(共10张PPT)
第1课时 同类项
思考:
(1)3×2-5×2=(3-5)×2= ;
(2)3a-5a=( )a=-2a;
(3)4ab+2ab=( )ab= ab;
(4)2mn2-3mn2=( )mn2= .
1.同类项的定义
所含字母 ,并且相同字母的 也相同的项叫作同类项.几个 也是同类项.
注意:(1)判断几个项是否是同类项的条件是“两同”:
①所含字母相同;②相同字母的指数分别相同.同时具备这两个条件的项是同类项,缺一不可.
(2)同类项与系数无关,与字母的排列顺序无关.
-4
3-5
4+2
6
2-3
-mn2
相同
指数
常数项
2.合并同类项
把多项式中的同类项 ,叫作合并同类项.
3.合并同类项的法则
合并同类项后,所得项的系数是合并前各 ,
不变.
注意:合并同类项的根据是乘法的分配律逆用,运用时应注意:
①不是同类项的不能合并,不是同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄.
②系数相加(减),字母部分不变,不能把字母的指数也相加(减).
合并成一项
同类项的系数的和
字母连同它的指数
4.合并同类项的步骤
①准确地找出同类项;
②利用分配律,把同类项的系数加在一起,字母和字母的指数不变;
③写出合并后的结果.
下列各组代数式中,是同类项的有 .(填序号)
①2与-2; ②-5xy2与3y2x;
③-3t与20t; ④2a2b与-b2a;
⑤x3y与-x3yz; ⑥2a3y与-a3y.
①②③⑥
1.下列各式与-3x3y是同类项的是( )
A.2xy3 B.x3y2 C.-3y3 D.x3y
2.(2025·成都青羊区)下列各选项中的两个单项式不是同类项的是( )
A.23与32 B.2ab2与-a2b
C.与5xy D.3x2y与-2yx2
D
B
(1)若单项式-2am+2b3与πab2n是同类项,则m-2n的值为( )
A.-4 B.-2 C.2 D.4
(2)若2x|m|y3与-3xyn是同类项,则m+n的值为 .
A
4或2
3.若单项式6xn+1y8与x3y-3m-1可以合并成一项,则mn的值是( )
A.-9 B.-6 C.6 D.9
4.(2025·重庆八中)若单项式xa+1y2z与-5x2yb+4z是同类项,则(a+b)2 025的值是( )
A.-1 B.0 C.1 D.无法确定
D
A
合并下列各式中的同类项:
(1)5x2+4x-4-2x-5x2;
解:原式=(5x2-5x2)+(4x-2x)-4=2x-4.
(2)2a2b-3ab3+a3b-2ab2+3ab3-0.5a3b.
解:原式=2a2b+(-3ab3+3ab3)+-2ab2=2a2b-2ab2.
5.下列各式中计算正确的是( )
A.xy+2yx=3xy B.-3a2-2a2=-a2
C.3x+3y=6xy D.4xy2-5x2y=-1
6.(2025·重庆一中)若关于x,y的多项式mx2+nxy+2x-2xy-3x2+y+4中不含二次项,则nm的值为 .
A
8
7.合并下列各式中的同类项:
(1)-7mn+mn+5nm;
解:原式=-mn.
(2)-4ab+b2-9ab-b2;
解:原式=-13ab-b2.
(3)3a2b-4ab2-4+5a2b+2ab2+7.
解:原式=8a2b-2ab2+3.(共15张PPT)
第4课时 整式的加减
整式的加减法则
几个整式相加减,如果有括号就先 ,然后再 .
注意:(1)整式加减的一般步骤是先去括号,再合并同类项.
(2)两个整式相减时,减数一定先要用括号括起来.
(3)整式加减的最后结果的要求:①不能含有同类项,即要合并到不能再合并为止;②一般按照某一字母的降幂或升幂排列;③不能出现带分数,带分数要化成假分数.
