(共28张PPT)
第8课时 角的平分线的性质
知识导学
课堂讲练
第十四章 全等三角形
课堂检测
1.能用尺规作图：作一个角的平分线；2.探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．（核心素养：几何直观、模型观念、推理能力、应用意识）
随堂测
知识导学
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离________．
几何语言：
∵点P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE.
相等
课堂讲练
尺规作图：作一个角的平分线
例1 尺规作图：如图，作∠AOB的平分线．（保留作图痕迹）
（1）作法：①以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N；②分别以点__________为圆心，________________为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；③作射线OC.
M，N
答图1
解：③如答图1，射线OC即为所求．
（2）上述作法的依据是__________．（填“SAS”“AAS”“ASA” “SSS”或“HL”）
SSS
答图1
训练 1.尺规作图：如图，在△ABC的边AB上作点P，使得∠ACP＝∠BCP.（不写作法，保留作图痕迹）
答图2
解：如答图2，∠ACB的平分线与AB的交点P即为所求．
角的平分线的性质
例2 证明定理：角的平分线上的点到角两边的距离相等．补全下面的证明过程．
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，__________________________________．求证：____________．
OB，垂足分别为M，N
PM⊥OA，PN⊥
PM＝PN
证明：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠MOP＝∠NOP.
∵PM⊥OA，PN⊥OB，∴∠PMO＝∠PNO＝90°.
∴△POM≌△PON（AAS）.
∴PM＝PN.
训练 2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D.
（1）若AC＝7，AD＝4，则点D到AB的距离是________．
（2）若AB＝6，CD＝3，则S△ABD＝________．
3
9
变式 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E.若AC＝4，BC＝3，AB＝5，则△AED的周长为（ ）
A．9 B．8
C．6 D．5
C
例3 （RJ八上P52 T1改编）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：∠B＝∠C.
证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°.
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.
∴∠B＝∠C.
训练 3.（RJ八上P50 T2）如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.点F，G分别在OA，OB上，DF＝EG，连接PF，PG.求证：PF＝PG.
证明：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE，∠PDF＝∠PEG＝90°.
∴△PDF≌△PEG（SAS）.∴PF＝PG.
课堂检测
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D.若CD＝5，AB＝12，则△ABD的面积是（ ）
A．15 B．30
C．45 D．60
B
2．如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE＝4.若点F是射线OB上的任意一点，则DF的最小值是________．
4
3．（RJ八上P51 T2改编）如图，△ABC的两个外角的平分线BD与CE相交于点P.若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为________．
3
4．如图，AC平分∠BAD，BC＝DC，CF⊥AD交AD的延长线于点F，CE⊥AB交AB于点E.
（1）求证：BE＝DF；
证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠CEB＝∠F＝90°，CE＝CF.
∴Rt△CEB≌Rt△CFD（HL）.
∴BE＝DF.
∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL）.
∴AF＝AE.
∴AB＝AE＋BE＝AF＋BE＝AD＋DF＋BE＝AD＋2DF，即12＝6＋2DF.
解得DF＝3.
（2）若AB＝12，AD＝6，求DF的长．
5．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，BC平分∠ABF.
（1）求证：D为EF的中点；
证明：如答图3，过点D作DH⊥AB于点H.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DH⊥AB，
∴DE＝DH.
∵BF∥AC，DE⊥AC，∴BF⊥DF.
答图3
∵BC平分∠ABF，DH⊥AB，DF⊥BF，
∴DH＝DF.∴DE＝DF，即D为EF的中点．
证明：∵BF∥AC，∴∠C＝∠DBF.
∴△DCE≌△DBF（AAS）
∴CD＝BD.
（2）求证：CD＝BD.
答图3
随 堂 测
课时练
1．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.若AB＝8，△ABD的面积为16，则DF的长为 __________．
4
2．尺规作图：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在边BC上求作一点P，使点P到边AC，AB的距离相等．(不写作法，保留作图痕迹)
答图1
解：如答图1，∠BAC的平分线与BC的交点P即为所求．
3．如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD相交于点O，且AO平分∠BAC.求证：(1)BD＝CE；
证明：∵AO平分∠BAC，CD⊥AB，BE⊥AC，
∴OD＝OE，∠BDO＝∠CEO＝90°.
∴△BOD≌△COE(ASA).
∴BD＝CE.
(2)AB＝AC.
证明：由(1)可知，△BOD≌△COE.∴∠B＝∠C.
∵AO平分∠BAC，∴∠BAO＝∠CAO.
∴△AOB≌△AOC(AAS).
∴AB＝AC.
循环练
4．如图，点B，E，C，F在同一直线上，DE＝AC，∠A＝∠D＝90°，添加一个条件：_______________________，使得△ABC≌△DFE.(写出一个即可)
∠B＝∠F(答案不唯一)(共24张PPT)
第5课时 与全等有关的尺规作图
衔接回顾
课堂讲练
第十四章 全等三角形
课堂检测
能用尺规作图：作一个角等于已知角；过直线外一点作这条直线的平行线；已知两边及其夹角、两角及其夹边作三角形．（核心素养：几何直观、推理能力、模型观念、空间观念）
随堂测
衔接回顾
1．已知线段a，b，c.求作△ABC，使AB＝2c，AC＝b，BC＝a.
解：如答图1，△ABC即为所求.
答图1
尺规作图：作一个角等于已知角
例1 如图，已知∠AOB.求作∠A′O′B′＝∠AOB.
作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）作一条射线O′A′，以点O′为圆心，________为半径作弧，
交O′A′于点C′；（3）以点C′为圆心，________为半径作弧，与上一步作的弧相交于点D′；（4）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB.
