素养提升课(三) 水平面和竖直平面内的圆周运动
1．掌握水平面内圆周运动的受力特点和分析解决方法。
2．掌握竖直面内圆周运动的受力特点和分析解决方法。
水平面内圆周运动问题
1．常见运动模型分析
模型 圆盘模型 圆锥摆模型
图示
分析 静摩擦力Ff提供向心力，由Fn＝Ff＝μmg＝m得，最大速度v＝ 弹力(细线拉力或斜面弹力)和物体重力的合力提供向心力 ①Fn＝F合＝mg tan θ ②Fn＝F合＝
2．解决圆周运动临界问题的一般思路
(1)要考虑达到临界条件时物体所处的状态。
(2)分析该状态下物体的受力特点。
(3)结合圆周运动知识，列出相应的动力学方程分析求解。
3．临界问题的常见模型
模型 圆盘模型 圆锥摆模型
图示
分析 图(a)：物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力 图(b)(c)：临界条件为两物体同时发生相对滑动，且摩擦力方向同向 ①压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零 ②绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等
圆盘模型
【典例1】 如图所示，水平转盘上放有一质量为m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，g为重力加速度，转盘的角速度由零逐渐增大，求：
(1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度；
(2)当角速度为时，绳子对物体拉力的大小。
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【典例2】 如图所示，两个相同的小木块A和B(均可看作质点)，质量均为m，用长为L的轻绳连接，置于水平圆盘的同一半径上，A与竖直轴的距离为L，此时绳子恰好伸直且无弹力，木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )
A．木块A、B所受的摩擦力始终相等
B．木块B所受摩擦力总等于木块A所受摩擦力的两倍
C．ω＝是轻绳开始产生弹力的临界角速度
D．若ω＝，则木块A、B将要相对圆盘发生滑动
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圆锥摆模型
【典例3】 细绳一端系住一个质量为m的小球(可视为质点)，另一端固定在光滑水平桌面上方h高度处，绳长l大于h，使小球在桌面上做如图所示的匀速圆周运动，重力加速度为g。若要小球不离开桌面，其转速不得超过( )
A． B．2π
C． D．
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[针对训练]
1．如图所示，A、B、C三个物体放在水平旋转平台上随平台一起做匀速圆周运动，三个物体与旋转平台间的动摩擦因数均为μ，已知A的质量为2m，B、C的质量均为m，A、B离转轴的距离均为R，C距离转轴2R，以下说法正确的是( )
A．若转速加快，A最先相对平台滑动
B．若转速加快，C一定不会最先相对平台滑动
C．若都没相对平台滑动，则向心加速度aA＝aC>aB
D．若都没相对平台滑动，则摩擦力fA＝fC>fB
2．市面上有一种自动计数的智能呼啦圈深受大众喜爱。如图甲所示，腰带外侧带有轨道，将带有滑轮的短杆穿入轨道，短杆的另一端悬挂一根带有配重的细绳，其简化模型如图乙所示。已知配重(可视为质点)质量m＝0.5 kg，绳长为L＝0.4 m，悬挂点到腰带中心的距离为r0＝0.2 m。水平固定好腰带，通过人体微小扭动，使配重做水平匀速圆周运动，计数器显示在1 min内转动圈数为120圈，此时绳子与竖直方向夹角为θ。配重运动过程中腰带可看作不动，重力加速度取g＝10 m/s2, sin 37°＝0.6，下列说法正确的是 ( )
A．匀速转动时，配重受到的合力恒定不变
B．若增大转速，腰受到腰带的弹力变大
C．配重的角速度是120 rad/s
D．θ为37°
竖直平面内圆周运动的问题
1．轻绳和轻杆模型概述
在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等)，称为“轻绳模型”；二是有支撑(如球与杆连接，小球在弯管内运动等)，称为“轻杆模型”。
2．两类模型分析对比
模型 轻绳模型 轻杆模型
常见 类型 均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球
过最高 点的临 界条件 v临＝ v临＝0
讨论 分析 (1)能过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN (2)不能过最高点时，v＜，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道，如图所示 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心 (2)当0＜v＜时，－FN＋mg＝m，FN背离圆心，随v的增大而减小 (3)当v＝时，FN＝0 (4)当v＞时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大
在最高点 的FN-v2 图线
轻绳模型
【典例4】 (多选)用细绳拴着质量为m的小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，重力加速度为g，如图所示。则下列说法正确的是( )
A．小球通过最高点时，绳子张力可以为0
B．小球通过最高点时的最小速度是0
C．小球刚好通过最高点时的速度是
D．小球通过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受重力方向相反
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轻杆模型
【典例5】 如图所示，轻杆长为2L，中点装在水平轴O处，A、B两端分别固定着小球A和B，A球的质量为m，B球的质量为2m，两者一起在竖直平面内绕O轴做圆周运动，重力加速度为g。
(1)若A球在最高点时，杆A端恰好不受力，求此时A球的速度大小；
(2)若B球到最高点时的速度等于，求此时杆A端的受力大小和方向；
(3)若杆的转速可以逐渐变化，能否出现O轴不受力的情况？若不能，用公式推导说明理由。若能，则求出此时A、B球的速度大小。
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竖直平面内圆周运动的分析方法
(1)明确运动的模型，是轻绳模型还是轻杆模型。
(2)明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点。
(3)分析物体在最高点或最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解。
斜面上圆周运动
【典例6】 如图所示，倾斜放置的圆盘绕着中轴匀速转动，圆盘的倾角为37°，在距转动中心r＝0.1 m处放一小木块，小木块跟随圆盘一起转动，小木块与圆盘的动摩擦因数为μ＝0.8(最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力)。若要保持小木块不相对圆盘滑动，圆盘转动的角速度最大值为(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)( )
A．8 rad/s B．2 rad/s
C． rad/s D． rad/s
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斜面内圆周运动的分析方法
物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力大小相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化。
物体在转动过程中，转动越快，越容易发生相对滑动，最容易滑动的位置是最低点，恰好滑动时有μmg cos θ－mg sin θ＝mω2R。
[针对训练]
3．某游乐场中的“过山车”有两个半径分别为r1、r2的圆形轨道，固定在竖直平面内，如图所示，某游客乘坐的小车从倾斜轨道上滑下，连续经过两圆形轨道的最高点O、P时速度大小分别为v1、v2，若在这两点，小车对轨道的压力都为零，则v1∶v2为( )
A． B．
C． D．
4．(多选)如图所示，竖直平面内固定有一个半径为R的光滑圆环形细管，现给小球(直径略小于管内径)一个初速度，使小球在管内做圆周运动，小球通过最高点时的速度为v，已知重力加速度为g，则下列叙述正确的是( )
A．v的极小值为0
B．v由0逐渐增大的过程中，轨道对球的弹力先减小再增大
C．当v由值逐渐增大的过程中，轨道对小球的弹力也逐渐增大
D．当v由值逐渐减小的过程中，轨道对小球的弹力也逐渐减小
素养提升课(三) 水平面和竖直平面内的圆周运动
[探究重构·关键能力达成]
典例1 解析：(1)当恰由最大静摩擦力提供向心力时，绳子拉力为零，此时角速度达到最大，如图甲所示，设此时转盘转动的角速度为ω0，则μmg＝r，得ω0＝。
(2)当ω＝时，ω＞ω0，所以绳子的拉力F和最大静摩擦力共同提供向心力，如图乙所示，此时F＋μmg＝mω2r，代入数据解得F＝μmg。
答案：(1) (2)μmg
典例2 D [当角速度较小时，A、B均靠静摩擦力提供向心力，由于B转动的半径较大，则B先达到最大静摩擦力，角速度继续增大，则轻绳出现拉力，当A的静摩擦力达到最大时，角速度增大，A、B开始发生相对滑动，可知B的静摩擦力方向一直指向圆心，在绳子出现张力前，A、B的角速度相等，半径之比为1∶2，则静摩擦力之比为1∶2，当轻绳出现张力后，A、B的静摩擦力之比不是1∶2，故A、B错误；当摩擦力刚好提供B做圆周运动的向心力时，轻绳开始产生拉力，则kmg＝mω2·2L，解得ω＝ ，故C错误；当A的摩擦力达到最大时，A、B将要开始滑动，对A有kmg－FT＝mLω′2，对B有FT＋kmg＝m·2Lω′2，解得ω′＝ ，故D正确。]
