(共9张PPT)
专题九 [易错]
《整式的加减》中的易错题
1.下列代数式:x2y,-mn,,3s-1,0,m,,,其中是单项式的有( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
2.下列说法正确的是( )
A.单项式的系数为-2,次数为2
B.单项式a的系数为0,次数为1
C.单项式-5×102m2n2的系数为-5,次数为6
D.单项式-a2b的系数为-,次数为3
3.单项式-的系数与次数的乘积等于 .
B
D
-
4.下列多项式的次数为3的是( )
A.-5x2+6x-1 B.πx2+x-1
C.a2b+ab+b2 D.x2y2-2x3-1
5.下列说法错误的是( )
A.x2-2xy+3是二次三项式
B.-πxy2的系数是-
C.x+1不是单项式
D.4xab2-5x+2的项是4xab2,-5x,2
C
B
6.如果A和B都是二次多项式,则A+B一定是( )
A.次数不高于二的整式
B.四次多项式
C.二次多项式
D.次数不低于二的多项式
7.(2025·重庆西附)若代数式+4x2-3mxy-2(nx2+xy)是关于x,y的三次二项式,则n的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.-1
8.若多项式-(m+2)x+7是关于x的二次三项式,则m= .
A
C
2
9.下列各组中的两项,属于同类项的是( )
A.-2x3与-2x2 B.-ab与18ba
C.a2b与-ab2 D.4m与6mn
10.下列各式中,不是同类项的是( )
A.2ab2与-3b2a B.2πx2与x2
C.-与6yz2 D.-m2n2与5n2m2
11.已知单项式-m-2x-3n6和m3n2y是同类项,则代数式xy的值是 .
B
C
-27
12.下列运算正确的是( )
A.-(a-b)=-a-b B.a+2(b-c)=a+2b-c
C.2a+b=3ab D.2ab-3ba=-ab
13.已知有理数a,b,c在数轴上所表示的数如图所示,则化简代数式-2+的结果为 .
D
-a+3b-3c
14.先去括号,再合并同类项:
(1)-(y+x)-(5x-2y);
解:原式=-y-x-5x+2y=y-6x.
(2)(2x2+x)-[4x2-(3x2-x)].
解:原式=2x2+x-4x2+3x2-x=x2.
15.如图,小明想把一长为a,宽为b的长方形硬纸片做成一个无盖的长方体盒子,于是在长方形纸片的四个角各剪去一个边长为x的小正方形,用代数式表示纸片剩余部分的周长为( )
A.ab-4x2 B.2a+2b-8x
C.2a+2b-16x D.2a+2b
D
16.已知A=2m2+n2+2m,B=m2-n2-m,求A-2B.
17.先化简,再求值:7x2y-,其中x=6,y=-.
解:原式=7x2y-3xy+2xy-7x2y+2-xy
=-2xy+2.
当x=6, y=-时,
原式=-2×6×+2=4.
解:A-2B=2m2+n2+2m-2(m2-n2-m)
=2m2+n2+2m-2m2+2n2+2m
=3n2+4m.(共9张PPT)
第1课时 同类项
1.下列单项式中,与2ab2是同类项的是( )
A.ab B.a2b C.a2b2 D.ab2
2.下列运算正确的是( )
A.8x-2x=6x B.5y-4y=1
C.4x+5y=9xy D.20x3y2-9xy=11x2y
3.(2025·重庆南开)若3a2m-5b4与2ab3n-2是同类项,则( )
A.m=2,n=3 B.m=3,n=2
C.m=3,n=3 D.m=2,n=-2
D
A
B
4.下列各组单项式中:
①-与5; ②m2n与3mn2;
③a2b3与-5b3a2; ④2abc与ab.
是同类项的是 .(填序号)
5.(1)(2025·重庆巴蜀)若两个单项式xm+2y5与-5xyn+1是同类项,则m+n的值为 ;
(2)(2025·成都武侯区)已知单项式4xmy与单项式-7x2yn-2的和仍是单项式,则代数式mn的值是 .
①③
3
6
6.合并下列各式中的同类项:
(1)15x-12.5x;
解:原式=2.5x.
(2)7y-13y+6.5y;
解:原式=0.5y.
(3)2x-2y-x+3y;
解:原式=x+y.
(4)2a+7b-5a-b;
解:原式=-3a+6b.
(5)(2025·重庆南岸区)4x2+3xy-2x2+xy;
解:原式=2x2+4xy.
(6)-x2+3y+2x2-5y+1.
解:原式=x2-2y+1.
7.若a6+xb3y与3a4b6是同类项,则3y3-4x3y-4y3+2x3y的值为( )
A.-40 B.40 C.-24 D.24
8.若关于x的多项式x4+3x2+ax-1与3x4+7x3-bx2+x的和不含二次项和一次项,则a+b等于 .
9.计算:
(1)a2-2ab+b2-a2+2ab+b2;
(2)5ax-4a2x2-8ax2+3ax-ax2+4a2x2;
D
2
解:原式=2b2.
解:原式=8ax-9ax2.
(3)4x2y-8xy2+7-4x2y+10xy2-4;
解:原式=2xy2+3.
(4)a2-8a-+6a-a2+;
解:原式=-2a+1.
(5)【教材改编】4(a-b)+5(a-b)-3(a-b).
解:原式=6(a-b).
10.已知m是绝对值最小的有理数,且-2am+2by+1与3axb3是同类项,试求多项式2x3-3xy+6y2-3mx3+mxy-9my2的值.
解:由题意可知,m=0.
因为-2am+2by+1与3axb3是同类项,
所以m+2=x,3=y+1,所以x=2,y=2.
所以原式=2x3-3xy+6y2
=2×23-3×2×2+6×22
=28.
11.已知a,b为常数,且三个关于x,y的单项式5xy2,axyb,-3xy的和仍然是单项式,则a+b的值是( )
A.-3或4 B.4 C.3或-4 D.-3
12.(1)已知关于x,y的多项式mx2+4xy-x-3x2+2nxy-5y化简后不含x,y的二次项,则nm= ;
解析:原式=(m-3)x2+(4+2n)xy-x-5y.因为化简结果不含x,y的二次项,则m-3=0,4+2n=0,解得m=3,n=-2,则nm=(-2)3=-8.
(2)已知关于x的二次多项式-3x2+mx+nx2-x+3的值与x的取值无关,则(m+n)(m-n)的值为 .
-8
-8
A
13.如果2mxay与-5nx2a-3y是关于x,y的单项式,且它们是同类项.
(1)求(7a-22)2 025的值;
(2)若2mxay-(-5nx2a-3y)=0,求(2m+5n)2 025+2a的值.
解:由题意,得a=2a-3,解得a=3.
(1)(7a-22)2 025=(21-22)2 025=-1.
(2)由题意,得2m+5n=0,
所以(2m+5n)2 025+2a=0+2×3=6.(共15张PPT)
专题六 [巩固]
整式求值的常见方法
1.已知a=,b=-,则代数式(8a-7b)-(4a-5b)的值是 .
2.先化简,再求值:
3x2y-+3xy2,其中x=3,y=-.
解:原式=3x2y-(2xy2-2xy+3x2y+xy)+3xy2
=3x2y-2xy2+2xy-3x2y-xy+3xy2
=xy+xy2.
当x=3,y=-时,
原式=3×+3×=-.
2
3.已知A=3a2b-ab2,B=ab2+5a2b,当a=,b=-时,求5A-3B的值.
解:因为A=3a2b-ab2,B=ab2+5a2b,
所以5A-3B=5(3a2b-ab2)-3(ab2+5a2b)
=15a2b-5ab2-3ab2-15a2b
=-8ab2.