OC
CD
答图2
解：如答图2，∠A′O′B′即为所求．
训练 1.如图，D为△ABC的边AB上一点．用直尺和圆规作∠ADE，交边AC于点E，使得∠ADE＝∠B.（不写作法，保留作图痕迹）
答图3
解：如答图3，∠ADE即为所求．
课堂讲练
尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线
例2 如图，已知直线AB及直线AB外一点C，利用直尺和圆规过点C作CD∥AB.请分别用下面两种方法作图（不写作法，保留作图痕迹）：
（1）利用“同位角相等，两直线平行”作图；
（2）利用“内错角相等，两直线平行”作图．
答图4
答图5
解：（1）如答图4，CD即为所求．
（2）如答图5，CD即为所求．
训练 2.（RJ八上P44 T9）如图，点C在∠AOB的边OB上，利用直尺和圆规过点C作射线OA的平行线CD.（不写作法，保留作图痕迹）
答图6
解：如答图6，CD即为所求．
尺规作图：已知两边及其夹角、两角及其夹边作三角形
例3 （已知两边及其夹角作三角形）（RJ八上P40例5）如图，已知线段a，b和∠α，求作△ABC，使AB＝a，AC＝b，∠A＝∠α.（不写作法，保留作图痕迹）
答图7
解：如答图7，△ABC即为所求．
例4 （已知两角及其夹边作三角形）（RJ八上P41 T2）如图，用直尺和圆规作一个三角形，使这个三角形的两角分别等于∠α，∠β，这两角的夹边等于线段a.（不写作法，保留作图痕迹）
答图8
解：如答图8，△ABC即为所求．
课堂检测
1．根据下列条件，画出的△ABC不唯一的是（ ）
A．AB＝5，AC＝4，∠A＝50°
B．∠A＝40°，∠C＝30°，AC＝4
C．∠A＝60°，∠B＝45°，∠C＝75°
D．AB＝3，BC＝4，AC＝5
C
2．如图，已知△ABC，利用尺规作△DEF，使△DEF≌△ABC.请根据作图痕迹判断△DEF≌△ABC的依据是（ ）
A．SAS
B．AAS
C．ASA
D．SSS
A
3．如图，D是△ABC的边AB上一点．
（1）过点D作DE∥BC交AC于点E；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若∠C＝60°，则∠AED的度数为________．
60°
答图9
解：（1）如答图9，DE即为所求．
4．如图，已知△ABC.
（1）尺规作图：在△ABC的边AC上方作∠CAE＝∠ACB，在射线AE上截取AD＝BC；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接CD，求证：CD∥AB.
（1）解：如答图10，∠CAE，AD即为所求．
（2）证明：如答图10，连接CD.
在△ACD和△CAB中，
∴△ACD≌△CAB（SAS）.∴∠ACD＝∠CAB.
∴CD∥AB.
答图10
5．如图，已知△ABC.
（1）尺规作图：作△BAD，使△BAD≌△ABC，且点D和点C在直线AB的同一侧；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接CD，求证：△ADC≌△BCD.
答图11
（1）解：如答图11，△BAD即为所求．（作法不唯一）
（2）证明：如答图11，连接CD.
∵△BAD≌△ABC，∴AD＝BC，BD＝AC.
在△ADC和△BCD中，
∴△ADC≌△BCD（SSS）.
答图11
随 堂 测
课时练
1．如图，已知∠O＝46°，用直尺和圆规按如下过程作图：①以点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交∠O的两边于点A，B，连接AB；②作一条射线O′M，以点O′为圆心，OA为半径作弧，交O′M于点A′；③以点A′为圆心，AB的长为半径作弧，
与上一步作的弧相交于点B′；④过点B′
作射线O′N.根据上述过程可知，∠O′
的度数为__________．
46°
2.如图，已知△ABC，用直尺和圆规过点A作BC的平行线MN.(不写作法，保留作图痕迹)
答图1
解：如答图1，直线MN即为所求．
3．如图，已知△ABC，请用两种不同的方法作△A′B′C′，使△A′B′C′≌△ABC.(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
答图2
解：方法一：如答图2，△A′B′C′即为所求．
方法二：如答图3，△A′B′C′即为所求．(作法不唯一)
答图3
循环练
4．如图，在△ABC和△DEF中，点A，D，B，E在同一直线上，AD＝BE，AC＝DF，BC＝EF.若∠A＝70°，则∠EDF的度数为__________.
70°(共28张PPT)
第9课时 角的平分线的判定
知识导学
课堂讲练
第十四章 全等三角形
课堂检测
探索并证明角平分线的性质定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．（核心素养：几何直观、模型观念、推理能力、应用意识）
随堂测
知识导学
1．（衔接回顾）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离________.
相等
2．角的平分线的判定：角的内部到角两边____________的点在角的平分线上．
已知：如图，P是∠AOB内一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，PC＝PD.
求证：∠POC＝∠POD.
距离相等
证明：如图，连接OP.∵PC⊥OA，PD⊥OB，
∴__________＝__________＝90°.
∴Rt△OPC≌Rt△OPD（__________）.
∴∠POC＝∠POD.
∠PCO
∠PDO
OP
OP
HL
课堂讲练
例1 如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B，D，CB＝CD，且∠1＝30°，求∠ACD的度数．
解：∵AB⊥BC，AD⊥DC，CB＝CD，
∴∠D＝90°，AC是∠BAD的平分线．
∴∠CAD＝∠1＝30°.
∴∠ACD＝90°－∠CAD＝60°.
训练 1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，延长AC至点F，过点F作AB的垂线交BC于点D，交AB于点E，连接AD.若BE＝FC，∠CAD＝25°，求∠BAC的度数．
解：∵EF⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠BED＝∠FCD＝90°.
∴△BDE≌△FDC（AAS）.
∴DE＝DC.
又DE⊥AB，DC⊥AF，∴AD平分∠BAC.