典例3 D [对小球受力分析，小球受三个力的作用，重力mg、水平桌面支持力FN、绳子拉力F。小球所受合力提供向心力，设绳子与竖直方向夹角为θ，由几何关系可知R＝h tan θ，受力分析可知F cos θ＋FN＝mg，F sin θ＝m＝mω2R＝4mπ2n2R＝4mπ2n2h tan θ；当球即将离开水平桌面时，FN＝0，转速n有最大值，此时nm＝，故选D。]
[针对训练]
1．D [A、B、C同轴转动，则角速度相等，向心力Fn＝mω2r，可知A、C所需向心力大小相等；由于最大静摩擦力f＝μN，可知A的最大静摩擦力大于C的最大静摩擦力，所以当平台转速增加时，C比A先滑动，同理可得A、B同时滑动，故选项A、B错误；若都没相对平台滑动，A、B、C三个物体的角速度相等，根据an＝rω2可知，C的轨道半径最大，C的向心加速度最大，A、B的向心加速度相等，即aC>aB＝aA，故选项C错误；若都没相对平台滑动，A、B、C三个物体做匀速圆周运动，靠静摩擦力提供向心力，fA＝2mRω2，fB＝mRω2，fC＝2mRω2，可知B物体所受的摩擦力最小，A、C物体所受的摩擦力相等，即fA＝fC>fB，故选项D正确。]
2．B [匀速转动时，配重受到的合力提供向心力，其大小不变，但方向变化，故配重受到的合力改变，故A错误；以配重为研究对象，其受到重力和拉力，如图1所示，在竖直方向，根据平衡条件可得T cos θ＝mg，配重转速增大，θ增大、T增大，设腰带的质量为M，对腰带进行受力分析，如图2所示，在水平方向，根据平衡条件可得N＝T sin θ，若增大转速，T和θ都增大，根据牛顿第三定律得腰受到腰带的弹力变大，故B正确；计数器显示在1 min内转动圈数为120圈，可得转动周期T＝ min＝0.5 s，角速度ω＝ rad/s＝4π rad/s，故C错误；根据图1结合牛顿第二定律可得mg tan θ＝mr，由题意知r＝r0＋L sin θ，联立可得θ不等于37°，故D错误。]
典例4 AC [设小球通过最高点时的速度为v，由合力提供向心力及牛顿第二定律得mg＋FT＝m。当FT＝0时，v＝，故A正确；当v＜时，FT＜0，而绳子只能产生拉力，不能产生与重力方向相反的支持力，故B、D错误；当v>时，FT＞0，小球能沿圆弧通过最高点，可见v＝是小球能沿圆弧通过最高点的临界条件，故C正确。]
典例5 解析：(1)若A球在最高点时，杆A端恰好不受力，则A球的重力提供向心力
即mg＝m，解得v＝。
(2)由于两球的线速度大小相等，故A球的速度也为。
对A球有TOA－mg＝m
解得TOA＝2mg，方向竖直向上
由牛顿第三定律可知，此时杆A端的受力大小为2mg，方向竖直向下。
(3)要使O轴不受力，根据B球的质量大于A球的质量，可判断B球应在最高点，且此时杆对A、B均表现为拉力。
对B球有TOB′＋2mg＝
对A球有TOA′－mg＝
O轴不受力时，TOA′＝TOB′，又有vA＝vB
解得vA＝vB＝。
答案：(1) (2)2mg，方向竖直向下 (3)O轴能不受力
典例6 B [只要小木块转过最低点时不发生相对滑动就能始终不发生相对滑动，设其经过最低点时所受静摩擦力为f，由牛顿第二定律有f－mg sin θ＝mrω2，为保证不发生相对滑动需要满足f≤μmg cos θ，联立解得ω≤2 rad/s。故选B。]
[针对训练]
3．B [在这两点，小车对轨道的压力都为零，则mg＝，mg＝，则，故选B。]
4．ABC [当v较小时，对小球通过最高点，由牛顿第二定律mg－FN＝m，代入FN＝mg可得，等式成立，说明v的极小值为0，故选项A正确；当v较小在0～范围内变化时，由mg－FN＝m可知，FN随着v的减小而逐渐增大，随着v的增大而逐渐减小，当v在大于范围内逐渐变大时，由mg＋FN＝m可知，FN随着v的增大而逐渐变大，故选项B、C正确，D错误。]
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素养提升课(三)
水平面和竖直平面内的圆周运动
第六章 圆周运动
学习任务
1．掌握水平面内圆周运动的受力特点和分析解决方法。
2．掌握竖直面内圆周运动的受力特点和分析解决方法。
探究重构·关键能力达成
探究1 水平面内圆周运动问题
1．常见运动模型分析
模型 圆盘模型 圆锥摆模型
图示
模型 圆盘模型 圆锥摆模型
分析
2．解决圆周运动临界问题的一般思路
(1)要考虑达到临界条件时物体所处的状态。
(2)分析该状态下物体的受力特点。
(3)结合圆周运动知识，列出相应的动力学方程分析求解。
3．临界问题的常见模型
模型 圆盘模型 圆锥摆模型
图示
模型 圆盘模型 圆锥摆模型
分析 图(a)：物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力 图(b)(c)：临界条件为两物体同时发生相对滑动，且摩擦力方向同向 ①压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零
②绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等
角度1 圆盘模型
【典例1】 如图所示，水平转盘上放有一质量为m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，g为重力加速度，转盘的角速度由零逐渐增大，求：
(1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度；
(2)当角速度为时，绳子对物体拉力的大小。
[解析] (1)当恰由最大静摩擦力提供向心力时，绳子拉力为零，此时角速度达到最大，如图甲所示，设此时转盘转动的角速度为ω0，则μmg＝r，得ω0＝。
(2)当ω＝时，ω＞ω0，所以
绳子的拉力F和最大静摩擦力共同
提供向心力，如图乙所示，此时F＋μmg＝mω2r，代入数据解得F＝μmg。
[答案] (1) (2)μmg
【典例2】 如图所示，两个相同的小木块A和B(均可看作质点)，质量均为m，用长为L的轻绳连接，置于水平圆盘的同一半径上，A与竖直轴的距离为L，此时绳子恰好伸直且无弹力，木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )
A．木块A、B所受的摩擦力始终相等
B．木块B所受摩擦力总等于木块A所受摩擦力的两倍
C．ω＝是轻绳开始产生弹力的临界角速度
D．若ω＝，则木块A、B将要相对圆盘发生滑动
√
D [当角速度较小时，A、B均靠静摩擦力提供向心力，由于B转动的半径较大，则B先达到最大静摩擦力，角速度继续增大，则轻绳出现拉力，当A的静摩擦力达到最大时，角速度增大，A、B开始发生相对滑动，可知B的静摩擦力方向一直指向圆心，在绳子出现张力前，A、B的角速度相等，半径之比为1∶2，则静摩擦力之比为1∶2，当轻绳出现张力后，A、B的静摩擦力之比不是1∶2，故A、B错误；当摩擦力刚好提供B做圆周
运动的向心力时，轻绳开始产生拉力，则kmg＝mω2·2L，解得ω＝ ，故C错误；当A的摩擦力达到最大时，A、B将要开始滑动，对A有kmg－FT＝mLω′2，对B有FT＋kmg＝m·2Lω′2，解得ω′＝ ，故D正确。]
角度2 圆锥摆模型
【典例3】 细绳一端系住一个质量为m的小球(可视为质点)，另一端固定在光滑水平桌面上方h高度处，绳长l大于h，使小球在桌面上做如图所示的匀速圆周运动，重力加速度为g。若要小球不离开桌面，其转速不得超过( )
√
A． B．2π
C． D．
D [对小球受力分析，小球受三个力的作用，重力mg、水平桌面支持力FN、绳子拉力F。小球所受合力提供向心力，设绳子与竖直方向夹角为θ，由几何关系可知R＝h tan θ，受力分析可知F cos θ＋FN＝mg，F sin θ＝m＝mω2R＝4mπ2n2R＝4mπ2n2h tan θ；当球即将离开水平桌面时，FN＝0，转速n有最大值，此时nm＝，故选D。]
【教用·备选例题】
1．(多选)如图所示，AB为竖直放置的光滑圆筒，一根长细绳穿过圆筒后一端连着质量为m1＝5 kg的小球(可视为质点)，另一端和细绳BC(悬点为B)在结点C处共同连着一质量为m2的小球(可视为质点)，
长细绳能承受的最大拉力为60 N，细绳BC能承受的最大
拉力为27.6 N。圆筒顶端A到C点的距离l1＝1.5 m，细绳
BC刚好被水平拉直时长l2＝0.9 m，转动圆筒并逐渐缓慢
增大角速度，在BC绳被拉直之前，用手拿着m1，保证
其位置不变，在BC绳被拉直之后，放开m1，重力加速
度g取10 m/s2，下列说法正确的是( )
A．在BC绳被拉直之前，AC绳中拉力逐渐增大
B．当角速度ω＝ rad/s时，BC绳刚好被拉直
C．当角速度ω＝3 rad/s时，AC绳刚好被拉断
D．当角速度ω＝4 rad/s时，BC绳刚好被拉断
√
√
√
ABD [转动圆筒并逐渐缓慢增大角速度的过程中，AC绳与竖直方向的夹角θ逐渐增大，m2竖直方向处于平衡，由FTACcos θ＝m2g，可知在BC绳被拉直之前，AC绳中拉力逐渐增大，A正确；BC绳刚好被拉直时，由几何关系可知AC绳与竖直方向的夹角的正弦值sin θ＝，对小球m2受力分析，由牛顿第二定律可知m2g tan θ＝l2，解得ω1＝ rad/s，B正确；当ω＝3 rad/s> rad/s，BC绳被拉直且放开了m1，m1就一直处于平衡状态，AC绳中拉力不变且为50 N，小于AC绳承受的最大拉力，AC未被拉断，C错误；对小球m2，竖直方向有m1g cos θ＝m2g，可得m2＝4 kg，当BC被拉断时有m1g sin θ＋FTBC＝l2，解得ω2＝4 rad/s，D正确。]
2．如图所示，质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的B点和A点，绳a长为L，与水平方向成θ角时绳b恰好在水平方向伸直。当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，a、b绳均拉直。重力加速度为g，则( )
