浙江省温州市瑞安市莘塍一中2024-2025学年九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024九上·瑞安开学考）在4，，0，四个数中，最小的为（ ）
A．4 B． C．0 D．
【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵，
∴最小的数为﹣2，
故答案为：B．
【分析】根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数比较各数的大小，即可求解．
2．（2024九上·瑞安开学考）下列图案中，是轴对称图形的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】A：延中轴线折叠，两侧能完全重合，故满足轴对称图形的定义，故A选项正确；
B：不满足轴对称图形的定义，故B选项错误；
C：不满足轴对称图形的定义，故C选项错误；
D：不满足轴对称图形的定义，故D选项错误；
故答案为：A.
【分析】根据轴对称图形的定义：延某条直线折叠，两侧能完全重合的图形，逐一进行判断即可.
3．（2024九上·瑞安开学考）2024年温州经济一季度为20404000万元，其中20404000用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：20404000=2.0404×107.
故答案为：.
【分析】大于10的数用科学记数法表示为a×10n，1≤a<10，n为原数字的整数位数减1.
4．（2024九上·瑞安开学考）计算： 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：原式 ．
故答案为：B．
【分析】利用同底数幂的乘法法则计算求解即可。
5．（2024九上·瑞安开学考）某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择（ ）
A．甲、丁 B．乙、戊 C．丙、丁 D．丙、戊
【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：由图可知，甲和丁质量＞100，乙、丙和戊质量<100，
∵原5个数的中位数为100，
∴要使得其质量中位数为100，则需在甲和丁中选一个，乙、丙和戊中选另一个，
故选：C.
【分析】由数据中位数定义进行分析，选出合理的数据使得其中位数保持不变即可.
6．（2024九上·瑞安开学考）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：已知方 程 有两个不相等的实数根，
此方程中a=1，b=-1，，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴△>0，即，
∴1-m>0，
可得m<1，
故答案为：A.
【分析】本题根据一元二次方程根的判别式与根的关系，通过已知方程有两个不相等的实数根得出判别式大于0，进而建立关于m的不等式，求解出m的取值范围。
7．（2024九上·瑞安开学考）在中，.用尺规在BC边上找一点，仔细观察、分析能使的作法图是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：选项C中，由作图可知，点D在AB的垂直平分线上，
故选项C正确，
故答案为：C.
【分析】由BC=BD+DC，AD+DC=BC ，推出DA=DA ，可知点D在AB的垂直平分线上，由此即可判断.
8．（2024九上·瑞安开学考）体育测试中，小超和小铭进行1000米测试，小超的速度是小铭的1.25倍，小超比小铭快了30秒，设小铭的速度是x米/秒，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设小铭的速度是x米/秒，则小超的速度为，由题意得：
．
变形得：
故答案为：C．
【分析】设小铭的速度是x米/秒，则小超的速度为，然后根据“小超的测试时间=小铭的测试时间－30”列出方程即可．
9．（2024九上·瑞安开学考）反比例函数的图象上有，，三点．下列选项正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 中，k=1>0，∴图形位于一三象限，且在每个象限内，y随着x的增大而减小.
A、当时，t－1∴ ，故选项A正确，符合题意；
B、 当时，有两种情况：
①t－1②t－1C、当时，0∴ ，故选项C错误，不符合题意；
B、 当t>0时，也有两种情况
①0②t－1<0故答案为：A.
【分析】根据反比例函数的性质得k=1>0，故图形位于一三象限，且在每个象限内，y随着x的增大而减小.再结合一三象限点的坐标特征和t的取值范围对每个选项进行判断即可.
10．（2024九上·瑞安开学考）如图，在中，，，且．为内部一点，且，．点为线段上一点，且．当的值发生变化时，下列角度的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的值不变，
故答案为：B．
【分析】由等腰三角形“等边对等角”及三角形内角和定理得，，从而得，进而证明，得，，于是得，然后结合三角形外角的性质得，，据此即可求解.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2024九上·瑞安开学考）分解因式： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为：.
