【单元学习指导与练习】知识巩固第 26讲 直线与圆的位置关系（同步练习）
一、A组
1． 如图所示，AB 是⊙O的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，若∠C=40°，则∠B 的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
2． 如图所示，点I 是△ABC 的内心，若∠AIB=125°，则∠C 等于（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
3． 如图所示，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=4，若以点 C 为圆心，2.5为半径作⊙C，则⊙C 与直线AB 的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定
4． 如图所示，⊙O 与△OAB 的边AB 相切，切点为 B.将△OAB 绕点B 按顺时针方向旋转得到△O'A'B，使点O'落在⊙O上，边A'B 交线段AO于点C.若 ，则∠OCB 的度数为（ ）
A．60° B．65° C．75° D．85°
5．如图所示，在平面直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A 沿x轴移动，当⊙A 与直线l 只有一个公共点时，点A 的坐标为（ ）
A．（-12，0） B．（-13，0） C．（±12，0） D．（±13，0）
6． 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一.如图所示，AC，BD 分别与⊙O 相切于点C，D，延长AC，BD 交于点 P.若 120°，⊙O 的半径为6cm，则弧 CD 的长为 cm.（结果保留π）
7． 已知三角形的周长为12，面积为 6，则该三角形的内切圆的半径为 .
8．如图所示，PA，PB分别切⊙O于点A，B，并与⊙O 的切线分别相交于D，C，已知△PCD 的周长等于10cm，则 PA 的长为 cm.
9． 如图所示，在四边形ABCD 中， ，以 D 为圆心，AD 为半径的弧恰好与BC 相切，切点为 E.
（1）求证：BC=CD.
（2）若 求 sinC 的值.
二、B组
10． 如图所示，已知在 Rt△AOB 中， ⊙O的半径为1，P是AB 边上的一个动点，过点 P 作⊙O 的一条切线PQ（Q为切点），则线段PQ长的最小值为 .
11．如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上，PD 与⊙O 相切于点D，过点 B 作 PD 的垂线，交PD 的延长线于点C，若⊙O 的半径为4，BC的长为6，则 PA 的长为（ ）
A．4 B． C．3 D．2.5
12． 如图所示，在Rt△ABC 中，∠C=90°，E 为AB 边上一点，以AE 为直径的半圆O与BC 相切于点 D，连结AD， P是AB 边上的动点，当△ADP 为等腰三角形时，AP 的长为 .
13． 如图所示，在 中， ⊙O 为 的外接圆，BE 为⊙O的切线，AC为⊙O 的直径，连结 DC 并延长，交 BE 于点E.
（1）求证：
（2）若 求⊙O 的半径.
14． 如图，AB 是的⊙O 直径，C是半圆AB 上的一点（不与点A，B 重合），CE切⊙O 于点C，过点 B 作. ，垂足为E，交⊙O于点D.
（1）求证：C 是的中点.
（2）若 ，求 BC 的长.
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有π的代数式表示）.
15．如图所示，E，F 分别是正方形ABCD 的边AB，BC 上的动点，满足. BF，连结CE，DF 相交于点G，连结AG.若正方形的边长为2，则线段AG的最小值为多少
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解： ∵AB 是⊙O的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，
∴BA⊥AC，即∠BAC=90°，
∵∠C=40°，
∴∠B=90°-∠C=50°，
故答案为：B.
【分析】本题主要考查了圆的切线的性质， 因为AB 是⊙O的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点 ，则∠BAC=90°，进而求出∠B的度数.
2．【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵点I 是△ABC 的内心，
∴AI是∠CAB的平分线，BI是∠CBA的角平分线，
∴，
∵∠AIB=125°，
∴∠IAB+∠IBA=180°-∠AIB=55°，
∴∠CAB+∠CBA=2(∠IBA+∠IAB)=110°，
∴∠C=180°-（∠CAB+∠CBA）=70°，
故答案为：B.
