(共12张PPT)
第1课时 有理数的加法法则
1.计算(-2)+7的结果等于( )
A.9 B.-9 C.-5 D.5
2.下列各式运算正确的是( )
A.(-2)+(-2)=0
B.0+(-3)=3
C.+=-
D.+=0
D
D
3.我国是最早进行负数运算的国家,魏晋时期的数学家刘徽在其著作的《九章算术注》中,用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(白色为正,黑色为负),如图1表示的是+=10的计算过程,则图2表示的计算过程是( )
A.(+31)+(-43)=-12
B.(-31)+(+43)=12
C.(+13)+(+34)=47
D.(-13)+(+34)=-21
A
4.填空:
(1)2+(-5)= ;
(2)-+= ;
(3)+4= .
5.(1)升降机的高度是20 m,为运送货物,升降机先上升-6 m,又上升9 m,这时升降机的高度是 m;
(2)在1,-1,-2这三个数中,任意两数之和的最大值是 .
-3
-
1
23
0
6.计算:
(1)-0.9+(-2.7);
解:原式=-(0.9+2.7)=-3.6.
(2)4+(-2.5);
解:原式=+(4-2.5)=1.5.
(3)4+;
解:原式=-=-.
(4)-8.75+;
解:原式=-
=-12.
(5)(-4.8)+(+2.3)+.
解:原式=-(4.8-2.3)+(-1.4)
=-2.5+(-1.4)
=-3.9.
7.如图,数轴上A,B,C三点所表示的数分别为a,b,c,且AB=BC.如果有a+b<0,b+c>0,a+c<0,那么该数轴原点O的位置应该在( )
A.点A的左边
B.点B与点C之间且靠近点C
C.点B与点C之间且靠近点B
D.点C的右边
C
8.(2025·重庆渝中区)如图是一种转盘型密码锁,每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐,再依据三个密码按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘即可解锁.已知顺时针方向转动m个小格记为“-m”,逆时针方向转动n个小格记为“+n”.若密码为“-7,+15,-13”,则顺利开锁时,标记线对准的刻度线表示的数是( )
A.5 B.10 C.30 D.35
D
9.(1)若=2,则x的值是 ;
(2)对有理数a,b定义新运算如下:aΔb=-a+,则Δ= .
10.(1)已知=6,=4,a>b,求a+b的值;
解:因为=6,所以a=6或a=-6.
因为=4,所以b=4或b=-4.
又因为a>b,所以a=6,b=4或a=6,b=-4.
当a=6,b=4时,a+b=6+4=10;
当a=6,b=-4时,a+b=6+(-4)=2.
综上所述,a+b的值为10或2.
1或-3
-
(2)已知有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,且=1,=2,=3,请计算式子a+++c的值.
解:根据题意,结合数轴可得a=1,b=-2,c=-3,
则a+++c=1+++(-3)
=1+1+5+(-3)=4.
11.【数学文化】相传大禹时期,洛阳市西洛宁县洛河中浮出神龟,背驮“洛书”,献给大禹,大禹依此治水成功,遂划天下为九州.图1是我国古代传说中的洛书,图2是洛书的数字表示,洛书是一个三阶幻方,就是将已知的9个数填入3×3的方格中,使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等.在图3的幻方中也有类似于图1的数字之和的这个规律,则a+b的值为( )
A.2 B.-2 C.4 D.6
B
12.(1)(2025·重庆八中)已知=1,=2,=3,=a+b,=-b-c,则a+b+c= ;
解析:因为=1,=2,=3,所以a=±1,b=±2,c=±3.
因为=a+b,=-b-c,所以a+b≥0,b+c≤0,
所以a=±1,b=2,c=-3.
所以a+b+c=1+2+(-3)=0或a+b+c=(-1)+2+(-3)=-2.
故答案为0或-2.
(2)已知整数a1,a2,a3,a4,…满足下列条件:a1=0,a2=-,a3=-,
a4=-,以此类推,则a2 025的值为 .
0或-2
-1 012
13.(1)比较大小:(用“>”“<”或“=”连接)
①+ ; ②+ ;
③+ ; ④+ ;
解:(2)+与的大小关系为+≥.
a,b满足同号或a,b中至少有一个为0时,
+=成立.
>
=
=
=
(3)根据(2)中得出的结论,当+2 025=时,求x的取值范围.
(3)因为+2 025=+=,
所以x≤0.
(2)通过(1)中的大小比较,猜想并归纳出+与的大小关系,并说明a,b满足什么关系时,+=成立 (共14张PPT)
第2课时 有理数的加法运算律
1.下列变形中运用加法运算律正确的是( )
A.3+(-2)=2+3
B.4+(-6)+3=(-6)+4+3
C.[5+(-2)]+4=[5+(-4)]+2
D.+(-1)+=+(+1)
2.计算+++的结果等于( )
A.-1 B.1 C.0 D.4
B
A
3.把五个数填入下列方框中,使横、竖三个数的和相等,其中错误的是( )
B
4.某地区一天早上8时的气温是-6 ℃,上午10时气温上升了2 ℃,13时气温又上升了5 ℃,则13时的气温是 .
1 ℃
5.计算:
(1)++++= ;
(2)(-20.75)+3+(-4.25)+= .
6.计算:
(1)16+(-25)+24+(-35);
解:原式=(16+24)+[(-25)+(-35)]
=40+(-60)
=-20.
-
-2
(2)2+6++;
解:原式=+=1.
(3)+(+0.75)+++1;
解:原式=++++1
=++++1
=++1=.
(4)+(+15.5)++;
解:原式=+(15.5-5.5)
=-10+10=0.
(5)(-3.75)+2.85+++3.15+(-2.5).
解:原式=+(2.85+3.15)+[(-0.5)+(-2.5)]
=(-5)+6+(-3)
=-2.
7.股民小王上周五买进某公司的股票,每股25元,下表为本周内该股票的涨跌情况(涨为正),则本周五收盘时,该股票每股的价格是( )
星期 一 二 三 四 五
每股涨跌/元 (与前一天相比) -2.1 +2 -1.2 +0.5 +0.3
A.27.1元 B.24.5元 C.29.5元 D.25.8元
B
8.a为整数,b为正整数,我们规定:a◇b表示一种新的运算,它是以a开头的连续(b+1)个整数的和,如1◇2=1+2+3=6,则(-3)◇4= .
-5
9.小明的妈妈在某玩具厂工作,厂里规定每个工人每周要生产某种玩具150个,平均每天生产30个,但由于种种原因,实际每天生产与计划量相比有出入,下表是小明妈妈某周的生产情况(超产记为“+”,减产记为“-”,单位:个).
星期 一 二 三 四 五
增减产值 +10 -6 -4 +8 -1
(1)根据记录的数据可知,小明妈妈星期三生产玩具 个;
(2)根据记录的数据,小明妈妈本周实际生产玩具多少个
解:(2)因为(+10)+(-6)+(-4)+(+8)+(-1)=7,
150+7=157(个).
故小明妈妈本周实际生产玩具157个.
26
(3)该厂实行每日计件工资制,每生产一个玩具可得工资8元,若超额完成任务,则超过部分每个另奖3元;少生产一个则倒扣2元,求小明妈妈这一周的工资总额是多少
(3)157×8+(10+8)×3-(6+4+1)×2=1 288(元),
∴小明妈妈这一周的工资总额是1 288元.
(4)若将上面第(3)问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”,其他条件不变,那么小明妈妈这一周的工资与原来相比 (填“增加了”“减少了”或“不变”).
减少了
10.计算:
(1)++4 052+;
解:原式=++4 052++
=[(-2 026)+(-2 025)+4 052+(-1)]+
=0+=-.
(2)2+4+(-6)+(-8)+10+12+(-14)+(-16)+18+…+2 020+(-2 022)+(-2 024)+2 026.
解:原式=2+[4+(-6)+(-8)+10]+[12+(-14)+(-16)+18]+…+[2 020+(-2 022)+
(-2 024)+2 026]
11.符号“H”表示一种运算,它对正整数的运算结果如下:
H(1)=-2,H(2)=3,H(3)=-4,H(4)=5,…,则H(7)+H(8)+H(9)+…+H(99)的结果为( )
A.-46 B.-146 C.-54 D.46
12.如图,阶梯图的每个台阶上标着一个数,从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着-3,-2,-1,0,且任意相邻四个台阶上的数的和都相等,则前14个台阶上的数的和是 .
