(共17张PPT)
第4课时 比赛积分问题及图表信息问题
1.某次数学竞赛共有20道题,已知做对一道得4分,做错一道或者不做扣1分,某同学最后的得分是50分,则他做对的题目有( )
A.14道 B.15道 C.16道 D.17道
2.一个长方形的周长为28 cm,若把它的长减少1 cm,宽增加3 cm,就变成一个正方形,则这个长方形的面积是( )
A.48 cm2 B.45 cm2
C.40 cm2 D.33 cm2
A
B
3.把1~9这9个数填入3×3的方格中,使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等,这样便构成了一个“九宫格”.它源于我国古代的“洛書”(图1),是世界上最早的“幻方”.图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”,则其中x的值为( )
A.1 B.3 C.4 D.6
A
4.(1)某男子篮球队在已参加的15场比赛中,共积25分,胜10场,胜一场积2分,则负了 场,负一场积 分(没有平局);
(2)某次综合实践竞赛共有26道题目,规则是:答对1题得3分,答错1题倒扣1分,不答得0分,第一小队共有5题没有回答,得了51分,那么该队共答对了 道题.
5
1
18
5.某学校组织知识竞赛,共设有20道选择题,各题分值相同,每题必答.下表记录了3名参赛者的得分情况,如果参赛者D得76分,那么他答对的题数为 .
参赛者 答对题数 答错题数 得分
A 20 0 100
B 19 1 94
C 18 2 88
16
6.下表是某市中学生篮球联赛常规赛部分队最终积分榜.
序号 队名 比赛场次 胜场 负场 积分
1 我们 22 12 10 34
2 嗨年 22 18 4 40
3 胜利 22 7 15 29
4 谈笑 22 0 22 22
5 狂笑 22 14 8 36
6 飞跃 22 10 12 32
(1)从表中可以看出,负一场积 分,可以计算出胜一场积 分;
1
2
(2)如果一个队胜m场,那么负 场,胜场积 分,负场积
分,总积分为 分;
(3)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分的3倍吗
解:若能,则2m=3(22-m),解得m=.
因为比赛场数为整数,所以某队的胜场总积分不能等于它的负场总积分的3倍.
(22-m)
2m
(22-m)
(22+m)
7.根据下面的对话,算出小亮今年的年龄为( )
小亮:我们两个人今年的年龄之和是42岁.
爸爸:5年后,我的年龄是你的年龄的3倍.
A.8岁 B.6岁 C.10岁 D.7岁
A
8.如图是2025年1月份的日历表,用形如“ ”的框架框住日历表中的五个数,对于框架框住的五个数字之和,小明的计算结果不可能有( )
A.75 B.100 C.115 D.120
D
9.(2025·成都石室)对联是中华传统文化的瑰宝,对联装裱后,如图所示,上、下空白处分别称为天头和地头,左、右空白处统称为边.一般情况下,天头长与地头长的比是6∶4,左、右边的宽相等,均为天头长与地头长的和的.某人要装裱一副对联,对联的长为96 cm,宽为26 cm.若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍,则天头长为 cm.
24
10.用8个形状和大小都相同的小长方形,恰好可以拼成如图1所示的大长方形.若用这8个小长方形拼成如图2所示的正方形,则中间留下一个空的小正方形(阴影部分).设小长方形的长和宽分别为a和b(a>b).
(1)由图1可知a,b满足的等量关系是 ;
(2)若图2中小正方形的边长为2,求小长方形的面积.
解:(2)根据图2可知,小正方形的边长为
a+2b-2a=2b-a.
∵3a=5b,∴a=b.
∵小正方形的边长为2,∴2b-b=2,
∴b=6,∴a=10,
∴小长方形的面积=10×6=60.
3a=5b
11.观察表1,寻找规律.表2、表3、表4分别是从表1中截取的一部分,其中a,b,c的值分别为( )
A.20,29,30 B.18,30,26
C.18,20,26 D.18,30,28
D
12.如图,长方形ABCD是一个游乐场的平面示意图,AB=22,AD=26,它是由6个正方形拼成的长方形,则中间阴影部分的正方形的边长是 .
解析:如图,设中间阴影部分的正方形的边长为x,正方形①,②的边长为y,则正方形③的边长为(x+y),正方形④的边长为(2x+y),正方形⑤的边长为(2y-x),依题意,得(y+y+x+y)-(y+2y-x)=26-22,即2x=4,解得x=2.
2
13.请根据以下素材,探究完成任务.
素 材 我国明朝数学家程大位所著的
《算法统宗》中介绍了一种计算
两位数乘法的方法,被称为“铺地锦”.
例:计算36×41,如图,首先把乘数36和41
分别写在方格的上面和右面,然后以36的
每位数字分别乘41的每位数字,将结果计
入对应的格子中,如果结果只有个位数,
比如6×1=6,在斜线上面的十位上就写0,个位6写在斜线的下面;再把同一斜线上的数相加(和大于10时则向上一级进位即可),结果写在斜线左下端对应的方格旁,最后把得数依次写下来是1 476,即36×41=1 476.
任务 (1)用“铺地锦”的方法计算:72×26; (2)如图2,用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘,求x的值.
解:(1)如图1.即72×26=1 872.
任务 (1)用“铺地锦”的方法计算:72×26; (2)如图2,用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘,求x的值.
(2)如图2.
①当十位级向百位无进位,且百位向千位无进位时,则有2+4+(x-2)=2x+1,解得x=3,符合题意;
②当十位向百位有进位1,且向百位向千位无进位时,则有2+4+(x-2)=(2x+1)-1,
解得x=4,不符合题意,舍去;
③当十位向百位无进位,且百位向千位有进位1时,则有2+4+(x-2)=(2x+1)+10,
解得x=-7,不符合题意,舍去;
④当十位向百位有进位1,且百位向千位有进位1时,则有2+4+(x-2)=(2x+1)-1+10,
解得x=-6,不符合题意,舍去.
综上所述,x=3.(共13张PPT)
第2课时 工程问题
1.一项任务,由甲单独做需16天完成,由乙单独做需24天完成,现在乙先做9天,再由甲和乙一起做,正好如期完成,求完成这项工程的规定时间.设完成这一项工程的规定时间为x天,则下列所列方程正确的是( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
B
2.某班组每天需生产40个零件才能在规定的时间内完成一批零件任务,实际上该班组每天比计划多生产了6个零件,结果比规定的时间提前3天并超额生产120个零件.若设该班组要完成的零件任务为x个,则可列方程为( )
A.-=3 B.-=3
C.-=3 D.-=3
D
3.某美术兴趣小组有x人,计划完成y个剪纸作品,若每人做5个,则可比计划多做9个;若每人做4个,则将比计划少做15个,现有下列方程:①5x+9=4x-15;②=;③=;④5x-9=4x+15.其中正确的是( )
A.①② B.②④ C.②③ D.③④
4.某车间原计划13小时生产一批零件,后来每小时多生产10件,用了12小时不但完成了任务,而且还多生产了60件.设原计划每小时生产y件零件,可列方程为 .
D
12(y+10)=13y+60
5.甲、乙两个工程队共同铺设一段长1 350 km的天然气管道.甲工程队每天铺设5 km,乙工程队每天铺设7 km.甲工程队先施工30天后,甲、乙两个工程队共同铺设, 天后能完成这项工程.
6.星期天,妈妈做饭,小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除.根据这次大扫除的任务量,若小峰单独完成,需4 h;若爸爸单独完成,需2 h.当天,小峰先单独打扫了一段时间后去参加篮球训练,接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务,小峰和爸爸这次一共打扫了3 h,求这次小峰打扫了多长时间.
解:设这次小峰打扫了x h,则爸爸打扫了(3-x)h,根据题意,得
+=1,解得x=2.
答:这次小峰打扫了2 h.
100
7.一项工作,甲单独完成要9天,乙单独完成要12天,丙单独完成要15天.若甲、丙先做3天后,甲有事离开,由乙接替甲的工作,则完成这项工作的还需( )
A.3天 B.2天 C.4天 D.5天
8.某工程甲单独做12天可以完成,乙单独做15天可以完成.现在两人合作,但途中乙因事离开了几天,最后一共花了8天把这项工程做完,则乙中途离开了 天.
B
3
9.(2025·重庆南开)甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程,已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队每天挖掘长度的1.5倍.甲、乙两工程队一起挖掘200米长度的隧道共用时4天.
(1)甲、乙两工程队每天分别可挖掘隧道多少米
解:(1)设乙工程队每天可挖掘隧道x米,则甲工程队每天可挖掘隧道1.5x米.
根据题意,得4(x+1.5x)=200,解得x=20,
∴1.5x=30.
答:甲工程队每天可挖掘隧道30米,乙工程队每天可挖掘隧道20米.
(2)已知该段隧道挖掘工程为600米,甲工程队每天的挖掘费用为6万元,乙工程队每天的挖掘费用为3万元.若安排甲工程队先单独挖掘若干天后,剩下的工程再由乙工程队单独完成,总费用刚好102万元,甲工程队应先单独挖掘多少天
(2)设甲工程队应先单独挖掘y天,则乙工程队单独挖掘天.根据题意,得
6y+3×=102,解得y=8.
答:甲工程队应先单独挖掘8天.
10.某学校刚完成一批结构相同的学生宿舍的修建,这些宿舍地板需要铺瓷砖,一天,4名一级技工去铺4个宿舍,结果还剩12 m2地面未铺瓷砖;同样时间内6名二级技工铺4个宿舍刚好完成.已知每名一级技工比二级技工一天多铺3 m2瓷砖.
(1)求每个宿舍需要铺瓷砖的地板面积;
解:(1)设每个宿舍需要铺瓷砖的地板面积为x m2,
依题意,得
-=3,解得x=18.
答:每个宿舍需要铺瓷砖的地板面积为18 m2.
(2)现该学校有20个宿舍的地板和36 m2的走廊需要铺瓷砖,某工程队有4名一级技工和6名二级技工,一开始有4名一级技工来铺瓷砖,3天后,学校根据实际情况要求3天后必须完成剩余的任务,所以决定加入一批二级技工一起工作,问需要安排多少名二级技工才能按时完成任务
(2)设需要安排y名二级技工才能按时完成任务.
∵每名一级技工每天可铺瓷砖
=15(m2),
每名二级技工每天可铺瓷砖15-3=12(m2),
∴15×4×6+3×12y=20×18+36,
解得y=1.
答:需要安排1名二级技工才能按时完成任务.
11.有两支同样长的蜡烛,一支能燃烧4 h,另一支能燃烧3 h,一次遇到停电,同时点燃这两支蜡烛,来电后同时吹灭.发现其中的一支是另一支的一半,停电时间为( )
A.2 h B.3 h C. h D. h
12.师傅做20天完成的任务,徒弟需要做30天才能完成,那么师傅30天能够完成的任务,在师傅做12天后让徒弟来做,徒弟还需要 天才能完成.
C
27
13.一棉花种植区的农民研制出采摘棉花的单人便携式采棉机,采摘效率高,能耗低,绿色环保.经测试,一个人操作该采棉机的采摘效率为35 kg/h,大约是一个人手工采摘的3.5倍.购买一台采棉机需900元,雇人采摘棉花,按每采摘1 kg棉花a元的标准支付雇工工资,雇工每天工作8 h.
问题解决:
(1)一个雇工手工采摘棉花,一天能采摘多少千克
解:(1)35÷3.5×8=80(kg).
答:一天能采摘80 kg.
(2)一个雇工手工采摘棉花7.5天获得的全部工钱正好购买一台采棉机,求a的值;
(2)7.5×80a=900,解得a=1.5.
(3)在(2)的前提下,种植棉花的专业户张家和王家均雇人采摘棉花,王家雇用的人数是张家的2倍.张家雇人手工采摘,王家所雇的人中有的人自带采棉机采摘,的人手工采摘.两家采摘完毕,采摘的天数刚好一样,张家付给雇工工钱总额为14 400元.王家这次采摘棉花的总重量是多少
(3)设张家雇工有x人,则王家雇工有2x人,其中机器采摘的有x人,手工采摘的有x人;设两家雇工工作的天数为y天.
根据题意,得80×1.5xy=14 400,
∴xy=120.
∴王家采摘棉花的总重量为
8×35×xy+80×xy=8×35××120+80××120=51 200(kg).
答:王家这次采摘棉花的总重量是51 200 kg.(共16张PPT)
第3课时 销售中的盈亏问题
1.(2025·内江)学校准备添置一批课桌椅,原订购60套,每套100元,店方表示:如果多购,可以优惠.结果校方购了72套,每套减3元,但商店获得同样多的利润.求每套课桌椅的成本.设每套课桌椅的成本为x元,则可列方程( )
A.72(100-x)=60(100+3-x)
B.60(100-x)=72(100-3-x)
C.60(100+x)=72(100-3+x)
D.=
B
2.某商场购进一批服装,每件服装销售的标价为400元,由于换季滞销,商场决定将这种服装按标价的六折销售.若打折后每件服装仍能获利20%,则该服装的进价是( )
A.220元 B.200元
C.180元 D.160元
3.商店将进价为2 400元的彩电标价3 600元出售,为了吸引顾客进行打折出售,售后核算仍可获利20%,则折扣为( )
A.九折 B.八五折 C.八折 D.七五折
B
C
4.商场进行促销活动,某商品的优惠措施是“第二件商品半价”,现购买2件该商品,相当于这2件商品打了 折.
