≠1
18.【新教材改编】“爱劳动,劳动美.”甲、乙两同学同时从家里出发,分别到距家6km和10km的实践基地参加劳动.若甲、乙的速度比是3∶4,结果甲比乙提前20min到达基地,求甲、乙的速度.设甲的速度为3xkm/h,则依题意可列方程为 ( )
A.+= B.+20=
C.-= D.-=20
C
A
19.(1)分式方程+=1的解是 ;
(2)若分式方程+1=的解使关于x的不等式(2-a)x-3>0成立,则实数a的取值范围是 ;
(3)定义一种新运算:对于任意的非零实数a,b,a b=+.若(x+1) x=,则x的值为 .
20.若关于x的分式方程+=3有增根,则m= .
x=3
a<-1
-
-1
21.(2025·重庆巴蜀)若关于y的不等式组至少有2个奇数解,且关于x的分式方程+=有正整数解,那么符合条件的所有整数a的和为 .
9
22.解下列分式方程:
(1)-1=; (2)-=.
解:x=4.
解:x=-.
23.某文具店花费800元购进甲种笔记本,花费2 100元购进乙种笔记本.已知每本乙种笔记本的进价比甲种笔记本贵15元,且购进乙种笔记本的数量是购进甲种笔记本数量的1.5倍.
(1)求甲、乙两种笔记本的进货单价;
解:(1)设甲种笔记本的进货单价为x元,则乙种笔记本的进货单价为(x+15)元.由题意,得×1.5=,解得x=20.
经检验,x=20为原方程的解,且符合题意.
∴x+15=35.
答:甲种笔记本的进货单价为20元,乙种笔记本的进货单价为35元.
(2)文具店将甲、乙两种笔记本在进价的基础上分别加价25%和20%进行销售.在销售过程中,乙种笔记本因包装精美很快售完,甲种笔记本出现滞销,于是文具店决定将剩余的甲种笔记本按售价的九折出售.若这两种笔记本全部售出后文具店共获利580元,求按九折出售的甲种笔记本的数量.
(2)甲种笔记本的数量为=40(本),乙种笔记本的数量为=60(本).
设按九折出售的甲种笔记本的数量为y本,由题意,得
20×(1+25%)(40-y)+20×(1+25%)×0.9y+35×(1+20%)×60-2 100-800=580,
解得y=16.
答:按九折出售的甲种笔记本的数量为16本(共12张PPT)
第1课时 分式方程
1.下列是分式方程的是 ( )
A.+ B.+=0
C.(x-2)=x D.+1=0
2.(2025·重庆育才)解分式方程-=1,去分母正确的是( )
A.1-(1-x)=1 B.1-(1-x)=x-2
C.1+(1-x)=x-2 D.1+(1-x)=1
D
C
3.分式方程-1=0的解是( )
A.x=1 B.x=-2 C.x=3 D.x=-3
4.(1)解分式方程-=0去分母时,方程两边同乘的最简公分母是 ;
(2)若关于x方程=2的解是x=3,则a的值为 .
C
x(x+1)
4
5.(1)定义:a*b=,则方程2*(x+3)=1*(2x)的解为 ;
(2)当x= 时,分式-2与互为相反数.
x=1
6.解方程:
(1)-=-2;
解:方程两边同乘(x-2),得
3+x=-2(x-2).
解这个整式方程,得x=.
检验:当x=时,x-2≠0,
∴x=是原分式方程的解.
(2)-=1;
解:方程两边同乘(x+1)(x-1),得
(x+1)2-4=(x+1)(x-1).
解这个整式方程,得x=1.
检验:当x=1时,(x+1)(x-1)=0,
∴x=1是原分式方程的增根,
∴原分式方程无解.
(3)-1=;
(4)-=.
解:方程两边同乘(x-2)2,得
x(x-2)-(x-2)2=4.
解这个整式方程,得x=4.
检验:当x=4时,(x-2)2≠0,
∴x=4是原分式方程的解.
解:方程两边同乘(x+3)(x-3)2,得
3(x+3)+(x+3)(x-3)=(x-3)2.
解这个整式方程,得x=1.
检验:当x=1时,(x+3)(x-3)2≠0,
∴x=1是原分式方程的解.
7.(2025·成都树德)关于x的分式方程+=1的解是正数,则m的取值范围是( )
A.m>2且m≠3 B.m>2
C.m≥2且m≠3 D.m≥2
8.当m= 时,解分式方程+=会出现增根.
9.若关于x的分式方程+=1的解是非负数,则m的取值范围是
.
