(共30张PPT)
第6课时 分式的运算（2）—— 乘方
知识导学
课堂讲练
第十八章 分式
课堂检测
随堂测
知识导学
4b2
a2b6
分式的乘方：分式乘方要把分子、分母分别__________．
乘方
课堂讲练
分式的乘方
分式的乘方与乘除混合运算
分式的混合运算顺序：先乘方，再乘除．
课堂检测
D
A
6．如图，小琪的作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被墨水污染了，把污染的部分记为A．
2x
（2）若A＝2，则当x＝1时，求原式的值．
（1）计算这列式子中每个式子（从第二个式子开始）与它前一个式子的商，你有什么发现？
（2）根据你发现的规律直接写出第9个式子：__________．
随 堂 测
课时练
循环练
4．化简：(－3a4)2－a3·a5－a10÷a2.
解：原式＝9a8－a8－a8
＝7a8.(共27张PPT)
第8课时 分式的运算（4）—— 混合运算
课堂讲练
第十八章 分式
课堂检测
能对简单的分式进行加、减、乘、除运算．（核心素养：抽象能力、运算能力）
随堂测
课堂讲练
分式的混合运算
＝1－a.
＝m＋2.
分式的混合运算顺序：1.先乘方，再乘除，然后加减，有括号要先算括号里面的；2.同级运算按从左到右的顺序依次进行计算．
分式的化简求值
课堂检测
∵a≠1，且a≠－2，
∴当a＝0时，原式＝－1.（或当a＝2时，原式＝0.）
注意字母的取值要使化简过程中所有的分式有意义．
＝4x＋2y.
∵2x＋y－3＝0，∴2x＋y＝3.
∴原式＝2（2x＋y）＝2×3＝6.
4．（RJ八上P155 T2改编）一项工程，甲单独做x天完成，乙单独做需y天完成．
（1）甲、乙合作，需多少天完成该项工程？
（2）两队合作完成该项工程后共得劳动报酬m元，按甲、乙各自完成的工作量分发劳动报酬，则甲、乙分别应分得多少元？
随 堂 测
课时练
2．一件工作，甲独做a小时完成，乙独做b小时完成，则甲、乙两人合作完成需要__________小时．
循环练
解：原式＝a2－ab＋2ab－2b2＋a2＋4b2＝2a2＋ab＋2b2.
当a＝，b＝－2时，(共30张PPT)
第3课时 分式的基本性质（2）—— 约分
知识导学
课堂讲练
第十八章 分式
课堂检测
1.了解最简分式的概念；2.能利用分式的基本性质进行约分．（核心素养：抽象能力、运算能力）
随堂测
知识导学
公因式
没有公因式
课堂讲练
最简分式
例1 下列分式中，是最简分式的是（ ）
D
训练 1.下列分式中，是最简分式的是（ ）
A
分式的约分
例2 约分：
1.分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果成为最简分式或整式．
2．（1）分子、分母都是单项式时，约去系数的最大公因数及相同字母的最低次幂；
（2）分子、分母是多项式时，先将多项式分解因式，再约去分子和分母所有的公因式．
约分要注意符号的变化．
课堂检测
C
－1
5．已知x>3，代数式：A＝2x2－8，B＝3x2－6x，C＝x3－4x2＋4x.
（1）对B进行因式分解；
解：B＝3x2－6x＝3x（x－2）.
（2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母组成一个分式，并化简该分式．
随 堂 测
课时练
C
①⑤
循环练
A(共26张PPT)
第12课时 分式方程的解法(2)
衔接回顾
课堂讲练
第十八章 分式
课堂检测
随堂测
衔接回顾
1．分解因式：
(1)2x－4＝___________；
(2)x2－4x＝____________；
(3)x2－1＝________________；
(4)x2－4＝________________．
2(x－2)
x(x－4)
(x＋1)(x－1)
(x＋2)(x－2)
课堂讲练
解：方程两边乘2(x－3)，
得2(1－x)＝x－2(x－3)．解得x＝－4．
检验：当x＝－4时，2(x－3)≠0．
所以，原分式方程的解为x＝－4．
解：方程两边乘x(x－2)，
得x2－x(x－2)＝4．解得x＝2．
检验：当x＝2时，x(x－2)＝0，
因此x＝2不是原分式方程的解．
所以，原分式方程无解．
解：方程两边乘(x＋2)(x－2)，
得2＋x(x＋2)＝(x＋2)(x－2)．
解得x＝－3．
检验：当x＝－3时，(x＋2)(x－2)≠0．
所以，原分式方程的解为x＝－3．
解：方程两边乘(2x＋1)(2x－1)，
得3(2x－1)－2(2x＋1)＝x＋1．解得x＝6．
检验：当x＝6时，(2x＋1)(2x－1)≠0．
所以，原分式方程的解为x＝6．
方程两边乘2(x－1)，
方程两边乘(x＋3)(x－3)，
得x＋3＋2＝0．解得x＝－5．
检验：当x＝－5时，(x＋3)(x－3)≠0．
所以，原分式方程的解为x＝－5．
课堂检测
B
解：方程两边乘2(3x－1)，
解：方程两边乘x(x＋1)，
解：方程两边乘x(x＋2)(x－2)，
得3(x－2)－(x＋2)＝0．解得x＝4．
检验：当x＝4时，x(x＋2)(x－2)≠0．
所以，原分式方程的解为x＝4．
解：方程两边乘(x－2)2，
得x(x－2)－(x－2)2＝4．解得x＝4．
检验：当x＝4时，(x－2)2≠0．
所以，原分式方程的解为x＝4．
方程两边乘(x－1)(x－2)，
得x(x－1)－(x－1)(x－2)＝4．解得x＝3．
检验：当x＝3时，(x－1)(x－2)≠0．
所以，原分式方程的解为x＝3．
C
(2)若x 2＝2，求x的值．
方程两边乘x(x＋2)，
随 堂 测
课时练
解：方程两边乘2(x＋1)，得2x＋2(x＋1)＝6.