去括号
合并同类项
先化简,再求值:
(1)3(x2-2xy)-[3x2-2y+2(xy+y)],其中x=-,y=-3;
解:原式=3x2-6xy-3x2+2y-2xy-2y=-8xy.
当x=-,y=-3时,
原式=-8××(-3)=-12.
(2)5x2--xy,其中x,y满足(x-1)2+=0;
解:因为x,y满足(x-1)2+=0,所以x=1,y=.
原式=5x2-(xy2-2xy+3xy2)-xy
=5x2-4xy2+2xy-xy
=5x2-4xy2+xy.
当x=1,y=时,
原式=5×12-4×1×+1×=4.
(3)(2025·重庆巴蜀)6(a2-ab-b2)-2,且(2x2+ax-y+b)-(2bx2-3x+5y-1)的值与字母x的取值无关.
解:原式=6a2-6ab-6b2-2(3a2-3b2+ab)
=6a2-6ab-6b2-6a2+6b2-2ab=-8ab.
(2x2+ax-y+b)-(2bx2-3x+5y-1)
=2x2+ax-y+b-2bx2+3x-5y+1
=(2-2b)x2+(a+3)x-6y+b+1,
∵上式的值与字母x的取值无关,
∴2-2b=0,a+3=0,
∴a=-3,b=1,
∴原式=-8×(-3)×1=24.
1.先化简,再求值:
(1)6n2--7n2,其中m=3,n=-2;
解:原式=6n2--7n2
=6n2-mn-1-7n2
=-n2-mn+1,
当m=3,n=-2时,
原式=-(-2)2-3×(-2)-1
=-4+6-1=1.
(2)(4a-5b-ab)-(2a-3b+5ab),其中ab=-1,a-b=2;
解:原式=4a-5b-ab-2a+3b-5ab
=2a-2b-6ab.
当ab=-1,a-b=2时,
原式=2(a-b)-6ab=2×2-6×(-1)=10.
(3)(2025·成都石室)3(a2b-2b3+2ab)-[2(3ab+a2b)-4b3],其中+(b+1)2=0.
解:原式=3a2b-6b3+6ab-(6ab+2a2b-4b3)
=3a2b-6b3+6ab-6ab-2a2b+4b3
=a2b-2b3.
∵+(b+1)2=0,
∴a-2=0,b+1=0,
∴a=2,b=-1,
∴原式=22×(-1)-2×(-1)3=-4+2=-2.
大长方形的长、宽如图1所示,小长方形的长、宽如图2所示.
(1)大长方形的周长比小长方形的周长长多少
解:(1)大长方形的周长为
2(2m+2n+3)=4m+4n+6,
小长方形的周长为2(m+n)=2m+2n,
则大长方形的周长比小长方形的周长长
(4m+4n+6)-(2m+2n)=4m+4n+6-2m-2n
=2m+2n+6.
(2)将这两个长方形重叠地放在一起,如图3所示,求阴影部分的周长;
(2)阴影部分的周长为2(2m+2n+3)=4m+4n+6.
(3)当m=2,n=1时,阴影部分的周长是多少
(3)当m=2,n=1时,阴影部分的周长为
4m+4n+6=4×2+4×1+6=18.
2.某商场4月份的营业额为x万元,5月份的营业额比4月份多10万元.如果该商场第二季度的营业额为4x万元,那么6月份的营业额为 万元.
3.(2025·重庆南开)如图,有三张正方形纸片A,B,C,它们的边长分别为a,b,c,将三张纸片按图1、图2两种不同方式放置于同一个长方形中,则图1与图2中的阴影部分周长的差为 .
(2x-10)
2c
(2025·成都青羊区)已知A=3x-2xy+7y,B=y+2xy-3x.
(1)当x+y=,xy=-2时,求A-B的值;
解:(1)A-B=3x-2xy+7y-(y+2xy-3x)
=3x-2xy+7y-y-2xy+3x
=6x-4xy+6y.
∵x+y=,xy=-2,
∴A-B=6(x+y)-4xy=6×-4×(-2)=11.
