(共25张PPT)
第2课时 用提公因式法分解因式（2）
课堂讲练
第十七章 因式分解
课堂检测
随堂测
课堂讲练
用提公因式法分解因式
类型1 公因式为单项式
例1 分解因式：
（1）4mx－8my；
解：原式＝4m·x－4m·2y
＝4m（x－2y）.
（2）6a2b－3a3b2；
（3）【易错】－3x2yz－12yz2.
注：a（－b－c）要化成标准形式－a（b＋c）.
解：原式＝3a2b·2－3a2b·ab
＝3a2b（2－ab）.
解：原式＝－3yz·x2＋（－3yz）·4z
＝－3yz（x2＋4z）.
训练 1.分解因式：
（1）10m2n＋15mn2；
（2）－3a2b2－9ab2c；
解：原式＝5mn·2m＋5mn·3n
＝5mn（2m＋3n）.
解：原式＝－3ab2·a＋（－3ab2）·3c
＝－3ab2（a＋3c）.
（3）2x－12xy2＋8x3y.
解：原式＝2x·1－2x·6y2＋2x·4x2y
＝2x（1－6y2＋4x2y）.
类型2 公因式为多项式
例2 分解因式：
（1）2（a＋2）＋3b（a＋2）；
解：原式＝（a＋2）（2＋3b）.
（2）【易错】4（a－b）＋3（b－a）.
注：（a－b）与（b－a）互为相反数．
解：原式＝4（a－b）－3（a－b）
＝a－b.
训练 2.分解因式：
（1）2x（a－3）－4y（a－3）；
（2）【易错】（m－n）2＋4（n－m）2.
解：原式＝2（a－3）·x－2（a－3）·2y
＝2（a－3）（x－2y）.
解：原式＝（m－n）2＋4（m－n）2
＝5（m－n）2.
变式 （m－n）3＋4（n－m）3.
注：（a－b）2＝（b－a）2，（a－b）3＝－（b－a）3.
解：原式＝（m－n）3－4（m－n）3
＝－3（m－n）3.
利用提公因式法分解因式时应注意：（1）公因式要提尽；（2）整项提出留下1；（3）提出负号要变号．
因式分解的应用
例3 （RJ八上P126 T2改编）先分解因式，再求值：4a2（x＋9）－5（x＋9），其中a＝－5，x＝1.
解：原式＝（x＋9）（4a2－5）.
当a＝－5，x＝1时，原式＝（1＋9）×（4×25－5）＝950.
训练 3.先分解因式，再求值：（a－1）2＋2a·（a－1），其中a＝7.
解：原式＝（a－1）（a－1＋2a）
＝（a－1）（3a－1）.
当a＝7时，原式＝（7－1）×（3×7－1）＝6×20＝120.
课堂检测
1．把多项式2（a－2）＋6x（a－2）分解因式，结果正确的是
（ ）
A．（a－2）（1＋3x）
B．（a－2）（2－6x）
C．2（a－2）（1＋3x）
D．2（a－2）（1－3x）
C
2．分解因式：
（1）6x2y3＋15xy2z＝________________；
（2）4a2b＋ab－6ab2＝________________．
3．如图，长、宽分别为a，b的长方形的周长为16，面积为12，则a2b＋ab2的值为________．
3xy2（2xy＋5z）
ab（4a＋1－6b）
96
4．分解因式：
（1）2x（2x＋3y）－4y（2x＋3y）；
（2）2（y－z）3－（z－y）2.
解：原式＝2（2x＋3y）·x－2（2x＋3y）·2y
＝2（2x＋3y）（x－2y）.
解：原式＝（y－z）2·（2y－2z）－（y－z）2·1
＝（y－z2）·（2y－2z－1）.
5．（RJ八上P127 T5改编）先分解因式，再求值：（a－2）2－
6（2－a），其中a＝－6.
解：原式＝（a－2）2＋6（a－2）
＝（a－2）（a－2＋6）
＝（a－2）（a＋4）.
当a＝－6时，原式＝（－8）×（－2）＝16.
6．【数形结合】（BS八下P98改编）某中学有三块由正方形和长方形组成的草坪，边长（单位：m）数据如图所示．求这三块草坪的总面积．
解：由题意，得第一块草坪的面积为（a＋b）2 m2；
第二块草坪的面积为b（a＋b） m2；
第三块草坪的面积为a（a＋b） m2.
∴这三块草坪的总面积为（a＋b）2＋b（a＋b）＋a（a＋b）＝（a＋b）[（a＋b）＋b＋a]＝（a＋b）（2a＋2b）＝2（a＋b）2（m2）.
