苏科版九上 2.3 确定圆的条件 导学案（含解析）

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《圆》2.3导学案
一．教学目标：
1.经历不在同一条直线上的三点确定一个圆的探索过程
2.了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念，会过不在同一条直线上的三点作一个圆
二．性质：__________________________________________________________________________
三.三角形的外接圆定义：_____________________________________________________________
三角形的外心定义：__________________________________________________________________
园的内接三角形定义：__________________________________________________________________
外心位置和特点：______________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
巩固练习
1．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（　　）A．① B．② C．③ D．均不可能
2．如图，等边三角形ABC的三个顶点均在⊙O上，BC＝3，BD为⊙O的直径，则BD的长为（　　）
A．4 B． C． D．3.5
第1题 第2题 第3题 第4题 第5题
3．如图，B，E分别是直线AC，DC上的点，过A，B，C，D，E这五个点中的任意三个点，能画圆的个数最多为（　　） A．8 B．6 C．10 D．12
4．如图，已知线段AB，AD，点C在线段AB上，下列说法正确的是（　　）
A．经过点A，B，C，只能作一个圆 B．经过点A，B，D，只能作一个圆
C．经过点A，以AD的长为半径只能作一个圆 D．经过点A，B，以AD的长为半径只能作一个圆
5．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E在直线AB外，过这5个点中的任意三个，能画的圆有
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
6．如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
7．对于题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝120°，求∠A的度数”小亮的解答：画出△ABC以及它的外接圆⊙O，连接OB，OC，如图，由∠BOC＝2∠A＝120°，得∠A＝60°，下列判断正确的是（　　）
A．小亮的求解不正确，∠A＝60°或120° B．小亮的求解正确
C．小亮的求解不正确，∠A应该等于65° D．小亮的求解不正确，∠A的度数不固定
8．已知锐角△ABC中，AB＝5，，高AD＝4，能完全覆盖△ABC的⊙O的半径r的最小值为 A． B． C． D．3
9．⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，圆心O到底边BC的距离为2cm，⊙O的半径为6cm，则腰AB的长为（　　）A． B． C．或 D．或
10．在锐角三角形ABC中，AB＝AC，BC＝8，它的外接圆O的半径长为5，若点D是边BC的中点，以点D为圆心的圆和⊙O相交，那么⊙D的半径长可以是（　　）A．2 B．5 C．8 D．10
11．如图，平面直角坐标系中，⊙P经过三点A（8，0），O（0，0），B（0，6），点D是⊙P上的一动点．当点D到弦OB的距离最大时，点D的坐标是（　　）
A．（9，3） B．（9，6） C．（10，3） D．（10，6）
12．如图，已知⊙O是等边△ABC的外接圆，连接AO并延长交⊙O于点D，交BC于点E．若DE＝3，则四边形ABDC的面积为（　　）A． B． C． D．
第11题 第12题 第13题 第15题
13．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（　　）A．点D B．点E C．点F D．点G
14．下列说法中正确的是（　　）
A．经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆 B．经过两个定点，以定长为半径只能作一个
C．经过三个定点，只能作一个圆 D．经过三角形的三个顶点，只能作一个圆
15．⊙O是△ABC的外接圆，在弧BC上找一点M，使点M平分弧BC．对图中的三种作法，下列说法正确的是（　　）
A．三种作法均正确 B．只有作法一和作法二正确
C．只有作法二和作法三正确 D．只有作法二正确
16．下列说法正确的是（　　）
A．三点确定一个圆 B．三角形的外心到三角形三边的距离相等
C．平分弦的直径垂直于弦 D．垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦
17．如果点O为△ABC的外心，∠BOC＝70°，那么∠BAC等于（　　）
A．35° B．110° C．145° D．35°或145°
18．如图，△ABC内接于⊙O，若AB＝AC＝10，BC＝12，则⊙O的半径是　 　 ．
19．如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC＝60°，则△ABC的面积的最大值为　 ．
第18题 第19题 第20题 第22题 第26题