当a=,b=-时,
原式=-8××=-.
4.如果代数式4y2-2y+5的值是7,那么代数式-2y2+y+2的值等于( )
A.8 B.3 C.1 D.-4
5.(2025·重庆南岸区)规定=ad-bc,例如=2×5-1×3=7.若=10,则xy+2的值为( )
A.5 B.3 C.1 D.-1
C
C
6.(1)若x2+2x=-1,则2 025-2x2-4x的值为 ;
(2)若+(b-1)2=0,则整式5b-6m+10n的值为 ;
(3)当x=2 012时,代数式ax3-2bx-1的值是2 025,则当x=-2 012时,代数式ax3-2bx+1的值是 .
2 027
-3
-2 025
7.我们知道:4x+2x-x=(4+2-1)x=5x,类似地,若我们把(a+b)看成一个整体,则有4(a+b)+2(a+b)-(a+b)=(4+2-1)(a+b)=5(a+b).这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”.“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法,其应用极为广泛.请运用“整体思想”解答下面的问题:
(1)把(a-b)看成一个整体,合并3(a-b)2-7(a-b)2+2(a-b)2;
解:(1)3(a-b)2-7(a-b)2+2(a-b)2=-2(a-b)2.
(2)已知x2+2y=5,求代数式-3x2-6y+21的值;
(2)-3x2-6y+21=-3(x2+2y)+21.
当x2+2y=5时,原式=-3×5+21=6.
(3)已知a-2b=3,2b-c=-5,c-d=10,求(a-c)+(2b-d)-(2b-c)的值.
(3)因为a-2b=3,2b-c=-5,c-d=10,
所以a-c=3+(-5)=-2,2b-d=-5+10=5.
所以(a-c)+(2b-d)-(2b-c)
=-2+5-(-5)
=8.
8.已知三个有理数a,b,c的积是负数.当x=++时,代数式(2x2-5x)-2(3x-5+x2)的值是 .
9.已知有理数m,n互为相反数,x,y互为倒数,z的绝对值等于5,求2m+2n+6xy+z的值.
解:因为m,n互为相反数,所以m+n=0.
因为x,y互为倒数,所以xy=1.
因为z的绝对值等于5,所以z=5或-5.
当z=5时,原式=6+5=11;
当z=-5时,原式=6-5=1.
综上所述,2m+2n+6xy+z的值为11或1.
-1或43
10.先化简,再求值:
(1)(2ab2-a)-(b+4ab2)-,其中a,b满足+(b-2)2=0;
解:原式=2ab2-a-b-2ab2-a2b+b+a
=-a2b.
因为+(b-2)2=0,≥0,(b-2)2≥0,
所以a=-3,b=2.
所以原式=-×(-3)2×2=-6.
(2)2xy2--x,其中x,y满足ax+2by-1与-3ab3-y是同类项.
解:原式=2xy2-(5x-6x+4+3xy2)-x
=2xy2-5x+6x-4-3xy2-x
=-xy2-4.
因为ax+2by-1与-3ab3-y是同类项,
所以x+2=1,y-1=3-y.所以x=-1,y=2.
当x=-1,y=2时,原式=-(-1)×22-4=0.
11.一般情况下,对于数a和数b,+≠(“≠”为不等号,表示不等于),但是对于某些特殊的数a和数b,+=,我们把这些特殊的数a和数b,称为“理想数对”,记作
.例如:当a=1,b=-4时,有+=,那么<1,-4>就是“理想数对”.
(1)<3,-12>,<-2,4>中可以称为“理想数对”的是 ;
(2)如果<2,x>是“理想数对”,那么x= ;
< 3,-12>
-8
(3)若是“理想数对”,求:
3-4m-12的值.
解: (3)因为是“理想数对”,
所以+=,即n=-4m.
原式=3-4m-12
=3n+12m-12.
当n=-4m时,原式=-12.
12. 已知A=3x3+2x2-5x+7m+2,B=2x2+mx-3,若多项式A+B不含一次项,则多项式A+B的常数项是 .
13.已知关于x的式子ax3-9+2x2-bx2-8x3中不含x3与x2的项.
(1)求代数式3(a2-3b2+3)-2(a2-4b2+ab-4)的值;
解:ax3-9+2x2-bx2-8x3=(a-8)x3+(2-b)x2-9.
由题意,得a-8=0,2-b=0,所以a=8,b=2.
(1)原式=3a2-9b2+9-2a2+8b2-2ab+8
=a2-b2-2ab+17,
当a=8,b=2时,原式=82-22-2×8×2+17=45.
34
(2)当x=2 025时,代数式ax5+bx3+cx-2 024的值为m,求当x=-2 025时,代数式ax5+bx3+cx-2 024的值.(用含m的式子表示)
(2)当x=2 025时,a·2 0255+b·2 0253+c·2 025-2 024=m,
所以2 0255a+2 0253b+2 025c=m+2 024,
所以当x=-2 025时,
原式=a·(-2 025)5+b·(-2 025)3+c·(-2 025)-2 024
=-2 0255a-2 0253b-2 025c-2 024
=-(2 0255a+2 0253b+2 025c)-2 024
=-(m+2 024)-2 024=-m-4 048.
14.按如图所示的程序计算,若开始输入的x值为-2,则最后输出的结果是( )
A.8 B.64 C.120 D.128
B
15.如图,在这个运算程序中,若开始输入的正整数n为奇数,都计算3n+1;若n为偶数,都除以2.若n=21时,经过1次上述运算输出的数是64;经过2次上述运算输出的数是32;经过3次上述运算输出的数是16;…;经过2 025次上述运算输出的数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
B(共27张PPT)
《整式的加减》
章末考点复习与小结
1.单项式x2y的次数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.下列各组是同类项的是( )
A.a3与a2 B.a2与2a2
C.2xy与2y D.3与a
D
B
3.(2025·成都锦江区)下列说法正确的是( )
A.单项式-7πb的系数是-7
B.2ab与-5ba不是同类项
C.2x2+3x-4的常数项是-4
D.多项式3xy2-4xy+2的次数是5
4.(1)多项式-+2x3y+1的次数为 ;
(2)(2025·重庆一中)已知m,n是常数,若-2x3y2m和10xn+1y4是同类项,则m-2n
= .
C
5
-2
5.(2025·重庆外语校)下列计算正确的是( )
A.-3ab-2ab=-ab
B.-2(6a2-3a+1)=-12a2+6a+2
C.3a3-2a2=a
D.-ab-ab=-ab
6.已知关于x的多项式ax2-bx-3与2x2+bx+a的和是单项式,则代数式a2-3a+1的值是( )
A.11 B.1
C.11或1 D.11或-1
D
C
7.黑板上有一道题,是一个多项式减去3x2-5x+1,某同学由于大意,将减号抄成加号,得出的结果是5x2+3x-7,则这道题的正确结果是( )
A.8x2-2x-6 B.14x2-12x-5
C.2x2+8x-8 D.-x2+13x-9
8.有理数a,b,c在数轴上的对应点如图所示.下列结论:①abc<0;②a-b+c<0;③++=-1;④-+=-2c.其中正确的有 .(填序号)
D
③④
9.(1)若多项式2x2+ax与2bx2-3x-1的和与字母x的取值无关,则整式-4ab2的值为 ;
(2)已知m是系数,关于x,y的两个多项式mx2-2x+y与-3x2+2x+3y的差中不含二次项,则代数式m2+3m-3的值为 .
