(共26张PPT)
第7课时 三角形的外角
知识导学
课堂讲练
第十三章 三角形
课堂检测
1．理解三角形外角的概念；2．掌握三角形的内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．(核心素养：运算能力、几何直观、空间观念、推理能力)
随堂测
知识导学
1．三角形的外角的概念：三角形的一边与另一边的__________组成的角，叫作三角形的外角．
2．如图，∠ACD是△ABC的一个外角，则∠ACD＝180°－∠ACB＝180°－(180°－∠A－∠B)＝________＋∠B．
延长线
∠A
三角形的外角的性质：三角形的外角等于与它__________的两个内角的和．
几何语言：如图，∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD＝∠A＋∠B．
注：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角．
不相邻
课堂讲练
三角形的外角的概念
例1 下列各图中，∠1是△ABC的外角的是 ( )
知识点 1
D
训练 1．如图，∠1，∠2，∠3中是△ABC的外角的是 ( )
A．∠1，∠2
B．∠2，∠3
C．∠1，∠3
D．∠1，∠2，∠3
C
三角形的外角的性质
例2 写出下列图形中∠α的度数．
知识点 2
∠α＝_________ ∠α＝________ ∠α＝________
113°
35°
40°
训练 2．(RJ八上P22 T4改编)下图中x的值为______．
60
例3 (RJ八上P17 T5)如图，AB∥CD，∠A＝40°，∠D＝45°．求∠1和∠2的度数．
解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠A＝40°．
∴∠2＝∠1＋∠D＝40°＋45°＝85°．
训练 3．(RJ八上P17 T6)如图，AB∥CD，AE与CD相交于点O，∠A＝45°，∠C＝∠E．求∠C的度数．
解：∵AB∥CD，
∴∠DOE＝∠A＝45°．
∵∠DOE＝∠C＋∠E，∠C＝∠E，
三角形的外角与内角的综合
例4 如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠DAC＝32°．求∠BAC的度数．
解：∵∠3＝∠4，∠DAC＝32°，
知识点 3
∴∠BAC＝∠1＋∠DAC＝37°＋32°＝69°．
训练 4．如图，点D在△ABC的边BC上，∠B＝
∠BAD＝∠C，∠ADC＝72°．求∠DAC的度数．
解：∵∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠B＋∠BAD＝72°，
∴∠C＝∠B＝36°．
∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－72°－36°＝72°．
课堂检测
1．如图，∠CBD是△ABC的一个外角，∠CBD＝80°，∠A＝35°，则∠C＝ ( )
A．35° B．40°
C．45° D．55°
C
2．如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上(不与点A，D重合)，连接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝ ( )
A．10° B．20°
C．30° D．40°
C
3．(RJ八上P15例4改编)如图，∠1＋∠2＋∠3的度数为_________．
360°
4．如图，五角星的顶点分别为A，B，C，D，E，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数为( )
A．90° B．180°
C．270° D．360°
B
5．如图，D为△ABC内任意一点，求证：∠BDC＞∠A．
证明：如答图1，延长BD交AC于点E．
∵∠BDC是△DEC的一个外角，
∴∠BDC＞∠DEC．
又∠DEC是△ABE的一个外角，
∴∠DEC＞∠A．
∴∠BDC＞∠A．
答图1
6．(RJ八上P17 T11)如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．求证：∠BAC＝∠B＋2∠E．
证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE＝∠B＋∠E．
∴∠BAC＝∠E＋∠ACE＝∠E＋∠B＋∠E＝∠B＋2∠E．
随 堂 测
课时练
1．如图，∠ACD是△ABC的外角．若∠ACD＝110°，∠B＝50°，则∠A的度数为 ( )
A．40° B．50°
C．55° D．60°
D
2．如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，若∠A＝50°，∠C＝30°，则∠AEC的度数为 ( )
A．20° B．50°
C．80° D．100°
C
3．如图，∠1，∠2，∠3的大小关系为_________________．(用“＜”连接)
∠1＜∠2＜∠3
4．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD平分△ABC的外角∠EAC. 求证：AD∥BC．
证明：∵∠B＝∠C，
∴∠EAC＝∠B＋∠C＝2∠B．
∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD．
∴∠EAD＝∠B．
∴AD∥BC．
循环练
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D．若∠BAD＝32°，则∠C的度数为________．
32°(共26张PPT)