(2)若A-B的值与y的取值无关,求A-B的值.
(2)A-B=6x-4xy+6y=6x+y(6-4x),
∵A-B的值与y的取值无关,
∴6-4x=0,解得x=,
∴A-B=6×+0=9.
[思维点拨] 整式的值与整式中字母的取值有关.当整式经过化简后,若含某个字母的项的系数等于0,则这个整式的值与该字母的取值无关;反之,当某个整式的值与某个字母的取值无关时,则整式中含该字母的项的系数等于0.
4.已知A=x2-xy+2x-2,B=x2-xy-y,若A-2B的值与y的取值无关,则x的值为( )
A.1 B.0 C.-1 D.-2
5.如图,用图案来表示关于x和y的多项式,如图1表示的多项式为5x+4y,如图2表示的多项式为9x+8y,按照这样的规律,解决下面的问题:
(1)图4表示的多项式为 ,图n表示的多项式为 (用含n的式子表示);
D
17x+16y
(4n+1)x+4ny
(2)设图6表示的多项式为A,图7表示的多项式为B,化简2B-3A.
解:(2)由(1)可得:A=25x+24y,B=29x+28y,
所以2B-3A=2(29x+28y)-3(25x+24y)
=58x+56y-75x-72y=-17x-16y.(共8张PPT)
第2课时 多项式的化简求值
多项式的化简求值
在求多项式的值时,可以先将多项式中的同类项合并,然后再求值,这样做往往可以简化计算.
先化简,再求值:
(1)2x3-5x2+x3+9x2-3x3-2,其中x=;
(2)2x2y-3xy2-3x2y+2xy2,其中x=-,y=4.
解:原式=4x2-2.
当x=时,原式=4×-2=-1.
解:原式=-x2y-xy2.
当x=-,y=4时,
原式=-×4-×42=7.
1.先化简,再求值:
(1)3x2-8x+2x3-13x2+2x-2x3+3,其中x=-1;
解:原式=-10x2-6x+3.
当x=-1时,
原式=-10×-6×+3=-.
(2)ab2-5a2b-a2b+0.75ab2,其中a=2,b=1.
解:原式=ab2-a2b.
当a=2,b=1时,原式=2×12-×22×1=-21.
(1)已知x+y=5,xy=3,则整式2x-xy+2y= ;
(2)已知(a+1)2+=0,求多项式a2b2+3ab-7a2b2-ab+1+5a2b2的值.
解:(2)由已知可得a+1=0,b-2=0.
解得a=-1,b=2.
原式=(a2b2-7a2b2+5a2b2)++1=-a2b2+ab+1.
当a=-1,b=2时,
原式=-(-1)2×22+×(-1)×2+1=-4.
7
2.已知m2+2mn=13,3mn+2n2=21,则2m2+13mn+6n2-44的值为( )
A.45 B.5 C.66 D.77
3.已知+=0,求5xy2-2x2y+3xy2-4xy2+2x2y的值.
解:因为+=0,
所以x-3=0,y+1=0.解得x=3,y=-1.
原式=(5xy2+3xy2-4xy2)+(-2x2y+2x2y)
=4xy2.
当x=3,y=-1时,原式=4×3×(-1)2=12.
A
已知多项式6x2-2mxy-2y2+4xy-5x+2化简后的结果中不含xy项.
(1)求m的值;
(2)求代数式-m3-2m2-m+1-m3-m+2m2+5的值.
解:(1)由题意,得-2m+4=0,解得m=2.
(2)原式=(-m3-m3)+(-2m2+2m2)+(-m-m)+1+5
=-2m3-2m+6.
将m=2代入,则原式=-2×23-2×2+6=-14.
4.已知多项式-3x2+ax+bx2-x+3的值与x无关,则(a-b)3= .
5.若多项式mx3-2x2+4x-3-3x3+6x2-nx+6化简后不含x的三次项和一次项,求m,n的值,并求出(m-n)2 025的值.