C
-23
13.(1)请观察下列算式:
=1+,=+,=+,=+,….
则第10个算式为 = ,
第n个算式为 = ;
+
+
(2)运用以上规律计算:
+++…+++;
解:(2)原式=+++…+++
=1++++++…++++++
=1+=.
(3)如果a=1,b=2,求+++…+的值.
(3)如果a=1,b=2,
则原式=+++…+
=×
=×
=×
=.(共9张PPT)
2.3.3 近似数
1.用四舍五入法把3.904 56精确到百分位,取得近似值为( )
A.3.9 B.3.90 C.3.91 D.3.905
2.(2025·重庆西附)用四舍五入法对0.160 29取近似值,其中错误的是( )
A.0.2(精确到0.1)
B.0.16(精确到百分位)
C.0.160(精确到千分位)
D.0.160 2(精确到0.000 1)
B
D
3.下列每个问题中的两个数,都是准确数的是( )
A.小明花10元钱买了2千克香蕉
B.小亮体重65千克,身高1.72米
C.买5个铅球,共重15千克
D.某教学楼共有5层,每层的楼梯都是22级
4.近似数0.092 06精确到 位,将207 670精确到千位,其近似值是 .
5.(1)某市常住人口约为3 213.34万人,近似数3 213.34万精确到 位;
(2)用四舍五入法得到的近似数4.0×103精确到 位.
D
十万分
2.08×105
百
百
6.用四舍五入法对下列各数取近似数:
(1)1.856 8(精确到0.01);
(2)15.449(精确到个位);
(3)120.56(精确到十分位);
(4)35 081(精确到百位).
解:(1)1.856 8≈1.86.
(2)15.449≈15.
(3)120.56≈120.6.
(4)35 081≈3.51×104.
7.(2025·重庆育才)下列说法正确的是( )
A.近似数2.7×103精确到十分位
B.近似数1.28万精确到百分位
C.数3.995 3精确到百分位为4.00
D.近似数6.5与6.50精确度相同
8.(1)5 246 000精确到万位的近似数为 ;
(2)56 749精确到百位的近似数为 .
C
5.25×106
5.67×104
9.向月球发射无线电波,无线电波到月球并返回地面需要2.57 s,已知无线电波每秒传播3×105 km,则地球与月球之间的距离约为多少千米 (精确到1万千米)
解:2.57÷2=1.285(s),
所以地球与月球之间的距离为
1.285×3×105=3.855×105(km)≈3.9×105(km).
10.车工小王加工生产了两根轴,当他把轴交给质检员验收时,质检员说:“不合格,作废!”小王不服气地说:“图纸要求精确到2.60 m,一根为2.56 m,另一根为2.62 m,怎么不合格 ”
(1)图纸要求精确到2.60 m,原轴的范围是多少
(2)你认为是小王加工的轴不合格,还是质检员故意刁难
解:(1)近似数2.60 m的要求是精确到0.01 m,所以原轴的范围是2.595 m≤x<2.605 m.
(2)是小王加工的轴不合格.由(1)知原轴的范围是2.595 m≤x<2.605 m,故轴长为2.56 m与2.62 m的产品不合格.
11.近似数2.70所表示的精确值x的取值范围是( )
A.2.695≤x<2.705 B.2.60≤x<2.80
C.2.69512.对非负有理数x四舍五入到个位的值记为.例如:<0>=<0.48>=0,<18.75>=<19.499>=19.解决下列问题:
(1)<π>= (π为圆周率);
(2)若<2x-1>=3,则有理数x有最 (填“大”或“小”)值,这个值为 .
A
3
小
13.如果一个实际数的真实值为a,近似数为b,则称为绝对误差,称为相对误差.如果某本书实际长20.45 cm,第一次测量精确到厘米,第二次测量精确到毫米,求两次测量所产生的绝对误差和相对误差.
解:第一次测量精确到厘米,所以b=20 cm,
所以绝对误差为==0.45,
相对误差为=≈0.022.
第二次测量精确到毫米,所以b=20.5 cm.
所以绝对误差为==0.05,
相对误差为=≈0.002 4.(共12张PPT)
专题三 [方法]
有理数中的简便运算
1.计算:
(1)5++6+4+3++;
(3)-1-2+4-5+1-3.8.
解:原式=[(-4)+4]+[5+(-3)+(-2)]+6+3=0+0+9=9.
(2)36.54+22-82+63.46;
解:原式=+(22-82)=100+(-60)=40.
解:原式=++=0-8+1=-7.
2.阅读材料,回答问题.
×=×=1,
×××=×××=×=1×1=1.
根据以上信息,请求出下式的结果:
×××…××××
×…×.
解:原式=×××…×××××…×
=×××…×
=1×1×1×…×1=1.
3.计算:
(1)1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+13+…+2 018-2 019-2 020+2 021+
2 022-2 023-2 024+2 025;
解:原式=1+(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+(10-11-12+13)+…+(2 018-2 019-
2 020+2 021)+(2 022-2 023-2 024+2 025)
=1.
(2)+++…+.
解:原式=
=
=4 049.
4.计算:
(1)-2+5-4+3;
(2)-19×36.
解:原式=+
=2+=2+=2.
解:原式=×36=-720+2=-718.
5.阅读下面的文字:
对+3进行计算,我们可以用下面的方法:
+3=(-7)++3+=(-4)+=-3.这种方法称为分离带分数法.
请你运用上面的方法,计算:
(1)++14+;
解:(1)原式=(-3)++(-7)++14++(-10)+
=[(-3)+(-7)+14+(-10)]+
=(-6)+=-7.
(2)-2 022+2 023+2 024+.
(2)原式=(-2 022+2 023+2 024-2 025)+
=0+0
=0.
6.观察下列运算过程:
S=1+3+32+33+…+32 024+32 025①,
①×3,得3S=3+32+33+34+…+32 025+32 026②.
②-①,得2S=32 026-1.则S=.
试运用上面的计算方法计算:1+5+52+53+…+52 024+52 025的值.
解:设S=1+5+52+53+…+52 024+52 025①.
①×5,得5S=5+52+53+54+…+52 025+52 026②.
②-①,得4S=52 026-1.
则S=.
7.请先阅读下列一组内容,然后解答问题:
=1-,=-,
=-,…,=-.
计算:
(1)+++…+;
解:(1)原式=1-+-+-+…+-
=1-=.
(2)+++…+.
(2)原式=×
=×
=×=.
8.计算:
×-
×.
解:设++…+=a,
++…+=b.
则原式=b(1+a)-(1+b)a
=b+ab-a-ab=b-a
=.(共12张PPT)
第1课时 有理数的乘法法则
1.2 025的倒数是( )
A.2 025 B.-2 025
C. D.-
2.a,b在数轴上对应的点如图,下列结论正确的是( )
A.b-a<0 B.a+b>0
C.ab<0 D.ab>0
C
C
3.下列各式计算正确的有( )
①(-2)×(-3)=-6; ② 5×(-6)=-10;
③ 0.25×(-4)=1; ④(-3)×=.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.填空:10× =0.8× =× =1.
5.(1)计算:-6×3+(-5)×(-2)= ;
(2)如果高度每增加1 km,气温大约下降6 ℃,现在地面的气温是23 ℃,某飞机在该地上空5 km处,则此时飞机所在高度的气温是 ℃.
A
-8
-7
6.计算:
(1)(-7.6)×0.5;
解:原式=-3.8.
(2)(-12)×0;
解:原式=0.
(3)×12;
解:原式=-9.
(4)(-3)×;
解:原式=.
(5)(-2.5)×2;
解:原式=-.
(6)-×.
解:原式=-.
7.若与的值互为相反数,则3x+4xy的值为( )
A.90 B.-90 C.-105 D.105
8.按图中的程序进行计算,如果输入的数是-2,那么输出的数为( )
A.-50 B.50 C.-250 D.250
C
A
9.(1)已知=3,b=-8,ab>0,则a-b的值为 ;
(2)(2025·重庆育才)小明与小刚规定了一种新运算*:若a,b是有理数,则a*b=3a-2b.小明计算4*3=3×4-2×3=6,请你帮小刚计算2*= .