5.请根据下面李老师和张老师的对话,判断张老师买平板电脑的预算是
元.
李老师:张老师,你之前提到的平板电脑买了没
张老师:还没,它的售价比我的预算多1 500元呢!
李老师:这台平板电脑现在正在打7折呢!
张老师:是吗,太好了!这样比我的预算还要少750元!
7.5
6 000
6.一家服装店购进100件衣服,加价40%后作为售价.售出了60件后,剩下的40件按售价打对折售完,结果盈利6 000元.
(1)这批衣服每件的进价为多少元
解:(1)设这批衣服每件的进价为x元,则原售价是1.4x元,根据题意,得
1.4x×60+0.5×1.4x×40-100x=6 000,
解得x=500.
答:这批衣服每件的进价为500元.
(2)售完全部衣服后,店主将购进这批衣服的货款(不包括盈利部分)存入银行,存期一年,得到的利息为1 000元,那么银行一年定期的利率为多少
(2)设银行一年定期的利率是y,根据题意,得
100×500y=1 000,解得y=0.02=2%.
答:银行一年定期的利率是2%.
7.(2025·重庆巴蜀)学校组织九年级两个班的学生开展“游学”活动,生活委员李想要去面包店给每位同学买一个面包,购买时发现:该面包店的面包8元/个,购买总额达到一定金额时,可以打9.5折,李想经过计算发现只要再多买1个面包就可以打9.5折,价钱会比少买一个还便宜20元.你觉得聪明的李想实际购买的面包个数为( )
A.70 B.69 C.60 D.59
A
8.(1)每年的“双11购物节”,各网络电商都会在这一天搞促销活动.今年,某网上购物商城促销活动规则如下:①购物不超过200元不给予优惠;②购物超过200元但不足500元的部分打九折;③购物超过500元的部分打七五折.小明第1次购得商品的总价(标价和)为200元,第2次购物花费452元.若小明将这两次购得的商品合为一次购买,能节省 元;
(2)某专卖店正在开展“感恩十年,同行有你”促销活动:一次性购物不超过200元不享受优惠;一次性购物超过200元但不超过500元,超过200元的部分九折优惠;一次性购物超过500元一律八折.在活动期间,张三两次购物分别付款195元、452元.若张三选择这两次购物合并成一次性付款可以节省 .
47
39元或107元
9.春节期间,某商店以每件80元的价格购进一款衬衫500件,加价50%后标价.请根据商店的营销方式,解答下列问题.
(1)若商店先按标价售出400件后降价,剩余的按几折销售能使售完这批衬衫盈利35%
解:(1)该款衬衫的标价为80×(1+50%)=120(元).
设剩余的按x折销售,根据题意,得
400×(120-80)+100(120×0.1x-80)=80×500×35%,解得x=5.
答:剩余的按5折销售能使售完这批衬衫盈利35%.
(2)若商店先按标价九折促销300件后,剩余的每件另送交通费多少元能使售完这批衬衫盈利25%
(2)设购买一件衬衫送m元交通费,根据题意,得
500×(120×0.9-80)-200m=80×500×25%,
解得m=20.
答:剩余的每件另送交通费20元能使售完这批衬衫盈利25%.
10.(2025·重庆一中)鲜花的美丽和芬芳可以传递深深的爱和关怀,让对方感受到真诚和热情.一家花店在花市购入240枝郁金香和280枝向日葵,共花费5 600元,其中每枝郁金香的成本比每枝向日葵的成本多6元.
(1)每枝向日葵的成本为多少元
解:(1)设每枝向日葵的成本为x元.
由题意,得240(x+6)+280x=5 600,
解得x=8.
答:每枝向日葵的成本为8元.
(2)花店准备将购入的鲜花包装成花束出售,一捧花束由8枝郁金香和6枝向日葵组成.将所有鲜花优先包装成花束后,剩下的鲜花再单枝出售.已知一捧花束售价为248元,不打折销售.剩下的单枝鲜花都在其进价的基础上提高50%标价,再打折出售.将购入的鲜花全部出售完毕后,获得的总利润率为50%,则单枝鲜花打几折出售
(2)∵240÷8=30(束),280÷6=(束),30<,
∴共包装成30束花束.
设单枝鲜花打m折出售.
由题意,得30×248+(280-30×6)×8×(1+50%)×m-5 600=5 600×50%,
解得m=8.
答:单枝鲜花打八折出售.
11.一个商店以每3本16元的价格购进一批笔记本,又从另外一处以每4本21元的价格购进比前一批数量加倍的同种笔记本.如果两批合在一起以每3本k元的价格全部出售可得到所投资的20%的收益,则k的值等于( )
A.17 B.18 C.19 D.20
12.某公司销售A,B,C三种产品,在去年的销售中,高新产品C的销售金额占总销售金额的40%.由于受国际金融危机的影响,今年A,B两种产品的销售金额都将比去年减少20%,因而高新产品C是今年销售的重点.若要使今年的总销售金额与去年持平,那么今年高新产品C的销售金额应比去年增加 %.
C
30
13.寒潮来袭,各地气温不断创新低,然而来势汹汹的冷空气,却吹不散人们的消费热情.购置御寒衣物、取暖电器,或是品尝一顿热气腾腾的火锅,成为不少人的入冬“仪式”.全国各地立足自身自然资源优势,将“冷资源”转化为“热经济”.某商店的A,B两种御寒商品也是深受顾客的喜爱,每件A商品的售价为800元,利润为300元;每件B商品的进价为800元,利润率为25%.
(1)每件A商品的进价为 元,每件B商品的售价为 元;
500
1 000
(2)若该商店第一次用68 000元购进了A,B两种商品,其中B商品的件数比A商品件数的2倍少20件,则第一次购进A,B两种商品各多少件
解:(2)设购进A商品的件数为x件,则购进B商品的件数为(2x-20)件.
根据题意,得500x+800(2x-20)=68 000,
解得x=40,
∴2x-20=60.
答:第一次购进A商品40件,B商品60件.
(3)在(2)的条件下,该商店第二次又购进A,B两种商品进行销售,与第一次相比,购进A商品的件数不变,进价提高了m%,售价不变并且全部售出;购进B商品的件数增加了2m%,进价不变,但每件的售价调整为1 100元,销售一段时间后,商店为了回馈消费者进行打折促销,于是将剩下的22件B商品打九折并全部售出.若第二次购进的两种商品共获得利润29 180元,求m的值.
(3)由(2)得第二次购进A商品40件,进价为500(1+m%)元,售价为800元;
第二次购进B商品60(1+2m%)件,进价为800元,售价为1 100元.
根据题意,得×40+(1 100-800)×+(1 100×0.9-800)×22=29 180,
解得m=10.
答:m的值为10.(共10张PPT)
第1课时 合并同类项
1.下列合并同类项不正确的是( )
A.由4x-3x=2,得x=2
B.由3x-4x=2,得-x=2
C.由6x-4x+x=2,得x=2
D.由-6x+4x+x=2,得-x=2
2.已知关于x的方程3x-2b=3-1的解是x=b,则b的值是( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
C
D
3.学校机房今年和去年共购置了100台计算机,已知今年购置计算机的数量是去年购置计算机的数量的3倍,则今年购置计算机的数量是( )
A.25台 B.50台
C.75台 D.100台
4.(1)若代数式4a与2a的差等于10,则a= ;
(2)定义符号“*”表示的运算法则为a*b=ab+3a.若3x+(x*3)=-27,则x= .
5.如果x=-2是方程3kx-2k=8的解,则k= .
C
5
-3
-1
6.解下列方程:
(1)2x-8x=12;
解:合并同类项,得-6x=12.
系数化为1,得x=-2.
(2)2x+3x=-5-10;
解:合并同类项,得5x=-15.
系数化为1,得x=-3.
(3)x-40%x=5.04;
解:合并同类项,得0.6x=5.04.
系数化为1,得x=8.4.
(4)16x-7.5x-2.5x=42;
解:合并同类项,得6x=42.
系数化为1,得x=7.
(5)3x-x+x=3×(-3.5)-2.5.
解:合并同类项,得x=-13.系数化为1,得x=-6.
7.在如图的某年的4月份月历表中,任意框出表中竖列上三个相邻的数,这三个数的和不可能是( )
A.27 B.51
C.69 D.72
D
8.(1)长方形的长与宽之比是3∶2,且周长为60,则长方形的长与宽分别为
和 ;
(2)一个两位数,个位上的数字是十位上数字的2倍,且它们的和为12,则这个两位数是 .
18
12
48
9.【数学文化】《增删算法统宗》是清代珠算书,明程大位原编撰,清梅殷成增删,共十卷,成书于1760年.其中有这样一道题,原文为:“有个学生资性好,一部孟子三日了,每日增添一倍多,问君每日读多少 ”翻译过来就是:“有个学生天资聪慧,三天读完一部《孟子》,每天阅读的字数是前一天的两倍,问他每天各读多少个字 ”已知《孟子》一书共有34 685个字,这个学生第一天读了多少个字
解:设这个学生第一天读了x个字,根据题意,得
x+2x+4x=34 685,
解得x=4 955.
答:这个学生第一天读了4 955个字.
10.如图1,规定:上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数.
(1)如图2,用含x的代数式表示m= ;
(2)如图2,当y=-2时,求n的值.
解:(2)由题意,得y=m+n=3x+2x+3=-2.
合并同类项,得5x+3=-2.
两边都减去3,得5x=-5.
系数化为1,得x=-1.
∴n=2x+3=1.
3x
11.关于x的方程3x+6x=-3与2mx+3m=-1的解相同,则m的值为( )
A. B.- C. D.-
12.(1)对任意四个有理数a,b,c,d定义新运算:=ad-bc,已知=18,则x的值是 ;
(2)已知关于x的方程kx-x=7的解为正整数,则整数k的值为 .
B
3
2或8
13.观察下表三行数的规律,回答下列问题:
第 1 列 第 2 列 第 3 列 第 4 列 第 5 列 第 6 列 …
第1行 -2 4 -8 a -32 64 …
第2行 0 6 -6 18 -30 66 …
第3行 -1 2 -4 8 -16 b …
(1)第1行的第四个数a是 ;第3行的第六个数b是 ;
(2)若第1行的某一列的数为c,则第2行与它同一列的数为 ;
(3)已知第n列的三个数的和为2 562,若设第1行第n列的数为x,试求x的值.
16
32
c+2
解:(3)根据题意,这三个数依次为x,x+2,x,则可列方程x+x+2+x=2 562,
解得x=1 024.(共14张PPT)
专题十 [强化]
一元一次方程的计算
(1)5t-3=-t+3;
解:移项,得5t+t=3+3.
合并同类项,得6t=6.
系数化为1,得t=1.
(2)3x+17=32-2x;
解:移项,得3x+2x=32-17.
合并同类项,得5x=15.
系数化为1,得x=3.
(3)2x+2.5x=-6-1.5x;
解:移项,得2x+2.5x+1.5x=-6.
合并同类项,得6x=-6.
系数化为1,得x=-1.
(4)3x+4+x=7x-35.
解:移项,得3x+x-7x=-35-4.
合并同类项,得-3x=-39.
系数化为1,得x=13.
2.解下列方程:
(1)(2025·重庆一中)5x+2(1-x)=6;
解:去括号,得5x+2-2x=6.
移项、合并同类项,得3x=4.
系数化为1,得x=.
(2)2(x-3)=-3(x-1)+2;
解:去括号,得2x-6=-3x+3+2.
移项、合并同类项,得5x=11.
系数化为1,得x=.
(3)(2025·重庆巴蜀)3(3x-1)-(2x-5)=6;
解:去括号,得9x-3-x+=6.
移项、合并同类项,得8x=.
系数化为1,得x=.
(4)3x-[1-(2+3x)]=7;
解:去小括号,得3x-(1-2-3x)=7.
去中括号,得3x-1+2+3x=7.
移项、合并同类项,得6x=6.
系数化为1,得x=1.
(5)4x-2[x-5(x-1)-4]=1;
(6)=1.
解:去小括号,得4x-2(x-5x+5-4)=1.
去中括号,得4x-2x+10x-10+8=1.
移项、合并同类项,得12x=3.
系数化为1,得x=.
解:去中括号,得-10=1.
去小括号,得x-2-10=1.
移项、合并同类项,得x=13.
系数化为1,得x=39.
3.解下列方程:
(1)(2025·重庆育才)=+1;
解:去分母,得2(2x+1)=3(1-3x)+6.
去括号,得4x+2=3-9x+6.