随 堂 测
课时练
1．把多项式x2y5－xynz因式分解时，提取的公因式是xy5，则n的值可能为( )
A．6 B．4
C．3 D．2
2．把b2(x－3)＋b(3－x)因式分解的结果应为( )
A．(x－3)(b2＋b) B．b(x－3)(b＋1)
C．(x－3)(b2－b) D．b(x－3)(b－1)
A
D
3．分解因式：(1)2ax3－6ax2＝__________；
(2)3x(x－2)＋2(x－2)＝_______________．
2ax2(x－3)
(x－2)(3x＋2)
4．分解因式：
(1)－3a＋12a2－a3;
解：原式＝－(3a－12a2＋a3)
＝－(a·3－a·12a＋a·a2)
＝－a(3－12a＋a2).
(2)(x－y)3＋4x(x－y)2.
解：原式＝(x－y)2(x－y＋4x)
＝(x－y)2(5x－y).
5．先分解因式，再求值：4y2(x＋5)－3(x＋5)，其中x＝3，y＝－4.
解：原式＝(x＋5)(4y2－3).
当x＝3，y＝－4时，
原式＝(3＋5)×[4×(－4)2－3]
＝8×61＝488.
循环练
6．已知a2－5＝2a，求代数式(a－2)(a＋3)－3(a－1)的值．
解：原式＝a2＋3a－2a－6－(3a－3)
＝a2＋3a－2a－6－3a＋3
＝a2－2a－3.
∵a2－5＝2a，
∴a2－2a＝5.∴原式＝5－3＝2.(共28张PPT)
第4课时 用公式法分解因式（2）
—— 完全平方公式
知识导学
课堂讲练
第十七章 因式分解
课堂检测
能用公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数为正整数）.（核心素养：运算能力、抽象能力）
随堂测
知识导学
1．（衔接回顾）分解因式：（1）a2＋4a＝______________；
（2）a2－9＝_______________．
2.乘法公式：（1）（a＋b）2＝______________；
（2）（a－b）2＝______________．
完全平方式：形如a2＋2ab＋b2和a2－2ab＋b2，即两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍的式子．
a（a＋4）
（a＋3）（a－3）
a2＋2ab＋b2
a2－2ab＋b2
3．因式分解：（1）a2＋2ab＋b2＝__________；
（2）a2－2ab＋b2＝__________．
利用完全平方公式分解因式：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的__________倍，等于这两个数的和（或差）的__________，即a2±2ab＋b2＝__________．
（a＋b）2
（a－b）2
平方
（a±b）2
2
课堂讲练
完全平方式
例1 下列各式：①x2＋2x＋1；②1＋4b2；③a2－4ab＋4b2；④x2＋2xy－y2；⑤a2－ab＋b2.其中是完全平方式的有__________.（填序号）
①③
训练 1.填空，使下列各式成为完全平方式．
（1）x2＋（__________）＋y2；
（2）（__________）＋4ab＋4b2；
（3）a2－10a＋（__________）；
（4）4a2－（__________）＋9b2.
±2xy
a2
25
±12ab
直接用完全平方公式分解因式
例2 分解因式：
（1）a2＋4a＋4＝a2＋2·a·2＋22
＝__________；
（2）x2－10x＋25＝____________________
＝__________；
（3）36－12x＋x2＝__________．
（a＋2）2
x2－2·x·5＋52
（x－5）2
（6－x）2
训练 2.分解因式：
（1）m2－6m＋9＝__________；
（2）x2＋14x＋49＝__________；
（3）16＋8x＋x2＝__________；
（4）t2－t＋ ＝______________________
＝__________．
（m－3）2
（x＋7）2
（4＋x）2
例3 分解因式：
（1）4b2＋4b＋1；
（2）x2－6xy＋9y2.
解：原式＝（2b）2＋2·2b·1＋12
＝（2b＋1）2.
解：原式＝x2－2·x·3y＋（3y）2
＝（x－3y）2.
训练 3.分解因式：
（1）1－10x＋25x2；
（2）9a2＋24ab＋16b2.
解：原式＝12－2×1·5x＋（5x）2
＝（1－5x）2.
解：原式＝（3a）2＋2·3a·4b＋（4b）2
＝（3a＋4b）2.
能用完全平方公式分解因式的条件：多项式为完全平方式，即有三项，首、末两项和是两个数（或整式）的平方和的形式，中间项是这两个数（或整式）的积的2倍．口诀：首平方，尾平方，积的二倍放中央；同号加、异号减，符号添在异号前．
整体思想在完全平方公式中的应用
例4 分解因式：
（1）（a＋b）2－12（a＋b）＋36；
（2）－x2＋18xy－81y2.
解：原式＝（a＋b）2－2·（a＋b）·6＋62
＝（a＋b－6）2.
解：原式＝－（x2－18xy＋81y2）
＝－[x2－18xy＋（9y）2]
＝－（x－9y）2.
训练 4.分解因式：
（1）（x＋y）2＋10（x＋y）＋25；
（2）－6mn－9m2－n2.