A
6
m≥-3且m≠1
10.观察等式找规律:
1-=;-=;-=;-=;…
(1)根据以上规律写出第n个等式;
解:(1)-=(n为正整数).
(2)根据你得出的结论计算:+++…+(n为正整数);
(2)原式=1-+-+-+…+-=1-=.
(3)若++…+=(m为正整数),求m的值.
(3)由题意,得-=.
∴=.
方程两边都乘(m+1)(m+2 025),得
m+2 025=2(m+1),
解得m=2 023.
经检验,m=2 023是原分式方程的解.
11.若关于x的不等式组无解,且关于y的分式方程+=-1有正整数解,则符合条件的所有整数a的值之和为( )
A.-2 B.-1 C.0 D.1
12.若关于x的方程+=无解,则m的值为 .
C
-1或5或-
13.先阅读下面的材料,然后回答问题:
方程x+=2+的解为x1=2,x2=;
方程x+=3+的解为x1=3,x2=;
方程x+=4+的解为x1=4,x2=;…
(1)观察上述方程的解,猜想关于x的方程x+=5+的解是
;
(2)根据上面的规律,猜想关于x的方程x+=a+(a≠0)的解是
;
x1=5, x2=
x1=a, x2=
(3)猜想关于x的方程x-=1的解并验证你的结论;
解:(3)猜想关于x的方程x-=1的解为x1=2, x2=-,理由如下:
方程可变形为x-=2-,即
x+=2+,
解得x1=2,x2=-.
(4)在解方程y+=时,可将方程变形转化为(2)的形式求解,按要求写出你的变形求解过程.
(4)方程可变形为y+1+=3+,
可得y+1=3或y+1=,
解得y1=2,y2=-.(共10张PPT)
第2课时 科学记数法
1.【跨学科融合】水是生命之源,水以多种形态存在,固态的水即我们熟知的冰,气态的水即我们所说的水蒸气,水分子的半径约是0.000 000 000 2米.将数据0.000 000 000 2用科学记数法表示正确的是 ( )
A.0.2×10-9 B.2×10-10 C.2×1010 D.2×10-9
2.【跨学科融合】人体中枢神经系统中含有1千亿个神经元.某个神经元的直径约为52微米,52微米为5.2×10-5米.将5.2×10-5用小数表示为( )
A.0.000 52 B.0.000 052
C.0.005 2 D.0.000 005 2
B
B
3.石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性,在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景,被认为是一种未来革命性的材料.石墨烯的理论厚度为0.34纳米,1 纳米=0.000 000 001 米.将0.34纳米用科学记数法表示应为 ( )
A.34×10-10米 B.3.4×10-8米
C.3.4×10-10米 D.34×10-9米
4.(2025·重庆八中)PM2.5是指大气中直径小于或等于0.000 002 5 m的细颗粒物,也称为可入肺细颗粒物.它能较长时间悬浮于空气中,其在空气中含量浓度越高,则表示空气污染越严重,则数据0.000 002 5用科学记数法表示为 .
C
2.5×10-6
5.比较大小:(横线上填“>”“<”或“=”)
(1)8.53×109 1.01×1010;
(2)7.253×10-8 7.253×10-7;
(3)5.3×10-5 0.000 005 3;
(4)-2.6×10-9 -3.25×10-10.
<
<
>
<
6.用科学记数法表示下列各数:
(1)0.000 173; (2)-0.000 45;
(3)0.020 25; (4)-0.000 003 02.
解:1.73×10-4.
解:-4.5×10-4.
解:2.025×10-2.
解:-0.000 003 02=-3.02×10-6.
7.小聪在用科学记数法记录一个较小的数时,少数了2个零,结果错误地记成4.03×10-8,正确的结果应是 ( )
A.4.03×106 B.4.03×10-6
C.4.03×1010 D.4.03×10-10
D
8.用科学记数法填空:
(1)1 mg= kg; (2)1 μm= m;
(3)1 nm= μm; (4)1 mL= L;
(5)1 cm2= m2;1 cm3= m3.
9.计算:
(1)(3×10-7)×(2×103)= ;
(2)(6×106)÷(3×10-2)= .
10-6
10-6
10-3
10-3
10-4
10-6
6×10-4
2×108
10.计算:(结果用科学计数法表示)
(1)(2×10-4)2×(5×10-3);
(2)(2×10-2)3÷(4×10-3)-2.
解:原式=(4×10-8)×(5×10-3)
=(4×5)×(10-8×10-3)
=20×10-11=2×10-10.
