(共23张PPT)
第7课时 等腰三角形的判定
知识导学
课堂讲练
第十五章 轴对称
课堂检测
1.探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形；2.能用尺规作图：已知底边及底边上的高线作等腰三角形．（核心素养：几何直观、推理能力、模型观念、应用意识）
随堂测
知识导学
1．（衔接回顾）等腰三角形的性质：（1）等边对等角；（2）三线合一．
2．等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
几何语言：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，∴AB＝AC.
课堂讲练
等腰三角形的判定
例1 （RJ八上P80例2改编）如图，已知∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠CAE，AD∥BC.求证：△ABC是等腰三角形．
证明：∵AD平分∠CAE，∴∠EAD＝∠CAD.
∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B，∠CAD＝∠C.
∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.
∴△ABC是等腰三角形．
训练 1.（RJ八上P84 T2）如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.求证：AB＝AD.
证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC.
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC.
∴∠ADB＝∠ABD.∴AB＝AD.
例2 如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处，AB′交CD于点E.试判断重叠部分△AEC的形状，并证明你的结论．
思考：你还有其他的解题思路吗？
解：△AEC是等腰三角形．证明如下：
由题意，得△ABC≌△AB′C.∴∠BAC＝∠EAC.
在长方形ABCD中，CD∥AB，∴∠ECA＝∠BAC.
∴∠ECA＝∠EAC.∴AE＝CE.
∴△AEC是等腰三角形．
例3 如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等腰三角形．
证明：∵D是BC边的中点，∴BD＝CD.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°.
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.∴∠B＝∠C.
∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．
通过“等角对等边”判定等腰三角形的关键是得出一对相等的内角，其方法有：①直接计算（常利用三角形内角和定理）；②等量代换（结合角平分线、平行线等）；③全等三角形的性质．
课堂检测
1．下列三角形中，不是等腰三角形的是（ ）
A
2．如图，把一张长方形纸片沿虚线对折后，剪去阴影部分，再把它展开，得到△ABC，则△ABC一定是（ ）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．等腰直角三角形
D．含30°角的等腰三角形
A
3．（RJ八上P81 T1改编）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，交AC于点D，请写出图中所有的等腰三角形：________________________．
△BDC，△ABD，△ABC
4．（RJ八上P81 T3）如图，AC和BD相交于点O，且AB∥CD，OA＝OB.求证：OC＝OD.
证明：∵OA＝OB，∴∠A＝∠B.
∵AB∥CD，∴∠D＝∠B，∠C＝∠A.
∴∠C＝∠D.
∴OC＝OD.
变式 如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC.求证：△ADE是等腰三角形．
思考：若点D，E分别在AB，AC的延长线上，且DE∥BC，△ADE还是等腰三角形吗？在BA，CA的延长线上呢？
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵DE∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠C.
∴∠1＝∠2.∴AD＝AE.
∴△ADE是等腰三角形．
5．如图，已知：线段a，b.求作：等腰三角形ABC，使AB＝AC，BC＝a，BC边上的高为b.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
答图1
解：如答图1，△ABC即为所求．
6．如图，AD＝BC，AC＝BD，AC与BD相交于点E.求证：△EAB是等腰三角形．
∴△ADB≌△BCA（SSS）.
∴∠DBA＝∠CAB.
∴AE＝BE.∴△EAB是等腰三角形．
7．如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，EF经过点O且平行于BC.求证：EF＝BE＋CF.
证明：∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB.
又EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB.
∴∠EBO＝∠EOB，∠FCO＝∠FOC.
∴OE＝BE，OF＝CF.
∴EF＝OE＋OF＝BE＋CF.
随 堂 测
课时练
1．下列条件中，能确定△ABC为等腰三角形的是( )
A．∠A＝50°，∠B＝80°
B．∠A＝42°，∠B＝48°
C．∠A＝2∠B＝70°
D．AB＝4，BC＝5，周长为15
A
2．如图，∠AOP＝∠BOP，CP∥OB，CP＝4，求OC的长．
解：∵CP∥OB，∴∠CPO＝∠BOP.
∵∠AOP＝∠BOP，
∴∠CPO＝∠AOP.∴CP＝OC.
∵CP＝4，∴OC＝4.
3．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点E在BC上，点F在AB的延长线上，连接AE，CF，且AE＝CF，BE＝BF.求证：△ABC是等腰三角形．
证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝180°－∠ABC＝90°.
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL).
∴AB＝CB.∴△ABC是等腰三角形．
循环练
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB边的垂直平分线分别交AB，BC于点E，D.若∠C＝52°，则∠CAD的度数是( )
A．22°
B．24°
C．26°
D．28°
B(共24张PPT)
第3课时 线段的垂直平分线（2）—— 尺规作图
课堂讲练
第十五章 轴对称
课堂检测
能用尺规作图：作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线；已知一直角边和斜边作直角三角形．（核心素养：几何直观、空间观念、模型观念、应用意识）
随堂测
课堂讲练
作已知线段的垂直平分线
例1 尺规作图：如图，作线段AB的垂直平分线．
作法：（1）分别以_________和_________为圆心，大于_________的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；（2）作直线CD.
点A
点B
解：如答图1，直线CD即为所求．
答图1
思考：还有其他作法吗？
解：其他作法如答图2所示．
答图2
训练 1.如图，已知△ABC.按下列要求作图．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（1）在图中作AC边的垂直平分线EF，交AC于点E，交BC于点F；
答图3
解：如答图3，直线EF即为所求．
（2）在图中作AB边上的中线CG，交AB于点G.
