(共28张PPT)
专题十三 [技巧]利用数学思想方法解决有关线段或角的计算
1.(2025·重庆巴蜀)已知在同一平面内,∠AOB=20°,射线OC在∠AOB的外部,OD平分∠AOC,OE平分∠AOD.若∠BOD=40°,则∠COE的度数为( )
A.20°或60° B.30°
C.30°或90° D.90°
2.(2025·重庆一中)已知点P为线段MN的中点,点E为直线MN上一点,且ME∶EN=2∶5,点F为EN的中点,若EP=6 cm,则线段MF的长度
是 cm.
C
18或
3.(2025·成都青羊区)若∠A+2∠B=90°,我们称∠B是∠A的“绝配角”.例如:∠1=10°,∠2=40°,则∠2是∠1的“绝配角”.
(1)如图1,已知∠AOB=75°,在∠AOB内存在一条射线OC,使得∠AOC是∠BOC的“绝配角”,此时∠AOC= °;
15
(2)如图2,已知∠AOB=75°,若平面内存在射线OC,OD(OD在直线OB的上方),使得∠AOC是∠BOC的“绝配角”,且∠BOC+∠BOD=180°,求∠AOD的度数;
解:(2)当OC在∠AOB内部时,
由(1)可得,∠AOC=15°,
∴∠BOC=75°-15°=60°.
∵∠BOC+∠BOD=180°,
∴∠BOD=120°,
∴∠AOD=∠BOD-∠AOB=45°;
当OC在∠AOB外部时,
则∠BOC=75°+∠AOC.
∵∠AOC是∠BOC的“绝配角”,
∴∠BOC+2∠AOC=90°,
即75°+∠AOC+2∠AOC=90°,解得∠AOC=5°,
∴∠BOC=80°.
∵∠BOC+∠BOD=180°,∴∠BOD=100°,
∴∠AOD=∠BOD-∠AOB=25°.
综上所述,∠AOD的度数为45°或25°.
(3)如图3,若∠AOB=10°,射线OC从OA出发绕点O以每秒20°的速度逆时针旋转,射线OD从OB出发绕点O以每秒12°的速度顺时针旋转,OM平分∠AOC,ON平分∠BOD,运动时间为t秒(0(3)∵∠AOB=10°,∠AOB是∠MON的“绝配角”,
∴2∠AOB+∠MON=90°,
∴∠MON=90°-2∠AOB=70°.
①当0则∠AOM=∠AOC=10°t,∠BON=∠BOD=6°t.
由∠AOM+∠AOB+∠BON=70°,得10°t+10°+6°t=70°,得t=;
②当9则∠AOC=360°-20°t,∠BOD=12°t,
∴∠AOM=∠AOC=180°-10°t,∠BON=6°t,
∴∠MON=∠AON-∠AOM=(∠AOB+∠BON)-∠AOM=70°,
即10°+6°t-(180°-10°t)=70°,
解得t=15;
③当15∠BOD=360°-12°t,
∴∠AOM=180°-10°t,
∠BON=180°-6°t,
∴∠MON=∠BON+∠AOM-∠AOB=70°,
即180°-6°t+180°-10°t-10°=70°,
解得t=;
④当18则∠BOD=360°-12°t,∠AOC=20°t-360°,
∴∠BON=180°-6°t,∠AOM=10°t-180°,
∴∠MON=∠BON-∠AOM-∠AOB=70°,
即(180°-6°t)-(10°t-180°)-10°=70°,
解得t=(舍).
综上所述,t的值为或15或.
4.如果一个角的余角比它的补角的还少20°,那么这个角的度数是( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
5.(2025·重庆一中)已知线段AB上有C,D两点,始终满足AC=3BD.
(1)如图1,若点C是线段AB的中点,CD=3,求AB的长;
解:(1)设BD=x,则AC=3x.
∵点C是线段AB的中点,∴AC=BC=AB=3x.
∵CD=3,∴3x-x=3,解得x=1.5,
∴AB=2AC=6x=9.
D
(2)如图2,若点E是线段CD上一点,AE=3CD,点F是线段AD的中点,已知EF-BD=5,求CE的长.
(2)设BD=a,CD=b,则AC=3a,AE=3b,
∴AD=AC+CD=3a+b.
∵点F是线段AD的中点,
∴AF=DF=AD=,
∴EF=AE-AF=3b-=.
∵EF-BD=5,∴-a=5,整理,得b-a=2,
∴CE=AE-AC=3b-3a=3(b-a)=6.
6.如图,AB为一条直线,OC是∠AOD的平分线.
(1)如图1,若∠COE为直角,且∠AOD=60°,求∠BOE的度数;
解:(1)∵∠COE是直角,∴∠COE=90°.
∴∠AOC+∠BOE=90°.
∵OC是∠AOD的平分线,∠AOD=60°.
∴∠AOC=30°.∴∠BOE=90°-30°=60°.
(2)如图2,若∠DOE∶∠BOD=2∶5,且∠COE=80°,求∠BOE的度数.
(2)设∠DOE=2x,则∠BOD=5x.∴∠BOE=3x.
∵OC是∠AOD的平分线,∠COE=80°,
∴∠AOC=∠COD=80°-2x.
则2×(80°-2x)+5x=180°,解得x=20°.
∴∠BOE=3x=3×20°=60°.
7.已知点O是直线AB上一点,将一个直角三角尺按如图1放置,使其中一条直角边ON在直线AB上,射线OC在∠BOM的内部.
(1)如图2,将三角尺绕点O逆时针旋转,当∠BON=∠CON时,请判断OM是否平分∠AOC,并说明理由;
解:(1)OM平分∠AOC,理由如下:
∵∠AOM+∠BON=90°,
∠CON+∠COM=90°,∠BON=∠CON,
∴∠AOM=∠COM,∴OM平分∠AOC.
(2)若∠BOC=40°,将三角尺绕点O从图1位置开始逆时针旋转一周,每秒旋转1°,旋转多少秒时∠AOM=∠COM
(2)如图1,∵∠BOC=40°,∴∠COM=50°.
设旋转x秒时∠AOM=∠COM.
分两种情况讨论:
①当OM在AB上方时,
90-x=50+x,解得x=20;
②当OM在AB下方时,
x-90=360-x-50,解得x=200.
综上所述,旋转20秒或200秒时,∠AOM=∠COM.
(3)在(2)的条件下,如图3,旋转三角尺使ON在∠AOC内部,OM在直线AB的另一侧,请探索∠AOM与∠CON的数量关系,并说明理由.
(3)∠AOM=∠CON-50°,理由如下:设旋转t秒,
则∠CON=(t-40)°,∠AOM=(t-90)°,
∴∠AOM=∠CON-50°.
8.(1)如图,线段AD上有两点B,C,则图中共有 条线段;
(2)如图,在∠AOD的内部有两条射线OB,OC,则图中共有 个角.
6
6
9.(1)如图1,已知点C,D为线段AB上两点,且AB=4AD=5BC,点M和点N分别是线段AC和BD的中点.若线段AB=20cm,则线段AD= cm,BC=
cm,MN= cm;
5
4
4.5
(2)已知OC,OD为从∠AOB顶点出发的两条射线,∠AOB=5∠BOC且∠AOB=120°,射线OM和射线ON分别平分∠AOC,∠BOD.
①如图2,若OC,OD均为∠AOB内的两条射线,且∠AOB=4∠AOD,求∠MON的度数;
解:(2)①∵∠AOB=5∠BOC=120°,∴∠BOC=24°,
∴∠AOC=120°-24°=96°.
∵OM平分∠AOC,∴∠AOM=∠COM=48°.
∵∠AOB=4∠AOD=120°,∴∠AOD=30°,
∴∠BOD=90°,∠DOM=18°.
∵ON平分∠BOD,∴∠DON=∠BOD=45°,
∴∠MON=∠DON-∠DOM=45°-18°=27°.
②如图3,若OC为∠AOB外的一条射线,且∠MON=20°,求∠AOD的度数.
②∵∠AOC=120°+24°=144°,OM平分∠AOC,
∴∠AOM=∠COM=72°,∴∠BOM=72°-24°=48°.
当ON在∠BOM内部时,
∵ON平分∠BOD,∴∠DON=∠BON=∠BOM-∠MON=28°,
∴∠DOM=∠DON-∠MON=8°,
∴∠AOD=∠AOM-∠DOM=72°-8°=64°;
当ON在∠AOM内部时,
∵ON平分∠BOD,
∴∠DON=∠BON=20°+48°=68°.
∵∠AOM=∠COM=72°,∴∠AON=72°-20°=52°,
∴∠AOD=∠DON-∠AON=68°-52°=16°.
综上,∠AOD的度数为64°或16°.
10.如图,点C是线段AB上的一点,点M是线段AC的中点,点N是线段BC的中点.
(1)如果AB=10 cm,AM=3 cm,求CN的长;
解:(1)∵点M,N分别是AC,BC的中点,
∴NC=BC,AM=AC.
∴NC=BC=(AB-AC)=AB-AC=AB-AM=×10-3=2(cm).
(2)如果MN=6 cm,求AB的长.
(2)AB=AC+BC=2MC+2CN=2(MC+CN)=2MN=2×6=12(cm).
11.已知∠ABC=∠DBE,射线BD在∠ABC的内部,按要求完成下列各题.
(1)【尝试探究】如图1,∠ABC=90°,当BD是∠ABC的平分线时,求∠ABE+∠DBC的度数;
解:(1)∵∠ABC=90°,BD平分∠ABC,
∴∠DBC=∠ABD=∠ABC=45°,
∴∠ABE=∠ABD+∠DBE=45°+90°=135°,
∴∠ABE+∠DBC=180°.