解:原式=(m-3)x3+4x2+(4-n)x+3.
因为该多项式化简后不含x的三次项和一次项,
所以m-3=0,4-n=0.所以m=3,n=4.
所以(m-n)2 025=-1.
-8(共7张PPT)
第1课时 单项式
1.单项式的定义
表示数或字母的 的代数式叫作单项式.单独的一个数或一个字母也是 .
注意:(1)单项式包括三种类型:①数与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子;②单独的一个数;③单独的一个字母.
(2)单项式中不能含有加减运算,但可以含有除法运算.如:可以写成st.但若分母中含有字母,如就不是单项式,因为它无法写成数与字母的乘积.
积
单项式
2.单项式的系数与次数
单项式中的 叫作这个单项式的系数.一个单项式中,所有 叫作这个单项式的次数.如果一个单项式的次数是n,那么称这个单项式是n次单项式.
注意:(1)当一个单项式的系数是1或-1时,“1”通常省略不写.
(2)圆周率π是常数,单项式中出现π时,应看作系数.
(3)单项式的系数是带分数时,通常写成假分数.
(4)计算单项式的次数时要注意以下两点:①没有写指数的字母,实际上其指数是1,计算时不能将其遗漏;②对于一个非零的数,规定它的次数为0.
数字因数
字母的指数的和
(2025·重庆巴蜀)下列各式:x2-2x-1,,,,m-n,-2 025,x,,x-1.其中单项式的个数是( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
[方法提炼] 判断一个式子是否是单项式,关键是看式子中的数与字母、字母与字母之间是否只有乘法运算、乘方运算和数字作为分母的除法运算,如果含有其他运算,那么它就不是单项式.
A
1.下列式子中,是单项式的是( )
A.3a+1 B. C.3a D.x=1
2.观察下列单项式:0,3x2,8x3,15x4,24x5,…,按此规律,第10个单项式是 .
99x10
C
指出以下单项式的系数与次数:
(1)5ab2; (2)-a; (3)-a2b2;
(4)abc; (5)-32x2y2; (6)-.
解:(1)系数是5,次数是3.
[误区点拨] (1)单项式的系数包括前面的符号,且只与数字因数有关,而次数只与字母有关;(2)确定一个单项式的次数时,不要漏掉指数为1的字母,也不要把系数的指数当作字母的指数.
(2)系数是-1,次数是1.
(3)系数是-1,次数是4.
(4)系数是1,次数是3.
(5)系数是-9,次数是4.
(6)系数是-,次数是3.
3.关于单项式-6xy3,下列说法中正确的是( )
A.系数是6 B.次数是3
C.系数是-6 D.次数是5
4.(1)单项式-22x2y3的系数是 ,次数是 ;
(2)(2025·重庆一中)关于a,b的单项式-ab3的系数为 ,次数为 .
5.已知(a-1)x2ya+1是关于x,y的五次单项式,则这个单项式的系数是 .
C
-4
5
-
4
1(共13张PPT)
第3课时 去括号法则
去括号法则
一般地,一个数与一个多项式相乘,需要去括号,去括号就是用括号外的数乘括号内的 ,再把所得的 相加.
特别地,+(x-3)与-(x-3)可以看作1与-1分别乘(x-3),利用分配律,可以将式子中的括号去掉,得+(x-3)= ,-(x-3)= .
每一项
积
x-3
-x+3
注意:①去括号法则实际上是根据乘法分配律得到的结论.当括号前为“+”号时,可以看作+1与括号内的各项相乘;当括号前为“-”号时,可以看作-1与括号内的各项相乘.
②去括号时,首先要弄清括号前面是“+”号,还是“-”号,然后再根据法则去掉括号及前面的符号.
③对于多重括号,去括号时可以先去小括号,再去中括号,也可以先去中括号,再去小括号.但是一定要注意括号前的符号.
④去括号只是改变式子的形式,不改变式子的值,它属于多项式的恒等变形.