注：三角形的垂直平分线一般不过顶点．
解：如答图4，作AB的垂直平分线，交AB于点G.线段CG即为所求．
答图4
过一点作已知直线的垂线（作高）
例2 尺规作图：如图，过点C作直线AB的垂线．
作法：（1）以点C为圆心，适当长为半径作弧，交直线AB于点D和点E；（2）分别以__________和__________为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；（3）作直线CF.
点D
点E
解：如答图5，直线CF即为所求．（或如答图6，直线CF即为所求．）
答图5
答图6
训练 2.（1）尺规作图：如图，在△ABC中，过点C作CD⊥AB，垂足为D.（不写作法，保留作图痕迹）
答图7
解：如答图7，线段CD即为所求．
（2）尺规作图：如图，过点A作直线l的垂线．（不写作法，保留作图痕迹）
答图8
解：过点A作直线l的垂线如答图8所示．
作对称轴
例3 尺规作图：如图，已知扇形AOB与扇形A′O′B′关于某条直线成轴对称，请你作出这条直线．
答图9
答图10
解：如答图9，直线MN即为所求．（或如答图10，直线MN即为所求．）
训练 3.如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺，在下面两个图中分别作出直线l.
答图11
解：如答图11，直线l即为所求．（作法不唯一）
作对称轴有两种方法：1.连接一组对应点得到线段，作该线段的垂直平分线即为对称轴；2.延长两组对应边得到两个交点，两个交点的连线即为对称轴．
课堂检测
1．如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD.若AB＝7，AC＝12，则△ABD的周长为________．
19
2．利用图形中的对称点，作出下列对称图形的一条对称轴．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
答图12
解：如答图12，直线l即为所示．（作法不唯一）
3．（RJ八上P71 T10改编）如图，公路l两侧有A，B两个小区，为了方便居民出行要在公路l上增加一个公共汽车站．
（1）若要使A小区到车站的距离最近，确定公共汽车站P1的位置；
（2）若要使A，B两个小区到车站的距离相等，确定公共汽车站P2的位置．
（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
答图13
解：（1）公共汽车站P1的位置如答图13所示．
（2）公共汽车站P2的位置如答图13所示．
4．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点E.
（1）尺规作图：作线段BC的垂直平分线，交BC于点D，交BE于点F，连接CF；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若∠ABC＝50°，∠A＝70°，则∠ECF的度数为________．
答图14
解：（1）如答图14，直线DF、线段CF即为所求．
35°
5．（RJ八上P71 T9改编）如图，分别以线段a，b为两直角边，作直角三角形．
答图15
答图16
解：作直角三角形如答图15所示．（或作直角三角形如答图16所示．）
6．【创新意识】如图，已知线段AB及线段AB外一点C，过点C作直线CD，使得CD⊥AB.
小欣的作法：①以点B为圆心，BC长为半径作弧；②以点A为圆心，AC长为半径作弧，两弧相交于点D；③作直线CD.直线CD即为所求．
（1）根据小欣的作法补全图形；
答图17
解：补全图形如答图17所示．
（2）在（1）的基础上，完成下面的证明．
证明：连接AC，AD，BC，BD.
∵BC＝BD，
∴点B在线段CD的垂直平分线上（____________________________________________________）.（填推理的依据）
∵AC＝__________，∴点A在线段CD的垂直平分线上．
∴直线AB为线段CD的垂直平分线．
∴CD⊥AB.
思考：还有其他作法吗？
与线段两个端点距离相等的点在
这条线段的垂直平分线上
AD
随 堂 测
课时练
1．尺规作图：如图，在△ABC中，在BC上找一点D，使得∠ADC＝90°.(保留作图痕迹，不写作法)
解：如答图1，点D即为所求．
答图1
2．如图，已知△ABC.
(1)尺规作图：求作线段AB的中点O；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)线段BC，AC的大小关系是__________.
解：(1)如答图2，点O即为所求．
答图2
BC>AC
（2）【提示】如答图2，BC与EF相交于点D，连接AD.
由(1)可知，EF为线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD.
∴BC＝BD＋DC＝AD＋DC>AC.
循环练
3．如图，在△ABC中，已知DE是AB的垂直平分线，BE＝12，CE＝3，则AC＝__________.
15(共24张PPT)
第9课时 含30°角的直角三角形
课堂讲练
第十五章 轴对称
课堂检测
随堂测
课堂讲练
含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
几何语言：
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴AC＝________AB（或AB＝2________）．
AC
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.
（1）若BC＝3，则AB的长为________；
（2）若AB＝6，则BC的长为________.
思考：若已知AB＝2BC，你能说明∠A＝30°吗？
6
3
含30°角的直角三角形的简单应用
例2 如图，梯子AB与地面BC的夹角∠ABC＝60°，梯子的顶端A靠墙，底端到墙角的距离BC＝2.5 m，则梯子的长度为________m．
5
训练 1.在某海防哨所O的正南方向A处有一艘船，船从A处向正东方向航行，当行驶到距离O处100 m的B处时，测得船位于海防哨所的南偏东30°方向，则船移动的距离（即AB的长）为________m．
50
含30°角的直角三角形的综合运用
例3 （RJ八上P83 例5改编）如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝7.4 m，∠A＝30°.求：
（1）立柱BC的长；
（2）立柱DE的长．
解：（1）∵BC⊥AC，∠A＝30°，
答：立柱BC的长为3.7 m.
答：立柱DE的长为1.85 m.