解：原式＝（x＋y）2＋2·（x＋y）·5＋52
＝（x＋y＋5）2.
解：原式＝－（9m2＋6mn＋n2）
＝－[（3m）2＋6mn＋n2]
＝－（3m＋n）2.
课堂检测
1．下列各式是完全平方式的是（ ）
A．x2＋2x＋y2
B．x2－4x＋4
C．x2－3x＋9
D．x2＋xy＋y2
B
2．分解因式：
（1）a2＋16a＋64＝____________；
（2）n2－18n＋81＝____________；
（3）1－2m＋m2＝____________；
（4）9x2－6x＋1＝____________；
（5）x2－8xy＋16y2＝____________；
（6）4a2＋12ab＋9b2＝____________．
3．【易错】若x2－mx＋25是完全平方式，则m的值为__________.
（a＋8）2
（n－9）2
（1－m）2
（3x－1）2
（x－4y）2
（2a＋3b）2
±10
4．分解因式：
（1）4p2－20pq＋25q2；
（2）a2＋2a（b＋c）＋（b＋c）2；
解：原式＝（2p）2－2·2p·5q＋（5q）2
＝（2p－5q）2.
解：原式＝[a＋（b＋c）]2
＝（a＋b＋c）2.
（3）－x2＋4xy－4y2.
解：原式＝－（x2－4xy＋4y2）
＝－（x－2y）2.
5．【阅读理解】定义：任意两个数a，b，按规则c＝a＋b－ab扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”．若a＝2，b＝x2－2x＋2，试比较b，c的大小．
可以用作差法比较大小．
解：由题意，得c＝a＋b－ab＝2＋x2－2x＋2－2（x2－2x＋2）＝－x2＋2x.
∴b－c＝x2－2x＋2－（－x2＋2x）＝2x2－4x＋2＝2（x2－2x＋1）＝2（x－1）2≥0.
∴b≥c.
6．【数形结合】已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2＋2b2＋c2＝2b（a＋c），试判断△ABC的形状，并说明理由．
解：△ABC是等边三角形．理由如下：
∵a2＋2b2＋c2＝2b（a＋c），∴a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0.
∴（a2－2ab＋b2）＋（b2－2bc＋c2）＝0.
∴（a－b）2＋（b－c）2＝0.
∵（a－b）2≥0，（b－c）2≥0，
∴a－b＝0，b－c＝0.∴a＝b＝c.
∴△ABC是等边三角形．
随 堂 测
课时练
1．下列因式分解错误的是( )
A．2a2＋4a＝2a(a＋2)
B．a2－9＝(a＋3)(a－3)
C．a2＋2a＋1＝(a＋1)2
D．x2－2x＋4＝(x－2)2
D
2．小明利用完全平方公式进行因式分解时，墨迹将“x2 ＋4y2＝(x＋2y)2”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的内容是( )
A．＋4xy B．＋2xy
C．－4xy D．－2xy
A
3．分解因式：a2＋4a＋4＝__________.
4．若a－b－3＝0，则a2－2ab＋b2＝__________.
(a＋2)2
9
5．分解因式：
(1)－x2＋6xy－9y2；
解：原式＝－(x2－6xy＋9y2)
＝－[x2－2·x·3y＋(3y)2]
＝－(x－3y)2.
(2)(b－a)2－6(a－b)＋9.
解：原式＝(a－b)2－6(a－b)＋9
＝(a－b)2－2·(a－b)·3＋32
＝(a－b－3)2.
循环练
6．计算：(x＋5)2－(x－2)(x－3).
解：原式＝x2＋10x＋25－(x2－5x＋6)
＝x2＋10x＋25－x2＋5x－6
＝15x＋19.(共30张PPT)
*第6课时 用十字相乘法分解因式
知识导学
课堂讲练
第十七章 因式分解
课堂检测
随堂测
知识导学
1．（衔接回顾）分解因式：（1）6m－3m2＝______________；
（2）9a2－1＝__________________；
（3）a2－4a＋4＝______________；
（4）3x2－12xy＋12y2＝______________．
3m（2－m）
（3a＋1）（3a－1）
（a－2）2
3（x－2y）2
2．整式乘法：（x＋p）（x＋q）＝___________________．
分解因式：x2＋（p＋q）x＋pq＝________________．
用十字相乘法分解因式的步骤：
注：不是所有的二次三项式都可以进行因式分解．
x2＋（p＋q）x＋pq
（x＋p）（x＋q）
课堂讲练
常数项为正数
例1 分解因式：
（1）x2＋3x＋2;
（2）x2－5x＋6.
解：原式＝x2＋（1＋2）x＋1×2
＝（x＋1）（x＋2）.
解：原式＝x2＋[（－2）＋（－3）]x＋（－2）×（－3）
＝（x－2）（x－3）.