A．a绳的拉力可能为零
B．a绳的拉力随角速度的增大而增大
C．当角速度ω>时，b绳中拉力不为零
D．当角速度ω>时，若a绳突然被剪断，则b绳仍可保持水平
√
C [小球做匀速圆周运动，在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，所以a绳在竖直方向上的分力与小球重力相等，可知a绳的拉力不可能为零，A错误；根据竖直方向上受力平衡得Fa sin θ＝mg，解得Fa＝，可知a绳的拉力不变，与角速度无关，B错误；当b绳拉力为零时，有＝mω2L cos θ，解得ω＝，可知当角速度ω>时，b绳出现拉力，C正确；若a绳突然被剪断，由于重力作用，则b绳不能保持水平，D错误。]
[针对训练]
1．如图所示，A、B、C三个物体放在水平旋转平台上随平台一起做匀速圆周运动，三个物体与旋转平台间的动摩擦因数均为μ，已知A的质量为2m，B、C的质量均为m，A、B离转轴的距离均为R，C距离转轴2R，以下说法正确的是( )
A．若转速加快，A最先相对平台滑动
B．若转速加快，C一定不会最先相对平台滑动
C．若都没相对平台滑动，则向心加速度aA＝aC>aB
D．若都没相对平台滑动，则摩擦力fA＝fC>fB
√
D [A、B、C同轴转动，则角速度相等，向心力Fn＝mω2r，可知A、C所需向心力大小相等；由于最大静摩擦力f＝μN，可知A的最大静摩擦力大于C的最大静摩擦力，所以当平台转速增加时，C比A先滑动，同理可得A、B同时滑动，故选项A、B错误；若都没相对平台滑动，A、B、C三个物体的角速度相等，根据an＝rω2可知，C的轨道半径最大，C的向心加速度最大，A、B的向心加速度相等，即aC>aB＝aA，故选项C错误；若都没相对平台滑动，A、B、C三个物体做匀速圆周运动，靠静摩擦力提供向心力，fA＝2mRω2，fB＝mRω2，fC＝2mRω2，可知B物体所受的摩擦力最小，A、C物体所受的摩擦力相等，即fA＝fC>fB，故选项D正确。]
2．市面上有一种自动计数的智能呼啦圈深受大众喜爱。如图甲所示，腰带外侧带有轨道，将带有滑轮的短杆穿入轨道，短杆的另一端悬挂一根带有配重的细绳，其简化模型如图乙所示。已知配重(可视为质点)质量m＝0.5 kg，绳长为L＝0.4 m，悬挂点到腰带中心的距离为r0＝0.2 m。水平固定好腰带，通过人体微小扭动，使配重做水平匀速圆周运动，计数器显示在1 min内转动圈数为120圈，此时
绳子与竖直方向夹角为θ。配重运
动过程中腰带可看作不动，重力加
速度取g＝10 m/s2, sin 37°＝0.6，
下列说法正确的是 ( )
A．匀速转动时，配重受到的合力恒定不变
B．若增大转速，腰受到腰带的弹力变大
C．配重的角速度是120 rad/s
D．θ为37°
√
B [匀速转动时，配重受到的合力提供向心力，其大小不变，但方向变化，故配重受到的合力改变，故A错误；以配重为研究对象，其受到重力和拉力，如图1所示，在竖直方向，根据平衡条件可得T cos θ＝mg，配重转速增大，θ增大、T增大，设腰带的质量为M，对腰带进行受力分析，如图2所示，
在水平方向，根据平衡条件可得N＝T sin θ，若增大转速，T和θ都增大，根据牛顿第三定律得腰受到腰带的弹力变大，故B正确；计数器显示在1 min内转动圈数为120圈，可得转动周期T＝ min＝0.5 s，角速度ω＝ rad/s＝4π rad/s，故C错误；根据图1结合牛顿第二定律可得mg tan θ＝mr，由题意知r＝r0＋L sin θ，联立可得θ不等于37°，故D错误。]
探究2 竖直平面内圆周运动的问题
1．轻绳和轻杆模型概述
在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等)，称为“轻绳模型”；二是有支撑(如球与杆连接，小球在弯管内运动等)，称为“轻杆模型”。
2．两类模型分析对比
模型 轻绳模型 轻杆模型
常见 类型 均是没有支撑的小球
均是有支撑的小球
过最高 点的临 界条件 v临＝0
模型 轻绳模型
讨论 分析
轻杆模型
模型 轻绳模型 轻杆模型
在最高点 的FN-v2 图线
角度1 轻绳模型
【典例4】 (多选)用细绳拴着质量为m的小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，重力加速度为g，如图所示。则下列说法正确的是( )
A．小球通过最高点时，绳子张力可以为0
B．小球通过最高点时的最小速度是0
C．小球刚好通过最高点时的速度是
D．小球通过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受重力方向相反
√
√
AC [设小球通过最高点时的速度为v，由合力提供向心力及牛顿第二定律得mg＋FT＝m。当FT＝0时，v＝，故A正确；当v＜时，FT＜0，而绳子只能产生拉力，不能产生与重力方向相反的支持力，故B、D错误；当v>时，FT＞0，小球能沿圆弧通过最高点，可见v＝是小球能沿圆弧通过最高点的临界条件，故C正确。]
角度2 轻杆模型
【典例5】 如图所示，轻杆长为2L，中点装在水平轴O处，A、B两端分别固定着小球A和B，A球的质量为m，B球的质量为2m，两者一起在竖直平面内绕O轴做圆周运动，重力加速度为g。
(1)若A球在最高点时，杆A端恰好不受力，求此时A球的速度大小；
(2)若B球到最高点时的速度等于，求此时杆A端的受力
大小和方向；
(3)若杆的转速可以逐渐变化，能否出现O轴不受力的情况？
若不能，用公式推导说明理由。若能，则求出此时A、B球
的速度大小。
[解析] (1)若A球在最高点时，杆A端恰好不受力，则A球的重力提供向心力
即mg＝m，解得v＝。
(2)由于两球的线速度大小相等，故A球的速度也为。
对A球有TOA－mg＝m
解得TOA＝2mg，方向竖直向上
由牛顿第三定律可知，此时杆A端的受力大小为2mg，方向竖直向下。
(3)要使O轴不受力，根据B球的质量大于A球的质量，可判断B球应在最高点，且此时杆对A、B均表现为拉力。
对B球有TOB′＋2mg＝
对A球有TOA′－mg＝
O轴不受力时，TOA′＝TOB′，又有vA＝vB
解得vA＝vB＝。
[答案] (1) (2)2mg，方向竖直向下 (3)O轴能不受力
规律方法 竖直平面内圆周运动的分析方法
(1)明确运动的模型，是轻绳模型还是轻杆模型。
(2)明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点。
(3)分析物体在最高点或最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解。
角度3 斜面上圆周运动
【典例6】 如图所示，倾斜放置的圆盘绕着中轴匀速转动，圆盘的倾角为37°，在距转动中心r＝0.1 m处放一小木块，小木块跟随圆盘一起转动，小木块与圆盘的动摩擦因数为μ＝0.8(最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力)。若要保持小木块不相对圆盘滑动，圆盘转动的角速度最大值为(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)( )
A．8 rad/s B．2 rad/s
C． rad/s D． rad/s
√
B [只要小木块转过最低点时不发生相对滑动就能始终不发生相对滑动，设其经过最低点时所受静摩擦力为f，由牛顿第二定律有f－mg sin θ＝mrω2，为保证不发生相对滑动需要满足f≤μmg cos θ，联立解得ω≤2 rad/s。故选B。]
规律方法 斜面内圆周运动的分析方法
物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力大小相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化。
物体在转动过程中，转动越快，越容易发生相对滑动，最容易滑动的位置是最低点，恰好滑动时有μmg cos θ－mg sin θ＝mω2R。
[针对训练]
3．某游乐场中的“过山车”有两个半径分别为r1、r2的圆形轨道，固定在竖直平面内，如图所示，某游客乘坐的小车从倾斜轨道上滑下，连续经过两圆形轨道的最高点O、P时速度大小分别为v1、v2，若在这两点，小车对轨道的压力都为零，则v1∶v2为( )
A． B．
C． D．
√
B [在这两点，小车对轨道的压力都为零，则mg＝，mg＝，则，故选B。]
4．(多选)如图所示，竖直平面内固定有一个半径为R的光滑圆环形细管，现给小球(直径略小于管内径)一个初速度，使小球在管内做圆周运动，小球通过最高点时的速度为v，已知重力加速度为g，则下列叙述正确的是( )
A．v的极小值为0
B．v由0逐渐增大的过程中，轨道对球的弹力先减小再增大
C．当v由值逐渐增大的过程中，轨道对小球的弹力也逐渐增大
D．当v由值逐渐减小的过程中，轨道对小球的弹力也逐渐减小
√
√
√
ABC [当v较小时，对小球通过最高点，由牛顿第二定律mg－FN＝m，代入FN＝mg可得，等式成立，说明v的极小值为0，故选项A正确；当v较小在0～范围内变化时，由mg－FN＝m可知，FN随着v的减小而逐渐增大，随着v的增大而逐渐减小，当v在大于范围内逐渐变大时，由mg＋FN＝m可知，FN随着v的增大而逐渐变大，故选项B、C正确，D错误。]
一、选择题
1．杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m 的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g＝10 m/s2)( )
1
题号
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3
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10
11
素养提升练(三)
A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零