【分析】本题主要考查了三角形的内心和三角形的内角和，首先根据点I 是△ABC 的内心，可知AI和BI分别为∠CAB和∠CBA的角平分线，所以，进而利用三角形内角和定理求出∠C即可.
3．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系；等积变换
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
因为 ∠C=90°，AB=5，AC=4，
由勾股定理得：，
所以，
所以CD=2.4，
因为2.4<2.5，
所以 ⊙C 与直线AB 的位置关系是：相交，
故答案为：C.
【分析】首先利用勾股定理求出BC的长，然后过点C作AB边上的高CD，利用等积法求出CD的长，然后用CD的长与2.5比较，即可确定⊙C 与直线AB 的位置关系.
4．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B，
∴∠A=∠A'=25°，
∵OB和OO'都是⊙O的半径，
∴OB=OO'，
又∵旋转后OB=OB，
∴OB=O'B=OO'，
可得△OOB为等边三角形，
∴∠OBO'=60°，进而可知∠ABA=60°，
∵⊙O与△OAB的边AB相切于点B，
∴OB⊥AB，即∠OBA=90°，
∴∠OBC=∠OBA-∠ABA'=90°-60°=30°，
在△OAB中，∠AOB=180°-∠OBA-∠A=180°-90°-25°=65°，
在△OBC中，∠OCB=180°-∠0BC-∠B0C=180°-30°-65°=85°，
故答案为：D.
【分析】本题涉及旋转的性质、圆的性质以及三角形内角和定理，通过旋转得到对应角和边的关系，再利用圆的半径相等推出等边三角形，进而求出相关角度，最后根据三角形内角和求出∠OCB.
5．【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系；切线的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：当⊙A与直线l：只有一个公共点时，直线与⊙A相切。
设切点为B，则AB⊥OB，如图所示
在Rt△AOB中，，AB=5，
解得OB=12，
在Rt△OAB中，已知AB=5，OB=12，
根据勾股定理OA=13，
因为圆心A在x轴上，且此时圆心A在原点左侧，所以A(-13，0)，
同理，在x轴的正半轴上也存在满足条件的点，如图所示：
此时圆心A的坐标为(13，0)。
故答案为：D.
【分析】本题主要考查了圆与直线位置关系，勾股定理和锐角三角函数，先根据圆与直线只有一个公共点得出直线与圆相切，然后利用三角函数和勾股定理求出圆心到原点的距离，进而确定圆心的坐标。
6．【答案】2π
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OC，OD，如图所示：
∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，
∴∠OCP=∠ODP=90°，
在四边形OCPD中，
∠COD=360°-∠OCP-∠ODP-∠CPD=360°-90°-90°-120°=60°，
已知圆的半径为6cm，圆心角∠COD=60°，
可得弧CD的长为：，
故答案为：2π.
【分析】首先利用切线性质得到直角，再通过四边形内角和求出圆心角，最后用弧长公式计算弧长.
7．【答案】1
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：已知三角形周长a+b+c=12，面积S=6.
根据公式，将S=6，a+b+c=12代入可得：
得到r=1。
故答案为：1.
【分析】我们可以利用三角形面积与周长、内切圆半径之间的公式
(其中S是三角形面积，a，b，c是三角形三边，r是内切圆半径)来求解。
8．【答案】5
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：设DC与⊙O的切点为E，如图所示：
∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B，
∴PA=PB，
同理，CD=CB，
∵△PCD的周长为PD+DE+CE+PC，
△PCD的周长=PD+DA+PC+CB，
而PD+DA=PA，PC+CB=PB，
∴△PCD的周长=PA+PB，
∵△PCD的周长等于10cm，即PA+PB=10cm，
∵PA=PB，且PA+PB=10cm，
∴2PA=10cm，
∴PA=10÷2=5cm，
故答案为：5.
【分析】通过对 △PCD 的周长进行转化，从而求出PA的长.
9．【答案】（1）证明：连结DB，DE，
∵AD是⊙D的半径，AD⊥AB，∴AB是⊙D的切线，∵⊙D与BC相切于点E，∴BC⊥DE，EB=AB.易得Rt△ABD≌Rt△EBD.∴∠CBD=∠ABD.∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB.∴∠CBD=∠CDB.