解:原式=8×10-6÷
=128×10-12
=1.28×10-10.
11.在电子显微镜下测得一个圆球形细胞的直径是5×10-5 cm,2×103个这样的细胞排成的细胞链的长是 ( )
A.10-2 cm B.10-1 cm
C.10-3 cm D.10-4 cm
12.春节联欢晚会由中央电视台直播.算一算,谁先听到歌声 是与舞台相距25 m的演播大厅里的观众,还是距北京2 900 km的边防战士(他们正围在电视机旁) .(声速是340 m/s,电波速度是3×108 m/s)
B
边防战士
13.一个聪明人向某公司求职,老板的条件是:试用一周(7天),每天工资50元.聪明人说:“这样吧,第一天你付给我5分钱,第二天付给我5×5=25(分),以后每天付给我的钱是前一天与第一天钱数之积.”老板略加思索,欣然签下了合同,聪明人特别高兴,老板也喜在心头.七天一到,老板让会计按合同一算,只付给聪明人6分钱.你能用科学记数法表示出老板第三天和第七天应付给聪明人多少钱的想法吗 聪明人是怎么想的呢 由此你得到什么启示
解:老板的想法:第一天是0.05=5×10-2元;
第二天是0.05×0.05=2.5×10-3(元);
第三天是(5×10-2)3=1.25×10-4(元);
第七天是(5×10-2)7=7.812 5×10-10(元).
聪明人以5分为底数计算工资,
第三天可得53=125(分)=1.25(元),
第七天可得57=781.25(元).
启示:负指数幂与负指数幂相乘后积更小;正指数幂与正指数幂相乘后,积更大;在进行计算时要注意单位的换算.(共11张PPT)
18.1.1 从分数到分式
1.下列各式中是分式的是 ( )
A.t B. C.- D.
2.(2025·重庆一中)要使分式有意义,则x的取值应满足( )
A.x≠-1且x≠2 B.x≠0 C.x≠-1 D.x≠2
3.若分式的值为0,则x的值为( )
A.-2 B.2 C.0 D.不存在
D
B
C
4.(1)当a=1时,分式的值为 ;
(2)若x2-6xy+9y2=0且xy≠0,则= .
5.（1）如果每千克a元的糖果m千克与每千克b元的糖果n千克混合,总价保持不变,那么混合后糖果的单价为
每千克 元；
2
2
(2)如果从一卷粗细均匀的电线上截取1 m长的电线,称得它的质量为a g,再称得剩余电线的质量为b g,那么原来这卷电线的总长度是 m;
(3)构造一个可以用分式表示数量关系的问题情境:
__________________________________________________________
__________________________________________________________.
某工厂运进20吨煤,原计划每天用m吨,实际比原计划每天多用1吨,
求这些煤实际可以用的天数(答案不唯一)
6.当x取何值时,下列分式有意义
(1);
解:(1)x≠的一切实数.
(2);
(2)x≠±的一切实数.
(3);
(3)x≠±4的一切实数.
(4).
(4)x≠1且x≠2的一切实数.
7.当x为任意实数时,下列分式一定有意义的是 ( )
A. B. C. D.
8.(1)若分式的值为0,则x的值为 ;
(2)若分式=0,则x= .
C
-2
2
9.(1)(2025·重庆巴蜀)若分式的值为负数,则x的取值范围为
;
(2)当 时,分式的值为正数.
x>4
x<3且x≠1
10.阅读理解:
当分式无意义时,x=-1,即使分式无意义的x值有1个;
当分式无意义时,x=1或-3,即使分式无意义的x值有2个;
当分式无意义时,x无解,即使分式无意义的x值有0个.
试根据上述事实填空:
(1)已知分式,当k 0时,使该分式无意义的x值有1个;当k 0时,使该分式无意义的x值有2个;当k 0时,使该分式无意义的x值有0个;
(2)已知分式,当x=2时,分式无意义,则a= ;当a<6时,使分式无意义的x的值共有 个.
=
<
>
6
2
11.下列结论中,正确的是 ( )
A.当x=±3时,分式无意义
B.当x=±2时,分式的值为零
C.当x≠2时,总有意义
D.x,y为任意有理数时,总有意义,且其值总不为零
D
12.(1)分式的值是整数,则正整数m的值等于 ;
(2)若整数m使为整数,则满足条件的m的值之和为 .
2或3或5
-8
13.自学下面材料后,解答问题.