第5课时 三角形的内角(1)
知识导学
课堂讲练
第十三章 三角形
课堂检测
探索并证明三角形的内角和定理．(核心素养：运算能力、几何直观、空间观念、推理能力)
随堂测
知识导学
1．如图，已知△ABC．求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°．
方法1：证明：如图，过点A作DE∥BC．
∵DE∥BC，
∴∠B＝∠1，∠C＝_______．
∵点D，A，E在同一条直线上，
∴∠1＋∠2＋∠3＝_________．
∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°．
∠3
180°
方法2：证明：如图，过点C作CM∥AB，延长BC至点N．
∵CM∥AB，
∴∠A＝∠1，∠B＝∠2．
∵点B，C，N在同一条直线上，
∴∠1＋∠2＋∠ACB＝180°．
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°．
2．三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．
课堂讲练
三角形的内角的简单计算
例1 已知△ABC．
(1)若∠A＝35°，∠B＝45°，则∠C＝_______°；
(2)若∠A＝∠C＝70°，则∠B＝______°；
(3)若∠B＝50°，则∠A＋∠C＝_______°．
知识点 1
100
40
130
训练 1．写出下列图形中x的值．
x＝______ x ＝______ x＝______
60
54
60
例2 在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C．求∠C的度数．
解：设∠C＝x°，则∠B＝4x°．
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴x＋4x＋20＝180．
解得x＝32．∴∠C＝32°．
训练 2．在△ABC中，∠A＝3∠B，∠C－∠B＝15°．求∠A，∠B，∠C的度数．
解：设∠B＝x°，则∠A＝3x°，∠C＝(x＋15)°．
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴3x＋x＋(x＋15)＝180．
解得x＝33．∴3x＝99，x＋15＝48．
∴∠A＝99°，∠B＝33°，∠C＝48°．
三角形的内角与高、角平分线的综合
例3 (RJ八上P12例1)如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线．求∠ADB的度数．
解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝40°，
在△ABD中，∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－75°－20°＝85°．
知识点 2
训练 3．如图，在△ABC中，AE是△ABC的角平分线，AD是△ABC的高，∠BAC＝70°，∠C＝40°．求∠DAE的度数．
解：∵AE是△ABC的角平分线，∠BAC＝70°，
∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°．
∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－90°－40°＝50°．
∴∠DAE＝∠DAC－∠CAE＝50°－35°＝15°．
三角形的内角的应用
例4 (RJ八上P12例2改编)如图，A岛在B岛的北偏东30°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，A岛在C岛的北偏西40°方向．求从A岛看B，C两岛的视角∠BAC的度数．
知识点 3
解：由题意，得∠ABD＝30°，∠CBD＝80°，∠ACE＝40°．
∴∠ABC＝∠CBD－∠ABD＝80°－30°＝50°．
∵BD∥CE，∴∠CBD＋∠BCE＝180°．
∴∠BCE＝180°－∠CBD＝180°－80°＝100°．
∴∠ACB＝∠BCE－∠ACE＝100°－40°＝60°．
∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－50°－60°＝70°．
答：从A岛看B，C两岛的视角∠BAC的度数为70°．
训练 4．(RJ八上P17 T7改编)如图，B处在A处的南偏西40°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向．求∠ACB的度数．
解：由题意，得∠BAE＝40°，∠CAE＝15°，∠DBC＝80°．
∴∠BAC＝∠BAE＋∠CAE＝40°＋15°＝55°．
∵BD∥AE，∴∠ABD＝∠BAE＝40°．
∴∠ABC＝∠DBC－∠ABD＝80°－40°＝40°．
∴∠ACB＝180°－∠ABC－∠BAC＝180°－40°－55°＝85°．
课堂检测
1．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则∠A的度数为________．
2．(RJ八上P13 T2改编)如图，在△ABC中，∠A＝40°，
则∠B＋∠C＋∠ADE＋∠AED的度数为_________．
30°
280°
3．如图，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°．求∠BDC，∠EDC的度数．
解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°．
∵CD平分∠ACB，
∴∠BDC＝180°－∠B－∠BCD＝180°－70°－30°＝80°．
∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝30°．
4．将一副三角板按如图所示的方式放置，则∠DOC的度数为________．
75°
5．【整体思想】如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，BP与CP相交于点P．
(1)若∠ABC＝75°，∠ACB＝45°，则∠P＝_________；
120°
(2)若∠A＝60°，求∠P的度数；
(3)若∠A＝α，则∠P＝____________(用含α的式子表示)．
解：(2)∵∠A＝60°，
∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝120°．
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠P＝180°－(∠PBC＋∠PCB)＝180°－60°＝120°．
随 堂 测
课时练
1．如图是一个缺角的△ABC，已知∠A＝45°，∠B＝60°，则这个三角形缺失的∠C的度数为_______．
75°
2．在如图所示的图形中，x的值为______．
60
3．如图，在△ABC中，D为边BC上一点，过点B作BE∥AD．若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，则∠C的度数为 ( )
A．65° B．75°
C．85° D．95°
B
4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AC于点E．若∠B＝42°，∠C＝58°，求∠ADC及∠ADE的度数．
解：∵∠B＝42°，∠C＝58°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°．
∴∠ADC＝180°－∠DAC－∠C＝82°．
∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°．
∴∠ADE＝180°－∠AED－∠DAC＝50°．
循环练
5．下列各选项中，正确画出△ABC的边AC上的高的是 ( )
B(共24张PPT)
第6课时 三角形的内角(2)
知识导学
课堂讲练
第十三章 三角形
课堂检测
1．理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余；
2．掌握有两个角互余的三角形是直角三角形．(核心素养：运算能力、几何直观、空间观念、推理能力)
随堂测
知识导学
注：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，即直角三角形ABC可以写成Rt△ABC．
图形 直角三角形的性质 直角三角形的判定
直角三角形的两个锐角________． 几何语言：在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴∠A＋∠B＝________ 有两个角________的三角形是直角三角形．
几何语言：在△ABC中，∠A＋∠B＝________，
∴△ABC是直角三角形
互余
90°
互余
90°
课堂讲练
直角三角形的性质
例1 (RJ八上P14例3改编)如图，∠C＝∠D＝90°，AD，BC相交于点E．∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
解：∠CAE＝∠DBE．理由如下：
在Rt△ACE中，∠CAE＝90°－∠AEC．
在Rt△BDE中，∠DBE＝90°－∠BED．
∵∠AEC＝∠BED，∴∠CAE＝∠DBE．
知识点 1
训练 1．(RJ八上P14 T1)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．∠ACD与∠B有什么关系？为什么？
解：∠ACD＝∠B．理由如下：
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°．∴∠B＋∠BCD＝90°．
∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠BCD＝90°．
∴∠ACD＋∠BCD＝∠B＋∠BCD．
∴∠ACD＝∠B．
直角三角形的判定
例2 (RJ八上P14 T2改编)如图，在△ABC中，E是边AC上一点，过点E作ED⊥AB于点D．若∠1＝∠2，求证：△ABC是直角三角形．
证明：∵ED⊥AB，∴∠ADE＝90°．
∴∠A＋∠1＝90°．
又∠1＝∠2，∴∠A＋∠2＝90°．
∴△ABC是直角三角形．
知识点 2
训练 2．如图，AC⊥BD，垂足为C，∠A＝∠D．
求证：△BDE是直角三角形．
证明：∵AC⊥BD，∴∠ACB＝90°．
∴∠A＋∠B＝90°．
又∠A＝∠D，∴∠B＋∠D＝90°．
∴△BDE是直角三角形．
课堂检测
1．在△ABC中，若∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC是 ( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
A
2．(RJ 八上P16 T1改编)如图，在△ABC中，∠C＝90°，则x的值为 ( )
A．15
B．30
C．50
D．60
B
3．下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是 ( )
A．∠A＝90°
B．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
C．∠C＝∠A＋∠B
D．∠A＋∠B＝90°
B