训练 1.分解因式：
（1）a2＋4a＋3;
（2）x2－7x＋12.
解：原式＝a2＋（1＋3）a＋1×3
＝（a＋1）（a＋3）.
解：原式＝x2＋[（－3）＋（－4）]x＋（－3）×（－4）
＝（x－3）（x－4）.
当常数项是正数时，可以分解成两个正数或两个负数的积，符号与一次项的符号相同；分解常数项所得的两个因数的绝对值之和等于一次项系数的绝对值．
常数项为负数
例2 分解因式：
（1）x2＋x－2;
（2）x2－2x－15.
解：原式＝x2＋[（－1）＋2]x＋（－1）×2
＝（x－1）（x＋2）.
解：原式＝x2＋[（－5）＋3]x＋（－5）×3
＝（x－5）（x＋3）.
训练 2.分解因式：
（1）x2－2x－3;
（2）x2＋4x－12.
解：原式＝x2＋[（－3）＋1]x＋（－3）×1
＝（x－3）（x＋1）.
解：原式＝x2＋[（－2）＋6]x＋（－2）×6
＝（x－2）（x＋6）.
当常数项是负数时，可以分解成一个正数和一个负数的积，绝对值大的因数的符号与一次项的符号相同；分解常数项所得的两个因数的绝对值之差等于一次项系数的绝对值．
二次项系数不为1
例3 分解因式：
（1）2x2＋5x－3；
（2）x2－xy－12y2.
解：原式＝2x·x＋[2×3＋1×（－1）]x＋（－1）×3
＝（2x－1）（x＋3）.
解：原式＝x2＋[（－4）＋3]·xy＋（－4y）·3y
＝（x－4y）（x＋3y）.
训练 3.分解因式：
（1）3x2－8x＋4；
（2）－4x2－7x－3.
解：原式＝3x·x＋[3×（－2）＋1×（－2）]x＋（－2）×（－2）
＝（3x－2）（x－2）.
解：原式＝－（4x2＋7x＋3）
＝－[4x·x＋（4×1＋1×3）x＋1×3]
＝－（4x＋3）（x＋1）
用十字相乘法进行因式分解的步骤：1.竖向分解二次项和常数项；2.交叉相乘，积相加；3.检验交叉相乘所得的积的和是否等于一次项．若等于，则横向书写因式；若不等于，则考虑重新分解常数项，或该式不能用十字相乘法进行分解．口诀：竖分常数交叉验，横写因式不能乱．
课堂检测
1．分解因式：x2－9x＋14＝（x＋□）（x－7），其中“□”表示一个常数，则这个常数是（ ）
A．7
B．2
C．－2
D．－7
C
2．分解因式：（1）m2＋7m＋10；
（2）a2＋9a－10；
解：原式＝m2＋（2＋5）m＋2×5
＝（m＋2）（m＋5）.
解：原式＝a2＋[（－1）＋10]a＋（－1）×10
＝（a－1）（a＋10）.
（3）y2－y－6；
（4）x2－4x＋3；
解：原式＝y2＋[2＋（－3）]y＋2×（－3）
＝（y＋2）（y－3）.
解：原式＝x2＋[（－1）＋（－3）]x＋（－1）×（－3）
＝（x－1）（x－3）.
（5）（p－4）（p＋1）＋6.
解：原式＝p2＋p－4p－4＋6
＝p2－3p＋2
＝p2＋[（－1）＋（－2）]p＋（－1）×（－2）
＝（p－1）（p－2）.
3．分解因式：（1）x2＋7xy＋12y2；
（2）2x2＋5x－12；
解：原式＝x2＋（3＋4）xy＋3y·4y
＝（x＋3y）（x＋4y）.
解：原式＝2x·x＋[2×4＋1×（－3）]x＋4×（－3）
＝（2x－3）（x＋4）.
（3）－4x2＋8x－3.
解：原式＝（－2x）·2x＋[（－2）×（－3）＋2×1]x＋1×（－3）
＝（－2x＋1）（2x－3）.
4．【阅读理解】阅读材料．
分解因式：x2＋12x－189.
分析：由于常数项数值较大，可以先运用完全平方公式将x2＋12x－189变形，再运用平方差公式进行分解，具体做法如下：
解：原式＝x2＋2·6x＋62－62－189＝（x＋6）2－225＝（x＋6）2－152＝（x＋6＋15）（x＋6－15）＝（x＋21）（x－9）.
请按照上面的方法分解因式：x2－60x＋884.
解：原式＝x2－2·30x＋302－302＋884
＝（x－30）2－16
＝（x－30）2－42
＝（x－30＋4）（x－30－4）
＝（x－26）（x－34）.