∴∠BAC＝2∠CAD＝50°.
例2 （RJ八上P51例题改编）如图，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么点P是否在∠A的平分线上？请说明理由．
解：点P在∠A的平分线上．理由如下：
如答图1，过点P作PQ⊥BC，PK⊥AB，PL⊥AC，垂足分别为Q，K，L.
∵△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
∴PK＝PQ，PL＝PQ.∴PK＝PL.
∴点P在∠A的平分线上．
答图1
训练 2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在边BC，AC上，DB＝DE，∠B与∠AED互为补角，连接AD.求证：AD平分∠BAC.（提示：作辅助线，构造全等三角形．）
证明：如答图2，过点D作DF⊥AB于点F，则∠DFB＝90°.
∵∠C＝90°，∴∠DFB＝∠C.
∵∠B与∠AED互为补角，∴∠B＋∠AED＝180°.
又∠DEC＋∠AED＝180°，∴∠DEC＝∠B.
∴△DCE≌△DFB（AAS）.∴DC＝DF.
又DC⊥AC，DF⊥AB，∴AD平分∠BAC.
答图2
课堂检测
1．如图，将两个完全相同的直角三角板按如图所示的方式放置，使得顶点C重合，∠OEC＝∠OFC＝90°.若∠AOC＝25°，则∠AOB的度数是（ ）
A．50° B．65°
C．75° D．80°
A
2．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，连接OB，OC.若∠BOC＝120°，则∠A的度数是（ ）
A．30° B．60°
C．45° D．70°
三角形的三条角平分线交于一点，这个点到三角形三边的距离相等．
B
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB交AB于点D，CE＝DE.若∠A＝30°，则∠CBE的度数为________．
30°
4．（RJ八上P51 T1）如图，AB⊥CD，CE⊥AD，垂足分别为B，E，AB＝CE，AB，CE相交于点F，连接DF.求证：FD平分∠BFE.
证明：∵AB⊥CD，CE⊥AD，∴∠ABD＝∠CED＝90°.
∴△ABD≌△CED（AAS）.∴BD＝ED.
又AB⊥CD，CE⊥AD，∴FD平分∠BFE.
5．如图，为进一步美化校园环境，我校计划在校园绿化区增设3条绿化带，绿化带MN∥PQ，绿化带AB交绿化带MN于点A，交绿化带PQ于点B.若要建一喷灌点，使其到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌点修建处有（ ）
A．4处 B．3处
C．2处 D．1处
C
6．如图，点D，E分别在∠BAC的两边AB，AC上，且AD＝AE，AG是∠BAC内部的一条射线，且AG⊥DE交DE于点F.
（1）求证：AG平分∠BAC；
证明：∵AG⊥DE，
∴∠AFD＝∠AFE＝90°.
∴Rt△ADF≌Rt△AEF（HL）.
∴∠DAF＝∠EAF.
∴AG平分∠BAC.
解：如答图3，过点P分别作PH⊥AB，PM⊥AC，垂足分别为H，M.
∵DP平分∠BDE，EP平分∠CED，PF⊥DE，PH⊥AB，PM⊥AC，
∴PF＝PH，PF＝PM.∴PH＝PM.
又PH⊥AB，PM⊥AC，
∴点P在∠HAM的平分线上．
∵AG平分∠BAC，
∴点P在∠BAC的平分线AG上．
（2）若∠BDE和∠CED的平分线相交于点P，求证：点P在∠BAC的平分线AG上．
答图3
7．（RJ八上P53 T8改编）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC.
（1）求证：AE平分∠BAD；
证明：如答图4，过点E作EF⊥AD于点F.
∵EF⊥AD，∠C＝90°，DE平分∠ADC，∴CE＝FE.
∵E是BC的中点，∴BE＝CE.∴BE＝FE.
又∠B＝90°，EF⊥AD，∴AE平分∠BAD.
答图4
解：AD＝AB＋CD.理由：由（1）知，FE＝CE.
∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL）.∴FD＝CD.
同理可得AF＝AB.
∴AD＝AF＋FD＝AB＋CD.
（2）判断线段AB，CD，AD之间的数量关系，并说明理由．
答图4
随 堂 测
课时练
1．如图，某市准备在一块由三条公路围成的△ABC区域内设立一个大型超市，要求超市到三条公路的距离相等，则超市应建立在△ABC的( )
A．三条高线的交点处
B．三条中线的交点处
C．三条角平分线的交点处
D．三边垂线的交点处
C
2．如图，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B，且PA＝PB，若∠POB＝26°，则∠APO＝__________°.
64
3．如图，已知DA＝DB，P是OD上一点，PM⊥BD于点M，PN⊥AD于点N，且PM＝PN.求证：OD平分∠AOB.
证明：∵PM⊥BD，PN⊥AD，PM＝PN，
∴DP平分∠ADB.∴∠BDO＝∠ADO.
∴△OBD≌△OAD(SAS).
∴∠BOD＝∠AOD.∴OD平分∠AOB.
循环练
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为E.若BC＝5，DE＝2，则△BCD的面积为__________.
5(共22张PPT)
第6课时 三角形全等的判定（4）—— HL
知识导学
课堂讲练
第十四章 全等三角形
课堂检测
探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理．（核心素养：推理能力、几何直观、模型观念、应用意识）
随堂测
知识导学
1．（衔接回顾）（1）全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
（2）全等三角形的判定：边角边（SAS），角边角（ASA），角角边（AAS），边边边（SSS）.
2．三角形全等的判定5
判定方法 图示 几何语言
斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”） 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）
AB＝A′B′
课堂讲练
运用“HL”判定两个直角三角形全等
例1 如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，求证：AC＝BD.
证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）.
∴AC＝BD.