解得x＝1.
检验：当x＝1时，2(x＋1)≠0.
所以，原分式方程的解为x＝1.
解：方程两边乘x(x－3)，得x(x－1)－2＝x(x－3).
解得x＝1.
检验：当x＝1时，x(x－3)≠0.
所以，原分式方程的解为x＝1.
解：方程两边乘(x＋3)(x－3)，
得(x＋1)(x－3)－12＝(x＋3)(x－3).
解得x＝－3.
检验：当x＝－3时，(x＋3)(x－3)＝0，
因此x＝－3不是原分式方程的解．
所以，原分式方程无解．
解：方程两边乘(x－1)2，得x(x－1)－(x－1)2＝1.
解得x＝2.
检验：当x＝2时，(x－1)2≠0.
所以，原分式方程的解为x＝2.
循环练
x＝－8(共30张PPT)
第5课时 分式的运算（1）—— 乘除
知识导学
课堂讲练
第十八章 分式
课堂检测
能对简单的分式进行乘、除运算．（核心素养：抽象能力、运算能力、应用意识）
随堂测
知识导学
分子
分母
分子
分母
y
课堂讲练
分式的乘法
例1 计算：
1.运算结果应为最简分式或整式.2.分子、分母是多项式时，通常先分解因式，再约分．
3．运用转化思想，将除法转化为乘法运算．
4．整式与分式进行乘除运算时，整式与分式的分子相乘（除），所得式子作为分子．
课堂检测
B
B
当x＝1时，原式＝1.
4
7．（BS八下P116 T4改编）由甲地到乙地的一条铁路全程为s km，火车全程运行时间为a h；由甲地到乙地的公路全程为这条铁路全程的m倍，汽车全程运行时间为b h．那么火车的速度是汽车速度的________倍.
8．（RJ八上P147例3改编）如图①，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m（a＞1）的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，如图②，“丰收2号”小麦的试验田是边长为a m的正方形去掉试验田上修建两条宽为1 m的通道后余下的部分，两块试验田的小麦都收获了500 kg.
（1）哪种小麦的单位面积产量高？
∴“丰收2号”小麦的单位面积产量高．
（2）“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦单位面积产量的多少倍？
随 堂 测
课时练
循环练
12x3yz(共24张PPT)
第9课时 整数指数幂
知识导学
课堂讲练
第十八章 分式
课堂检测
了解整数指数幂的意义和基本性质．(核心素养：抽象能力、运算能力、推理能力)
随堂测
知识导学
1．(衔接回顾)(1)am÷an＝______(a≠0，m，n为正整数，m＞n)；
(2)0指数幂：当_________时，a0＝_____．
3．整数指数幂的运算性质(m，n是整数)：
(1)am·an＝________；(2)(am)n＝______；(3)(ab)n＝________；
am－n
a≠0
1
倒数
am＋n
amn
anbn
am－n
课堂讲练
负整数指数幂的运算
例1 填空：
知识点 1
9
9
训练 1．填空：
(1)2－3＝______；(2)(－2)－3＝________；
4
整数指数幂的运算
例2 计算：
(1)x－4·x－1；
知识点 2
(2)(x2)－3；
(3)(2x－1)－2；
训练 3．计算：
(1)a－4÷a3；
(2)(a－3)2；
(3)(ab－1)－3；
运算的结果要把负整数指数幂化为正整数指数幂．
例3 计算：(2a3b－2)－3·3a4b－2．
训练 4．计算：x5y－3÷(2xy－3)－2．
课堂检测
1．计算2－3的结果是( )
A．－6 B．－8
C
2．若(x＋1)－2有意义，则x的取值范围是___________．
x≠－1
1
25
4．计算：(1)x4÷x7＝______；
(2)a－2·2a－5＝______；
(3)x3÷x－5＝______；
(4)(－a2)－3＝________；
(5)(2a－1b)3＝______；
x8
x2y6
6．计算：(1)2x3y－4·(xy－1)－2；
(2)(3m2n－2)2÷(－4mn－3)－1．
8．【整体思想】(RJ八上P163 T7改编)已知x＋x－1＝4，
求x2＋x－2，x4＋x－4的值．
解：∵x＋x－1＝4，
∴(x＋x－1)2＝x2＋2＋x－2＝16．
∴x2＋x－2＝16－2＝14．
∴(x2＋x－2)2＝x4＋2＋x－4＝196．
∴x4＋x－4＝196－2＝194．
随 堂 测
课时练
27
解：原式＝－1＋1－2
＝－2.
3．化简：
(1)(xy2)－2÷(y－2)3；
(2)(3m2n－2)2·(－4mn－3)－1.