训练 2.（RJ八上P86 T12）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AB，交BC于点D.若AD＝2，求BC的长．
解：∵AD⊥AB，∴∠BAD＝90°.
又∠B＝30°，∴BD＝2AD＝4.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°.
∴∠BAC＝180°－30°×2＝120°.
∴∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝30°.
∴∠DAC＝∠C.∴CD＝AD＝2.
∴BC＝BD＋CD＝6.
变式 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在边BC上，且AC⊥AD.若BC＝9，则AD的长为________．
3
课堂检测
1．如图，一棵树在一次强台风中于离地面4 m处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，则这棵树在折断前的高度为________m．
12
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AM平分∠BAC，AM＝15，求BC的长．
解：∵∠C＝90°，∠BAC＝60°，
∴∠B＝180°－∠C－∠BAC＝30°.
∵AM平分∠BAC，
∴∠B＝∠BAM.∴BM＝AM＝15.
∴BC＝CM＋BM＝7.5＋15＝22.5.
3．如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB的平分线上一点，NP∥OB，交OA于点N，PM⊥OB，垂足为M.若PM＝2，则PN的长为________．
4
4．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝1，则OM的长为________．
5.5
5．如图，Rt△ABC的斜边AC∥x轴，点B的坐标是 ，∠A＝30°，则AC＝（ ）
A．8
B．6
C．4
D．3
B
6．【分类讨论】如图，△ABC是边长为3 cm的等边三角形，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，沿AB，BC方向以1 cm/s的速度移动，当点P到达点B时，P，Q两点都停止运动．设点P的运动时间为t s.
（1）当动点P，Q运动2 s时，BP＝________cm，BQ＝________cm；
（2）当动点P，Q运动t s时，BP＝________cm，BQ＝________cm；（用含t的式子表示）
（3）当t＝________时，△PBQ是直角三角形．
1
2
（3－t）
t
1或2
7．【方程思想】如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，交AC于点G，EF⊥BC于点F.
（1）∠D＝________；
（2）若CD＝3AE，CF＝6，求AC的长．
30°
解：（2）∵DE⊥AB，∠A＝60°，∴∠AGE＝∠CGD＝30°.
∵∠D＝30°，∴∠D＝∠CGD.∴CD＝CG.
设AE＝x，则CD＝CG＝3x.
在Rt△AEG中，∠AGE＝30°，∴AG＝2AE＝2x.
∴AC＝AG＋CG＝5x.
∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝5x.
∴BE＝AB－AE＝4x，BF＝BC－CF＝5x－6.
在Rt△BEF中，∠BEF＝30°，
∴BE＝2BF，即4x＝2（5x－6）.解得x＝2.∴AC＝5x＝10.
随 堂 测
课时练
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，则BC＝__________.
2
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D，BD＝3 cm，则CD的长为( )
A．3 cm
B．6 cm
C．9 cm
D．12 cm
B
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D.若CD＝3，求AD，BC的长．
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD.
∴∠BAD＝∠B＝30°.
∵∠C＝90°，∴∠CAB＝90°－∠B＝60°.
∴∠DAC＝∠CAB－∠BAD＝30°.
∴AD＝2CD＝6.
∴BD＝AD＝6.∴BC＝BD＋CD＝6＋3＝9.
循环练
4．如图，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝AC，若BC＝6，则△ABC的周长为( )
A. 12
B．15
C．18
D．14
C(共27张PPT)
第5课时 画轴对称的图形（2）
知识导学
课堂讲练
第十五章 轴对称
课堂检测
在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系．（核心素养：几何直观、空间观念、模型观念、应用意识）
随堂测
知识导学
1．在图中画出下列已知点关于坐标轴的对称点，并将表格填充完整．
已知点 A（3，2） B（2，4） C（－1，3）
关于x轴 的对称点 A1_________ B1_________ C1___________
关于y轴 的对称点 A2_________ B2_________ C2_________
（3，－2）
（2，－4）
（－1，－3）
（－3，2）
（－2，4）
（1，3）
答图1
解：如答图1，点A1，A2，B1，B2，C1，C2即为所求．
a
－b
横坐标
纵坐标
－a
b
互为相反数
课堂讲练
关于坐标轴对称的点的坐标特征
例1 填空：
（1）点（5，－3）关于x轴对称的点的坐标为__________；
（2）点（－2，1）与点（2，1）关于__________轴对称．
（5，3）
y
训练 1.填空：（1）点（－3，4）关于y轴对称的点的坐标为__________；
（2）点（6，7）与点（6，－7）关于__________轴对称；
（3）若点A（a，－2）与点B（－5，b）关于y轴对称，则a＝__________，b＝__________.
（3，4）
x
5
－2
画出关于坐标轴对称的图形
例2 如图，已知△ABC.
（1）作出与△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′各个顶点的坐标；
（2）△A′B′C′与△ABC的对应顶点的坐标有
何关系？
解：（1）如答图2，△A′B′C′即为所求．
A′（3，－4），B′（1，－2），C′（5，－1）.
（2）横坐标相同，纵坐标互为相反数．
答图2
训练 2.如图，已知△ABC.
（1）作出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各个顶点的坐标；
（2）求出△A1B1C1的面积．
解：（1）如答图3，△A1B1C1即为所求．
A1（1，5），B1（3，0），C1（4，3）.
