云南省玉溪第一中学2025-2026学年高一上学期开学考试 数学试卷（含答案）

玉溪一中 2025—2026 学年上学期高一年级开学考
数学学科试卷
命题人：2028 届数学备课组
一、单项选择题（每小题 5 分，共 8 小题，满分 40 分，每个小题只有一个正确选项.）
若| x 2 | 与 互为相反数，则 x-y=
4
B．4 C．0 D．2
将a4 2a2 1 因式分解，所得结果正确的是
a2 a2 2 1
a2 2 a2 1
a2 1 2
(a 1)2 (a 1)2
集合 A 0 ，1，2 ，4 ，8 ， B 0 ，1，2 ，3 ，将集合 A ， B 分别用如下图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为 2 个的是
A． B．
C． D．
如图，在Rt△ABC 中， ACB 90 ， CD AB 于点D ，下列结论中错误的是
ACD B
C． AC BC AB CD
CD2 AD BD
D． BC 2 AD AB
已知集合 A x ， B x2 ，则“ x 1 ”是“ A B ”的 A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
若关于 x 的一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 有两个相等的实数根，且满足
9a 3b c 0 ，则
a x 3 2 0
b a
a x 3 2 0
c 3a
如图，已知 PA 是e O 的切线， A 为切点， PC 与e O 相交于 B ， C 两点， PB 2 ，
BC 8 ，则 PA 的长等于
B．16
C． 2 D．20
已知菱形 ABCD 的边长为 5，两条对角线交于 O 点，且 OA、OB 的长分别是关于 x
的方程 x2+(2m-1)x+m2+3=0 的根，则 m 等于
B．5 或-3 C．-3 D．-5 或 3
二、多项选择题（每小题 6 分，共 3 小题，满分 18 分，在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有错选的得 0 分.）
下面变形错误的是
a b 2
2 1
b a
a b
a b
1
a b b a a b b a
0.5a b
0.2a 0.3b
5a b 2a 3b
已知集合 A 1，3，m2 ， B 1，m ．若 A ∪ B A ，则实数 m 的值可能为
A．0 B．1 C．2 D．3
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象如图所示，则下列结论正确的是
c 0 B．4ac﹣b2＜0
C．4a+c＜2b. D．3b+2c＜0
三、填空题（每小题 5 分，共 3 小题，满分 15 分.）
如图，点D ，E 分别在 AB ， AC 上， // ， AD : DB 3 : 5 ，若 AE 6 ，则 AC
的长为 ．
如图， △ABC 中，已知 AB 8 ， BC 5 ， AC 7 ，则它的内切圆的半径为
．
abc

a2 b2 c2
若 0 ，且满足a b c
0 ，则
bc ac ab
的值为 ．
三、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.(13 分)分解因式:
1 a3 2a2 a
3 (x 1)2 4(x 1) y 4 y2
2 3x2 10x 8
4 4a2 4ab b2 1
16.（15 分）（1）计算：
3 tan 30o (π 4)0 1 1 ；
2
x y
（2）先化简再求值： x 2 y
x 2 y 2
x 2 4xy 4 y 2
2 ,其中 x 2
2, y 2
1.
(3)解不等式： x 2 2x 4 .