(2)【初步应用】如图2,∠ABC=90°,当BD不是∠ABC的平分线时,求∠ABE+∠DBC的度数;
(2)∵∠DBE=∠ABC=90°,
∴∠ABE+∠DBC=∠ABC+∠CBE+∠DBC=∠ABC+∠DBE=180°.
(3)【拓展提升】如图3,若∠ABC=45°,试判断∠ABE与∠DBC之间的数量关系,并说明理由.
(3)∠ABE+∠DBC=90°,理由如下:
∵∠DBE=∠ABC=45°,
∴∠ABE+∠DBC=∠ABC+∠CBE+∠DBC=∠ABC+∠DBE=90°.
12.如图,∠AOB=90°,∠BOC=30°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC.
(1)求∠MON的度数;
解:(1)根据题意,得
∠AOB=90°,∠BOC=30°,
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°.
∵OM平分∠AOC,
ON平分∠BOC,
∴∠MOC=∠AOC=60°,
∠CON=∠BOC=15°,
∴∠MON=∠MOC-∠CON=60°-15°=45°.
(2)若∠BOC=60°,其他条件不变,则∠MON= ;
(3)若∠AOB=α,其他条件不变,求∠MON的度数;
(3)∵∠AOB=α,∠BOC=30°,
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+30°.
∵OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,
∴∠MOC=∠AOC=α+15°,
∠CON=∠BOC=15°,
∴∠MON=∠MOC-∠CON=α+15°-15°=α.
(4)从上面的结果能看出什么规律
(4)∠MON的度数始终是∠AOB的一半,与∠BOC的大小没有关系.
45°
13.已知点C,线段AB.
(1)如图,若点C在线段AB上,且AC=12,BC=8,点M,N分别是AC,BC的中点,则线段MN的长度是 ;
(2)若把(1)中点C在线段AB上,且AC=12,BC=8,改为点C是线段AB上任意一点,且AC=a,BC=b,其他条件不变,请求出线段MN的长度(用含a,b的代数式表示);
解:(2)由点M,N分别是AC,BC的中点,
可得MC=AC=a,CN=BC=b,
∴MN=MC+CN=.
10
(3)若把(2)中点C是线段AB上任意一点,改为点C是直线AB上任意一点,其他条件不变,则线段MN的长度会变化吗 若有变化,请求出结果;若没有变化,请说明理由.
(3)线段MN的长度会变化.
当点C在线段AB上时,由(2)知MN=.
当点C在线段AB的延长线上时,如答案图1,
则AC>BC,即a>b.
由点M,N分别是AC,BC的中点,
可得MC=AC=a,CN=BC=b.
∴MN=MC-CN=;
当点C在线段BA的延长线上时,如答案图2.
则BC>AC,即b>a.
由点M,N分别是AC,BC的中点,
可得MC=AC=a,CN=BC=b.
∴MN=CN-MC=.(共10张PPT)
6.3.1 角的概念
1.下列说法中正确的是 ( )
A.由两条射线组成的图形叫作角
B.角的大小与角的两边长度有关
C.角的两边是两条射线
D.用放大镜看一个角,角的度数变大了
C
2.下列四个图中,能用∠1,∠AOB,∠O三种方法表示同一个角的是( )
B
3.(2025·重庆一中)如图,点P位于点O的 ( )
A.西偏北67°方向
B.西偏北57°方向
C.北偏西67°方向
D.北偏西23°方向
4.(1)30.12°= ° ___’ ″;
(2)18°45'36″= °.
C
30
7
12
18.76
5.如图,图中以D为顶点的角有 个,能用一个字母表示的角是 ,以C为顶点的锐角是 .
4
∠B
∠ACB
6.将图中的角用不同的方法表示出来,并填写下表.
∠1 ∠3 ∠4 ∠α
∠BCA ∠ABC ∠BEC
∠2
∠BCE
∠BAC
或
∠BAE
∠BAD
∠5
∠E
∠CBE
7.时钟在10点10分时,时针和分针的夹角度数是 ( )
A.100° B.105° C.115° D.120°
8.若∠1=38°15‘,∠2=38.15°,∠3=38.25°,则下面说法正确的是( )
A.∠1=∠2 B.∠2=∠3
C.∠1=∠3 D.∠1,∠2,∠3互不相等
9.(1)钟表上的时间是8:30时,时针与分针的夹角为 度;
(2)(2025·重庆南开)当钟表上显示的时间是7:45时,时针与分针所成的夹角为 °;
(3)从1时15分到1时35分,闹钟的分针转了 °,时针转了 °.
C
C
75
37.5
120
10
10.如图,用适当的方法表示图中的角.
(1)写出以O为顶点的角;
(2)写出以D为顶点的角.
解:(1)∠EOA,∠EOB,
∠EOC,∠AOB,∠AOC,∠BOC.
(2)∠EDO,∠CDF,∠ODF,∠EDC.
11.(2025·重庆八中)从下午3点整开始,到时钟的分针与时针第一次重合,经过的时间是( )
A.16分钟 B.分钟
C.17分钟 D.分钟
12.下列说法:①所有的直角都相等;②角的两边画得越长,角的度数越大;③大于直角的角是钝角;④如果甲看乙的方向为南偏西40°,那么乙看甲的方向为北偏东40°.其中正确的是 .(填序号)
B
①④
13.观察图形,回答下列问题:
(1)如图①,在∠AOB内部画1条射线OC,则图中有 个不同的角;
(2)如图②,在∠AOB内部画2条射线OC,OD,则图中有 个不同的角;
(3)如图③,在∠AOB内部画3条射线OC,OD,OE,则图中有 个不同的角;
(4)在∠AOB内部画n条射线OC,OD,OE,…,则图中有 个不同的角.
3
6
10
(共17张PPT)
第2课时 从不同的方向看立体图形
1.(2025·重庆巴蜀)如图是由几个相同的小立方块搭成的立体图形,从上面看得到的形状图是 ( )
B
2.在下列立体图形中,从左面观察得到的平面图形为三角形的是 ( )
D
3.用11个完全相同的正方体堆积成如图的立体图形,从①②③④四个正方体中拿走一个之后所形成的立体图形与原立体图形相比,从上面看到的形状发生变化的是 ( )
A.拿走①
B.拿走②
C.拿走③
D.拿走④
D
4.如图是某个立体图形从三个不同方向看到的图形,该立体图形是
.
三棱柱
5.(1)如图所示是由四个相同的小立方体组成的立体图形从前面和左面看到的图形,那么该立体图形可能是 ;(把图中正确的立体图形的序号都填在横线上)
①④
(2)如图所示是由若干个大小相同的小正方体搭成的立体图形从三个不同方向看到的图形,则搭成这个几何体的小正方体的个数是 个.
7
6.如图1所示,是由一些大小相同的边长为10 cm的小立方块搭成的立体图形从上面看到的图形,其中小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数.
(1)请在图2相应的方格内,画出从前面看和从左面看到的该立体图形的形状图;
解:(1)如答案图所示.
(2)求这个立体图形的表面积.
(2)该立体图形的表面积为2×(6+6+5)×10×10=3 400(cm2).
7.(2025·自贡)如图,一横一竖两块砖头放置于水平地面,其从前面看到的形状图为 ( )
D
8.(2025·重庆八中)如图是由七个大小相同的小正方体(每个面的边长为1)堆砌而成的立体图形,如果只移动其中一个小正方体,使其与剩下的立体图形至少有一个面重合,那么从前面、左面、上面看新立体图形,关于看到的立体图形的形状图的面积说法错误的是 ( )
A.面积的最小值是3
B.面积的最大值是6
C.面积的值有且只有3个
D.从左面和前面看到的形状图面积可能相等
C
9.某立体图形是由几个棱长为1的小立方体搭成的,从三个不同方向看到的图形如图所示,则该立体图形的表面积(包括下底面)为 .
18
10.某品牌饮水机可以近似地看成一个长方体减去半个圆柱体的几何体,它从前面看和从上面看的图形如图所示,长方体的长为5 dm,宽为6 dm,高为8 dm,圆柱体的高为4 dm,底面直径为2 dm.
(1)求该立体图形的体积;(结果保留π)
(2)现对该饮水机的前面区域进行涂色(从前面所看到的区域),求涂色面积.(结果保留π)
解:(1)该立体图形的体积=5×8×6-π××4=(240-2π)dm3.
(2)涂色面积=5×8-2×4+×2π×4=(32+4π)dm2.
11.把50个同样大小的立方体木块堆砌成如图所示的形状,现在从前、后、左、右和上面五个方向朝这堆木块喷漆,则完全喷不到漆的有 ( )
A.5块 B.7块 C.17块 D.22块
B
12.(1)一个几何体由一些大小相同的小正方体搭成,从前面和左面看到的这个几何体的形状如图所示,则搭成该几何体的小正方体的个数最少是 个;
4
(2)(2025·成都青羊区)用若干个大小相同的小立方体搭一个立体图形,使得从前面和从上面看到的这个立体图形的形状如图所示,则搭出这个立体图形至少需要 个小立方体.
9
13.如图,在平整的地面上,将若干个边长均为1 cm的小正方体堆成一个立体图形,并放置在墙角.
(1)请画出这个立体图形从前面和上面看到的图形;
解:(1)作图如图所示.