20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分为D，E，F，连接DE，EF，FD．若DE+DF＝6，△ABC的周长为20，则EF的长为　 　 ．
21．已知等边三角形的边长为6cm，则它的外接圆半径长为 　 　 cm．
22．如图，在平面直角坐标系中，A（0，3）、B（4，3）、C（6，1）．则经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心P的坐标为 　 　 ．
23．已知直角△ABC的两条直角边长为6和8，则这个三角形的外接圆的半径等于 　 　 ．
24．若在平面直角坐标系中的点A（1，1），B（﹣1，﹣1），C（m，3）不能确定一个圆，则m的值是　 　 ．
25．已知O为△ABC的外心，∠BOC＝70°，则∠A＝　 　 ．
26．如图，△ABC外接圆的圆心坐标为　 　 ．
27．△ABC的边AB＝8，边AC，BC的长是一元二次方程m2﹣16m+60＝0的两根，则△ABC的外接圆的半径是 　 　 ．
28．三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的 　 　 ．
参考答案与试题解析
一．选择题（共17小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A C A B D A A A D B A
题号 12 13 14 15 16 17
答案 C C D A D D
一．选择题（共17小题）
1．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（　　）
A．① B．② C．③ D．均不可能
【解答】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
2．如图，等边三角形ABC的三个顶点均在⊙O上，BC＝3，BD为⊙O的直径，则BD的长为（　　）
A．4 B． C． D．3.5
【解答】解：连接CD，
∵△ABC是等边三角形，BC＝3，
∴∠ABC＝60°（等边三角形的每个外角等于60°），
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，AC⊥BD，
∴∠CBD＝∠ABD＝30°，
∴CD＝BD，
∴BD2＝BC2+CD2＝，
∴，
故选：C．
3．如图，B，E分别是直线AC，DC上的点，过A，B，C，D，E这五个点中的任意三个点，能画圆的个数最多为（　　）
A．8 B．6 C．10 D．12
【解答】解：过A、B、D；A、B、E；A、C、D；A、C、E；B、C、D；B、C、E；D、E、A；D、E、B可以画圆，
则能画圆的个数最多为8个，
故选：A．
4．如图，已知线段AB，AD，点C在线段AB上，下列说法正确的是（　　）
A．经过点A，B，C，只能作一个圆
B．经过点A，B，D，只能作一个圆
C．经过点A，以AD的长为半径只能作一个圆
D．经过点A，B，以AD的长为半径只能作一个圆
【解答】解：A、经过点A，B，C，不能作圆，故本选项说法错误，不符合题意；
B、经过点A，B，D，只能作一个圆，说法正确，符合题意；
C、经过点A，以AD的长为半径能作无数个圆，故本选项说法错误，不符合题意；
D、经过点A，B，以AD的长为半径能作两个圆，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
5．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E在直线AB外，过这5个点中的任意三个，能画的圆有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【解答】解：根据在平面内，不在同一直线上三个点确定一个圆可得：
点E在直线AB外，则点E、A、B；点E、A、C；点E、A、D；点E、B、C；点E、B、D；点E、C、D；不在同一直线上，可以画圆，
即能画圆的个数是6个
故选：D．
6．如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
【解答】解：如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是锐角三角形，
故选：A．
7．对于题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝120°，求∠A的度数”小亮的解答：画出△ABC以及它的外接圆⊙O，连接OB，OC，如图，由∠BOC＝2∠A＝120°，得∠A＝60°，下列判断正确的是（　　）
A．小亮的求解不正确，∠A＝60°或120°
B．小亮的求解正确
C．小亮的求解不正确，∠A应该等于65°
D．小亮的求解不正确，∠A的度数不固定
【解答】解：如图1，∠A＝∠BOC＝×120°＝60°，
如图2，∠D＝∠BOC＝×120°＝60°，
∵四边形ABDC为⊙O的内接四边形，
∴∠A＝180°﹣∠D＝120°，
综上所述：∠A＝60°或120°，
故选：A．
8．已知锐角△ABC中，AB＝5，，高AD＝4，能完全覆盖△ABC的⊙O的半径r的最小值为（　　）
A． B． C． D．3
【解答】解：∵，高AD＝4，
∴，
∴BC＝BD+CD＝5，
∴AB＝BC＝5，
过点B作BM⊥AC于点M，作AB的垂直平分线，与AB交于点F，与BM的交点O，即为△ABC的外接圆圆心，
∴AO＝BO，∠AMB＝90°，，
∴BM＝＝＝2，
∵OM2+AM2＝OA2，
∴，
即，
解得．
∴完全覆盖△ABC的圆的最小半径为．
故选：A．
9．⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，圆心O到底边BC的距离为2cm，⊙O的半径为6cm，则腰AB的长为（　　）