分母中含有未知数的不等式叫作分式不等式.如:>0,<0等.那么如何求出它们的解集呢
根据有理数除法法则可知:两数相除,同号得正,异号得负.据此可知不等式>0,可先变成或再解这两个不等式组,得x>2或x<-1.
(1)不等式<0,可变成不等式组 ;
或
(2)解分式不等式<0.
解:(2)由题意,得或
解得-4解得不等式组无解.
∴分式不等式<0的解集是-4第2课时 分式的混合运算
1.计算(x2-xy)÷的结果是( )
A.x2 B.x2-y C.(x-y)2 D.x
2.化简÷的结果为( )
A. B. C. D.
A
C
3.试卷上一个正确的式子÷●=被小颖同学不小心滴上墨汁,则被墨汁遮住部分的代数式为( )
A
A. B. C. D.
5.计算:
(1)1-÷= ;
(2)÷= .
-
2m+6
4.化简:(1)÷= ;
(2)·+= .
2
6.计算:
(1)(2024·重庆A卷)÷;
(2)÷;
解:原式=÷
=·
=.
解:原式=÷
=÷
=·
=.
(3)·;
(4)÷.
解:原式=·
=·
=·
=x.
解:原式=·
=·
=-·
=-.
7.如图,在数轴上表示+÷的值的点是( )
A.点P B.点Q C.点M D.点N
C
8.(2025·重庆一中)若化简÷的最终结果为整数,则“△”代表的式子可以是( )
A.4x B.4-x C.x+4 D.-2x
9.已知m+n=-3,则分式÷的值是 .
D
10.先化简,再求值:
(1)÷,其中a满足a2-a-4=0;
解:原式=÷
=÷
=·
=.
∵a2-a-4=0,∴a2=4+a,∴原式==1.
(2)÷,在1,2,3中选择一个合适的数值作为x的值;
解:原式=·
=·
=·
=(2+x)(x-1)
=x2+x-2.
∵x-1≠0且2-x≠0,∴x≠1,2,
∴取x=3,∴原式=9+3-2=10.
(3)-÷（m+2-）其中m,n满足(m-1)2+n2+6n+9=0.
解:原式= -÷
= -·
= -
= .
∵(m-1)2+n2+6n+9=0,∴(m-1)2+(n+3)2=0,
∴m-1=0,n+3=0,即m=1,n=-3.∴当m=1,n=-3时,原式= =-.
11.已知a>b>0,且a2+b2=3ab,则÷的值是( )
A. B.- C. D.-
12.(1)已知2a2-7=2a,则代数式÷的值为 ;
B
(2)有一个计算程序,每次运算都是把一个数先乘2,再除以它与1的和,多次重复进行这种运算的过程如下:
则第n次的运算结果等于 .(用含字母x和n的式子表示)
13.【生活观察】甲、乙两人买菜,甲习惯买一定质量的菜,乙习惯买一定金额的菜,两人每次买菜的单价相同,例如:
第一次:
菜价3元/千克 质量 金额
甲 1千克 3元
乙 1千克 3元
菜价2元/千克 质量 金额
甲 1千克 元
乙 千克 3元
第二次:
(1)完成上表;
2
1.5
(2)计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价;(均价=总金额÷总质量)
解:【生活观察】
(2)甲两次买菜的均价为=2.5(元/千克);
乙两次买菜的均价为=2.4(元/千克).
【数学思考】设甲每次买质量为m千克的菜,乙每次买金额为n元的菜,两次的单价分别是a元/千克、b元/千克,用含有m,n,a,b的式子,分别表示出甲、乙两次买菜的均价,.比较,的大小,并说明理由;
【数学思考】≥.理由如下:
∵==,==,
∴-=-=.
∵a>0,b>0,(a-b)2≥0,∴≥0,即-≥0,∴≥.
【知识迁移】某船在相距为s的甲、乙两码头间往返航行一次.在没有水流时,船的速度为v,所需时间为t1;如果水流速度为p时(p【知识迁移】t1∵t1= += ,t2= += ,∴t1-t2= -= .
∵s>0,p>0,v>0,v>p,
∴<0,即t1-t2<0.∴t1专题十四 [提升]分式方程解的
情况引出的求参数问题
1.若关于x的分式方程=+1有增根,则m= .
2.(2024·河北)若解分式方程=-3产生增根,则k的值为 .
3
1
3.若关于x的方程=3无解,则m的值为( )
A.1 B.1或3 C.1或2 D.2或3
4.(2025·重庆巴蜀)若关于x的不等式组有且只有两个偶数解,且关于y的分式方程=2-有解,则所有满足条件的整数a的值之和是 .