循环练(共20张PPT)
第13课时 分式方程的应用(1)——工程问题
知识导学
课堂讲练
第十八章 分式
课堂检测
1．能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；2．能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性．(核心素养：运算能力、模型观念、应用意识)
随堂测
知识导学
2．列分式方程解应用题的一般步骤：
(1)审题；(2)设未知数；(3)____________；(4)解方程；(5)_______；(6)答．
列分式方程
检验
课堂讲练
类型1 t1＝t2
例1 某工厂生产某种零件，由于技术上的改进，现在平均每天比原来多生产20个零件，现在生产800个零件所需时间与原来生产600个零件所需时间相同．求现在平均每天生产多少个零件．
解：设现在平均每天生产x个零件．
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意．
答：现在平均每天生产80个零件．
训练 1．(RJ八上P168 T2)甲、乙两人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．求甲、乙每小时各做零件多少个．
解：设乙每小时做x个零件，则甲每小时做(x＋6)个零件．
经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意．
∴x＋6＝18．
答：甲每小时做18个零件，乙每小时做12个零件．
类型2 t1－t2＝时间差
例2 某市为创建全国文明城市开展了“绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化面积新增360万平方米．开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的1.5倍，这样可提前3年完成任务，实际每年绿化面积为多少万平方米？
解：设原计划每年绿化面积为x万平方米，则实际每年绿化面积为1.5x万平方米．
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意．
∴1.5x＝60．
答：实际每年绿化面积为60万平方米．
训练 2．哈尔滨冰雪大世界展示了哈尔滨冰雪文化魅力．2024年冰雪大世界建造取冰时，安排甲、乙两个采冰队共同完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.2倍，甲队取480立方米的冰比乙队取同样体积的冰少用2天，甲、乙两个采冰队每天能采冰的体积分别是多少立方米？
解：设乙采冰队每天能采冰的体积是x立方米，则甲采冰队每天能采冰的体积是1.2x立方米．
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意．
∴1.2x＝48．
答：甲、乙两个采冰队每天能采冰的体积分别是48立方米、40立方米．
类型3 t1＋t2＝总时间
例3 某服装厂接到加工380套校服的任务，在加工完160套后，采用了新技术，这样每天的工作量是原来的1.1倍，结果共用了18天完成任务．原来每天加工服装多少套？
解：设原来每天加工服装x套，则采用新技术后每天加工服装1.1x套．
解得x＝20．
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意．
答：原来每天加工服装20套．
训练 3．某快递公司采用A，B两种型号的数控机器人分拣快递．已知A型数控机器人比B型数控机器人每小时多分拣30件的快递．一项分拣600件快递的任务中，一台B型数控机器人分拣了420件后，一台A型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成，则A，B两种型号的数控机器人每小时分别分拣多少件快递？
解：设B型数控机器人每小时分拣x件快递，则A型数控机器人每小时分拣(x＋30)件快递．
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意．
∴x＋30＝60＋30＝90．
答：A型数控机器人每小时分拣90件快递，B型数控机器人每小时分拣60件快递．
课堂检测
1．某市在道路提升改造中，将一座长度为36米的桥梁进行改造．为了尽快通车，某施工队在实际施工时，每天工作效率比原计划提高了50%，结果提前2天完成了大桥的改造任务．设该施工队原计划每
天改造x米，则可列方程为_____________________．
2．我国是能源消耗大国，为了推动绿色发展，实现“双碳”目标，我国现大力发展新能源．光伏发电就是其中一种，光伏发电是利用半导体界面的光生伏特效应而将光能直接转变为电能的一种技术．现有一光伏发电厂平均每公顷土地的发电量比原来增加100千瓦，原来总发电量为1 100千瓦的一块土地，现在总发电量增加了20千瓦，则原来发电场平均每公顷土地的发电量是多少千瓦？
解：设原来光伏发电厂平均每公顷土地的发电量为x千瓦，则现在发电厂平均每公顷土地的发电量为(x＋100)千瓦．
解得x＝5 500．
经检验，x＝5 500是原方程的解，且符合题意．
答：原来发电厂平均每公顷土地的发电量是5 500千瓦．
3．(RJ八上P169 T5)王芳3 h清点完一批图书的一半，刘伟加入清点另一半图书的工作，两人合作1.2 h清点完另一半图书．刘伟单独清点这批图书需要几小时？
解：设刘伟单独清点这批图书需要x小时．
经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意．
答：刘伟单独清点这批图书需要4小时．
随 堂 测
课时练
1．甲、乙两人加工同一种零件，每小时甲比乙多加工2个零件，甲加工25个零件所用的时间与乙加工20个零件所用的时间相同，问乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工x个零件，则可列方程为______________________.
2．为了践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树6 000棵．开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了20%，结果提前2天完成任务．问原计划每天种植梨树多少棵？
解：设原计划每天种植梨树x棵，则实际每天种植梨树(1＋20%)x棵．
解得x＝500.
经检验，x＝500是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天种植梨树500棵．
循环练
解：方程两边乘x(x＋1)，得4x＋3＝5x.
解得x＝3.
检验：当x＝3时，x(x＋1)≠0.