训练 1.如图，AD⊥AB，EB⊥AB，C是AB的中点，CD＝CE.求证：∠D＝∠E.
证明：∵AD⊥AB，EB⊥AB，
∴∠A＝∠B＝90°.
∵C是AB的中点，∴AC＝BC.
在Rt△ACD和Rt△BCE中，
∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL）.∴∠D＝∠E.
例2 （RJ八上P43 T2）如图，AB＝CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE＝BF.求证：AE＝DF.
证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°.
∵CE＝BF，∴CE－EF＝BF－EF，
即CF＝BE.
在Rt△AEB和Rt△DFC中，
∴Rt△AEB≌Rt△DFC（HL）.∴AE＝DF.
训练 2.如图，点B，E，C，F在同一直线上，∠A＝∠D＝90°，AC＝DF，BE＝CF.求证：AC∥DF.
证明：∵BE＝CF，
∴BE＋CE＝CF＋CE，即BC＝EF.
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）.
∴∠ACB＝∠F.∴AC∥DF.
课堂检测
1．如图，∠B＝∠D＝90°，添加一个条件，可用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△ADC的是（ ）
A．AB＝BC
B．∠BAC＝∠DAC
C．AB＝AC
D．AB＝AD
D
2．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在边BC上，连接AE，DC.若AE＝CD，∠BAE＝15°，则∠BDC的度数为________．
75°
3．（RJ八上P45 T11）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是高．求证：BD＝CD，∠BAD＝∠CAD.
证明：在△ABC中，AB＝AC，AD是高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）.
∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD.
等腰三角形底边上的中线、高及顶角的平分线重合．
4．如图，AB＝CD，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且DE＝BF.求证：AE＝CF.
证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC＝∠BFA＝90°.
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）.
∴AF＝CE.∴AF－EF＝CE－EF，即AE＝CF.
5．如图，在△ABC中，AC＝CB，点D，C，E在同一直线上，AD⊥DE，BE⊥DE，且CD＝BE.
（1）求证：∠CAD＝∠BCE；
（2）求证：AC⊥BC.
证明：（1）∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠D＝∠E＝90°.
在Rt△ADC和Rt△CEB中，
∴Rt△ADC≌Rt△CEB（HL）.∴∠CAD＝∠BCE.
（2）由（1）知∠CAD＝∠BCE.
∵∠CAD＋∠ACD＝180°－∠D＝90°，
∴∠BCE＋∠ACD＝90°.
∴∠ACB＝180°－（∠BCE＋∠ACD）＝90°.
∴AC⊥BC.
6．【分类讨论】如图，∠C＝∠CAM＝90°，AC＝8 cm，BC＝4 cm，点P从点A出发，沿AC方向以2 cm/s的速度向点C运动，到点C时停止运动；点Q在射线AM上，且PQ＝AB.若在某一时刻△PQA和△ABC全等，求此时点P的运动时间．
解：设点P的运动时间为t s，∴AP＝2t.
∵∠C＝∠CAM＝90°，PQ＝AB，
∴△PQA和△ABC全等，有以下两种情况：
①当Rt△QPA≌Rt△ABC时，AP＝BC，
∴2t＝4.解得t＝2.
②当Rt△PQA≌Rt△ABC时，AP＝AC，
∴2t＝8.解得t＝4.
综上所述，点P的运动时间为2 s或4 s.
随 堂 测
课时练
1．如图，已知∠C＝∠D＝90°，AC＝BD，则能直接判定△ABC≌△BAD的方法是( )
A．HL
B．SAS
C．AAS
D．ASA
A
2．如图，已知DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，AD＝CB，DE＝BF.求证：AD∥BC.
证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AED＝∠CFB＝90°.
∴Rt△AED≌Rt△CFB(HL).
∴∠DAE＝∠BCF.
∴AD∥BC.
循环练
3．如图，已知∠AOB，请用直尺和圆规作∠BOD(点D在OA上方)，使得∠BOD＝2∠AOB.(不写作法，保留作图痕迹)
解：如答图1，∠BOD即为所求．
答图1(共22张PPT)
第3课时 三角形全等的判定（2）
—— ASA和AAS
知识导学
课堂讲练
第十四章 全等三角形
课堂检测
1.掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；2.证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．（核心素养：几何直观、推理能力、模型观念、应用意识）
随堂测
知识导学
1．（衔接回顾）（1）全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
（2）全等三角形的判定：边角边（SAS）.
2．三角形全等的判定2，3
判定方法 图示 几何语言
（基本事实）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”） 在△ABC和△A′B′C′中，
∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）
AC＝A′C′
判定方法 图示 几何语言
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成
“角角边”或“AAS”） 在△ABC和△A′B′C′中，
∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）
BC＝B′C′（或AC＝A′C′）
课堂讲练
运用“ASA”判定两个三角形全等
例1 如图，点D，C分别在线段AB，AE上，ED与BC相交于点O，已知AD＝AC，∠ADE＝∠ACB.求证：AB＝AE.
证明：在△ABC和△AED中，
∴△ABC≌△AED（ASA）.∴AB＝AE.
训练 1.如图，已知AD平分∠BAC，AD⊥BC.求证：AB＝AC.
证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.
∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（ASA）.∴AB＝AC.
寻找证明全等的条件时有以下两种情况：
（1）找线段相等：公共边、线段的中点、等量相加减等；
（2）找角相等：公共角、对顶角、角平分线、平行线、等量相加减、三角形内角和、外角的性质等．
运用“AAS”判定两个三角形全等
例2 如图，AC＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠D.求证：△ABC≌△ADE.
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠EAB＝∠2＋∠EAB，即∠CAB＝∠EAD.
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE（AAS）.
训练 2.（RJ八上P44 T4改编）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：BD＝BC.
证明：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠3－∠1＝∠4－∠2，即∠D＝∠C.