B
5
5.已知关于x的分式方程+=无解,求m的值.
解:分式方程去分母,得mx+2(x-6)=3(x-2),
整理,得(m-1)x-6=0.
分式方程无解的情况有两种,
情况一:整式方程无解,
即m-1=0时,原分式方程无解,∴m=1;
情况二:当整式方程的解是原分式方程的增根,
即x=2或x=6.
①当x=2时,则2(m-1)-6=0,解得m=4;
②当x=6时,则6(m-1)-6=0,解得m=2.
综上所述,当m=4或m=2或m=1时,原分式方程无解.
6.若关于x的分式方程-1=的解是正数,则m的取值范围是( )
A.m<4且m≠3 B.m<4
C.m≠3 D.m>4且m≠3
7.如果关于x的分式方程=1的解是负数,那么实数m的取值范围是( )
A.m<-1 B.m>-1且m≠0
C.m>-1 D.m<-1且m≠-2
A
D
8.(1)若关于x的不等式组的解集为x<-2,且关于y的分式方程+=2的解为正数,则所有满足条件的整数a的值之和为 ;
(2)(2025·重庆一中)若关于x的不等式组有解且最多有两个偶数解,且关于y的分式方程2-=的解为非负整数,则满足条件的所有整数a的平方和为 .
13
36
9.若关于x的一元一次不等式组有解且至多有6个整数解,且关于y的分式方程+3=的解是整数,则所有满足条件的整数m的值之和为 .
10.(2024·重庆B卷)若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤4,且关于y的分式方程-=1的解均为负整数,则所有满足条件的整数a的值之和是 .
-6
12(共12张PPT)
第2课时 分式的约分与通分
1.(2025·重庆八中)下列各分式中,是最简分式的是 ( )
A. B. C. D.
2.下列约分正确的是 ( )
A.=x3 B.=0 C.= D.=
C
D
3.分式和的最简公分母是( )
A.(a2-1)(a2-a) B.a(a2-1)
C.(a2-a) D.(a2-1)
4.下列分式①;②;③;④;⑤中,最简分式有
(填序号).
5.(1)分式与的最简公分母是 ;
(2)分式与的最简公分母是 .
B
①③
6ab3c2
x(x-2)
6.(1)约分:
①;
解: ①原式=.
②;
②原式=m-1.
③;
③原式=.
④;
④原式=a2+ab.
(2)通分:
①,;
解:①=,=-.
②,;
②=,=.
③,,;
③=,
=-,
=.
④a-b,,.
④a-b=,=,
=.
7.若分式可以进行约分化简,则该分式中的A不可以是( )
A.1 B.x C.-x D.4
8.小高在化简分式=时,*部分不小心滴上了墨水,请你推测*部分的代数式应该是 .
C
x2-2x+1
9.(1)已知x=-1,y=+1,那么代数式的值是 ;
(2)已知a2-2 025ab+b2=0(ab≠0),则代数式+的值等于 ;
(3)已知a2+b2=6ab,且ab≠0,则的值为 ;
(4)已知-=3,则的值是 .
2
2 025
8
-
10.先化简,再求值:
(1),其中x+4y=-;
解:原式==.当x+4y=-时,原式==-4.
(2),其中a=-2,b=1.
解:原式==.当a=-2,b=1时,原式==-.
11.已知a为整数,且分式-的值为正整数,则a的值为( )
A.0或1或2 B.0或1或2或-3
C.1或2 D.0或2
12.已知a,b为实数,且ab=1,设M=+,N=+,则M N(填“>”“<”或“=”).
A
=
13.阅读材料,解答问题.
材料:将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式.
解:由分母x+1,
可设x2-x+3=(x+1)(x+a)+b,
则x2-x+3=(x+1)(x+a)+b=x2+ax+x+a+b=x2+(a+1)x+(a+b).
∵对于任意x,上述等式恒成立,
∴解得
∴==x-2+.
这样,分式就拆分成一个整式x-2与一个分式的和的形式.
(1)将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式为
;
(2)已知整数x使分式的值为整数,求满足条件的整数x的值.
x+7+
解:(2)由分母x-3,可设2x2+5x-20=(x-3)(2x+a)+b,
则2x2+5x-20=(x-3)(2x+a)+b=2x2+ax-6x-3a+b=2x2+(a-6)x-3a+b.
∵对于任意x,上述等式恒成立,∴解得
∴==2x+11+.
∵x为整数,∴要使分式的值为整数,即为整数,
∴x-3=±1或±13.∴满足条件的整数x的值为4,2,16,-10.