(共12张PPT)
3.2 代数式的值
1.代数式的值
一般地,用 代替代数式中的 ,按照代数式中的 计算得出的结果,叫作代数式的值.当字母取不同的数值时,代数式的值一般也不同.
2.求代数式的值的一般步骤
(1)“代入”:用具体的数值代替代数式中的字母;
(2)“计算”:按照代数式中给出的运算关系计算出结果.
注意:①代入数值时要“对号入座”,避免带错字母;
②有时代入后要恢复省略的括号,比如负数、分数的平方、立方运算.
3.“数值转换机”求值
按照设定好的运算程序,先转化为代数式,再代值计算.
数值
字母
运算关系
根据下列a,b的值,分别求代数式ab-b3的值.
(1)a=4,b=1; (2)a=5,b=-3.
解:(1)当a=4,b=1时,
ab-b3=4×1-13=3.
(2)当a=5,b=-3时,
ab-b3=5×(-3)-(-3)3=-15+27=12.
程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》.如图所示的程序框图,若开始输入m的值为-2,则最后输出的结果y是 .
8
1.若(x-3)2+=0,则代数式yx-的值是 .
2.(1)按如图所示的程序计算,若开始输入x的值为-2,则最后输出的结果是 ;
-7
64
(2)(2025·成都树德)观察如图所示的程序,若输出的结果为3,则输入的x值为 .
2或-1
(1)若3x+2y-3=0,则6x+4y+7= ;若2a-b=2,则6+2b-4a= ;
(2)当x=1时,ax3+bx+3=5,则当x=-2时,代数式ax2-2bx-2的值为 .
13
2
6
3.(2025·重庆外语校)已知3x-1与7-2y的值互为相反数,则6y-9x+140=
( )
A.116 B.122 C.158 D.164
4.(1)若x-3y=3,则5+2x-6y= ,y-x+= ;
(2)当x=2时,代数式ax3+bx+1的值为6,那么当x=-2时,代数式ax3+bx+1的值是 .
C
11
-
-4
某书店卖课本和笔记本,课本每本定价20元,笔记本每本定价2元.该书店开展促销活动,向客户提供两种优惠方案:①买一本课本送一本笔记本;②课本和笔记本都按定价的95%付款.现某班要到该书店购买课本50本,笔记本x本(x>50).
(1)若该班按方案①购买,需付 元;若该班按方案②购买,需付 元;
(2)若x=300,通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算.
[1 000+2(x-50)]
(950+1.9x)
解:(2)当x=300时,
按方案①购买需付:1 000+2(x-50)=1 000+2×(300-50)=1 500(元);
按方案②购买需付:950+1.9x=950+1.9×300=1 520(元).
因为1 500<1 520,所以当x=300时,按方案①购买较为合算.
如图,某公园有一块长方形空地,园区管理人员计划在这块空地上的三个相同的四分之一圆形(阴影)区域种植草皮,两个相同的小正方形区域种植花卉,剩余空地铺上五彩石,相应的长度如图所示.
(1)请用含x,y的代数式表示出铺五彩石的空地的面积;(结果保留π)
(2)若每平方米的五彩石的价格是150元,当x=10,y=50时,求购买五彩石的总费用.(π取3)
解:(1)由题意可知,BC=y m,CD=2x m,四分之一圆形的半径为x m,正方形的边长为8 m,
故铺五彩石的空地的面积为2xy-3×π×x2-2×8×8=m2.
(2)∵每平方米的五彩石的价格是150元,
∴当x=10,y=50时,购买五彩石的总费用为150×(2×10×50-×3×102-128)=97 050(元).
答:购买五彩石的总费用为97 050元.
5.人在运动时的心跳速率通常与人的年龄有关,若用m表示一个人的年龄,则这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数为0.8(220-m).
(1)正常情况下,一个16岁的少年在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少
(2)一个50岁的人运动时,30秒心跳的次数为70次,他有危险吗
解:(1)把m=16代入0.8(220-m),得0.8×(220-16)≈163(次).
(2)把m=50代入0.8(220-m),得0.8×(220-50)=136(次).
70×2=140(次).
因为140>136,所以他有危险.
6.如图,在一个底为a、高为h的三角形铁皮上剪去一个半径为r的半圆.
(1)用含a,h,r的代数式表示剩下铁皮(阴影部分)的面积S;
(2)当a=10,h=8,r=2时,请求出S的值(结果保留π).
解:(1)S阴影=S三角形-S半圆=ah-πr2.
(2)当a=10,h=8,r=2时,
S阴影=ah-πr2=×10×8-π×22=40-2π.(共16张PPT)
第1课时 代数式的定义与列代数式
1.代数式的定义
用 把数或表示数的字母连接起来的式子,称为代数式.单独的一个 或 也是代数式.