A． B．
C．或 D．或
【解答】解：分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论，
如图一，假若∠A是锐角，△ABC是锐角三角形，
连接OA，OB，
∵OD＝2cm，OB＝6cm，
∴AD＝8cm，
∴BD＝＝＝4（cm），
∵OD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴AB＝＝＝4（cm）；
如图二，若∠A是钝角，则△ABC是钝角三角形，
和图一解法一样，只是AD＝6﹣2＝4（cm），
∴AB＝＝＝4（cm），
综上可得腰长AB＝4cm或4cm．
故选：D．
10．在锐角三角形ABC中，AB＝AC，BC＝8，它的外接圆O的半径长为5，若点D是边BC的中点，以点D为圆心的圆和⊙O相交，那么⊙D的半径长可以是（　　）
A．2 B．5 C．8 D．10
【解答】解：如图，连接AD并延长交⊙O于点E，
∵AB＝AC，D为BC中点，
∴BD＝DC＝4，OD⊥BC，
锐角三角形ABC中，AB＝AC，
∴外接圆心O在AD上，
连接OB，由勾股定理得：，
设以D为圆心的圆的半径为r，⊙D，⊙O相交应满足：|5﹣r|＜OD＜5+r，
即|5﹣r|＜3＜5+r，
解得：2＜r＜8，在此范围的半径只有选项B，
故选：B．
11．如图，平面直角坐标系中，⊙P经过三点A（8，0），O（0，0），B（0，6），点D是⊙P上的一动点．当点D到弦OB的距离最大时，点D的坐标是（　　）
A．（9，3） B．（9，6） C．（10，3） D．（10，6）
【解答】解：∵点A（8，0），O（0，0），B（0，6），
∴OA＝8，OB＝6，
过点P作PE⊥OA于点E，作PF⊥OB于点F，延长FP交⊙P于点D，此时点 D 到弦OB的距离最大，
∴四边形PFOE是矩形，
∴，
∴，
∴点 D 到弦OB的距离最大为PF+OD＝4+5＝9，
∴点D的坐标为（9，3），
．
故选：A．
12．如图，已知⊙O是等边△ABC的外接圆，连接AO并延长交⊙O于点D，交BC于点E．若DE＝3，则四边形ABDC的面积为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接OB，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴AE⊥BC，
∴∠BAD＝∠BAC＝30°，BE＝CE，
∴∠BOD＝2∠BAD＝60°，
∴∠OBE＝30°，
∴OE＝OB＝OD，
∵DE＝3，
∴OE＝3，
∴OB＝OD＝6，
由勾股定理得：BE＝＝＝3，
∴BC＝6，
∴S四边形ABDC＝×12×6＝36，
故选：C．
13．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（　　）
A．点D B．点E C．点F D．点G
【解答】解：由图可知，，
∴FA＝FB＝FC，
∴F点在AB，AC，BC三边的垂直平分线上，
∴点F是△ABC外心，
故选：C．
14．下列说法中正确的是（　　）
A．经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆
B．经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆
C．经过三个定点，只能作一个圆
D．经过三角形的三个顶点，只能作一个圆
【解答】解：根据定点和定长与圆的关系，逐项分析如下：
A、经过一个定点，以定长为半径，由于圆心不确定，即可以作无数个圆，原说法错误，不符合题意；
B、经过两个定点，以定长为半径，圆心在两个定点所连线段的垂直平分线上，即能作0个或1个或2个圆，原说法错误，不符合题意；
C、经过不在同一条直线上的三个定点，只能作一个圆，原说法错误，不符合题意；
D、原说法正确，符合题意．
故选：D．
15．⊙O是△ABC的外接圆，在弧BC上找一点M，使点M平分弧BC．对图中的三种作法，下列说法正确的是（　　）
A．三种作法均正确
B．只有作法一和作法二正确
C．只有作法二和作法三正确
D．只有作法二正确
【解答】解：做法一、由作图可知AM平分∠BAC，
∴∠BAM＝∠CAM，
∴＝，故作法一正确．
做法二、由作图可知OM平分∠BOC，
∵OB＝OC，
∴OM⊥CB，
∵OM经过圆心O，
∴＝，故作法二正确．
做法三、由作图可知OM垂直平分线段BC，OM经过圆心O，
∴＝，故作法三正确．
故选：A．
16．下列说法正确的是（　　）
A．三点确定一个圆
B．三角形的外心到三角形三边的距离相等
C．平分弦的直径垂直于弦
D．垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦
【解答】解：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，如果三个点在同一条直线上，则没有同时过这三个点的圆，故选项A错误，不符合题意；
三角形的内心到三角形三边的矩离相等，三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等，故选项B错误，不符合题意；
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故选项C错误，不符合题意；
垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
17．如果点O为△ABC的外心，∠BOC＝70°，那么∠BAC等于（　　）
A．35° B．110° C．145° D．35°或145°
【解答】解：①当点O在三角形的内部时，
则∠BAC＝∠BOC＝35°；
②当点O在三角形的外部时，
则∠BAC＝（360°﹣70°）＝145°．
故选：D．