移项,得4x+9x=3+6-2.
合并同类项,得13x=7.
系数化为1,得x=.
(2)(2025·重庆巴蜀)-=4;
解:去分母,得5(3x+1)-2(x+2)=40.
去括号,得15x+5-2x-4=40.
移项,得15x-2x=40-5+4.
合并同类项,得13x=39.
系数化为1,得x=3.
(3)3-=x-;
解:去分母,得12-2(x-1)=4x-(11+x).
去括号,得12-2x+2=4x-11-x.
移项,得-2x-4x+x=-11-12-2.
合并同类项,得-5x=-25.
系数化为1,得x=5.
(4)-=;
解:去分母,得3(2-5x)-4(5+2x)=6(1-3x).
去括号,得6-15x-20-8x=6-18x.
移项,得-15x-8x+18x=6-6+20.
合并同类项,得-5x=20.
系数化为1,得x=-4.
(5)x-=-1;
解:去分母,得12x-3(x-2)=2(5x-7)-12.
去括号,得12x-3x+6=10x-14-12.
移项,得12x-3x-10x=-14-12-6.
合并同类项,得-x=-32.
系数化为1,得x=32.
(6)(2025·重庆育才)=-1;
解:分母化整,得200-300x=-1.
去分母,得400-600x=2-400x-2.
移项,得-600x+400x=2-2-400.
合并同类项,得-200x=-400.
系数化为1,得x=2.
(7)-=1.
解:分母化整,得-=1.
去分母,得3(4y+9)-5(3-2y)=15.
去括号,得12y+27-15+10y=15.
移项,得12y+10y=15-27+15.
合并同类项,得22y=3.
系数化为1,得y=.
4.解下列方程:
(1)19-=100-10;
(2)=3-;
解:10-=100-19.
9=81.
=9.
x1=9,x2=-9.
解:2+3=12-4.
6=9.
=.
x1=,x2=-.
(3)=.
解:方程=可化为
3x-1=2x+1或3x-1=-(2x+1).
解得 x=2或x=0.(共29张PPT)
专题十一 [提升]
一元一次方程应用中的动点问题
1.与数轴上的动点问题相关的基本知识
(1)数轴上两点间的距离为两点所对应数的差的绝对值,即,或用右边点表示的数减去左边点表示的数.
(2)点在数轴上运动:一个点表示的数为a,向左运动b个单位长度后所表示的数为 ;向右运动b个单位长度后所表示的数为 .
(3)两点中点公式:点A表示的数为a,点B表示的数为b,则线段AB中点所表示的数为(a+b)÷2.
(4)行程问题相关知识,即“相遇”问题和“追及”问题的等量关系.
(5)解绝对值方程的方法:
①若=b,则a= ;若=,则a= ;
②多个绝对值问题,先根据零点进行分类讨论去绝对值后,再解方程.
a-b
a+b
±b
±b
2.解数轴上动点问题的主要步骤
(1)画图——在数轴上表示出点的运动情况:运动方向和速度以及起始位置;
(2)写点——写出所有点表示的数:一般用含有t的代数式表示,向右运动用“+”表示,向左运动用“-”表示;(注意变速或中途休息后点的表示)
(3)表示距离——右边点表示的数-左边点表示的数,若无法判定两点的左右需加绝对值;
(4)列式求解——根据条件列方程或代数式,求值.
注意:要注意动点是否会来回往返运动,是否变速,是否中途休息.
1.如图,在数轴上点A,B表示的数分别为-2,7,点M,N为数轴上的动点,点M从点A出发,以每秒2个单位长度的速度匀速运动,点N从点B出发,以每秒1个单位长度的速度匀速运动.点M,N同时出发,相向而行,当点M,N间的距离为12个单位长度时,点M在数轴上表示的数为( )
A.0 B.7
C.10 D.12
D
2.如图,数轴上点A表示的有理数为-16,点B表示的有理数为8,点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度在射线AB上向点B运动;同时点Q从点B出发,以每秒2个单位长度的速度在数轴上先向点A运动,当与点P相遇后立刻改变方向仍以原速与点P同向运动.当AP=AQ时,点Q表示的有理数为( )
A.0 B.-
C.-或0 D.-或-64
C
3.(2025·重庆八中)如图,已知点A,B是直线l上的两点,AB=14 cm,点C在线段AB上,且BC=3 cm.点P,Q是直线AB上的两个动点,点P的速度为1 cm/s,点Q的速度为2 cm/s.动点P,Q分别从点C,B同时出发在直线上运动,则经过 s时线段PQ的长为6 cm.
3或9或1
4.如图,已知数轴上点A表示的数为6,点B是数轴上在点A左侧的一点,且A,B两点间的距离为10.动点P从点A出发,以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,设运动时间为t(t>0)秒.
(1)点B表示的数是 ;
(2)动点Q从点B出发,以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动.若点P,Q同时出发,当点P运动 秒时,点P与点Q间的距离为8个单位长度.
解析:(1)∵A,B两点间的距离为10,点B在点A的左侧,点A表示的数为6,∴点B表示的数是-4.(2)设点P运动x秒时,点P与点Q间的距离为8个单位长度,由题意,得①当点Q在点P左侧时,4x+10-6x=8,解得x=1;②当点P在点Q的左侧时,6x-(4x+10)=8,解得x=9.故答案为(1)-4;(2)1或9.
-4
1或9
5.如图,数轴上点A,B,D表示的数分别是-9,-1和1,且点C为线段AB的中点,点O为原点,点E在数轴上,点F为线段DE的中点.P,Q为数轴上两个动点,点P从点B出发向左运动,速度为每秒1个单位长度,点Q从点D出发向左运动,速度为每秒3个单位长度,P,Q两点同时运动,运动时间为t秒.下列结论:
①若点E表示的数是3,则CF=7;
②若DE=3,则BF=;
③当t=2时,PQ=2;
④当t=时,点P是线段DQ的中点.
其中正确的有 .(填序号)
①③
6.如图,数轴上A,B两点对应的有理数分别是8和12,点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动,同时点Q从原点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动,设运动时间为t秒.
(1)当t<4时,用含t的代数式填空:
AQ= ,BP= ;
8-2t
4-t
(2)若PQ=6,求此时BQ的长度;
解:(2)由题意可知,点P表示的数为t+8,点Q表示的数为2t,
∴PQ===6,
∴8-t=±6,解得t=2或14.
当t=2时,点Q表示的数为4,∴BQ=12-4=8;
当t=14时,点Q表示的数为28,
∴BQ=28-12=16.
综上,BQ=8或16.
(3)当AP=BQ时,求t的值.
(3)分情况讨论:
①当点Q在点B左边,即t<6时,此时BQ=12-2t,AP=t.
∵AP=BQ,∴t=12-2t,解得t=4;
②当点Q在点B右边,即t>6时,此时BQ=2t-12,AP=t.
∵AP=BQ,∴t=2t-12,解得t=12.
综上,t=4或t=12.
7.(2025·成都七中)如图,点A,B在数轴上表示的数分别为a,b,且a,b满足+(b-8)2=0.
(2)动点P以5 cm/s的速度从点A出发,动点Q以2 cm/s的速度从点B出发,点P,Q同时沿数轴向右匀速运动,设运动时间为t s(t>0).
①当PQ=6时,求t的值;
②点P在到达点B之前是否存在常数m,使mBP+BQ为定值 若存在,请求出m的值,并求出此定值;若不存在,请说明理由.
(1)a= ,b= ;
-24
8
解:(2)由题意,得点P在数轴上表示的数为-24+5t,点Q在数轴上表示的数为8+2t.
①PQ==6,即=6,
∴3t-32=6或3t-32=-6,解得t=或t=.
②存在.
由题意可知,点P在到达点B之前,
BP=8-(-24+5t)=32-5t,BQ=8+2t-8=2t,
∴mBP+BQ=m(32-5t)+2t=(-5m+2)t+32m.
当-5m+2=0,即m=时,mBP+BQ为定值,为.
8.观察数轴,充分利用数形结合的思想.若点A,B在数轴上分别表示数m,n,则A,B两点间的距离可表示为AB=.已知多项式(3x2-ax-y+3)-(bx2+x+2y-1),若它的值与字母x的取值无关.
根据以上信息回答下列问题:
(1)填空:a= ,b= ;
(2)已知数轴上A,B两点对应的数分别为a与b,点C是线段AB的中点.
①求点C所表示的数;
②若动点P从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动;同时动点Q从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速运动.设P,Q两点的运动时间为t秒,当PQ=2时,求t的值.
-1
3
解:(2)①点C表示的数为==1.
②易知点P表示的数为-1+2t.
若点Q沿数轴的正方向匀速运动,则点Q表示的数为3+t.
当PQ=2时,即=2,
解得t=2或6;
若点Q沿数轴的负方向匀速运动,则点Q表示的数为3-t.
当PQ=2时,即=2,
解得t=或2.
综上所述,当PQ=2时,t=或2或6.
9.(2025·重庆巴蜀)如图,在数轴上,点A表示的数为-7,点B表示的数为-1,点C表示的数为9,点D表示的数为13,在点B和点C处各折一下,得到一条“折线数轴”,我们称点A和点D在数轴上相距20个单位长度.动点P从点A出发,沿着“折线数轴”的正方向运动,同时,动点Q从点D出发,沿着“折线数轴”的负方向运动,它们在“水平路线”射线BA和射线CD上的运动速度相同,均为2个单位长度/秒,“上坡路段”从点B到点C速度变为“水平路线”速度的一半,“下坡路段”从点C到点B速度变为“水平路线”速度的2倍.设运动的时间为t秒,问:
(1)动点P从点A运动至点D需要的时间为 秒;
15
(2)当P,Q两点到原点O的距离相同时,求出动点P在数轴上所对应的数;
解:(2)由题意可知,分以下七种情况讨论:
①当点P在AB上,点Q在CD上时,易知此时OQ>OP;
②当点P在AB上,点Q在CO上时,点P表示的数为-7+2t,点Q表示的数为9-4=17-4t.
∵点P,Q到原点的距离相同,
∴-7+2t+(17-4t)=0,解得t=5,
此时点P表示的数为3,不在AB上,不符合题意,舍去;
③当点P在BO上,点Q在CO上时,点P表示的数为-1+=t-4,点Q表示的数为17-4t.
∵点P,Q到原点的距离相同,
∴t-4+(17-4t)=0,解得t=,此时点P表示的数为,不在BO上,不符合题意,舍去;
④当点P,Q相遇时,点P,Q均在OC上,
点P表示的数为t-4,点Q表示的数为17-4t.
∵点P,Q到原点的距离相同,
∴t-4=17-4t,解得t=,
此时点P,Q表示的数均为,符合题意;
⑤当点P在OC上,点Q在OB上时,
点P表示的数为t-4,点Q表示的数为17-4t.
∵点P,Q到原点的距离相同,
∴t-4+(17-4t)=0,解得t=,
此时点P表示的数为,点Q表示的数为-,符合题意;
⑥当点P在OC上,点Q在射线BA上时,
易知此时OQ>OP;
⑦当点P在射线CD上,点Q在射线BA上时,OQ>OP.
综上,点P表示的数为或.
(3)若点Q到达终点A后,立即调头加速去追点P,“水平路线”和“上坡路段”的速度均提高了1个单位长度/秒,当点Q追上点P时,直接写出它们在数轴上对应的数.
(3)点Q到达点A所需时间为++=7.5(秒),此时点P到达的点是-7+3×2+(7.5-3)×1=3.5,
点P到达点C所需时间为+=13(秒),此时点Q到达的点是-7+2×3+2×(13-7.5-2)=6,
∴点Q在CD上追上点P,此时点P表示的数为2t-17,点Q表示的数为9+3(t-7.5-2-5)=3t-34.5,
∴2t-17=3t-34.5,解得t=17.5,
此时点P,Q在数轴上表示的数为18.
10.(2025·重庆南开)点M,N在数轴上分别表示有理数m,n,且满足(m+4)2+=0.现将数轴在点M,N处剪断,再用绳子将它们连接,就可得到如图所示的“拱形数轴”,其中点S为绳子上一点且满足MS=NS.在此数轴上,我们定义任意两点之间的距离为它们之间折线段的长度之和.如图1,A,M两点之间的距离为线段AM的长,记为DAM=AM,记A,B两点之间的距离为DAB=AM+MS+SN+NB.
(1)请直接写出:m= ,n= ;
-4
4
(2)若MS=6,点B在数轴上表示有理数6,一动点P从点M出发以每秒3个单位长度的速度沿“拱形数轴”向正方向运动,同时,另一动点Q从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿“拱形数轴”向负方向运动,两个点运动到点S处均停止,设运动时间为t秒,请问t取何值时,DPN+DQN=DMN-2
解:(2)由题意可知,MS=SN=6,DQN==,DMN=MS+SN=12.
①当0∵DPN+DQN=DMN-2,
∴12-3t+2-t=12-2,解得t=1;
②当2≤t≤8时,点P运动到点S停止,此时DPN=6,DQN=t-2.