5
16
10.小尚妈妈在某玩具厂工作,厂里规定每周工作五天,该厂实行工资“日结算制”:每天的基本工资为200元,每天的基本任务量为40个,若超额完成任务,则超出部分每个按7元奖励;若未完成任务,则未完成部分每个按8元扣除.由于种种原因,实际每天生产量与计划量相比有出入,本周五小尚妈妈刚好完成基本任务.下表是小尚妈妈本周的生产情况(比前一个工作日多记为正,比前一个工作日少记为负):
星期 一 二 三 四 五
增减产值/个 +5 -7 +1 +1 +4
(1)根据记录的数据可知小尚妈妈星期三生产玩具 个,本周实际生产玩具 个;
(1)本周实际生产玩具
41+34+35+36+40=186(个).
故答案为35;186.
解:由小尚妈妈周五刚好完成基本任务可知,小尚妈妈周五生产了40个玩具,则小尚妈妈本周的生产情况如下:
星期 一 二 三 四 五
生产量/个 41 34 35 36 40
(1)本周实际生产玩具
41+34+35+36+40=186(个).
故答案为35;186.
(2)小尚妈妈本周的工资总额是多少元
(2)小尚妈妈本周的工资总额是
200×5+1×7-(6+5+4)×8=887(元).
(3)若将工资“日结算制”改为“周结算制”,即每周的基本工资为1 000元,每周基本任务为200个;若超额完成任务,则超出部分每个按7元奖励;若未完成任务,则未完成部分每个按8元扣除,在此方式下小尚妈妈本周的工资与“日结算制”的工资哪一个更多 请说明理由.
(3)小尚妈妈按“周结算制”的工资为
1 000-(200-186)×8=888(元),887<888,
所以小尚妈妈本周的工资按“周结算制”更多.
11.在某一段时间里,计算机按如图所示程序工作,如果输入的数是2,那么输出的数是( )
A.-28 B.28
C.-238 D.238
C
12.(1)若=5,=3,且=a+b,则ab= ;
(2)已知a,b互为相反数,c,d互为倒数,m的绝对值等于3,则2a-2 025cd+2b+m的值为 .
±15
-2 022或-2 028
13.观察下列等式:
第1个等式:a1==×;
第2个等式:a2==×;
第3个等式:a3==×;
第4个等式:a4==×;
……
请回答下列问题:
(1)按以上规律写出第5个等式:
a5= = ;
×
(2)用含n的代数式表示第n个等式:
an= = (n为正整数);
×
(3)求a1+a2+a3+…+a99+a100的值.
解:(3)a1+a2+a3+…+a99+a100
=×
=×=.(共13张PPT)
第2课时 有理数的混合运算
1.计算(-1)2 024+(-1)2 025的结果是( )
A.-2 B.2 C.0 D.-1
2.下列计算不正确的是( )
A.-12-2×(-3+4)=-3
B.-12-2×(-3-4)=-15
C.(-1)2-2×(-3-4)=15
D.(-1)2-2×(-3+4)=-1
3.要使算式-34□[23-(-2)3]的计算结果最大,在□里填入的运算符号应是( )
A.+ B.- C.× D.÷
C
B
D
4.填空:
(1)-2×32-(-32×2)= ;
(2)-24÷(-2)2-(-1)2= .
5.计算:
(1)-12 025+(-2)3×-= ;
(2)24+×= ;
(3)16÷(-2)3-×(-4)= .
0
-5
0
17
-
6.计算:
(1)-23+(-3)2;
解:原式=-8+9=1.
(2)(2025·重庆一中)12×+18÷;
解:原式=12×-12×+18÷
=8-3-2=3.
(3)-13-×;
解:原式=-1-6×
=-1-1=-2.
(4)(2025·重庆育才)-22-×+42÷;
解:原式=-4-25×+16÷2=-4-10+8=-6.
(5)-22-××;
解:原式=-4-××=-4-××1
=-4-=-4.
(6)×-÷.
解:原式=×+×-×-÷
=-8-9+10-=-7.
7.规定一种新运算:a※b=a2-2ab+b,如2※3=22-2×2×3+3=-5,则(-1)※4
=( )
A.11 B.13 C.-3 D.-5
8.如图是一个数值转换机,若输入a的值为-1,则输出的结果为 .
B
7
9.(1)定义新运算:a☆b=ab-ab,例如:3☆2=32-3×2=3,则-2☆4= ;
(2)(2025·重庆南岸区)善于反思的小聪在学习了有理数及其运算后,进行了如下总结与反思.小聪根据典型例题:=3,=3;22=4,=4.得到“互为相反数的两个数的绝对值相等”“互为相反数的两个数的2次方相等”.请根据小聪的发现完成:若已知x2=9,则x= ;若x2=9,=4,且x24
±3
-1或-7
10.观察下列各式,然后回答问题:
1-=×,1-=×,1-=×,…
(1)根据上述规律填空:
1-= ; 1-= ;
(2)用你发现的规律计算:
×××…×.
解:(2)原式=××××××…××
=×=.
×
×
11.某数学家发明了一个魔术盒,当任意有理数对(a,b)进入其中时,会得到一个新的有理数:a2+b+1.例如把(3,-2)放入其中,就会得到32+(-2)+1=8.现将有理数对(-2,3)放入其中得到有理数m,再将有理数对(m,1)放入其中,得到的有理数是( )
A.66 B.10 C.8 D.64
A
12.(1)如果规定符号“*”的意义是a*b=例如:3*1=32-1=8,2*3=32+2=11,则(-3)*(-2)+4*(-1)= ;
(2)如图,定义一种对正整数n的“F运算”:当n为奇数时,结果为3n+5;当n为偶数时,结果为,并且运算重复进行.例如:取n=26,第三次“F运算”的结果是11.若n=449,则第449次“F运算”的结果是 .
18
8
13.把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数,叫作第一次运算,再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数,叫作第二次运算,…,如此重复下去,若最终结果为1,我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”,例如:
23→22+32=13→12+32=10→12+02=1.
91→92+12=82→82+22=68→62+82=100→12+02+02=1.
所以23和91都是“快乐数”.
(1)13 (填“是”或“不是”)“快乐数”;最小的三位“快乐数”是 ;
是
100
(2)若一个两位“快乐数”经过两次运算后结果为1,求出这个“快乐数”;
解:(2)因为一个两位“快乐数”经过两次运算后结果为1,所以该两位数经过一次运算后为10或100.
因为10=1+9=12+32,
100=64+36=82+62,
所以这个“快乐数”为13或31或68或86.
(3)请说明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到16.
(3)因为16→12+62=37→32+72=58→52+82=89→82+92=145→12+42+52=42→
42+22=20→22+02=4→42=16,
所以16不是“快乐数”.
因为任意一个“快乐数”经过若干次运算后得到的数都是“快乐数”,
所以任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到16.(共13张PPT)
第2课时 有理数的加减乘除混合运算
1.若使(-0.5)◇(-3)的计算结果为正数,则“◇”代表的运算不可以是( )
A.加法 B.减法 C.乘法 D.除法
2.等式[(-3)+M]÷(-5)=0中,“M”表示的数是( )
A.-8 B.-3 C.0 D.3
3.下列各式计算正确的是( )
A.9÷2×=9÷1
B.-÷=0÷
C.(-22+99)÷11=(-22)÷11+99÷11
D.18÷=18÷-18÷
A
D
C
4.计算:
(1)5×(-3)+6÷(-2)= ;
(2)÷= .
5.如果a,b互为相反数,c,d互为倒数,m的绝对值为2,那么+m-cd的值为 .
6.计算:
(1)(2025·重庆南岸区)÷;
解:原式=13.
-18
-
1或-3
(2)-2×+÷3-;
解:原式=7.
(3)(-15)÷(-3)×2÷;
解:原式=-40.
(4)×÷×10;
解:原式=-.
(5)24÷-6×22;
解:原式=-9.
(6)(2025·重庆外语校)÷×-×.
解:原式=6.