所以，原分式方程的解为x＝3.(共29张PPT)
第2课时 分式的基本性质（1）
知识导学
课堂讲练
第十八章 分式
课堂检测
随堂测
知识导学
1
12
同一个不等于0
不变
x
xy2
课堂讲练
分式的基本性质
例1 下列等式，从左到右是如何运用分式的基本性质变形的？
D
运用分式的基本性质时，注意分子与分母乘（或除以）的整式应满足“同一个”和“不等于0”这两个条件．
x
x－2
xy2
a2＋3a
10a2b
2y
a2b
x
C
将分子与分母的各项系数化为整数
例4 将下列各式中分子与分母中的各项系数化为整数．
课堂检测
B
D
4m2
n－m
a2－b2
x－y
分式的分子分母同除以ab；或等式左右两边同乘ab.
随 堂 测
课时练
1．下列等式一定成立的是( )
B
A
6a2
a－2
4．不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项系数化为整数．
循环练
1(共27张PPT)
第1课时 从分数到分式
知识导学
课堂讲练
第十八章 分式
课堂检测
了解分式的概念．（核心素养：抽象能力、运算能力）
随堂测
知识导学
1．（1）长方形的面积为10，长为7，则宽为________；长方形的面积为S，长为a，则宽为________．
（2）在越野滑雪比赛中，若一名滑雪运动员在平地滑行a km用时b h，则他在平地滑行的平均速度为________km/h；若他在上坡滑行a km比在平地滑行同样的距离多用c h，则他在上坡滑行的平均速度为________km/h.
字母
分子
分母
B≠0
B＝0
A＝0且B≠0
课堂讲练
分式的概念
例1 下列式子中，属于分式的是__________，属于整式的是__________．
②⑥
①③④⑤
C
1.注意π为常数.2.判断分式时不用化简，只看形式．
3．式子中含有多项时，若其中一项的分母中含有字母，则该式子也为分式．
分式有意义的条件
例2 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
思考：当分式中的字母满足什么条件时，上述分式没有意义？
解：（1）由题意，得a－3≠0，即a≠3.
（3）由题意，得x2－1≠0，即x≠±1.
≠－5
＝3
≠±1
≠－3
分式的值为0的条件
例3 当x满足什么条件时，下列分式的值为0
解：（1）由题意，得x＋5＝0，且x≠0，即x＝－5.
（3）由题意，得x2－9＝0，且x－3≠0，即x＝－3.
训练 3.当x满足什么条件时，下列分式的值为0
（2）由题意，得x2－4＝0，且x＋2≠0，即x＝2.
（3）由题意，得4－|x|＝0，且x＋4≠0，即x＝4.
课堂检测
D
x≠19
－1
C
4．一辆汽车b h行驶了a km，则它的平均速度为________km/h；一列火车行驶a km比这辆汽车少用1 h，则它的平均速度为________km/h.
5．【开放性问题】已知四张卡片上面分别写有6，x－1，x2－1，π＋1，从中任选两张卡片，将卡片上的式子分别作为分子和分母组成一个分式，则这个分式可以是____________________．（写出一个即可）
2
解不等式组①，得x＞1.
解不等式组②，得x＜－4.
∴x的取值范围为x＞1或x＜－4.
随 堂 测
课时练
1．下列各式中，属于分式的是( )
B
A．x<2 B．x≠0
C．x≠1且x≠2 D．x≠2
D
A．0 B．1
C．2 D．－1
B
x≠±1
3
任意实数
1
5．某工厂计划a天生产60件产品，则平均每天生产该产品__________件．
循环练
6．分解因式：
(1)2a2－4ab＝__________；
(2)3x2－3＝_______________；
(3)ma2－6ma＋9m＝__________.
2a(a－2b)
3(x＋1)(x－1)
m(a－3)2(共26张PPT)
第7课时 分式的运算（3）—— 加减
知识导学
课堂讲练
第十八章 分式
课堂检测
能对简单的分式进行加、减运算．（核心素养：抽象能力、运算能力、应用意识）
随堂测
知识导学
不变
加减
通分
加减
课堂讲练
同分母分式相加减
例1 计算：
1
x－2
－2
0
1.若分式的分子是多项式，相减时需要添加括号（去括号时注意变号）.