∵DPN+DQN=DMN-2,∴6+t-2=12-2,
解得t=6.
综上,当t=1或6时,DPN+DQN=DMN-2.
(3)如图2,已知MS=9,动点P从点M出发以每秒2个单位长度的速度沿着“拱形数轴”向正方向运动,同时动点Q从点N出发,以每秒1个单位长度的速度沿着“拱形数轴”向负方向运动.两点相遇后,点P速度立即变为原来的一半并沿着“拱形数轴”向负方向运动,同时点Q保持速度不变并沿着“拱形数轴”向正方向运动.设运动时间为t秒,是否存在t,使得DPM=3DQN 如果存在,请直接写出t的值;如果不存在,请说明理由.
(3)∵MS=SN=9,
∴动点P,Q相遇时,两点各自运动的时间为(9+9)÷(2+1)=6(秒).
分情况讨论:
①当0∴2t=3t,解得t=0(舍去);
②当6≤t<12时,DPM=12-(t-6)=18-t,DQN=6-(t-6)=12-t,
∴18-t=3(12-t),解得t=9;
③当12≤t<18时,DPM=18-t,DQN=t-12,
∴18-t=3(t-12),解得t=13.5;
④当t≥18时,DPM=t-18,DQN=t-12,
∴t-18=3(t-12),解得t=9(舍去).
综上,当t=9或13.5时,DPM=3DQN.
11.如图,将等边△ABC放在数轴上,点B与数轴上表示-6的点重合,点C与数轴上表示2的点重合,将数轴上点C右侧的数轴沿C→A→B进行折叠,经过折叠后.
(1)点A与数轴上的数 重合,点B与数轴上的数 重合;
10
18
(2)若点D为AC的中点,点E表示-5,记L(EA)为数轴拉直后点E到点A的距离,即L(EA)=EC+CA,其中EC,CA代表线段长度.若动点P从点D出发,沿D→C→B方向运动,动点Q从点E出发,沿E→C方向运动,当动点Q运动到点C时,点P,Q同时停止运动.已知动点P在DC上运动速度为1个单位长度/秒,在CB上运动速度为2个单位长度/秒;动点Q的运动速度为1个单位长度/秒,设运动时间为t秒.
①当t为何值时,动点P,Q表示同一个数;
解:(2)①动点Q从E C所需的时间为÷1=7(秒),点Q表示的数为-5+t;点D表示的数为=6,动点P从D→C所需的时间为(6-2)÷1=4(秒),从C→B所需的时间为÷2=4(秒).
易知动点Q运动到点C时,点P,Q同时停止运动,
∴点P,Q表示同一个数时,点P,Q在点C,E之间,此时点P表示的数为2-2(t-4)=10-2t,
∴-5+t=10-2t,解得t=5,
即当t=5时,动点P,Q表示同一个数.
②当t为何值时,=.
②当0∵=,∴=,
解得t=或t=(舍去);
当4∵=,∴=,
解得t=或t=(舍去);
当5∵=,∴=,
解得t=或t=.
综上所述,当t=或或或时,=.(共12张PPT)
5.1.1 从算式到方程
1.(2025·重庆一中)下列是一元一次方程的是( )
A.3y-2<1 B.x+y=5
C.x+2= D.x=-1
2.下列各数中,是方程x+1=6的解的是( )
A.x=4 B.x=5 C.x=6 D.x=7
3.已知x=5是方程ax-8=20+a的解,则a的值是( )
A.3 B.5 C.6 D.7
D
B
D
4.已知式子:①3-4=-1;②2x-5y;③1+2x=0;④6x+4y=2;⑤3x2-2x+1=0,其中是等式的有 ,是方程的有 ,是一元一次方程的有 .(均填序号)
5.(2025·重庆育才)若x=2是关于x的方程2x+3m-1=0的解,则m+1的值为 .
①③④⑤
③④⑤
③
0
6.根据条件,设未知数,列出方程:
(1)某数的比这个数大1;
解:设该数为x,得x-x=1.
(2)某数的3倍比这个数的小3;
解:设该数为x,得3x=x-3.
(3)某数的30%与4的差等于2.
解:设该数为x,得30%x-4=2.
7.【数学文化】《孙子算经》记载:“今有木,不知长短.引绳度之,余绳四尺五寸;曲绳量之,不足一尺.木长几何 ”(尺、寸是长度单位,1尺=10寸)意思是:现有一根长木,不知道其长短.用一根绳子去度量长木,绳子还剩余4.5尺;将绳子对折再度量长木,长木还剩余1尺.问长木长多少 设长木为x尺,则可列方程为( )
A.(x+4.5)=x-1 B.(x+4.5)=x+1
C.(x-4.5)=x+1 D.(x-4.5)=x-1
8.(1)(2025·成都外语校)若x=3是关于x的一元一次方程mx+n=2的解,则代数式9m+3n+1的值是 ;
(2)若关于x的方程(k-1)-k+2=0是一元一次方程,则k的值为 .
A
7
-1
9.根据下列实际问题,设未知数,列出方程:
(1)某老师准备在期末对学生进行奖励,到文具店买了20本练习簿和30支签字笔,共花了130元,已知每本练习簿比每支签字笔贵1元5角.求练习簿和签字笔的单价;
(2)某产品的成本价为25元,现在按标价的7折销售,还可以有10元的利润,求此产品的标价;
解:设签字笔的单价为x元,则练习簿的单价为(x+1.5)元.
根据题意,得20(x+1.5)+30x=130.
解:设此产品的标价为x元.
根据题意,得0.7x-25=10.
(3)某家具厂生产由一个桌面和三条桌腿组成的休闲茶桌,该厂共有27名工人,每人每天可生产5张桌面或12条桌腿,求应分配多少名工人生产桌面,使得每天生产的桌面和桌腿恰好配套;
解:设分配x名工人生产桌面,
则有(27-x)名工人生产桌腿.
根据题意,得3×5x=12(27-x).
(4)如图,将边长为8 cm的正方形扩大成面积为120 cm2的长方形,若其一边增加的长度是另一边增加的长度的一半,求长方形的长和宽.
解:设长方形的宽为(8+x)cm,
则长方形的长为(8+2x)cm,
根据题意,得
(8+2x)(8+x)=120.
10.已知关于x的方程(m-3)xm+4+18=0是一元一次方程.
(1)求m的值;
解:(1)由一元一次方程的定义,得m+4=1,
且m-3≠0,解得m=-3.
(2)请写出这个方程;
(2)这个方程为-6x+18=0.
(3)判断x=1,x=2,x=3是否是该方程的解.
(3)把x=1代入-6x+18=0,左边≠右边,
所以x=1不是该方程的解;
把x=2代入-6x+18=0,左边≠右边,
所以x=2不是该方程的解;
把x=3代入-6x+18=0,左边=右边,
所以x=3是该方程的解.
11.某中学七(1)班共有64人,当该班少一名男生时,男生的人数恰好为女生人数的一半.设男生有x人,则下列方程中正确的是( )
A.2(x-1)+x=64 B.2(x+1)+x=64
C.x-1+2x=64 D.x+1+2x=64
12.若关于x的一元一次方程x+3=2x+b的解为x=-3,则关于y的一元一次方程(y+1)+3=2(y+1)+b的解为 .
A
y=-4
13.(1)若关于x的方程(-2)x2-(a-2)x+1=0是一元一次方程,求a的值;
(2)已知关于x的方程(m+1)+3=0是一元一次方程,求m2+3m-2的值.
解:(1)∵(-2)x2-(a-2)x+1=0是一元一次方程,
∴-2=0,且-(a-2)≠0,可得a=-2.
∴ a的值为-2.
(2)由题意,得=1,且m+1≠0,∴m=1.
当m=1时,m2+3m-2=12+3×1-2=2.(共10张PPT)
5.1.2 等式的性质
1.(2025·重庆八中)若a=b,则下列等式变形不正确的是( )
A.ma=mb B.=
C.a-m=b-m D.=
2.(2025·重庆巴蜀)下列说法正确的是( )
A.若a=b,则=
B.若a=b,则ac2=bc2
C.若a2=b2,则a=b
D.若=,则a=-b
B
B
3.若关于x的方程4+ax=5的解是x=-2,则a的值是( )
A.2 B.-2 C.- D.
4.用适当的数或整式填空,使所得结果仍是等式.
(1)如果2x+7=10,那么2x=10- ;
(2)如果-3x=8,那么x= ;
(3)如果x-=2-,那么x= ;
(4)如果=2,那么a= .
5.若关于x的一元一次方程2x+a+b=0的解是x=-1,则代数式3-a-b的值为 .
C
7
-
2
8
1
6.运用等式的性质解下列方程:
(1)x+21=36;
解:x=15.
(2)-1=3;
解:x=8.
(3)5x+2=2x-4;
解:x=-2.
(4)-5x-1=5-6x.
解:x=6.
7.已知a,b为任意有理数.
①关于x的方程ax=ab的解为x=b;
②关于x的方程ax+b=0可能是一元一次方程;
③当a≠0时,关于x的方程ax+b=0的解是x=-;
④当b=0时,关于x的方程ax+b=0的解是x=0.
以上说法正确的是( )
A.①③ B.②③ C.②④ D.③④
B
8.下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种不同质量的物体,则第三个天平右盘中砝码的质量是 .
9.(1)定义新运算:a※b=a2+b,例如3※2=32+2=11,已知4※x=20,则x= ;
(2)已知方程1-2×(2 024x-2 025)=,则整式2-3×(2 025-2 024x)的值为 .
10
4
3
10.利用等式的性质解下列方程并检验:
(1)2x-1=x-4;
解:x=-2.
检验:把x=-2代入原方程,左右两边相等,
所以x=-2是原方程的解.
(2)x=x+2.
解:x=-12.
检验:把x=-12代入原方程,左右两边相等,
所以x=-12是原方程的解.
11.无论x取何值,等式2ax+b-4x=-3恒成立,则a+b的值为( )
A.1 B.0 C.-1 D.不能确定
12.已知关于x的一元一次方程ax+2-x=b.
(1)当a 时,该方程有唯一解;
(2)当a ,b 时,该方程有无数个解;
(3)当a ,b 时,该方程无解.
C
≠1
=1
=2
=1
≠2
13.【教材改编】阅读下列材料:
问题:怎样将0.表示成分数 小明的探究过程如下:
设x=0.,① 10x=10×0.,②
10x=8.,③ 10x=8+0.,④
10x=8+x,⑤ 9x=8,⑥
x=.⑦
根据以上信息,回答下列问题:
(1)从步骤①到步骤②,变形的依据是_______________________________
___________________________________;从步骤⑤到步骤⑥,变形的依据是 ;
等式两边乘同一个数,或除以同
一个不为0的数,结果仍相等
等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等
(2)仿照上述探究过程,请你将0.表示成分数的形式.
解:(2)设x=0.,
100x=100×0.,
100x=36.,
100x=36+x,
99x=36,
x=.(共12张PPT)
专题十二
[易错]《一元一次方程》中的易错题
1.已知下列方程:①x=-2;②x-2=;③+1=6x;④x2=3x;⑤3x-2y=1;⑥2y2-2(y2-3y)=5;⑦3x-3(x-2)=7.其中是一元一次方程的有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
B
2.已知方程(a+3)+1=0是关于x的一元一次方程,则关于y的方程ay+6=0的解是( )
A.y=2 B.y=-2
C.y=2或y=-2 D.y=1
3.若方程x2-(m-2)x-6=0是关于x的一元一次方程,则m的值为 .
B
-2
4.若x=y,且字母a可以取任何有理数,则下列等式变形:①=;②=;
③=;④=.其中一定成立的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
提示:运用等式的性质时不要忽略0不能作除数,a,a+1,a-1都有可能等于0,而a2+1不可能等于0,所以只有④一定成立.
5.对于未知数为x的方程ax+1=2x,当a 时,方程有唯一解;
而当a 时,方程无解.
A
≠2
=2
6.四位同学解方程-=1,下面是他们解方程中去分母的一步,其中正确的是( )
A.1-=1 B.3-2=6
C.2-3=6 D.3-2=1
7.下列方程的变形中正确的是 ( )
A.由x+8=6x-7,得x-6x=7-8 B.由=1,得=10
C.由x-9=-x-3,得2x=6 D.由-2(x-2)=6,得-2x-4=6
B
C
8.小明解方程+1=时,由于粗心大意,在去分母时,方程左边的1没有乘10,由此求得的解为x=4,试求a的值,并正确求出方程的解.
解:在去分母时,方程左边的1没有乘10,由此求得的解为x=4,
即2(2x-1)+1=5(x+a)的解为x=4.
把x=4代入,得a=-1.
将a=-1代入原方程,得+1=,
解得x=13.