【分析】根据分解因式的步骤，先观察多项式中各项是否有公因式，然后提取公因式a即可.
12．（2024九上·瑞安开学考）一组数据1，1，4，3，6的众数是 ．
【答案】1
【知识点】众数
【解析】【解答】解： 1，1，4，3，6 中，1出现2次，其他数都只有1次，故众数是1.
故答案为：1.
【分析】一组数中出现次数最多的数称为众数，据此进行判断即可.
13．（2024九上·瑞安开学考）在中，，，点在上，，将线段沿着方向平移得到线段，点，分别落在，边上，则的周长为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平移的性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵将线段沿着方向平移得到线段，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为，
故答案为：.
【分析】根据平移的性质得到，从而由平行线的性质得，然后根据等腰三角形“等边对等角”性质得，同时求出，进而推出，根据等腰三角形的判定得到，最后求出的值即可.
14．（2024九上·瑞安开学考）已知，则 ．
【答案】30
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：
又①得：y=2x－5，③
把③代入②得：4x+3（2x－5）=－10，
解得：x=0.5
把x=0.5代入③得：y=﹣4.
故4x－7y=4×0.5－7×（-4）=30.
故答案为：30.
【分析】可以利用代入消元法解这个二元一次方程组后，再把代入4x－7y求值即可.
15．（2024九上·瑞安开学考）如图，，，，分别为线段和射线上的一点，若点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，二者速度之比为，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点，使与全等，则的长为 ．
【答案】40或75
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：设运动时间为，
∴根据题意，得，，
∵，
∴使与全等，可分两种情况：
①当时，有，
∵，
∴，
解得：，
∴；
②当时，有，
∴，
解得：，
∴；
综上所述，的长为40或75，
故答案为：40或75．
【分析】设运动时间为，则，，然后根据题意可知点是全等三角形的一对对应点，则分两种情况讨论：当时，有或②当时，有，，根据建立方程求解即可．
16．（2024九上·瑞安开学考）如图，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，以为边向上作等边，交于点，反比例函数的图象交于点，．若，的面积为，则的值为 ，则的面积为 ．
【答案】；
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；等积变换
【解析】【解答】解：如图，过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点，过点作轴于点，连接，
∴，
∵反比例函数的图象交于点，，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴四边形和四边形都是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
设，则：，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴的面积为：，
故答案为：，．
【分析】过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点，过点作轴于点，连接，得，根据反比例函数值的几何意义得，从而得到，然后证明四边形和四边形都是平行四边形，得到，进而得到，于是得到，接下来根据平行线分线段成比例定理得到，设，由含30度角的直角三角形的性质求出的长，则求出的长，利用的面积为，列出方程求出的值，证明，得，据此可求出的长，最后根据等边三角形的性质，结合勾股定理求出的长，再利用面积公式求出的面积即可．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（2024九上·瑞安开学考）计算：．
【答案】解：原式=4-2+5=7
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先算乘方和开方运算，同时化简绝对值，然后利用有理数的加减法法则进行计算.
18．（2024九上·瑞安开学考）解方程：
【答案】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】先移项，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可求出答案．
19．（2024九上·瑞安开学考）如图：AB=AC，AD=AE，AB⊥AC，AD⊥AE。
（1）求证：△EAC≌△DAB
（2）判断线段EC与线段BD的关系，并说明理由
【答案】（1）解： ∵AB⊥AC，AD⊥AE，
∴∠EAD=∠BAC=90°，
∴∴∠EAD+∠DAC=∠BAC+∠DAC即∠EAC=∠DAB，
在△EAC和△DAB中，
∴ △EAC≌△DAB（SAS）
（2）解： 线段EC与线段BD的关系为：相等且互相垂直.