∴CB=CD
（2）解：设AB=m，则EB=AB=m.∵AB=CD，∴CD=3AB=3m.
∴CE=CB-EB=3m-m=2m.∵∠CED=90°，∴DE=√CD2-CE2=√(3m)2-(2m)2
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；切线的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接DB，DE，根据切线的定义可知AB为⊙D的切线，然后根据切线的性质得到BC⊥DE，EB=AB，进而证明Rt△ABD≌Rt△EBD，进而利用平行线的性质和等角对等边得到CB=CD；
（2）根据题意知然后得到CD与AB的倍数关系，然后设未知数，利用勾股定理求出DE的长，最后根据锐角三角函数的定义得到sinC 的值.
10．【答案】
【知识点】切线的性质；解直角三角形—面积关系
【解析】【解答】解：连接OP、OQ，如图所示：
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ，
在Rt△OPQ中，根据勾股定理可得PQ2=OP2-OQ2，
已知圆O的半径OQ=1，
∴，
∵P是AB边上的动点，
当PO⊥AB时，线段OP最短，此时点P为AB的中点，
在Rt△AOB中，，
∴，
∴OP=3，
∴，
故答案为：.
【分析】通过连接圆心与切点和圆外一点，利用勾股定理建立线段关系，再根据垂线段最短的原理求出最小值。
11．【答案】A
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：连接DO，如图所示：
∵PD与⊙O相切于点D，
∴∠PDO=90°，
∵∠C=90°，
∴∠PDO=∠C，
∴DO//BC，
∴△PDO∽△PCB，
∴，
∵DO=4，BC=6，
∴，
解得：x=4
故PA=4，
故答案为：A.
【分析】本题涉及圆的切线性质以及相似三角形的判定和性质。通过连接圆心与切点构造直角三角形，再利用平行线得到相似三角形，从而建立比例关系求解.
12．【答案】6或
【知识点】等腰三角形的性质；切线的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：连接OD，如图所示：
∵半圆O与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
又∵∠C=90°，
∴OD‖AC，
设圆O的半径为r，则OE=OD=r，OB=r+3，
在Rt△BOD中，根据勾股定理OD2+BD2=OB2，即，
解得：r=6，
∴AE=2r=12，AB=BE+AE=3+12=15，
∵OD‖AC，所以△BOD~△BAC，
则，即，
解得，
∴，
在Rt△ABC中，，
在Rt△ACD中，，
当△ADP 为等腰三角形时，分三种情况讨论：
如图所示：
当AD=AP时
；
当AD=DP'时，因为 ，故点P'不在线段AB上，不符题意；
当AP''=DP''时，此时点P''与点O重合，
∴AP''=AO=6，
故答案为：6或.
【分析】本题涉及圆的切线性质、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，先利用圆的切线性质和勾股定理求出圆的半径，进而得到AD长度，再分情况讨论等腰三角形△ADP中不同边为腰时AP的长度。
13．【答案】（1）证明：连结BO并延长，交AD于点H，连结OD，
∵AB=BD，OA=OD，∴BO垂直平分AD，∴BH⊥AD，AH=DH，∵BE为⊙O的切线，∴HB⊥BE，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴四边形BHDE为矩形，∴DE⊥BE
（2）解：由(1)知四边形BHDE为矩形，BH⊥AD，AH=DH，∴AH=设⊙O的半径为r，则OA=OB=r，OH=BH-OB=5-r，在Rt△AOH中，由勾股定理，得解得即⊙O的半径为
【知识点】矩形的判定与性质；切线的性质；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）首先连结BO并延长，交AD于点H，连结OD，根据等腰三角形的三线合一，结合圆的切线的性质，由于直径所对圆周角为直角，由矩形的判定与性质即可证明；
（2）首先由矩形性质与勾股定理求出AH和BH的长，然后利用角度关系与同弧所对圆周角相等，最后设半径，利用方程思想求半径.