(2)若将其露在外面的面涂上一层漆(不包括与墙和地面接触的部分),则其涂漆面积为 cm2;
(3)添加若干个上述小正方体后,所成立体图形从左面和上面看到的图形不变,则有 种添加方式.
(3)这个组合体从上面看到的图形如答案图.
如答案图,在①处添加1块;在①处添加2块;在②处添加1块;在①处添加1块,在②处添加1块;在①处添加2块,在②处添加1块,均能符合题意.故答案为5.
16
5(共21张PPT)
第3课时 立体图形展开图
1.下列图形中,不是正方体表面展开图的是 ( )
D
2.如图是一个立体图形的表面展开图,则这个立体图形是 ( )
A
3.(2025·重庆外语校)2024年12月3日,重庆外国语学校科技文化节精彩来袭.如图是写有科技文化节主题的一个小正方体的展开图,把它叠成小正方体后,与写有“科”字的面相对的面上的字是 ( )
A.引 B.领 C.未 D.来
B
4.下列图形是某些多面体的平面展开图,请在横线上写出多面体的名称.
正方体
圆柱
三棱柱
四棱锥
__________
__________
__________
__________
5.(1)在正方体的表面分别标上数字,展开成如图所示的平面图形,则数字为-4的面与它相对的面上的数字之和为 ;
-7
(2)(2025·重庆巴蜀)如图是一个正方体纸盒的展开图,其中一个面与标有“y”的面相对,若这两个面上的整式互为相反数,则y的值为 .
6.如图是一个多面体的展开图,每个面上都标注了字母(字母在外表面),请根据要求回答问题:
(1)如果面A在多面体的底部,那么哪一面会在上面
(2)如果面F在前面,从左面看是面B,那么哪一面会在上面
(3)如果从右面看是面C,面D在后面,那么哪一面会在上面
解:这是一个长方体的表面展开图,共有六个面,其中面A与面F相对,面B与面D相对,面C与面E相对.
(1)面F.
(2)面C.
(3)面A.
7.下面四个图形中,经过折叠能围成如图所示的几何图形的是 ( )
B
8.(2025·成都武侯区)如图,去掉1个小正方形,使所得图形为正方体表面的展开图,则去掉小正方形的方法有 ( )
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
C
9.如图是无盖长方体盒子的表面展开图(重叠部分不计),则盒子的容积为 .
6
10.(2025·成都外语校)如图是由多个小正方体组合成的立体图形.
(1)分别画出从前面、左面观察到的图形;
解:(1)作图如图.
(2)小明同学取其中一个正方体,将其展开,下列展开图正确的有
;(填序号)
②③⑤
(3)如图是一个正方体的展开图,折叠后它们的相对两面的数字互为相反数,已知c是最大的负整数,m的值满足从六边形一个顶点出发最多可以引出对角线的条数,且b<0.求a+b+n的值.
(3)由题意可知,c=-1,m=3.
∵正方体的相对两面的数字互为相反数,
∴+c=0,m+n=0,b2+(-16)=0,
∴a=±1,n=-3,b=±4.∵b<0,∴b=-4.
当a=1时,a+b+n=1+(-4)+(-3)=-6;
当a=-1时,a+b+n=(-1)+(-4)+(-3)=-8.
综上,a+b+n的值为-6或-8.
11.(2025·重庆八中)如图是一个正方体的平面展开图,且相对两个面表示的整式的和都相等,如果A=a3+a2b+3,B=a2b-3,C=a3-1,D=-(a2b-6),那么E所代表的整式是( )
A.-a3+1
B.-a3-a2b-3
C.2a3-a2b+5
D.2a3+a2b+5
B
12.如图1是一个小正方体的展开图,小正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格,这时小正方体朝上一面的字是 .
北
13.在数学实践课上,老师提供了如图1所示的长方形卡纸ABCD,要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒.小明按照图2的方式裁剪(其中AE=FB),恰好得到纸盒的展开图,并利用该展开图折成一个礼品盒,如图3所示.
(1)若AB=a,直接用含a的代数式表示出AD的长;
解:(1)如图2,则AG=EM=EF=FN,
GM=AE,GH=2GM,
∴AG+GH=EF+2AE=AB,
∴AD=2(AG+GH)=2AB=2a.
(2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”,如图4所示,那么应选择的纸盒展开图图样是 ;
C
(3)今有两种不同型号的长方形卡纸,其规格、单价如下表所示:
卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ
规格(单位:cm) 60×60 40×160
单价(单位:元) 3 5
现要制作10个这种底面是边长为10 cm的正方形,高为20 cm的礼品盒.请你合理选择上述卡纸(包括卡纸型号及相应型号卡纸的张数),并在卡纸上画出设计示意图(包括一张卡纸可制作几个礼品盒,其展开图在卡纸上的分布情况),并计算出你所用卡纸的总费用.
(3)如图,1张型号Ⅰ卡纸可制作2个这样的礼品盒,1张型号Ⅱ卡纸可制作3个这样的礼品盒,则有如下六种情况:
①只用型号Ⅰ,则需5张卡纸,需3×5=15(元);
②只用型号Ⅱ,则需4张卡纸,需4×5=20(元);
③用1张型号Ⅰ卡纸,3张型号Ⅱ卡纸,需3+3×5=18(元);
④用2张型号Ⅰ卡纸,2张型号Ⅱ卡纸,需2×3+2×5=16(元);
⑤用3张型号Ⅰ卡纸,2张型号Ⅱ卡纸,需3×3+2×5=19(元);
⑥用4张型号Ⅰ卡纸,1张型号Ⅱ卡纸,需4×3+1×5=17(元).(共17张PPT)
6.3.2 角的比较与运算
1.如图,把一副三角板叠合在一起,则∠AOB的度数是( )
A.15° B.20°
C.30° D.70°
2.(2025·重庆八中)如图,点O为直线AB上一点,OD平分∠AOC,∠COB=46°,则∠AOD的度数是( )
A.57° B.66°
C.67° D.86°
A
C
3.如图,学校A在小明家B北偏东48°的方向上,点C表示超市所在的位置,∠ABC=90°,则超市C在小明家B ( )
A.北偏西38°的方向上
B.北偏西42°的方向上
C.南偏西48°的方向上
D.南偏东42°的方向上
4.(2025·成都外语校)如图,在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向,同时轮船B在南偏东15°的方向,那么∠AOB的度数为 .
141°
B
5.(1)(2025·重庆巴蜀)如图,将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上,若∠AOD=128°,则∠BOC= ;
(2)如图,点A,O,B在同一条直线上,∠COD=∠AOC,OE平分∠BOD,若∠COD=10°,则∠COE的度数为 ;
(3)已知∠AOB=75°,∠BOC=35°,则∠AOC= .
52°
80°
40°或110°
6.计算:
(1)180°-46°37';
解:原式=133°23'.
(2)48°39'+67°31';
解:原式=116°10'.
(3)21°17'×5;
解:原式=106°25'.
(4)42°15'÷5;
解:原式=8°27'.
(5)180°-(35°18'+62°56').
解:原式=81°46'.
7.如图,OC在∠AOB内部,OD平分∠AOC,OE平分∠BOD.若∠EOC=9°,且∠AOD+∠BOC=74°,则∠AOB=( )
A.100° B.110° C.120° D.130°
C
8.如图,已知∠AOB,以OA为边作∠AOC,使∠BOC=∠AOB,则下列结论一定成立的是( )
A.∠AOC=∠BOC
B.∠AOC<∠AOB
C.∠AOC=∠BOC或∠AOC=2∠BOC
D.∠AOC=∠BOC或∠AOC=3∠BOC
D
9.(1)(2025·重庆育才)如图1所示的∠AOB纸片,OC平分∠AOB,如图2,把∠AOB沿OC对折成∠COB(OA与OB重合),从点O引一条射线OE,使∠BOE=∠EOC,再沿OE把角剪开,若剪开后得到的3个角中最大的一个角为80°,则∠AOB= °;
120
(2)如图,已知O为直线AC上一点,以点O为起点作射线OB,OD,满足∠AOB=2∠BOC,且∠BOD=∠AOB,则∠AOD= .
40°或160°
10.如图,已知∠AOB=120°,OC是∠AOB内的一条射线,且∠AOC∶∠BOC=1∶2.
(1)求∠AOC,∠BOC的度数;
解:(1)∵∠AOC∶∠BOC=1∶2,∠AOB=120°,
∴∠AOC=∠AOB=×120°=40°,
∠BOC=∠AOB=×120°=80°.
(2)作射线OM平分∠AOC,在∠BOC内作射线ON,使得∠CON∶∠BON=1∶3,求∠MON的度数;
(2)∵OM平分∠AOC,
∴∠COM=∠AOC=×40°=20°.
∵∠CON∶∠BON=1∶3,
∴∠CON=∠BOC=×80°=20°,
∴∠MON=∠COM+∠CON=20°+20°=40°.
(3)过点O作射线OD,若2∠AOD=3∠BOD,求∠COD的度数.
(3)①如图,当OD在∠AOB内部时,设∠BOD=x°.
∵2∠AOD=3∠BOD,∴∠AOD=x°.
∵∠AOB=120°,∴x+x=120,
解得x=48,∴∠BOD=48°,
∴∠COD=∠BOC-∠BOD=80°-48°=32°;
②如备用图,当OD在∠AOB外部时,设∠BOD=y°.
∵2∠AOD=3∠BOD,∴∠AOD=y°.
∵∠AOB=120°,∴y+y+120=360,
解得y=96,∴∠BOD=96°,
∴∠COD=∠BOD+∠BOC=96°+80°=176°.