C．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N
1
题号
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B [“水流星”在最高点的速度v＝4 m/s＝，由此可知绳的拉力恰为零，且水恰不流出，“水流星”只受重力作用，处于完全失重状态，容器底部受到的压力为零，故只有B正确。]
√
2．小明家餐桌的上面一层是半径为40 cm的转盘，餐具放在上面可随盘绕盘中心的转轴转动，已知菜碟和转盘表面间的动摩擦因数为0.64。妈妈将一碟菜放在转盘边缘后离开了，调皮的小明转动转盘，结果菜碟从转盘上滑落。若转盘的转动可认为是匀速转动，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2，则小明转动转盘的角速度至少为( )
A．16.0 rad/s B．4.0 rad/s
C．2.56 rad/s D．1.6 rad/s
1
题号
2
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11
√
B [菜碟放在转盘边缘随转盘一起转动时，由静摩擦力提供菜碟做圆周运动的向心力，随着角速度的增大，静摩擦力也逐渐增大，当静摩擦力达到最大值时，有μmg＝mω2r，代入数据解得ω＝4.0 rad/s，故选B。]
1
题号
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11
3．(多选)如图所示，在粗糙木板上放一个物块，使木板和物块一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，ab为水平直径，cd为竖直直径，在运动过程中木板始终保持水平，物块相对木板始终静止，则( )
A．物块始终受到三个力作用
B．只有在a、b、c、d四点，物块所受的合力才指向圆心
C．从a到b，物块所受的摩擦力先减小后增大
D．从b到a，物块处于超重状态
√
1
题号
2
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11
√
CD [在c、d两点处，物块只受重力和支持力，在其他位置处物块受到重力、支持力、静摩擦力三个力作用，选项A错误；物块做匀速圆周运动，合力提供向心力，所以合力始终指向圆心，选项B错误；从a运动到b，物体的加速度的方向始终指向圆心，水平方向的加速度先减小后反向增大，根据牛顿第二定律可得，物块所受木板的摩擦力先减小后增大，选项C正确；从b运动到a，向心加速度有向上的分量，所以物体处于超重状态，选项D正确。]
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题号
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11
4．一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙物体质量分别为M和m(M>m)，它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ倍，两物体用一根长为L(LA． B．
C． D．
√
1
题号
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D [当转盘以最大角速度转动时，绳子的拉力等于甲的最大静摩擦力，绳的拉力和乙所受的最大静摩擦力的合力提供乙做圆周运动的向心力，以M为研究对象有F＝μMg，以m为研究对象有F＋μmg＝mLω2，可得ω＝，选项D正确。]
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题号
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5．(多选)如图所示，质量为m的小环套在竖直平面内半径为R的光滑大圆环轨道上做圆周运动，重力加速度为g。小环经过大圆环最高点时，下列说法正确的是( )
A．小环对大圆环的压力可以等于mg
B．小环对大圆环的拉力可以等于mg
C．小环的线速度大小不可能小于
D．小环的向心加速度可以等于g
√
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题号
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11
√
√
ABD [当小环对大圆环的压力等于mg时，对小环受力分析有mg－N＝m，解得v＝0，A正确，C错误；当小环对大圆环的拉力等于mg时，对小环受力分析有N＋mg＝m，解得v＝，B正确；当小环与大圆环没有相互作用力时，对小环受力分析有mg＝ma，解得a＝g，D正确。]
1
题号
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6．长度为L＝0.50 m的轻质细杆OA，A端有一质量为m＝3.0 kg的小球，如图所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0 m/s，g取10 m/s2，则此时细杆OA受到
( )
A．6.0 N的拉力 B．6.0 N的压力
C．24.0 N的拉力 D．24.0 N的压力
√
1
题号
2
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11
B [设小球以速率v0通过最高点时，小球对杆的作用力恰好为零，即mg＝，得v0＝ m/s＝ m/s。由于v＝2.0 m/s < m/s，可知过最高点时，小球对细杆产生压力，细杆对小球有支持力，如图所示为小球的受力情况图，由牛顿第二定律有mg－FN＝m，解得FN＝mg－m＝3.0×10 N－3.0× N＝6.0 N，由牛顿第三定律知，细杆OA受到6.0 N的压力，B正确。]
1
题号
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7．如图所示，放在水平转台上的物体A、B、C正随转台一起以角速度ω匀速转动，三者质量均为m，B与转台、C与转台、A与B间的动摩擦因数均为μ，B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，以下说法正确的是( )
A．B对A的摩擦力有可能为μmg
B．C与转台间的摩擦力小于A与B间的摩擦力
C．转台的角速度有可能恰好等于
D．若角速度在题干所述基础上缓慢增大，
B与桌面间将最先发生相对滑动
√
1
题号
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11
C [对A、B整体，有2mω2r≤μ·2mg，对物体C，有mω2(1.5r)≤μmg，对物体A有mω2r≤μmg，联立解得ω≤，即满足不发生相对滑动，转台的角速度ω≤，A与B间的静摩擦力最大值f＝mω2r＝μmg，
故A错误，C正确；由于A与C转动的角速度相同，由摩擦力提供向心力，A所受摩擦力fA＝mω2r，C所受摩擦力fC＝1.5mω2r，即C与转台间的摩擦力大于A与B间的摩擦力，故B错误；据A项分析知，当转速增加时，物体C最先达到最大静摩擦力，则最先发生相对滑动的是物体C，故D错误。]
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题号
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8．(多选)如图所示，两个质量均为m的小物块a和b(可视为质点)，静止在倾斜的匀质圆盘上，圆盘可绕垂直于盘面的固定轴转动，a到转轴的距离为L，b到转轴的距离为2L，物块与盘面间的动摩擦因数为，盘面与水平面的夹角为30°。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，若a、b随圆盘以
角速度ω匀速转动，下列说法正确的是( )
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题号
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A．a在最高点时所受摩擦力不可能为0
B．a在最低点时所受摩擦力不可能为0
C．a、b均不发生滑动时圆盘角速度的最大值为ω＝
D．a、b均不发生滑动时圆盘角速度的最大值为ω＝
1
题号
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√
√
√
ABC [设在最高点，a若所受的摩擦力为零，则靠重力沿圆盘的分力提供向心力，有mg sin 30°＝mLω2，在最低点，有f－mg sin 30°＝mLω2，联立解得最低点的摩擦力f＝mg，而最大静摩擦力fm＝μmg cos 30°＝0.75mg，可知a在最高点和最低点的摩擦力都不能为零，故A、B正确；对a在最低点，根据牛顿第二定律得μmg cos 30°－mg sin 30°＝mLω2，
解得a开始滑动的临界角速度ω＝，对b在最低点，根据牛顿第二定律得μmg cos 30°－mg sin 30°＝m·2Lω′2，解得b开始滑动的临界角速度ω′＝，故a、b均不发生滑动时圆盘角速度的最大值为，故C正确，D错误。故选ABC。]
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题号
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二、非选择题
9．如图所示，A和B两物块(可视为质点)放在转盘上，A的质量为m，B的质量为2m，两者用长为l的细绳连接，A距转轴距离为l，两物块与转盘间的动摩擦因数均为μ，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，细绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，重力加速度为g，求：