4．(RJ 八上P16 T4改编)如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D．若∠1＝∠B，∠C＝65°，则∠BAC的度数为________．
70°
5．如图，CE⊥AD，AB⊥CD，垂足分别为E，B，∠C＝28°，则∠A的度数为________．
28°
6．(2024通辽)将三角尺ABC按如图位置摆放，顶点A落在直线l1上，顶点B落在直线l2上，若l1∥l2，∠1＝25°，则∠2的度数是( )
A．45°
B．35°
C．30°
D．25°
B
7．【推理能力】(RJ八上P17 T10改编)如图，AB∥CD，AE平分∠CAB，CE平分∠ACD，AE与CE相交于点E．
(1)若∠ACD＝80°，求∠E的度数；
解：∵AB∥CD，∠ACD＝80°，
∴∠CAB＝180°－∠ACD＝100°．
∵AE平分∠CAB，CE平分∠ACD，
∴∠E＝180°－∠CAE－∠ACE＝180°－50°－40°＝90°．
(2)求证：△ACE是直角三角形．
证明：∵AB∥CD，
∴∠CAB＋∠ACD＝180°．
∵AE平分∠CAB，CE平分∠ACD，
∴△ACE是直角三角形．
8．【等量代换】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD，AC于点F，E．求证：∠CFE＝∠CEF．
证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠CBE＋∠CEB＝90°．
∵CD⊥AB，∴∠FBD＋∠BFD＝90°．
∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠FBD．
∴∠CEB＝∠BFD．
∵∠CFE＝∠BFD，∴∠CFE＝∠CEB，即∠CFE＝∠CEF．
随 堂 测
课时练
1．若一个三角形的三个内角的度数之比为1∶1∶2，则这个三角形是 ( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
A
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则下列结论中错误的是 ( )
A．∠A＝∠2
B．∠1和∠B都是∠A的余角
C．∠1＝∠2
D．图中有3个直角三角形
C
3．如图，Rt△ABC的直角顶点A在直线a上，斜边BC在直线b上，若a∥b，∠1＝55°，则∠2的度数为 ( )
A．55° B．45°
C．35° D．25°
C
4．如图，在△ABC中，过点B作BD⊥AC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，BD，CE相交于点O．若∠A＝60°，求∠BOC的度数．
解：∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°．
∴∠ABD＝90°－∠A＝90°－60°＝30°．
∵CE⊥AB，∴∠BEO＝90°．
∴∠EOB＝90°－∠ABD＝90°－30°＝60°．
∴∠BOC＝180°－∠EOB＝180°－60°＝120°．
循环练
5．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶3∶5，则∠A的度数为________．
20°(共21张PPT)
第1课时 三角形的概念
知识导学
课堂讲练
第十三章 三角形
课堂检测
理解三角形及其内角等概念．
随堂测
知识导学
1．三角形的相关概念
文字语言 图形语言 符号语言
三角形 由不在同一条直线上的三条线段_________ _________所组成的图形叫作三角形 边：AB，BC，AC或a，b，c；
顶点：点A，点B，点C；
内角(简称角)：∠A，∠B，∠C；
记作“△ABC”，读作“三角形ABC”
首尾顺
次相接
文字语言 图形语言 符号语言
等腰 三角形 有两边相等的三角形叫作等腰三角形 在△ABC中，AB＝AC．
腰：AB，AC；底边：BC；
顶角：∠A；底角：∠B，∠C
等边 三角形 三边都相等的三角形叫作等边三角形 在△ABC中，AB＝AC＝BC
等腰三角形和等边三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形 2．三角形的分类
按角分类
按边分类
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
三边都不相等的三角形
等边三角形
课堂讲练
三角形的相关概念
例1 观察图中的三角形，回答下列问题：
(1)图中有_____个三角形，用符号表示这些三角形：_____________________________；
(2)以∠A为角的三角形是______________________；
(3)以点D为顶点的三角形是______________________；
(4)以AC为边的三角形是______________________．
知识点 1
3
△ABC，△ACD，△BCD
△ABC，△ACD
△ACD，△BCD
△ABC，△ACD
训练 1．(RJ八上P4 T1改编)观察图中的三角形，回答下列问题：
(2)以∠D为角的三角形是_____________________；
(3)以点A为顶点的三角形是_____________________；
(4)以BC为边的三角形是______________________________．
(1)图中有_____个三角形，用符号表示这些三角形：______________________________________________；
5
△ABE，△CDE，△BCE，△ABC，△BCD
△CDE，△BCD
△ABE，△ABC
△BCE，△ABC，△BCD