7.(2025·成都武侯区)有理数a,b在数轴上对应的位置如图所示,则下列结论正确的是( )
A.a-b<0 B.a+b>0
C.(a+b)(a-b)<0 D.ab>0
A
8.(1)对有理数a,b,规定一种新的运算:a b=×÷(3a+2b),则(-6) 3= ;
(2)已知a是有理数,[a]表示不超过a的最大整数,如[3.2]=3,[-1.5]=-2,[0.8]=0,[2]=2等,那么[3.14]÷[3]×= .
-6
9.某次直升机展会期间,有非常精彩的直升机花式飞行表演.表演过程中一架直升机A起飞后的高度变化如下表:
高度 变化 上升 4.2 km 下降 2.3 km 上升 1.5 km 下降 0.9 km 上升
1.1 km
记作 +4.2 km -2.3 km +1.5 km -0.9 km +1.1 km
(1)当直升机A完成上述五个表演动作后,直升机A的高度是多少千米
解:(1)4.2+(-2.3)+1.5+(-0.9)+1.1=3.6(km).
答:直升机A的高度是3.6 km.
(2)如果直升机A每上升或下降1 km需消耗1.5 L燃油,那么直升机A在这5个动作表演过程中,一共消耗了多少升燃油
(2)(4.2+2.3+1.5+0.9+1.1)×1.5=15(L).
答:直升机A在这5个动作表演过程中,一共消耗了15 L燃油.
(3)若另一架直升机B在做花式飞行表演时,起飞后前四次的高度变化为:上升3.8 km,下降2.5 km,上升4.7 km,再下降1.8 km.若要使直升机B在完成第5个动作后与直升机A完成5个动作后的高度相同,问直升机B的第5个动作是上升还是下降 上升或下降多少千米
(3)3.8-2.5+4.7-1.8=4.2(km)>3.6 km,
4.2-3.6=0.6(km).
答:直升机B的第5个动作是下降,下降0.6 km.
10.有个填写运算符号的游戏:在“1□2□6□9”中的每个□内,填入“+,-,×,÷”中的某一个(可重复使用),然后计算结果.
(1)计算:1+2-6-9;
(2)若1÷2×6□9=-6,请推算□内的符号;
解:(1)1+2-6-9=-12.
(2)因为1÷2×6□9=-6,
所以1××6□9=-6,即3□9=-6.
所以□内的符号是“-”.
(3)在“1□2□6-9”的□内填入符号后,使计算所得数最小,直接写出这个最小数.
(3)这个最小数是-20,理由如下:
要使“1□2□6-9”计算所得数最小,就是使
1□2□6取最小值.
易得1□2□6的最小值是1-2×6=-11.
所以1□2□6-9的最小值是-11-9=-20.
11.下列结论:①若a为有理数,则-a<0;②若a+b<0,且ab>0,则
=-a-2b;③若m是有理数,则+m是非负数;④若ab>0,则++=-3.其中正确的结论有( )
A.3个 B.2个
C.1个 D.0个
B
12.(2025·重庆渝中区)王老师将-5,-4,-8,-2,-1,0,1,2,3,4分别写在十张不透明的卡片上,打乱卡片的顺序后,随机发给五位同学各两张卡片.除甲以外,其余每位同学把自己拿到的两张卡片上的数字之和写在黑板上,结果如表所示,则甲拿的两张卡片上的数字之积为 ,乙拿的两张卡片上的数字之积为 .
解析:易知这10个数的和为-10,乙、丙、丁、戊拿到8个数的和为-1,则甲拿到的两张卡片的数字之和为-9.观察10个数字可知-4+=-9,-8+=-9,如果甲拿到的两张卡片为-8,-1,那么剩余的8张卡片上不可能存在两张卡片上的数字和为-8,而丙抽到的两张卡片上的数字的和为-8,∴甲拿到的两张卡片分别为-4,-5,丙抽到的两张卡片分别为-8,0,∴甲拿的两张卡片上的数字之积为-4×=20;∵戊抽到的两张卡片数字之和为4,而剩余6张卡片中,只有1+3=4,∴戊抽到的两张卡片分别为1,3.∵4+=2,2+=1,∴丁抽到的两张卡片为4,-2,乙抽到的两张卡片为2,-1,∴乙抽到的两张卡片上的数字之积为2×=-2.故答案为20;-2.
乙 丙 丁 戊
1 -8 2 4
-2
20
13.用符号M表示一种运算,它对整数和分数的运算结果分别如下:
M(1)=-2,M(2)=-1,M(3)=0,M(4)=1,…
M=-,M=-,M=-,…
利用以上规律计算:
(1)M(28)×M;
(2)-1÷M(39)÷.
解:(1)原式=(28-3)×=25×=-1.
(2)原式=-1÷(39-3)÷
=-1××36=-1.(共12张PPT)
第1课时 有理数的减法法则
1.计算3-(-3)的结果等于( )
A.-6 B.0 C.3 D.6
2.某市2025年1月1日的天气预报图如图所示,这天的温差是( )
A.-10 ℃ B.10 ℃
C.-2 ℃ D.2 ℃
3.下列算式:①2-(-2)=0;②(-3)-(+3)=0;③(-3)-=0;④0-(-1)=1.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
D
B
A
4.填空:
(1) -7=-2;
(2)-5- =0;
(3)(-3)- =1.
5.(1)(2025·重庆大渡口区)若a与-1互为相反数,则等于 ;
(2)(2025·成都武侯区)艾丁湖是中国陆地最低点,湖面平均海拔约为-154米,成都市中心城区的平均海拔约为+500米,则成都市中心城区的平均海拔比艾丁湖湖面的平均海拔高 米;
(3)有一组数按照一定规律排列,依次是-1,2,3,-4,5,6,-7,8,9,x,11,y,…,则x-y的值是 .
5
(-5)
(-4)
1
654
-22
6.计算:
(1)(-30)-(+13);
解:原式=(-30)+(-13)=-43.
(2)0-;
解:原式=0+2=2.
(3)--;
解:原式=17+17=35.
(4)23-(-76)-36-(-105);
解:原式=23+76-36+105=168.
(5)--;
解:原式=-+=2.
(6)-(-0.4-).
解:原式=+0.8=1.6.
7.若=2,=3,且x+y>0,则x-y的值是( )
A.-1或5 B.1或-5
C.-5或-1 D.5或1
8.(1)如果=4,那么x-2= ;
(2)设[x]表示不超过x的整数中最大的整数,如:[1.99]=1,[-1.02]=-2,根据此规定计算:[-5.4]-[-0.6]= .
C
-6或2
-5
9.(1)已知=9,=6,a>b,求a-b的值;
解:(1)由=9,=6,a>b,得a=9,b=6或a=9,b=-6.
当a=9,b=6时,a-b=9-6=3;当a=9,b=-6时,a-b=9-(-6)=15.
所以a-b的值为3或15.
(2)已知=9,=6,=b-a,求a-b的值.
(2)由=9,=6,=b-a,得a=-9,b=6或a=-9,b=-6.
当a=-9,b=6时,a-b=-9-6=-15;当a=-9,b=-6时,a-b=-9-(-6)=-3.
所以a-b的值为-15或-3.
10.(2025·重庆育才)阅读材料,回答问题:
材料一:在数轴上,我们把到两个点距离相等的点,叫作这两个点的“中点”,例如:
①表示1和5的点到表示3的点距离都为2,所以它们的“中点”表示的数是3;
②表示-5和-3的点到表示-4的点距离都为1,所以它们的“中点”表示的数是-4.
材料二:对数轴上的点P进行如下操作:先把点P表示的数乘,再把所得的数对应的点向右平移1个单位长度,得到点P的对应点P'.
(1)表示-4和6的点的“中点”表示的数是 ;
(2)若“中点”表示的数是2 025,其中一点表示的数是2 020,则另一个点表示的数是 ;
1
2 030
(3)点A,B在数轴上,对线段AB上的每个点进行上述“材料二”的操作后得到线段A'B',其中,点A,B的对应点分别是A',B',线段AB的中点C与线段A'B'的中点C'对应.
①若点A表示的数是2,点B表示的数是6,请求出点C'表示的数;
②若点C'表示的数是2,请求出点C表示的数.
解:(3)①点A和点B的中点C表示的数是4,所以点C'表示的数是4×+1=.