2．运算结果要化成最简分式或整式．
异分母分式相加减
例3 计算：
课堂检测
1
1
a－1
C
随 堂 测
课时练
1
0
循环练(共19张PPT)
第14课时 分式方程的应用(2)——行程问题
知识导学
课堂讲练
第十八章 分式
课堂检测
随堂测
知识导学
课堂讲练
例1 甲、乙两车沿同一公路匀速行驶，已知甲车每小时比乙车多走20 km，且甲车行驶350 km所用的时间与乙车行驶250 km所用的时间相同．求甲车的速度．
解：设甲车的速度是x km/h，则乙车的速度是(x－20)km/h．
经检验，x＝70是原方程的解，且符合题意．
答：甲车的速度是70 km/h．
训练 1．一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行120 km所用时间与以最大航速逆流航行60 km所用时间相同．求江水的流速．
解：设江水的流速为x km/h．
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意．
答：江水的流速为10 km/h．
例2 (RJ八上P168 T1)八年级学生去距学校30 km的中国人民抗日战争纪念馆参观，一部分学生乘大巴先出发，过了5 min，其余学生乘中巴出发，结果他们同时到达．已知中巴的平均速度是大巴平均速度的1.2倍，求大巴的平均速度．
解：设大巴的平均速度为x km/h，则中巴的平均速度是1.2x km/h．
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意．
答：大巴的平均速度为60 km/h．
训练 2．某学校开展社会实践活动，活动地点距离学校12 km．甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10 min．求乙同学骑自行车的速度．
解：设乙同学骑自行车的速度为x km/h，则甲同学骑自行车的速度为1.2x km/h．
经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意．
答：乙同学骑自行车的速度为12 km/h．
经检验，x＝64是原方程的解，且符合题意．
答：甲货车的平均速度为64 km/h，乙货车的平均速度为80 km/h．
训练 3．冬奥公园的马拉松线路分为智慧跑、公园跑、滨水跑和堤上跑．小明先进行了2 km智慧跑，接着进行了4 km堤上跑，共用时40分钟．已知小明在堤上跑路段的平均速度是他在智慧跑路段的平均速度的1.5倍，求小明在智慧跑路段的平均速度．
解：设小明在智慧跑路段的平均速度为x km/h，则小明在堤上跑路段的平均速度为1.5x km/h．
经检验，x＝7是原方程的解，且符合题意．
答：小明在智慧跑路段的平均速度为7 km/h．
课堂检测
1．(RJ八上P167 例4改编)某次列车平均提速80 km/h，在相同的时间内，列车提速前行驶100 km，提速后比提速前多行驶40 km．求该列车提速前的平均速度．
解：设该列车提速前的平均速度为x km/h，则该列车提速后的平均速度为(x＋80)km/h．
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意．
∴x＋80＝200＋80＝280．
答：该列车提速后的平均速度为280 km/h．
2．(RJ八上P169 T3)甲、乙两人分别从距目的地6 km和10 km的两地同时出发，甲、乙的平均速度比是3∶4，结果甲比乙提前20 min到达目的地．求甲、乙的平均速度．
解：设甲的平均速度为3x km/h，乙的平均速度为4x km/h．
经检验，x＝1.5是原方程的解，且符合题意．
∴3x＝4.5，4x＝6．
答：甲的平均速度为4.5 km/h，乙的平均速度为6 km/h．
3．用电脑程序控制小型赛车进行50 m比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车进入了决赛．比赛前的练习中，“畅想号”从起点出发8 s后，“和谐号”才从起点出发，结果“和谐号”比“畅想号”晚2 s到达终点．已知“和谐号”的平均速度是“畅想号”的2.5倍，则“畅想号”的平均速度是多少？
解：设“畅想号”的平均速度为x m/s，则“和谐号”的平均速度为2.5x m/s．
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意．
答：“畅想号”的平均速度是5 m/s．
随 堂 测
课时练
1．一辆货车行驶25 km与一辆汽车行驶35 km所用时间相同，已知汽车每小时比货车多行驶20 km，求两车的平均速度．
解：设货车的平均速度为x km/h，则汽车的平均速度为(x＋0)km/h.
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意．
∴x＋20＝50＋20＝70.
答：货车的平均速度是50 km/h，汽车的平均速度是70 km/h.
2．从A市到B市，乘坐普通列车时，其路程为650 km，乘坐高速列车时，其路程为520 km.已知高速列车的平均速度是普通列车的4倍，从A市乘坐高速列车到B市所需时间比乘坐普通列车少8 h．求高速列车的平均速度．
解：设普通列车的平均速度为x km/h，则高速列车的平均速度为4x km/h.
经检验，x＝65是原方程的解，且符合题意．
∴4x＝4×65＝260.
答：高速列车的平均速度为260 km/h.
循环练
x＝1(共26张PPT)
第10课时 科学记数法
知识导学
课堂讲练
第十八章 分式
课堂检测
会用科学记数法表示数(包括在计算器上表示)．(核心素养：运算能力、应用意识)
随堂测
知识导学
科学记数法 举例
较大的数 绝对值大于10的数用科学记数法表示为__________的形式， 其中_____≤|a|＜______，n为正整数 10 200＝___________，
－2 350 000＝______________
较小的数 绝对值小于1的数用科学记数法表示为__________的形式， 其中_____≤|a|＜______，n为正整数 0.001＝_________，
0.000 3＝_________
a×10n
1
10
1.02×104
－2.35×106
a×10－n
1
10
1×10－3
3×10－4
课堂讲练
用科学记数法表示较小的数
例1 用科学记数法表示下列各数：
(1)0.000 005＝_________；
(2)－0.000 072＝_____________；
(3)0.000 000 109＝____________．
5×10－6
知识点 1
－7.2×10－5
1.09×10－7
训练 1．用科学记数法表示下列各数：
(1)0.000 014＝___________；
(2)－0.005 31＝______________；
(3)0.000 004 03＝_____________；
(4)－0.000 564 7＝________________．
1.4×10－5
－5.31×10－3
4.03×10－6