三角形的分类
例2 观察下列三角形，并把它们的标号填在相应的横线上．
(1)锐角三角形：__________，直角三角形：________，钝角三角形：________；
(2)等腰三角形：____________，等边三角形：______．
知识点 2
③④⑥
①⑤
②⑦
②④⑤⑥
⑥
训练 2．(RJ八上P3 T2改编)如图，在△ABC中，∠BAC是直角，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段BD上，用符号表示图中的三角形．
(1)锐角三角形：____________；
(2)直角三角形：___________________________________；
(3)钝角三角形：____________．
△ACE
△ACD，△ADE，△ABD，△ABC
△ABE
训练 3．(RJ八上P3 T1改编)如图，在△ABC中，AB＝BC＝CA，点O在△ABC内，OA＝OB＝OC，用符号表示图中的三角形．
(1)等腰三角形：__________________________________；
(2)等边三角形：____________．
△AOB，△AOC，△BOC，△ABC
△ABC
课堂检测
1．一个三角形的三个角的度数分别是89°，45°，46°，那么这个三角形是 ( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
B
2．如图，在△ABC中，点D，E在线段BC上．
(1)图①中有_____个三角形，用符号表示这些三角形：____________________________________ ___________________；
(2)图①中以∠B为角的三角形是____________________________，以点D为顶点的三角形是___________________________，以AE为边的三角形是____________________________；
6
△ABD，△ADE，△ACE，△ABE，△ACD，△ABC
△ABD，△ABE，△ABC
△ABD，△ADE，△ACD
△ADE，△ACE，△ABE
(3)如图①，若AB＝AC，AD＝BD＝AE＝DE＝CE，则等腰三角形有_________________________ ___________，等边三角形有____________；
(4)如图②，若AD⊥BC，垂足为D，∠BAC是钝角，E是线段DC上一点，且∠BAE是锐角，则锐角三角形有__________，直角三角形有__________ __________________，钝角三角形有____________ __________．
△ABD，△ADE，△ACE，
△ABC
△ADE
△ABE
△ABD，
△ADE，△ACD
△ACE，
△ABC
3．(RJ八上P4 T5改编)如图，已知点A，B在直线a上，点C，D，E在直线b上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有 ( )
A．3个 B．4个
C．6个 D．9个
D
任意不在同一条直线上的三个点可以确定一个三角形．
随 堂 测
课时练
1．下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是 ( )
C
2．判断正误：三角形按照边的关系可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形．______(填“√”或“×”)
×
3．如图，四边形ABCD是长方形，E是对角线BD上一点，CE⊥BD，连接AE．
(1)三角形ABE可记作____________，它的三条边分别是________ ____________，三个顶点分别是________________，三个内角分别是____________________________；
△ABE
AB，
BE，AE
点A，B，E
∠ABE，∠AEB，∠BAE
(2)以CD为边的三角形有_____个，它们分别是______________ ________；
(3)图中一共有_____个三角形，其中，锐角三角形为___________，直角三角形为____________________________________，钝角三角形为___________．
2
△CDE，
△BCD
6
△ABE
△BCE，△CDE，△ABD，△BCD
△ADE
解：解不等式①，得x＞3．
解不等式②，得x≤10．
∴不等式组的解集为3＜x≤10．(共29张PPT)
第3课时 三角形的中线、角平分线、高
知识导学
课堂讲练
第十三章 三角形
课堂检测
1．理解三角形的中线、角平分线、高线的概念；2．了解三角形重心的概念．(核心素养：运算能力、抽象能力、几何直观、模型观念)
随堂测
知识导学
1．三角形的中线、角平分线、高
文字语言 图形语言 符号语言
三角形的中线 连接三角形的顶点与它对边的________的线段，叫作这个三角形的中线 ∵AD是△ABC的中线，
∴BC＝_________＝
________，
中点
2CD
2BD
S△ACD
S△ABC
文字语言 图形语言 符号语言
三角形的 角平分线 三角形中一个内角的__________与它的对边相交，这个角的顶点和交点之间的________叫作三角形的角平分线 ∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝_________＝
平分线
线段
∠CAD
∠BAC
文字语言 图形语言 符号语言