综上所述,∠COD的度数为32°或176°.
11.如图,已知∠AOB=140°,∠COD=40°,OM平分∠AOD,ON平分∠BOC,则∠NOM的度数为( )
A.45° B.50°
C.55° D.60
12.平面内,∠AOB=120°,C为∠AOB内部一点,射线OM平分∠AOC,射线ON平分∠BOC,射线OD平分∠MON,当=30°时,∠AOC的度数是 .
45°或15°
B
13.已知:∠ABC=150°,∠DBE=30°,BF平分∠ABD,BG平分∠CBE.
(1)如图1,BC与BD重合,BE在∠ABC的外部,求∠FBG的度数;
解:(1)∵BF平分∠ABD,BG平分∠CBE,∠ABC=150°,∠DBE=30°,
∴∠DBF=∠ABD=75°,∠CBG=∠DBE=15°,
∴∠FBG=∠DBF+∠CBG=90°.
(2)∵∠ABC=150°,∠DBE=30°,
∴∠ABD+∠CBE=150°-30°=120°.
∵BF平分∠ABD,BG平分∠CBE,
∴∠DBF=∠ABD,∠EBG=∠CBE,
∴∠FBG=∠DBF+∠EBG+∠DBE=(∠ABD+∠CBE)+∠DBE=60°+30°=90°.
(2)如图2,∠DBE在∠ABC的内部,求∠FBG的度数;
(3)将图1中的∠DBE绕点B逆时针转动,∠CBD=α(0°<α<180°),当∠CBF=6∠EBG时,直接写出α的值.
(3)①当0°<α≤30°时,如答案图1,
∴∠ABD=150°-α,
∠CBE=30°-α.
∵BF平分∠ABD,
BG平分∠CBE,
∴∠DBF=∠ABD=75°-α,∠EBG=∠CBE=15°-α.
∵∠CBF=6∠EBG,
∴75°-α+α=6,
解得α=°;
②当30°<α≤150°时,如答案图2,
∴∠ABD=150°-α,∠CBE=α-30°.
同①可得∠DBF=75°-α,∠EBG=α-15°.
∵∠CBF=6∠EBG,
∴75°-α+α=6,解得α=66°;
当150°<α<180°时,如答案图3,
∴∠ABD=α-150°,∠CBE=α-30°.
同①可得∠ABF=α-75°,∠EBG=α-15°.
∵∠CBF=6∠EBG,
∴α-75°+150°=6,解得α=66°(舍去).
综上,α的值为°或66°.(共12张PPT)
6.1.2 点、线、面、体
1.下列立体图形中,每个面都是平面的是( )
A.圆柱 B.棱柱 C.圆锥 D.球
2.下面现象能说明“点动成线”的是( )
A.旋转一扇门,门运动的痕迹
B.汽车雨刷在挡风玻璃上面画出的痕迹
C.时钟秒针转动扫过的痕迹
D.扔一块小石子,小石子在空中飞行的路线
B
D
3.(2025·重庆一中)可以由图绕虚线旋转一周得到的几何体是( )
C
4.(2025·重庆南开)中华武术是中国传统文化之一,是独具民族风貌的武术文化体系.从数学的角度,“枪挑一条线”可解释为 ;“棍扫一大片”可解释为 .
点动成线
线动成面
5. (1)如图所示的几何体是由一个正方体截去后形成的,这个几何体有 个面,其中正方形有 个,长方形有 个;
8
2
4
(2)在下列几何体中,有1个面的是 ,有2个面的是 ,有3个面的是 ,有4个面的是 ,有曲面的是 .(填序号)
④
⑤
②
⑥
②④⑤
6.【教材改编】用数学的眼光去观察问题,你会发现很多图形都能看成是动静结合,舒展自如的.下面所给的三排图形都存在着某种联系,用线将它们连起来.
解:第一行的平面图形绕某一边旋转或移动可得到第二行的立体图形,从第二行的立体图形的上面看可得到第三行的平面图形.连线如下.
(1)——(三)——(D);
(2)——(二)——(C);
(3)——(四)——(B);
(4)——(一)——(A).
7.(2025·重庆八中)如图所示,把图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是( )
B
8.正方形ABCD的边长为2 cm,以直线AB为轴旋转一周所得到圆柱的底面周长为 cm.
4π
9.如图,一个正五棱柱(底面边长都相等)的底面边长为2 cm,高为4 cm.
(1)这个棱柱共有多少个面 计算它的侧面积;
(2)这个棱柱共有多少个顶点 有多少条棱
(3)试用含有n的代数式表示n棱柱的顶点数、面数及棱的条数.
解:(1)侧面有5个,底面有2个,共有5+2=7(个)面;侧面积:2×4×5=40(cm2).
(2)顶点共有10个,棱有15条.
(3)n棱柱的顶点数为2n,面数为n+2,棱的条数为3n.
10.(1)如图1,将一个直角三角形沿它的较短的直角边所在直线l旋转一周得到一个几何体,已知直角三角形的两条直角边分别是4 cm和3 cm,回答下列问题:
①得到什么几何体
②求这个几何体的体积;(结果保留π)
解:(1)①得到一个圆锥.
②这个圆锥的体积为
×π×42×3=16π(cm3).
(2)如图2,将一个长方形沿它的长或宽所在的直线l旋转一周,回答下列问题:
①得到什么几何体
②长方形的长和宽分别为6 cm和4 cm,分别绕它的长或宽所在的直线旋转一周,得到不同的几何体,它们的体积分别为多少 (结果保留π)
(2)①得到一个圆柱.
②绕长方形的长所在直线旋转一周得到的圆柱的体积为π×42×6=96π(cm3);
绕长方形的宽所在直线旋转一周得到的圆柱的体积为π×62×4=144π(cm3).
11.不透明的袋子中装有一个几何体模型,两位同学摸该模型并描述它的特征.甲同学:它有4个面是三角形;乙同学:它有8条棱.该模型的形状对应的立体图形可能是( )
A.三棱柱 B.四棱柱
C.三棱锥 D.四棱锥
12.(1)已知长方形的长为a,宽为b,记这个长方形绕它的长旋转一周得到的圆柱的侧面积为S1,这个长方形绕它的宽旋转一周得到的圆柱的侧面积为S2,则的值为 ;
(2)图中的大长方形长8 cm、宽6 cm,小长方形长4 cm、宽3 cm,以长边的中点连线(图中的虚线)为轴,将图中的阴影部分旋转一周得到的几何体的表面积为 cm2.(结果保留π)
D
1
92π
13.如图所示,由27个大小相同的小方块堆成一个正方体,如果将它的表面涂成黄色.
(1)有3个面涂成黄色的小方块有几块
(2)有1个面涂成黄色的小方块有几块
(3)有2个面涂成黄色的小方块有几块
解:(1)3个面涂成黄色的小方块在8个顶点上,有8块.
(2)1个面涂成黄色的小方块在每个面的正中间,有6块.
(3)2个面涂成黄色的小方块在12条棱上,有12块.(共12张PPT)
6.2.1 直线、射线、线段
1.下列各图中,表示“射线CD”的是( )
B
2.下列说法正确的是( )
A.过一点P只能作一条直线
B.两条直线相交只有一个交点
C.射线AB和射线BA表示同一条射线
D.射线a比直线b短
3.(2025·重庆渝中区)如图,直线l与直线m相交于点O,下列说法错误的是( )
A.点A在直线m外
B.点P在直线l上
C.点B在线段OA的反向延长线上
D.直线m与线段AB相交于点O
B
B
4.把一根木条钉在墙上使其固定,至少需要 颗钉子,其理由是_______
________________________.
5.(1)(2025·重庆巴蜀)如图,观察图形,图中共有 条射线;
(2)如图所示,直线 和直线 相交于点P;直线AB和直线EF相交于点 ;点R是直线 和直线 的交点.
2
两点确定一条直线
6
AB
CD
O
CD
EF
6.如图,已知四点A,B,C,D.根据下列语句,画出图形.
(1)连接AC,BD,相交于点O;
(2)画射线AB,DC,相交于点E;
(3)画直线OE.
解:(1)(2)(3)作图如答案图.
7.如图,有下列结论:①以点C为端点的射线共有4条;②射线BD和射线DB是同一条射线;③直线BC和直线BD是同一条直线;④射线AB,AC,AD的端点相同.其中正确的结论是( )
A.②④ B.③④ C.②③ D.①③
B
8.(1)如图,在直线AB上任取一点C,能用图中字母表示的射线共有 条,分别是 ;能用图中字母表示的线段共有 条,分别是 ;
(2)如图,以图中的点A,B,C,D,E为端点的线段条数为 .
4
射线BA、射线BC、射线AB、射线CB
3
线段AB、线段BC、线段AC
10
9.如图,在平面内有A,B,C三点.
(1)画直线AB;画射线AC;画线段BC;
(2)在线段BC上任取一点D(不同于B,C),连接AD,并延长AD至点E;
(3)数一数,此时图中共有多少条线段 多少条射线
解:(1)(2)如答案图所示.
[(2)答案不唯一]
(3)图中共有8条线段,6条射线.
10.如图,数轴的原点为O,点A表示3,点B表示-1.5.问:
(1)数轴是什么图形
(2)数轴上原点O右边的部分(包括原点)是什么图形 怎样表示
(3)射线OB上的点表示什么数 端点表示什么数
(4)数轴上表示不小于-1.5且不大于3的部分是什么图形 怎样表示
解:(1)直线.
(2)射线,射线OA.