答图3
对于一些规则的几何图形，要作出一个图形关于坐标轴对称的图形，只要先求出已知图形中的一些特殊点（如三角形的顶点）关于坐标轴对称的点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到这个图形关于坐标轴对称的图形．
课堂检测
1．把下列各点关于x轴、y轴对称的点的坐标填入表格．
已知点 （－2，6） （1，－2） （－4，－2） （1，0）
关于x轴 的对称点
关于y轴 的对称点
（－2，－6）
（1，2）
（－4，2）
（1，0）
（2，6）
（－1，－2）
（4，－2）
（－1，0）
2.点A关于x轴对称的点的坐标为（10，－3），则点A的坐标为（ ）
A．（－10，3） B．（10，3）
C．（－10，－3） D．（－3，10）
B
3．已知点P（2a＋b，－3a）与点P′（8，b＋2）.
（1）若点P与点P′关于x轴对称，则a＝________，b＝________；
（2）若点P与点P′关于y轴对称，则a＝________，b＝________；
（3）若点P与点P′关于坐标轴对称，则a＋b＝_________．
2
4
6
－20
6或－14
4．如图，在△ABC中，点A，B，C的坐标分别为（－2，2），（－3，－2），（－1，－3）.
（1）画出△ABC关于y轴对称的△DEF，点A，B，C的对称点分别是点D，E，F，写出点D，E，F的坐标；
（2）求以A，B，E，D为顶点的四边形的面积．
解：（1）如答图4，△DEF即为所求．
D（2，2），E（3，－2），F（1，－3）.
答图4
5．将点A（a，a＋5）向下平移8个单位长度得到点B，若点A与点B恰好关于x轴对称，则点A的坐标为__________．
（－1，4）
6．（RJ八上P77 T8改编）如图，已知△PQR.
（1）作出△PQR关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称的△P′Q′R′，并写出点P′的坐标为__________．
（3，3）
解：如答图5，△P′Q′R′即为所求.
答图5
（2）作出△PQR关于直线n（直线n上各点的纵坐标都为－1）对称的△P′′Q′′R′′，并写出点P′′的坐标为____________．
解：如答图5，△P′′Q′′R′′即为所求.
答图5
（－1，－5）
（3）归纳：①点A（a，b）关于直线l1（直线l1上各点的横坐标都为c）的对称点A′的坐标为____________；
②点A（a，b）关于直线l2（直线l2上各点的
纵坐标都为d）的对称点A′′的坐标为__________．
（2c－a，b）
（a，2d－b）
答图5
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点B，C的坐标分别为（4，6），（3，1），直线l是第一、三象限的角平分线．
（1）画出与△ABC关于直线l对称的△AB′C′，并写出对应点B′，C′的坐标．
答图6
解：如答图6，△AB′C′即为所求．
B′（6，4），C′（1，3）.
（2）若点P（a，b）是△ABC内任意一点，则点P在△AB′C′内的对应点P′的坐标为__________．
（b，a）
答图6
随 堂 测
课时练
1．在平面直角坐标系中，点A(2，6)关于x轴对称的点的坐标是( )
A．(－2，6) B．(－6，2)
C．(－2，－6) D．(2，－6)
D
2．在平面直角坐标系中，点A(－1，4)关于y轴对称的点的坐标是( )
A．(1，4) B．(1，－4)
C．(4，－1) D．(－1，－4)
A
3．若点A(m，－5)和点B(－2，n)关于x轴对称，则m－n的值为( )
A．7 B．－7
C．－3 D．2
B
4．如图，已知△PQR.
(1)请作出与△PQR关于y轴对称的△P1Q1R1；
(2)直接写出点P1，Q1，R1的坐标：
P1________，Q1________，R1________.
解：(1)如答图1，△P1Q1R1即为所求．
答图1
(4，－1)
(1，4)
(－1，1)
循环练
5．把下列图形补成关于直线l对称的图形．
答图2
解：补全图形如答图2所示．(共24张PPT)
第6课时 等腰三角形的性质
知识导学
课堂讲练
第十五章 轴对称
课堂检测
1.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合；2.探索等腰三角形的轴对称性质．（核心素养：几何直观、推理能力、模型观念、应用意识）
随堂测
知识导学
等腰三角形的性质 几何语言 图示
等腰三角形的两个底角________（简写成“等边对等角”） 在△ABC中，AB＝AC， ∴∠B＝________
等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合（简写成“三线合一”） 如：在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，BD＝________ 相等
∠C
CD
课堂讲练
等边对等角
例1 在下列等腰三角形中，已知AB＝AC，则a＝________，b＝________．
50
30
训练 1.在下列等腰三角形中，已知AB＝AC，请写出x的值．
（1）x＝________； （2）x＝________.
45
80
例2 如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在BA的延长线上，过点A作AD∥BC.求证：AD平分∠EAC.
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠C，∠EAD＝∠B.
∴∠CAD＝∠EAD.
∴AD平分∠CAE.
训练 2.如图，在△ABC中，∠A＝35°，点D在AC边上，AD＝
BD＝BC.求∠CBD的度数．
解：∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝35°.
∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝70°.
∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝70°.
∴∠CBD＝180°－∠C－∠BDC＝40°.
三线合一
例3 如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，AD⊥BC于点D.若CD＝4，求△ABC的周长．
解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝4.
∴△ABC的周长为AB＋AC＋BD＋CD＝6＋6＋4＋4＝20.
训练 3.如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，点E在AC上，且AE＝AD.若∠BAC＝108°，求∠EDC的度数．
解：∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC.
∴∠EDC＝∠ADC－∠ADE＝27°.