理由：如图，
∵△EAC≌△DAB
∴∠E=∠D，EC=BD
∵∠EAD=90°，
∴∠E+∠EFA=90°，
∵∠EFA=∠DFG，
∴∠D+∠DFG=90°，
∴∠DGF=90°，
∴EC⊥BD
∴线段EC与线段BD的关系为：相等且互相垂直
【知识点】垂线的概念；全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义，可证得∠EAD=∠BAC=90°，从而可证得∠EAC=∠DAB，再利用SAS可证得结论。
（2）由△EAC≌△DAB，利用全等三角形的对应边和对应角相等，可证得∠E=∠D，EC=BD，再利用直角三角形的两锐角互余，就可证得∠E+∠EFA=90°，然后证明∠D+∠DFG=90°，利用垂直的定义可证得结论.
20．（2024九上·瑞安开学考）某校计划在七年级开展阳光体育锻炼活动，开设以下五个球类项目：羽毛球，乒乓球，篮球，排球，足球，要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目为了了解学生对这五个项目的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下：
解决下列问题：
（1）这次活动一共调查了_▲_名学生，并补全条形统计图；
（2）图中项目足球对应的百分比为 ．
（3）根据抽样调查结果，请估计本校七年级名学生中选择项目乒乓球的人数．
【答案】（1）60
解：类人数为：，
补全条形图如图：
（2）
（3）解：（名）；
答：估计选择项目乒乓球的人数为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由条形图可知顶目C人数为9人，在扇形图中所占百分比为15%，
所以名，
故答案为：60.
（2）由条形图可知项目E人数为12人，样本容量为60，
所以项目E所对应的百分比为，
故答案为：20%.
【分析】（1）结合条形图C人类人数和扇形统计图中C类的百分比，即可得到样本的容量，然后用样本容量减去已知四类的数量，即可得到D类的人数，在条形图中补全即可；
（2）用E类人数除样本容量再乘100%，即可得项目E所对应的百分比；
（3）用样本中顶目B在样本中占比×800，即可得出本校七年级800名学生中选项目B的人数.
21．（2024九上·瑞安开学考）在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后按原路返回设汽车从甲地出发时，汽车离甲地的路程为，与的函数关系如图所示根据图象信息，解答下列问题：
（1）这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由．
（2）求这辆汽车从甲地出发几小时时离乙地的路程为．
【答案】（1）解：这辆汽车的往、返速度不相同，理由如下：
这辆汽车从甲地到乙地的速度为，
这辆汽车从乙地返回甲地的速度为．
，
这辆汽车的往、返速度不相同
（2）解：当时，设与的函数关系式为，
将，代入得：，
解得：，
当时，与的函数关系式为，
若，则，
解得：；
当时，设与的函数关系式为，
将，代入得：，
解得：，
当时，与的函数关系式为，
若，则，
解得：．
答：这辆汽车从甲地出发小时或小时时离乙地的路程为
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）根据图象可知甲，乙两地的距离为120km，从甲到乙用时2小时，返回用时2.4小时，即可确定往返速度，比较即可；
（2）用利待定系数法分别求出出发和返回对应的直线解析式，然后当y=60时，求对应的x值即可.
22．（2024九上·瑞安开学考）问题情景：如图直角中，，，，求的长？
解题思路：把的角转化成特殊角度，再利用特殊角度进行边之间的换算．
解决方案：方法一：延长至，使得，过作，交于点，根据角平分线的性质定理和等腰直角三角形边的关系，可得．
方法二：作的中垂线交于点，连接，根据中垂线的性质定理和等腰直角三角形边的关务，设，，，，得，，则．
其他方法
迁移应用解决新问题：如图直角中，，，，求的长，写出你的解答过程．
【答案】解：方法一：延长至，使得，过作，交于点．
，，，
．
，，
，．
，
，，
．
．
设，则：，
，
，
．
方法二：作的中垂线交于点，连接．
的中垂线交于点，
．
，
．
．
．
，
设，则，，
，
解得：．
．
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】 方法一：通过延长CD至B，使∠CAD=∠BAD，这样构造出角平分线，利用角平分线性质得到CD=DE(DE⊥AB)算出相关角度，∠CAB=30°，∠B=60°，利用含30°角的直角三角形边的关系求出B，再在Rt△BDE中，根据∠B=60°和∠BDE=30°的边的关系设末知数，通过BC与BD、CD的关系列出方程求解CD；
方法二：作AD中垂线交AC于F，连接DF，利用中垂线性质得到AF=DF，然后算出相关角度∠FDC=60°，∠DFC=30°，利用含30°角的直角三角形边的关系设未知数，根据AC=AF+CF列出方程求解CD.