(3)小于或等于0的数,0.
(4)线段,线段BA(或AB).
11.同一平面内的三条直线最多可把平面分成几部分( )
A.4 B.5 C.6 D.7
12.(1)平面内有10条直线两两相交,交点个数最多有m个,最少有n个,则m+n的值为 ;
(2)两条直线相交被分成了4段,三条直线两两相交最多被分成9段,那么八条直线两两相交,其中只有三条直线相交于一点,则这八条直线被分成 段.
D
46
61
13.如图,点A1,A2,A3,A4,A5,…,An在直线l上.
(1)探索:
①如图1,直线l上有2个点,则图中有 条线段;
②如图2,直线l上有3个点,则图中有 条线段;
…
③如图3,直线l上有n个点,则图中有 条线段;
1
3
(2)运用上面发现的规律解决下列问题:
①某学校七年级共有6个班进行足球比赛,准备进行单循环赛,预计全部赛完共需 场比赛;
②某会议有20人参加,每两人握手一次,共握手 次;
③一列火车往返于A,B两个城市,中途经过5个站点(共7个站点),不同的车站来往需要不同的车票,共有 种不同的车票,需制定 种票价.
15
190
42
21(共17张PPT)
第1课时 立体图形与平面图形
1.下列立体图形中,是圆锥的是 ( )
D
2.围成下列这些立体图形的各个面中,都是平面的是 ( )
D
3.如图,四个立体图形分别是三棱柱,四棱柱,五棱柱和六棱柱,其中三棱柱有5个面,9条棱,6个顶点,观察图形,下列说法正确的有 ( )
①n棱柱有n个面;②n棱柱有3n条棱;③n棱柱有2n个顶点.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
C
4.如图是用简单的平面图形画出的三位携手同行的小伙伴,请你仔细观察,图中的平面图形有 .(至少填出3种)
三角形、长方形、正方形、圆、线段
5.(1)从n边形的一个顶点出发,分别连接这个顶点与其余各顶点,若把这个多边形分割成7个三角形,则n的值是 ;
(2)三棱锥有 条棱,四棱锥有 条棱,五棱锥有 条棱;
(3)一个棱锥的棱数是100,则这个棱锥是 棱锥,面数是 .
(4)某洗衣机的包装箱外形是长方体,其高为1.2 m,体积为1.2 m3,底面是正方形,则该包装箱的表面积为 m2.
9
6
8
10
五十
51
6.8
6.如图,观察图中的立体图形,分别写出它们的名称并分类.
解:它们的名称分别为球、六棱柱、圆锥、正方体、三棱柱、圆柱、四棱锥、长方体.
分类:球:①;柱体:②④⑤⑥⑧;锥体:③⑦.
(分类不唯一,合理即可)
7.下列图形是按一定规律所组成的,其中图1中共有1个正方形,0个三角形,图2中共有2个正方形,4个三角形,图3中共有3个正方形,8个三角形,…,按此规律排列下去,当三角形的个数为20时,图中应该含有正方形的个数为 ( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
C
8.如图,正方体木块相对两个面上的数字之和是7,这个木块如图放置后,按箭头所示方向滚动,滚动到最后一格时,木块朝上的数字是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
C
9.用棋子摆出下列一组图形:
(1)填写下表:
图形编号 1 2 3 4 5 6
图中棋子数 5 8 11 14
17
20
(2)照这样的方式摆下去,直接写出摆第n个图形所需的棋子数;
解:(2)3n+2.
(3)其中某一图形可能共有2 025枚棋子吗 若不可能,请说明理由;若可能,请你求出是第几个图形.
(3)不可能,理由如下:
由3n+2=2 025,解得n=不为整数.
所以不可能有2 025枚棋子.
10.下面四个图形a,b,c,d是平面图形.
(1)数一数,每一个图各有多少个顶点,多少条边,这些边围出了多少个区域,将结果填入下表;
图形 顶点数 区域数 边数
a 4 3 6
b 6 3 8
c
d
8
5
12
10
6
15
(2)观察上表,推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系
解:(2)顶点数+区域数-1=边数.
(3)现已知某一个平面图形有1 014个顶点和1 010个区域,试根据(2)中推断出来的关系,确定这个图形有多少条边.
(3)1 014+1 010-1=2 023(条).
11.(2025·重庆巴蜀)在正方体的六个面上,分别标上“我、的、愉、快、初、一”六个字,如图是正方体的三种不同摆法,则从左到右三种摆法的左侧面上的三个字分别是 ( )
A.的、初、愉 B.中、的、愉
C.愉、初、一 D.的、初、一
D
12.将五边形区域分割成三角形的过程是:在五边形内取一定数量的点,连同五边形的5个顶点,逐步连接这些点,保证所有连线不再相交产生新的点,直到五边形内所有区域都变成三角形.如图1,当五边形内有3个点时,可分得9个三角形;当五边形被分割为2 025个三角形(不计被分割的三角形)时,五边形内有 个点.
1 011
13.十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式,被称为欧拉公式.请你观察下列几种简单多面体模型,解答问题:
(1)根据上面的多面体模型,完成表格中的空格:
多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E)
四面体 4 6
长方体 8 6
正八面体 8 12
正十二面体 20 12 30
你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是 ;
4
12
6
E=V+F-2
(2)一个多面体的面数比顶点数大6,且有24条棱,则这个多面体的面数是 ;
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体,它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成,且有48个顶点,每个顶点处都有3条棱,设该多面体外表面三角形的个数为m个,八边形的个数为n个,求m+n的值.
解:(3)由题意,得V=48,E=(48×3)÷2=72,F=m+n.
由E=V+F-2,得72=48+m+n-2,
∴m+n=26.
16 (共17张PPT)
6.2.2 线段的比较与运算
1.如图,A,B两村庄在一条河l(不计河的宽度)的两侧,现要建一座码头,使它到A,B两村庄的距离之和最小.如图,连接AB,与l交于点C,则点C即为所求的码头的位置,这样做的依据是( )
A.两点确定一条直线
B.两直线相交只有一个交点
C.两点之间,线段最短
D.经过一点有无数条直线
C
2.如图,AB=CD,则AC与BD的大小关系是( )
A.AC>BD B.ACC.AC=BD D.不能确定
3.(2025·重庆育才)如图,线段AB=4,延长AB到点C,使BC=2AB.若点D是线段AC的中点,则BD的长为 ( )
A.1.5 B.2 C.2.5 D.6
B
C
4.【教材改编】下面的图2是图1的侧面展开图,一只小昆虫沿着圆柱的侧面,从点A开始沿最短的距离爬到点B,则点B在图2中的位置是 .(填序号)
③
5.(1)如图,点C是线段AB上一点,点D为BC的中点.若AB=12,BD=5,则AC的长为 ;
(2)如图,已知O是线段AB的中点,C是AB的三等分点,OC=2 cm,则AB= .
2
12 cm
6.如图,已知线段m,n.
(1)尺规作图:作线段AC=2m-n,其中AB=2m(保留作图痕迹,不写作法);
解:(1)如答案图,线段AC即为所求作的线段.
(2)在(1)的条件下,点D是线段AC的中点,m=2.5,n=2,求线段BD的长度.
(2)∵m=2.5,n=2,
∴AB=2m=5,BC=n=2,AC=2×2.5-2=3.
∵点D为AC的中点,∴AD=AC=1.5,
∴BD=AB-AD=5-1.5=3.5.
7.如图,C是线段AB的中点,D是线段CB上一点,下列说法:①AC=BC;②CD=AB-BD;③若M为AC中点,N为BD中点,则MN=AB+CD;④若CD=1,BD=2,则图中所有线段的长度之和为20.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.已知A,B,C是同一直线上的三点,且AB=12 cm,BC=8 cm,若点D是AC的中点,则线段BD的长度是 ( )
A.2 cm或6 cm B.10 cm或4 cm
C.2 cm或10 cm D.6 cm或4 cm
C
C
9.(1)尺规作图:如图1所示,已知线段AB,点P是线段AB外一点.
①作射线AP,连接线段PB;
②在射线AP上找一点C,使得AC=AB;
解:(1)作图如图1所示.
(2)如图2所示,点C是线段AB上一点,M是线段AC的中点,N是线段BC的中点.若MN=8cm,BN=3cm,求AM的长.
(2)∵M是线段AC的中点,∴MC=AM.
∵N是BC的中点,∴BN=CN=3 cm.
∴AM+BN=MC+CN=MN=8 cm,
∴AM=MN-BN=8-3=5(cm).
10.(2025·重庆巴蜀)如图,点C为线段AB的中点,点M,N在线段AB上,已知AM∶MC=1∶3.
(1)若AM=2 cm,求线段AB的长;
解:(1)∵AM∶MC=1∶3,AM=2 cm,
∴MC=2×3=6(cm),∴AC=8 cm.
∵点C为线段AB的中点,
∴AB=2AC=2×8=16(cm).
(2)若CN=5 cm,AB=AN,求线段BM的长.
(2)∵AM∶MC=1∶3,
∴设AM=x cm,则MC=3x cm,AC=4x cm.
∵C为线段AB的中点,∴AB=2AC=8x cm.
∵AB=AN,∴AN=AB÷=5x cm.
∵CN=5 cm,CN=AN-AC,
∴5=5x-4x,∴x=5,
∴AM=5 cm,AB=40 cm.
∴BM=AB-AM=35 cm.