②点C'表示的数是由点C表示的数乘,再把所得的数对应的点向右平移1个单位长度得到,
所以点C表示的数可以由点C'表示的数对应的点先向左平移1个单位长度,再除以得到,
所以点C表示的数为÷=3.
11.绝对值的几何意义:一个数的绝对值在数轴上表示这个数的点到原点的距离.若点A,B在数轴上表示的数为a,b,则A,B两点之间的距离AB=,给出下列说法:①若AB=4,点A表示的数是1,则点B表示的数是5;②当x=1时,代数式++取得最小值为3;③若m,n,p满足(+)(+)(+)=24,则m+n+p的最小值为2.以上说法中正确的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
B
12.数学活动课上,甲组同学给乙组同学出示了一个探究问题:把数字1至8分别填入如图的八个圆圈内,使得任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1.经过探究后,乙组的小高同学填出了图中两个中心圆圈的数字a,b,你认为a可以是 .(填上一个数字即可)
解析:∵两个中心圆圈分别有6根连线,数字1至8,共有8个数字,若2,3,4,5,6,7,其中任何一个数字填在中心位置,那么与其相邻的2个数字均不能出现在与中心圆圈相连的6个圆圈中,故只剩下5个数字可选,不满足6个空的圆圈需要填入,∴位于两个中心圆圈的数字a,b只可能是1或8.故答案为1(或8).
1(或8)
13.在有些情况下,不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉,如:=6+7;=7-6;=7-6;=6+7.
(1)根据上面的规律,把下列各式写成去掉绝对值符号的形式:
①= ;
②= ;
③= ;
④= ;
21-7
0.8-
-
-3.2+2.8+
(2)用合理的方法计算:
+-;
解:(2)原式=-+--=-.
(3)用简单的方法计算:
+++…+-.
(3)原式=-+-+-+…+-=-=.(共11张PPT)
第1课时 乘 方
1.对乘积(-3)×(-3)×(-3)×(-3)记法正确的是( )
A.-34 B.(-3)4 C.-(+3)4 D.-(-3)4
2.(2025·重庆育才)下列计算正确的是( )
A.-22=4 B.=4
C.=-6 D.=-9
3.(2025·成都外语校)下列数或式子在数轴上所对应的点一定在原点右边的是( )
A. B.+1 C.-52 D.0
B
B
B
4.填空:
(1)式子-73的底数是 ,指数是 ,
它表示 ;
(2)(-2)3= ;(-1)5= ;
= ;= .
5.(1)如果a2=16,b2=9,且ab<0,则a+b的值等于 ;
(2)(2025·重庆外语校)若+=0,则2x-y的值是 ;
(3)若a与b互为相反数,m与n互为倒数,则-+
= .
7
3
3个7相乘的积的相反数
-8
-1
-
±1
-7
0
6.计算:
(1)-(-2)4;
解:原式=-16.
(2);
解:原式=.
(3)-(0.3)3;
解:原式=-0.027.
(4)-.
解:原式=.
7.按如图所示的程序进行运算,若要使输出的结果为40.5,则输入的x值可以是( )
A.2 B.1 C.-2 D.±3
8.(1)用“ ”定义新运算:对于任意有理数a,b,都有a b=a-b2.例如4 1=4-12=3,那么(-3) 2= ;
(2)若与(2b+3a)2互为相反数,则ba= ;
(3)已知y=-(x+6)2+2 025,当x= 时,y有最大值为 .
D
-7
9
-6
2 025
9.计算:
(1)(-1)10×2+(-2)3÷4;
解:原式=0.
(2)(-5)3-3×;
解:原式=-125.
(3)+;
解:原式=-.
(4)32÷×;
解:原式=-9.
(5)-14-(-10)÷×2+(-4)2.
解:原式=55.
10.若xm=y,则记为(x,y)=m,例如32=9,则(3,9)=2.
(1)根据上述规定,直接写出(2,8)= ,(3,81)= ;
(2)若(4,a)=2,(b,8)=3,求(b,a)的值.
解:(2)因为a=42=16,b3=8,所以b=2.
所以(b,a)=(2,16).
因为24=16,所以(b,a)=4.
3
4
11.观察下列等式:71=7,72=49,73=343,74=2 401,75=16 807,…,根据其中的规律可得71+72+…+72 025的结果的个位数字是( )
A.0 B.1 C.3 D.7
12.如图,将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分,部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半,部分②是部分①面积的一半,部分③是部分②面积的一半,依此类推,阴影部分的面积是 .受此启发,则+++…+的值为 .
D
13.阅读下列材料:
小明为了计算1+2+22+…+22 024+22 025的值,采用以下方法:
设S=1+2+22+…+22 024+22 025 ①,
则2S=2+22+23+…+22 025+22 026②.
②-①,得2S-S=S=22 026-1.
所以S=1+2+22+…+22 024+22 025=22 026-1.
请仿照小明的方法解决以下问题:
(1)求1+2+22+…+29的值;
解:(1)设S=1+2+22+…+29①,
则2S=2+22+23+…+210②.
②-①,得2S-S=S=210-1.
所以S=1+2+22+…+29=210-1.
(2)求3+32+…+310的值;
(2)设S=3+32+…+310①,
则3S=32+33+…+311②.
②-①,得3S-S=2S=311-3,
所以S=3+32+…+310=.
(3)求1+a+a2+…+an(a>0,n是正整数)的值.
(3)设S=1+a+a2+…+an①,
则aS=a+a2+…+an+an+1②.
②-①,得aS-S=(a-1)S=an+1-1.
分两种情况讨论:
当a=1时,不能直接除以a-1,此时原式=n+1;
当a≠1时,a-1才能作分母,
所以S=,
即1+a+a2+…+an=.
综上所述,当a=1时,1+a+a2+…+an=n+1;当a>0且a≠1时,1+a+a2+…+an=.(共12张PPT)
2.3.2 科学记数法
1.(2025·泸州)据我国文化和旅游部数据中心测算,2025年“五一”期间,国内游客出游314 000 000人次,将数据314 000 000用科学记数法表示为( )
A.31.4×107 B.3.14×107
C.3.14×108 D.3.14×109
C
2.(2025·成都树德)我国第一款3A游戏《黑神话:悟空》自2024年8月在全球发售,累计销售收入已经超过70亿元人民币,游戏取材于我国四大名著之一《西游记》,凭借精美的制作,吸引很多外国玩家自发去了解西游故事,展现了我国传统文化的巨大魅力.数据70亿用科学记数法可以表示为( )
A.7×106 B.7×107
C.7×108 D.7×109
D
3.一个整数815550…0用科学记数法表示为8.155 5×1010,则原数中“0”的个数为( )
A.4 B.6 C.7 D.10
4.用科学记数法表示下列各数:
(1)2 730= ;
(2)7 531 000= ;
(3)-366 000= .
2.73×103
7.531×106
-3.66×105
B
5.写出下列用科学记数法表示的数的原数:
(1)4.59×104= ;
(2)-1.25×105= ;
(3)6.28×108= .
6.【跨学科融合】光的速度是3×108米/秒,太阳光从太阳射到地球的时间约500秒,请你计算出太阳与地球的距离(用科学记数法表示).
解:3×108×500=1.5×1011(米).
答:太阳与地球的距离为1.5×1011米.
45 900
-125 000
628 000 000
7.已知光速为300 000千米/秒,光经过t秒(1≤t≤10)传播的距离用科学记数法表示为a×10n千米,则n的值可能为( )
A.5 B.6
C.5或6 D.5或6或7
8.(2025·重庆)下列四个数中,最大的是( )
A.6.18×108 B.6.28×108
C.6.18×109 D.6.28×109
C
D
9.为助力数字经济发展,北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为4×1017Flops(Flops是计算机系统算力的一种度量单位),整体投产后,累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍,达到mFlops,则m的值为 .
2×1018
10.有关资料表明,如果一个人在刷牙的过程中一直开着水龙头,将浪费约2 500 mL水.
(1)如果一家三口每天都像这样刷牙两次,一年要浪费多少毫升水 (一年按360天计算)
解:(1)2 500×3×2×360=5.4×106(mL).
答:这家人一年要浪费5.4×106 mL水.
(2)如果每立方米的水按照2元计算,这个家庭一年要浪费多少钱
(2)5.4×106 mL=5.4 m3,5.4×2=10.8(元).