注意:(1)运算符号指的是加、减、乘、除、乘方、开方.开方将在以后学习;
(2)式子中如果含有“=”“>”“<”“≥”“≤”“≠”等表示相等或不等关系的符号,那么这个式子就不是代数式;
(3)代数式中除了含有数、字母和运算符号外,还可以含有括号.
运算符号
数
字母
2.列代数式
在解决一些数学问题与实际问题时,往往需要先把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来,也就是要列代数式.
3.代数式的书写规则
(1)数和表示数的字母相乘,乘号可以省略不写,或用“·”来代替;数和字母相乘,在省略乘号时,要把数写在字母的前面.如n×2写成2·n或2n.
注意:数与数相乘不能省略乘号“×”.
(2)在除法算式中,要写成分数的形式,被除数作分子,除数作分母,“÷”号转化为分数线.如4÷(a-1)应写成,又如s÷t应写成.
(3)字母与字母相乘时一般按英文字母顺序书写.如a·b通常写成ab.
(4)带分数与字母相乘时,带分数要写成假分数的形式.如1·b不能写成1b,要写成b.
(5)当1或-1与字母相乘时,“1”省略不写.如1·a直接写成a.
(6)后面接“单位”的“相加代数式”或“相减代数式”要用括号括起来.如(x+y)元,(a-5)千米.
(7)相同字母相乘,可以写成幂的形式.如a·a·a写成a3.
注:在本册书中,如无特别说明,a,b两数的差,a与b的差,都指“a-b”.
(1)下列各式中,是代数式的是 ( )
A.S=πr2 B.2a>b
C.3x+y D.π≈3.14
C
(2)(2025·重庆南开)下列代数式中符合书写要求的是 ( )
A.5mn B.-1mn
C.m÷n D.(18-2m)元
(3)代数式3a+3的意义是 ;
代数式3(a+3)的意义是 ;
代数式a2-1的意义是 ;
(4)某网店进行促销,将原价a元的商品以(0.8a-20)元出售,该网店对该商品的促销方法是 .
D
a的3倍与3的和
a与3的和的3倍
a的平方与1的差
打八折后再让利20元
1.下列对代数式a-b2的意义表述正确的是 ( )
A.a与b的平方的差 B.a与b的差的平方
C.a,b平方的差 D.a的平方与b的平方的差
2.下列选项中的量不能用“8m”表示的是( )
A.长为m厘米、宽为8厘米的长方形的面积
B.8件单价为m元的同款外衣的总价
C.一台每天能生产m个零件的机器,工作8天生产的零件总量
D.十位数字为8、个位数字为m的两位数
A
D
3.下列各式:-2x2y,×,a÷b,2abc-3,,2b3c2,其中符合代数式书写要求的有 个.
4.体育委员带了500元经费去买体育用品,已知一个篮球x元,则代数式(500-3x)表示的实际意义是 .
3
体育委员买了3个篮球后剩余的经费
(1)近几年智能手机已成为人们生活中不可缺少的一部分,智能手机价格也不断地降低.某品牌智能手机原售价为m元,现打九折,再让利n元,那么该手机现在的售价为 ( )
A.元 B.元
C.元 D.元
(2)(2025·重庆巴蜀)“a的4倍与b的平方的差”用代数式表示为 ;
B
4a-b2
(4)(2025·成都七中)某校计划用一块靠墙的空地作为七年级3个班级的劳动实践基地.如图,用a米的篱笆围出三个面积相等的长方形,若垂直于墙的边AB=b米,则平
行于墙的边BC= 米.
(3)一个两位数,十位数字为a,个位数字为b,这个两位数可以表示为
;
10a+b
5.(2025·上海)下列代数式中,能表示“x与y的差的平方”的是 ( )
A.x2-y2 B.(x-y)2 C.x2-y D.x-y2
6.(1)某种水果的售价为每千克a元,用面值为50元的人民币购买了3千克这种水果,应找回 元;
(2)(2025·重庆育才)《中华人民共和国国旗法》规定,国旗旗面为红色长方形,其长与宽之比为3∶2,有五种通用尺度(尺寸规格).若一种尺度的国旗的宽为b,则这种尺度的国旗旗面的面积为 ;
B
(50-3a)
b2
(4)如图是一个长方形足球场,其中半圆形进球区以外的地方都是草地,已知足球场的长为a,宽为2b,半圆形的直径是足球场的宽,则草地的面积为 .
(3)小高原计划用m天完成n页作业,实际他提前2天完成作业,则实际上他每天完成 页作业;
2ab-πb2
(1)观察下图中的图形,它们是按一定规律排列的,依此规律,第n个图形共有 个○；
(3n+1)
(2)观察下面一组数:a1=,a2=,a3=,a4=,a5=,…,它们是按一定规律排列的,请利用其中规律,写出第n个数an= .(用含n的式子表示)
7.(2025·成都树德)下列每一幅图都是由单位长度均为1的小正方形(包含白色小正方形和灰色小正方形)按某种规律组成的.根据规律,第4个图形中白色小正方形共有 个,第n个图形中,白色小正方形共有 个.