10.计算:
(1)-2y3-xy2-2(xy2-y3);
(2)3(2x3y-5x2)-2(1-4x2+3x3y);
(3)5xy2-2x2y+[2xy2-3(2xy2-x2y)].
-3
-12
解:原式=-2y3-xy2-2xy2+2y3
=-3xy2.
解:原式=6x3y-15x2-2+8x2-6x3y
=-7x2-2.
解:原式=5xy2-2x2y+(2xy2-6xy2+3x2y)=xy2+x2y.
11.定义:若A-B=n,则称A与B是关于数n的伴随数.比如4与3是关于1的伴随数,2x-3与2x是关于-3的伴随数.
(1)填空:2 025与 是关于-1的伴随数, 与-3x+5是关于2的伴随数;
(2)若a与2b是关于3的伴随数,2b与c是关于-5的伴随数,c与d是关于10的伴随数,求(a-c)+(2b-d)-(2b-c)的值;
解:(2)因为a与2b是关于3的伴随数,2b与c是关于-5的伴随数,c与d是关于10的伴随数,
所以a-2b=3,2b-c=-5,c-d=10,
所以 (a-c)+(2b-d)-(2b-c)=a-c+2b-d-2b+c=(a-2b)+(2b-c)+(c-d)
=3-5+10=8.
2 026
-3x+7
(3)现有A=8x2-6kx+13与B=2(4x2-3x+k)(k为常数)始终是数n的伴随数,求n的值.
(3)A-B=(8x2-6kx+13)-2(4x2-3x+k)
=8x2-6kx+13-8x2+6x-2k
=(6-6k)x+13-2k.
由题意可知,n=(6-6k)x+13-2k,n为定值,
所以6-6k=0,所以k=1,所以n=13-2=11.
12.如图是一个“数值转换机”,按下面的程序输入一个数x,若输入的数x=-2,则输出的结果为( )
A.0 B.2 C.4 D.-4
C
13.(1)若3x-2y+5=0,则-9x+6y-7的值为 ;
(2)已知多项式-n2+2n-7的值为3,则多项式n2-3n+10的值是 ;
(3)已知a-3b=5,则2(a-3b)2+3b-a-15的值是 ;
(4)当x=20时,代数式ax3+bx-7的值为9,则当x=-20时,代数式ax3+bx+2的值为 .
8
-5
30
-14
14.先化简,再求值:
(1)mn2-+3mn,其中m=,n=-;
解:原式=mn2-+3mn
=mn2+mn2-3mn+m+3mn
=mn2+m.
当m=,n=-时,
原式=××+=+=2.
(2)(2025·重庆巴蜀)4mn-2[3mn2-2(1-mn+2mn2)],其中m为-1的倒数,n为-3的相反数;
解:原式=4mn-2(3mn2-2+2mn-4mn2)
=4mn-6mn2+4-4mn+8mn2
=2mn2+4.
∵m为-1的倒数,n为-3的相反数,
∴m=-,n=3,
∴原式=2××32+4=-12+4=-8.
(3)(2025·重庆大渡口区)(2x2y-3xy)-2+xy,其中(x+2)2+=0.
解:原式=2x2y-3xy-2x2y+2xy-xy2+xy
=-xy2.
∵(x+2)2+=0,且(x+2)2≥0,≥0,
∴x+2=0,y-3=0,
解得x=-2,y=3,
∴原式=-(-2)×32=2×9=18.
15.(2025·重庆外语校)已知M=6x2-2xy+5x,N=2x2+xy+3y2,若M-3N的值与字母x的取值无关,求M-3N的值.
解:∵M=6x2-2xy+5x,N=2x2+xy+3y2,
∴M-3N=6x2-2xy+5x-3
=6x2-2xy+5x-6x2-xy-9y2
=-xy+5x-9y2
=x-9y2.
∵M-3N的值与字母x的取值无关,
∴-y+5=0,解得y=2,
∴M-3N=-9y2=-9×22=-36.
16.(2025·成都锦江区)已知a=2x2+xy-2x+2y,b=x2+2xy+4x-y.
(1)当x=-1时,且x,y在数轴上的位置如图所示,化简3+;
解:(1)当x=-1时,
a=2x2+xy-2x+2y=2×1-y+2+2y=y+4,
b=x2+2xy+4x-y=1-2y-4-y=-3y-3,
则3+=3+
=3+.
∵x=-1,y>0,且>,∴y<1,∴y-1<0,
∴原式=3(1-y)+3y=3-3y+3y=3.
(2)若a-2b的值与y的取值无关,求x的值.
(2)a-2b=2x2+xy-2x+2y-2(x2+2xy+4x-y)
=2x2+xy-2x+2y-2x2-4xy-8x+2y
=-3xy+4y-10x
=(-3x+4)y-10x.
∵a-2b的值与y的取值无关,
∴-3x+4=0,解得x=.
17.(2025·重庆)按如图所示的规律拼图案,其中第①个图中有4个圆点,第②个图中有8个圆点,第③个图中有12个圆点,第④个图中有16个圆点……按照这一规律,则第⑥个图中圆点的个数是( )
A.32 B.28 C.24 D.20
C
18.定义f(x)=,即当x=1时,f(1)==;当x=时,f==,那么f(-2 025)+f(-2 024)+…+f(-2)+f(-1)+f+f+…+f+f=
.
2 024
19.(2025·重庆巴蜀)对于多项式-(a+2)+(2a+3)+(3a-4)+(4a-5),每次选择其中的n个括号改变其前面的符号(1≤n≤4,n为整数,将“+”号变为“-”号、“-”号变为“+”号),化简后再求绝对值,称这种操作为“变号绝对”操作,并将绝对值化简后的结果记为M.例如:,当a≥时,M=6a-10;当a<时,M=10-6a,所以M=6a-10或10-6a.下列说法:
①至少存在一种“变号绝对”操作使得操作后化简的结果为常数;
②若一种“变号绝对”操作的化简结果为M=2a+k(k为常数且k≠0),则a≥-3;
③所有可能的“变号绝对”操作后的式子化简后有15种不同的结果.
解析:要使操作后化简的结果为常数,则使a的系数为0,∴至少有==2,故①正确;∵∣(a+2)+(2a+3)+(3a-4)-(4a-5) ∣=∣a+2+2a+3+3a-4-4a+5∣==M1, ∣-(a+2)-(2a+3)-(3a-4)+(4a-5) ∣=∣-a-2-2a-3-3a+4+4a-5∣=∣-2a-6∣=M2,当2a+6≥0时,即a≥-3,M1=2a+6;当-2a-6≤0时,即a≥-3,M2=2a+6,∴故②正确;∵∣-(a+2)+(2a+3)+(3a-4)-(4a-5) ∣=∣(a+2)-(2a+3)-(3a-4)+(4a-5) ∣=2,∴两种情况结果相同,∴结果共有2×2×2×2-1=15(种),故③正确.综上,正确的结果共3个,故选D.
其中正确的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
D
20.(2025·成都双流区)小明设计了一个特殊运算程序,其运算过程是:输入第一个整数a1,只显示不运算,接着再输入第二个整数a2后则显示的结果.比如依次输入3,5,则输出的结果是=2;此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算.若随意一个一个地输入三个互不相等的正整数x,y,2,全部输入完毕后显示的最后结果设为m.若m的最大值为2 025,那么m的最小值为 .