课堂检测
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，则下列结论不正确的是（ ）
A．∠B＝∠C
B．AD⊥BC
C．BD＝CD
D．AB＝2BD
D
2．【易错】（1）若等腰三角形的一个角等于80°，则它的其余两个角的度数为_______________________；
（2）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是__________．
在等腰三角形的相关计算中，若边或角不明确，需进行分类讨论．
80°，20°或50°，50°
11或10
3.（RJ八上P84 T6）如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D.求∠DBC的度数．
解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∵MN垂直平分AB，∴AD＝BD.
∴∠ABD＝∠A＝40°.
∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝70°－40°＝30°.
4．【一题多解】（RJ八上P84 T4改编）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，且BE＝CD.求证：AD＝AE.
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∴△ABE≌△ACD（SAS）.
∴AD＝AE.
5．（RJ八上P80 T3改编）如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，且CD＝ AB.求证：∠ACB＝90°.
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD.
∵∠A＋∠ACB＋∠B＝180°，
∴∠A＋∠ACD＋∠BCD＋∠B＝180°，
即2∠ACD＋2∠BCD＝180°.
∴∠ACD＋∠BCD＝90°，即∠ACB＝90°.
6．【转化思想】如图，AF是△ABC的角平分线，BD⊥AF，交AF的延长线于点D，DE∥AC，交AB于点E.求证：∠BDE＝∠EBD.
证明：∵AF平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD.
∵DE∥AC，∴∠ADE＝∠CAD.
∴∠EAD＝∠ADE.
∵BD⊥AF，
∴∠BDE＋∠ADE＝90°，∠EBD＋∠EAD＝90°.
∴∠BDE＝∠EBD.
随 堂 测
课时练
1.在中国古代建筑中，有一种常见的装饰元素叫作“斗拱”．斗拱由多个小木块组成，它们之间通过榫卯结构相互连接，形成了一种独特的美感．如图①，从正面观察斗拱可发现其
外轮廓形状类似于一个等腰三角形，图②是
其抽象示意图．若顶角∠A＝80°，则底角
∠B的度数为__________．
50°
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，BD＝6，则BC＝__________．
12
3.如图，在△ABC中，AB＝BC，∠C＝50°，延长CB至点D，使BD＝AB，连接AD，则∠D的度数为__________.
40°
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ADC＝90°，DE⊥AC，垂足为E.若∠BAD＝50°，求∠CDE的度数．
解：∵AB＝AC，∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝∠BAD＝50°.
∴∠C＝180°－∠CAD－∠ADC＝40°.
∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°.
∴∠CDE＝180°－∠CED－∠C＝50°.
循环练
5．已知点A(2，a)与点B(b，－3)关于x轴对称，则ab的值为__________.
6(共24张PPT)
第1课时 轴对称及其性质
知识导学
课堂讲练
第十五章 轴对称
课堂检测
1.理解轴对称图形的概念；2.认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形；3.通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分．（核心素养：几何直观、空间观念、推理能力、应用意识）
随堂测
知识导学
轴对称图形 成轴对称
概念 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作_____________，这条直线就是它的__________，折叠后重合的点是对应点，叫作__________ 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线__________，也称这两个图形关于这两条直线__________.这条直线叫作__________，折叠后重合的点是对应点，叫作__________
性质 轴对称图形的对称轴，垂直平分任意一对对称点所连线段 1.成轴对称的两个图形全等；
2.成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分
轴对称图形
对称轴
对称点
成轴对称
对称
对称轴
对称点
轴对称图形 成轴对称
举例 如图，正五边 形ABB′A′O是 轴对称图形， 对称轴l经过线 段AA′，BB′ 的________并且________于线段AA′，BB′，直线l叫作线段AA′，BB′的_____________ 如图，△ABC沿直线
MN折叠后与△DEF重
合，则△ABC和△DEF
成__________，直线
MN是________，且点A的对称点是点________，点B的对称点是点________.直线MN是线段AD，BE，CF的_____________
常见的轴对称图形有：线段、角、等腰三角形、等边三角形、正方形、长方形、正多边形、圆 中点
垂直
垂直平分线
轴对称
对称轴
D
E
垂直平分线
课堂讲练
轴对称图形
例1 下列窗花图案中，是轴对称图形的是（ ）
B
训练 1.下列四种图案是2024年巴黎奥运会中部分运动项目的示意图，其中是轴对称图形的是（ ）
D
两个图形成轴对称
例2 下列两个电子数字成轴对称的是（ ）
D
训练 2.视力表中的字母“E”有各种不同的摆放方向，下列图中的两个“E”不能关于某一条直线成轴对称的是（ ）
D
轴对称图形 成轴对称
区别 一个图形的形状 两个图形的形状和位置
联系 1.沿一条直线（对称轴）折叠，直线两旁的部分能够互相重合（即直线两旁的部分全等）； 2.都有对称轴（至少一条）； 3.把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条直线成轴对称；把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形 轴对称的性质
例3 如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上一点．
（1）写出图中两对相等的线段：____________
_________________________；
（2）线段AA′的垂直平分线是直线________；
（3）△AA′P________等腰三角形；（填“是”或“不是”）
（4）∠ABC______∠A′B′C′，∠PAC______∠PA′C′.（填“＞”“＜”或“＝”）
AB＝A′B′，
AP＝A′P（答案不唯一）
MN
是
＝
＝
训练 3.如图是一个飞镖设计图，其主体部分（四边形ABED）关于AE所在的直线对称，C为AE上一点，下列结论正确的是________．
（填序号）
①AB＝AD；
②BC＝CD；
③∠BCE＝∠BEC；
④△ABC≌△ADC.