三角形 的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画________，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高 ∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，∠ADB＝____________＝90°，
垂线
∠ADC
注：
1．任意三角形都有三条中线、三条角平分线、三条高，且它们都是线段；
2．三角形的三条中线相交于一点，这个交点叫作三角形的重心；
3．三角形的三条角平分线相交于一点；
4．三角形的三条高所在的直线相交于一点
课堂讲练
三角形的中线
例1 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ACD的面积为8，则△ABC的面积为______．
知识点 1
16
训练 1．如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，若△ABC的面积为10，则△ABD的面积为_____，△BCD的面积为_____．
5
5
例2 如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，AB＝
8，BC＝6．求△ABD与△BCD的周长差．
解：∵BD是AC边上的中线，
∴AD＝CD．
∴C△ABD－C△BCD＝AB＋AD＋BD－(BC＋CD＋BD)＝AB－BC＝8－6＝2．
训练 2．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AC＝7．若△ABD的周长比△ACD的周长多5，求AB的长．
解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD．
又C△ABD－C△ACD＝5，
∴AB＋AD＋BD－(AC＋AD＋CD)＝AB－AC＝5．
∴AB＝AC＋5＝7＋5＝12．
三角形的角平分线
例3 如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，∠CBD＝30°，则∠ABC的度数为________．
知识点 2
60°
训练 3．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACE＝40°，AD，CE是△ABC的角平分线．
(1)∠DAC的度数为_______；
(2)∠ACB的度数为_______．
30°
80°
三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线．
三角形的面积
例4 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，若BC＝7，AD＝4，则S△ABC＝______．
知识点 3
14
训练 4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝8，BC＝5，则S△ABC＝______．
20
三角形的高指的是顶点到它的对边所在直线的垂线段，而三角形面积公式中的“高”实际上是指高的长度，即一个顶点到对边所在直线的距离．
课堂检测
1．三角形的高、中线和角平分线都是 ( )
A．直线 B．射线
C．线段 D．以上答案都不对
C
2．如图，AE是△ABC的中线，D是线段BE上一点，若BD＝5，CD＝9，则CE的长为 ( )
A．5 B．6
C．7 D．8
C
3．如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线、角平分线、高，则下列说法错误的是 ( )
D
4．如图，AD是△ABC的中线．
(1)若AB＝5，AC＝4，则△ABD与△ACD的周长之差为_____；
1
(2)过点A作AE⊥BC，垂足为E，若BC＝10，AE＝6，求△ACD的面积．
解：如答图1．∵AE⊥BC，
∴AE为△ACD的高．
∵AD是△ABC的中线，
答图1
5．如图，点D，E，F分别是△ABC三条边的中点，若△ABC的面积为12，则△DEF的面积为_____．
3
连接AD，利用中线的性质可以得出△DCF和△BDE的面积，同理可以得出△AEF的面积．
6．(RJ八上P10 T8改编)如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，DE交AB于点E，DF∥AB，DF交AC于点F．求证：∠1＝∠2．
证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴∠DAF＝∠1，∠DAE＝∠2．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAF＝∠DAE．
∴∠1＝∠2．
随 堂 测
课时练
1．三角形一边上的中线把该三角形分成两个 ( )
A．形状相同的三角形 B．周长相等的三角形
C．面积相等的三角形 D．直角三角形
C
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，CM平分∠ACB，则∠BCM的度数为 ( )
A．15° B．30°
C．35° D．45°
B
3．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，若AB＝6，△ABD的周长比△ACD的周长多2，则AC的长为_____．
4
4．如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，AE＝4，S△ABD＝10，求BC的长．
解：∵AD是△ABC的边BC上的中线，且S△ABD＝10，
∴S△ABC＝2S△ABD＝20．
∵AE是△ABC的边BC上的高，
又AE＝4，∴BC＝10．
循环练