11.(2025·重庆外语校)如图,C,D是线段AB上的两点,已知AC∶CB=2∶5,
AD∶BD=9∶5,M为AD的中点,N为CD的中点,下列说法中,错误的是( )
A.AD=3CM+2ND B.AM+CN=MN+BD
C.BD=2CN D.AC=2MN
A
12.(1)如图,点A,B,C,D在同一直线上,已知AB=AC,BC=CD,且点E,F分别是AC,BD的中点.若EF=8,则AF= ;
解析:设AB=a,则AC=3a,BC=2a,CD=5a,∴BD=7a,AD=8a.∵点E,F分别是AC,BD的中点,∴AE=a,BF=a,∴EF=AB+BF-AE=3a=8,解得a=,∴AF=AE+EF=a+8=12.故答案为12.
(2)已知线段AB,延长AB至点C,使得BC=2AB,点D是线段AC上一点,且BD=AB,则的值为 .
12
6或2
13.如图,P是线段MN上一点,E,F两点分别在线段PM,PN上运动,且NF=2PE.
(1)若PM=PN,ME=2,求线段PF的长;
解:(1)∵PM=PN,NF=2PE,
∴ME=PM-PE=PN-NF=(PN-NF)=PF.
又∵ME=2,∴PF=2ME=4.
(2)若不论E,F两点如何运动,都有PF=2EM.
①若Q是直线MN上一点,且MQ-NQ=PQ,求的值;
(2)①∵NF=2PE,PF=2EM,
∴NF+PF=2PE+2EM=2(PE+EM),即PN=2PM,
∴PM=MN,PN=MN.
当点Q在MN的延长线上时,如答案图1.
∴MQ-NQ=MN.
∵MQ-NQ=PQ,∴PQ=MN,∴=1;
当点Q在线段PN上时,如答案图2.
∵MQ-NQ=PQ,
∴MP+PQ-(NP-PQ)=PQ,即MP+PQ=NP,
∴MN+PQ=MN,∴PQ=MN,∴=.
综上,的值为1或.
②若PE=5时,恰好有EF=MN,此时点E停止不动,将点F向左移动(F点始终在线段PN上),C,D分别是EF,PF的中点,试判断在点F向左移动的过程中,是否发生变化 如果不变,请求出该值;如果发生变化,请说明理由.
②设EM=b,则PF=2b,∴EF=2b+5.
∵EF=MN,∴MN=4b+10,∴FN=MN-ME-EF=b+5.
∵NF=2PE,∴b+5=2×5,解得b=5,∴MN=30.
∵C,D分别是EF,PF的中点,
∴CF=EF,DF=PF,
∴CD=EF-PF=EP=,
∴==,∴的值不变,为.(共41张PPT)
《几何图形初步》
章末考点复习与小结
1.下图中属于柱体的个数是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
C
2.(2025·成都树德)如图所示的几何体是由一些小正方体组成的,那么它从上面看到的图形是( )
3.一个圆柱体从三个不同方向看到的图形如图所示,则这个圆柱体的体积为 .(结果保留π)
24π
D
4.由如图所示的正方体的平面展开图可知,原正方体中“中”字所在面对面的汉字是( )
A.“国” B.“的” C.“我” D.“梦”
B
5.一个几何体的侧面展开图如图所示,则该几何体的底面可能是 ( )
B
6.如图是正方体的一种不完整的表面展开图.下面是四位同学补画的情况(图中的阴影部分),其中补画正确的是 ( )
7.如图是一个正方体的表面展开图,如果将它折叠成一个正方体后,相对面上的数相等,那么x-y的值为 .
3
A
8.(2025·成都树德)综合与实践:利用长方形纸板制作礼品盒.七年级数学兴趣小组同学准备制作三种不同形状的礼品盒:长方体礼品盒、圆柱体礼品盒、底面为等边三角形的直三棱柱礼品盒.请回答下列问题:
【制作长方体礼品盒】第一小组同学选择长为40 cm、宽为30 cm的长方形纸板,如图1,在其四角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形(阴影部分),再把剩余部分沿虚线折起来得长方体礼品盒.
(1)当剪去的小正方形的边长为5 cm时,求该长方体礼品盒的体积为 cm3;
1 500
【制作圆柱体礼品盒】第二小组同学选择两张长为48 cm、宽为24 cm的长方形纸板,如图2,一张作圆柱体的侧面,另一张裁出两个大小相等的最大圆.
(2)它们能组装成高为24 cm的圆柱体礼品盒吗 请说明理由.
解:(2)不能,理由如下:
一张长为48 cm、宽为24 cm的长方形纸板能裁出两个大小相等的最大圆的直径为24 cm.
要组装成高为24 cm的圆柱体礼品盒,
则48 cm是圆柱围起来的底面周长,24 cm是圆柱的高.
∵底面圆的周长为
π×24≈3.14×24=75.36(cm)>48 cm,
∴不能组装成高为24 cm的圆柱体礼品盒.
(3)设用了y张纸板裁剪侧面,则用(13-y)张纸板裁剪底面,故可裁剪出2y张侧面,3(13-y)张底面,
∴2·2y=3·3(13-y),解得y=9,
∴可以裁剪出18张侧面,12张底面.
∵一个三棱柱由2个底面,3个侧面,
∴18÷3=6,
∴能制作底面为等边三角形的直三棱柱礼品盒6个.
【制作底面为等边三角形的直三棱柱礼品盒】如图3,每个礼品盒由3个形状、大小完全相同的小长方形侧面和2个形状、大小完全相同的等边三角形底面组成.第三小组同学将某种规格的长方形纸板按照图3方法分别制作礼盒底面和侧面.
(3)若第三小组同学用到13张长方形纸板时,裁剪的侧面和底面两种型号纸板恰好用完,请利用方程的知识求出这时他们能做多少个这种礼盒.
9.(2025·重庆外语校)下列说法中,正确的有( )
①射线MN与射线NM是同一条射线;②连接两点间的线段的长度叫作这两点的距离;③两点之间直线最短;④把一个角分成两个角的射线叫作这个角的平分线.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
10.(2025·重庆南开)下列说法:①下雨天打开雨刷器,雨刷器在运动时形成一个扇面,其运用的数学原理是线动成面;②将一根木条固定在墙上至少需要两枚钉子,运用的数学原理是两点之间线段最短;③在正常情况下,射击时要保证瞄准的一只眼在准星和目标确定的直线上才能射中目标,其运用的数学原理是两点确定一条直线.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
11.下列判断:①已知A,B,C三点,过其中两点画直线一共可画三条;②过已知任意三点的直线有1条;③三条直线两两相交,有三个交点.正确的个数有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
B
A
12.如图所示,以O为端点画六条射线OA,OB,OC,
OD,OE,OF,再从射线OA上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线.若将各条射线所描的点依次记为1,2,3,4,5,6,7,8,…,则所描的第2 025个点在( )
A.射线OA上 B.射线OB上
C.射线OC上 D.射线OE上
13.如图,有a条直线,b条射线,c条线段,则a+b-c= .
C
1
14.如图,已知点A,B,C,D是不在同一直线上的四个点,请按要求画出图形.
(1)作线段BD和射线CB;
(2)用无刻度的直尺和圆规在射线CB上作CM=3BD;
(3)在平面内作一点P,使得PC+PD+PA+PB的和最短.
解:(1)(2)如图所示.
(3)如图,点P即为所求作.
∵两点之间线段最短,
∴要使得PC+PD+PA+PB的和最短
,则点P应为线段AB和线段CD的交点.
15.如图,已知线段AB=10,D是AB的中点,点C在AB上,BC=4,点E是AC的中点,点F是BC的中点,则EF+CD的值是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
C
16.(1)(2025·重庆巴蜀)如图,点C是线段AB上的一点,点M是线段BC的中点,若AB=10,AM=7,则AC= ;
(2)已知线段AB=16 cm,点C是线段AB的中点,点E在线段AB上,且CE=AC,则BE的长度为 cm;
(3)已知点C在直线AB上,BC=2AB,点D为线段AC的中点,若BD=8 cm,则线
段AB= cm.
4
6或10
16或
17.(2025·重庆育才)(1)如图1,已知线段a,b,c,用无刻度的直尺和圆规作一条线段MN,使它等于a+2b-c(保留作图痕迹,不要求写作法);
解:(1)作图如答案图.
(2)如图2,已知线段AB,延长AB至点C,使BC=AB,D是线段AC的中点,如果DC=2,那么AB的长是多少
(2)∵D是线段AC的中点,DC=2,
∴AC=2DC=4.
∵BC=AB,∴AB=AC=3.
18.【新知理解】如图①,点C在线段AB上,图中有三条线段AB,AC和BC.若其中一条线段的长度是另一条线段长度的2倍,则称点C是线段AB的“巧点”.
(1)填空:线段的中点 这条线段的巧点;(填“是”或“不是”或“不确定是”)
是
(2)【问题解决】如图②,点A和点B在数轴上表示的数分别是-20和40,点C是线段AB的巧点,求点C在数轴上表示的数;
解:(2)设点C在数轴上表示的数为x,
则AC=x+20,BC=40-x,AB=40+20=60.
根据“巧点”的定义可知:
①当AB=2AC时,有60=2(x+20),解得x=10;
②当BC=2AC时,有40-x=2(x+20),解得x=0;
③当AC=2BC时,有x+20=2(40-x),解得x=20.
综上,点C在数轴上表示的数为10或0或20.