23．（2024九上·瑞安开学考）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表：
… 0 1 2 …
… 2 1 0 1 2 1 …
描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，并连线，如图所示．
结合函数图象研究函数性质，并回答下列问题：
（1）点，在函数图象上，求，的值
（2）当函数值时，自变量的值为________．
（3）利用图象分析关于的方程的解的具体个数，并写出对应的（为常数）的取值范围．
【答案】（1）解：由图象可知，当时，设函数关系式为：，
把代入关系式，得，
解得：，
∴函数关系式为；
当时，设函数关系式为：，
把代入关系式，得，
∴函数关系式为；
当时，设函数关系式为：，
把代入关系式，得，
∴函数关系式为，
综上所述，分段函数的关系式为，
∴当时，有，
当时，有，
解得：，
∴，；
（2）；
（3）解：由图象可知：当或时，方程有1个解；
当时，方程有3个解；
当时，方程有2个解；
当时，方程无解．
【知识点】分段函数；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（2）由图象可知，当时，有；
故答案为：.
【分析】（1）先根据图象确定分段函数的解析式自变量的取值范围，然后利用待定系数法进行得到分段函数的解析式，再将点坐标代入进行求解；
（2）直接根据函数图象确定自变量的值；
（3）结合函数图象，分四种情况进行讨论求解即可．
（1）解：由图象可知，当时，设函数关系式为：，把代入，得：，
∴；
当时，同法可得：，
当时，设，把，代入得：，
∴，
∴，
∴当时，，当时，，解得，
∴，；
（2）由图象和表格可知，当时，；
故答案为：；
（3）由图象可知：当或时，方程有1个解；
当时，方程有3个解；
当时，方程有2个解，
当时，方程无解．
24．（2024九上·瑞安开学考）如图：正方形中，在内作射线，作点关于的对称点，连结并延长交于点，连结，，．
（1）求证：
（2）求证：是等腰直角三角形
（3）①若，，求的长；
②探索，，三边的关系，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵作点关于的对称点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴；
（2）证明：∵作点关于的对称点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：①如图，设交于点，连接，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵作点关于的对称点，
∴垂直平分，
∴，
∴，，
∴；
②，证明如下：
如图，连接，交于点，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；轴对称的性质；等腰直角三角形；四边形的综合
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质得，由正方形的性质得，进行等量代换即可得证结论；
（2）根据轴对称的性质得，证明，得到，然后根据等腰三角形“等边对等角”的性质得到，结合平角的定义得到，于是利用四边形内角和等于360°得到，接下来根据正方形的性质得，则求出，结合，即可得证结论；
（3）①设交于点，连接，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，进而利用勾股定理求出的长，于是求出的长，然后再利用勾股定理求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可；
②连接，交于点，连接，结合正方形的性质推出，由直角三角形斜边上的中线性质推出，则推出，利用勾股定理得到，最后进行等量代换得出结论即可．
（1）证明：∵作点关于的对称点，
∴，
∵正方形，
∴，
∴
（2）证明：∵点C关于的对称点为E，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵正方形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形；
（3）①设交于点，连接，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵对称，
∴垂直平分，
∴，
∴，，
∴；
②，证明如下：
连接，交于点，连接，
∵正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
1 / 1浙江省温州市瑞安市莘塍一中2024-2025学年九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024九上·瑞安开学考）在4，，0，四个数中，最小的为（ ）
A．4 B． C．0 D．
2．（2024九上·瑞安开学考）下列图案中，是轴对称图形的是( )
A． B．
C． D．
3．（2024九上·瑞安开学考）2024年温州经济一季度为20404000万元，其中20404000用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024九上·瑞安开学考）计算： 的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·瑞安开学考）某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择（ ）
A．甲、丁 B．乙、戊 C．丙、丁 D．丙、戊