9.欣欣服装店某天用相同的价格a元(a>0)卖出了两件服装,其中一件盈利20%,另一件亏损20%,那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是 ( )
A.盈利 B.亏损
C.不盈不亏 D.与售价有关
10.某超市“五一放价”优惠活动如下:若一次性购物不超过300元不优惠,超过300元时按全额9折优惠.一位顾客第一次购物付款180元,第二次购物付款288元,若这两次购物合并成一次性付款可节省 元.
解析:①若第二次购物超过300元,设此时所购物品价值为x元,则90%x=288,解得x=320.两次所购物品价值为180+320=500(元)>300元,所以享受9折优惠,因此应付500×90%=450(元).这两次购物合并成一次性付款可节省:180+288-450=18(元).②若第二次购物没有超过300元,两次所购物品价值为180+288=468(元),这两次购物合并成一次性付款可以节省:468×10%=46.8(元).故答案为18或46.8.
B
18或46.8
11.某品牌空调每台进价1 800元, 标价2 250元,在“国庆”期间搞促销活动,要求按利润率不低于5%的售价打折出售,则此商品最多可打几折出售
解:设打x折出售时,利润率为5%,根据题意,得
2 250×-1 800=5%×1 800,解得x=8.4.
答:此商品最多可打8.4折出售.
提示:利润问题中,利润是相对于成本(或进价)而言的,本题容易将方程列为2 250×-1 800=5%×2 250,致使解答错误.
12.如图,在长方形ABCD中,AB=DC=6 cm,
AD=BC=12 cm.有一动点P从点A出发以3 cm/s的速度沿A-B-C运动到点C时停止,动点Q从点C出发以2 cm/s的速度在线段CB上沿C-B方向向点B运动.P,Q两点同时出发,当一点停止时另一个点同时停止运动,设运动的时间是t s.当t= 时,能使=2 cm.
或或
13.(2025·重庆育才)如图1,在数轴上从左到右依次是A,B,C三个点,且A,B两点位于原点O的两侧,点A表示的数为-4,且OA=2OB,BC=3AB.
(1)求出数轴上点B,C所表示的数;
解:(1)∵点A表示的数为-4,∴OA=4.
∵OA=2OB,∴OB=OA=2,
∴点B表示的数为2,∴AB=2-(-4)=6,
∴BC=3AB=18,∴点C表示的数为2+18=20.
(2)如图2,动点P从点A出发,以4个单位长度/秒的速度沿AC方向运动,到达点C后,立即掉头以原速返回;与此同时,另一动点Q从点B出发,以1.5个单位长度/秒的速度沿BC方向运动,点Q到达点C后,点P,Q停止运动.在运动过程中,点Q的运动时间记为t秒.当PQ=4时,求出满足条件的t的值;
(2)由题意可知,点P从点A运动到点C所需时间为=6(秒),点Q从点B运动到点C所需时间为=12(秒).
分情况讨论:
①当点P在从点A向点C运动,即0∵PQ=4,∴=4,即2.5t-6=4或2.5t-6=-4,解得t=4或t=0.8;
②当点P在从点C向点A运动,即6∵PQ=4,∴=4,即42-5.5t=4或42-5.5t=-4,解得t=或t=.
综上,当t=4或0.8或或时,PQ=4.
(3)如图3,在(2)的条件下,有另一动点M与动点P,Q同时出发,从点C以3个单位长度/秒的速度沿CA方向运动,当点P停止运动时,点M停止运动.在运动过程中,点Q的运动时间记为t秒,当P,Q,M三点中有一点是另外两点的中点时,请直接写出满足条件的t的值.
(3)易知点M表示的数为20-3t.分情况讨论:当0①若点P为点Q,M中点,则2(-4+4t)=20-3t+2+1.5t,解得t=;
②若点Q为点P,M中点,则2(2+1.5t)=20-3t-4+4t,解得t=6;
③若点M为点P,Q中点,则2(20-3t)=2+1.5t-4+4t,解得t=;
当6②若点Q为点P,M中点,则2(2+1.5t)=20-3t+44-4t,解得t=6(舍去);
③若点M为点P,Q中点,则2(20-3t)=2+1.5t+44-4t,解得t=-(舍去).
综上,当t=或6或或时,点P,Q,M三点中有一点是另外两点的中点.(共12张PPT)
第2课时 移 项
1.一元一次方程2x+2=0的解是 ( )
A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2
2.下列解方程移项正确的是( )
A.由3x-2=2x-1,得3x+2x=1+2
B.由2x-1=3x-2,得2x-3x=1-2
C.由x-1=2x+2,得x-2x=2-1
D.由2x+1=3-x,得2x+x=3+1
B
B
3.在实数范围内定义新运算“☆”:a☆b=a+b-1,例如:2☆3=2+3-1=4.若2☆x=1,则x的值是( )
A.-1 B.1 C.0 D.2
4.(1)(2025·重庆南开)已知关于x的方程(m-1)-4=0是一元一次方程,则此方程的解为 ;
(2)若代数式2x与3+4x的值相等,则x= .
C
x=-2
-
5.完成下面解方程的过程,并在相应括号内指明该步骤的依据.
解方程:5x+2=7x-8.
解: ,得5x-7x=-8-2.
( )
合并同类项,得 .
系数化为1,得x= .( )
移项
等式的性质1
-2x=-10
5
等式的性质2
6.解下列方程:
(1)7-2x=3-4x;
(2)5x+8-6x=2x+3;
(3)-x=x-3;
(4)8x+7+2x=1+11x-6.
解:x=-2.
解:x=.
解:x=.
解:x=12.
7.根据如图所示的计算程序,若输出的值为y=-1,则输入的值x为 ( )
A.-5或1 B.-5或-1
C.1或-1 D.-5或1或-1
A
8.一个两位数十位上的数字与个位上的数字之和是6,给这个两位数加上18后,比原十位数字大56,则这个两位数是 ( )
A.42 B.24 C.33 D.51
9.(1)已知关于x的方程5x-2k=8与方程x+3=0的解互为相反数,则k的值为
;
(2)关于x的方程a-=0与方程2x+1=7的解相同,则a的值是 ;
(3)(2025·重庆外语校)如果方程-6x=-2与关于x的方程5x-2k=3的解互为倒数,那么k的值为 ;
(4)小马虎同学在解关于x的方程2a-2x=15+x时,误将-2x看成了+2x,解得x=3,请你帮他求出正确的解为 .
A
3.5
-
6
x=-1
10.如图中的数阵是由全体奇数排成的.
(1)图中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系
解:(1)图中平行四边形框内的九个数的和为
23+25+27+39+41+43+55+57+59=369,
369÷41=9,
即图中平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍.
(2)在图中任意作一类似(1)中的平行四边形框,这九个数之和还有这种规律吗 请说明理由.这九个数之和能等于2 025吗 2 026呢 若能,请写出这九个数中最小的一个数;若不能,请说明理由.
(2)有.理由如下:设数阵图中中间的数为x,则其余的8个数分别为x-18,x-16,
x-14,x-2,x+2,x+14,x+16,x+18,
这九个数的和为x-18+x-16+x-14+x-2+x+x+2+x+14+x+16+x+18=9x,
所以任意作一类似(1)中的平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍.
根据题意,得9x=2 025,解得x=225,符合题意,
所以这九个数之和能等于2 025,其中最小的一个数为225-18=207.
根据题意,得9x=2 026,
解得x=,不符合题意,
所以这九个数之和不能等于2 026.
11.幻方历史悠久,传说最早出现在夏禹时代的“洛书”.幻方是将数字填在正方形格子中,使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等.如图是一个3×3的幻方的部分,则a的值为 ( )
A.-2 B.-6 C.-4 D.-3
D
12.(1)用“▽”定义一种新运算:对于任意有理数x和y,x▽y=xy-2a(x+y)+2(a为常数).若2▽ (-3)的值为4,则(-1) ▽a= ;
(2)已知关于x的方程9x-3=kx+14有整数解,则满足条件的所有整数k的值之和为 .
-26
36
13.【数学文化】洛书(如图1),古称龟书,现已入选国家级非物质文化遗产名录.洛书对应的九宫格(如图2)填有1到9这九个正整数,满足任一行、列、对角线上三个数之和相等.洛书的填法古人是怎么找到的呢 在学习了方程相关知识后,小凯尝试探究其中的奥秘.
【第一步】设任一行、列、对角线上三个数之和为S,则每一行三个数的和均为S,而这9个数的和恰好为1到9这9个正整数之和,由此可得S= ;
【第二步】再设中间数为x,利用包含中间数x的行、列、对角线上的数与9个数的关系可列出方程,求解中间数x.
请你根据上述探究,列方程求出中间数x的值.
解:由计算知:1+2+3+…+9=45.
依题意可列方程4×15-3x=45,解得x=5.
故中间数x的值为5.
15(共14张PPT)
第5课时 去分母
1.解方程=1-时,去分母后形式正确的是( )
A.2(2x-1)=1-3(x+1) B.2(2x-1)=6-3(x+1)
C.3(2x-1)=6-2(x+1) D.2(2x-1)=6-3x+1
2.小高将方程-=1去分母后,直接得到15x-3-4x-2=6,他错在( )
A.分母的最小公倍数找错
B.去分母时,漏乘某项出错
C.去分母时,忽略分数线的括号作用
D.去分母时,各项所乘的数不同
B
C
3.若代数式4x-5与的值相等,则x的值是( )
A.1 B. C. D.2
4.方程x-=3+的解为 .
5.如果比的值多1,那么2-a的值为 .
B
x=5
-3
6.解下列方程:
(1)-=1;
(2)(2025·重庆巴蜀)-1=;
解:去分母,得3(2x+1)-2(x-1)=6,
去括号,得6x+3-2x+2=6,
移项、合并同类项,得4x=1,
系数化为1,得x=.
解:去分母,得3(5x-2)-12=4(2x-1),
去括号,得15x-6-12=8x-4,
移项、合并同类项,得7x=14,
系数化为1,得x=2.
(3)-x=3-;
解:去分母,得4(1-x)-12x=36-3(x+2),
去括号,得4-4x-12x=36-3x-6,
移项、合并同类项,得-13x=26,
系数化为1,得x=-2.
(4)-=(1-3x)-1;
解:去分母,得3(3-5x)-4(5+2x)=6(1-3x)-12,
去括号,得9-15x-20-8x=6-18x-12,
移项、合并同类项,得-5x=5,
系数化为1,得x=-1.
(5)(2025·重庆南开)-2x=.
解:原方程变形为-2x=.
去分母,得3(3x-10)-12x=2(2x-1),
去括号,得9x-30-12x=4x-2,
移项、合并同类项,得-7x=28,
系数化为1,得x=-4.
7.小明在解方程-1=去分母时,不小心变为x+2k-1=2x-3,得到的解为x=3,则原方程正确的解应为( )
A.x=-3 B.x=-2 C.x=2 D.x=-1
8.(1)(2025·重庆一中)如果关于x的一元一次方程+2=2a-x与3a-x=2a的解相同,那么a的值为 ;
(2)若关于x的方程(1-x)=k+1的解与方程(3x+2)=+(x-1)的解互为相
反数,则k的值为 ;
(3)(2025·重庆南开)已知关于x的方程=的解是关于y的方程=1-3m的解的5倍,则m= .
C
4
9.已知代数式与代数式.
(1)当x为何值时,两个代数式的值相等
(2)当x为何值时,代数式的值比代数式的值大2
解:(1)根据题意列式为=,解得x=,
即当x=时,两个代数式的值相等.
(2)根据题意列式为-=2,解得x=,
即当x=时,代数式的值比代数式的值大2.
10.某建筑工地计划租用甲、乙两辆车清理建筑垃圾,已知甲车单独运完需要15天,乙车单独运完需要30天.甲车先运了3天,然后甲、乙两车合作运完剩下的垃圾.
(1)甲、乙两车合作还需要多少天才能运完垃圾
解:(1)设甲、乙两车合作还需要x天才能运完垃圾,
依题意,得+=1,
解得x=8.
答:甲、乙两车合作还需要8天才能运完垃圾.
(2)已知甲车每天的租金比乙车多100元,运完垃圾后建筑工地共需支付租金3 950元,则甲、乙两车每天的租金分别为多少元
(2)设乙车每天的租金为y元,则甲车每天的租金为(y+100)元,
依题意,得(8+3)(y+100)+8y=3 950,
解得y=150,∴y+100=250.
答:甲车每天的租金为250元,乙车每天的租金为150元.
11.若关于x的方程=1-的解为整数,且关于y的多项式(a2-4)y2+4y+1为二次三项式,则所有满足条件的整数a的和为( )
A.-6 B.-4 C.-2 D.0
12.(1)若关于x的一元一次方程a+x=b(a≠0)的解为x=,则称该方程为“商解方程”,则“商解方程”4+x=2(5-m)中m的值为 ;
(2)(2025·重庆育才)关于x的一元一次方程mx-=(x-2)的解为整数,则整数m的所有可能的取值之和为 .
B
12
13.先阅读下列解题过程,然后解答问题.
解方程:=2.
当x+3≥0时,原方程可化为x+3=2,解得x=-1.