(1)角速度ω为何值时，绳上刚好出现拉力；
(2)角速度ω为何值时，A、B开始与转盘发生相对滑动。
1
题号
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[解析] (1)开始时两物块都靠静摩擦力提供向心力，转动半径更大的B先达到最大静摩擦力，此时绳子开始出现弹力，根据牛顿第二定律有
μ·2mg＝·2l
解得ω1＝
故角速度为时，绳上刚好出现拉力。
1
题号
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(2)当A、B所受的摩擦力均达到最大静摩擦力时，A、B开始相对于转盘滑动，根据牛顿第二定律，
对A有μmg－T＝l
对B有μ·2mg＋T＝·2l
联立解得ω2＝
故角速度为时，A、B开始与转盘发生相对滑动。
1
题号
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[答案] (1) (2)
10．如图所示，倾角为θ的斜面ABC固定在可以绕竖直转轴OO′转动的水平转台上，斜面底端A在转轴OO′上。一质量为m、可视为质点的小物块置于斜面上与A点距离为L处，当小物块与斜面一起随转台以一定的角速度匀速转动时，小物块与斜面间恰好无摩擦力。重力加速度大小为g，sin θ＝0.6，求：
(1)小物块对斜面的压力大小F压；
(2)小物块的角速度ω。
1
题号
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11
[解析] (1)对小物块受力分析，如图所示
根据几何知识可得FN＝
则小物块对斜面的压力大小为
F压＝FN＝。
(2)根据牛顿第二定律可得mg tan θ＝mω2r
根据几何知识可得r＝L cos θ
联立可得，小物块的角速度为ω＝。
1
题号
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[答案] (1)mg (2)
11．如图所示，在光滑的圆锥顶端，用长L＝2 m的细绳悬挂一质量m＝1 kg的小球，圆锥顶角2θ＝74°(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。求：
(1)当小球以ω1＝1 rad/s的角速度随圆锥体做匀速
圆周运动时，细绳上的拉力大小；
(2)当小球以ω2＝5 rad/s的角速度随圆锥体做匀速
圆周运动时，细绳上的拉力大小。
1
题号
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11
[解析] (1)设小球刚要离开锥面时的角速度为ω0，此时锥面对它的支持力为零，根据牛顿第二定律，得mg tan θ＝L sin θ
代入数据解得ω0＝2.5 rad/s
当ω1＝1 rad/s<2.5 rad/s时，小球没有离开锥面，对小球进行受力分析，如图1，水平方向根据牛顿第二定律，得FTsin θ－FNcos θ＝L sin θ
竖直方向根据平衡条件，得
FTcos θ＋FNsin θ＝mg
联立并代入数据解得FT＝8.72 N。
1
题号
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(2)当ω2＝5 rad/s>2.5 rad/s时，小球离开锥面，设细绳与竖直方向的夹角为β，对小球进行受力分析，如图2，根据牛顿第二定律，得
FT1sin β＝L sin β
解得FT1＝50 N。
1
题号
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[答案] (1)8.72 N (2)50 N
章末综合测评(二)
√
一、选择题(共10小题，1～7题为单选题，8～10题为多选题)
1．如图所示，在光滑水平桌面上，固定一个陀螺形柱体，不可伸长的细绳一端固定在柱体腰部中央，另一端与小球相连，细绳足够长，初始时处于伸直状态，现给小球一个垂直于细绳且平行于桌面的初速度v0，不计细绳和柱体间的摩擦，细绳始终和桌面平行。下列说法正确的是( )
A．小球受到4个力作用 B．小球做匀速圆周运动
C．小球的速率逐渐增大 D．细绳的拉力逐渐增大
题号
1
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题号
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D [小球绕陀螺形柱体转动，受到重力、支持力和绳子拉力共三个力作用，故A错误；拉力方向始终与速度方向垂直，拉力不做功，小球的速度大小不变，但是半径减小，所以不是匀速圆周运动，故B、C错误；根据F＝m可知，线速度大小不变，半径减小，则绳子的拉力越来越大，故D正确。]
题号
2
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√
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2．乘坐游乐园的过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内沿圆周轨道运动，下列说法正确的是( )
A．车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，若没有保险带，人一定会掉下去
B．人在最高点时对座位仍可能产生压力，且压力一定小于mg
C．人在最低点时对座位的压力大于mg，人处于超重状态
D．人在最低点时，是由所受的弹力来提供向心力
题号
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C [当人与保险带间恰好没有作用力，由重力提供向心力mg＝，解得v0＝，当过山车在最高点的速度大于等于v0时，若没有保险带，人不会掉下去，故A错误；过山车在最高点时根据牛顿第二定律有FN＋mg＝m，可知人在最高点时对座位仍可能产生压力，且压力可能大于mg，故B错误；人在最低点时，加速度方向竖直向上，根据牛顿第二定律可知人对座位的压力大于mg，人处于超重状态，故C正确；人在最低点时，是由所受的弹力和重力的合力来提供向心力，故D错误。]
1
题号
3
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3．如图所示，某场地自行车比赛中圆形赛道的路面与水平面有一夹角，运动员骑自行车在该赛道上做匀速圆周运动时，自行车恰好不受径向摩擦力，下列说法正确的是( )
A．运动员受到自行车的作用力方向竖直向上
B．该过程中自行车的加速度保持不变
C．若仅使自行车在更外侧的赛道上做匀速
圆周运动，则自行车仍不受径向摩擦力
D．若仅使运动员骑自行车的速度增大，则自行车将受到沿路面指向内侧的摩擦力
√
1
题号
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D [以运动员为研究对象，运动员受重力和自行车对他的作用力，在竖直方向上受力平衡，故自行车对他的作用力竖直方向的分力与重力大小相等，方向相反，即竖直向上，在水平方向上自行车对他的作用力的分力提供向心力，根据力的合成可知运动员受到自行车的作用力方向不是竖直向上，而是斜向上，故A错误；由于做匀速圆周运动，该过程中自行车的加速度为向心加速度，大小不变，方向时刻变化，加速度为矢量，故B错误；以自行车和运动员整体为研究对象，在该赛道上做匀速圆周运动时，自行车恰好不受径向摩擦力，则整体所受重力与地面对他们的支持力的合力恰好提供向心
1
题号
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力，若仅使自行车在更外侧的赛道上做匀速圆周运动，圆周运动半径增大，根据向心力公式可知在相同速度下外侧赛道所需向心力变小，因此重力和地面支持力的合力大于所需向心力，有做近心运动的趋势，故有沿斜赛道指向外侧的摩擦力，故C错误；若仅使运动员骑自行车的速度增大，根据向心力公式可知在相同半径下所需向心力变大，因此自行车和运动员整体所受的重力和地面支持力的合力不足以提供所需向心力，需有指向圆周运动中心的摩擦力分量一起来提供向心力，故自行车将受到沿路面指向内侧的摩擦力，故D正确。故选D。]
1
题号
4
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√
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4．如图所示，轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，重力加速度为g，以下说法正确的是( )
A．小球过最高点时，杆所受的弹力方向一定竖直向下
B．小球过最高点时，速度至少为
C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D．若把题中的轻杆换为轻绳，其他条件不变，小球过最高点时，速度至少为
1
题号
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15
D [小球过最高点时，当速度为零时，杆受到竖直向下的弹力，大小为mg，当速度为时杆受到的弹力为零，则速度大于时，杆所受的弹力方向一定竖直向上，选项A错误；小球过最高点时，速度至少为零，选项B错误； 小球过最高点时，当速度从零增加到时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小，选项C错误；若把题中的轻杆换为轻绳，其他条件不变，小球过最高点时，最小速度满足mg＝m，即速度至少为，选项D正确。]
1
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
5．如图所示是赛车比赛中的某一弯道，甲、乙、丙三条虚线为赛车过此弯道的三种赛车行驶线路，关于赛车过此弯道的说法正确的是( )