14．【答案】（1）证明：连结OC，∴CE是⊙O切线；∴半径OC⊥CE，∵BE⊥CE，∴OC∥BE，
∴∠EBC=∠OCB，∵OC=OB，∴∠ABC=∠OCB∴∠EBC=∠ABC，∴弧AC=弧CD，∴C是的中点。
（2）解：连结AC，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠CEB=90°，
（3）解：连结OD，CD，
∵AB=4，∴OC=OB=2，∵在Rt△BCE中，
∴cos∠CBE=BE==，∴∠CBE=30°，∴∠COD=60°，∴∠AOC=60°，
∵OC=OD，∴△COD是等边三角形，∴∠CDO=60°，∴∠CDO=∠AOC，
π
【知识点】圆周角定理；切线的性质；扇形面积的计算；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】对于(1)，利用切线性质和平行线性质证明角相等，从而得出弧相等；
对于(2)，根据直径所对圆周角是直角以及相似三角形的性质求出BC的长；
对于(3)，先求出扇形和三角形的面积，再通过作差得到阴影部分面积.
15．【答案】解：如图甲所示，取CD的中点H，连结GH.
在正方形ABCD中，AB=BC=2，∠B=∠DCF=90°.
∵AE=BF，∴BE=CF.在△DCF和△CBE中
(SAS)，
∴∠CDF=∠BCE.∵∠DCE+∠BCE=90°，∴∠CDF+∠DCE=90°，
∴∠CGD=90°，∴点G在以DC为直径的圆上.如图乙所示，连结AC，BD交于点O，取DC的中点H，由勾股定理得，∵E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC上的动点，
∴点G在以H为圆心，CH为半径的圆上运动，当点G与O重合时，AG最小，此时AG=AO=
即AG的最小值为
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；圆-动点问题
【解析】【分析】本题涉及正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及圆的相关知识。首先通过证明三角形全等得出一些角度关系，进而发现点G的运动轨迹，然后根据点与圆的位置关系求出线段AG的最小值。
1 / 1【单元学习指导与练习】知识巩固第 26讲 直线与圆的位置关系（同步练习）
一、A组
1． 如图所示，AB 是⊙O的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，若∠C=40°，则∠B 的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解： ∵AB 是⊙O的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，
∴BA⊥AC，即∠BAC=90°，
∵∠C=40°，
∴∠B=90°-∠C=50°，
故答案为：B.
【分析】本题主要考查了圆的切线的性质， 因为AB 是⊙O的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点 ，则∠BAC=90°，进而求出∠B的度数.
2． 如图所示，点I 是△ABC 的内心，若∠AIB=125°，则∠C 等于（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵点I 是△ABC 的内心，
∴AI是∠CAB的平分线，BI是∠CBA的角平分线，
∴，
∵∠AIB=125°，
∴∠IAB+∠IBA=180°-∠AIB=55°，
∴∠CAB+∠CBA=2(∠IBA+∠IAB)=110°，
∴∠C=180°-（∠CAB+∠CBA）=70°，
故答案为：B.
【分析】本题主要考查了三角形的内心和三角形的内角和，首先根据点I 是△ABC 的内心，可知AI和BI分别为∠CAB和∠CBA的角平分线，所以，进而利用三角形内角和定理求出∠C即可.
3． 如图所示，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=4，若以点 C 为圆心，2.5为半径作⊙C，则⊙C 与直线AB 的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系；等积变换
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
因为 ∠C=90°，AB=5，AC=4，
由勾股定理得：，
所以，
所以CD=2.4，
因为2.4<2.5，
所以 ⊙C 与直线AB 的位置关系是：相交，
故答案为：C.
【分析】首先利用勾股定理求出BC的长，然后过点C作AB边上的高CD，利用等积法求出CD的长，然后用CD的长与2.5比较，即可确定⊙C 与直线AB 的位置关系.