随 堂 测
课时练
1．已知x2＋x－6＝(x＋a)(x＋b)，则下列式子正确的是( )
A．ab＝6 B．ab＝－6
C．a＋b＝6 D．a＋b＝－6
B
2．下列因式分解正确的是( )
A．x2＋3x＋2＝(x＋1)(x－2)
B．x2＋5x＋4＝(x＋1)(x＋4)
C．x2－3x＋2＝(x－1)(x＋2)
D．x2－5x＋4＝(x＋1)(x＋4)
B
3．分解因式：x2－6x＋8＝______________.
4．分解因式：x2－x－20＝______________.
(x－2)(x－4)
(x＋4)(x－5)
5．分解因式：
(1)x2＋11x＋24;
(2)x2＋6x－27；
解：原式＝x2＋(3＋8)x＋3×8
＝(x＋3)(x＋8).
解：原式＝x2＋(－3＋9)x＋(－3)×9
＝(x－3)(x＋9).
(3)x2－3x－18;
(4)2x2＋x－6.
解：原式＝x2＋(－6＋3)x＋(－6)×3
＝(x－6)(x＋3).
解：原式＝2x·x＋(2×2－3)x－3×2
＝(2x－3)(x＋2).
循环练
6．分解因式：(1)m2－3m＝______________；
(2)a2＋8a＋16＝______________；
(3)3a2－27＝______________.
m(m－3)
(a＋4)2
3(a＋3)(a－3)(共27张PPT)
第5课时 用公式法分解因式（3）—— 二次分解
衔接回顾
课堂讲练
第十七章 因式分解
课堂检测
随堂测
衔接回顾
1．分解因式：（1）3mn＋m＝________________；
（2）6m－9m2＝________________.
2．分解因式：（1）y2－25＝________________；
（2）4a2－25b2＝___________________.
3．分解因式：（1）m2－12m＋36＝________________；
（2）4x2＋4x＋1＝________________.
m（3n＋1）
3m（2－3m）
（y－5）（y＋5）
（2a＋5b）（2a－5b）
（m－6）2
（2x＋1）2
课堂讲练
先提公因式再用公式法分解因式
例1 分解因式：
（1）m3－9m；
（2）2x2＋16x＋32；
解：原式＝m（m2－9）
＝m（m＋3）（m－3）.
解：原式＝2（x2＋8x＋16）
＝2（x＋4）2.
（3）4ax2－16ay2;
（4）－3y2＋18y－27.
解：原式＝4a（x2－4y2）
＝4a（x＋2y）（x－2y）.
解：原式＝－3（y2－6y＋9）
＝－3（y－3）2.
训练 1.分解因式：
（1）32－8a2；
（2）2ab2＋4ab＋2a；
解：原式＝8（4－a2）
＝8（2＋a）（2－a）.
解：原式＝2a（b2＋2b＋1）
＝2a（b＋1）2.
（3）－3xy3＋12xy;
（4）－9x2y＋6xy2－y3.
解：原式＝－3xy（y2－4）
＝－3xy（y＋2）（y－2）.
解：原式＝－y（9x2－6xy＋y2）
＝－y（3x－y）2.
用两次平方差公式分解因式
例2 分解因式：m4－n4.
解：原式＝（m2）2－（n2）2
＝（m2＋n2）（m2－n2）
＝（m2＋n2）（m＋n）（m－n）.
训练 2.分解因式：x4－81.
解：原式＝（x2）2－92
＝（x2＋9）（x2－9）
＝（x2＋9）（x＋3）（x－3）.
综合运用提公因式法和公式法分解因式的步骤：
1．提公因式；2.公式法（平方差公式或完全平方公式）；3.检查是否分解彻底．
注：必须要分解到每一个多项式都不能再分解为止．
课堂检测
1．把多项式3a2－6a＋3分解因式，最终的结果是（ ）
A．3a（a－2）＋3
B．3（a2－2a＋1）
C．3（a－1）（a＋1）
D．3（a－1）2
D
2．（2024北京）分解因式：x3－25x＝__________________．
3．（2024通辽）分解因式：3ax2－6axy＋3ay2＝________________.
x（x＋5）（x－5）
3a（x－y）2
4．分解因式：
（1）（2024齐齐哈尔）2a3－8ab2；
（2）2x2－16xy＋32y2；
解：原式＝2a（a2－4b2）
＝2a（a＋2b）（a－2b）.
解：原式＝2（x2－8xy＋16y2）
＝2（x－4y）2.
（3）－3ax2＋18axy－27ay2；
（4）16－a4；
解：原式＝－3a（x2－6xy＋9y2）
＝－3a（x－3y）2.
解：原式＝42－（a2）2
＝（4＋a2）（4－a2）
＝（4＋a2）（2＋a）（2－a）.
（5）x2（a－b）－y2（a－b）；
（6）9－6（m2－6）＋（m2－6）2.