A．三种赛车行驶线路过弯时的位移相同
B．为获得更大的过弯速度，应选择乙赛车线路
C．赛车手过弯时有被向外甩的趋势，故赛车手
过弯时受到的合力指向弯道外侧
D．因赛车过弯时的最大摩擦力相同，故三条赛车线路的最大向心加速度相同
1
题号
2
4
5
3
6
8
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10
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14
15
B [由题图可以看出三种赛车行驶线路过弯时的位移不同，故A错误；由题图可知乙赛车线路的半径最大，根据Fn＝m易知，为获得更大的过弯速度，应选择乙赛车线路，故B正确；赛车手过弯时做圆周运动，故赛车手过弯时受到的合力指向弯道内侧，故C错误；因赛车过弯时的最大摩擦力大小相同，故三条赛车线路的最大向心加速度大小相等，方向始终指向线路的圆心，即方向不同，故D错误。]
1
题号
2
4
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3
6
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13
√
14
15
6．如图所示，内壁光滑的半球形碗固定不动，其轴线垂直于水平面，两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在水平面内做匀速圆周运动，则( )
A．球A的向心加速度大于球B的向心加速度
B．球A对碗壁的压力与球B对碗壁的压力大小相等
C．球A的线速度等于球B的线速度
D．球A的角速度小于球B的角速度
1
题号
2
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15
A [对于任意一球，设其轨道处半球形碗的半径与竖直方向的夹角为β，半球形碗的半径为R，根据重力和支持力的合力提供圆周运动的向心力，得mg tan β＝ma＝m＝mω2r，其中r＝R sin β，可得a＝g tan β，v＝，ω＝，可知R一定，β越大，线速度v越大、角速度ω越大、向心加速度a越大，所以球A的线速度大于球B的线速度，球A的角速度大于球B的角速度，球A的向心加速度大于球B的向心加速度，故A正确，C、D错误；由题图可知，球所受的支持力FN＝，β越大，FN越大，则碗对球A的支持力较大，由牛顿第三定律知球A对碗壁的压力大于球B对碗壁的压力，故B错误。]
1
题号
2
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√
14
15
7．如图所示，质量为M的物体内有光滑圆形轨道，现有一质量为m的小滑块沿该圆形轨道的竖直面做圆周运动，A、C为圆周的最高点和最低点，B、D与圆心O在同一水平线上。小滑块运动时，物体保持静止，关于物体对地面的压力N和地面对物体的摩擦力，下列说法正确的是( )
A．滑块运动到A点时，N＞Mg，摩擦力方向向左
B．滑块运动到B点时，N＝Mg，摩擦力方向向右
C．滑块运动到C点时，N>(M＋m)g，摩擦力方向向左
D．滑块运动到D点时，N＝(M＋m)g，摩擦力方向向左
1
题号
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15
B [滑块运动到A点时，若恰好由重力作为向心力，则滑块与物体间没有相互作用力，则N＝Mg，若滑块速度增大，则滑块对物体的作用力竖直向上，则N(M＋m)g，由于系统在水平方向上不受外力，故地面对物体没有摩擦力，C错误；滑块运动到B点时，滑块与物体在竖直方向没有相互作用，则N＝Mg，滑块对物体有向左的作用力，故物体受到的摩擦力方向向右，B正确；滑块运动到D点时，滑块与物体在竖直方向没有相互作用，则N＝Mg，滑块对物体有向右的作用力，故物体受到的摩擦力方向向左，D错误。]
1
题号
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8．红旗渠是20世纪60年代林县人民在极其艰难的条件下，从太行山腰修建的引漳入林的水利工程，全长1 500千米，参与修建人数近10万，耗时近10年的伟大工程。它孕育并形成了“自力更生、艰苦创业、团结协作、无私奉献”
的红旗渠精神。如图甲所示为
林县人民穿山凿路贯通的一段
山路，乙图为俯视图，一辆汽
车欲安全通过此弯道公路，下
列说法正确的是( )
1
题号
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1
A．若汽车以大小不变的角速度转弯，选择内侧较为安全
B．若汽车以大小不变的线速度转弯，选择内侧较为安全
C．为增大转弯的安全性，修建时可以使外侧路面稍高于内侧路面
D．汽车在转弯时受到重力、支持力、摩擦力和向心力作用
√
√
题号
2
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15
AC [汽车做的是匀速圆周运动，是侧向静摩擦力提供向心力，重力和支持力平衡，所以汽车在转弯时受到重力、支持力和摩擦力作用，向心力是效果力不是物体实际受到的力，故D错误；如果汽车以恒定的角速度转弯，根据Fn＝mω2r，可知在内圈时转弯半径小，所以在内圈时向心力小，则静摩擦力小，不容易打滑，更安全，故A正确；若汽车以恒定的线速度大小转弯，根据Fn＝m，在外圈时转弯半径大，向心力小，此时静摩擦力小，不容易打滑，更安全，故B错误；若路面修成水平的，仅靠静摩擦力作为向心力，易发生交通事故，路面应修成外侧高内侧低，利用车辆受到的支持力的分力补充向心力，可减少交通事故的发生，故C正确。]
1
题号
9
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√
14
15
9．我市某公园有一种叫作“快乐飞机”的游乐项目，模型如图所示，已知模型飞机质量为m，固定在长为L的旋臂上，旋臂与竖直方向夹角为θ(小于90°)，重力加速度为g，当模型飞机以恒定角速度ω绕中央轴在水平面内做匀速圆周运动时，下列说法正确的是( )
A．模型飞机受到重力、旋臂的作用力
B．旋臂对模型飞机的作用力方向一定
与旋臂垂直
C．旋臂对模型飞机的作用力大于mg
D．若仅减小夹角θ，则旋臂对模型飞机的作用力增大
1
√
题号
9
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15
AC [当模型飞机以角速度ω绕中央轴在水平面内做匀速圆周运动时，模型飞机受到重力和支持力的作用，由重力和支持力的合力提供向心力，故A正确；旋臂对模型飞机的作用力方向可以与旋臂不垂直，但在竖直方向和水平方向有分力，且竖直方向的分力等于重力，故B错误；根据旋臂对模型飞机的作用力大小的表达式F＝，所以旋臂对模型飞机的作用力大于mg，若夹角θ减小，则旋臂对模型飞机的作用力减小，故C正确，D错误。]
1
题号
9
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√
14
15
10．如图所示，光滑杆和轻弹簧的一端均固定在O′点，小球A固定在轻弹簧的另一端，现使整个装置环绕竖直轴OO′匀速转动，当角速度为ω0时轻弹簧处于原长状态。则下列说法正确的是( )
A．保持角速度为ω0，仅增加小球的质量，稳定时弹簧
将处于伸长
状态
B．换质量不同的小球转动，若角速度为ω0，稳定时弹
簧仍为原长
C．角速度由ω0逐渐增大，杆对小球的弹力将增大
D．角速度无论如何变化，杆对小球的弹力都不变
1
√
题号
9
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15
BC [令杆与竖直方向夹角为θ，当角速度为ω0时弹簧处于原长，对球体有L0sin θ，则有ω0＝，可知换质量不同的小球转动，若角速度为ω0，稳定时弹簧仍为原长，故A错误，B正确；角速度由ω0逐渐增大，小球将沿杆向上运动，弹簧伸长，且弹力不断变大，小球竖直方向合力为0，则FNsin θ＝mg＋F弹cos θ，即角速度由ω0逐渐增大，杆对小球的弹力FN变大，故C正确，D错误。]
1
题号
9
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二、实验题(共2小题)
11．某实验小组用智能手机软件测量加速度，如图甲所示，将手机(可视为质点)置于转动平台上，固定手机，手机上装载的软件配合手机内的陀螺仪可直接测得手机做圆周运动的角速度ω和向心加速度a，得到了如图乙所示的图像，已知手机离转轴的距离为r。
1
题号
9
2
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3
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15
(1)仅由图乙中的a-ω曲线可以得到的结论是：半径一定时，增大运动的角速度，向心加速度________(选填“增大”“减小”或“不变”)。
(2)半径一定时，为了直观研究向心加速度和角速度的定量关系，得到如图丙所示的过原点的直线，该组同学需要把横坐标改为________(选填“ω2”“”或“”)。
1
增大
ω2
题号
9
2
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14
15
(3)若保持角速度不变，改变半径r，根据测得数据描点作图，处理数据后得到a-r图像，直线斜率为k，则手机运转的角速度ω＝________。
1
[解析] (1)由题图乙可知，半径一定时，增大运动的角速度，向心加速度增大。
(2)由F＝mω2r
可得a＝ω2r
半径一定时，为了直观研究向心加速度和角速度的定量关系，得到如题图丙所示的过原点的直线，该组同学需要把横坐标改为ω2。
题号
9
2
4
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15