(用含n的式子表示,n为正整数)
28
(6n+4)
8.按一定规律排列的一组数依次为:-,,-,,…,按此规律排列下去,这组数中的第n个数是 .(a≠0,n为正整数)
(-1)n·(共12张PPT)
第2课时 反比例关系
反比例关系
两个相关联的量,一个量变化,另一个量 ,且这两个量的 一定,这两个量就叫作成反比例的量,它们之间的关系叫作反比例关系.
如果用字母x和y表示两个相关联的量,用k表示它们的积(k是一个
的值,且k≠0),反比例关系可以用xy=k来表示.
也随着变化
乘积
确定
例:已知一个长方形的面积为12.
(1)若这个长方形的长为6,则它的宽为 ;若这个长方形的长为4,则它的宽为 ;
(2)随着这个长方形的长减小,它的宽 (填“增大”或“减小”);
(3)用y表示这个长方形的长,用x表示这个长方形的宽,则xy= ,y与x成 (填“正”或“反”)比例关系.
2
3
增大
12
反
(1)(2025·重庆渝中区)下列各种关系中,两个量成反比例关系的是( )
A.书的总页数为240页,未读的页数与已读的页数
B.三角形的面积为6 cm2,它的一边的长与这条边上的高
C.长方体底面积为5 cm2,它的体积与高
D.签字笔每支4元,购买签字笔的总费用与购买的数量
B
(2)下列各式表示x与y成反比例关系的是 ( )
A.x+y=15 B.xy=15
C.=15 D.x-y=15
B
1.下面选项中的两种量成反比例关系的是 ( )
A.一袋水果糖的数量一定,水果糖的袋数和总颗数
B.购买商品的数量一定,商品的单价和总价
C.120名同学站队,每排人数和排数
D.圆的周长一定,它的直径和圆周率
C
2.判断下列各题中的两个量是否成反比例关系,并说明理由.
(1)平行四边形的面积一定,它的底和高;
解:成反比例关系.
理由:平行四边形的底和高是相关联的量,且它们的乘积是一个定值.
(2)小明做10道数学题,已做的题数和没有做的题数;
解:不成反比例关系.
理由:已做的题数和没有做的题数的乘积不是一个定值.
(3)一本书的页数一定,平均每天看这本书的页数和看的天数.
解:成反比例关系.
理由:平均每天看这本书的页数和看的天数是相关联的量,且它们的乘积是一个定值.
如图,四个圆柱形容器内部的底面积分别为10 cm2,20 cm2,50 cm2,80 cm2,分别往这四个容器中注入400 cm3的水.
(1)四个容器中水的高度分别是多少厘米
(2)分别用x(单位:cm2)和y(单位:cm)表示容器内部的底面积与水的高度,用式子表示y与x的关系,y与x成什么比例关系
解:(1)四个容器中水的高度分别为
=40(cm),=20(cm),
=8(cm),=5(cm).
(2)xy=400,y与x成反比例关系.
3.京沪高速铁路全长为1 318 km,用式子表示在此铁路上运营的列车的平均速度v(单位:km/h)与全程运行时间t(单位:h)的关系,结果为 ( )
A.v=1 318t B.vt=1 318
C.t=1 318v D.v=1 318+t
B
4.(1)如表,表格中如果m与n成反比例关系,则x= ;
m 24 12
n 8 x
(2)已知近视眼镜的度数D(度)与镜片焦距f(米)成反比例关系,且400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米.小慧原来戴400度的近视眼镜,经过一段时间的矫正治疗后,现在只需戴镜片焦距为0.4米的眼镜了,则小慧所戴眼镜的度数降低了 度.
16
150
5.当发动机的输出功率一定时,输出的扭矩M(使物体发生转动的力矩,单位为N·m)与发动机转速n(发动机曲轴的转动速度,单位为kr/min)之间成反比例关系,某兴趣小组通过对固定输出功率的发动机进行实验,得到对应的扭矩M和转速n的数据如下表:
n(kr/min) 1.5 2 2.5 3 4
M(N·m) 400 300 240 200 150
(1)用式子表示M与n的关系;
解:(1)Mn=600.
(2)某个使用场景需要此款发动机输出的扭矩高于240 N·m,但低于500 N·m,求此场景中该发动机转速n的取值范围.
(2)由表可知,M=240 N·m时,n=2.5 kr/min,
当M=500 N·m时,n==1.2(kr/min),
∴此场景中该发动机转速n的取值范围为1.2n(kr/min) 1.5 2 2.5 3 4
M(N·m) 400 300 240 200 150