4． 如图所示，⊙O 与△OAB 的边AB 相切，切点为 B.将△OAB 绕点B 按顺时针方向旋转得到△O'A'B，使点O'落在⊙O上，边A'B 交线段AO于点C.若 ，则∠OCB 的度数为（ ）
A．60° B．65° C．75° D．85°
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B，
∴∠A=∠A'=25°，
∵OB和OO'都是⊙O的半径，
∴OB=OO'，
又∵旋转后OB=OB，
∴OB=O'B=OO'，
可得△OOB为等边三角形，
∴∠OBO'=60°，进而可知∠ABA=60°，
∵⊙O与△OAB的边AB相切于点B，
∴OB⊥AB，即∠OBA=90°，
∴∠OBC=∠OBA-∠ABA'=90°-60°=30°，
在△OAB中，∠AOB=180°-∠OBA-∠A=180°-90°-25°=65°，
在△OBC中，∠OCB=180°-∠0BC-∠B0C=180°-30°-65°=85°，
故答案为：D.
【分析】本题涉及旋转的性质、圆的性质以及三角形内角和定理，通过旋转得到对应角和边的关系，再利用圆的半径相等推出等边三角形，进而求出相关角度，最后根据三角形内角和求出∠OCB.
5．如图所示，在平面直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A 沿x轴移动，当⊙A 与直线l 只有一个公共点时，点A 的坐标为（ ）
A．（-12，0） B．（-13，0） C．（±12，0） D．（±13，0）
【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系；切线的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：当⊙A与直线l：只有一个公共点时，直线与⊙A相切。
设切点为B，则AB⊥OB，如图所示
在Rt△AOB中，，AB=5，
解得OB=12，
在Rt△OAB中，已知AB=5，OB=12，
根据勾股定理OA=13，
因为圆心A在x轴上，且此时圆心A在原点左侧，所以A(-13，0)，
同理，在x轴的正半轴上也存在满足条件的点，如图所示：
此时圆心A的坐标为(13，0)。
故答案为：D.
【分析】本题主要考查了圆与直线位置关系，勾股定理和锐角三角函数，先根据圆与直线只有一个公共点得出直线与圆相切，然后利用三角函数和勾股定理求出圆心到原点的距离，进而确定圆心的坐标。
6． 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一.如图所示，AC，BD 分别与⊙O 相切于点C，D，延长AC，BD 交于点 P.若 120°，⊙O 的半径为6cm，则弧 CD 的长为 cm.（结果保留π）
【答案】2π
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OC，OD，如图所示：
∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，
∴∠OCP=∠ODP=90°，
在四边形OCPD中，
∠COD=360°-∠OCP-∠ODP-∠CPD=360°-90°-90°-120°=60°，
已知圆的半径为6cm，圆心角∠COD=60°，
可得弧CD的长为：，
故答案为：2π.
【分析】首先利用切线性质得到直角，再通过四边形内角和求出圆心角，最后用弧长公式计算弧长.
7． 已知三角形的周长为12，面积为 6，则该三角形的内切圆的半径为 .
【答案】1
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：已知三角形周长a+b+c=12，面积S=6.
根据公式，将S=6，a+b+c=12代入可得：
得到r=1。
故答案为：1.
【分析】我们可以利用三角形面积与周长、内切圆半径之间的公式
(其中S是三角形面积，a，b，c是三角形三边，r是内切圆半径)来求解。
8．如图所示，PA，PB分别切⊙O于点A，B，并与⊙O 的切线分别相交于D，C，已知△PCD 的周长等于10cm，则 PA 的长为 cm.
【答案】5
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：设DC与⊙O的切点为E，如图所示：
∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B，
∴PA=PB，
同理，CD=CB，
∵△PCD的周长为PD+DE+CE+PC，
△PCD的周长=PD+DA+PC+CB，
而PD+DA=PA，PC+CB=PB，
∴△PCD的周长=PA+PB，
∵△PCD的周长等于10cm，即PA+PB=10cm，
∵PA=PB，且PA+PB=10cm，
∴2PA=10cm，
∴PA=10÷2=5cm，
故答案为：5.