答:这个家庭一年要浪费10.8元.
(3)某城市约有100万这样的家庭,如果这些家庭中所有的人在刷牙过程中都不关水龙头,则一年要浪费多少水 浪费多少钱
(3)该城市一年浪费的水为
5.4×1 000 000=5.4×106(m3),
浪费的钱为5.4×106×2=1.08×107(元).
11.如图,数轴上有O,A,B三点,O为原点,OA,OB分别表示仙女座星系、M87黑洞与地球的距离(单位:光年).下列选项中,与点B表示的数最为接近的是( )
A.5×106 B.107 C.5×107 D.108
12.科学家研发了一种新的蓝光唱片,一张蓝光唱片的容量约为2×105 GB,一张普通唱片的容量约为25 GB,则蓝光唱片的容量是普通唱片的 倍.(用科学记数法表示)
C
8×103
13.先阅读,再计算,根据计算结果回答问题:
算式40 200 000×300=12 060 000 000,可改写成(4.02×107)×(3×102)=12.06×109=1.206×1010;
算式40 200 000 000÷2 000=20 100 000,可改写成(4.02×1010)÷(2×103)=2.01×107.
(1)仿照上式直接写出结果:
①(2×104)×(3×107)= ;
②(3×107)×(4×104)= ;
③(6×1013)÷(1.2×104)= ;
④(2.3×1011)÷(4.6×106)= ;
6×1011
1.2×1012
5×109
5×104
(2)你发现(a×10n)×(b×10m)和(a×10n)÷(b×10m)(b≠0)的算法有什么规律吗 请试着归纳表述出你发现的规律;
解:(2)(a×10n)×(b×10m)=(a×b)×10n+m;
(a×10n)÷(b×10m)=(a÷b)×10n-m.
(2)你发现(a×10n)×(b×10m)和(a×10n)÷(b×10m)(b≠0)的算法有什么规律吗 请试着归纳表述出你发现的规律;
(3)用你发现的规律计算:
①(8×1012)×(-7.2×106)= ;
②(-6.5×103)×(-1.2×109)= ;
③(-6.5×1021)÷(-1.3×109)= .
-5.76×1019
7.8×1012
5×1012(共10张PPT)
第1课时 有理数的除法法则
1.计算(-16)÷(-4)的结果为( )
A.-12 B.-4 C.4 D.12
2.将(-7)÷÷(-2.5)转化为乘法运算正确的是( )
A.(-7)××(-2.5) B.(-7)××(-2.5)
C.(-7)×× D.(-7)××
3.下列运算,结果正确的是( )
A.-7÷7=1 B.7÷=-
C.-36÷(-9)=4 D.÷=2
C
C
C
4.计算:
(1)= ; (2)= ;
(3)÷= ;
(4)÷3= .
5.(1)两个数的积是-,其中一个数是-,则另一个数是 ;
(2)若=3,=,且xy<0,则= .
-
20
5
-13
-15
6.计算:
(1)(-0.5)÷;
解:原式=2.
(2)÷(-12);
解:原式=-.
(3)÷1;
解:原式=-.
(4)÷.
解:原式=.
7.若a+b>0,>0,则( )
A.a>0,b>0
B.a<0,b<0
C.a,b 中一正一负,且正的绝对值较大
D.a,b 中一正一负,且负的绝对值较大
8.(1)已知ab>0,那么+= ;
(2)(2025·重庆一中)已知a,b,c是有理数,若ab>0,a+b-c=0,则++= .
A
2或-2
3或-3
9.计算:
(1)÷6÷;
解:原式=××15
=2.
(2)(-0.75)÷÷;
解:原式=÷÷
=××=.
(3)÷÷;
解:原式=÷÷
=-=-.
(4)-÷÷÷;
解:原式=-×3××=-2.
(5)(-2.5)÷÷÷3.5.
解:原式=-×××
=-.
10.【阅读材料】
当有理数x不等于0时,把2个相同的有理数x的除法运算记作f(2,x)=x÷x;把3个相同的有理数x的除法运算记作f(3,x)=x÷x÷x;把4个相同的有理数x的除法运算记作f(4,x)=x÷x÷x÷x;把5个相同的有理数x的除法运算记作f(5,x)=x÷x÷x÷x÷x;……
特别地,规定f(1,x)=x.
【解决问题】
(1)若f(n,-2)=(-2)÷(-2)÷(-2)÷(-2),则n= ;
(2)计算f 的结果是 ;
(3)计算:f ÷f(3,-3)÷f(1,-1).
解:(3)原式=÷[-3÷(-3)÷(-3)]÷(-1)=1÷÷(-1)=3.
4
27
11.已知有理数a,b,a+b≠0,且ab≠0,则-,,-在数轴上表示的点在原点右侧的个数为( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
12.对一个正整数n进行如下操作:若n为奇数,则将它乘3,再加1,得到一个新数;若n为偶数,则取它的一半,若结果仍为偶数,则再取这个结果的一半,直到得到一个新的奇数.对n进行1次上述操作所得的结果记为(n)1,再将(n)1进行一次上述操作,所得的结果记为(n)2,…,例如:数9经过1次操作得到28,即(9)1=28,经过2次操作得到7,即(9)2=7,经过3次操作得到22,即(9)3=22,则= .
B
-
13.已知非零有理数a,b,c满足ab>0,bc>0.
(1)求++的值;
(2)若a+b+c<0,试求+++的值.
解:因为ab>0,bc>0,所以a,b,c同号.所以ac>0.
(1)++=1+1+1=3.
(2)因为a+b+c<0,且a,b,c同号,
所以a,b,c,abc均为负数.
所以+++=(-1)+(-1)+(-1)+(-1)=-4.(共12张PPT)
第2课时 有理数的乘法运算律
1.下列计算结果为负数的是( )
A.3×4×(-7)×(-2)
B.(-12)×(-4)×(-1)×(+9)
C.(-3)×0×(-2)×(-3)
D.(-7)×5×(-2)×(+1)
2.-6×=-+10-,这步运算运用了( )
A.加法结合律 B.乘法结合律
C.乘法交换律 D.乘法分配律
B
D
3.×8可化为( )
A.-7××8 B.-7×8+
C.-7×8+×8 D.-7×8-×8
4.计算:
(1)×(-24)= ;
(2)20×6= ;
(3)(-10)×(-8.24)×(-0.1)= .
5.绝对值大于2不大于5的负整数的积为 .
D
-5
124
-8.24
-60
6.计算:
(1)×(-3)×2;
解:原式=3.
(2)-7.8×(-8.1)×0×;
解:原式=0.
(3)××(-2.5)×;
解:原式=-.
(4)(-0.75)×15××.
解:原式=-16.
7.如果4个不同的整数m,n,p,q满足mnpq=4,那么m+n+p+q的值为( )
A.0 B.2 C.6 D.8
8.(2025·重庆育才)对于任意有理数a,b,规定a*b=-2ab+a-1,如a=-1,b=3时,a*b=*3=-2××3+-1=4,则*=( )
A.-14 B.14 C.-22 D.22
A
C
9.(1)有理数a,b,c,d在数轴上对应的点的位置如图所示,则abc 0,
abcd 0;(均填“>”或“<”)
(2)已知=3,=2,=1,且a>
>
6或-6
10.计算:
(1)×(-48);
解:原式=-×(-48)+×(-48)-×(-48)
=84-8+30=106.
(2)5×+(-7)×-(-16)×;
解:原式=×(-5-7-16)
=×(-28)=-8.
(3)2-×36;
解:原式=2-×36
=2-(-20)×36-×36
=720.
(4)×-×(-2.5)×(-8);
解:原式=-×24-×24+×24-×[(-2.5)×(-8)]
=-6-12+16-×20
=-18.
(5)999×118+999×-999×18.
解:原式=999×
=999×100=99 900.
11.观察下列各式:
1×2=×(1×2×3-0×1×2);
2×3=×(2×3×4-1×2×3);
3×4=×(3×4×5-2×3×4);
…
计算3×(1×2+2×3+3×4+…+99×100)的结果是( )
A.97×98×99 B.98×99×100
C.99×100×101 D.100×101×102
C
12.对于任意有理数对(a,b)和(c,d),规定运算“ ”为(a,b) (c,d)=(ac,bd);运算“ ”为(a,b) (c,d)=(a+c,b+d).例如:(2,3) (4,5)=(8,15);(2,3) (4,5)=(6,8).若(2,3) (p,q)=(-4,9),则(1,-5) (p,q)= .