在△ABD和△ABC中，
∴△ABD≌△ABC（AAS）.∴BD＝BC.
思考：你能用另一种方法判定这两个三角形全等吗？
通过∠ABD＝∠ABC，用“ASA”证明全等．
课堂检测
1．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与这个三角形完全一样的三角形，他的依据是________．（填“SAS”“ASA”或“AAS”）
ASA
2．如图，C是AB的中点，∠D＝∠E，AD∥CE.求证：CD＝BE.
证明：∵AD∥CE，∴∠A＝∠BCE.
∵C是AB的中点，∴AC＝CB.
在△ACD和△CBE中，
∴△ACD≌△CBE（AAS）.∴CD＝BE.
3．（RJ八上P46 T17）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，
DE＝FE，FC∥AB，AE与CE有什么关系？证明你的结论．
解：AE＝CE.
证明：∵FC∥AB，∴∠A＝∠ECF，
在△ADE和△CFE中，
∴△ADE≌△CFE（AAS）.∴AE＝CE.
4．【转化思想】如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AE＝CE，BD＝DC，AD与CE相交于点F.
求证：（1）△AEF≌△CEB；（2）AF＝2BD.
证明：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.∴∠B＋∠BAD＝90°.
∵CE⊥AB，∴∠AEF＝∠CEB＝90°.∴∠B＋∠BCE＝90°.
∴∠BAD＝∠BCE，即∠EAF＝∠ECB.
在△AEF和△CEB中，
∴△AEF≌△CEB（ASA）.
（2）∵△AEF≌△CEB，∴AF＝CB.
又BD＝DC，∴CB＝2BD.∴AF＝2BD.
随 堂 测
课时练
1．如图，点B，E，C，F在同一直线上，BE＝FC，∠A＝∠D，∠ACB＝∠DEF.求证：△ABC≌△DFE.
证明：∵BE＝FC，
∴BE＋CE＝FC＋CE，即BC＝FE.
∴△ABC≌△DFE(AAS).
2．如图，已知AB∥DE，∠ACB＝∠D，AC＝ED.求证：AB＝EA.
证明：∵AB∥DE，∴∠CAB＝∠E.
∴△ABC≌△EAD(ASA).∴AB＝EA.
循环练
3．如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝35°，∠D＝100°，求∠ACB的度数．
∴△ABC≌△ADC(SAS).
∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠B＝180°－35°－100°＝45°.
∴∠B＝∠D＝100°.(共25张PPT)
第4课时 三角形全等的判定（3）—— SSS
知识导学
课堂讲练
第十四章 全等三角形
课堂检测
1.掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等；2.能用尺规作图：已知三边作三角形．（核心素养：几何直观、推理能力、模型观念、空间观念）
随堂测
知识导学
1．（衔接回顾）（1）全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
（2）全等三角形的判定：边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）.
2．全等三角形的判定4
判定方法 图示 几何语言
（基本事实）三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”） 在△ABC和△A′B′C′中，
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）
AB＝A′B′
BC＝B′C′
AC＝A′C′
课堂讲练
运用“SSS”判定两个三角形全等
例1 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点．求证：AD⊥BC.
证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD.
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SSS）.∴∠ADB＝∠ADC.
∵∠ADB＋∠ADC＝180°，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∴AD⊥BC.
训练 1.（RJ八上P38 T1）如图，AC＝BD，BC＝AD，求证：∠ABC＝∠BAD.
证明：在△ABC和△BAD中，
∴△ABC≌△BAD（SSS）.
∴∠ABC＝∠BAD.
例2 （RJ八上P45 T13改编）如图，点E，C在线段BF上，且AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）AB∥DE.
证明：（1）∵BE＝CF，∴BE＋CE＝CF＋CE，
即BC＝EF.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SSS）.
（2）∵△ABC≌△DEF，∴∠B＝∠DEF.∴AB∥DE.
训练 2.如图，ED＝BF，AD＝CB，AF＝CE，点E，B，D，F在同一直线上．求证：AF∥CE.
证明：∵ED＝BF，
∴ED－BD＝BF－BD，即EB＝FD.
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE（SSS）.∴∠F＝∠E.∴AF∥CE.
尺规作图：已知三边作三角形
例3 （RJ八上P37）如图，已知三条线段a，b，c（其中任意两条线段的和大于第三条线段），求作△ABC，使其三边长分别为a，b，c.
解：如答图1，△ABC即为所求．
答图1
训练 3.如图，已知△ABC，请用尺规作图法求作△DEF，使EF＝BC，DE＝AB，DF＝AC.（不写作法，保留作图痕迹）
解：如答图2，△DEF即为所求．
答图2
课堂检测
1．如图，C是AB的中点，CD＝BE，要用“SSS”判定△ACD≌△CBE，还需添加条件：____________．
AD＝CE
2．（RJ八上P59 T3）如图，AB＝AC，AD＝BD＝AE＝CE.求证：∠D＝∠E.
证明：在△ADB和△AEC中，
∴△ADB≌△AEC（SSS）.
∴∠D＝∠E.
3．（RJ八上P38 T2改编）工人师傅常用角尺平分一个任意角．如图，在∠AOB的边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC，即可得∠AOC＝∠BOC.请说明理由．
解：在△MOC和△NOC中，
∴△MOC≌△NOC（SSS）.
∴∠AOC＝∠BOC.
4．如图，B是线段AC的中点，BE＝BD，AE＝CD.求证：∠ABD＝∠CBE.
证明：∵B是线段AC的中点，∴AB＝CB.
在△ABE和△CBD中，
∴△ABE≌△CBD（SSS）.∴∠ABE＝∠CBD.
∴∠ABE－∠DBE＝∠CBD－∠DBE，即∠ABD＝∠CBE.