解析:设x>y,当y=1时,则易得=2 025,∴x=2 026,此时m的最小值为=2 023;当y>2时,∵输入的三个数为x,y,2,∴第一次输入后显示的结果为:或或,第二次输入后显示的结果为:m1==或m2==或m3==.∵m的最大值为2 025,y-x<0,∴m3最大,∴=2 025,∴y-x=-2 023或2 027.∵x>y,∴y-x=-2 023,∴x-y=2 023,∴=2 021,∴m的最小值是2 021.综上所述,m的最小值为2 021,故答案为2 021.
2 021
21.(2025·成都树德)若一个三位正整数m=(各个数位上的数字均不为0),若满足a+b+c=9,则称这个三位正整数为“合九数”.对于一个“合九数”m,将它的十位数字和个位数字交换以后得到新数n,记F(m)=,则F(234)= ;对于一个“合九数”m,若F(m)能被8整除,则满足条件的“合九数”m的最大值是 .
解析:∵2+3+4=9,∴F(234)==53;设m==100a+10b+c,则n==100a+10c+b,∴F(m)=(100a+10b+c+100a+10c+b)÷9=(200a+11b+11c)÷9.又∵a+b+c=9,∴c=9-a-b,即F(m)=÷9=(189a+99)÷9=21a+11=8(2a+1)+(5a+3).∵F(m)能被8整除,∴5a+3是8的整数倍.又∵1≤a≤7,且为整数,∴a=1,即b+c=8.∵b最大时,“合九数”m最大,∴当b=7时,m最大为171.故答案为53,171.
53
171
22.(2025·重庆南开)若m与n都是各数位上的数字均不为0的两位数,且m与n的十位数字之和为9,个位数字相同,则称m,n互为“欢庆数”.
(1)11的“欢庆数”是 ;26 23的“欢庆数”(填“是”或“不是”);
(2)若有一组“欢庆数”m与n,先将m的个位数字与十位数字交换之后得到m',将n的个位数字与十位数字交换之后得到n',再将n'放在m'的右边组成一个四位数A,若A能被24整除,求满足条件的所有正整数A.
解:(2)设m的十位数字为a,个位数字为b,则n的十位数字为9-a,个位数字为b,
∴m'表示的两位数为10b+a,n'表示的两位数为10b+9-a,
81
不是
∴A表示的四位数为100(10b+a)+10b+9-a=1 010b+9+99a.
∵A能被24整除,
∴=42b+4a+为整数.
∵m与n都是各数位上的数字均不为0的两位数,
∴0∴9<2b+3a+9≤54.
∵为整数,
∴2b+3a=15或2b+3a=39,
即a=或a=.
∵0∴当b=3时,a=3,此时A=3 336;
当b=6时,a=1,此时A=6 168;
当b=6时,a=9,此时A=6 960(舍去);
当b=9时,a=7,此时A=9 792.
∴满足条件的所有正整数A为3 336,6 168,9 792.(共15张PPT)
专题八 [提升]
代数式综合问题
1.(2025·重庆南开)已知三个数3a,2b,c,任取其中两个数相减后取其绝对值再加上第三个数,根据不同的选择可得到三个结果a1,b1,c1,称为一次操作,按照上述方法对a1,b1,c1再进行一次操作,可得到三个结果a2,b2,c2.以此类推,下列说法:
①若3a=5,2b=1,c=-2,则a1,b1,c1三个数中最大的数是8;
②若a=x,b=-1,c=7,且a1,b1,c1中最小值为0,则x=或3;
③若a=b=c=(k>0),则第n次操作的结果为,,.
其中正确的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
C
2.(2025·重庆育才)对多项式a-b-c-d-e只任意加一个括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简,称之为“减算操作”,例如:(a-b)-c-d-e=a-b-c-d-e,a-(b-c-d)-e=a-b+c+d-e,给出下列说法:
①至少存在一种“减算操作”,使其结果与原多项式相等;
②不存在任何“减算操作”,使其结果与原多项式之和为0;
③所有的“减算操作”共有7种不同的运算结果.
以上说法中正确的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
D
3.(2025·重庆西附)已知An=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+…+a2x2+a1x+a0,其中n为正整数.各项系数各不相同,且均不为0.交换任意两项的系数,得到的新多项式我们称其为原多项式的“博雅式”.
①多项式A3共有8个不同的“博雅式”;
②若An=(4x+1)n,则常数项a0=1;
③若多项式A7=(5-3x)7,则A7的系数之和为128;
④若多项式A20=(1-5x)20,则a20+a18+…+a4+a2=.
以上正确的说法有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
4.(2025·重庆育才)对于若干个数,先将每两个数作差,再将这些差的绝对值进行求和,这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”,例如,对于1,2,3进行“差绝对值运算”,得到:++=4.
①对-2,3,5,9进行“差绝对值运算”的结果是35;
②x,-,5的“差绝对值运算”的最小值是;
③a,b,c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种.
以上说法中正确的个数为( )
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
B
5.(2025·重庆西附)有一组非负整数:a1,a2,…,a2 025.从a3开始,满足a3=,a4=,a5=,…,a2 025=.某数学小组研究了上述数组,得出以下结论:
①当a1=1,a2=3时,a4=6;
②当a1=5,a2=3时,a1+a2+a3+…+a2 025=2 031;
③当a1=4x-6,a2=2x,a5=0时,x=;
④当a1=x,a2=1(x≥3,且x为整数)时,a2 025=2 023x-6 068.
其中正确的结论个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
6.(2025·重庆一中)有一组数:a1,a2,a3,…,an,从a3开始,满足:a3=,
a4=,a5=,…,an=,….下列结论中正确的有( )
①当a1=5,a2=3时,a5=7;
②当a1=2x+3,a2=3x,a3=18时,x=-或;
③当a1=0,a2=1时,a1+a2+a3+…+a20=220-21;
④当a1=k,a2=1(k≥2,且k为整数)时,a30=(229-2)k-230+5.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:∵a1=5,a2=3,∴a3==1,a4==3,a5==7,故①正确;∵a1=2x+3,a2=3x,a3=18==,∴18=,∴-5x+6=18或-18,∴x=-或,故②正确;∵a1=0,a2=1=21-1,∴a3=3=22-1,a4=7=23-1,a5=15=24-1,…,∴a1+a2+a3+…+a20=0+21-1+…+219-1=21+22+…+219-19=S①,∴2S=22+23+24+…+220-38②,∴a1+a2+a3+…+a20=②-①=220-38-(21-19)=220-21,故③正确;∵a1=k,a2=1(k≥2,且k为整数),∴a3=2k-3=(22-2)k-(23-5),a4=6k-11=(23-2)k-(24-5),a5=14k-27=(24-2)k-(25-5),…,an=(2n-1-2)k-(2n-5),∴a30=(229-2)k-(230-5)=(229-2)k-230+5,故④正确.故选D.
( )
D
7.(2025·重庆一中)已知两个多项式A=-3x2+2x-5,B=2x2-3x,下列结论正确的有( )
①若关于x的代数式mA+B不含一次项,则m=;
②若A-B=-10,则3x2-3x-1=2;
③若=5,则x=-或x=-.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析:∵A=-3x2+2x-5,B=2x2-3x,∴mA+B=m(-3x2+2x-5)+2x2-3x=-3mx2+2mx-5m+2x2-3x=(-3m+2)x2+(2m-3)x-5m不含一次项,∴2m-3=0,∴m=,∴①不正确;若A-B=-10,即-3x2+2x-5-(2x2-3x)=-5x2+5x-5=-10,则x2-x=1,∴3x2-3x-1=2,∴②正确;若=5,即===5,则x=-或x=-,∴③正确.∴正确的有②③,共2个.故选C.