解：原式＝（a－b）（x2－y2）
＝（a－b）（x＋y）（x－y）.
解：原式＝32－2×3·（m2－6）＋（m2－6）2
＝[3－（m2－6）]2＝（9－m2）2
＝[（3＋m）（3－m）]2
＝（3＋m）2（3－m）2.
5．已知一个长方形的长和宽分别为a，b，周长为12，面积为5，求ab3＋2a2b2＋a3b的值．
∴ab3＋2a2b2＋a3b＝ab（b2＋2ab＋a2）＝ab（a＋b）2＝5×62＝180.
6．【应用意识】（RJ八上P136 T6改编）如图，在半径为R的圆形钢板上，挖去4个半径为r的小圆，计算当R＝85 cm，r＝7.5 cm时剩余部分的面积（π取3.14）．
解：由图可知，剩余部分的面积S＝πR2－4πr2＝π（R2－4r2）＝π（R＋2r）（R－2r）.
当R＝85 cm，r＝7.5 cm时，
S＝π（85＋2×7.5）（85－2×7.5）＝100×70π≈21 980（cm2）.
答：剩余部分的面积约是21 980 cm2.
随 堂 测
课时练
1．分解因式6xy2－36xy＋54x，结果正确的是( )
A．x(2y＋6)2 B．3x(y－3)2
C．6x(y－6)2 D．6x(y－3)2
D
2．甲、乙两位同学分解因式－x3＋x的结果如下：
甲同学：原式＝－x(x＋1)(x－1)；
乙同学：原式＝x(1＋x)(1－x).
下列判断正确的是( )
A．只有甲的结果正确 B．只有乙的结果正确
C．甲、乙的结果都正确 D．甲、乙的结果都不正确
C
D
4．分解因式：(1)x2y－4y＝______________；
(2)3a2＋12a＋12＝______________.
y(x＋2)(x－2)
3(a＋2)2
5．分解因式：
(1)12x2－3y2；
(2)2a3－12a2b＋18ab2；
解：原式＝3(4x2－y2)
＝3(2x＋y)(2x－y).
解：原式＝2a(a2－6ab＋9b2)
＝2a(a－3b)2.
(3)16m4－n4.
解：原式＝(4m2)2－(n2)2
＝(4m2＋n2)(4m2－n2)
＝(4m2＋n2)(2m＋n)(2m－n).
循环练
6．计算：(x－1)(5x＋3)－(2x＋4)(3x－2).
解：原式＝(5x2－2x－3)－(6x2＋8x－8)
＝5x2－2x－3－6x2－8x＋8
＝－x2－10x＋5.(共31张PPT)
第3课时 用公式法分解因式（1）—— 平方差公式
知识导学
课堂讲练
第十七章 因式分解
课堂检测
能用公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数为正整数）.（核心素养：运算能力、抽象能力）
随堂测
知识导学
1．整式的乘法：（a＋b）（a－b）＝____________．
2．分解因式：a2－b2＝_______________．
3．利用平方差公式分解因式：两个数的平方差等于这两个数的________与这两个数的__________的积，即a2－b2＝_______________．
a2－b2
（a＋b）（a－b）
和
差
（a＋b）（a－b）
课堂讲练
直接用平方差公式分解因式
例1 下列多项式：①x2＋y2；②x2－y2；③－x2＋y2；④－x2－y2.其中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．①②
B．①④
C．③④
D．②③
D
训练 1.下列各多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．－x2＋16
B．x2＋9
C．－x2－4
D．x2－2y
A
例2 分解因式：
（1）m2－4＝__________________；
（2）9－t2＝__________________．
（m＋2）（m－2）
（3＋t）（3－t）
训练 2.分解因式：
（1）x2－16＝________________；
（2）25－m2＝________________.
（x＋4）（x－4）
（5＋m）（5－m）
例3 分解因式：
（1）4x2－25；
（2）9a2－16b2；
解：原式＝（2x）2－52
＝（2x＋5）（2x－5）.
解：原式＝（3a）2－（4b）2
＝（3a＋4b）（3a－4b）.
训练 3.分解因式：
（1）49m2－4n2；
解：原式＝（7m）2－（2n）2
＝（7m＋2n）（7m－2n）.
（3）0.04a2－1.
解：原式＝（0.2a）2－12
＝（0.2a＋1）（0.2a－1）.
能用平方差公式分解的因式需满足：①二项式；②能化成两个式子的平方差的形式．口诀：两项皆平方，符号恰相反．
整体思想在平方差公式中的应用
例4 分解因式：
（1）m2－n4;
（2）4x2－（y－2）2.
解：原式＝m2－（n2）2
＝（m＋n2）（m－n2）.
解：原式＝（2x）2－（y－2）2
＝（2x＋y－2）[2x－（y－2）]
＝（2x＋y－2）（2x－y＋2）.