【分析】通过对 △PCD 的周长进行转化，从而求出PA的长.
9． 如图所示，在四边形ABCD 中， ，以 D 为圆心，AD 为半径的弧恰好与BC 相切，切点为 E.
（1）求证：BC=CD.
（2）若 求 sinC 的值.
【答案】（1）证明：连结DB，DE，
∵AD是⊙D的半径，AD⊥AB，∴AB是⊙D的切线，∵⊙D与BC相切于点E，∴BC⊥DE，EB=AB.易得Rt△ABD≌Rt△EBD.∴∠CBD=∠ABD.∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB.∴∠CBD=∠CDB.
∴CB=CD
（2）解：设AB=m，则EB=AB=m.∵AB=CD，∴CD=3AB=3m.
∴CE=CB-EB=3m-m=2m.∵∠CED=90°，∴DE=√CD2-CE2=√(3m)2-(2m)2
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；切线的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接DB，DE，根据切线的定义可知AB为⊙D的切线，然后根据切线的性质得到BC⊥DE，EB=AB，进而证明Rt△ABD≌Rt△EBD，进而利用平行线的性质和等角对等边得到CB=CD；
（2）根据题意知然后得到CD与AB的倍数关系，然后设未知数，利用勾股定理求出DE的长，最后根据锐角三角函数的定义得到sinC 的值.
二、B组
10． 如图所示，已知在 Rt△AOB 中， ⊙O的半径为1，P是AB 边上的一个动点，过点 P 作⊙O 的一条切线PQ（Q为切点），则线段PQ长的最小值为 .
【答案】
【知识点】切线的性质；解直角三角形—面积关系
【解析】【解答】解：连接OP、OQ，如图所示：
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ，
在Rt△OPQ中，根据勾股定理可得PQ2=OP2-OQ2，
已知圆O的半径OQ=1，
∴，
∵P是AB边上的动点，
当PO⊥AB时，线段OP最短，此时点P为AB的中点，
在Rt△AOB中，，
∴，
∴OP=3，
∴，
故答案为：.
【分析】通过连接圆心与切点和圆外一点，利用勾股定理建立线段关系，再根据垂线段最短的原理求出最小值。
11．如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上，PD 与⊙O 相切于点D，过点 B 作 PD 的垂线，交PD 的延长线于点C，若⊙O 的半径为4，BC的长为6，则 PA 的长为（ ）
A．4 B． C．3 D．2.5
【答案】A
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：连接DO，如图所示：
∵PD与⊙O相切于点D，
∴∠PDO=90°，
∵∠C=90°，
∴∠PDO=∠C，
∴DO//BC，
∴△PDO∽△PCB，
∴，
∵DO=4，BC=6，
∴，
解得：x=4
故PA=4，
故答案为：A.
【分析】本题涉及圆的切线性质以及相似三角形的判定和性质。通过连接圆心与切点构造直角三角形，再利用平行线得到相似三角形，从而建立比例关系求解.
12． 如图所示，在Rt△ABC 中，∠C=90°，E 为AB 边上一点，以AE 为直径的半圆O与BC 相切于点 D，连结AD， P是AB 边上的动点，当△ADP 为等腰三角形时，AP 的长为 .
【答案】6或
【知识点】等腰三角形的性质；切线的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：连接OD，如图所示：
∵半圆O与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
又∵∠C=90°，
∴OD‖AC，
设圆O的半径为r，则OE=OD=r，OB=r+3，
在Rt△BOD中，根据勾股定理OD2+BD2=OB2，即，
解得：r=6，
∴AE=2r=12，AB=BE+AE=3+12=15，
∵OD‖AC，所以△BOD~△BAC，
则，即，
解得，
∴，
在Rt△ABC中，，
在Rt△ACD中，，
当△ADP 为等腰三角形时，分三种情况讨论：
如图所示：
当AD=AP时
；
当AD=DP'时，因为 ，故点P'不在线段AB上，不符题意；
当AP''=DP''时，此时点P''与点O重合，
∴AP''=AO=6，
故答案为：6或.