填空:
(1)+(a-b)= ;
(2)-(a-b)= ;
(3)a-(b+c)= ;
(4)-2(3a-2b)= .
a-b
-a+b
a-b-c
-6a+4b
化简下列各式:
(1)6a2-4ab+4;
解:原式=6a2-4ab+8a2-2ab=14a2-6ab.
(2)a-(2a-b)-2(a+2b);
解:原式=a-2a+b-2a-4b=-3a-3b.
(3)(8xy-3x2)-5xy-3(xy-2x2+3);
解:原式=8xy-3x2-5xy-3xy+6x2-9=3x2-9.
(4)-2x-[x2-2(x2-3x)].
解:原式=-2x-(x2-2x2+6x)=-2x-(-x2+6x)
=-2x+x2-6x=x2-8x.
[方法提炼] 去括号法则可以简记为以下口诀:去掉“正括号”,各项不变号;去掉“负括号”,各项都变号.
1.(2025·重庆育才)将(a-1)-(-b-c)去括号,应该等于( )
A.a-1-b-c B.a-1-b+c
C.a+1+b-c D.a-1+b+c
2.化简下列各式:
(1)(5xy-3x)-2(-x+xy);
解:原式=5xy-3x+2x-2xy
=3xy-x.
(2)5x-(x-2y+5z)-(7y-2z);
解:原式=5x-x+2y-5z-7y+2z
=4x-5y-3z.
(3)3a2b-+9ab2.
解:原式=3a2b-ab2+2+9ab2
=3a2b-ab2+2ab-3a2b+9ab2=8ab2+2ab.
D
已知甲数比x的3倍多5,乙数比-x的4倍少6,试用含x的式子表示甲、乙两数的和与差.
解:由题意,得甲数为3x+5,乙数为-4x-6.
甲、乙两数之和为(3x+5)+(-4x-6)=-x-1;
甲、乙两数之差为(3x+5)-(-4x-6)=7x+11.
3.若多项式x2+mx+3-(3x+1-nx2)的值与x的取值无关,则-m+n的值为 .
4.某市出租车收费标准为:起步价为10元,3千米后每千米的价格为2.5元,小明乘坐出租车走了x千米(x>3),则小明应付 元.
-4
(2.5x+2.5)
5.光明文具厂第一季度用去电费m元,用去的水费比电费的2倍少40元;第二季度的电费比第一季度节约了20%,水费比第一季度水费多支出了5%.求:
(1)该厂第二季度的水费和电费;
(2)该厂第二季度水、电费的支出比第一季度节约了多少元.
解:(1)该厂第二季度的电费:m(1-20%)=0.8m(元);
该厂第二季度的水费:
(2m-40)(1+5%)=2.1m-42(元).
(2)(m+2m-40)-(0.8m+2.1m-42)=0.1m+2(元).
故该厂第二季度水、电费的支出比第一季度节约了(0.1m+2)元.
(1)(2025·重庆一中)有理数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示,化简:-+= ;
(2)已知b是最小的正整数,且a,b,c满足(c-5)2+=0.
①填空:a= ,b= ,c= ;
解:(2)①∵b是最小的正整数,∴b=1.
根据题意,得c-5=0,a+b=0,
∴a=-1,b=1,c=5.
故答案为-1,1,5.
-2b
②有理数a,b,c在数轴上对应的点分别是A,B,C,点P为数轴上一动点,其对应的有理数为x,当点P在1到2之间运动时(即1≤x≤2),请化简式子:+2.
②∵1≤x≤2,
∴-+2
=+2
=x+1-(x-1)+2(5-x)
=x+1-x+1+10-2x=12-2x.
6.(2025·重庆巴蜀)有理数a,b在数轴上的对应点如图所示,化简:--3= .
4a-2
7.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,且=,化简:
3+-2+5.
解:因为=,且a和b在原点两侧,
所以a+b=0.