－5.647×10－4
用科学记数法表示绝对值小于1的数时，确定a×10－n中n的两种方法：
1．n为原数中左起“第1个非0数字”前0的个数(包括小数点前的0)；
2．将小数点向右移动到“第1个非0数字”后，n为小数点移动的位数．
还原用科学记数法表示的较小的数
例2 下列是用科学记数法表示的数，请写出其原数：
(1)2×10－5＝___________；
(2)1.2×10－7＝______________；
(3)－7.01×10－4＝______________．
0.000 02
知识点 2
0.000 000 12
－0.000 701
训练 2．下列是用科学记数法表示的数，请写出其原数：
(1)6.4×10－6＝_____________；
(2)2.02×10－5＝_____________；
(3)－5.006×10－3＝______________；
(4)－2.35×10－4＝______________．
0.000 006 4
0.000 020 2
－0.005 006
－0.000 235
科学记数法的相关计算
例3 计算：(结果用科学记数法表示)
(1)(3×10－8)×(2.5×105)；
解：原式＝3×2.5×10－8×105＝7.5×10－3．
【易错】(2)(－1.5×10－5)÷(－3×107)．
解：原式＝[－1.5÷(－3)]×(10－5÷107)＝0.5×10－12＝5×10－13．
知识点 3
训练 3．计算：(结果用科学记数法表示)
(1)(－5×10－10)×(3×102)；
解：原式＝(－5×3)×(10－10×102)＝－15×10－8＝－1.5×10－7．
(2)(5.4×10－9)÷(3×10－2)．
解：原式＝(5.4÷3)×(10－9÷10－2)＝1.8×10－7．
课堂检测
1．用科学记数法表示下列各数：
(1)0.000 001＝_________；
(2)－0.000 51＝_____________；
(3)0.000 000 345＝____________；
(4)－0.000 060 6＝______________．
1×10－6
－5.1×10－4
3.45×10－7
－6.06×10－5
2．下列是用科学记数法表示的数，请写出其原数：
(1)－9×10－5＝_____________；
(2)8.5×10－3＝__________；
(3)2.01×10－4＝____________；
(4)－5.67×10－6＝________________．
－0.000 09
0.008 5
0.000 201
－0.000 005 67
3．纳米是一种表示微小距离的单位，1纳米＝0.000 001毫米，而1毫米相当于我们通常使用的刻度尺上的一小格，可想而知1纳米是多么的小．某研究组研制出世界上最细的碳纳米管，其直径仅为0.5纳米，则0.5纳米用科学记数法可以表示为( )
A．0.5×10－6毫米 B．0.5×10－7毫米
C．5×10－6毫米 D．5×10－7毫米
D
4．被誉为“中国天眼”的望远镜FAST首次发现的脉冲星的自转周期为0.005 19秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一．将0.005 19用科学记数法表示为( )
A．0.519×10－2 B．5.19×10－3
C．5.19×10－5 D．51.9×10－4
B
5．(2024广元)2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是10－18秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒，将43阿秒用科学记数法表示为____________秒．
4.3×10－17
6．计算：(结果用科学记数法表示)
(1)(－9.3×10－9)÷(3×10－3)；
解：原式＝(－9.3÷3)×(10－9÷10－3)＝－3.1×10－6．
(2)(2×10－3)3×(4×10－2)．
解：原式＝(8×10－9)×(4×10－2)＝(4×8)×(10－9×10－2)＝32×10－11＝3.2×10－10．
7．【跨学科】(RJ八上P163 T8改编)通常分子的质量和体积都很小，已知一个水分子的质量约是3×10－26 kg，则9 g水中大约有多少个水分子？(结果用科学记数法表示)
解：9 g＝9×10－3 kg．(9×10－3)÷(3×10－26)＝3×1023(个)．
答：9 g水中大约有3×1023个水分子．
8．雷达可用于飞机导航，也可用来监测飞机的飞行．假设某时刻雷达向飞机发射电磁波，电磁波遇到飞机后反射，又被雷达接收，两个过程共用了0.000 052 4秒．已知电磁波的传播速度为3.0×108米/秒，求该时刻飞机与雷达站的距离．(飞机移动的距离忽略不计，结果用科学记数法表示)
解：0.000 052 4＝5.24×10－5．
3.0×108×5.24×10－5÷2＝7.86×103(米)．
答：该时刻飞机与雷达站的距离是7.86×103米．
随 堂 测
课时练
1．用科学记数法表示下列各数：
(1)0.000 304＝______________；
(2)－0.000 009 1＝______________.
2．下列是用科学记数法表示的数，请写出其原数：
(1)3.3×10－7＝______________；
(2)－1.042×10－4＝______________.
3.04×10－4
－9.1×10－6
0.000 000 33
－0.000 104 2
3．(2024大庆)人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.000 001 56米，数字0.000 001 56用科学记数法表示为( )
A．1.56×10－5 B．0.156×10－5
C．1.56×10－6 D．15.6×10－7
C
4．计算：(结果用科学记数法表示)
(1)(－2×10－3)×(6×10－2);
解：原式＝－2×6×10－3×10－2
＝－12×10－5
＝－1.2×10－4.
(2)(5×10－6)2÷(10－2)3.
解：原式＝(25×10－12)÷10－6
＝25×(10－12÷10－6)
＝25×10－6
＝2.5×10－5.
循环练
D(共30张PPT)
第4课时 分式的基本性质（3）—— 通分
知识导学
课堂讲练
第十八章 分式
课堂检测
能利用分式的基本性质进行通分．（核心素养：抽象能力、运算能力）
随堂测
知识导学
课堂讲练
最简公分母
B
（x－1）（x＋2）
a（a－b）
确定最简公分母的方法：
1．分母均为单项式的分式：（1）系数：取各分母系数的最小公倍数；（2）字母：取各分母所有字母的最高次幂．
2．分母是多项式的分式：（1）若多项式可分解，则先分解因式；（2）取各分母的所有因式的最高次幂的积．
分式的通分
例2 通分：
解：最简公分母是6y3.
解：最简公分母是ab（x＋1）.
解：最简公分母是10a2b2c.
解：最简公分母是2（x＋3）（x－3）.