注：要明确对应的点、线、角．
①②④
课堂检测
1．（2023广东）下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（ ）
A
2．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，若AC＝3.2 cm，A′B′＝3.6 cm，BC＝4.5 cm，则AB的长为（ ）
A．3.2 cm
B．3.6 cm
C．4.5 cm
D．无法确定
B
3．如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B＝________°.
100
4．瓷器上的纹饰是中国古代传统文化的重要载体之一，如图是某瓷器上的纹饰，该图形是轴对称图形，其对称轴有________条．
4
5．【开放性】如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，写出一个与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形：____________________________________．
△BAG（或△AEF或△CDF或△BDH）
6．【空间观念】将一张正方形纸片按如图所示的步骤对折3次得到图④，然后沿图④中的虚线EF（EF⊥AC）剪去一个角，剩余部分展开铺平后得到的图形是（ ）
B
随 堂 测
课时练
1．下列图形中，为轴对称图形的是( )
D
2．下列说法正确的是( )
A．能够完全重合的两个图形成轴对称
B．全等的两个图形成轴对称
C．形状相同的两个图形成轴对称
D．沿一条直线对折后能够重合的两个图形成轴对称
D
3．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，下列结论中正确的有__________.(填序号)
①AB＝A′C′；②∠A＝∠A′；③点B与点B′到直线l的距离相等；④S△ABC＝S△A′B′C′.
②③④
循环练
4．如图，已知△ABC≌△ADC，∠B＝30°，∠BAC＝23°，则∠ACD的度数为( )
A．120°
B．125°
C．127°
D．104°
C(共26张PPT)
第8课时 等边三角形的性质与判定
知识导学
课堂讲练
第十五章 轴对称
课堂检测
1.探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°；2.探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形．（核心素养：几何直观、推理能力、模型观念、应用意识）
随堂测
知识导学
等边三角形的性质 图示 等边三角形的判定
（1）三边都相等； （2）三个角都相等且都等于__________； （3）三线合一； （4）是轴对称图形，有__________条对称轴 （1）三边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
60°
3
课堂讲练
等边三角形的性质
例1 如图，在等边三角形ABC中，AD平分∠BAC，则下列说法：①AB＝BC＝AC；②∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；③∠ADC＝90°；④AB＝2BD.其中正确的是__________.（填序号）
①②③④
变式 如图，在等边三角形ABC中，CD⊥AB，BC＝2，则BD的长为__________，∠ACD的度数为__________.
1
30°
例2 （RJ八上P93 T12）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD.求证：DB＝DE.
证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB＝60°.
∴∠DBC＝∠E.∴DB＝DE.
等边三角形的判定
例3 如图，在△ABC中，AB＝AC.
（1）若AB＝________，则△ABC为等边三角形；
（2）若∠A＝________°，则△ABC为等边三角形；
（3）若∠B＝________°，则△ABC为等边三角形．
BC
60
60
训练 1.（RJ八上P84 T5）如图，∠A＝∠B＝60°，CE∥DA，CE交AB于点E.求证：△CEB是等边三角形．
证明：∵CE∥DA，∴∠CEB＝∠A＝60°.
又∠B＝60°，
∴∠BCE＝180°－∠CEB－∠B＝60°.
∴∠CEB＝∠B＝∠BCE.
∴△CEB是等边三角形．
等边三角形的性质与判定的综合
例4 （RJ八上P82例4改编）如图，△ABC是等边三角形，D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC.求证：（1）△ADE是等边三角形；
证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C.
∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.
∴∠A＝∠ADE＝∠AED.
∴△ADE是等边三角形．
证明： ∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE.
∴AB－AD＝AC－AE，即BD＝CE.
（2）BD＝CE.
训练 2.如图，△ABC是等边三角形，D是BC的中点，AB是DE的垂直平分线，连接AE.求证：△ADE是等边三角形．
证明：∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴∠B＝60°，AD⊥BC.
∵AB是DE的垂直平分线，
∴AE＝AD，AB⊥DE.∴△ADE是等腰三角形．
∵AB⊥DE，AD⊥BD，∴∠ADB＝∠AFD＝90°.
∴∠B＋∠BAD＝∠ADE＋∠BAD＝90°.
∴∠B＝∠ADE＝60°.∴△ADE是等边三角形．
课堂检测
1．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，连接DC，BE.求证：DC＝BE.
证明：∵△ABD与△AEC都是等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝60°.
∴∠DAB－∠CAB＝∠CAE－∠CAB，即∠DAC＝∠BAE.
∴△DAC≌△BAE（SAS）.∴DC＝BE.
2．如图，△ABD和△BCD都是等边三角形，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF.求证：（1）△BDE≌△BCF；
证明：∵△ABD和△BCD都是等边三角形，
∴BD＝BC，∠BDE＝∠C＝60°.
∴△BDE≌△BCF（SAS）.
证明：由（1），得△BDE≌△BCF.
∴∠DBE＝∠CBF，BE＝BF.
∴△BEF是等腰三角形．
∵△BCD是等边三角形，
∴∠DBC＝∠DBF＋∠CBF＝60°.
∴∠DBF＋∠DBE＝60°，即∠EBF＝60°.
∴△BEF是等边三角形．
（2）△BEF是等边三角形．
3．如图，若AB＝AC＝BC＝DB，则∠D的度数为________．
30°
4．如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆CD部分的长度与支杆BC的长度相等，点E在DC的延长线上，且∠BCE＝2∠BCD，若CD的长度为30 cm，则此时B，D两点之间的距离为________cm.