5．【模型观念】如图，AB＝CD，CB＝AD.
（1）求证：∠A＋∠B＝180°；
（2）连接AC，BD，且AC与BD相交于点O，求证：OA＝OC.
证明：（1）如答图3，连接AC.
在△ABC和△CDA中，
∴△ABC≌△CDA（SSS）.
∴∠BCA＝∠DAC.∴AD∥BC.∴∠BAD＋∠B＝180°.
答图3
（2）如答图4.
由（1）可知AD∥BC，∴∠DAO＝∠BCO.
在△AOD和△COB中，
∴△AOD≌△COB（AAS）.∴OA＝OC.
答图4
（1）连接AC，构造全等三角形．利用全等三角形的性质得到一组等角，再结合平行线进行证明．（2）通过证明“二次全等”（另一组三角形全等），得到对应边相等．
随 堂 测
课时练
1．如图，已知AC＝AD，BC＝BD.求证：△ABC≌△ABD.
∴△ABC≌△ABD(SSS).
2．如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，且AB＝DE，BF＝CE，AC＝DF.求证：AC∥DF .
证明：∵BF＝CE，
∴BF＋FC＝CE＋FC，即BC＝EF.
∴△ABC≌△DEF(SSS).
∴∠ACB＝∠DFE.∴AC∥DF.
循环练
3．如图，AC，BD相交于点O，且AD＝CB，添加一个条件：______________________，使得△AOD≌△COB.(写出一个即可)
∠A＝∠C(答案不唯一)(共26张PPT)
第1课时 全等三角形及其性质
知识导学
课堂讲练
第十四章 全等三角形
课堂检测
理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角．（核心素养：抽象能力、几何直观、空间观念、模型观念）
随堂测
知识导学
1．全等形：能够__________的两个图形叫作全等形．（即形状、大小相同的图形）
练习 1.下列各组中的两个图形属于全等形的是（ ）
完全重合
C
2．全等三角形及其性质
概念 能够__________的两个三角形叫作全等三角形．
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫作__________，重合的边叫作__________，重合的角叫作__________
注：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．
性质 全等三角形的对应边__________，全等三角形的对应角__________
完全重合
对应顶点
对应边
对应角
相等
相等
练习 2.如图，△ABC和△DEF全等，记作△ABC________△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB＝________，BC＝________，AC＝________；∠A＝________，∠B＝________，∠C＝________.
≌
DE
EF
DF
∠D
∠E
∠F
课堂讲练
识别全等三角形的对应边、对应角
例1 如图，△ADC是由△ABC沿边AC所在的直线翻折得到的．
（1）△ABC≌__________；
（2）AB的对应边为______，BC的对应边为______；
（3）∠BAC的对应角为__________，∠B的对应角为__________.
△ADC
AD
DC
∠DAC
∠D
训练 1.如图，△AOB绕点O旋转后能与△COD重合．
（1）△AOB≌__________；
（2）对应边有_______________________________；
（3）对应角有_______________________________________.
△COD
AB和CD，AO和CO，BO和DO
∠A和∠C，∠B和∠D，∠AOB和∠COD
1.平移、翻折、旋转前后的图形全等．
2．找全等三角形对应边或对应角的方法：
（1）大边（角）对大边（角），小边（角）对小边（角）；
（2）利用“≌”两边字母的对应关系找；
（3）有公共边（角）的，公共边（角）一定是对应边（角）；
（4）有对顶角的，对顶角一定是对应角．
全等三角形的性质
例2 如图，△ABC≌△DEF，点B，E，C，F在同一直线上．
求证：（1）AB∥DE；（2）BE＝CF.
证明：（1）∵△ABC≌△DEF，∴∠B＝∠DEF.
∴AB∥DE.
（2）∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF.
∴BC－EC＝EF－EC，即BE＝CF.
训练 2.如图，已知△ABC≌△FED，点A，E，B，F在同一直线上．
（1）判断AC与DF的位置关系，并说明理由；
（2）求证：AE＝BF.
（1）解：AC∥DF.理由如下：
∵△ABC≌△FED，∴∠A＝∠F.
∴AC∥DF.
（2）证明：∵△ABC≌△FED，∴AB＝FE.
∴AB－BE＝FE－BE，即AE＝BF.
例3 如图，△ABC≌△ADE，求证：∠BAD＝∠CAE.
证明：∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE.
∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE.
训练 3.（RJ八上P31 T5改编）如图，△ABC≌△ADE，点E在边BC上，AB与DE相交于点F.
求证：（1）∠CAE＝∠BAD；
证明：∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE.
∴∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE，
即∠CAE＝∠BAD.
证明：∵△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠D.
又∠BFE＝∠AFD，
∴180°－∠B－∠BFE＝180°－∠D－∠AFD，
即∠BED＝∠BAD.∴∠BED＝∠CAE.
（2）∠BED＝∠CAE.
课堂检测
1．如图，已知△ABC≌△DCB，AC＝7，BE＝5，则DE的长为__________.
2
2．（RJ八上P31 T3改编）已知图中的两个三角形全等，则∠1＝________°.
50
3．（RJ八上P30例题）如图，△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应顶点，∠BAC＝65°，∠ABC＝26°，AC，BD的延长线相交于点E，求∠CBD，∠AEB的度数．
解：∵△ABC≌△BAD，∴∠ABD＝∠BAC＝65°.
∴∠CBD＝∠ABD－∠ABC＝65°－26°＝39°.
在△AEB中，∠AEB＋∠BAE＋∠ABE＝180°，
∴∠AEB＝180°－∠BAE－∠ABE＝180°－65°－65°＝50°.
4．【空间观念】如图，点A，B，C在同一直线上，点E在边BD上，且△ABD≌△EBC.