6．（2024九上·瑞安开学考）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
7．（2024九上·瑞安开学考）在中，.用尺规在BC边上找一点，仔细观察、分析能使的作法图是( )
A． B．
C． D．
8．（2024九上·瑞安开学考）体育测试中，小超和小铭进行1000米测试，小超的速度是小铭的1.25倍，小超比小铭快了30秒，设小铭的速度是x米/秒，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024九上·瑞安开学考）反比例函数的图象上有，，三点．下列选项正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
10．（2024九上·瑞安开学考）如图，在中，，，且．为内部一点，且，．点为线段上一点，且．当的值发生变化时，下列角度的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2024九上·瑞安开学考）分解因式： ．
12．（2024九上·瑞安开学考）一组数据1，1，4，3，6的众数是 ．
13．（2024九上·瑞安开学考）在中，，，点在上，，将线段沿着方向平移得到线段，点，分别落在，边上，则的周长为 ．
14．（2024九上·瑞安开学考）已知，则 ．
15．（2024九上·瑞安开学考）如图，，，，分别为线段和射线上的一点，若点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，二者速度之比为，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点，使与全等，则的长为 ．
16．（2024九上·瑞安开学考）如图，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，以为边向上作等边，交于点，反比例函数的图象交于点，．若，的面积为，则的值为 ，则的面积为 ．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（2024九上·瑞安开学考）计算：．
18．（2024九上·瑞安开学考）解方程：
19．（2024九上·瑞安开学考）如图：AB=AC，AD=AE，AB⊥AC，AD⊥AE。
（1）求证：△EAC≌△DAB
（2）判断线段EC与线段BD的关系，并说明理由
20．（2024九上·瑞安开学考）某校计划在七年级开展阳光体育锻炼活动，开设以下五个球类项目：羽毛球，乒乓球，篮球，排球，足球，要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目为了了解学生对这五个项目的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下：
解决下列问题：
（1）这次活动一共调查了_▲_名学生，并补全条形统计图；
（2）图中项目足球对应的百分比为 ．
（3）根据抽样调查结果，请估计本校七年级名学生中选择项目乒乓球的人数．
21．（2024九上·瑞安开学考）在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后按原路返回设汽车从甲地出发时，汽车离甲地的路程为，与的函数关系如图所示根据图象信息，解答下列问题：
（1）这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由．
（2）求这辆汽车从甲地出发几小时时离乙地的路程为．
22．（2024九上·瑞安开学考）问题情景：如图直角中，，，，求的长？
解题思路：把的角转化成特殊角度，再利用特殊角度进行边之间的换算．
解决方案：方法一：延长至，使得，过作，交于点，根据角平分线的性质定理和等腰直角三角形边的关系，可得．
方法二：作的中垂线交于点，连接，根据中垂线的性质定理和等腰直角三角形边的关务，设，，，，得，，则．
其他方法
迁移应用解决新问题：如图直角中，，，，求的长，写出你的解答过程．
23．（2024九上·瑞安开学考）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表：
… 0 1 2 …
… 2 1 0 1 2 1 …
描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，并连线，如图所示．
结合函数图象研究函数性质，并回答下列问题：
（1）点，在函数图象上，求，的值
（2）当函数值时，自变量的值为________．
（3）利用图象分析关于的方程的解的具体个数，并写出对应的（为常数）的取值范围．
24．（2024九上·瑞安开学考）如图：正方形中，在内作射线，作点关于的对称点，连结并延长交于点，连结，，．
（1）求证：
（2）求证：是等腰直角三角形
（3）①若，，求的长；
②探索，，三边的关系，并证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵，
∴最小的数为﹣2，
故答案为：B．
【分析】根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数比较各数的大小，即可求解．
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】A：延中轴线折叠，两侧能完全重合，故满足轴对称图形的定义，故A选项正确；
B：不满足轴对称图形的定义，故B选项错误；
C：不满足轴对称图形的定义，故C选项错误；
D：不满足轴对称图形的定义，故D选项错误；
故答案为：A.