当x+3<0时,原方程可化为x+3=-2,解得x=-5.
∴原方程的解是x=-1或-5.
(1)解方程:-4=0;
解:(1)当3x-2≥0时,原方程可化为3x-2=4解得x=2.
当3x-2<0时,原方程可化为3x-2=-4.解得x=-.
∴原方程的解是x=2或-.
(2)探究:当b为何值时,方程=b,
①无解;②只有一个解;③有两个解;
(2)∵≥0,∴①当b<0时,方程无解;
②当b=0时,方程只有一个解;
③当b>0时,方程有两个解.
(3)解方程:-=1.
(3)去分母,得3x-4=6.
当x-1≥0,即x≥1时,原方程可化为
3x-4x+4=6.解得x=-2(不符合题意,舍去).
当x-1<0,即x<1时,原方程可化为
3x+4x-4=6.解得x=(不符合题意,舍去).
∴原方程无解.(共14张PPT)
第5课时 方案设计与分段计费问题
1.甲、乙商场做促销活动,甲商场打八折销售,乙商场每满100元减30元,某同学想买一件标价452元的物品,在哪家商场购买更合算 ( )
A.甲 B.乙
C.一样 D.无法确定
2.为了提倡节约用水,某市采用“阶梯水价”收费办法:每户用水不超过5吨,每吨水费x元,超过5吨,超过部分每吨加收2元.小张家今年3月份用水11吨共交水费56元,根据题意列出关于x的方程,正确的是( )
A.5x+6(x-2)=56 B.5x+6(x+2)=56
C.11(x+2)=56 D.11(x+2)-12=56
B
B
3.某城市按以下规定收取燃气费:每月所用燃气按整立方米数计算,若每月用燃气不超过60立方米,按每立方米0.8元收费;若超过60立方米,超过部分按每立方米1.2元收费.已知某用户某月的燃气费平均每立方米0.88元,则该用户需要交燃气费( )
A.60元 B.66元 C.75元 D.78元
4.某电影票价每张40元,购买50人以上的团体票,有两种优惠方案可供选择,方案一:全体人员可打8折;方案二:n人免票,其余人员打9折.七(1)班共有54人,无论选择哪种优惠方案购票观看,所付费用均相同,则优惠方案二中的免票人数n= .
B
6
5.(2025·成都七中)某地按如下规则收取每月天然气费:用气量如果不超过60立方米,每立方米按1.5元收取;如果超过60立方米,超过部分按每立方米2元收费.已知某用户12月的天然气费为110元,则12月份该用户用天然气 立方米.
70
6.为了防治流感病毒,某中学拟向厂家购买消毒剂和红外线测温枪,积极做好师生的测温和教室消毒工作.
(1)若按原价购买一瓶消毒剂和一支红外线测温枪共需230元,已知一支测温枪的价格比一瓶消毒剂的价格的6倍还贵20元,求每瓶消毒剂和每支测温枪的价格;
解:(1)设每瓶消毒剂m元,则每支测温枪(6m+20)元.
由题意,得m+(6m+20)=230,解得m=30.
∴6m+20=200.
答:每瓶消毒剂30元,每支测温枪200元.
(2)由于采购量大,厂家推出两种购买方案(如表):
购买 方案 红外线 测温枪 消毒剂 优惠
A 9折 8.5折 每购100瓶消毒
剂送1支测温枪
B 8折 8.5折 无
若该校有20个班级,计划每班配置1支红外线测温枪和20瓶消毒剂,则学校选择哪种购买方案的总费用更低
(2)方案A所需的总费用为
20×20×0.85×30+(20-4)×200×0.9=13 080(元),
方案B所需的总费用为
200×0.8×20+20×20×30×0.85=13 400(元).
∵13 080<13 400,∴方案A所需的总费用更低.
答:学校选择方案A所需的总费用更低.
8.为响应国家号召,引导节能低碳行为,鼓励居民节约用电,各省市先后出台了“阶梯用电”制度,下表是某市每月的电费标准:
阶梯 电量x(千瓦时) 电费(元/千瓦时)
第一档 0第二档 180第三档 x>350部分 0.8
已知小丽家2025年6月份缴纳电费216元,则小丽家该月用电量为 千瓦时.
380
9.某演出票价为110元/人,若购买团体票有如下优惠:
购票 人数 不超过50 人的部分 超过50人,但不超 过100人的部分 超过100
人的部分
优惠 方案 无优惠 每张票价优惠20% 每张票价
优惠50%
例如:200人作为一个团体购票,则需要支付票款50×110+50×110×(1-20%)+(200-100)×110×(1-50%)=15 400(元).
甲、乙两个班全体学生准备去观看该演出,如果两个班作为一个团体去购票,那么应付票款10 065元.请列方程解决下列问题:
解:(1)设两个班的总人数为x人,依题意,得
50×110+50×110×(1-20%)+(x-100)×110×(1-50%)=10 065,解得x=103.
答:两个班的总人数为103人.
(2)在(1)的条件下,若甲班人数多于50人,乙班人数不足50人,但至少25人,如果两个班单独购票,一共应付票款11 242元.求甲、乙两班分别有多少人.
(2)设甲班有y人,则乙班有(103-y)人.
依题意,得
50×110+(y-50)×110×(1-20%)+(103-y)×110=11 242,解得y=54,
则乙班的人数为103-54=49(人).
答:甲班有54人,乙班有49人.
10.(2025·重庆巴蜀)某网店从厂家第一次购进“小福蛇”夜灯和“吉祥蛇”公仔两种商品,两种商品每个进价都为50元,网店在出售两种商品时,“吉祥蛇”公仔每个的售价比“小福蛇”夜灯每个的售价多20元,小鲁在网店购买2个“小福蛇”夜灯和3个“吉祥蛇”公仔一共用了360元.
(1)“小福蛇”夜灯和“吉祥蛇”公仔每个的售价分别是多少元
解:(1)设“小福蛇”夜灯每个的售价是x元,则“吉祥蛇”公仔每个的售价是(x+20)元.
根据题意,得2x+3(x+20)=360,解得x=60,
∴x+20=80.
答:“小福蛇”夜灯每个的售价是60元,“吉祥蛇”公仔每个的售价是80元.
(2)年末厂家决定对滞销的“小福蛇”夜灯进行如下的优惠促销活动:
打折前一次性购物 总金额 优惠措施
不超过5 000元 不优惠
超过5 000元,但不超 过8 000元 按总售价打九折
超过8 000元 其中8 000元部分打八
折优惠,超过8 000元
部分打七折优惠
按上述优惠条件,网店在厂家第二次购买一批“小福蛇”夜灯,实付款为6 930元,同时按第一次的进价又购买了一批“吉祥蛇”公仔,购买“吉祥蛇”公仔的数量是购买“小福蛇”夜灯数量的两倍.网店
对第二次购进的两种商品进行促销活动,“小福蛇”夜灯的售价在第一次价格的基础上打九折销售,“吉祥蛇”公仔的售价在第一次价格的基础上降价m元销售,最后清点库存时发现“小福蛇”夜灯全部售完,“吉祥蛇”公仔还有20件没有卖掉.若第二批两种商品共获利6 146元,则m的值为多少
(2)设网店在厂家第二次购买了y个“小福蛇”夜灯.
根据题意,得0.9×50y=6 930或8 000×0.8+0.7(50y-8 000)=6 930,
解得y=154或y≈175.14(不符合题意,舍去),
∴网店在厂家第二次购买了154个“小福蛇”夜灯.
∵第二批两种商品共获利6 146元,
∴60×0.9×154+×(154×2-20)-6 930-50×154×2=6 146,
解得m=3.
答:m的值为3.
11.A,B两店以同样价格出售一种商品,并推出不同的优惠方案:在A店累计购物超过100元后,超出100元的部分打9折;在B店累计购物超过50元后,超出50元的部分打9.5折,则顾客到两店购物花费一样时为( )
A.累计购物不超过50元
B.累计购物超过50元而不超过100元
C.累计购物超过100元
D.累计购物不超过50元或刚好为150元
D
12.书店举行购书优惠活动:①一次性购书不超过100元,不享受打折优惠;②一次性购书超过100元但不超过200元,一律按原价打九折;③一次性购书超过200元,一律按原价打七折.小丽在这次活动中,两次购书总共付款229.4元,第二次购书原价是第一次购书原价的3倍,那么小丽这两次购书原价的总和是 元.
248或296 (共11张PPT)
第3课时 去括号
1.方程2(y+1)=y-2的解是 ( )
A.y=0 B.y=2 C.y=-4 D.y=-2
2.解方程(3x+2)-2(2x-1)=1,去括号的结果正确的是( )
A.3x+2-2x+1=1 B.3x+2-4x+1=1
C.3x+2-4x-2=1 D.3x+2-4x+2=1
3.小伟同学在做数学作业时,不小心将方程3(x+ )=x-1中的一个常数污染了,他询问数学李老师,李老师告诉他方程的解是x=-2,则这个被污染的常数“ ”是 ( )
A.1 B. C.3 D.-3
C
D
A
4.(1)如果5(x-2)与2(x-3)互为相反数,那么x的值是 ;
(2)当x= 时,式子3(x-2)和4(x+3)-4的值相等.
5.(1)若x=-3是方程4(x+a)=8的解,则a的值为 ;
(2)若方程2x+1=-1的解也是关于x的方程1-2(x-a)=2的解,则a的值为
.
-14
5
-
6.解下列方程:
(1)2(x+1)=-3x+1;
(2)(2025·重庆南开)-x+5=3(x-2)+1;
(3)x-3(x-2)=6x-1;
解:x=-.
解:x=.
解:x=.
(4)(2025·重庆育才)3x-7(x-1)=3-2(x+3);
(5)=1;
(6)x-=.
解:x=5.
解:x=.
解:x=0.
7.解方程3(x-1)+x=2,步骤如下:①去括号,得3x-1+x=2x+1;②移项,得3x-2x+x=1+1;③合并同类项,得2x=2;④系数化为1,得x=1.其中做错的一步是( )
A.① B.② C.③ D.④
8.若P=2a-2,Q=2a+3,且3P-Q=1,则a的值是 ( )
A.0.4 B.2.5 C.-0.4 D.-2.5
9.有一个两位数,个位上的数比十位上的数大5,如果把这两个数的位置对换,那么所得的新数与原数的和是143,则这个两位数为 .
A
B
49
10.(2025·成都石室)2024年,成都全市新增注册登记新能源汽车10万辆以上,新增充电桩不低于4万个.某充电桩的收费标准如下:充电时长0~4小时(含4小时)每小时收费3元,充电时长超过4小时,超过部分每小时收费2元.
(1)若小石在该充电桩充电2.5小时,需支付费用多少元
(2)若小石在该充电桩充电x(x>4)小时,需支付费用 元(用含x的代数式表示);
解:(1)2.5×3=7.5(元).
答:需支付费用7.5元.
(2x+4)
(3)小石每周在该充电桩充电一次,某月小石第一周和第二周在该充电桩连续充电共10小时(第一周充电时长超过第二周),共支付充电费用27元,则小石第一周和第二周各充电多少小时
(3)设小石第一周充电x小时,则第二周充电(10-x)小时.
∵第一周充电时长超过第二周,
∴第一周充电时长大于5小时,第二周充电时长小于5小时,即x>5.
分情况讨论:
①当第二周充电时长小于或等于4小时时,
有2x+4+3(10-x)=27,解得x=7,则10-x=3;
②当第二周充电时长大于4小时且小于5小时时,
有2x+4+2(10-x)+4=27,此方程无解.
答:小石第一周和第二周各充电7小时和3小时.
11.成语“朝三暮四”讲述了一位老翁喂养猴子的故事.老翁为了限定猴子的每天食量分早晚两次喂食,早上的粮食是晚上的.猴子们对这个安排很不满意,于是老翁进行了调整,从晚上的粮食中取2千克放在早上投食,这样早上的粮食是晚上的,猴子们对这样的安排非常满意.则老翁给猴子限定的每天食量是( )
A.14千克 B.10千克 C.8千克 D.6千克
A
12.(1)定义一种运算:p△q=p-q-pq+5.例如:3△4=3-4-3×4+5=-8.若7△=-4,则x的值为 ;
(2)已知关于x的方程3x-(ax-2)=6有正整数解,则整数a的所有可能的取值之和为 .
4或0
2
13.(2025·重庆西附)我们规定:若关于x的一元一次方程mx=n的解为x=n-m,则称该方程是“至诚方程”.例如:方程2x=4的解为x=2,而4-2=2,则该方程是“至诚方程”.请根据上述规定解答下列问题:
(1)若关于x的一元一次方程3x=t是“至诚方程”,求t的值;
(2)若关于x的一元一次方程5x=ab-a是“至诚方程”,求代数式10-2ab+2a的值.
解:(1)∵一元一次方程3x=t是“至诚方程”,∴x=t-3,∴3(t-3)=t,解得t=.
(2)∵一元一次方程5x=ab-a是“至诚方程”,
∴x=ab-a-5,∴5(ab-a-5)=ab-a.