二．填空题（共11小题）
18．如图，△ABC内接于⊙O，若AB＝AC＝10，BC＝12，则⊙O的半径是　　 ．
【解答】解：如图，连接AO并延长，交BC于H，连接OB，
∵AB＝AC，
∴＝，
∴AH⊥BC，
∴BH＝HC＝BC＝6，
由勾股定理得：AH＝＝＝8，
设⊙O的半径为r，则OH＝8﹣r，
在Rt△BOH中，OB2＝BH2+OH2，即r2＝62+（8﹣r）2，
解得：r＝，
∴⊙O的半径为，
故答案为：．
19．如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC＝60°，则△ABC的面积的最大值为　　 ．
【解答】解：如图，作直线OH⊥BC，交BC于H，交于A′，
由题意可知，当点A在点A′位置时，△ABC的面积的最大，
∵∠BAC＝60°，OH⊥BC，
∴∠BOH＝60°，
在Rt△OBH中，OH＝OB cos∠BOH＝1×＝，BH＝OB sin∠BOH＝1×＝，
则BC＝2BH＝，A′H＝1+＝，
∴S△A′BC＝××＝，
故答案为：．
20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分为D，E，F，连接DE，EF，FD．若DE+DF＝6，△ABC的周长为20，则EF的长为　4　 ．
【解答】解：∵OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∴AD＝BD，BE＝EC，AF＝FC，
∴DE、EF、DF是△ABC的中位线，
∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，
∵DE+DF＝6，
∴AC+BC＝12，
∵△ABC的周长为20，
∴AC+BC+AB＝20，
∴AB＝20﹣12＝8，
∴EF＝AB＝4，
故答案为：4．
21．已知等边三角形的边长为6cm，则它的外接圆半径长为 　2　 cm．
【解答】解：如图，连接OB、OC，过点O作OH⊥BC于H，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A＝120°，
∵OB＝OC，OH⊥BC，
∴∠BOH＝60°，BH＝HC＝BC＝3cm，
∴OB＝＝＝2（cm），
故答案为：2．
22．如图，在平面直角坐标系中，A（0，3）、B（4，3）、C（6，1）．则经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心P的坐标为 　（2，﹣1）　 ．
【解答】解：∵A（0，3）、B（4，3），
∴AB的垂直平分线是直线x＝2，
∵经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心为点P，
∴圆心P在直线x＝2上，
设P（2，m），
∵PA＝PC，
∴4+（m﹣3）2＝16+（m﹣1）2，
解得m＝﹣1，
∴P（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
23．已知直角△ABC的两条直角边长为6和8，则这个三角形的外接圆的半径等于 　5　 ．
【解答】解：如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝6，AB＝8，
∴BC＝＝＝10，
作△ABC的外接圆，圆心为点O，
∵∠A＝90°，
∴BC是⊙O的直径，
∴OB＝OC＝BC＝5，
∴△ABC的外接圆的半径等于5，
故答案为：5．
24．若在平面直角坐标系中的点A（1，1），B（﹣1，﹣1），C（m，3）不能确定一个圆，则m的值是　3　 ．
【解答】解：设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
则，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x，
当点C（m，3）在直线AB上时，m＝3，
则当m＝3时，点A，B，C不能确定一个圆，
故答案为：3．
25．已知O为△ABC的外心，∠BOC＝70°，则∠A＝　35°或145°　 ．
【解答】解：如图，当圆心O与点A在BC的同侧时，
∴；
如图，当圆心O与点A在BC的两侧时，
延长BO交⊙O于点D，连接CD，
∵，
∴∠D＝35°．
∵四边形ACDB为圆的内接四边形，
∴∠BAC+∠D＝180°．
∴∠BAC＝180°﹣∠D＝180°﹣35°＝145°．
综上，∠BAC＝35°或145°．
故答案为：35°或145°
26．如图，△ABC外接圆的圆心坐标为　（5，0）　 ．
【解答】解：如图，∵线段AB为网格中的正方形的对角线，
∴线段AB的垂直平分线为经过AB中点的正方形的对角线，
∵线段AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线的交点坐标为M（5，0），
∴点M到点A、B、C的距离相等，
∴点M为△ABC的外接圆的圆心，
∴△ABC外接圆的圆心坐标为（5，0），
故答案为：（5，0）．
27．△ABC的边AB＝8，边AC，BC的长是一元二次方程m2﹣16m+60＝0的两根，则△ABC的外接圆的半径是 　5　 ．
【解答】解：∵m2﹣16m+60＝0，
（m﹣10）（m﹣6）＝0，
解得：m1＝10，m2＝6，
∵62+82＝102，
∴△ABC是直角三角形，且斜边长为10，
∵直角三角形的外接圆的圆心在斜边上，且为斜边的中点，
∴△ABC的外接圆半径为，
故答案为：5．
28．三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的 　三边垂直平分线的交点上　 ．
【解答】解：根据线段垂直平分线的性质得：凳子应放的最适当的位置在三角形的三边垂直平分线的交点上．
故答案为：三边垂直平分线的交点上．