【分析】根据轴对称图形的定义：延某条直线折叠，两侧能完全重合的图形，逐一进行判断即可.
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：20404000=2.0404×107.
故答案为：.
【分析】大于10的数用科学记数法表示为a×10n，1≤a<10，n为原数字的整数位数减1.
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：原式 ．
故答案为：B．
【分析】利用同底数幂的乘法法则计算求解即可。
5．【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：由图可知，甲和丁质量＞100，乙、丙和戊质量<100，
∵原5个数的中位数为100，
∴要使得其质量中位数为100，则需在甲和丁中选一个，乙、丙和戊中选另一个，
故选：C.
【分析】由数据中位数定义进行分析，选出合理的数据使得其中位数保持不变即可.
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：已知方 程 有两个不相等的实数根，
此方程中a=1，b=-1，，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴△>0，即，
∴1-m>0，
可得m<1，
故答案为：A.
【分析】本题根据一元二次方程根的判别式与根的关系，通过已知方程有两个不相等的实数根得出判别式大于0，进而建立关于m的不等式，求解出m的取值范围。
7．【答案】C
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：选项C中，由作图可知，点D在AB的垂直平分线上，
故选项C正确，
故答案为：C.
【分析】由BC=BD+DC，AD+DC=BC ，推出DA=DA ，可知点D在AB的垂直平分线上，由此即可判断.
8．【答案】C
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设小铭的速度是x米/秒，则小超的速度为，由题意得：
．
变形得：
故答案为：C．
【分析】设小铭的速度是x米/秒，则小超的速度为，然后根据“小超的测试时间=小铭的测试时间－30”列出方程即可．
9．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 中，k=1>0，∴图形位于一三象限，且在每个象限内，y随着x的增大而减小.
A、当时，t－1∴ ，故选项A正确，符合题意；
B、 当时，有两种情况：
①t－1②t－1C、当时，0∴ ，故选项C错误，不符合题意；
B、 当t>0时，也有两种情况
①0②t－1<0故答案为：A.
【分析】根据反比例函数的性质得k=1>0，故图形位于一三象限，且在每个象限内，y随着x的增大而减小.再结合一三象限点的坐标特征和t的取值范围对每个选项进行判断即可.
10．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的值不变，
故答案为：B．
【分析】由等腰三角形“等边对等角”及三角形内角和定理得，，从而得，进而证明，得，，于是得，然后结合三角形外角的性质得，，据此即可求解.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为：.
【分析】根据分解因式的步骤，先观察多项式中各项是否有公因式，然后提取公因式a即可.
12．【答案】1
【知识点】众数
【解析】【解答】解： 1，1，4，3，6 中，1出现2次，其他数都只有1次，故众数是1.
故答案为：1.
【分析】一组数中出现次数最多的数称为众数，据此进行判断即可.
13．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平移的性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵将线段沿着方向平移得到线段，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为，
故答案为：.
【分析】根据平移的性质得到，从而由平行线的性质得，然后根据等腰三角形“等边对等角”性质得，同时求出，进而推出，根据等腰三角形的判定得到，最后求出的值即可.
14．【答案】30
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：
又①得：y=2x－5，③
把③代入②得：4x+3（2x－5）=－10，
解得：x=0.5
把x=0.5代入③得：y=﹣4.
故4x－7y=4×0.5－7×（-4）=30.
故答案为：30.