C
8.(2025·重庆育才)下列四个结论中:
①若-5bna2m与8a4b2是同类项,则m=n;
②若关于x的多项式3(ax2-x+1)-(6x2+5x+a2)的运算结果中不含x2项,则常数项为-1;
③若c④若a+b+c=0,abc≠0,则-++的结果只有一种.
其中正确的是 .(填序号)
解析:∵-5bna2m与8a4b2是同类项,∴2m=4,n=2,∴m=2,n=2,∴m=n,故①正确;3(ax2-x+1)-(6x2+5x+a2)=3ax2-3x+3-6x2-5x-a2=(3a-6)x2-8x+3-a2,∵运算结果中不含x2项,∴3a-6=0,解得a=2,此时,常数项为3-a2=3-22=-1,故②正确;∵c0,c-a<0,c-b<0,∴-+=(a-b)+(c-a)-(c-b)=a-b+c-a-c+b=0,故③错误;∵a+b+c=0,abc≠0,∴a,b,c中至少有一个是负数,a=-b-c,a+c=-b,∴-++=+++,当a,b,c中只有一个是负数时,则abc<0,∴原式=0;当a,b,c中有两个是负数时,则abc>0,∴原式=0.综上,结果只有一种.故④正确,∴正确的说法是①②④,故答案为①②④.
①②④
___________
9.(2024·重庆)已知整式M:anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,其中n,an-1,…,a0为自然数,an为正整数,且n+an+an-1+…+a1+a0=5.下列说法:
①满足条件的整式M中有5个单项式;
②不存在任何一个n,使得满足条件的整式M有且只有3个;
③满足条件的整式M共有16个.
其中正确的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:∵n,an-1,…,a0为自然数,an为正整数,且n+an+an-1+…+a1+a0=5,
∴0≤n≤4,当n=4时,则4+a4+a3+a2+a1+a0=5,
∴a4=1,a3=a2=a1=a0=0,满足条件的整式有x4;当n=3时,则3+a3+a2+a1+a0=5,
∴(a3,a2,a1,a0)=(2,0,0,0),(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),满足条件的整式有:2x3,x3+x2,x3+x,x3+1;当n=2时,则2+a2+a1+a0=5,
∴(a2,a1,a0)=(3,0,0),(2,1,0),(2,0,1),(1,2,0),(1,0,2),(1,1,1),满足条件的整式有:3x2,2x2+x,2x2+1,x2+2x,x2+2,x2+x+1;当n=1时,则1+a1+a0=5,
∴(a1,a0)=(4,0),(3,1),(2,2),(1,3),满足条件的整式有:4x,3x+1,2x+2,x+3;
当n=0时,0+a0=5,满足条件的整式有:5,
∴满足条件的单项式有:x4,2x3,3x2,4x,5,故①正确;不存在任何一个n,使得满足条件的整式M有且只有3个,故②正确;满足条件的整式M共有1+4+6+4+1=16(个),故③正确.故选D.
( )
D
10.(2025·重庆外语校)已知关于x,y的整式A,B,用B减去A,得到第1个整式,记作A1,即A1=B-A;再用A1减去B,得到第2个整式,记作A2,即A2=A1-B=-A;再用A2减去A1,得到第3个整式,记作A3;…以此类推.现有以下结论:①An+An+3=0(n为正整数);②若A=y2+x2y2+2b,B=-x2y2-bxy2+b,且A2 026是关于x,y的四次三项式,则b=-4;③若A=x+y,B=x-y,则A1+A3+A5+…+A2 025=-x-y.其中正确的个数为( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析:A1=B-A,A2=A1-B=-A,A3=A2-A1=-A-(B-A)=-B,A4=A3-A2=-B-(-A)=A-B,
A5=A4-A3=A-B-(-B)=A,A6=A5-A4=A-(A-B)=B,A7=A6-A5=B-A,与第一个式子重复,
∴以此类推,得到的整式是B-A,-A,-B,A-B,A,B六个依次出现,每6个一个循环,且An与An+3互为相反数,所以An+An+3=0,故①正确;
∵2 026÷6=337……4,∴A2 026=A4=A-B=(y2+x2y2+2b)-(-x2y2-bxy2+b)
=2x2y2+bxy2+b+y2,
∵A2 026是关于x,y的四次三项式,∴=1且b≠-1,或=2且b≠0,解得b=-3或b=-4,故②错误;
∵每6个整式一个循环,且An与An+3互为相反数,2 025÷6=337……3,
∴A1=A7=A13=…=B-A,A3=A9=A15=…=-B,A5=A11=A17=…=A,
∴A1+A3+A5=A7+A9+A11=…=B-A+(-B)+A=0,∴A1+A3+A5+…+A2 025
=337×0+B-A+(-B)=-A=-x-y,故③正确.故选C.
( )
C(共15张PPT)
第4课时 整式的加减
1.下列运算正确的是( )
A.3a-2a=1 B.-a2-a2=0
C.2ab-3ba=-ab D.-(a-b)=-a-b
2.已知A=x2-y2, B=x2+y2,则A-B等于( )
A.2x2 B.2y2 C.-2x2 D.-2y2
3.(2025·成都育才)已知a,b,c在数轴上的位置如图所示,化简+为( )
A.a-b+2c B.-b-a C.a-b D.b-a
C
D
B
4.(1)已知关于x,y的单项式-xmy与2x2yn+2的和仍是单项式,则mn= ;
(2)若单项式与-amb2的差是单项式,则(-m)n= .
5.(2025·重庆巴蜀)三个连续奇数中最小的一个是3n-1,则他们的和是 .
-2
-8
9n+3
6.先化简,再求值:
(1)3x2y-+1,其中(x+2)2=0,y是绝对值最小的负整数;
解:原式=3x2y-(6xy-6xy+3-2x2y)+1
=3x2y-3+2x2y+1
=5x2y-2.
∵(x+2)2=0,y是绝对值最小的负整数,
∴x=-2,y=-1.
当x=-2,y=-1时,
原式=5×(-2)2×(-1)-2=-22.
(2)(2x-3y-2xy)-(x-4y+7xy),其中x+y=5,xy=-3;
解:原式=2x-3y-2xy-x+4y-7xy
=x+y-9xy.
当x+y=5,xy=-3时,
原式=5-9×(-3)=32.
(3)(2025·重庆育才)x2-2y2-(-3xy+x2)-3,其中(x-1)2+=0.
解:原式=x2-2y2+3xy-x2+3y2-xy
=y2+xy.
∵(x-1)2+=0,且(x-1)2≥0,≥0,
∴(x-1)2=0,=0,
∴x=1,y=-2,
∴原式=(-2)2+×1×(-2)=1.
7.一个有趣的游戏:首先发给A,B,C三个同学相同数量的扑克牌(假定发到每个同学手中的扑克牌数量为x,且数量足够多),然后依次完成以下三个步骤:第一步,A同学拿出三张扑克牌给B同学;第二步,C同学拿出五张扑克牌给B同学;第三步,A同学手中此时有多少张扑克牌,B同学就拿出多少张扑克牌给A同学.请你确定,最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为( )
A.8 B.11 C.2x-8 D.11-2x
B
8.已知两个完全相同的大长方形,各放入四个完全一样的白色小长方形后,得到图①、图②,若要求出图①与图②中阴影部分周长的差,则下列说法错误的是( )
A.只需知道图①中EP的长
B.只需知道图①中EH的长
C.只需知道图①中FG的长
D.只需知道图①中GH的长
D
9.(1)若关于x,y的两个多项式2mx2+3xy-5x与3x2+nxy-3y的差中不含二
次项,则mn= ;
(2)在计算A-(5x2-3x-6)时,小明同学将括号前面的“-”号抄成了“+”号,得到的运算结果是-2x2+3x-4,则多项式A是 .