（1）求证：AC⊥BD；
证明：∵△ABD≌△EBC，∴∠ABD＝∠EBC.
∵点A，B，C在同一直线上，∴∠ABC＝180°.
∵∠ABD＋∠EBC＝∠ABC，∴2∠EBC＝180°.
∴∠EBC＝90°，即AC⊥BD.
解：AD＝CE，AD⊥CE.理由如下：
如答图1，延长CE交AD于点F.
∵△ABD≌△EBC，∴AD＝CE，∠D＝∠C.
又∠CEB＝∠DEF，
∴180°－∠D－∠DEF＝180°－∠C－∠CEB，即∠DFE＝∠EBC＝90°.∴AD⊥CE.
答图1
（2）判断AD与CE的数量关系与位置关系，并说明理由．
随 堂 测
课时练
1．下列各选项中的两个图形属于全等形的是( )
C
2．如图，已知△ABE≌△ACD.
(1)对应边：AB和__________，AE和__________，
BE和__________；
(2)对应角：∠A和________，∠B和________，
∠AEB和__________．
AC
AD
CD
∠A
∠C
∠ADC
3．如图，已知△ABC≌△DEF，点B，C，E，F在同一直线上．若CF＝4，EC＝1，则BC的长是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
A
4．如图，已知△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应顶点．如果∠D＝80°，∠CAB＝40°，那么∠DAB的度数是( )
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
B
循环练
5．将直角三角板和直尺按如图所示的方式摆放，若∠1＝56°，则∠2的度数是( )
A．26°
B．30°
C．36°
D．56°
A(共26张PPT)
第7课时 证直角三角形全等
知识导学
课堂讲练
第十四章 全等三角形
课堂检测
随堂测
知识导学
1．三角形全等的判定方法有______________，_____________，______________，______________，____________________.
2．如图，在△ABC中，AD⊥BC，请添加一个条件，使得△ABD≌△ACD.
（1）添加的条件：____________，判定全等的依据是SAS；
（2）添加的条件：________________，
判定全等的依据是________．
边角边（SAS）
角边角（ASA）
角角边（AAS）
边边边（SSS）
斜边、直角边（HL）
BD＝CD
∠BAD＝∠CAD
ASA
3．如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD相交于点O.求证：∠A＝∠B.
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠D＝∠C＝90°.
∴∠A＋∠AOD＝∠B＋∠BOC＝90°.
又∠AOD＝∠BOC，∴∠A＝∠B.
直角三角形中找角相等常用的方法：同角（或等角）的余角相等，三角形外角的性质．
课堂讲练
找等边证直角三角形全等
例1 如图，小明和小芳以相同的速度分别同时从点A，B出发，小明沿AC行走，小芳沿BD行走，两人同时到达点C，D.若CA⊥AB，DB⊥AB，求证：BC＝AD.
证明：由题意，得AC＝BD.
∵CA⊥AB，DB⊥AB，
∴∠CAB＝∠DBA＝90°.
∴△CAB≌△DBA（SAS）.
∴BC＝AD.
训练 1.如图，点E，F在BD上，已知AF⊥BD，CE⊥BD，AD＝CB，DE＝BF，求证：AD∥BC.
证明：∵DE＝BF，∴DE＋EF＝BF＋EF，即DF＝BE.
∵AF⊥BD，CE⊥BD，∴∠AFD＝∠CEB＝90°.
∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL）.
∴∠D＝∠B.∴AD∥BC.
找等角证直角三角形全等
例2 如图，已知B，C，E三点在同一直线上，AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AC⊥CD.
求证：（1）△ABC≌△CED；（2）BE＝AB＋DE.
证明：（1）∵∠B＝90°，∴∠A＋∠1＝90°.
∵AC⊥CD，∴∠ACD＝90°.∴∠1＋∠2＝90°.∴∠A＝∠2.
∴△ABC≌△CED（AAS）.
（2）∵△ABC≌△CED，∴AB＝CE，CB＝DE.
∴BE＝CE＋CB＝AB＋DE.
训练 2.如图，△ABC的两条高AD，CE交于点F，AF＝BC.
（1）求证：△AEF≌△CEB；
证明：∵△ABC的两条高AD，CE交于点F，
∴∠CEB＝∠AEF＝∠ADB＝90°.
∴∠BCE＋∠B＝∠DAB＋∠B＝90°.
∴∠BCE＝∠DAB.
∴△AEF≌△CEB（AAS）.
解：∵△AEF≌△CEB，
∴EF＝BE＝4，AE＝CE.
∴AE＝CE＝CF＋EF＝5＋4＝9.
（2）若BE＝4，CF＝5，求AE的长．
证明两个直角三角形全等的思路：
①已知斜边相等：找一直角边相等（HL）或一锐角相等（AAS）；
②已知一直角边相等：找另一直角边相等（SAS）、找斜边相等（HL）、找一锐角相等（ASA或AAS）；
③已知一锐角相等：找任一边相等（ASA或AAS）.
课堂检测
1．下列条件中，不能证明两个直角三角形全等的是（ ）
A．两条直角边对应相等
B．两个锐角对应相等
C．斜边和一条直角边分别对应相等
D．一个锐角和它的对边分别对应相等
B
2．如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是（ ）
A．ASA
B．AAS
C．SAS
D．SSS
A
3．如图，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，且BD＞CE.求证：BD＝CE＋ED.
证明：∵∠BAC＝90°，CE⊥AE，BD⊥AE，
∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∠ADB＝∠E＝90°.
∴∠ABD＋∠BAD＝90°.∴∠ABD＝∠CAE.
∴△ABD≌△CAE（AAS）.∴BD＝AE，AD＝CE.
∵AE＝AD＋ED，∴BD＝CE＋ED.