解：最简公分母是2（a＋1）（a－1）.
解：最简公分母是2（x－y）2.
通分时要注意符号的变化．
课堂检测
6x2y3z
2x（x＋1）
a（a＋b）（a－b）
a－1
解：最简公分母是8ab2c2.
解：最简公分母是（m＋2）（m－2）.
解：最简公分母是a（3－a）2.
解：最简公分母是（a＋2b）（a－2b）2.
5．【类比探究】之前已经学过比较分数大小的方法：当分母为正数时，同分母分数，分子大的分数大；异分母分数，先化成同分母分数，再比较分子的大小．类似地，我们可以将此方法迁移到比较分式的大小.
解：将两个分式通分，最简公分母是2mn（m＋n）.
∵m≠n，
∴4mn－（m＋n）2＝－（m－n）2＜0.∴4mn＜（m＋n）2.
随 堂 测
课时练
12xy2
(x＋y)(x－y)
(a＋b)(a－b)
解：最简公分母是15a2bc.
解：最简公分母是6(a－b).
解：最简公分母是2(a＋2)(a－2).
解：最简公分母是2(2x＋1)2.
循环练(共20张PPT)
第15课时 分式方程的应用(3)——销售问题
知识导学
课堂讲练
第十八章 分式
课堂检测
随堂测
知识导学
课堂讲练
例1 广东醒狮是国家第一批非物质文化遗产之一．祖庙文创店计划采购甲、乙两种醒狮摆件，已知甲种醒狮摆件的单价比乙种醒狮摆件的单价多10元，且用3 000元购进甲种醒狮摆件的数量和用2 500元购进乙种醒狮摆件的数量相同，求甲、乙两种醒狮摆件的单价．
解：设乙种醒狮摆件的单价为x元，则甲种醒狮摆件的单价为(x＋10)元．
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意．
∴x＋10＝50＋10＝60．
答：甲种醒狮摆件的单价为60元，乙种醒狮摆件的单价为50元．
训练 1．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩的单价比B型充电桩的单价少0.3万元，且用18万元购买A型充电桩的数量与用24万元购买B型充电桩的数量相等，则A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
解：设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价为(x＋0.3)万元．
经检验，x＝0.9是原方程的解，且符合题意．
∴x＋0.3＝1.2．
答：A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2万元．
例2 某中学为充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A，B两款物理实验套装，其中A款套装单价是B款套装单价的1.2倍，用9 900元购买的A款套装数量比用7 500元购买的B款套装数量多5套．求A，B两款套装的单价．
解：设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是1.2x元．
经检验，x＝150是原方程的解，且符合题意．
∴1.2x＝1.2×150＝180．
答：A款套装的单价是180元，B款套装的单价是150元．
训练 2．为响应节能减排号召，某公司决定采购A型和B型两款新能源汽车．已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，用3 000万元购进A型汽车的数量比用2 400万元购进B型汽车的数量少20辆，则A型和B型汽车的进价分别为每辆多少万元？
解：设B型汽车的进价为每辆x万元，则A型汽车的进价为每辆1.5x万元．
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意．
∴1.5x＝1.5×20＝30．
答：A型汽车的进价为每辆30万元，B型汽车的进价为每辆20万元．
例3 某商店用20 000元购进A，B两种品牌的茶叶共150 kg，已知购买A种品牌茶叶的费用与购买B种品牌茶叶的费用相同，且A种品牌茶叶的单价是B种品牌茶叶单价的2倍，求A，B两种品牌茶叶的单价．
解：设B种品牌茶叶的单价为x元/kg，则A种品牌茶叶的单价为2x元/kg．
经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意．
∴2x＝2×100＝200．
答：A种品牌茶叶的单价为200元/kg，B种品牌茶叶的单价为100元/kg．
训练 3．为落实“绿茵行动，青春聚力”植树活动，某单位花费7 000元购买了桂花树和樱花树共30棵，其中购买桂花树花费3 000元，已知桂花树的单价比樱花树的单价高50%，求樱花树的单价及购买棵数．
解：设樱花树的单价为x元，则桂花树的单价为(1＋50%)x元．
解得x＝200．
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意．
∴樱花树的购买棵数为 ＝＝20．
答：樱花树的单价为200元，购买棵数为20．
课堂检测
1．某商场计划购进A，B两种家电，已知每件B种家电的进价比每件A种家电的进价多100元，经计算，用1万元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的件数相同．设A种家电每件的进价为x元，则可列
方程为__________________．
2．为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知某品牌的航空模型的单价比航海模型的单价多10元，用2 000元购买航空模型的数量比用1 800元购买航海模型数量少10个，求航空模型和航海模型的单价．
解：设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为(x－10)元．
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意．
∴x－10＝30．
答：航空模型的单价为40元，航海模型的单价为30元．
3．“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具．某中学书法社团计划购买A，B两种型号的“文房四宝”共40套．已知某文化用品店每套A型号的“文房四宝”的标价比每套B型号的“文房四宝”的标价高30%．若按标价购买这两种型号的“文房四宝”共需花费4 300元，其中购买B型号的“文房四宝”需花费3 000元．
(1)求每套B型号的“文房四宝”的标价；
解：设每套B型号的“文房四宝”的标价为x元，则每套A型号的“文房四宝”的标价为(1＋30%)x元．
解得x＝100．
经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意．
答：每套B型号的“文房四宝”的标价为100元．
(2)若该文化用品店每套A，B型号的“文房四宝”的进价分别为100元、90元，则这40套“文房四宝”售出后该店的盈利是多少？
∴该店的盈利为(130－100)×10＋(100－90)×30＝600(元)．
答：这40套“文房四宝”售出后该店的盈利是600元．
随 堂 测
课时练
1．某校组织学生进行劳动实践活动，用1 000元购进甲种劳动工具，用2 400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元．设甲种劳动工具单价为x元，则x满足的分式方程为__________________.