-7x2+6x+2
10.(2025·重庆一中)A,B两点在数轴上对应的数分别为a,b,且点A在点B的左侧,=2,a+b=6,ab<0.
(1)求出a,b的值;
解:(1)∵ab<0,∴a与b异号.
∵点A在点B的左侧,=2,∴a=-2.
∵a+b=6,
∴b=6-a=8.
(2)已知A=-a2+3ab+b2,B=3a2-6ab+2b2,求代数式4A-[2A-(3A-2B)-(-A+B)]的值.
(2)4A-[2A-(3A-2B)-(-A+B)]=4A-(2A-3A+2B+A-B)
=4A-B=4(-a2+3ab+b2)-(3a2-6ab+2b2)
=-4a2+12ab+4b2-3a2+6ab-2b2=-7a2+18ab+2b2.
∵a=-2,b=8,
∴原式=-7×4+18×(-2)×8+2×64
=-28-288+128
=-188.
11.如图,已知数轴上点A,B,C所对应的数a,b,c都不为0,且C是AB的中点.如果-+-=0,那么原点O的大致位置在( )
A.A的左边 B.A与C之间
C.C与B之间 D.B的右边
B
12.(1)(2025·重庆西附)已知关于x的多项式A=5mx2+2x-3,B=x2-nx+1(m,n
为常数),若A-2B的结果不含x2项和x项,则m+n的值为 ;
(2)已知关于x的整式A,B,其中A=4x2+(m-1)x+1,B=nx2+2x+1.若A+2B中不含x的二次项和一次项,则mn的值为 .
-
6
13.(2025·成都树德)已知A=3x2+kxy+y-1,B=y2-xy+x.
(1)若-2A-中不含xy项,求k的值;
解:(1)-2A-=-2A-2(2B-A)+A
=-2A-4B+2A+A=A-4B.
∵A=3x2+kxy+y-1,B=y2-xy+x,
∴A-4B
=3x2+kxy+y-1-4=3x2+kxy+y-1-4y2+4xy-x
=3x2+(k+4)xy-x-4y2+y-1.
∵-2A-中不含xy项,
∴k+4=0,∴k=-4.
(2)若=3,y2=9,=y-x,且A-B=0,求k的值.
(2)∵=3,y2=9,∴x-1=±3,y=±3,∴x=4或-2.
∵=y-x,∴y-x≥0,
∴y=3,x=-2.
∵A-B=0,即A=B,
∴3x2+kxy+y-1=y2-xy+x,
∴3×(-2)2+(-2)×3k+3-1=32-(-2)×3+×(-2),
解得k=-.(共12张PPT)
第2课时 多项式的化简求值
1.若x=,则代数式2x2-5x+x2+4x-3x2-2的值为( )
A. B. C.- D.-
2.若单项式-x2ya+3与单项式2xb-1y能合并为x2y,则2a2+b-ab-a2-b的值为( )
A.-6 B.10 C.-10 D.6
3.已知2a-ab-1=0,则代数式6a-3ab-2的值是( )
A.-5 B.-1 C.-3 D.1
4.若mn=m+3,则5mn-m-4mn+1= .
D
B
D
4
5.当a=-,b=4时,多项式2a2b-3a-3a2b+2a的值为 .
6.求下列各式的值:
(1)5x2+4-3x2-5x-2x2-5+6x,其中x=-3;
-
解:原式=x-1.
当x=-3时,原式=-3-1=-4.
(2)3x-4x2+7-3x+2x2+1,其中x=2.
解:原式=-2x2+8.
当x=2时,原式=-2×22+8=0.
7.数学家欧拉最早用记号f(x)表示关于x的多项式,用f(a)表示x等于某数a时的多项式的值.例:多项式f(x)=x2-x+1,当x=4时,多项式的值f(4)=42-4+1=13.已知多项式f(x)=mx3-nx+1,当x=1时,多项式的值f(1)=2 025,则f(-1)的值为( )
A.-2 021 B.-2 022
C.-2 023 D.-2 024
8.若代数式x2-2kxy+y2-6xy+9不含xy项,则k的值为 .
C
-3
9.先化简,再求值:
(1)3y4-6x3y-4y4+2yx3,其中x=-2,y=3;
解:原式=-y4-4x3y.
当x=-2,y=3时,
原式=-34-4×(-2)3×3=15.
(2)4xy-3x2-xy+y2+x2-3xy-2y+2x2,其中x=1,y=-1;
解:原式=y2-2y.
当x=1,y=-1时,
原式=(-1)2-2×(-1)=3.
(3)2a2-3a2-3ab+3b2+2a2+4ab-2b2,其中a,b满足(a-1)2+=0.
解:原式=a2+ab+b2.
由(a-1)2+=0可知,
a-1=0,b-=0,
所以a=1,b=.
当a=1,b=时,
原式=12+1×+=.
10.【教材改编】(1)如图1,大圆的半径为R,小圆的面积是大圆的,求图中阴影部分的面积;(结果保留π)
解:(1)根据题意,得πR2-πR2=πR2.
所以阴影部分的面积为πR2.
(2)如图2,大圆的半径为R,请根据图中的数据,求阴影部分的面积;(结果保留π)
(2)根据题意,得小圆的半径为R-R=R,πR2-πR2=πR2.
所以阴影部分的面积为πR2.
(3)当R=8时,分别求出图1,图2中阴影部分的面积.(本题π取3)
(3)当R=8时,πR2=×3×82=,
πR2=×3×82=84.
答:当R=8时,图1中阴影部分的面积为,图2中阴影部分的面积为84.
11.若整式ax3y-2xyb-1+2x3y-3化简后是关于x,y的三次二项式,则ab的值为( )
A.-8 B.-16 C.8 D.16
12.(1)(2025·重庆一中)已知2x2+xy=4,3y2+2xy=7,则4x2+8xy+9y2的值为 ;
(2)已知代数式2x2+ax-y+6-2bx2+3x-5y的值与字母x的取值无关,则
a3-2b2-a3+3b2的值为 .
A
29
-
13.把2 030个正整数1,2,3,4,…,2 030按如图所示的方式排列成一个表,用一方框按如图所示的方式任意框住9个数.(方框只能平移)
(1)若框住的9个数中,正中间的数为39,则这九个数的和为 ;
351
(2)方框能否框住这样的9个数,使它们的和等于2 079 若能,请写出这9个数;若不能,请说明理由;
解:(2)不能.理由如下:
设正中间的数为a,则框住的9个数的和为
a-8+a-7+a-6+a-1+a+a+1+a+6+a+7+a+8=9a.
由题意,得9a=2 079,解得a=231.
因为每行有7个数,231÷7=33,
所以231是表中第33行的最后一个数,
所以不能框住这样的9个数,使它们的和等于2 079.
(3)若任意框住的9个数的和记为S,求S的最大值与最小值的差.
(3)若任意框住的9个数的和记为S,则S的最小值为9×9=81.
因为2 030÷7=290,
所以2 030是表中第290行的最后一个数.
所以S的最大值为9×(2 030-8)=18 198,
18 198-81=18 117.