30
5．【模型观念】（RJ八上P93 T11）如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF.求证：△DEF是等边三角形．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C.
又AD＝BE＝CF，
∴AB－AD＝BC－BE＝AC－CF，即BD＝CE＝AF.
∴△ADF≌△BED（SAS）.∴FD＝DE.
同理可得DE＝EF.∴DE＝EF＝FD.
∴△DEF是等边三角形．
随 堂 测
课时练
1．如图是一个残缺的三角形纸片，小明通过测量发现AB＝10 cm，∠A＝∠B＝60°，则该三角形纸片破损前的周长为________cm.
30
2.如图，一艘轮船从C地出发，沿南偏西25°的方向行驶50 n mile到达B地，再沿北偏西35°的方向行驶50 n mile到达A地，则A，C两地相距________ n mile.
50
3．如图，点P在等边三角形ABC内，点D在△ABC外，且∠ABP＝∠ACD，BP＝CD.
(1)求证：△ABP≌△ACD；
证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC.
∴△ABP≌△ACD(SAS).
(2)请判断△APD的形状，并说明理由．
解：△APD是等边三角形．
理由：由(1)，得△ABP≌△ACD.
∴AP＝AD，∠BAP＝∠CAD.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAP＋∠PAC＝∠BAC＝60°.
∴∠CAD＋∠PAC＝∠PAD＝60°.
∴△APD是等边三角形．
循环练
4．在△ABC中，∠A＝80°，若△ABC为等腰三角形，则∠B的度数为________________.
20°或50°或80°(共21张PPT)
第4课时 画轴对称的图形（1）
知识导学
课堂讲练
第十五章 轴对称
课堂检测
1.能画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形；2.运用图形的轴对称进行图案设计．（核心素养：几何直观、空间观念、推理能力、应用意识）
随堂测
知识导学
1．（衔接回顾）如图，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的顶点都在网格的格点上．平移△ABC得到△A′B′C′，点A的对应点为点A′.请在图中画出平移后的△A′B′C′.
答图1
解：如答图1，△A′B′C′即为所求．
2．（衔接回顾）如图，点A，B关于直线l对称的点分别为点C，D，AD与BC相交于点O.
（1）图中相等的线段有：______________________________________________，线段AC的垂直平分线是________；
（2）△ABO和△CDO关于直线l________，△ABO________△CDO.
AO＝CO，OB＝OD，AB＝CD，
AD＝BC
直线l
对称
≌
3．几何图形都可以看作由点组成．对于一些规则的几何图形，只要画出图形中的一些____________（如线段端点）的________，连接这些________，就可以得到与原图形成轴对称的图形．
特殊点
对称点
对称点
课堂讲练
画出与已知图形成轴对称的图形
例1 如图，画出与点A关于直线l的对称点A′.
画法：过点A画直线l的__________，垂足为O，在垂线上截取__________＝OA，点__________就是点A关于直线l的对称点．
垂线
OA′
A′
答图2
解：与点A关于直线l的对称点A′如答图2所示．
训练 1.如图，作出下列图形关于直线l对称的图形，并简单说明作图过程．
答图3
解：作出图形如答图3所示．
作图过程：取两条线段的端点，分别作这些点关于直线l的对称点，顺次连接对应点即可．
例2 如图，画出与△ABC关于直线l对称的图形．
答图4
解：如答图4，△A′B′C′即为所求．
【提示】分别画出点A，B，C关于直线l的对称点A′，B′，C′；连接A′B′，B′C′，C′A′，则△A′B′C′即为所求．
训练 2.如图，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线l对称的图形．
答图5
解：如答图5，△A′B′C′即为所求．
网格中的轴对称作图
例3 如图，在由若干个小正方形组成的网格中，给出△ABC（顶点是网格的格点）.请画出与△ABC关于直线l对称的△A1B1C1.
答图6
解：如答图6，△A1B1C1即为所求．
训练 3.如图，请在网格中画出四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′与四边形ABCD关于直线l对称．
答图7
解：如答图7，四边形A′B′C′D′即为所求．
课堂检测
1．画出下列各图形关于直线l对称的图形．
答图8
解：作出图形如答图8所示．
2．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在格点上．
（1）△A1B1C1与△ABC关于直线l对称，请画出△A1B1C1；
（2）在（1）的条件下，连接AA1，CC1，求四边形AA1C1C的面积．
解：（1）如答图9，△A1B1C1即为所求．
答图9
3．如图，在由若干个小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在顶点上．
（1）请画出与△ABC关于直线l1对称的
△A1B1C1；
（2）请画出与△ABC关于直线l2对称的
△A2B2C2.