(3)由a＝ω2r
可知，若保持角速度不变，改变半径r，根据测得数据描点作图，处理数据后得到a-r图像，直线斜率为k，即k＝ω2
则ω＝。
1
题号
9
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15
12．在“探究向心力大小的表达式”实验中，所用向心力演示仪如图甲、乙所示。图丙是部分原理示意图：其中皮带轮①④的半径相同，轮②的半径是轮①的2倍，轮④的半径是轮⑤的2倍，两转臂上黑白格的长度相等。A、B、C为三根固定在转臂上的短臂，可与转臂上做圆周运动的实验球产生挤压，从而提供向心力，图乙中的标尺1和2可以显示出两球所受向心力的大小关系。可供选择的实验球有：质量均为2m的球Ⅰ和球Ⅱ，质量为m的球Ⅲ。
1
题号
9
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1
题号
9
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15
(1)为探究向心力与圆周运动轨道半径的关系，应将两个实验球分别置于短臂C和短臂________(选填“A”或“B”)处，实验时应将皮带与轮①和________轮相连。
(2)若实验时将皮带与轮②和轮⑤相连，这是要探究向心力与________(选填“质量”或“角速度”)的关系，此时轮②和轮⑤对应的这个物理量值之比为________，且应选择球Ⅰ和球________(选填“Ⅱ”或“Ⅲ”)作为实验球。
1
B
④
角速度
1︰4
Ⅱ
题号
9
2
4
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3
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15
(3)下列实验采用的实验方法与本实验采用的实验方法相同的是________。
A．探究平抛运动的特点
B．探究加速度与力和质量的关系
C．探究小车速度与时间的关系
D．探究两个互成角度的力的合成规律
1
B
题号
9
2
4
5
3
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15
[解析] (1)探究向心力与圆周运动轨道半径的关系时，应控制两球的角速度和质量相同，半径不同，应将两个实验球分别置于短臂C和短臂B处，实验时应将皮带与轮①和轮④相连。
(2)若实验时将皮带与轮②和轮⑤相连，则两转臂的角速度不同，故这是要探究向心力与角速度的关系；应控制两球的质量和轨道半径相同，所以应选择质量相同的球Ⅰ和球Ⅱ作为实验球，轮②和轮⑤的线速度相同，由题意可知r2＝4r5
则。
1
题号
9
2
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3
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14
15
(3)本实验采用的是控制变量法，探究平抛运动的特点利用的是留迹法和运动的分解；探究加速度与力和质量的关系利用的是控制变量法；探究小车速度与时间的关系利用的是留迹法；探究两个互成角度的力的合成规律利用的是等效替代法。故选B。
1
题号
9
2
4
5
3
8
6
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15
三、计算题(共3小题)
13．如图所示，有一水平放置的圆盘，上面放有一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧的一端固定于圆心O点，另一端拴一质量为m的物体，物体与盘面间的最大静摩擦力为其重力的μ倍，开始时弹簧处于自然长度，长为R。重力加速度为g。求：
1
(1)物体开始滑动时圆盘的转速n0；
(2)当转速达到2n0时，弹簧的伸长量Δx。(结果用μ、m、R、k、g表示)
题号
9
2
4
5
3
8
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7
10
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14
15
[解析] (1)当圆盘开始转动时，物体随圆盘一起转动，物体未滑动时，由静摩擦力提供向心力，设最大静摩擦力对应的角速度为ω0，则μmg＝
又ω0＝2πn0
所以物体开始滑动时的转速n0＝。
1
题号
9
2
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3
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15
(2)转速增大到2n0时，由最大静摩擦力和弹簧弹力的合力提供向心力，由牛顿第二定律有
μmg＋kΔx＝mω2r，此时r＝R＋Δx，ω＝4πn0
由以上各式解得Δx＝。
1
[答案] (1) (2)
题号
9
2
4
5
3
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14
15
14．如图甲所示为一种叫“魔力陀螺”的玩具，其结构简化图如图乙所示。半径为R的铁质圆轨道用支架固定在竖直平面内，陀螺在轨道内、外两侧均可以旋转，陀螺的磁芯质量为m，其余部分质量不计。陀螺磁芯对轨道的吸引力始终沿轨道的半径方向，大小恒为7mg，不计摩擦力和空气阻力，重力加速度为g。
1
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
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15
(1)若陀螺在轨道内侧运动到最高点时的速度为，求此时轨道对陀螺的弹力大小；
(2)要使陀螺在轨道外侧运动到最低点时不脱离轨道，求陀螺通过最低点时的最大速度的大小；
(3)若陀螺在轨道外侧运动到与轨道圆心等高处时速度为，求轨道对陀螺的弹力大小。
1
题号
9
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3
8
6
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14
15
[解析] (1)当陀螺在轨道内侧运动到最高点时，设轨道对陀螺的吸引力为F1，轨道对陀螺的弹力为N1，陀螺所受的重力为mg，最高
点的速度为v1，受力分析如图所示，依题意有
mg＋N1－F1＝
其中F1＝7mg，v1＝
可得N1＝7mg。
1
题号
9
2
4
5
3
8
6
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15
(2)当陀螺在轨道外侧运动到最低点时，设轨道对陀螺的吸引力为F2，轨道对陀螺的弹力为N2，陀螺所受的重力为mg，最低点的速度为v2，受力分析如图所示，则有
F2－N2－mg＝
其中F2＝7mg
由题意可知，当N2＝0时，陀螺通过最低点时的
速度为最大值，有v2＝。
1
题号
9
2
4
5
3
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14
15
(3)设陀螺在轨道外侧运动到与轨道圆心等高处时，轨道对陀螺的吸引力为F3，轨道对陀螺的弹力为N3，陀螺所受的重力为mg，依题意有
F3－N3＝
其中v3＝，F3＝7mg
解得N3＝4mg。
1
[答案] (1)7mg (2) (3)4mg
题号
9
2
4
5
3
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6
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14
15
15．如图所示，粗糙水平圆盘中心有一光滑小孔O，圆台绕过O点的竖直轴匀速转动。用轻绳穿过小孔，两端分别连接着放置在圆盘边缘的物块A和物块B(均可视为质点)。物块A、B的质量分别为M、m，圆盘的半径为R，离水平地面的高度为h，物块
A与盘面之间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于
滑动摩擦力。已知重力加速度大小为g，m>μM，
不计空气阻力。
1
题号
9
2
4
5
3
8
6
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14
15
(1)要使物块B能相对圆盘静止，求圆盘做匀速圆周运动的最小角速度；
(2)要使物块B能相对圆盘静止，求物块A做匀速圆周运动的最大线速度；
(3)当物块A以最大线速度做圆周运动时，轻绳恰好断开，求物块A落地点到O点的距离。
1
题号
9
2
4
5
3
8
6
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12
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14
15
[解析] (1)对物块B受力分析，有
T＝mg
对物块A受力分析，圆盘转动的角速度较小时物块A有向心趋势，圆盘给物块A的摩擦力向左，则有
T－μMg ＝R
解得
ωmin＝。
1
题号
9
2
4
5
3
8
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10
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13
14
15
(2)圆盘转动的角速度较大时给物块A的摩擦力向右，则有
T＋μMg＝
解得vmax＝。
(3)物块A飞离圆盘后做平抛运动，水平方向有
x＝vmaxt
竖直方向有h＝gt2
1
题号
9
2
4
5
3
8
6
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12
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14