(3)【应用拓展】如图③,在(2)的条件下,动点P从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动;动点Q从点B出发,以每秒4个单位长度的速度沿BA向点A匀速运动.点P,Q同时出发,当其中一点到达终点时,两个点同时停止运动.设运动的时间为t秒,当t为何值时,A,P,Q三点中,其中一点恰好是以另外两点为端点的线段的巧点 并求出此时巧点在数轴上表示的数.
(3)点P,Q停止运动的时间为:60÷4=15(秒).
由题意,得AP=2t,AQ=60-4t.
∴PQ=
Ⅰ.若0≤t≤10,则点P为AQ的“巧点”,有:
①当AQ=2AP时,60-4t=2×2t,解得t=,
∴AP=15.
∴点P表示的数为-20+15=-5;
②当PQ=2AP时,60-6t=2×2t,解得t=6,
∴AP=12.
∴点P表示的数为-20+12=-8;
③当AP=2PQ时,2t=2(60-6t),解得t=,
∴AP=.
∴点P表示的数为-20+=-.
∴“巧点”P表示的数为-5或-8或-;
Ⅱ.若10①当AP=2AQ时,则2t=2(60-4t),解得t=12,
∴AQ=60-4×12=12,
∴点Q表示的数为-20+12=-8;
②当PQ=2AQ时,6t-60=2(60-4t),解得t=,
∴AQ=.
∴点Q表示的数为-20+=-;
③当AQ=2PQ时,60-4t=2(6t-60),解得t=,
∴AQ=15.
∴点Q表示的数为-20+15=-5,
∴“巧点”Q表示的数为-8或-或-5.
综上所述,当t=时,点P为“巧点”为-5;当t=6时,点P为“巧点”为-8;当t=时,点P为“巧点”为-;当t=12时,点Q为“巧点”为-8;当t=时,点Q为“巧点”为-;当t=时,点Q为“巧点”为-5.
19.(2025·重庆外语校)如图所示,已知O为直线AB上一点,OC,OD,OE是位于直线AB同侧的三条射线,若∠COE=70°且OC平分∠AOD,
∠BOE=3∠DOE,则∠AOC的度数为( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
C
20.如图,点A,O,B在同一条直线上,OC平分∠DOB,已知∠AOE=30°30’,
∠DOC=65°15‘,则∠DOE的度数是 ( )
A.70° B.78° C.80° D.84°
C
21.(1)【传统文化】中国古代大建筑群平面中统率全局的轴线称为“中轴线”,北京中轴线是古代中国独特城市规划理论的产物,故宫是北京中轴线的重要组成部分.如图是故宫博物院的主要建筑分布图,其中,点A表示养心殿所在位置,点O表示太和殿所在位置,点B表示文渊阁所在位置.已知养心殿位于太和殿北偏西21°17'方向上,文渊阁位于太和殿南偏东58°17'方向上,则∠AOB的度数是 ;
(2)(2025·重庆巴蜀)时钟表面11点15分时,时针与分针所夹角的度数是 度.
143°
112.5
22.计算:
(1)56°18'+72°48’= ;
(2)131°28'-51°32'15″= ;
(3)12°30'20″×2= ;
(4)12°31'21″÷3= .
129°6'
79°55'45″
25°40″
4°10'27″
23.如图,∠AOB为钝角,射线OC平分∠AOB,射线OD在∠AOC内部,射线OE平分∠BOD.
(1)若∠COD=10°,∠AOB=140°,求∠COE的度数;
解:(1)∵∠AOB=140°,OC平分∠AOB,
∴∠BOC=∠AOB=70°.
∵∠COD=10°,∴∠BOD=80°.
∵OE平分∠BOD,∴∠DOE=∠BOD=40°,
∴∠COE=∠DOE-∠COD=30°.
(2)请写出∠AOD与∠COE之间的等量关系,并说明理由.
(2)∠AOD=2∠COE,理由如下:
∵射线OC平分∠AOB,∴∠AOC=∠BOC,
∴∠AOD+∠COD=∠COE+∠BOE.
∵射线OE平分∠BOD,∴∠EOD=∠EOB,
∴∠COD+∠COE=∠BOE,
∴∠AOD+∠COD=∠COE+∠COD+∠COE,
∴∠AOD=2∠COE.
24.(2025·成都石室)刚上初中的琪琪为了更加高效地完成作业,进行限时训练,特意去商店买了一块机械手表,爱钻研的琪琪发现了手表上的数学问题,如图1所示是一块手表,我们可以理解成如图2的数学模型(点A和点D是表带的两端,点A,B,C,D在同一条线段上).
(1)已知表盘直径BC为3 cm,CD∶AB=2∶1,若B是AC中点,则手表全长AD= cm;
12
(2)在某个时刻,分针ON指向表盘上的数字“6”(此时ON与OC重合),时针为OE,琪琪一看现在正好是8:30,如图3所示.
①8:30时分针和时针的夹角为 度;
②作射线OF,使∠EOF=20°,求此时∠BOF的度数;
解:(2)②当OF在∠EON内部时,
∠NOF=∠EON-∠EOF=75°-20°=55°,
∴∠BOF=180°-∠NOF=125°;
当OF在∠EON外部时,
∠BOF=180°-(∠EON+∠EOF)=180°-(75°+20°)=85°.
综上,∠BOF的度数为125°或85°.
75
(3)如图4所示.自8:30之后,OM始终是∠EON的平分线(分针还是ON),在一
小时以内,经过 分钟后,∠EOM的度数是25°.(直接写出结果)
(3)时针与分针每分钟的速度差为6°-0.5°=5.5°.
设经过t分钟,∠EOM的度数是25°,
则∠EON=.
∵OM平分∠EON,
∴∠EOM==25°,
解得t=或.
故答案为或.
或
25.如图,∠AOB=18°,∠AOC=90°,点B,O,D在同一条直线上,则∠COD等于( )
A.102°
B.108°
C.118°
D.162°
26.(2025·重庆外语校)已知一个角的补角是它的余角的2.5倍,则这个角的度数为 度.
B
30
27.在桌面上放置一副三角板(忽略厚度),有两个角的顶点重合于点O,∠AOB=∠D=90°,∠COD=60°,∠A=45°.
(1)如图1,当OB边与OC边重合时,写出图中互补的角(写出三对即可);
解:(1)由图可知,∠AOD=90°+60°=150°,∠C=30°,
∠ABC=180°-∠ABO=180°-45°=135°,
∠A=∠ABO=45°,∠AOB=∠D=90°.
则图中互补的角有∠AOD与∠C,∠ABC与∠ABO,∠ABC与∠A,∠AOB与∠D.(写出三对即可)
(2)如图2,绕着点O转动三角板COD(两个三角板有重叠),∠AOD+∠BOC的大小是否发生变化 若不发生变化,求出它的值;若发生变化,请说明理由;
(2)∠AOD+∠BOC的大小不发生变化.
∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠BOD+∠BOC
=∠AOB+∠DOC=90°+60°=150°.
即∠AOD+∠BOC的大小不发生变化,为150°.
(3)在(2)的条件下,当∠AOC=3∠BOD时,求∠BOD的度数.
(3)设∠BOD=α,则∠AOC=3α.
分情况讨论:
①当OD在∠AOB外时,3α+(60°-α)=90°,
解得α=15°;
②当OD在∠AOB内时,3α+60°+α=90°,
解得α=7.5°.
综上,∠BOD的度数为7.5°或15°.(共15张PPT)
6.3.3 余角和补角
1.若∠A=55°,则∠A的补角为( )
A.35° B.45° C.115° D.125°
2.【教材改编】将一副三角板按如图所示的位置摆放,其中∠α与∠β一定互余的是( )
C
D
3.一个角的余角比这个角大20°,则这个角的度数为( )
A.70° B.60° C.35° D.50°
4.已知∠1=42°,∠2与∠1互余,则∠2的补角是 °.
5.(1)(2025·重庆八中)若一个角的度数为35°6',则这个角的补角为 ;
(2)一个角的补角等于这个角的余角的,则这个角为 度.
C
132
144°54'
18
6.如图所示,A,O,B三点在一条直线上,OD,OE平分∠AOC和∠BOC.
(1)写出图中∠AOD的余角;
解:(1)∵OD,OE平分∠AOC和∠BOC,
∴∠AOD=∠COD=∠AOC,
∠BOE=∠COE=∠BOC,
∴∠AOD+∠BOE=∠AOD+∠COE=
(∠AOC+∠BOC)=90°,
∴∠AOD的余角是∠BOE和∠COE.
(2)写出图中∠AOE的补角;
(2)∵∠BOE=∠COE,∠AOE+∠BOE=180°,
∴∠AOE+∠COE=180°,
∴∠AOE的补角是∠BOE和∠COE.
(3)若∠AOC∶∠BOC=4∶5,求∠BOD的度数.
(3)∵∠AOC∶∠BOC=4∶5,∠AOC+∠BOC=180°,
∴∠AOC=80°,∴∠AOD=∠AOC=40°,
∴∠BOD=180°-∠AOD=140°.
7.(2025·重庆育才)已知∠1与∠2互为余角,4∠1+∠2=180°,则∠2比∠1大( )
A.10° B.20° C.30° D.40°
8.如图,∠AOC与∠COB互余,∠COB=15°,OC平分∠AOD,则∠BOD的度数是( )
A.75° B.60° C.65° D.55°
9.将一副三角尺按如图所示位置摆放,若∠α=57°24',则∠β= .
C
B
32°36'
10.如图所示,OB是∠AOC的平分线,OD是∠COE的平分线.
(1)若∠AOB=32°,∠COE与∠BOC互余,求∠BOD的度数;
解:(1)∵OB是∠AOC的平分线,
∴∠BOC=∠AOB=32°.