17．（15 分）2024 年 3 月 10 日，享有“地球王国 世界花园”的百里杜鹃景区正式进入花季．今年杜鹃花季从 3 月 10 日持续至 4 月底，吸引了许多国内外游客前来观赏．现对某校初中生就“2024 中国 百里杜鹃花季”的了解情况进行了抽样调查（参与调查的同学只能选择其中一项），并将调查结果绘制出两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题．
根据以上信息可知： a ，补全条形统计图；
估计该校 1500 名初中学生中“基本了解”的人数约有人；
样本中“很了解”的 4 名学生中，有 3 名八年级学生和 1 名七年级学生，现从这 4 人中随机抽取两人去参加教育局举办的“2024 中国 百里杜鹃花季”知识竞赛，请用画树状图或列表的方法说明，刚好抽到两名八年级学生参加这次知识竞赛的概率是多少？
18．（17 分）一商店销售某种商品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件．
若降价 6 元，则平均每天销售数量为 件；
为尽快减少库存，要使该商家每天销售利润为 1200 元，每件商品应降价多少元？ (3)设商场每天盈利为M 元，当每件商品降价多少元时，每天盈利最多？最多是多少元？
19.（17 分）在△ABC 中，已知D 是BC 边的中点， G 是△ABC 的重心，过G 点的直线分别交 AB ， AC 于点 E ， F ．
如图 1，当EF//BC时，求证： BE CF 1 ；
如图 2，当 EF 和 BC 不平行，且点 E ， F 分别在线段 AB ， AC 上时，（1）中的
结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
玉溪一中高 2028 届高一开学考试数学试题
参考答案
一、单项选择题
ADBD BACC
二、多项选择题
9. ACD 10. AD 11. ABD
三、填空题
16 【解析】因为， AD : DB 3 : 5 ，所以 AE : EC AD : DB 3 : 5 ． 因为 AE 6 ，所以6 : EC 3 : 5 ，解得 EC 10 ，所以 AC AE EC 6 10 16 ．
【解析】过点C 作CD AB ，垂足为 D ．
设 AD x ， 则
BD 8 x ． 由勾股定理得： CD2 AC 2 AD2 ，
CD2 BC 2 BD2 ．
则72 x2 52 (8 x)2 ，解得 x 5.5 ，则CD
由S△ABC 1 ( AB BC AC) r ，可得 1 (8 5 7) r 1 8 5 3 ，解得r ．
5 3 ．
2
2 2 2 2
3 【解析】∵ abc 0 ，且 a b c 0 ，
∴ a (b c) ， b (a c) ， c (a b) ，
原式 (b c)a (a c)b (a b)c ( a a ) ( b b ) ( c c ) a b c 1 1 1 3 ．
bc ac ab
b c a c a b a b c
三、解答题
（1） a(a 1)2
(x 1 2 y)2
(2) (3x 2)(x 4)
(4) (2a b 1)(2a b 1)
（1）
1 （2） 4 3
(3)
x 2
3
17.（1）解：抽样调查的学生人数为： 10 20% 50 （人），
a% 16 50 100% 32% ， C 的人数为： 50 40% 20 （人）， a 32 ，
补全条形统计图如下：
；
解：估计该校 1500 名初中学生中“基本了解”的人数约有1500 40% 600 （人）
解：把 3 名八年级学生分别记为A 、B 、C ，1 名七年级学生记为D ，画树状图如下：
共有 12 种等可能的结果，其中刚好抽到两名八年级学生参加这次知识竞赛的结果有 6 种，
刚好抽到两名八年级学生参加这次知识竞赛的概率是 6 1 ．
12 2
18. （1）解：Q平均每天可售出 20 件，单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件，
若降价 6 元，则平均每天销售数量为 32 件，
解：设每件商品应降价 x 元，则平均每天销售数量为 20 2x 件，每件盈利 40 x 元，
20 2x 40 x 1200 ，则 x2 30x 200 0 ， x 20 x 10 0 ，解得 x 10 或 x = 20 ，
Q为尽快减少库存， 取 x = 20 ，答：每件商品应降价20 元；
解：设每件商品应降价 y 元，则平均每天销售数量为 20 2 y 件，每件盈利 40 y 元，
M 20 2x 40 x 2 y2 60 y 800 2 y 15 2 1250 ，
Q 2 0 ， 抛物线开口向下，当 y 15 时，商场每天盈利最多，最多是1250 元．
19.（1）证明：因为G 是△ABC 重心，所以 DG 1 ．
AG 2
又因为 ，所以 BE DG 1 ， CF DG 1 ，则 BE CF 1 1 1；
AE AG 2
AF AG 2
AE AF 2 2
（2）（1）中的结论成立，理由如下：
如图 2，过点 A 作交 EF 的延长线于点 N ， FE ， CB 的延长线相交于点 M ，
则△BME∽△ANE ， △CMF∽△ANF ，所以 BE BM ， CF CM ，
所以 BE CF BM CM BM CM ．
AE AF AN AN AN
AE AN
AF AN
又因为BM CM BM CD DM ，而D 是BC 的中点，即BD CD ，
所以BM CM BM BD DM DM DM 2DM ，所以 BE CF 2DM ．
AE AF AN
又因为 DM DG 1 ，所以 BE CF 2 1 1，故（1）中的结论成立．
AN AG 2 AE AF 2