5．在一场足球比赛中，甲、乙两名运动员与足球的距离分别为9 m，15 m，则甲、乙两人之间的距离d的取值范围为_______________．
6 m≤d≤24 m(共24张PPT)
第2课时 三角形的边
知识导学
课堂讲练
第十三章 三角形
课堂检测
1．证明三角形的任意两边之和大于第三边；2．了解三角形的稳定性．(核心素养：运算能力、几何直观、推理能力、模型观念、应用意识)
随堂测
知识导学
1．三角形的三边关系：如图，从点A到点B的三条路线中，由“两点之间，线段最短”可知，最短的路线是第______条(填序号)，所以AC＋BC ______AB，移项可得AC______AB－BC，同理可得BC______AB－AC．(填“＞”“＜”或“＝”)
②
总结：三角形两边的和________第三边，两边的差________第三边．
＞
＞
＞
大于
小于
2．组成三角形的条件：一般地，如果三条线段中任意两条线段的和大于第三条线段，那么这三条线段______组成三角形；如果三条线段中有两条线段的和小于或等于第三条线段，那么这三条线段________组成三角形．(填“能”或“不能”)
能
3．三角形的稳定性：如图，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状________(填“会”或“不会”)改变，这说明三角形是具有__________的图形．
不能
不会
稳定性
课堂讲练
组成三角形的条件
例1 下列长度的三条线段，能组成三角形的是 ( )
A．1，3，5 B．3，4，8
C．3，6，3 D．7，7，9
训练 1．下列长度的三条线段，不能组成三角形的是 ( )
A．5，9，11 B．2，5，8
C．1，10，10 D．4，5，7
知识点 1
D
B
例2 若一个三角形的两边长分别为4和5，则第三边的长x的取值范围为____________．
训练 2．若一个三角形的三边长分别为3，x，7，则x的取值范围为_____________．
1＜x＜9
4＜x＜10
1．判断三条线段能组成三角形的方法：较短的两条线段之和＞最长的线段；
2．已知三角形的两边长分别为a，b，则第三边长x的取值范围为：|a－b|＜x＜a＋b．
等腰三角形分类讨论
例3 已知△ABC是等腰三角形．
(1)若AB＝5 cm，BC＝10 cm，则AC＝______cm；
(2)若AB＝5 cm，BC＝8 cm，则AC＝________cm．
知识点 2
10
5或8
训练 3．(RJ八上P10 T6改编)(1)已知等腰三角形的一边长为5，一边长为6，则它的周长为__________；
(2)已知等腰三角形的一边长为4，一边长为9，则它的周长为______．
16或17
22
没有明确等腰三角形的腰和底边时，需要分类讨论，还应检验各种情况是否符合三角形的三边关系．
训练 4．(RJ八上P6改编)用一条长为28 cm的细绳围成一个等腰三角形．
(1)如果腰长是底边长的3倍，那么三边长分别是多少？
解：设底边长为x cm，则腰长为3x cm．
由题意，得3x＋3x＋x＝28．
解得x＝4．∴3x＝12．
∴这个等腰三角形的三边长分别是12 cm，12 cm，4 cm．
(2)能围成有一边的长为6 cm的等腰三角形吗？若能，请求出等腰三角形的三边长；若不能，请说明理由．
解：能围成有一边的长为6 cm的等腰三角形．
①当底边长为6 cm时，腰长为(28－6)÷2＝11(cm)．
②当腰长为6 cm时，底边长为28－6×2＝16(cm)．
∵6＋6＜16，不符合三角形的三边关系，∴此时不能围成三角形．
综上，能围成有一边的长为6 cm的等腰三角形，等腰三角形的三边长分别为11 cm，11 cm，6 cm．
三角形的稳定性
例4 如图，手机支架采用了三角形结构，这样做的数学原理是____________________．
知识点 3
三角形具有稳定性
训练 5．如图，工人师傅在安装木制门框时，为防止变形，常常钉上两条斜拉的木条，这样做的数学原理是三角形具有________性．
稳定
课堂检测
1．(2024淮安)用一根小木棒与两根长度分别为3 cm，5 cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是 ( )
A．9 cm B．7 cm
C．2 cm D．1 cm
B
2．如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样设计蕴含的数学原理是 ( )
A．两直线平行，内错角相等
B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短
D．三角形具有稳定性
D
3．如图，D是△ABC的边AC上一点，AD＝BD，
试判断线段AC与BC的大小关系，并说明理由．
解：AC＞BC．
理由：∵AD＋DC＝AC，AD＝BD，
∴BD＋DC＝AC．
∵BD＋DC＞BC，
∴AC＞BC．
4．(RJ八上P10 T5)一个等腰三角形的一边长为6，周长为20，求其他两边的长．
解：分两种情况：
①当腰长为6时，底边长为20－6×2＝8．
②当底边长为6时，腰长为(20－6)÷2＝7．
综上，这个等腰三角形的其他两边的长分别为6，8或7，7．
5．用一根长为7 cm的铁丝围成一个三条边长均为整厘米数的三角形，有几种不同的方案？请直接写出来．
解：有2种不同的方案：
方案一：三角形三边长分别为2 cm，2 cm，3 cm；
方案二：三角形三边长分别为3 cm，3 cm，1 cm．
随 堂 测
课时练
1．(2022广东)下列图形中有稳定性的是 ( )
A．三角形 B．平行四边形
C．长方形 D．正方形
2．下列每组数分别表示3根小木棒的长度(单位：cm)，其中能搭成一个三角形的是 ( )
A．5，7，12 B．7，7，15
C．6，9，16 D．6，8，12