训练 4.分解因式：
（1）x4－81a2;
（2）（2x＋y）2－（x＋2y）2.
解：原式＝（2x＋y＋x＋2y）[2x＋y－（x＋2y）]
＝（3x＋3y）·（x－y）
＝3（x＋y）（x－y）.
解：原式＝（x2）2－（9a）2
＝（x2＋9a）（x2－9a）.
课堂检测
1．下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2＋（－b）2
B．5m2－20mn
C．－m2－n2
D．－x2＋25
D
2．把多项式4x2－1分解因式，正确的结果是（ ）
A．（x＋1）（x－1）
B．（2x＋1）（2x－1）
C．（4x＋1）（4x－1）
D．（1＋2x）（1－2x）
B
3．若2a＋4b＝6，a－2b＝1，则a2－4b2的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．－3
C
4．分解因式：
（1）（2024无锡）x2－9＝________________；
（2）x2－25y2＝________________；
（x＋3）（x－3）
（x＋5y）（x－5y）
5．分解因式：
（1）25a2－16b4；
（2）9m2－（m＋n）2.
解：原式＝（5a）2－（4b2）2
＝（5a＋4b2）（5a－4b2）.
解：原式＝（3m）2－（m＋n）2
＝（3m＋m＋n）（3m－m－n）
＝（4m＋n）（2m－n）.
6．分解因式：4（a＋b）2－（a－b）2.
解：原式＝（2a＋2b＋a－b）[2a＋2b－（a－b）]
＝（3a＋b）·（a＋3b）.
7．【代数推理】（RJ八上P132 T7改编）学习了因式分解的知识后，老师提出了这样一个问题：已知n为整数，那么（n＋7）2－（n－3）2的值一定能被20整除吗？若能，请说明理由；若不能，请举出一个反例．
解：能．理由如下：
原式＝[（n＋7）＋（n－3）][（n＋7）－（n－3）]＝10（2n＋4）＝20（n＋2）.
∵n为整数，∴（n＋7）2－（n－3）2的值一定能被20整除．
随 堂 测
课时练
1．下列等式成立的是( )
A.x2＋y2＝(x＋y)(x＋y)
B．－x2＋y2＝(－x＋y)(－x－y)
C．x2－y2＝(x＋y)(x－y)
D．－x2－y2＝－(x＋y)(x－y)
C
2．分解因式：9a2－1＝( )
A．(3a－1)(3a＋1) B．(a－3)(a＋3)
C．(a－9)(a＋1) D．(9a－1)(a＋1)
A
3．分解因式：
(1)a2－16＝______________；
(2)x2－4y2＝______________.
(a＋4)(a－4)
(x＋2y)(x－2y)
4．分解因式：
(3)16m2－n4.
解：原式＝[(x－1)＋(x＋2)][(x－1)－(x＋2)]
＝(x－1＋x＋2)(x－1－x－2)
＝－3(2x＋1).
(2)(x－1)2－(x＋2)2；
解：原式＝(4m)2－(n2)2
＝(4m＋n2)(4m－n2).
循环练
5．计算：(2x－1)(2x＋1)－(x－6)(4x＋3).
解：原式＝4x2－1－(4x2＋3x－24x－18)
＝4x2－1－4x2－3x＋24x＋18
＝21x＋17.(共30张PPT)
第1课时 用提公因式法分解因式（1）
知识导学
课堂讲练
第十七章 因式分解
课堂检测
能用提公因式法进行因式分解（指数为正整数）.（核心素养：运算能力、抽象能力）
随堂测
知识导学
1．（衔接回顾）乘法公式：
（1）（a＋b）（a－b）＝______________；
（2）（a±b）2＝______________．
2．（衔接回顾）填空：（1）x（x＋1）＝__________；
（2）（x＋1）（x－1）＝__________；
（3）（x＋1）2＝____________.
3．把下列多项式写成整式的乘积的形式：
（1）x2＋x＝__________；（2）x2－1＝_________________；
（3）x2＋2x＋1＝__________.
a2－b2
a2±2ab＋b2
x2＋x
x2－1
x2＋2x＋1
x（x＋1）
（x＋1）（x－1）
（x＋1）2
4．因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的__________的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的__________，也叫作把这个多项式__________.
注：pa＋pb＋pc p（a＋b＋c）.