由有理数a,b,c在数轴上的位置可得a<0,c-a>0,c-b+a<0,
∴原式=3×(-a)+(c-a)-2×(-c+b-a)+5×0
=-3a+c-a+2c-2b+2a
=-2a+3c-2b=3c.(共8张PPT)
第2课时 多项式
1.多项式的有关概念
几个单项式的和叫作 .其中,每个单项式叫作多项式的 ,不含
的项叫作常数项. 的次数,叫作这个多项式的次数.
注意:(1)多项式中的每一项都包括它前面的正、负号.
(2)一个多项式含有几项,最高次项是几次就叫几次几项式,如:6x2-2x-7是一个二次三项式.
(3)多项式的次数不是所有项的次数之和,而是多项式中次数最高的单项式的次数.
(4)一个多项式中的最高次项有时不止一个,在确定最高次项时,都应写出.
2.整式的概念
与 统称整式.
多项式
项
字母
次数最高的项
单项式
多项式
(1)指出下列多项式的项和次数,并说明它们是几次几项式.
①x5-2x2-1; ②-3a3-3b3+3;
③-x6+2x5y-x3y4+2xy3-1.
解:(1)①x5-2x2-1的项是x5,-2x2,-1,次数是5,是五次三项式.
(2)若多项式(k-1)x2+3+2为三次三项式,则k的值为 .
②-3a3-3b3+3的项是-3a3,-3b3,3,次数是3,是三次三项式.
③-x6+2x5y-x3y4+2xy3-1的项是-x6,2x5y,-x3y4,2xy3,-1,次数是7,是七次五项式.
-5
1.关于多项式2x2y2-3x3-1,下列说法正确的是 ( )
A.这个多项式是七次三项式
B.常数项是1
C.三次项系数是3
D.次数最高的项为2x2y2
2.(1)多项式4x2y-5x3y2+7xy3-7的次数是 ,最高次项是 ,常数项是 ;
(2)多项式0.3xy-2x3y-5xy2+1是 次 项式.
3.多项式-(m-3)x+7是关于x的三次三项式,则m的值是 .
D
5
-5x3y2
-7
四
四
-3
下列式子:①-ab;②;③;④-a2bc;⑤1;⑥x3-2x+3;⑦;⑧+1,其中是单项式的有 ,是多项式的有 ,是整式的有 .(填序号)
[知识总结] (1)单项式与多项式的区别:①单项式不含加、减运算,多项式必含加、减运算;②单项式的次数是所有字母指数的和,多项式的次数是次数最高项的次数.(2)单项式与多项式的联系:①多项式的每一项都是单项式;②单项式与多项式的分母都不含字母;③单项式与多项式统称整式.(3)一个式子既不是单项式,也不是多项式,那么它一定不是整式.
①②④⑤
③⑥
①②③④⑤⑥
4.(2025·重庆外语校)下列各式:a2+5,-3,a2-3a+2,π,,x2+,其中整式有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
5.把下列各式分别填在相应的大括号里:4,,+b,πR2-πr2,2x-3,x2,-x2+yz.
单项式集合:;
多项式集合:.
B
一个花坛的形状如图所示,它的两端是半径相等的半圆.求:
(1)花坛的周长;
(2)花坛的面积;
(3)当a=8,r=2时,花坛的周长和面积分别是多少 (本小题π取3.14,精确到0.1)
解:(1)周长为2a+2πr.
(2)面积为πr2+2ar.
(3)当a=8,r=2时,
周长:2a+2πr=2×8+2×3.14×2=28.56≈28.6.
面积:πr2+2ar=3.14×22+2×8×2=44.56≈44.6.
6.如图,长方形ABCD的长是a,宽是b,分别以点A,B为圆心、b为半径作扇形.
(1)用含a,b的式子表示阴影部分的面积;
(2)写出(1)中多项式的项和次数,这是几次几项式
解:(1)阴影部分的面积为ab-πb2.
(2)ab-πb2中的项为ab,-πb2,次数为2,这是一个二次二项式.