所以S的最大值与最小值的差为18 117.(共9张PPT)
第1课时 单项式
1.(2025·成都石室)下列代数式:①a+1;②-a;③5;④-2a+b.其中单项式有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(2025·重庆巴蜀)关于单项式-πa3,下列说法正确的是( )
A.系数为- B.次数为3
C.次数为4 D.系数为π
B
B
3.下列说法正确的是( )
A.5πx2y的系数是5 B.3πx2y3的次数是6
C.-xy2的次数是2 D.-xy3的系数是-
4.(1)单项式-a2b3的系数是 ,次数是 ;
(2)单项式-的系数是 ,次数是 .
D
-
5
-
3
5.若单项式-的系数是m,次数是n,则mn的值等于 .
6.填写下表:
单项式 -10a mn3 -x2yz3 -3π2x4
系数
次数
-10
1
1
-1
-3π2
4
6
3
4
-3
7.如果单项式22anb2c是六次单项式,那么n的值为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
8.按一定规律排列的单项式:-3b2,5a2b2,-7a4b2,9a6b2,-11a8b2,…,第8个单项式是( )
A.-17a8b14 B.17a14b2
C.-15a7b14 D.15a14b2
B
B
9.王老师到文体商店为学校购买排球,排球的单价为a元,买10个以上(包含10个)按8折优惠,列单项式表示,并指出它们的系数和次数.
(1)购买30个排球应付多少元
(2)购买b个排球应付多少元
解:(1)0.8a×30=24a(元),系数为24,次数为1.
(2)当1≤b<10时,应付ab元,系数为1,次数为2;
当b≥10时,应付0.8ab元,系数为0.8,次数为2.
10.已知单项式-xy2m-1与-22x2y2的次数相同.
(1)求m的值;
(2)求当x=-9,y=-2时单项式-xy2m-1的值.
解:(1)根据题意,得1+2m-1=2+2,解得m=2.
(2)由(1)知,-xy2m-1=-xy3.
当x=-9,y=-2时,
-xy3=-×(-9)×(-8)=-48.
11.已知(m-2)b3是关于a,b的六次单项式,则m的值为( )
A.2 B.-4
C.2或-4 D.不能确定
12.一列单项式按以下规律排列:1,-3x,5x2,-7x3,9x4,-11x5,…,则第2 025个单项式为 .
B
4 049x2 024
13.若3xmyn是含有字母x和y的五次单项式,求mn的最大值.
解:因为3xmyn是含有字母x和y的五次单项式,
所以m+n=5且m≠0,n≠0.
当m=1,n=4时,mn=14=1;
当m=2,n=3时,mn=23=8;
当m=3,n=2时,mn=32=9;
当m=4,n=1时,mn=41=4.
故mn的最大值为9.(共14张PPT)
第3课时 去括号法则
1.计算-(4a-5b)的结果是( )
A.-4a-5b B.-4a+5b
C.4a-5b D.4a+5b
2.下列去括号正确的是( )
A.-(a-b)=-a-b
B.-2(x-4y)=-2x+4y
C.1+(-m+2)=-m+3
D.x-(y-1)=x-y-1
B
C
3.下面是小彬同学进行整式化简的过程,请认真阅读并完成相应任务.
3x2y+2xy-2(xy+x2y)
=3x2y+2xy-(2xy+2x2y)①
=3x2y+2xy-2xy+2x2y②
=5x2y③
小彬开始出现错误的一步,以及原题化简的正确结果是( )
A.①,x2y B.①,2x2y+xy
C.②,x2y D.②,x2y+xy
C
4.长方形的长是3a,宽是2a-b,则长方形的周长是 .
5.小高将代数式-(x-3y+1)去括号后,得到的结果为-x+3y+1,你帮小高修正的正确结果为 .
6.化简:
(1)2(x+2y)-(3x+y);
(2)(2025·重庆西附)6x2-2xy-2;
解:原式=2x+4y-3x-y
=-x+3y.
解:原式=6x2-2xy-6x2+xy
=-xy.
10a-2b
-x+3y-1
(3)x2y+-(-xy+2x2y);
解:原式=x2y-xy+xy-2x2y
=-x2y+xy.
(4)5m2n-[2m2n-(mn2-m2n)];
解:原式=5m2n-2m2n+(mn2-m2n)
=3m2n+mn2-m2n
=2m2n+mn2.
(5)5x2-[3x2-2(-x2+4x)];
解:原式=5x2-3x2+2(-x2+4x)
=2x2-2x2+8x
=8x.
(6)3a2b+.
解:原式=3a2b+(3ab-2ab-3a2b)
=3a2b+ab-3a2b
=ab.
7.若代数式x2+mx+8y-(nx2-2x+4y+3)的值与x的取值无关,则m+n的值为( )
A.-3 B.1 C.-1 D.3
8.如图①所示,在一个边长为a的正方形纸片上剪去两个小长方形,得到一个如图②的图案,再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形,如图③所示,则新长方形的周长可表示为( )
A.2a-3b B.2a-4b
C.4a-10b D.4a-8b
C
D
9.(1)(2025·重庆南开)有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,则化简+-的结果为 ;
(2)已知无论x,y取什么值,多项式(2x2-my+9)-(nx2-5y-4)的值都等于定值13,则m+n= .
-c
7
10.【教材改编】为了加强公民的节水意识,合理利用水资源,某市采用价格调控的手段达到节水的目的,该市自来水收费的价目表如下:(注:水费按月结算)
价目表 每月用水量 单价
不超过6 m3的部分 2元/m3
超过6 m3不超过10 m3的部分 4元/m3
超过10 m3的部分 8元/m3
请根据上表的内容解答下列问题:
(1)若该市某户居民2月份用水4 m3,则应缴水费 元;
8
(2)若该市某户居民3月份用水a m3(其中6解:(2)因为64(a-6)+6×2=4a-12(元).
答:该户居民应缴水费(4a-12)元.
(3)若该市某户居民4,5两个月共用水12 m3(5月份用水量超过了4月份),设5月份用水x m3,则该户居民4,5两个月共应缴水费多少元 (用含x的代数式表示,并化简)
(3)由题意可知,x>6,12-x<6.
当6则该户居民4,5两个月共应缴水费
6×2+4(x-6)+2(12-x)=2x+12(元);
当10则该户居民4,5两个月共应缴水费
6×2+4×4+8(x-10)+2(12-x)=6x-28(元).
11.对多项式x-y-z-m-n任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简,称之为“加算操作”.例如:(x-y)-(z-m-n)=x-y-z+m+n,x-y-(z-m)-n=x-y-z+m-n,….给出下列说法:①至少存在一种“加算操作”,使其结果与原多项式相等;②不存在任何“加算操作”,使其结果与原多项式之和为0;③所有的“加算操作”共有8种不同的结果.以上说法中正确的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
D
12.(2025·重庆育才)对于个位数字不为零的任意三位数M,将其个位数字与百位数字对调得到M',则称M'为M的“倒序数”,将一个数与它的“倒序数”的差的绝对值与99的商记为F(M).例如523为325的“倒序数”,F(325)==2.则F(138)= ;对于任意三位数满足c>a,则F(M)的值是 .
7
c-a
13.阅读下列材料并解决有关问题:
我们知道=现在我们可以用这个结论来化简含有绝对值的代数式,如化简代数式+时,可令x+1=0和x-2=0,分别求得x=-1和x=2(-1,2分别叫作与的零点值).在有理数范围内,零点值x=-1和x=2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况:①当x<-1时,原式=-(x+1)-(x-2)=-2x+1;②当-1≤x≤2时,原式=x+1-(x-2)=3;③当x>2时,原式=x+1+x-2=2x-1.综上所述,原式=
通过以上材料,请你解决问题:
(1)分别求出和的零点值;
解:(1)令x+2=0,x-4=0,解得x=-2,x=4.