【分析】可以利用代入消元法解这个二元一次方程组后，再把代入4x－7y求值即可.
15．【答案】40或75
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：设运动时间为，
∴根据题意，得，，
∵，
∴使与全等，可分两种情况：
①当时，有，
∵，
∴，
解得：，
∴；
②当时，有，
∴，
解得：，
∴；
综上所述，的长为40或75，
故答案为：40或75．
【分析】设运动时间为，则，，然后根据题意可知点是全等三角形的一对对应点，则分两种情况讨论：当时，有或②当时，有，，根据建立方程求解即可．
16．【答案】；
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；等积变换
【解析】【解答】解：如图，过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点，过点作轴于点，连接，
∴，
∵反比例函数的图象交于点，，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴四边形和四边形都是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
设，则：，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴的面积为：，
故答案为：，．
【分析】过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点，过点作轴于点，连接，得，根据反比例函数值的几何意义得，从而得到，然后证明四边形和四边形都是平行四边形，得到，进而得到，于是得到，接下来根据平行线分线段成比例定理得到，设，由含30度角的直角三角形的性质求出的长，则求出的长，利用的面积为，列出方程求出的值，证明，得，据此可求出的长，最后根据等边三角形的性质，结合勾股定理求出的长，再利用面积公式求出的面积即可．
17．【答案】解：原式=4-2+5=7
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先算乘方和开方运算，同时化简绝对值，然后利用有理数的加减法法则进行计算.
18．【答案】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】先移项，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可求出答案．
19．【答案】（1）解： ∵AB⊥AC，AD⊥AE，
∴∠EAD=∠BAC=90°，
∴∴∠EAD+∠DAC=∠BAC+∠DAC即∠EAC=∠DAB，
在△EAC和△DAB中，
∴ △EAC≌△DAB（SAS）
（2）解： 线段EC与线段BD的关系为：相等且互相垂直.
理由：如图，
∵△EAC≌△DAB
∴∠E=∠D，EC=BD
∵∠EAD=90°，
∴∠E+∠EFA=90°，
∵∠EFA=∠DFG，
∴∠D+∠DFG=90°，
∴∠DGF=90°，
∴EC⊥BD
∴线段EC与线段BD的关系为：相等且互相垂直
【知识点】垂线的概念；全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义，可证得∠EAD=∠BAC=90°，从而可证得∠EAC=∠DAB，再利用SAS可证得结论。
（2）由△EAC≌△DAB，利用全等三角形的对应边和对应角相等，可证得∠E=∠D，EC=BD，再利用直角三角形的两锐角互余，就可证得∠E+∠EFA=90°，然后证明∠D+∠DFG=90°，利用垂直的定义可证得结论.
20．【答案】（1）60
解：类人数为：，
补全条形图如图：
（2）
（3）解：（名）；
答：估计选择项目乒乓球的人数为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由条形图可知顶目C人数为9人，在扇形图中所占百分比为15%，
所以名，
故答案为：60.
（2）由条形图可知项目E人数为12人，样本容量为60，
所以项目E所对应的百分比为，
故答案为：20%.
【分析】（1）结合条形图C人类人数和扇形统计图中C类的百分比，即可得到样本的容量，然后用样本容量减去已知四类的数量，即可得到D类的人数，在条形图中补全即可；
（2）用E类人数除样本容量再乘100%，即可得项目E所对应的百分比；
（3）用样本中顶目B在样本中占比×800，即可得出本校七年级800名学生中选项目B的人数.
21．【答案】（1）解：这辆汽车的往、返速度不相同，理由如下：
这辆汽车从甲地到乙地的速度为，
这辆汽车从乙地返回甲地的速度为．
，
这辆汽车的往、返速度不相同
（2）解：当时，设与的函数关系式为，
将，代入得：，
解得：，
当时，与的函数关系式为，
若，则，
解得：；
当时，设与的函数关系式为，
将，代入得：，
解得：，
当时，与的函数关系式为，
若，则，
解得：．
答：这辆汽车从甲地出发小时或小时时离乙地的路程为
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）根据图象可知甲，乙两地的距离为120km，从甲到乙用时2小时，返回用时2.4小时，即可确定往返速度，比较即可；
（2）用利待定系数法分别求出出发和返回对应的直线解析式，然后当y=60时，求对应的x值即可.