13.阅读理解:计算×-
×时,若把与分别看成一个整体,再利用分配律进行运算,可以使计算简便.过程如下:
解:设++=A,+++=B,
则原式=B(1+A)-A(1+B)=B+AB-A-AB=B-A=.
(-1,-2)
请用上面的方法计算:
(1)×-×;
解:(1)设++++=A,
+++++=B,
则原式=B(1+A)-A(1+B)=B+AB-A-AB=B-A=.
(2)-·.(n≥2,且n为正整数)
(2)设++…+=A,++…+=B,
则原式=B(1+A)-A(1+B)=B+AB-A-AB=B-A=.(共5张PPT)
专题四 [易错]
《有理数的运算》中的易错题
1.(2025·重庆巴蜀)已知=7,=5,且x+y>0,则x-y的值是( )
A.2或12 B.2或-12
C.-2或12 D.-2或-12
2.(2025·重庆育才)已知=6,=2,=n-m,则m+n的值是( )
A.8 B.4或8
C.-8 D.-4或-8
A
D
3.在-(-2),(-1)2 025,-(-3)2,-{+[-(-3)]}中,负数的个数为( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
4.算式×4可以化为( )
A.-3×4-×4 B.-3×4+3 C.-3×4+×4 D.-3×3-3
5.(1)-24= ;
(2)= ;
(3)若x2=25,则x= .
-16
±5
D
A
6.计算:
(1)+×;
(3)-14-(1-0.5)2××[2-(-3)2];
解:原式=-.
(2)÷;
解:原式=.
解:原式=-.
(4)-52-.
解:原式=-21.
7.下列说法正确的是( )
A.0.720精确到百分位 B.5.078×104精确到千分位
C.36万精确到个位 D.2.90×105精确到千位
8.信息时代,“网上冲浪”已成为人们生活中不可缺少的一部分,有关报告显示,截至2024年底,我国网民数已达到11.08亿人,下面关于“11.08亿”的说法错误的是( )
A.这是一个精确数
B.这是一个近似数
C.11.08亿用科学记数法可表示为1.108×109
D.11.08亿精确到百万位
D
A(共11张PPT)
专题二 [巩固]
有理数的运算
(1)12-(-18)+(-7)-15;
解:原式=12+18-7-15
=8.
(2)-(-16)+10-;
解:原式=16+10-17
=9.
(3)-40-28-(-19)+(-24)-(-32);
解:原式=-40-28+19-24+32
=-41.
(4)4.7-(-8.9)-7.5+(-6);
解:原式=4.7+8.9-7.5-6
=0.1.
(5)-6.5-+8-3;
解:原式=+
=(-10)+13
=3.
(6)-4+1-17-2;
解:原式=(-4+1-17-2)+
=-22-
=-22.
(7)2.25+3-12-8;
(8)1-.
解:原式=2+3-=6-20=-14.
解:原式=1-
=1-=1+=1.
(1)-÷(-2);
(2)÷;
解:原式=+×
=-+=0.
解:原式=×(-42)
=-35+18-14+27
=-4.
(3)-8+8÷;
(4)(-81)÷2+÷(-16);
解:原式=-8+÷
=-8+×(-4)=-41.
解:原式=-81×+×
=-36+=-36.
(5)÷5;
(6)-4++24÷(-3)×;
解:原式= ÷5
=×=1.
解:原式=-4+3+(-8)×=-.
(7)(-4)×3+(-6)÷+(-6.5)÷0.13;
(8)×-3÷.
解:原式=-12+4-50
=-58.
解:原式=×[2+(-8)]-3×(-4)
=×(-6)+12
=(-4)+12=8.
3.计算:
(1)-12 025-××;
解:原式=-1-××=-1-××
=-1+1=0.
(2)(2025·重庆外语校)-12-÷×;
解:原式=-12-×5×
=-12-×5×
=-12+5=-7.
(3)(2025·成都双流区)-23+-;
(4)-110-××÷;
解:原式=-8+4-
=-4-=0.
解:原式=-1-×××
=-1-×××
=-1-2=-3.
(5)(2025·重庆南开)÷;
解:原式=÷=÷
=÷=.
(6)-5-22÷÷(-4);
解:原式=-5-4÷(-2)÷(-4)
=-5-4××=-5.
(7)-13×÷(-0.5)÷×-×[(-2)2-22];
(8)(-1)4-(-3)3÷[-].
解:原式=-13××(-2)××-0
=-××2××=-80.
解:原式=1-(-27)÷=1+27÷
=1+27÷=1-108=-107.(共12张PPT)
第2课时 有理数的加减混合运算
1.(2025·重庆育才)把6--统一成加法,下列变形正确的是( )
A.6+3+7 B.6++
C.6++ D.6++
2.式子“-8+16-3-6”的读法正确的是( )
A.负8加16减3减6
B.负8正16负3减6
C.负8、加16、负3、负6的和
D.减8加16减3减6
B
A
3.手机移动支付给生活带来便捷.如图是张老师2025年2月26日微信账单的收支明细(正数表示收入,负数表示支出,单位:元),张老师当天微信收支的最终结果是( )
A.收入19.00元 B.支出10.00元
C.支出3.00元 D.支出22.00元
C
4.计算:(1)-5-+8-= ;
(2)-+-+= .
5.小明的爸爸买了一种股票,每股8元,下表记录了在一周内该股票的涨跌情况:
星期 一 二 三 四 五
股票涨跌/元 +0.2 +0.35 -0.15 -0.4 +0.5
(注:用正数表示股价比前一日上升数,用负数表示股价比前一日下降数)
从表中可知该股票这星期中的最高价是每股 元.
8.55
-4
6.计算:
(1)(2025·重庆八中)-5-+3;
解:原式=-4.
(2)++-;
解:原式=1.
(3)(-7.7)--2+5.75;
解:原式=0.
(4)-+-3;
解:原式=-6.
(5)0+1-+.
解:原式=10.
7.甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示,下列判断正确的是( )
甲:11+(-14)+19-(-6)=11+19+[(-14)+(-6)]=10.
乙:-+=+=-.
A.甲、乙都正确 B.甲、乙都不正确
C.只有甲正确 D.只有乙正确
D
8.(1)定义{a,b}=当=1,=3时,{a,b}的最小值为 ;
-4
(2)【数学活动】如图,乐乐将-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5分别填入九个空格内,使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等.若a,b,c分别表示其中的一个数,则a+b-c的值为 ;
(3)(2025·重庆巴蜀)如图所示是计算机程序计算,当输入的数m为-1时,则输出的结果n= .
-5
-5
9.计算:
(1)1-2+3-4+5-6+…+2 025-2 026= ;
(2)+-= .
-1 013
0
10.某水果经销商进购一批草莓,并将草莓打包装箱后批发销售,原计划每天卖10箱,但由于种种原因,实际每天的销售量与计划量相比有所增减,下表是某个星期的销售情况(超额记为正,不足额记为负,单位:箱)
星期 一 二 三 四 五 六 日
与计划量 的差值 +4 -3 -2 +7 -6 +18 -5
(1)填空:根据表格可知,销售量最多的一天比最少的一天多卖出 箱;
24
(2)本周实际销售总量超过或不足计划数量多少箱 请通过计算说明理由;
解:(2)4-3-2+7-6+18-5=13>0.
答:本周实际销售总量超过计划13箱.
(3)若每箱草莓的利润为65元,已知每天需要3个工人进行打包装箱,每人每天的工资为80元,卖出一箱草莓还需支出包装费5元,那么该水果经销商本周共获利多少元
(3)×-80×3×7=3 300(元).
答:该水果经销商本周共获利3 300元.
11.计算++++…+的值为( )
A.54 B.27 C. D.0
12.在1,2,3,…,100前面任意添加正号和负号,使这100个数的和为非负,则这100个数的非负和的最小值为 .
0
C
13.在一条不完整的数轴上从左到右有A,B,C三点,其中AB=2,BC=1,如图所示.设点A,B,C所对应数的和为p.