15
根据几何条件可知，物块A落地点到O点的距离
d＝
解得
d＝。
1
[答案] (1) (2) (3)
THANKS素养提升练(三)
一、选择题
1．杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m 的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g＝10 m/s2)( )
A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零
C．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N
2．小明家餐桌的上面一层是半径为40 cm的转盘，餐具放在上面可随盘绕盘中心的转轴转动，已知菜碟和转盘表面间的动摩擦因数为0.64。妈妈将一碟菜放在转盘边缘后离开了，调皮的小明转动转盘，结果菜碟从转盘上滑落。若转盘的转动可认为是匀速转动，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2，则小明转动转盘的角速度至少为( )
A．16.0 rad/s B．4.0 rad/s
C．2.56 rad/s D．1.6 rad/s
3．(多选)如图所示，在粗糙木板上放一个物块，使木板和物块一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，ab为水平直径，cd为竖直直径，在运动过程中木板始终保持水平，物块相对木板始终静止，则( )
A．物块始终受到三个力作用
B．只有在a、b、c、d四点，物块所受的合力才指向圆心
C．从a到b，物块所受的摩擦力先减小后增大
D．从b到a，物块处于超重状态
4．一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙物体质量分别为M和m(M>m)，它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ倍，两物体用一根长为L(LA． B．
C． D．
5．(多选)如图所示，质量为m的小环套在竖直平面内半径为R的光滑大圆环轨道上做圆周运动，重力加速度为g。小环经过大圆环最高点时，下列说法正确的是( )
A．小环对大圆环的压力可以等于mg
B．小环对大圆环的拉力可以等于mg
C．小环的线速度大小不可能小于
D．小环的向心加速度可以等于g
6．长度为L＝0.50 m的轻质细杆OA，A端有一质量为m＝3.0 kg的小球，如图所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0 m/s，g取10 m/s2，则此时细杆OA受到( )
A．6.0 N的拉力 B．6.0 N的压力
C．24.0 N的拉力 D．24.0 N的压力
7．如图所示，放在水平转台上的物体A、B、C正随转台一起以角速度ω匀速转动，三者质量均为m，B与转台、C与转台、A与B间的动摩擦因数均为μ，B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，以下说法正确的是( )
A．B对A的摩擦力有可能为μmg
B．C与转台间的摩擦力小于A与B间的摩擦力
C．转台的角速度有可能恰好等于
D．若角速度在题干所述基础上缓慢增大，B与桌面间将最先发生相对滑动
8．(多选)如图所示，两个质量均为m的小物块a和b(可视为质点)，静止在倾斜的匀质圆盘上，圆盘可绕垂直于盘面的固定轴转动，a到转轴的距离为L，b到转轴的距离为2L，物块与盘面间的动摩擦因数为，盘面与水平面的夹角为30°。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，若a、b随圆盘以角速度ω匀速转动，下列说法正确的是( )
A．a在最高点时所受摩擦力不可能为0
B．a在最低点时所受摩擦力不可能为0
C．a、b均不发生滑动时圆盘角速度的最大值为ω＝
D．a、b均不发生滑动时圆盘角速度的最大值为ω＝
二、非选择题
9．如图所示，A和B两物块(可视为质点)放在转盘上，A的质量为m，B的质量为2m，两者用长为l的细绳连接，A距转轴距离为l，两物块与转盘间的动摩擦因数均为μ，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，细绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，重力加速度为g，求：
(1)角速度ω为何值时，绳上刚好出现拉力；
(2)角速度ω为何值时，A、B开始与转盘发生相对滑动。
10．如图所示，倾角为θ的斜面ABC固定在可以绕竖直转轴OO′转动的水平转台上，斜面底端A在转轴OO′上。一质量为m、可视为质点的小物块置于斜面上与A点距离为L处，当小物块与斜面一起随转台以一定的角速度匀速转动时，小物块与斜面间恰好无摩擦力。重力加速度大小为g，sin θ＝0.6，求：
(1)小物块对斜面的压力大小F压；
(2)小物块的角速度ω。
11．如图所示，在光滑的圆锥顶端，用长L＝2 m的细绳悬挂一质量m＝1 kg的小球，圆锥顶角2θ＝74°(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。求：
(1)当小球以ω1＝1 rad/s的角速度随圆锥体做匀速圆周运动时，细绳上的拉力大小；
(2)当小球以ω2＝5 rad/s的角速度随圆锥体做匀速圆周运动时，细绳上的拉力大小。
素养提升练(三)
1 2 3 4 5 6 7 8
B B CD D ABD B C ABC
1．B [“水流星”在最高点的速度v＝4 m/s＝，由此可知绳的拉力恰为零，且水恰不流出，“水流星”只受重力作用，处于完全失重状态，容器底部受到的压力为零，故只有B正确。]
2．B [菜碟放在转盘边缘随转盘一起转动时，由静摩擦力提供菜碟做圆周运动的向心力，随着角速度的增大，静摩擦力也逐渐增大，当静摩擦力达到最大值时，有μmg＝mω2r，代入数据解得ω＝4.0 rad/s，故选B。]
3．CD [在c、d两点处，物块只受重力和支持力，在其他位置处物块受到重力、支持力、静摩擦力三个力作用，选项A错误；物块做匀速圆周运动，合力提供向心力，所以合力始终指向圆心，选项B错误；从a运动到b，物体的加速度的方向始终指向圆心，水平方向的加速度先减小后反向增大，根据牛顿第二定律可得，物块所受木板的摩擦力先减小后增大，选项C正确；从b运动到a，向心加速度有向上的分量，所以物体处于超重状态，选项D正确。]
4．D [当转盘以最大角速度转动时，绳子的拉力等于甲的最大静摩擦力，绳的拉力和乙所受的最大静摩擦力的合力提供乙做圆周运动的向心力，以M为研究对象有F＝μMg，以m为研究对象有F＋μmg＝mLω2，可得ω＝，选项D正确。]
5．ABD [当小环对大圆环的压力等于mg时，对小环受力分析有mg－N＝m，解得v＝0，A正确，C错误；当小环对大圆环的拉力等于mg时，对小环受力分析有N＋mg＝m，解得v＝，B正确；当小环与大圆环没有相互作用力时，对小环受力分析有mg＝ma，解得a＝g，D正确。]
6．B [
设小球以速率v0通过最高点时，小球对杆的作用力恰好为零，即mg＝，得v0＝ m/s＝ m/s。由于v＝2.0 m/s< m/s，可知过最高点时，小球对细杆产生压力，细杆对小球有支持力，如图所示为小球的受力情况图，由牛顿第二定律有mg－FN＝m，解得FN＝mg－m＝3.0×10 N－3.0× N＝6.0 N，由牛顿第三定律知，细杆OA受到6.0 N的压力，B正确。]
7．C
8．ABC [设在最高点，a若所受的摩擦力为零，则靠重力沿圆盘的分力提供向心力，有mg sin 30°＝mLω2，在最低点，有f－mg sin 30°＝mLω2，联立解得最低点的摩擦力f＝mg，而最大静摩擦力fm＝μmg cos 30°＝0.75mg，可知a在最高点和最低点的摩擦力都不能为零，故A、B正确；对a在最低点，根据牛顿第二定律得μmg cos 30°－mg sin 30°＝mLω2，解得a开始滑动的临界角速度ω＝，对b在最低点，根据牛顿第二定律得μmg cos 30°－mg sin 30°＝m·2Lω′2，解得b开始滑动的临界角速度ω′＝，故a、b均不发生滑动时圆盘角速度的最大值为，故C正确，D错误。故选ABC。]
9．解析：(1)开始时两物块都靠静摩擦力提供向心力，转动半径更大的B先达到最大静摩擦力，此时绳子开始出现弹力，根据牛顿第二定律有
μ·2mg＝·2l
解得ω1＝
故角速度为时，绳上刚好出现拉力。
(2)当A、B所受的摩擦力均达到最大静摩擦力时，A、B开始相对于转盘滑动，根据牛顿第二定律，
对A有μmg－T＝l
对B有μ·2mg＋T＝·2l
联立解得ω2＝
故角速度为时，A、B开始与转盘发生相对滑动。
答案：(1) (2)
10．解析：(1)对小物块受力分析，如图所示
根据几何知识可得FN＝
则小物块对斜面的压力大小为
F压＝FN＝。
(2)根据牛顿第二定律可得mg tan θ＝mω2r
根据几何知识可得r＝L cos θ
联立可得，小物块的角速度为ω＝。
答案：(1)mg (2)
11．解析：(1)设小球刚要离开锥面时的角速度为ω0，此时锥面对它的支持力为零，根据牛顿第二定律，得mg tan θ＝L sin θ
代入数据解得ω0＝2.5 rad/s
当ω1＝1 rad/s<2.5 rad/s时，小球没有离开锥面，对小球进行受力分析，如图1，水平方向根据牛顿第二定律，得FTsin θ－FNcos θ＝L sin θ
竖直方向根据平衡条件，得
FTcos θ＋FNsin θ＝mg
联立并代入数据解得FT＝8.72 N。
(2)当ω2＝5 rad/s>2.5 rad/s时，小球离开锥面，设细绳与竖直方向的夹角为β，对小球进行受力分析，如图2，根据牛顿第二定律，得
FT1sin β＝L sin β
解得FT1＝50 N。
答案：(1)8.72 N (2)50 N
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