22．【答案】解：方法一：延长至，使得，过作，交于点．
，，，
．
，，
，．
，
，，
．
．
设，则：，
，
，
．
方法二：作的中垂线交于点，连接．
的中垂线交于点，
．
，
．
．
．
，
设，则，，
，
解得：．
．
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】 方法一：通过延长CD至B，使∠CAD=∠BAD，这样构造出角平分线，利用角平分线性质得到CD=DE(DE⊥AB)算出相关角度，∠CAB=30°，∠B=60°，利用含30°角的直角三角形边的关系求出B，再在Rt△BDE中，根据∠B=60°和∠BDE=30°的边的关系设末知数，通过BC与BD、CD的关系列出方程求解CD；
方法二：作AD中垂线交AC于F，连接DF，利用中垂线性质得到AF=DF，然后算出相关角度∠FDC=60°，∠DFC=30°，利用含30°角的直角三角形边的关系设未知数，根据AC=AF+CF列出方程求解CD.
23．【答案】（1）解：由图象可知，当时，设函数关系式为：，
把代入关系式，得，
解得：，
∴函数关系式为；
当时，设函数关系式为：，
把代入关系式，得，
∴函数关系式为；
当时，设函数关系式为：，
把代入关系式，得，
∴函数关系式为，
综上所述，分段函数的关系式为，
∴当时，有，
当时，有，
解得：，
∴，；
（2）；
（3）解：由图象可知：当或时，方程有1个解；
当时，方程有3个解；
当时，方程有2个解；
当时，方程无解．
【知识点】分段函数；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（2）由图象可知，当时，有；
故答案为：.
【分析】（1）先根据图象确定分段函数的解析式自变量的取值范围，然后利用待定系数法进行得到分段函数的解析式，再将点坐标代入进行求解；
（2）直接根据函数图象确定自变量的值；
（3）结合函数图象，分四种情况进行讨论求解即可．
（1）解：由图象可知，当时，设函数关系式为：，把代入，得：，
∴；
当时，同法可得：，
当时，设，把，代入得：，
∴，
∴，
∴当时，，当时，，解得，
∴，；
（2）由图象和表格可知，当时，；
故答案为：；
（3）由图象可知：当或时，方程有1个解；
当时，方程有3个解；
当时，方程有2个解，
当时，方程无解．
24．【答案】（1）证明：∵作点关于的对称点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴；
（2）证明：∵作点关于的对称点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：①如图，设交于点，连接，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵作点关于的对称点，
∴垂直平分，
∴，
∴，，
∴；
②，证明如下：
如图，连接，交于点，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；轴对称的性质；等腰直角三角形；四边形的综合
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质得，由正方形的性质得，进行等量代换即可得证结论；
（2）根据轴对称的性质得，证明，得到，然后根据等腰三角形“等边对等角”的性质得到，结合平角的定义得到，于是利用四边形内角和等于360°得到，接下来根据正方形的性质得，则求出，结合，即可得证结论；
（3）①设交于点，连接，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，进而利用勾股定理求出的长，于是求出的长，然后再利用勾股定理求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可；
②连接，交于点，连接，结合正方形的性质推出，由直角三角形斜边上的中线性质推出，则推出，利用勾股定理得到，最后进行等量代换得出结论即可．
（1）证明：∵作点关于的对称点，
∴，
∵正方形，
∴，
∴
（2）证明：∵点C关于的对称点为E，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵正方形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形；
（3）①设交于点，连接，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵对称，
∴垂直平分，
∴，
∴，，
∴；
②，证明如下：
连接，交于点，连接，
∵正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
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