整理,得ab-a=,∴10-2ab+2a=10-2(ab-a)=10-2×=-.(共13张PPT)
第4课时 行程问题
1.某轮船在两个码头之间航行,顺水航行需4 h,逆水航行需6 h,水流速度是2 km/h,求两个码头之间距离x的方程是 ( )
A.= B.-2=+2 C.-=2 D.=-2
2.元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中,记载了这样一道题:“良马日行二百四十里,驽马日行一百五十里,驽马先行一十二日,问良马几何日追及之 ”其大意是:快马每天行240里,慢马每天行150里,慢马先行12天,问快马几天可追上慢马 则快马追上慢马的天数是 ( )
A.5天 B.10天 C.15天 D.20天
B
D
3.一列长200 m的火车,以每秒20 m的速度通过长800 m的隧道,从火车进入隧道口算起,这列火车完全通过隧道所需的时间是 ( )
A.30 s B.40 s C.50 s D.60 s
4.(2025·重庆外语校)一学生队伍以6千米/时的速度从学校出发步行前往某地参加劳动.出发半小时后,学校有紧急通知要传给队长,立即派了一名通讯员骑自行车以16千米/时的速度原路去追,该通讯员要用 小时才能追上学生队伍.
5.艳艳和君君约定从A地沿相同路线骑行去B地,已知艳艳的速度是君君速度的1.2倍.若君君先骑行2千米,艳艳才从A地出发,艳艳出发半小时后恰好追上君君,则君君每小时骑行 千米.
C
0.3
20
6.一辆慢车从甲地出发匀速开往乙地,2小时后,一辆快车也从甲地沿与慢车相同的道路匀速开往乙地,快车每小时比慢车多走40千米.若快车出发后3小时与慢车同时到达乙地,求甲、乙两地相距多少千米
解:设慢车的速度是x千米/时,则快车的速度是(x+40)千米/时.
根据题意,得3(x+40)=(3+2)x,
解得x=60,
∴(3+2)x=5×60=300.
答:甲、乙两地相距300千米.
7.一个自行车队进行训练,训练时所有队员都以40 km/h的速度前进,突然6号队员以50 km/h的速度独自行进,行进15 km后掉转车头,仍以50 km/h的速度往回骑,直到与其他队员会合.设6号队员从离队开始到与队员重新会合经过了x h,则x为 ( )
A.1.5 B.0.5 C. D.
C
8.某桥长1 750 m,现有一列匀速行驶的火车从桥上通过,测得火车从上桥到完全过桥共用了80 s,而整个火车在桥上的时间是60 s,则火车的长度为 m,速度为 m/s.
9.甲、乙二人都以不变的速度在环形跑道上跑步,相向而行,每隔24秒相遇一次,已知甲跑完一圈用40秒;如果他们同向而行,每隔 秒相遇一次.
250
25
120
10.【综合与实践】如图,这是某市某校校园内的环形跑道,跑道是由线段AC,BD及半圆m,n组成的,已知跑道的周长为400米,半圆m,n的长都为88米,AC=BD,E和F分别是线段AC和BD的中点(把线段分为相等的两条线段的点叫中点).请用方程的相关知识解决下列问题.
(1)求线段AE的长;
解:(1)设AE长为a米,
因为E是线段AC的中点,AC=BD,
所以4a+2×88=400,解得a=56.
答:线段AE的长为56米.
(2)甲、乙两人在如图所示的环形跑道上练习跑步,已知甲、乙两人分别从点E,F两处同时沿着箭头方向出发,甲的速度是6米/秒,乙的速度是4米/秒,问:
①多长时间后,两人首次相遇
(2)①设x秒后,两人首次相遇,
根据题意,得(6+4)x=×400,
解得x=20.
答:20秒后,两人首次相遇.
②在首次相遇后且在第二次相遇前,起跑多少秒后两人在跑道上相距100米
②设在首次相遇后,第二次相遇前,起跑y秒后两人在跑道上相距100米,
根据题意,得(6+4)y-×400=100
或(6+4)y-×400=400-100,
解得y=30或y=50.
答:在首次相遇后且在第二次相遇前,起跑30秒或50秒后两人在跑道上相距100米.
11.(2025·重庆八中)A,B两地相距900 km,一列快车以200 km/h的速度从A地匀速驶往B地,到达B地后立刻原路返回A地,一列慢车以75 km/h的速度从B地匀速驶往A地.两车同时出发,截止到它们都到达终点时,两车恰好相距200 km的次数是 ( )
A.5次 B.4次 C.3次 D.2次
解析:设两车相距200 km时,行驶的时间为t h.①当快车开往B地,慢车开往A地,相遇前相距200 km时,有200t+75t+200=900,解得t=;②当快车开往B地,慢车开往A地,相遇后相距200 km时,有200t+75t-200=900,解得t=4;③快车从A地到B地全程需要=4.5(h),此时慢车从B地到A地行驶4.5×75=337.5(km).∵337.5>200,∴快车又从B地返回A地追慢车,追上前相距200 km时,有75t=200+200(t-4.5),解得t=;④快车追上慢车后并超过慢车相距200 km时,有200(t-4.5)=75t+200,解得t=;⑤快车返回A地所需时间是9 h,此刻慢车行驶了9×75=675(km),距终点还需行驶225 km,有75t=900-200,解得t=.综上所述,两车恰好相距200 km的次数为5次.故选A.
A
12.在一条河流中有甲、乙两艘船,现同时从A地顺流而下,乙船到B地时接到通知要立即按原路返回到C地执行任务,停留1 h后,乙船继续顺流行驶.期间,甲船继续顺流而行.当乙船刚好返回C地时,甲船接到命令也立即按照原路返回与乙船汇合.已知甲、乙两船在静水中的速度都是7.5 km/h,水流速度是2.5 km/h,A,C两地间的距离为10 km,乙船由A地经B地再到C地共用4 h.当甲、乙两船迎面相遇时,甲船距离B地 km.(通知时间与甲、乙两船掉头时间忽略不计)
提示:分点C在AB上和在BA延长线上2种情况讨论.
或
13.已知数轴上的M,N两点分别对应的数字为m,n,且m,n满足+(n-12)2=0.若点P是数轴上一动点,以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,设运动时间为t(t>0)秒.
(1)填空:m= ,n= ,点M,N的中点在数轴上对应的数是 ;
(2)若动点P从点M出发,同时动点Q从点N出发,且以每秒1个单位长度的速度向负方向运动,若点P,Q,N中有一点是另外两点构成线段的中点,则此时P,Q,N三点就形成“美丽组”,点P运动多少秒时,P,Q,N三点能形成“美丽组”
解:(2)由题意可知,点P表示的数为-4+2t,点Q表示的数为12-t.
分情况讨论:①当点Q为PN的中点时,有2(12-t)=-4+2t+12,解得t=4;
②当点P为QN的中点时,有2(-4+2t)=12-t+12,解得t=6.4;
③当点N为PQ的中点时,有2×12=12-t+(-4+2t),解得t=16.
综上,点P运动4秒或6.4秒或16秒时,P,Q,N三点能形成“美丽组”.
-4
12
4
(3)若点P从点M出发2秒后,点Q从点N出发,且以每秒1个单位长度的速度向负方向运动,点P运动到点M,N的中点后立即返回以同样的速度再沿数轴向左运动,当PQ=8时,求t的值.
(3)当t=2时,点P位于原点处,此时点Q在点N处.
①当点P没有到达点M,N的中点时,设再经过x秒,PQ=8,
则有2x+x+8=12,解得x=,此时t=2+x=;
②当点P到达点M,N的中点后,即t=4时,此时点P表示的数为4,点Q表示的数为10.
设再经过y秒,PQ=8,则有10-y-(4-2y)=8,解得y=2,此时t=4+y=6.
当点P继续以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动,而点Q以每秒1个单位长度的速度向负方向运动,则PQ>8.
综上,当PQ=8时,t的值为或6.(共12张PPT)
第1课时 产品配套问题
1.某班分两组去两处植树,第一组22人,第二组26人.现第一组在植树中遇到困难,需第二组支援.问从第二组调多少人去第一组才能使第一组的人数是第二组的2倍 设抽调x人,则可列方程( )
A.22+x=2×26 B.22+x=2(26-x)
C.2(22+x)=26-x D.22=2(26-x)
B
2.某校社团课28名学生制作长方体礼品盒,每人每小时可做60个侧面或90个底面,一个礼品盒由一个侧面和两个底面组成,为了使每小时制作的成品刚好配套,应该分配多少名学生做侧面,多少名学生做底面 设分配x名学生做侧面,则可列方程为( )
A.60x=2×90(28-x) B.60x=90(28-x)
C.90x=60(28-x) D.2×60x=90(28-x)
D
3.20名工人生产螺栓和螺母,已知一名工人一天生产3个螺栓或4个螺母,且一个螺栓配2个螺母.若生产的螺栓和螺母刚好配套,则用于生产螺栓的工人有( )
A.15人 B.12人 C.8人 D.10人
C
4.某中学举办运动会,学校选派志愿者负责运动会的秩序维持和联络服务工作,刚开始负责秩序维持工作的有35人,负责联络服务工作的有24人.因工作需要,又调30人去支援这两处工作,使得负责秩序维持工作的人数比负责联络服务工作人数的2倍少1人.若设调往负责联络服务工作的有x人,根据题意可列方程为 .
5.(2025·重庆一中)小面是重庆的特色美食.某速食小面加工厂有50名工人生产速食小面料包.已知每袋速食小面里有1个汤料包和3个配料包,每名工人每天可以生产400个汤料包或者800个配料包,为使每天生产的汤料包和配料包刚好配套,则需要 名工人生产汤料包.
2(24+x)-1=35+30-x
20
6.(2025·重庆八中)已知某茶具生产车间共有22名工人,其中生产茶杯的工人数量比生产茶壶的工人数量的2倍还多1人.
(1)该车间生产茶壶和茶杯的工人各有多少人
解:(1)设该车间生产茶壶的工人有x人,则生产茶杯的工人有(2x+1)人.
由题意,得x+(2x+1)=22,解得x=7,
∴2x+1=15.
答:该车间生产茶壶的工人有7人,生产茶杯的工人有15人.
(2)已知每人每天可生产30个茶壶或者100只茶杯,一个茶壶与4只茶杯配套.为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套,需要调几名工人去生产茶壶
(2)设需要调y名工人去生产茶壶,则安排(7+y)人生产茶壶,(15-y)人生产茶杯.
由题意,得4×30(7+y)=100(15-y),
解得y=3.
答:需要调3名工人去生产茶壶.
7.某工厂有17名工人生产A,B两种零件,每人每天可以生产A零件600个或B零件800个,2个A零件需要配3个B零件.为使每天生产的两种零件刚好配套,应安排生产A零件的工人( )
A.6人 B.8人 C.9人 D.10人
8.一张桌子由一张桌面和四条桌腿拼装而成,若做一张桌面需要木材0.03 m3,做一条桌腿需要木材0.002 m3.现在做一批桌子,恰好用去木材3.8 m3,共做了 张桌子.
100
B
9.在手工选修课上,罗老师组织班级50名学生用足够多的硬纸板制作圆柱形茶叶筒.已知每名学生每节课能够剪筒身25个或剪筒底75个,要求一个筒身配两个筒底,为了使同学们每节课剪出的筒身与筒底刚好配套,应该分配 名学生剪筒身.
30
10.(2025·重庆外语校)为迎接新春蛇年的到来,重庆某工厂决定打造新春限定的2025蛇年布鲁克玩具盲盒系列.该工厂将这批新春限定盲盒分为A,B两种包装,工厂共有800名工人.请用一元一次方程解答下列问题:
(1)若该工厂生产A种盲盒的人数比生产B种盲盒的人数的2倍少100人,求该工厂生产A种盲盒和B种盲盒的工人人数;
解:(1)设该工厂生产B种盲盒的工人有x人,则生产A种盲盒的工人有(2x-100)人.
由题意,得x+(2x-100)=800,解得x=300,
∴2x-100=500.
答:该工厂生产A种盲盒的工人有500人,生产B种盲盒的工人有300人.
(2)为了促销,工厂按商家要求生产新春限定盲盒大礼包,该大礼包由2个A种盲盒和3个B种盲盒组成.已知每个工人平均每天可以生产20个A种盲盒或10个B种盲盒,且每天只能生产一种包装的盲盒.该工厂应该安排多少名工人生产A种盲盒,多少名工人生产B种盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套
(2)设该工厂安排y名工人生产A种盲盒,(800-y)名工人生产B种盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套.
由题意,得=,解得y=200,
∴800-y=600.
答:该工厂应该安排200名工人生产A种盲盒,600名工人生产B种盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套.