5．公因式：一个多项式各项都有的____________，例如p是多项式pa＋pb＋pc各项的公因式．
提公因式法：一般地，如果多项式的各项有__________，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的__________的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法．
乘积
因式分解
分解因式
公共的因式
公因式
乘积
课堂讲练
因式分解的概念
例1 下列从左到右的变形：①（x＋3）（x－3）＝x2－9；②x2＋2x＋2＝x（x＋2）＋2；③x－3xy＝x（1－3y）；④2ax－4ay＝2a（x－2y）；⑤2a－1＝a .其中属于因式分解的是__________.（填序号）
注：因式分解结果中的每个因式必须是整式．
③④
训练 1.下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．6ab＝2a·3b
B．（a－b）m＝am－bm
C．4b2－2b＝2b（2b－1）
D．2a2－2a＋1＝2a（a－1）＋1
C
确定公因式
例2 写出下列多项式分解因式时应提取的公因式．
（1）xy2＋x：__________；
（2）9ax＋3ay：__________；
（3）4ab＋2ab2：__________.
注：x＝1·x.
x
3a
2ab
训练 2.写出下列多项式分解因式时应提取的公因式．
（1）ab＋a2c：__________；
（2）12ma＋6mb：__________；
（3）8m3n2－4m2n：__________．
a
6m
4m2n
把多项式分解因式时，确定各项的公因式的方法：
1．定系数：取多项式各项系数的最大公约数；
2．定字母：取各项相同的字母；
3．定指数：取各项相同字母的最低次数．
用提公因式法分解因式
例3 分解因式：（1）4mx－4my；
（2）a2b＋b2c；
解：原式＝4m·x－4m·y
＝4m（x－y）.
解：原式＝b·a2＋b·bc
＝b（a2＋bc）.
（3）x2－2xy＋3x.
解：原式＝x·x－x·2y＋x·3
＝x（x－2y＋3）.
训练 3.分解因式：（1）x2＋xy；
（2）3ax－9bx；
解：原式＝x·x＋x·y
＝x（x＋y）.
解：原式＝3x·a－3x·3b
＝3x（a－3b）.
（3）xy＋y2－yz.
解：原式＝y·x＋y·y－y·z
＝y（x＋y－z）.
在分解因式完成后，按照整式乘法把因式再乘回去，检查结果是否与原式相等．
课堂检测
1．（RJ八上P125 T1改编）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．4a（a＋2b）＝4a2＋8ab
B．x2－3x＋3＝x（x－3）＋3
C．14a2－7a＋7＝7（2a2－a）＋7
D．a2－4＝（a＋2）（a－2）
D
2．把多项式2x2－4x分解因式，应提取的公因式是（ ）
A．x
B．2
C．2x
D．x2
C
3．若3a－2b＝2，则6a－4b－7＝________．
4．【数形结合】（BS八下P92改编）观察下面的拼图过程，写出相应的关系式．
－3
ma＋mb＋mb
m（a＋2b）
5．分解因式：
（1）xy－x；
（2）3a2－3ab；
解：原式＝x·y－x·1
＝x（y－1）.
解：原式＝3a·a－3a·b
＝3a（a－b）.
（3）4m2－12m；
（4）2x2－2xy＋4x2z.
解：原式＝4m·m－4m·3
＝4m（m－3）.
解：原式＝2x·x－2x·y＋2x·2xz
＝2x（x－y＋2xz）.
6．（RJ八上P125 T3改编）利用因式分解计算：
（1）2.992＋2.99×0.01；
（2）49×20.25＋52×20.25－20.25.
解：原式＝2.99×（2.99＋0.01）
＝2.99×3
＝8.97.
解：原式＝（49＋52－1）×20.25
＝100×20.25
＝2 025.
7．（RJ八上P127 T8改编）已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，且ab－ac＝b2－bc，b－c＝2，证明这个三角形是等腰三角形．
证明：∵ab－ac＝b2－bc，∴a（b－c）＝b（b－c）.
∵b－c＝2，∴2a＝2b.∴a＝b
∴这个三角形是等腰三角形．
随 堂 测
课时练
1．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( )
A．(y＋2)(y－2)＝y2－4
B．6a2b2＝2b2·3a2
C．a2－3a＋2＝a(a－3)＋2
D．a2x－a＝a(ax－1)
D
2．利用提公因式法将多项式a2b－2b分解因式，提取的公因式为( )
A．a2b B．ab
C．a D．b
3．计算(－2)24＋(－2)23等于( )
A．223 B．2
C．－1 D．－224
D
A
4．若一个多项式ax2＋bx＋c可以被分解为(x－3)(x－2)，则a＝__________，b＝__________，c＝__________．
1
－5
6
5．分解因式：
(1)3x2－2x；
(2)3a＋6a2b；
解：原式＝x(3x－2).
解：原式＝3a(1＋2ab).
(3)9x3＋3x2－3x.
解：原式＝3x(3x2＋x－1).
6．多项式5(a－b)＋m(b－a)用提公因式法分解因式后有一个因式是a－b，则另一个因式是__________．
7．当a＝3，a－b＝－1时，式子a2－ab的值是__________.
5－m
－3
循环练
8．化简：(x＋2)(x＋3)＋x(2－x).
解：原式＝x2＋5x＋6＋2x－x2
＝7x＋6.