答图10
解：（1）如答图10，△A1B1C1即为所求．
（2）如答图10，△A2B2C2即为所求．
4．用4块如图①所示的小正方形瓷砖拼成一个大正方形，使拼成的图案为轴对称图形，请你在图②、图③、图④中各画出一种拼法．（要求三种拼法各不相同）
答图11
解：三种拼法如答图11所示．（答案不唯一）
随 堂 测
课时练
1．作出下列图形关于直线l对称的图形．
答图1
解：作出图形如答图1所示．
2．如图，每个小方格的边长都是1个单位长度，分别将下列图形补成关于直线l对称的图形．
答图2
解：补全图形如答图2所示．
循环练
3．尺规作图：如图，在△ABC中，在边AC上找一点D，使得BD＝CD.(不写作法，保留作图痕迹)
答图3
解：如答图3，点D即为所求．(共26张PPT)
第2课时 线段的垂直平分线（1）—— 性质与判定
知识导学
课堂讲练
第十五章 轴对称
课堂检测
理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．（核心素养：几何直观、空间观念、推理能力、模型观念）
随堂测
知识导学
文字描述 几何语言 图示
概念 经过线段________并且________于这条线段的直线，叫作这条线段的______________ ∵AC＝BC，直线l⊥AB， ∴直线l是线段AB的垂直平分线
性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离________ ∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴PA＝PB 判定 与线段两个端点距离________的点在这条线段的垂直平分线上 ∵PA＝PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上 1．线段的垂直平分线
中点
垂直
垂直平分线
相等
相等
2.互逆命题与互逆定理
（1）两个题设、结论正好相反的命题叫作____________，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的__________；
（2）如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作____________，其中一个定理叫作另一个定理的__________．
互逆命题
逆命题
互逆定理
逆定理
课堂讲练
线段的垂直平分线的性质
例1 如图，在△ABC中，直线AE是BC的垂直平分线，点D在AE上，下列结论：①∠AEC＝90°；②BE＝CE；③AB＝AC；④DB＝DC.其中正确的是____________．（填序号）
①②③④
训练 1.如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，若BD＝10，AC＝14，则AD的长为________．
4
线段的垂直平分线的判定
例2 （RJ八上P67 T2改编）如图，已知AB＝AC，MB＝MC.求证：直线AM是线段BC的垂直平分线．
证明：∵AB＝AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上．
∵MB＝MC，
∴点M在线段BC的垂直平分线上．
∴直线AM是线段BC的垂直平分线．
训练 2.如图，点O是△ABC外一点，且∠BAO＝∠CAO，∠AOB＝∠AOC.求证：直线AO垂直平分线段BC.
∴△ABO≌△ACO（ASA）.
∴AB＝AC，OB＝OC.
∴点A，O在线段BC的垂直平分线上．
∴直线AO垂直平分线段BC.
互逆命题与互逆定理
例3 写出下列命题的逆命题，并判断原命题及逆命题的真假．
（1）等边三角形的三条边都相等；
（2）如果a＝b，那么|a|＝|b|.
注：原命题为真时，逆命题不一定为真．
解：（1）原命题为真命题；逆命题为三条边都相等的三角形为等边三角形，它是真命题．
（2）原命题为真命题；逆命题为如果|a|＝|b|，那么a＝b，它是假命题．
例4 下列定理中，不存在逆定理的是（ ）
A.三边对应相等的两个三角形全等
B.直角三角形的两个锐角互余
C.同位角相等，两直线平行
D.全等三角形的对应角相等
D
课堂检测
1．如图，线段AB的垂直平分线CD与AB相交于点D，已知AC＝3，则BC的长为________．
3
2．如图，已知AC垂直平分BD，交BD于点E，下列结论正确的是__________．（填序号）
①△ABE≌△ADE；②AB＝AD；③CA平分∠BCD；④∠ABC＝∠ADC；⑤∠BAD＝∠BCD.
①②③④
3．“如果m，n互为相反数，那么m＋n＝0”的逆命题是____________________________________，为_______（填“真”或“假”）命题.
如果m＋
n＝0，那么m，n互为相反数
真
4．（RJ八上P70 T4改编）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，若△ABC的周长为20 cm，△ABD的周长为12 cm，求AE的长．
解：∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，AE＝CE.
∵△ABC的周长为20 cm，
∴AB＋BC＋AC＝20 cm.
∵△ABD的周长为12 cm，
∴AB＋BD＋AD＝AB＋BD＋CD＝AB＋BC＝12 cm.
∴AE的长为4 cm.
5．如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝16，BC＝22，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，则△AEG的周长为________．
22
6．（RJ八上P70 T8改编）如图，AD与BC相交于点O，AB＝CD，∠A＝∠C，BE＝DE.求证：OE垂直平分BD.
∴△AOB≌△COD（AAS）.∴OB＝OD.
∴点O在线段BD的垂直平分线上．
∵BE＝DE，∴点E在线段BD的垂直平分线上．
∴OE垂直平分BD.
7．（RJ八上P71 T13）如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P.
（1）求证：PA＝PB＝PC.
证明：∵边AB，BC的垂直平分线交于点P，
∴PA＝PB，PB＝PC.
∴PA＝PB＝PC.
解：∵PA＝PC，
∴点P也在边AC的垂直平分线上．
结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这个点到三角形三个顶点的距离相等．
（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你能得出什么结论？
随 堂 测
课时练
1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，若AC＝3 cm，则BC的长为__________cm.
3
2．如图，AC垂直平分BD，AB＝1，CD＝3，则四边形ABCD的周长为__________.
8
3．命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是：____________________
________________，它是________(填“真”或“假”)命题．
面积相等的三角形是全等三角形
假
4．如图，在△ABC中，直线DE垂直平分BC，分别交AC，BC于
点D，E，连接BD.若CE＝4，△BDC的周长为18，求BD的长．
解：∵DE垂直平分BC，
∴CD＝BD，CE＝BE.
又CE＝4，∴BE＝4.
∴BC＝BE＋CE＝8.
∵△BDC的周长为BD＋CD＋BC＝18，
∴BD＋CD＝10.
∴BD＝5.
循环练
5．下面4个汉字图形中，可以看作是轴对称图形的是( )
A