11.某市对城区主干道进行绿化,计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树,要求路的两端各栽一棵,并且每两棵树之间的间隔相等.如果每隔5 m栽1棵,那么树苗缺21棵;如果每隔6 m栽1棵,那么树苗正好用完.设原有树苗x棵,则根据题意列出方程正确的是( )
A.5(x+21-1)=6(x-1) B.5(x+21)=6(x-1)
C.5(x+21-1)=6x D.5(x+21)=6x
12.某社团有男女学生若干人,女生走了15人,则余下的男女比例为2∶1,在此之后,男生又走了45人,于是男女比例变为1∶5,则原来男生有 人.
A
50
13.某工厂现有15 m3木料,准备制作各种尺寸的圆桌和方桌,如果用部分木料制作桌面,则其余木料制作桌腿.
(1)已知一张圆桌由一个桌面和一条桌腿组成,如果1 m3木料可制作40个桌面或制作20条桌腿.要使制作出的桌面、桌腿恰好配套,则制作桌面的木料为多少立方米
解:(1)设用x m3木料制作桌面,则用(15-x)m3木料制作桌腿恰好配套.根据题意,得
40x=20(15-x),解得x=5.
答:制作桌面的木料为5 m3.
(2)已知一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成.根据所给条件,解答下列问题:
①如果1 m3木料可制作50个桌面或制作300条桌腿,应怎样计划用料才能使做好的桌面和桌腿恰好配套
②如果3 m3木料可制作20个桌面或制作320条桌腿,应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子
(2)①设用y m3木料制作桌面,用(15-y)m3木料制作桌腿恰好配套.根据题意,得
4×50y=300(15-y),解得y=9,则15-y=6.
答:用9 m3木料制作桌面,用6 m3木料制作桌腿恰好配套.
②设用z m3木料制作桌面,则用(15-z)m3木料制作桌腿能制作尽可能多的桌子.根据题意,得
4×20×=320×,解得z=12,
则15-z=3.
答:用12 m3木料制作桌面,用3 m3木料制作桌腿能制作尽可能多的桌子.(共31张PPT)
《一元一次方程》
章末考点复习与小结
1.下列式子:①9x+2;②x-1<2;③1-2xy=3;④3x=0;⑤1-5y=3;⑥x-x=(x-3)中,一元一次方程共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.若关于x的方程-6=0是一元一次方程,则m的值为 .
C
-1
3.(1)(2025·遂宁)已知x=2是方程3a-2x=2的解,则a= ;
(2)(2025·成都石室)若x=-1是关于x的方程2x-kx+1=5x-2的解,则k的值为 ;
(3)若x=3是方程a-bx=4的解,则-6b+2a+2 025的值为 .
4.小红在解关于x的方程-3x+1=3a-2时,误将方程中的“-3”看成了“3”,求得方程的解为x=1,则原方程的解为 .
2
-6
2 033
x=-1
5.下列是根据等式的性质进行变形,正确的是( )
A.若mx=my,则x=y
B.若=,则x=y
C.若x=y,则x-1=y+1
D.若m=n,则2m=3n
B
6.如图,天平托盘中每个小球的质量用x g表示,砝码每个10 g,那么x= .
20
7.下列解方程的过程中正确的是( )
A.方程3x=x+1,移项,得3x-x=-1
B.方程3-2=0,去括号,得3-2x-1=0
C.方程-x=3,系数化为1,得x=-2
D.方程+2=,去分母,得2+2=3
C
8.(2025·重庆南开)对于整数a,b定义一种新运算“ ”:当a+b为偶数时,规定f f=2+;当a+b为奇数时,规定f f=2-.则下列结论中:①当a=-2,b=7时,则f f=1;②已知A=ax2-x+1,B=3x2+bx+4,且3A+B的值与x的取值无关,则f f=0;③已知关于x的方程2x+1=-3的解是正整数,满足条件的最小的整数m记为m1,最大的整数m记为m2,则f f=25;④若f f=9,则关于x的方程x-1=x无解.正确的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
C
9.(1)若关于x的方程x+2a=0的解与方程x-1=2x-4的解相同,则a= ;
(2)(2025·重庆巴蜀)若关于x的方程-=1的解是整数,则所有满足条件的正整数k的值之和为 ;
(3)(2025·成都外语校)定义:若关于x的方程ax+b=0的解与关于y的方程cy+d=0的解满足=m(m为正数),则称方程ax+b=0与方程cy+d=0是“m差解方程”.若关于x的方程x-=n-1与关于y的方程2-3=m是“m差解方程”,则n的值
为 .
-
19
-或-
10.解下列方程:
(1)=;
(2)2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x);
解:去分母,得2x+3=2(7-x),
去括号,得2x+3=14-2x,
移项、合并同类项,得4x=11,
系数化为1,得x=.
解:去括号,得2x-4-12x+3=9-9x,
移项、合并同类项,得-x=10,
系数化为1,得x=-10.
(3)-=-1;
(4)-=x.
解:去分母,
得4(2x-1)-2(10x+1)=3(2x+1)-12,
去括号,得8x-4-20x-2=6x+3-12,
移项、合并同类项,得-18x=-3,
系数化为1,得x=.
解:原方程可化为-=x.
去分母,得3(3x-5)-2(12-5x)=6x,
去括号,得9x-15-24+10x=6x,
移项、合并同类项,得13x=39,
系数化为1,得x=3.
11.已知y=3是方程6+(m-y)=2y的解,求关于x的方程2m(x-1)=(m+1)(3x-4)的解.
解:将y=3代入方程6+(m-y)=2y,得
6+(m-3)=6,解得m=3.
将m=3代入2m(x-1)=(m+1)(3x-4),得
6(x-1)=4(3x-4),解得x=.
12.阅读材料,完成问题.
我们规定求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫作除方,如2÷2÷2等.类比有理数的乘方,我们把2÷2÷2记作23,读作“2的下3次方”,显然23=.一般地,把n个a(a≠0)相除记作an,读作“a的下n次方”.
(1)计算:43= ;= ;
(2)计算:÷23-×(-2)= ;
4
(3)若关于x的方程×-=x+kx无解,求k的值.
解:(3)由题意,得×-=x-=x+kx,
即9x-6=10x+12kx,所以(12k+1)x=-6.
因为关于x的方程×-=x+kx无解,
所以12k+1=0,所以k=-.
13.某种商品的进价为80元,出售时的标价为110元.为了尽快减少库存,商店准备打折出售,但要使利润率为10%,则该商品应打( )
A.6折 B.7折 C.8折 D.9折
14.甲、乙两人分别从相距2 000米的A,B两地步行出发相向而行,两人速度保持不变.若两人同时出发,则他们10分钟之后相遇;若乙比甲先出发4分钟,则甲出发8分钟之后,甲、乙两人相遇,则甲的速度为( )
A.70米/分钟 B.80米/分钟
C.90米/分钟 D.100米/分钟
C
D
15.如图是2025年1月月历,在此月历表上用一个“工”字圈出7个数,则这7个数的和不可能是( )
A.80 B.98 C.140 D.161
A
17.某车间有60个工人,生产甲、乙两种零件,每人每天平均能生产甲种零件24个或乙种零件12个.已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套,则应分配 人生产甲种零件, 人生产乙种零件,才能使每天生产的这两种零件刚好配套.
15
45
16.一个两位数,个位上的数字比十位上的数字大4,而且这个两位数比它的各数位上的数字之和的3倍大2,则这个两位数是 .
26
18.如图,学校礼堂舞台正上方有一个长为1 800cm的长方形电子显示屏,每次搞活动都会在电子显示屏播出主题活动的标题,由于各次活动的主题不同,标题字数也就不等,为了制作及显示时方便美观,负责播出的工作人员对有关数据作出了如下规定:边空宽∶字宽∶字距=3∶4∶1.若某次主题活动的标题字数为17个字,则字距是多少
解:设字距为xcm,则字宽为4xcm,边空宽为3xcm.由题意,得
17×4x+2×3x+(17-1)x=1 800,
解得x=20.
答:字距为20cm.
19.(2025·重庆育才)“丰收1号”油菜籽平均每公顷的产量为2 400千克,含油率为40%.“丰收2号”油菜籽比“丰收1号”油菜籽平均每公顷的产量提高了300千克,含油率提高了10个百分点.某村去年种植“丰收1号”油菜,今年改种“丰收2号”油菜,虽然种植面积比去年减少了3公顷,但是今年所产油菜籽的总产油量比去年所产油菜籽的总产油量多3 750千克.
(1)每公顷“丰收2号”油菜籽的产油量与多少公顷“丰收1号”油菜籽的产油量一样多
解:(1)设每公顷“丰收2号”油菜籽的产油量与m公顷“丰收1号”油菜籽的产油量一样多.由题意,得
2 400×40%m=×,
解得x=1.406 25.
答:每公顷“丰收2号”油菜籽的产油量与1.406 25公顷“丰收1号”油菜籽的产油量一样多.
(2)这个村去年和今年油菜的种植面积各是多少公顷
(2)设这个村去年种植油菜的面积是x公顷,则今年种植油菜的面积是(x-3)公顷.
由题意,得××(x-3)-2 400x×40%=3 750,
解得x=20,则x-3=17.
答:这个村去年种植油菜20公顷,今年种植油菜17公顷.
20.(2025·重庆外语校)某一商场经销的A,B两种商品,A种商品每件售价60元,利润率为50%;B种商品每件进价50元,售价80元.
(1)求A种商品每件的进价;
解:(1)设A种商品每件的进价为x元.由题意,得
60-x=50%x,解得x=40.
答:A种商品每件的进价为40元.
(2)若该商场用2 750元购进A,B两种商品共60件,则购进A种商品多少件
(2)设购进A种商品m件,则购进B种商品件.
由题意,得40m+50=2 750,
解得m=25.
答:购进A种商品25件.
(3)在“元旦”期间,该商场对A,B两种商品进行如下的优惠促销活动:
打折前一次性购 物总金额 优惠措施
少于等于450元 不优惠
超过450元,但不超过600元 按总售价打九折
超过600元 其中600元部分打八折优惠,超过600元的部分打七折优惠
按上述优惠条件,若小华一次性购买A,B两种商品实际付款522元,求小华所购买的这些商品在没有打折时的总金额.
(3)设小华打折前应付款为y元,根据小华一次性购买A,B两种商品实际付款522元,说明小华一定享受了优惠.
①打折前购物金额超过450元,但不超过600元.
由题意,得0.9y=522,解得y=580;
②打折前购物金额超过600元.
600×0.8+×0.7=522,解得y=660.
综上,小华所购买的这些商品在没有打折时的总金额为580元或660元.
21.如图,在数轴上,点O为原点,点A对应的数是-2,点B对应的数是14,点C是AB的中点,AB代表A,B两点之间的距离,P为数轴上任一点.
(1)填空:AB= ,点C对应的数为 ;
(2)若PA+PB=20,求点P对应的数;
解:(2)当点P在点A的左侧时,PA+PB=PA+PA+AB=2PA+16=20,
∴PA=2,∴点P对应的数为-2-2=-4;
当点P在点B的右侧时,PA+PB=PA+PA-AB=2PA-16=20,
∴PA=18,∴点P对应的数为-2+18=16.
综上,点P对应的数为-4或16.
16
6
(3)点P,Q,M分别从点A,O,B同时出发,沿数轴负方向匀速运动,点P的运动速度是每秒1个单位长度,点Q的运动速度是每秒3个单位长度,点M的运动速度是每秒5个单位长度,设运动时间为t秒.
①用含t的代数式表示点P,Q,M在数轴上对应的数;
(3)①由题意,得点P对应的数为-2-t,点Q对应的数为-3t,点M对应的数为14-5t.
②当点M到P,Q两点的距离相等时,求点M对应的数是多少
②由题意可知,MP=MQ,
∴=,
即=,
∴16-4t=14-2t或16-4t=2t-14.
解得t=1或t=5.
当t=1时,点M对应的数是14-5×1=9;
当t=5时,点M对应的数是14-5×5=-11.
综上所述,点M对应的数是-11或9.
22.(2025·重庆八中)幻方起源于中国,它是一个由数字组成的方阵,其中每个数字只出现一次,且每行、每列和对角线上的数字之和都相等.如图所示的幻方中,x= .
-2
23.(2025·成都石室)同学们都熟悉“幻方”游戏,现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏,将-6,8,-10,12,-14,16,-18,20分别填入图中的圆圈内,使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等,则a+b的值为 .
-28或10
24.材料阅读:
传说夏禹治水时,在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟,背上有一个很奇怪的图案,这个图案被后人称为“洛书”(如图1所示),是世界上最早的矩阵,又称“幻方”.三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”.其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等的,我们称为“和幻方”;其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等的,我们称为“积幻方”.
(1)如图2是一个“和幻方”,则x+y+z= ;
(2)如图3是一个“积幻方”,则mn= ;
10
16
(3)由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方,在如图4所示的“幻方”中,每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等.若m-n=3,求b-a+c-d的值.
解:(3)根据题意,得a=n+y,b=m+y,c=m+x,d=x+n,
∴b-a+c-d=m+y-(n+y)+m+x-(x+n)=2m-2n=2(m-n)=6.