∵∠COE与∠BOC互余,
∴∠COE=90°-∠BOC=58°.
∵OD是∠COE的平分线,
∴∠COD=∠COE=29°,
∴∠BOD=∠BOC+∠COD=32°+29°=61°.
(2)若∠AOD与∠BOE互补,求∠BOD的度数.
(2)∵∠AOD与∠BOE互补,
∴∠AOD+∠BOE=180°,
∴∠AOB+∠BOC+∠COD+∠BOC+∠COD+∠DOE=180°.
∵OB平分∠AOC,OD平分∠COE,
∴∠AOB=∠BOC,∠COD=∠DOE,
∴3∠BOC+3∠COD=180°,∴∠BOC+∠COD=60°,
∴∠BOD=∠BOC+∠COD=60°.
11.如图,A,O,B三点在同一直线上,且OC平分∠BOD,OE平分∠AOD,下列结论:①∠BOC与∠AOE互余;②∠BOE与∠EOD互补;③∠AOD+∠BOE-∠DOE=180°;④∠AOC-∠BOC=2∠DOE.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
D
12.如图,已知点A是射线BE上一点,过点A作∠BAC=90°,交射线BF于点C,作∠ADB=90°,交射线BF于点D,给出下列结论:①∠1是∠B的余角;②图中互余的角共有4对;③∠1的补角只有∠ACF;④与∠ADB互补的角共有3个.其中正确的结论有 .(填序号)
①②④
13.(2025·重庆巴蜀)在补角的定义的基础上,我们给出新的定义:若∠α等于∠β的补角的一半,则称∠α是∠β的半补角.已知∠AOB=50°,∠COD是∠AOB的半补角.
(1)如图1,若∠AOD=90°,OE是∠BOD的平分线,求∠COE的度数;
解:(1)∵∠COD是∠AOB的半补角,
∴∠COD=(180°-∠AOB)=65°.
∵∠BOD=∠AOD+∠AOB=140°,OE是∠BOD的平分线,
∴∠DOE=∠BOD=70°,
∴∠COE=∠DOE-∠COD=5°.
(2)如图2,从边OD与边OA重合起始,∠COD绕点O顺时针旋转角度α(0°<α<360°),旋转过程中边OC,OD的对应边分别是OC1,OD1.
①当OC1或OD1是以OA为边的角的平分线时,求α的值;
(2)①以OA为边的角有∠AOB,∠AOD1,∠AOC1.
(i)当OD1是∠AOB的平分线时,α=∠AOB=25°;
(ii)当OD1是∠AOC1的平分线时,α=∠COD=65°;
(iii)当OC1是∠AOB的平分线时,α=360°-∠AOD1
=360°-=320°;
(iiii)当OC1是∠AOD1的平分线时,α=360°-2∠COD=230°.
综上所述,α=25°或65°或230°或320°.
②当∠AOC1与∠BOD1成半补角关系时,直接写出α的值.
②(i)当0°<α<50°时,∠AOC1=α+65°,∠BOD1=50°-α.
∵∠AOC1与∠BOD1成半补角关系,则有
∠AOC1=(180°-∠BOD1)或∠BOD1=(180°-∠AOC1),
∴α+65°=(180°-50°+α)或50°-α=(180°-α-65°),
解得α=0°(舍)或-15°(舍);
(ii)当50°≤α<115°时,∠AOC1=α+65°,∠BOD1=α-50°.
同理可得α+65°=(180°-α+50°)或α-50°=(180°-α-65°),
解得α=°(舍)或°;
(iii)当115°≤α<230°时,∠AOC1=360°-65°-α=295°-α,∠BOD1=α-50°.
同理可得295°-α=(180°-α+50°)或α-50°=(180°-295°+α),
解得α=360°(舍)或-15°(舍);
(iiii)当230°≤α<295°时,∠AOC1=295°-α,
∠BOD1=360°-α+50°=410°-α.
同理可得295°-α=(180°-410°+α)或410°-α
=(180°-295°+α),
解得α=°或°(舍);
(iiiii)当295°≤α<360°时,∠AOC1=α+65°-360°=α-295°,∠BOD1=410°-α.
同理可得α-295°=(180°-410°+α)或410°-α=(180°-α+295°),
解得α=360°(舍)或345°.
综上所述,α的值为°或°或345°.(共16张PPT)
专题十四
[易错]《几何图形初步》中的易错题
1.如图,AOE是一条直线,图中小于平角的角共有 ( )
A.4个 B.8个 C.9个 D.10个
C
2.有三个不同的点A,B,C,过其中任意两个点画直线,可以画出的直线条数是 ( )
A.1 B.3 C.1或3 D.无法确定
3.如图,AOB是一条直线,∠AOC=60°,OD,OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线,则图中互补的角有 ( )
A.5对 B.6对
C.7对 D.8对
C
D
4.一个几何体从前面、左面、上面看到的图形如图所示,则这个几何体的表面积是 ( )
A.5 cm2 B.8 cm2 C.9 cm2 D.10 cm2
D
5.由5个棱长为1的小正方体组成的几何体如图放置,一面着地,两面靠墙.若要将露出来的部分涂色,则涂色部分的面积为 ( )
A.9 B.11 C.14 D.18
B
6.某几何体由若干个大小相同的小正方体搭成,从前面、左面看到的图形如图所示,则搭成这个几何体的小正方体最少有 ( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
B
7.(2025·重庆育才)下列说法错误的是 ( )
A.直线没有端点
B.两点之间的所有连线中,线段最短
C.两点之间线段的长度叫两点间的距离
D.角的两边越长,角就越大
D
8.下列说法:
①画一条长为6 cm的直线;
②若AC=BC,则点C为线段AB的中点;
③线段AB是点A到点B的距离;
④若OC,OD为∠AOB的三等分线,则∠AOC=∠DOC.
其中正确的个数是( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
A
9.如图,下列结论正确的是 ( )
A.∠1+∠2=∠B
B.图中小于平角的角一共有8个
C.图中一共有6条线段
D.射线AB与射线BA表示同一条射线
C
10.(2025·重庆一中)如图,射线OM在∠AOB的内部,射线ON在平面内,射线OP平分∠AOM,射线OQ平分∠BON.若∠MON=30°,∠AOB=120°,则∠POQ的度数是 ( )
A.45°
B.45°或75°
C.60°或75°
D.45°或60°或75°
B
11.(1)已知线段AB=10 cm,点D是线段AB的中点,直线AB上有一点C,且BC=2 cm,则线段DC= cm;
(2)同一直线上有两条等长的线段AB,CD(点A在点B左边,点C在点D左边),点M,N分别是线段AB,CD的中点,若BC=6 cm,MN=4AB,则AB=
cm.
3或7
2或1.2
12.(2025·重庆九龙坡区)已知OB,OC,OM,ON是∠AOD内互不重合的射线,并按图中的顺序依次排列.
(1)如图1,若∠AOD=154°,OM平分∠AOB,ON平分∠BOD,则∠MON的度数为 ;
(2)如图1,若∠AOD=m°(0解:(2)∵OM平分∠AOB,ON平分∠BOD,
∴∠BOM=∠AOB,∠BON=∠BOD,
∴∠MON=∠BOM+∠BON=(∠AOB+∠BOD)=∠AOD=m°.
当OC在∠AOM内部时,∠COM=∠CON-∠MON=n°-m°;
当OC在∠BOM内部时,∠COM=∠MON-∠CON=m°-n°.
77°
(3)由题意可知,∠AOC=(50+2t)°,
∠BOD=∠AOD-∠AOB=154°-(30+2t)°=(124-2t)°,
∵OM平分∠AOC,ON平分∠BOD,
∴∠AOM=∠AOC=(25+t)°,∠DON=∠BOD=(62-t)°.
当∠AOM=2∠DON时,25+t=2(62-t),
解得t=33;
当∠DON=2∠AOM时,62-t=2(25+t),
解得t=4.
综上,当t=33或4时,∠AOM和∠DON中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍.
(3)如图2,若∠AOD=154°,∠BOC=20°,∠AOB=30°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOD.当∠BOC在∠AOD内绕着点O以每秒2°的速度逆时针旋转t秒时,
∠AOM和∠DON中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的2倍,求t的值.
13.已知线段AB=30 cm.
(1)如图1,点P沿线段AB自点A向点B以2 cm/s的速度运动,同时点Q沿线段BA自点B向点A以3 cm/s的速度运动,几秒后,P,Q两点相遇
解:(1)设经过t s后,P,Q两点相遇.
由题意,得2t+3t=30,解得t=6.
即经过6 s后,P,Q两点相遇.
(2)如图1,几秒后,P,Q两点相距10 cm
(2)设经过x s后,P,Q两点相距10 cm,
由题意,得2x+3x+10=30或2x+3x-10=30,
解得x=4或x=8.
即经过4 s或8 s后,P,Q两点相距10 cm.
(3)如图2,AO=4 cm,PO=2 cm,当点P在AB的上方,且∠POB=60°时,点P绕着点O以30°/s的速度在圆周上逆时针旋转一周停止,同时点Q沿线段BA自点B向点A运动,若P,Q两点能相遇,求点Q的运动速度.
(3)点P,Q只能在线段AB上相遇,则点P旋转到直线AB上的时间为:
=4(s)或=10(s).
设点Q的速度为y cm/s,
则有4y=30-2,解得y=7;或10y=30-6,解得y=2.4.
综上所述,点Q的运动速度为7 cm/s或2.4 cm/s.