2．某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球的进价比每个排球的进价多50%，用3 600元购进篮球的数量比用3 200元购进排球的数量少10个．篮球、排球的进价分别为每个多少元？
解：设排球的进价为每个x元，则篮球的进价为每个(1＋50%)x元．
解得x＝80.
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意．
∴1.5x＝1.5×80＝120.
答：篮球的进价为每个120元，排球的进价为每个80元．
循环练
B(共30张PPT)
第11课时 分式方程的解法(1)
课堂讲练
第十八章 分式
课堂检测
能解可化为一元一次方程的分式方程．(核心素养：抽象能力、运算能力)
随堂测
课堂讲练
分式方程的概念
分母中含有__________的方程叫作分式方程．
例1 下列选项中是分式方程的是( )
未知数
知识点 1
C
C
解分式方程
知识点 2
解：方程两边乘x(x＋3)，得x＋3＝4x．
解得x＝1．
检验：当x＝1时，x(x＋3)≠0．
所以，原分式方程的解为x＝1．
解：方程两边乘(x－1)(x＋1)，
得3(x＋1)＝4(x－1)．解得x＝7．
检验：当x＝7时，(x－1)(x＋1)≠0．
所以，原分式方程的解为x＝7．
解：方程两边乘x－2，得x－1－1＝3(x－2)．
解得x＝2．
检验：当x＝2时，x－2＝0，
因此x＝2不是原分式方程的解．
所以，原分式方程无解．
解：方程两边乘x－4，
得3－x＝－1－2(x－4)．解得x＝4．
检验：当x＝4时，x－4＝0，
因此x＝4不是原分式方程的解．
所以，原分式方程无解．
解：方程两边乘(x－3)(x＋3)，
得x(x＋3)＋6(x－3)＝(x－3)(x＋3)．
解得x＝1．
检验：当x＝1时，(x－3)(x＋3)≠0．
所以，原分式方程的解为x＝1．
解：方程两边乘x(x－2)，
得3x＋x(x－2)＝(x－1)(x－2)．
解分式方程的一般步骤：(1)去分母：方程两边乘最简公分母，化为整式方程(转化思想)；(2)解整式方程；(3)检验：将整式方程的解代入最简公分母，若值不为0，则是原分式方程的解；若值为0，则不是原分式方程的解．
课堂检测
B
D
C
解：方程两边乘x(x－2)，
得3x＝2(x－2)．解得x＝－4．
检验：当x＝－4时，x(x－2)≠0．
所以，原分式方程的解为x＝－4．
解：方程两边乘2x－5，得x－3＝2x－5．
解得x＝2．
检验：当x＝2时，2x－5≠0．
所以，原分式方程的解为x＝2．
解：方程两边乘(x＋1)(x－1)，
得(x－3)(x＋1)＝2(x－1)＋(x＋1)(x－1)．
解得x＝0．
检验：当x＝0时，(x＋1)(x－1)≠0．
所以，原分式方程的解为x＝0．
5．(RJ八上P173 T7改编)什么情况下2(x＋2)－1与3(x－3)－1的值相等？
方程两边乘(x＋2)(x－3)，
得2(x－3)＝3(x＋2)．解得x＝－12．
检验：当x＝－12时，(x＋2)(x－3)≠0．
所以，当x＝－12时，2(x＋2)－1与3(x－3)－1的值相等．
解：根据题意，得2(x＋2)－1＝3(x－3)－1．
解：方程两边乘x－4，得1＋3(x－4)＝－3－mx．
整理，得(m＋3)x＝8．
当该分式方程无解时，分下面两种情况讨论：
①当m＋3＝0时，整式方程无解，此时m＝－3．
②当x－4＝0时，分式方程无解，
综上，m的值为－3或－1．
分式方程无解有两种情况：①去分母后的整式方程无解；②整式方程的解代入最简公分母，值为0．
解：∵点A，B到原点的距离相等，
方程两边乘x(x－5)，
随 堂 测
课时练
B
C
解：方程两边乘x(x－3)，得3x＝x－3.
解：方程两边乘2(x－1)，得2x＝x－1.
解得x＝－1.
检验：当x＝－1时，2(x－1)≠0.
所以，原分式方程的解为x＝－1.
解：方程两边乘x(x＋3)，得x2＋2(x＋3)＝x(x＋3).
解得x＝6.
检验：当x＝6时，x(x＋3)≠0.
所以，原分式方程的解为x＝6.
解：方程两边乘x－2，得1＋3(x－2)＝x－1.
解得x＝2.
检验：当x＝2时，x－2＝0，
因此x＝2不是原分式方程的解．
所以，原分式方程无解．
循环练
4．白细胞是人体内一种重要的免疫细胞，负责寻找并消灭入侵的病原体．据研究，白细胞直径约为0.000 012米，0.000 012用科学记数法表示为__________.
1.2×10－5