【分析】本题涉及圆的切线性质、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，先利用圆的切线性质和勾股定理求出圆的半径，进而得到AD长度，再分情况讨论等腰三角形△ADP中不同边为腰时AP的长度。
13． 如图所示，在 中， ⊙O 为 的外接圆，BE 为⊙O的切线，AC为⊙O 的直径，连结 DC 并延长，交 BE 于点E.
（1）求证：
（2）若 求⊙O 的半径.
【答案】（1）证明：连结BO并延长，交AD于点H，连结OD，
∵AB=BD，OA=OD，∴BO垂直平分AD，∴BH⊥AD，AH=DH，∵BE为⊙O的切线，∴HB⊥BE，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴四边形BHDE为矩形，∴DE⊥BE
（2）解：由(1)知四边形BHDE为矩形，BH⊥AD，AH=DH，∴AH=设⊙O的半径为r，则OA=OB=r，OH=BH-OB=5-r，在Rt△AOH中，由勾股定理，得解得即⊙O的半径为
【知识点】矩形的判定与性质；切线的性质；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）首先连结BO并延长，交AD于点H，连结OD，根据等腰三角形的三线合一，结合圆的切线的性质，由于直径所对圆周角为直角，由矩形的判定与性质即可证明；
（2）首先由矩形性质与勾股定理求出AH和BH的长，然后利用角度关系与同弧所对圆周角相等，最后设半径，利用方程思想求半径.
14． 如图，AB 是的⊙O 直径，C是半圆AB 上的一点（不与点A，B 重合），CE切⊙O 于点C，过点 B 作. ，垂足为E，交⊙O于点D.
（1）求证：C 是的中点.
（2）若 ，求 BC 的长.
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有π的代数式表示）.
【答案】（1）证明：连结OC，∴CE是⊙O切线；∴半径OC⊥CE，∵BE⊥CE，∴OC∥BE，
∴∠EBC=∠OCB，∵OC=OB，∴∠ABC=∠OCB∴∠EBC=∠ABC，∴弧AC=弧CD，∴C是的中点。
（2）解：连结AC，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠CEB=90°，
（3）解：连结OD，CD，
∵AB=4，∴OC=OB=2，∵在Rt△BCE中，
∴cos∠CBE=BE==，∴∠CBE=30°，∴∠COD=60°，∴∠AOC=60°，
∵OC=OD，∴△COD是等边三角形，∴∠CDO=60°，∴∠CDO=∠AOC，
π
【知识点】圆周角定理；切线的性质；扇形面积的计算；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】对于(1)，利用切线性质和平行线性质证明角相等，从而得出弧相等；
对于(2)，根据直径所对圆周角是直角以及相似三角形的性质求出BC的长；
对于(3)，先求出扇形和三角形的面积，再通过作差得到阴影部分面积.
15．如图所示，E，F 分别是正方形ABCD 的边AB，BC 上的动点，满足. BF，连结CE，DF 相交于点G，连结AG.若正方形的边长为2，则线段AG的最小值为多少
【答案】解：如图甲所示，取CD的中点H，连结GH.
在正方形ABCD中，AB=BC=2，∠B=∠DCF=90°.
∵AE=BF，∴BE=CF.在△DCF和△CBE中
(SAS)，
∴∠CDF=∠BCE.∵∠DCE+∠BCE=90°，∴∠CDF+∠DCE=90°，
∴∠CGD=90°，∴点G在以DC为直径的圆上.如图乙所示，连结AC，BD交于点O，取DC的中点H，由勾股定理得，∵E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC上的动点，
∴点G在以H为圆心，CH为半径的圆上运动，当点G与O重合时，AG最小，此时AG=AO=
即AG的最小值为
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；圆-动点问题
【解析】【分析】本题涉及正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及圆的相关知识。首先通过证明三角形全等得出一些角度关系，进而发现点G的运动轨迹，然后根据点与圆的位置关系求出线段AG的最小值。
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