A
D
3．如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是____________________．
三角形具有稳定性
4．已知一个三角形的三边长分别为2，x，7，则x的取值范围是____________．
5．一个等腰三角形的一边长为6 cm，周长为22 cm，则它的腰长为________________．
5＜x＜9
6 cm或8 cm
循环练
6．已知一个三角形的三个角的度数分别是90°，60°，30°，则这个三角形是 ( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
B(共23张PPT)
第4课时 画三角形的高
课堂讲练
第十三章 三角形
课堂检测
随堂测
课堂讲练
画三角形的高
例1 (RJ八上P9 T3改编)对于下面每个三角形，分别画出它的高，观察高的位置，并回答下列问题：
知识点 1
解：画三角形的高如答图1所示．
答图1
(1)如图①，锐角三角形ABC有_____条高，它们都在三角形的________(填“内部”或“外部”)，且在三角形的________(填“内部”或“外部”)交于一点；
(2)如图②，直角三角形ABC有_____条高，有两条高恰好是它的两条__________，且它的所有高交于________顶点；
3
内部
内部
3
直角边
直角
答图1
(3)如图③，钝角三角形ABC有_____条高，有两条高在三角形的________(填“内部”或“外部”)，且它的所有高所在的直线在三角形的________(填“内部”或“外部”)交于一点．
3
外部
外部
答图1
等面积法
例2 如图，在△ABC中，AC＝12，BC＝14．
(1)请画出△ABC的高AD，BE；
知识点 2
答图2
解：如答图2，线段AD，BE即为所求．
(2)若BE＝7，求AD的长．
解：∵AD，BE分别是BC，AC边上的高，
答图2
又AC＝12，BC＝14，BE＝7，
训练 1．如图，在△ABC中，AB＝4．
(1)请画出△ABC的高AE，CD；
解：如答图3，线段AE，CD即为所求．
答图3
(2)若AE＝3，CD＝2，求BC的长．
解：∵AE，CD分别是△ABC的边BC，AB上的高，
又AB＝4，CD＝2，AE＝3，
答图3
等面积法，就是用两种不同的方式表示同一个图形的面积，从而构建方程求解的方法．
课堂检测
1．下列说法错误的是 ( )
A．三角形的高是线段
B．锐角三角形的三条高交于一点
C．直角三角形只有一条高
D．有两条高在三角形外部的三角形是钝角三角形
C
2．在△ABC中，∠BAC是钝角，下列图中画边BC上的高正确的是 ( )
D
3．如图，在由边长为1的小正方形组成
的网格中，△ABC的三个顶点A，B，C均在
格点上，边AB的长为5．
(1)画出△ABC的边BC上的高AD；
(2)画出△ABC的边AB上的高CE；
(3)△ABC的面积为______，CE的长为______．
解：(1)如答图4，线段AD即为所求．
(2)如答图4，线段CE即为所求．
答图4
22
4．(RJ八上P10 T7改编)如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝5．△ABC的高AD与高BE的比是________．
4∶5
5．【分类讨论】已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，则∠BAC的度数为_____________．
90°或50°
分两种情况：①AD在△ABC的内部；②AD在△ABC的外部．
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，D是BC边上一点，连接AD．
(1)画出△ABD的边AB上的高DE；
解：如答图5，线段DE即为所求．
答图5
(2)若DE＝CD，求DE的长．
解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
答图5
∵S△ABC＝S△ACD＋S△ABD，AB＝10，
又DE＝CD，∴3DE＋5DE＝8DE＝24．
∴DE＝3．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，P是BC边上任意一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，BD为△ABC的高，BD＝8．求PF＋PE的值．
解：如答图6，连接AP．
∵BD为△ABC的高，
答图6
∵PF⊥AB，PE⊥AC，AB＝AC，
∴BD＝PF＋PE．∴PF＋PE＝8．
随 堂 测
课时练
1．若一个三角形的三条高的交点是三角形的一个顶点，则这个三角形是 ( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．直角三角形或钝角三角形
C
2．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AF⊥ BC，交BC的延长线于点F，BE⊥AC，交AC的延长线于点E，则△ABC的边BC上的高是线段 ( )
A．AF B．AE
C．CD D．BE
A
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°．
(1)指出图中边BC，AC上的高；
(2)画出边AB上的高CD；
(3)若BC＝3，AC＝4，AB＝5，求边AB上的高CD的长．
解：(1)边BC上的高是线段AC，边AC上的高是线段BC．
(2)如答图1，线段CD即为所求．
答图1
循环练
4．如图，在△ABC中，∠ACB是钝角，AD是边BC上的高．若AD＝2，BD＝3，CD＝1，则△ABC的面积为_____．
2