4．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用过河就测得河的宽度，他们是这样做的：
①在河流的一岸边B处，选对岸正对的A处；②从B处沿河岸行走20 m到达C处，继续前行20 m到达D处；③从D处沿与河岸垂直的方向行走，当到达E处时（此时点A，C，E在同一直线上）停止行走；④测得DE的长为12 m.那么，河的宽度是（ ）
A．8 m B．10 m
C．12 m D．15 m
C
5．如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝A′C′，AD与A′D′分别为BC，B′C′边上的中线，且AD＝A′D′.
求证：△ABC≌△A′B′C′.
∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′（HL）.∴CD＝C′D′.
∵AD与A′D′分别为BC，B′C′边上的中线，
∴CB＝2CD，C′B′＝2C′D′.∴CB＝C′B′.
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）.
随 堂 测
课时练
1．如图，在△ABC和△DFE中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DF，AC＝DE.求证：∠B＝∠F.
∴△ABC≌△DFE(SAS).
∴∠B＝∠F.
2．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E是AD上一点，且AD＝BD，BE＝AC.
(1)求证：△BDE≌△ADC；
证明：∵AD是边BC上的高，
∴AD⊥BC.∴∠BDE＝∠ADC＝90°.
∴Rt△BDE≌Rt△ADC(HL).
(2)若AD＝4，S△ABC＝14，求线段DC和AE的长．
解：∵△BDE≌△ADC，
∴DE＝DC，BD＝AD＝4.
∴DE＝DC＝BC－BD＝7－4＝3.
∴AE＝AD－DE＝4－3＝1.
循环练
3．如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D.若用“HL”判定Rt△ABD≌Rt△CDB，则需要添加的条件是__________.
AD＝CB(共21张PPT)
第2课时 三角形全等的判定（1）—— SAS
知识导学
课堂讲练
第十四章 全等三角形
课堂检测
掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．（核心素养：几何直观、推理能力、模型观念、应用意识）
随堂测
知识导学
1．（衔接回顾）全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
2．三角形全等的判定1
判定方法 图示 几何语言
（基本事实）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成
“边角边”或“SAS”） 在△ABC和△A′B′C′中，
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）
∠A＝∠A′
AC＝A′C′
课堂讲练
利用公共边得到边相等
例1 （RJ八上P33例1）如图，AC＝AD，AB平分∠CAD，求证：∠C＝∠D.
证明：∵AB平分∠CAD，∴∠CAB＝∠DAB.
在△ABC和△ABD中，
∴△ABC≌△ABD（SAS）.∴∠C＝∠D.
训练 1.如图，已知AB∥CD，AB＝CD.求证：AD＝CB.
证明：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB.
在△ABD和△CDB中，
∴△ABD≌△CDB（SAS）.∴AD＝CB.
利用公共角或对顶角得到角相等
例2 如图，AB＝AC，点D，E分别在AC，AB上，且AD＝AE.求证：BD＝CE.
证明：在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS）.∴BD＝CE.
训练 2.如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD.求证：∠A＝∠C.
证明：在△AOB和△COD中，
∴△AOB≌△COD（SAS）.∴∠A＝∠C.
利用等量加减得到角相等
例3 如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2.求证：∠B＝∠C.
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠CAD＝∠2＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAE.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS）.∴∠B＝∠C.
训练 3.如图，AC＝AE，AB＝AD，∠DAB＝∠EAC.求证：BC＝DE.
证明：∵∠DAB＝∠EAC，
∴∠DAB－∠EAB＝∠EAC－∠EAB，即∠DAE＝∠BAC.
在△ADE和△ABC中，
∴△ADE≌△ABC（SAS）.∴BC＝DE.
课堂检测
1．（RJ八上P34 T1）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和点B.连接AC并延长到点D，使CD＝CA.连接BC并延长到点E，使CE＝CB.连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离．为什么？
解：在△ABC和△DEC中，
∴△ABC≌△DEC（SAS）.∴AB＝DE.
∴量出DE的长就是A，B的距离．
2．如图，点C，D在线段AB上，AC＝BD，CE＝DF，CE∥DF.
（1）求证：△ADF≌△BCE；
证明：∵AC＝BD，∴AC＋CD＝BD＋CD，即AD＝BC.
∵CE∥DF，∴∠ADF＝∠BCE.
在△ADF和△BCE中，
∴△ADF≌△BCE（SAS）.
解：∵△ADF≌△BCE，
∴∠A＝∠B＝30°.
∴∠BDF＝∠A＋∠F＝30°＋60°＝90°.
（2）若∠B＝30°，∠F＝60°，求∠BDF的度数．
3．【易错】如图，在△ABD中，点C在边BD上，AC＝AD.
（1）在△ABC和△ABD中，相等的边为AB和__________，AC和
__________，相等的角为∠B和__________.
（2）△ABC和△ABD是否全等？__________（填“是”或“否”）.这说明______________________________
______________________．
AB
AD
∠B
否
有两边和其中一角分别相等的两个三角形不一定全等
使用“SAS”判定三角形全等时，注意相等的角必须是相等的两边的夹角；而“SSA”不能直接判定两个三角形全等．
随 堂 测
课时练
1．如图， AB，CD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD.求证：△AOD≌△COB.
∴△AOD≌△COB(SAS).
2．如图，点B，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，且AB＝CD，BF＝CE.求证：∠AEB＝∠DFC.
证明：∵BF＝CE，
∵AB∥CD，∴∠B＝∠C.
∴BF＋EF＝CE＋EF，即BE＝CF.
∴△ABE≌△DCF(SAS).∴∠AEB＝∠DFC.
循环练
3．如图，已知△ABC≌△DEC，AC，DE相交于点F.若∠BCE＝40°，∠A＝30°，则∠CFD的度数为( )
A．115°
B．110°
C．120°
D．130°
B