(1)若以点B为原点,写出点A,C所对应的数,并计算p的值;若以点C为原点,p又是多少
解:(1)以点B为原点,点A,C分别对应数-2,1,
所以p=-2+0+1=-1.
以点C为原点,点A,B分别对应数-3,-1,
所以p=(-3)+(-1)+0=-4.
(2)若原点O在图中数轴上点C的右边,且CO=28,求p的值.
(2)根据题意可知,点A,B,C分别对应数-31,-29,-28,
所以p=(-31)+(-29)+(-28)=-88.(共22张PPT)
《有理数的运算》
章末考点复习与小结
1.下列结果为负数的是( )
A.-(-3) B.-6+8
C.(-3)2 D.(-0.5)2 025
2.(2025·重庆育才)下列运算正确的是( )
A.-(-3)2=9 B.-6÷6×=-6
C.(-3)2×=3 D.=
D
C
3.(2025·重庆外语校)有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,若=,则下列式子中正确的是( )
A.bc>0 B.+=2
C.=- D.a+c=0
4.(1)(2025·成都双流区)已知a,b互为相反数,c,d互为倒数,e的绝对值是0,则代数式4-2cd+e的值为 ;
(2)(2025·重庆八中)若非零实数a,b满足+=0,则ba= ;
-2
1
D
(3)用“☉”定义一种新运算:对于任意有理数a,b,都有a☉b=b2+1.例如:7☉4=42+1=17,那么,5☉3= ;当m为有理数时,m☉(m☉2)
= ;
(4)已知=2,=4,且=-(a+b),则a-2b的值为 ;
(5)(2025·重庆育才)我们知道,如果数轴上A,B两个点,它们表示的数分别是a,b,那么A,B两点之间的距离为AB=.如2与3的距离可表示为,2与-3的距离可表示为.
①+的最小值为 ;
②2++的最小值为 .
10
26
10或6
7
16
5.计算:
(1)4×(-3)÷;
(2)2+-;
解:原式=2+-=2+-4
=(2-5-4)+=-6.
解:原式=4×3×2
=24.
(3)÷+×;
(4)(2025·重庆外语校)-32-2×+÷3-;
解:原式=×+×
=3+
=2.
解:原式=-9-2×+÷3-7
=-9+2-4-7
=-18.
(5)-22+×24-;
解:原式=-4+24×-24×-24×-5
=-4+6-20-14-5=-37.
(6)99×(-3);
解:原式=×(-3)
=100×(-3)-×(-3)
=-300+=-299.
(7)-18-2×÷;
解:原式=-1-××2=-1-××2
=-1+=.
(8)2.73×2-4.52×-14.5÷.
解:原式=2.73×+4.52×-14.5×=(2.73+4.52)×-7.25×2×
=7.25×-7.25×=0.
6.东京、伦敦与北京的时差如下表(正数表示在同一时刻比北京时间早的时数,负数表示在同一时刻比北京时间晚的时数):
城市 东京 伦敦
时差/时 +1 -7
当北京时间为8月27日14时时,东京、伦敦的时间分别是( )
A.8月27日15时;8月27日21时
B.8月27日15时;8月27日7时
C.8月27日13时;8月27日21时
D.8月27日13时;8月27日7时
B
7.(2025·重庆巴蜀)山西省旅游市场在游戏《黑神话:悟空》的推动下,迎来了客流量高峰,文创玩偶“佛小伴”也随之爆火.为应对市场需求,某工厂计划一天生产200个该玩偶,但由于各种原因,实际每天生产的数量与计划有出入,下表是该工厂某一周该玩偶的生产情况(比200多的部分记为正数,比200少的部分记为负数,单位:个):
星期 一 二 三 四 五 六 日
生产 情况 +10 -32 -8 +16 0 +27 -18
(1)这一周星期 生产的“佛小伴”玩偶数量最多,是 个;
六
227
(2)若生产一个该玩偶的成本是35元,售价是每个55元,且本周生产的该玩偶全部售出,求该工厂这周的总利润;
解:(2)+10+(-32)+(-8)+(+16)+0+(+27)+(-18)=-5(个),
7×200+=1 395(个),
1 395×=27 900(元).
答:该工厂这周的总利润为27 900元.
(3)该工厂实行每日计件工资制,每生产一个玩偶工人可得10元,若当天超额完成任务,则超过部分每个另奖2元;若当天未能完成任务,则少生产一个扣1元,求该工厂工人这周的工资总额.
(3)1 395×10+(10+16+27)×2-(32+8+18)×1=13 998(元).
答:该工厂工人这周的工资总额为13 998元.
8.出租车司机小李某天上午营运时是从儿童公园出发在东西走向的大街上进行的,如果规定向东为正,向西为负,他这天上午所接六位乘客的行车里程(单位:km)如下:
-2,+5,-1,+1,-6,-2.
(1)将最后一位乘客送到目的地时,小李在儿童公园的什么位置
解:(1)-2+5-1+1-6-2=-5.
答:小李在儿童公园的西边5 km的位置.
(2)若出租车起步价为10元,起步里程为3 km(包括3 km),超过部分每千米2元,问小李这天上午接送完第6位客人共得车费多少元
(2)6×10+(5-3+6-3)×2=70(元).
答:小李这天上午接送完第6位客人共得车费70元.
(3)若汽车耗油量为0.2 L/km,这天上午小李将6位客人接送完毕,再次回到儿童公园时,出租车共耗油多少升
(3)++++++5=22(km),
22×0.2=4.4(L).
答:出租车共耗油4.4 L.
9.(2025·遂宁)统计数据显示,截止2025年3月15日,电影《哪吒2》全球票房(含预售及海外)超150亿元,位列全球影史票房榜第五位.将数据150亿用科学记数法表示为( )
A.150×108 B.15×109
C.1.5×1010 D.1.5×1011
10.(2025·重庆一中)下面用四舍五入法按要求取近似值,其中错误的是( )
A.2.602≈2.60(精确到百分位)
B.0.019 97≈0.020 0(精确到0.000 1)
C.123.51≈123(精确到个位)
D.0.019 9≈0.02(精确到0.01)
C
C
11.(2025·重庆育才)打卡央视春晚取景地、游览红色景区接受心灵洗礼……来自重庆市文化和旅游发展委员会消息,1月28日至31日春节假期前四天,我市累计接待国内游客14 908 000人次,同比增长12.4%,请将14 908 000用科学记数法表示为 .
1.490 8×107
12.如图,五个正方形中各有四个数,各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据此规律,可推测出m的值为( )
A.0 B.1 C.4 D.8
提示:观察前四个正方形,发现其规律为:左上、左下、右上为连续的三个偶数,右下=左上×左下+右上.
D
13.(1)【数学文化】《九章算术》中有这样一个问题:“今有蒲生一日,长三尺;蒲生日自半”.其意思是“有蒲这种植物,蒲第一日长了3尺,以后蒲
每日生长的长度是前一日的一半”,则第二十日蒲生长的长度为 尺;
(2)(2025·重庆育才)有三行数:
2,-4,8,-16,32,-64……①
0,-6,6,-18,30,-66……②
-1,2,-4,8,-16,32……③
取每行数的第7个数,那么这三个数的和是 .
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14.如图所示,有一个数字迷宫, -2在迷宫的第1个拐角, 3在第2个拐角,5在第3个拐角,7在第4个拐角,…,那么第101个拐角是 .
-2 602
15.(2025·重庆沙坪坝区)求若干个相同的非零有理数的除法运算叫作除方,如:÷÷÷,5÷5÷5等,类比有理数的乘方,我们把5÷5÷5记作5③,÷÷÷记作.一般地,把记作a○n.
(1)直接写出计算结果:(-6)④= ;
(2)有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢 试一试:将下列运算结果直接写成幂的形式:= ,= (n≥2且n为正整数);
5n-2
mn-2
(3)计算:
①×-÷6③;
解:(3)①原式=×-32÷=-4-54=-58.
②++++…+.
②原式=22-2+23-2+24-2+25-2+…+211-2=1+2+4+8+…+29.
设S=1+2+4+8+…+29,
则2S=2+4+8+…+29+210,
∴2S-S=210-1,
即S=210-1=1 024-1=1 023.