则的零点值是-2,的零点值是4.
(2)化简代数式+.
(2)①当x<-2时,原式=-(x+2)-(x-4)=-x-2-x+4=-2x+2;
②当-2≤x≤4时,原式=(x+2)-(x-4)=x+2-x+4=6;
③当x>4时,原式=(x+2)+(x-4)=2x-2.
综上所述, 原式=(共12张PPT)
第2课时 多项式
1.(2025·重庆南开)在下列给出的四个多项式中,为三次二项式的多项式是( )
A.a2-3 B.a3+2ab-1
C.4a3-b D.4a2-3b+2
2.(2025·重庆巴蜀)在代数式①;②;③0.25m2n4;④2 025;⑤1+;⑥中,整式的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
C
D
3.下列说法正确的是( )
A.-mn的系数是-
B.43n3m是6次单项式
C.多项式n3m-4mn-6的项分别为n3m,-4mn,-6
D.多项式m3-m+5的一次项系数是1
4.下列代数式:0,-,-x,-,,3m2+1,x2y3z中,单项式有 ,多项式有 .
C
0,-,-x,x2y3z
-,3m2+1
5.(1)多项式-xy3+3x2y+5的最高次项为 ;
(2)多项式x3-2x2-3的次数是 ,常数项是 ;
(3)(2025·成都外语校)多项式x4y2-x2y+2y4的次数是 ;
(4)多项式-m3+2m2n+3mn3+2是 次 项式.
-xy3
3
-3
6
四
四
6.如图所示,学校有一块长方形空地,长为a米,宽为2b米.为了美化环境,分别以长方形的两宽为直径向内作半圆形,然后在该区域种植花卉,其余部分(阴影部分)铺设草坪.(π取3)
(1)求草坪(阴影部分)的面积(用含a,b的代数式表示);
解:(1)根据题意可知,阴影部分的面积=a·2b-πb2=(2ab-3b2)平方米,
所以草坪的面积为(2ab-3b2)平方米.
(2)若a=20米,b=5米,求草坪的面积.
(2)当a=20米,b=5米时,
原式=2×20×5-3×52=125(平方米),
所以草坪的面积是125平方米.
7.下列说法正确的有( )
①单项式x的系数和次数都是0;
②多项式3x4-5x2y2-6y3+2的次数是11;
③多项式1-2x+x2由1,-2x,x2三项组成;
④在a2,,,0中,整式有2个.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
8.(1)多项式x2y2-xy2+xy-3的次数是a,常数项是b,则ab的值是 ;
(2)若(a-3)2+=0,则多项式a2+b2-ab的值为 ;
(3)(2025·成都育才)已知3x2y|m|-(m-1)y+5是关于x,y的一个三次三项式,则代数式2m2-3m+1的值等于 .
-12
6
9.已知一个整式为(a-2)x2-3x-(a+3).
(1)若它是关于x的一次式,求a的值,并写出该一次式;
(2)若它是关于x的二次二项式,求a的值,并写出该二次二项式;
(3)若它是关于x的二次式,求a的取值范围.
解:(1)若它是关于x的一次式,则有a-2=0,即a=2,此时一次式为-3x-5.
(2)若它是关于x的二次二项式,则a-2≠0,且a+3=0,即a=-3,此时二次二项式为-5x2-3x.
(3)若它是关于x的二次式,则有a-2≠0,即a≠2.
10.为节约用水,某市规定三口之家每月标准用水量为15立方米,超过部分加价收费.假设不超过部分的水费为1.5元/立方米,超过部分的水费为3元/立方米.
(1)若某三口之家某月用水a立方米,请用含a的式子分别表示出三口之家按标准用水和超出标准用水各应缴纳的水费;
(2)如果三口之家某月用水20立方米,那么该月应缴多少水费
解:(1)标准用水的水费为1.5a元(0超出标准用水的水费为3(a-15)+15×1.5=[3(a-15)+22.5]元(a>15).
(2)20>15,则该月应缴水费为
3×(20-15)+22.5=37.5(元).
11.已知关于x的多项式3x4-(m+5)x3+(n-1)x2-5x+3不含x3项和x2项,则( )
A.m=-5,n=-1 B.m=5,n=1
C.m=-5,n=1 D.m=5,n=-1
12.(1)已知多项式ax5+bx3+cx+1,当x=-1时,该多项式的值为2,那么当x=1时,该多项式的值为 ;
(2)如果5y2-(m-2)xy-3x是关于x,y的四次二项式,则m= .
C
0
2
13.(1)如果关于x的多项式mx4+4x2-与多项式3xn+5x的次数相同,
求n3-2n2+3n-4的值;
解:(1)因为关于x的多项式mx4+4x2-与多项式3xn+5x的次数相同,
所以当m≠0时,n=4,n3-2n2+3n-4=8;
当m=0时,n=2,n3-2n2+3n-4=-2.
综上所述,n3-2n2+3n-4的值为8或-2.
(2)当整数n为何值时,多项式6xn+3-4x3-n+9是四次多项式
(2)当n+3=4时,解得n=1.
所以原多项式为6x4-4x2+9;
当3-n=4时,解得n=-1.
所以原多项式为-4x4+6x2+9.
综上,当n=1或-1时,原多项式为四次多项式.(共9张PPT)
专题七 [提升]规律探究
1.(2025·重庆大渡口区)苯是一种有机化合物,是组成结构最简单的芳香烃,可以合成一系列衍生物.如图是某小组用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式,第1个图形需要9根小木棒,第2个图形需要16根小木棒,第3个图形需要23根小木棒,…,按此规律,第9个图形需要的小木棒根数是( )
A.72 B.70 C.68 D.65
D
2.(2025·重庆一中)用边长相等的正方形和等边三角形按如图所示的规律摆放,其中第1个图案用了5个正方形,第2个图案用了7个正方形,第3个图案用了9个正方形,…,按此规律排列下去,则第2 025个图案中用的正方形的个数是( )
A.4 047 B.4 049 C.4 051 D.4 053
D
3.【教材改编】如图,下列是一组有规律的图案,它们是由边长相同的小正方形组成,其中部分小正方形涂有阴影,按照这样的规律,第5个图案中有 个涂有阴影的小正方形,第n个图案中有 (用含有n的代数式表示)个涂有阴影的小正方形.
21
(4n+1)
4.将连续的自然数1至36按如图的方式排成一个正方形阵列,用一个小正方形任意圈出其中的9个数,设圈出的9个数的中心的数为a,用含有a的代数式表示这9个数的和为 .
9a
5.【数学文化】“杨辉三角”是杨辉留给后世宝贵的数学遗产.如图,在“杨辉三角”中,两边上的数都是1,其余每个数为它的上方(左右)两数之和.如2=1+1,10=4+6,….在“杨辉三角”中,若从第三行的“2”开始,按图示箭头所指依次构成一列数:2,3,3, 4,6,4,5,10,10,5,…,则这列数中第24个数是( )
A.8 B.28
C.56 D.70
C
6.正整数按如图的规律排列.请写出第十行,第十一列的数是 .
110
7.(2025·重庆巴蜀)如图,按一定规律排列的一组盲盒中装有若干糖果,第①个中装有1颗,第②个中装有5颗,…,那么第④个盲盒中装有的糖果数量是( )
A.48颗 B.36颗 C.32颗 D.29颗
D
8.观察一列数据:,-,,-,…,则第100个数为 .
9.已知a1,a2,a3,…,an(n为正整数)满足:a1=0,a2=,a3=,…,
an=,则a20= .
-
10